Rozkłady statystyk z próby Twierdzenia graniczne

Transkrypt

1 Rozkłady statystyk z róby Twierdzeia graicze

2 PRÓBA LOSOWA Próbą losową rostą azyway ciąg -zieych losowych iezależych i osiadających jedakowe rozkłady takie jak rozkład zieej losowej w oulacji geeralej Poulacja geerala Próba losowa

3 STATYSTYKI Z PRÓBY STATYSTYKA (z róby) Statystyką (z róby) azyway zieą losową Z będącą fukcją zieych losowych,, staowiących róbę losową Przykłady: wyzaczoe z daych z róby losowej.: średia arytetycza, częstość względa, wariacja

4 STATYSTYKI Z PRÓBY STATYSTYKA (z róby) Statystyka jako fukcja zieych losowych saa jest zieą losową, która osiada ewie rozkład Rozkład statystyki Z =z(,, 3, ) azywa się rozkłade z róby Rozkład statystyki z róby zależy od: rozkładu zieej losowej w oulacji geeralej liczebości róby

5 STATYSTYKI Z PRÓBY STATYSTYKA (z róby) Rozkład statystyki z róby rzy ustaloy azyway dokłady rozkłade statystyki. Rozkłady dokłade są wykorzystywae w rzyadku tzw. ałych rób. Rozkład graiczy statystyki (o ile taki istieje) jest wykorzystyway, gdy ie oża zaleźć dokładego rozkładu statystyki z róby. Wyaga to tzw. dużej róby.

6 STATYSTYKI Z PRÓBY ROZKŁAD ŚREDNIEJ ARYTMETYCZNEJ Z PRÓBY DLA POPULACJI NORMALNEJ ZE ZNANYM ODCHYLENIEM STANDARDOWYM ROZKŁAD DOKŁADNY Założeia a rozkład N(,σ) Pobieray -eleetową róbę losową rostą (,, ) Średia arytetycza z róby osiada rozkład oraly o stadardowy i odchyleiu

7 f(x) STATYSTYKI Z PRÓBY ROZKŁAD ŚREDNIEJ ARYTMETYCZNEJ Z PRÓBY DLA POPULACJI NORMALNEJ ZE ZNANYM ODCHYLENIEM STANDARDOWYM ROZKŁAD DOKŁADNY :N(5;) :N(5;0,) =00

8 STATYSTYKI Z PRÓBY ROZKŁAD ŚREDNIEJ ARYTMETYCZNEJ Z PRÓBY DLA POPULACJI NORMALNEJ Z NIEZNANYM ODCHYLENIEM STANDARDOWYM ROZKŁAD ała DOKŁADNY róba W.S.Gosset odkrył w 908r rozkład statystyczy zależy od oiarów x i, a iezależy od wariacji => rozkład t-studeta. Założeia: Cecha a w oulacji rozkład oraly ze średia i Willia Sealy Gosset ( ). odchyleie stadardowy σ, Z oulacji obieray -eleetową losową róbą (,,, ) Do wioskowaia o średiej korzystay ze statystyki t-studeta:

9 STATYSTYKI Z PRÓBY Liczba stoi swobody v liczba iezależych wyików obserwacji oiejszoa o liczbę iezależych związków, które łączą te wyiki ze sobą. Liczbę stoi swobody oża utożsaiać z liczbą iezależych zieych losowych, które wływają a wyik.

10 STATYSTYKI Z PRÓBY Rozkład t-studeta 30

11 TWIERDZENIA GRANICZNE W twierdzeiach tych rozatruje się ciągi zieych losowych {}, których rozkłady rzy wzroście wskaźika do ieskończoości ogą być zbieże do ewego rozkładu. Taki rozkład jest azyway rozkłade graiczy (asytotyczy) ciągu zieych losowych {}. Twierdzeia graicze forułują waruki, rzy zachowaiu, których dla ciągu zieych losowych istieje asytotyczy rozkład oraz określają, jaka jest ostać tego rozkładu.

