Języki Modelowania i Symulacji

Transkrypt

1 Języki Modelowania i Symulacji Marcin Ciołek Katedra Systemów Automatyki WETI, Politechnika Gdańska 18 stycznia 2012

2 Literatura: 1. D. Kincaid, W. Cheney: Analiza numeryczna, Wydawnictwo Naukowo Techniczne, P. Davis, W.: Differential Equations - Modelling with MATLAB, Prentice Hall, Dokumentacja MATLABA i SIMULINKA. 4. B.Mrozek, Z. Mrozek: MATLAB Uniwersalne środowisko do obliczeń naukowo-technicznych, Kraków T.P. Zieliński: Cyfrowe przetwarzanie - Od teori do zastosowań, Warszawa 2009.

3 O czym będziemy dziś mówili?

4 Arytmetyka zmiennoprzecinkowa

5 Pytanie 1 Nazwij problem zaprezentowany na poniższym przykładzie i wymień jedna sytuację, w której ten problemu będzie miał duże znaczenie? format long >> 10*(7.1-7)-1 ans = e-015 >> 10* ans =

6 Pytanie 2 Nazwij problem zaprezentowany na poniższym przykładzie i wymień jedna sytuację, w której ten problemu będzie miał duże znaczenie? y y = (x 1) 4 y = x 4 4x 3 +6x 2 4x+1 1 x x

7 Pytanie 3 Nazwij problem zaprezentowany na poniższym przykładzie i wymień jedna sytuację, w której ten problemu będzie miał duże znaczenie? 0.1 => ( }{{.. }.... )

8 Pytanie 4 Zdefiniuj standard IEEE i napisz jak a precyzję wykorzystuje MATLAB w arytmetyce zmiennoprzecinkowej?

9 Pytanie 5 Opisz zjawisko nadmiaru i napisz czy wystapi ono w tym przypadku dla podwójnej precyzji reprezenatcji liczb w arytmetyce zmiennoprzecinkowej: x =

10 Pytanie 6 Opisz zjawisko niedomiaru i napisz czy wystapi ono w tym przypadku dla podwójnej precyzji reprezenatcji liczb w arytmetyce zmiennoprzecinkowej: x =

11 Pytanie 7 Nazwij problem zaprezentowany na poniższym przykładzie i zaproponuj sposób rozwiazania tego problemu? Przykład: Wyznaczanie normy euklidesowej wektora x = (10 200, 1) T dla podwójnej precyzji reprezenatcji liczb w arytmetyce zmiennoprzecinkowej x 2 = x x n 2.

12 Pytanie 8 Nazwij problem zaprezentowany na poniższym przykładzie i zaproponuj sposób rozwiazania tego problemu? Przykład: rozważmy ciag liczb rzeczywistych określony wzorem rekurencyjnym: x n+1 = 13 3 x n 4 3 x n 1, (x 0 = 1, x 1 = 13 ), n 1 (wykres czerwony) postać krótka ciągu postać rozwinięta ciągu wartości ciągu liczba iteracji

13 Pytanie 9 Nazwij problem zaprezentowany na poniższym przykładzie? Przykład: Rozważmy klasyczny przykład podany przez Wilkinsona, gdzie ulega zaburzeniu współczynnik przy najwyższej potędze wielomianu f (x) = 20 k=1 (x k) = (x 1)(x 2)... (x 20), g(x) = x 20.

14 Pytanie 10 Zdefiniuj i zinterpretuj wskaźnik uwarunkowania macierzy A i napisz odpowiednia komendę MATLAB-a.

15

16 Pytanie 11 Jaki szum przedstawia rysunek? Napisz kod MATLAB-a generujacy szum jak na rysunku

17 Pytanie 12 Histogram jakiego szumu został przedstawiony na rysunku? Napisz komendę MATLAB-a generujac a histogram

18 Pytanie 13 Jaki szum przedstawia rysunek? Napisz kod MATLAB-a generujacy szum jak na rysunku o wariancji σ 2 = 0.25 i wartości średniej µ =

19 Pytanie 14 Histogram jakiego szumu został przedstawiony na rysunku? Napisz komendę MATLAB-a generujac a histogram

20 Pytanie 15 Dla jakiego szumu został przedstawiony na rysunku wykres funkcji autokorelacji? Dla jakiego przeunięcia szum ten jest skorelwany sam ze soba

21 Pytanie 16 Napisz równanie opisujace model autoregresyjny w dziedzinie czasu dyskretnego y(t) =... oraz transmitancję tego filtru H(z) =..., dla którego został wygenerowany sygnał przedstawiony na rysunku. Jakiego typu jest to filtr? Sygnał wygenerowany dla modelu autoregresyjnego rzędu 4

22 Pytanie 17 Czym różnia się poniższe widma amplitudowe? Co to jest składowa harmoniczna? Jakie harmoniczne występuja w tych sygnałach? Y(f) Widmo amplitudowe - sygnał "czysty" Częstotliwość (Hz) 1.5 Widmo amplitudowe - sygnał ze składową losową 1 Y(f) Częstotliwość (Hz)

23 filtrów FIR i IIR

24 Pytanie 18 Napisz równanie filtru FIR rzędu 4, H(z 1 ) =.... Ile współczynników ma ten filtr? Wymień wady i zalety filtrów typu FIR.

25 Pytanie 19 Opisz efekt Gibbsa przedstawiony na rysunku. Porównanie obu okien prostokątne hamming rad/sek

26 Pytanie 20 Wymień 3 popularne okna oraz komendy MATLAB-a (wraz z opisem argumentu), które pozwola na ich wygenerowanie.

27 Pytanie 21 Napisz komendę MATLAB-a generujac a okno Hamminga, przedstawione na rysunku. Okno Hamminga

28 Pytanie 22 Co robi ta komenda MATLAB-a? Opisz argumenty tej komendy. Ile współczynników będzie posiadał ten filtr?jakiego typu będzie to filtr? b = fir1(n,wn, ftype, window )

29 Pytanie 23 Co robi ta komenda MATLAB-a? Opisz argumenty tej komendy. Ile współczynników będzie posiadał ten filtr? Jakiego typu będzie to filtr? b = fir2(n,f,m)

30 Pytanie 24 Użyj odpowiedna komendę MATLAB-a (wraz z argumentami) do wyznaczenia współczynników filtru rzędu 30 wg rysunku. Jakiego typu jest to filtr? m Porównanie odpowiedzi amplitudowo-częstotliwościowej Idealny kształt zaprojektowany filtr (fir2) f

31 Pytanie 25 Co robi ta komenda MATLAB-a? Opisz argumenty tej komendy. Ile współczynników będzie posiadał ten filtr? Jakiego typu będzie to filtr? b = firls(n,f,m,w)

32 Pytanie 26 Użyj odpowiedna komendę MATLAB-a (wraz z argumentami) do wyznaczenia współczynników filtru rzędu 30 wg rysunku. Jakiego typu jest to filtr? m Aprokysmacja ch-ki amplitudowej f

33 Pytanie 27 Napisz równanie filtru IIR rzędu (2,2), H(z 1 ) =.... Ile współczynników ma ten filtr? Wymień wady i zalety filtrów typu IIR.

34 Pytanie 28 Majac dane: częstotliwość próbkowania 1000Hz częstotliwości odcięcia dla pasma przenoszenia: 60Hz i 200Hz częstotliwości odcięcia dla spadku 3dB: 50Hz i 250Hz dopuszczalne zafalowania w paśmie przepuszczania na poziomie 3dB tłumienie w paśmie zaporowym na poziomie 40dB zaprojektuj filtr pasmowy Butterworth a o minimalnym rzędzie.

35 Pytanie 29 Majac dane: częstotliwość próbkowania 1000Hz częstotliwości odcięcia dla pasma przenoszenia: 300Hz dopuszczalne zafalowania w paśmie przepuszczania na poziomie 3dB tłumienie w paśmie zaporowym na poziomie 50dB rzad filru: n = 6 zaprojektuj dolnopasmowy filtr eliptyczny.

36 Pytanie 30 Użyj odpowiednia komendę MATLAB-a do przefiltrowania sygnału x majac współczynniki filtru w postaci wektorów a, b

37

38 Pytanie 31 Nazwij macierze L,U,P dla algorytmu LU dekompozycji macierzy A oraz napisz równanie syntezy. Napisz odpowiednia komendę MATLAB-a.