12 TWIERDZENIA GRANICZNE Wyróżiay dwa rodzaje twierdzeń graiczych: twierdzeia lokale dotyczą zbieżości ciągu fukcji rawdoodobieństw zieych losowych tyu skokowego lub zbieżości ciągu fukcji gęstości zieych losowych tyu ciągłego twierdzeia itegrale dotyczą zbieżości ciągu dystrybuat zieych losowych

13 TWIERDZENIA GRANICZNE Wśród twierdzeń graiczych ważą rolę odgrywają twierdzeia o rozkładach graiczych su iezależych zieych losowych, w ty o zbieżości dystrybuat stadaryzowaych su iezależych zieych losowych do dystrybuaty rozkładu oralego. Poza twierdzeiai o zbieżości do rozkładu oralego istote zaczeie ają tzw. rawa wielkich liczb, w których rozkłade graiczy jest rozkład jedouktowy.

14 Abraha de Moivre ( ) TWIERDZENIA GRANICZNE Itegrale twierdzeie graicze twierdzeie ówiące o zbieżości ciągu dystrybuat Twierdzeie de Moivre`a - Lalace`a Pierre Sio de Lalace (749-87) Niech { } będzie ciągie zieych losowych o rozkładzie dwuiaowy z araetrai i 0<< oraz iech {U } będzie ciągie stadaryzowaych zieych : U, q Wtedy dla ciągu dystrybuat {F (u)} zieych losowych U zachodzi dla każdej wartości u

15 Wiosek Ciąg zieych losowych { } o rozkładzie dwuiaowy z araetrai i (iestadaryzowaych) jest zbieży do rozkładu oralego N ; q Wiosek Jeśli rozatrzyy ciąg zieych, to z twierdzeia de Moivre'a-Lalace'a wyika, że ziea ta a asytotyczy rozkład oraly TWIERDZENIA GRANICZNE Twierdzeie de Moivre`a - Lalace`a N, q

16 J.W.Lideberg (876-93) Itegrale twierdzeie graicze twierdzeie ówiące o zbieżości ciągu dystrybuat Cetrale twierdzeie graicze Lideberga-Levy`ego Paul Levy (886-97) Jeśli {k} jest ciągie iezależych zieych losowych o jedakowych rozkładach (idetyczych wartościach oczekiwaych E(k)=E() oraz skończoych wariacjach D²(k)=D²(), to ciąg dystrybuat {F(t)} zieych losowych T określoych wzore sełia: TWIERDZENIA GRANICZNE T Z E( ) D( ) Dla każdej wartości t

17 TWIERDZENIA GRANICZNE Cetrale twierdzeie graicze Lideberga-Levy`ego Wiosek Ziea losowa Z określoa wzore a asytotyczy rozkład oraly Wiosek Jeśli dla określoych wyżej zieych losowych Z rozatrzyy zieą i wariacji o wartości oczekiwaej to z twierdzeia L-L otrzyujey, że ciąg zieych {V} jest zbieży do rozkładu oralego

18 STATYSTYKI Z PRÓBY Ziea Statystyka Stadaryzacja Rozkład ~ N(, σ) średia ~ N(,?) ała róba 30 ~ iezay rozkład duża róba > 30 ~ dwuiaowy duża róba 00 średia średia częstość : N ; x : N; : N; W U U U W ( ) N(0; ) t-studet v=- N(0; ) N(0; )

19 STATYSTYKI Z PRÓBY x Ziea Statystyka Stadaryzacja Rozkład ~ N(, σ) ~ N(, σ) różica dwóch średich N(0; ) ~ N(, σ) ~ N(, σ) ała róba 30 różica dwóch średich t-studet, ~ iezae rozkłady duża róba + > 30 różica dwóch średich, N(0; ), ~ dwuiaowe rozkłady duża róba + 00 różica dwóch częstości, N(0; ), : N U s t, : N U ; : N W W ) ( ) ( ) ( ) ( W W U v=+-