39 Pytanie 32 Nazwij macierze L,R dla algorytmu Cholesky ego dekompozycji macierzy A oraz napisz równanie syntezy. Jaki warunek musi spełniać macierz A. Napisz odpowiednia komendę MATLAB-a.

40 Pytanie 33 Nazwij macierze Q,R dla algorytmu QR dekompozycji macierzy A oraz napisz równanie syntezy. Napisz odpowiednia komendę MATLAB-a. Jaka własność posiada macierz unitarna?

41 Pytanie 34 Czym się różni operator \ od funkcji inv przy rozwiazywaniu układów równań? Rozwiazanie równania Ax=b: x = A\b czy x = inv(a) b?

42 Pytanie 35 Opisz funkcję MATLAB-a [X,R] = linsolve(a,b); do rozwiazywania układów równań.

43 Pytanie 36 Opisz funkcję MATLAB-a x = lscov(a,b); do rozwi azywania układów równań.

44 Pytanie 37 Opisz funkcję MATLAB-a [U, S, V] = svd(x);. Jak a własność posiada macierz unitarna?

45

46 Pytanie 38 Do jakiego typu zadań stosujemy funkcję ode45, a do jakiego ode23s? Co powiesz o możliwej do uzyskania dokładności rozwiazania?

47 Pytanie 39 Co zyskujemy podajac jawnie macierz Jacobiego?» 500],[0.05;-1],optJ,2); 449 successful steps 0 failed attempts 1349 function evaluations 449 partial derivatives 449 LU decompositions 1347 solutions of linear systems» [Tx,x]=ode23s(@funcxr,[0 500],[0.05;-1],opt,2); 449 successful steps 0 failed attempts 2247 function evaluations 449 partial derivatives 449 LU decompositions 1347 solutions of linear systems

48 Pytanie 40 Jaki problem został przedstawiony na rysunku? Rozwiaznie dla warunków poczatkowych ]

49 Pytanie 41 Opisz problem przedstawiony na poniższym przykładzie, zwróć uwagę na parametr d.» d=0.01;» t=ode45(fx,[0 2/d],d,opt);» size(t) ans = 185 1» t=ode23s(fx,[0 2/d],d,opt);» size(t) ans = d= d= x (t) x (t) t [secs] Metoda ode t [secs] Metoda ode23s

50 Pytanie 42 Opisz problem przedstawiony na poniższym przykładzie, zwróć uwagę na parametr d.» d=0.0001;» t=ode45(fx,[0 2/d],d,opt);» size(t) ans = » t=ode23s(fx,[0 2/d],d,opt);» size(t) ans = d= d= x (t) 1 x (t) t [secs] x 10 4 Metoda ode t [secs] x 10 4 Metoda ode23s

51 najwaz niejszych wiadomos ci Pytanie 43 Opisz problem przedstawiony w tym przykładzie. W jaki sposób wyjas nic przebieg chaotycznej trajektorii stanu w jej poczatkowym fragmancie? Układy równan róz niczkowe Podwójne wahadło rozwiazanie dla warunków poczatkowych [ π 0 π 0 ]. róz ne Rozwiazanie na płaszczyz nie stanu (x, y ) Rozwiazanie w dziedzinie czasu (x(t), y (t))

52 Model obiektu w

53 Pytanie 44 Zdefiniuj macierz sterowalności dla modelu obiektu dynamicznego z czasem ciagłym. Podaj funkcję MATALAB-a wyznaczajac a macierz sterowalności. Kiedy system jest sterowalny?

54 Pytanie 45 Zdefiniuj macierz obserwowalności dla modelu obiektu dynamicznego z czasem ciagłym. Podaj funkcję MATALAB-a wyznaczajac a macierz obserwowalności. Kiedy system jest obserwowalny?

55 Pytanie 46 Którego z pośród kryteriów stabilności asymptotycznej dotyczy poniższy przykład (zapisz je)? Czy układ ten jest stabilny asymptotycznie? Przykład: Model liniowego obiektu dynamicznego: [ ] [ x 0 1 = Ax, A =, x(0) = ] Rozwiazanie względem czasu

56 Pytanie 47 Którego z pośród kryteriów stabilności asymptotycznej dotyczy poniższy przykład (zapisz je)? Czy układ ten jest stabilny asymptotycznie? Przykład: A=[0 1;-1-1]; tk = 1000; x0=[1; -0.5];[T,x]=ode45('Ax',[0 tk],x0,[],a); xx=zeros(2,size(t,1)); for k=1:size(t,1) xx(:,k)=expm(a*t(k))*x0; end norm(xx(:,tk),2) ans = e-175

57 Pytanie 48 Którego z pośród kryteriów stabilności asymptotycznej dotyczy poniższy przykład (zapisz je)? Czy układ ten jest stabilny asymptotycznie? A=[0 1;-1-1]; >> eig(a) ans = i i

58 Pytanie 49 Zapisz równanie Lapunowa dla pary macierzy (A, B), kiedy posiada ono jednoznaczne rozwiazanie i jak się ono nazywa? Jaka funkcja MATLAB-a wyznacza gramian sterowalności? Kiedy para macierzy (A, B) jest sterowalna?

59 Pytanie 50 Zapisz równanie Lapunowa dla pary macierzy (A, C), kiedy posiada ono jednoznaczne rozwiazanie i jak się ono nazywa? Jaka funkcja MATLAB-a wyznacza gramian obserwowalności? Kiedy para macierzy (A, C) jest obserwowalna?

60 Pytanie 51 Kiedy realizację (PAP 1, PB, CP 1, D) nazywamy zrównoważona? Dla jakiego obiektu dynamicznego możemy ja wyznaczyć?

61 Pytanie 52 Opisz poniższy przykład. A=[0 1;-1-1]; B = [3 1; 1 1]; C=[1 0]; D =0; >> sys1 = ss(a,b,c,d); >> [sysb, g] = balreal(sys1); gc = gram(sysb,'c') go = gram(sysb,'o') gc = go =

62 Pytanie 53 Opisz poniższy przykład. cloop = G(s) = s (s-1) (s-1) (s^2 + s + 1) cloop = minreal(cloop) s(s 1) (s 1)(s 2 + s + 1) s (s^2 + s + 1)

63 Pytanie 54 Opisz poniższy przykład. G(s) = >>gc = gram(sysb,'c') gc = sysr = modred(sysb,[2 3],'del'); F = zpk(sysr) (s + 10)(s ) (s + 5)(s + 9.9)(s ) F = (s+4.97)

64 Pytanie 55 Opisz poniższy przykład głoska "a" s[n] n [numer próbki] 1 Metoda funkcji autokorelacji r[k] okres T = 181 2T 3T k [wartość przesunięcia]

65 Pytanie 56 Opisz poniższy przykład głoska "sz" s[n] n [numer próbki] Metoda funkcji autokorelacji r[k] k [wartość przesunięcia]

66 Pytanie 57 Narysuj schemat uproszczonego kodera mowy.

67 Pytanie 58 Narysuj schemat uproszczonego kodera mowy.

68 Pytanie 59 Kiedy wiemy, że macierz autokorelacji jest dodatnio określona? (nie chodzi tu o wartości własne!)

69 Pytanie 60 Opisz algorytm Levinson a - Durbin a. Napisz komendę MATLAB a wraz z podaniem i opisaniem argumentów.

70

71 Pytanie 61 Co to jest macierz rzadka? Jaka jest korzyść z korzystania z macierzy rzadkich?

72 Pytanie 62 Opisz krótko poniższy przykład. whos Name Size Bytes Class Attributes E 5x5 200 double S 5x5 128 double sparse n 1x1 8 double Name Size Bytes Class Attributes E 100x double S 100x double sparse n 1x1 8 double

73 Pytanie 63 Opisz krótko poniższy przykład. E-czas/S-czas Oczędność czasu obliczeniowego Numer iteracji %Postać klasyczna tic E^2; toc Elapsed time is seconds. %Postać rzadka tic S^2; toc Elapsed time is seconds.

74 Pytanie 64 Jaka metoda permutacji została użyta w tym przykładzie? Napisz kod MATLAB a realizujacy taka permutację. Ile elementów niezerowych posiada ta macierz rzadka? 0 10 B 0 10 B(p,p) nz = nz = 180 B = bucky;

75 Pytanie 65 Jaka metoda permutacji została użyta w tym przykładzie? Napisz kod MATLAB a realizujacy taka permutację. Ile elementów niezerowych posiada ta macierz rzadka? B B(p,p) nz = nz = 180 B = bucky;

76 Opisz krótko poniższy przykład. 4 Pytanie 66 n=length(b); B=B-3*speye(n); r = symrcm(b); p = symamd(b); nnz(lu(b)) ans = 1022 nnz(lu(b(r,r))) ans = 968 nnz(lu(b(p,p))) ans = 636

77 Opisz krótko poniższy przykład. Pytanie chol(b) chol(b(r,r)) chol(b(p,p)) nz = nz = nz = 348 n=length(b); B=B+4*speye(n); r = symrcm(b); p = symamd(b); nnz(chol(b)) ans = 541 nnz(chol(b(r,r))) ans = 514 nnz(chol(b(p,p))) ans = 348

78

79 Pytanie 68 Co możemy wywnioskować z położenia biegunów? Imaginary Axis Imaginary Axis Pole-Zero Map Real Axis Pole-Zero Map Real Axis Amplitude Amplitude Step Response System: T Rise Time (sec): 5.47 System: T Peak amplitude: 1.16 Overshoot (%): 16.3 At time (sec): System: 12.2 T Settling Time (sec): Time (sec) Step Response System: T Peak amplitude: 1.4 Overshoot (%): 39.5 At time (sec): 4.72 System: T Rise Time (sec): 1.85 System: T Settling Time (sec): Time (sec)

80 Pytanie 69 Podaj funkcję MATLAB-a, za pomoc a której wyświetlamy charakterystyki częstotliwościowe Bodego wraz z zaznaczonym zapasem fazy i wzmocnienia? Jak odczytujemy pulsacje odcięcia do wyznaczania zapasu fazy i zapasu wzmocnienia?

81 Pytanie 70 Za pomoca jednej komendy MATLAB-a zdefiniuj następujac a transmitancję s G = (s + 2)(s + 1) Podaj funkcję MATLAB-a, która wykreśli nam linie pierwiastkowe. Dla jakiego k układ zamknięty znajdzie się na granicy stabilności? Imaginary Axis Root Locus System: G Gain: 1.47 Pole: i Damping: Overshoot (%): 89.3 Frequency (rad/sec): Real Axis

82 Pytanie 71 W jaki sposób obliczamy zapas fazy i wzmocnienia na podstawie charakterystyki Nyquista?

83 Pytanie 72 Jakimi metodami możemy dokonać redukcji modelu za pomoca funkcji modred i czym one się różnia?

84 Pytanie 73 W jaki sposób funkcja minreal wyznacza realizację minimalna?

85 Pytanie 74 Opisz postępowanie w celu redukcji rzędu modelu za pomoc a funkcji modred.

86 Pytanie 75 Jak możemy opisać model/system?

87 Pytanie 76 Opisz dwa sposoby uzyskiwania wartości szczególnych w środowisku MATLAB.

88 Pytanie 77 Opisz dwa sposoby uzyskiwania wartości własnych macierzy w środowisku MATLAB

89 Pytanie 78 Zapisz przykładowa prosta macierz przyległości dla grafu nieskierowanego i odtwórz z niej graf.

90 Pytanie 79 Wymieo i krótko opisz trzy przydatne funkcje MATLAB-a do wykonywania operacji na macierzach rzadkich.

91 Pytanie 80 Opisz sposób przechowywania macierzy rzadkich przez MATLAB-a w pamięci.

92 Pytanie 81 Co to jest i do czego służy funkcja pinv?

93 Pytanie 82 Jeśli zastosujemy exp(a) oraz expm(a) otrzymamy takie same wyniki? Wyjaśnij dlaczego.

94 Pytanie 83 Dla jakich wartości c wartości odwrotność wskaźnika uwarunkowania macierzy A w normie 1 (c = rcond(a) ), jest dobrze uwarunkowany, a dla jakich źle?

95 Pytanie 84 Wymień funkcje realizujace całkownie numeryczne.

96 Pytanie 85 Sposoby zaokraglania liczb w MATLAB-ie oraz ich przykłady.

97 Pytanie 85 Zdefiniuj normę macierzy.

98 Pytanie 86 Przedstaw 4 reguły propagowania się wartości specjalnych (NaN - Not a Number oraz Inf - Infinity) w obliczeniach.

99 Pytanie 87 Podaj wzór bład bezwzględny zaokraglenie oraz wzór na bład względny zaokraglenie.

100 Pytanie 88 Jak znaleźć pierwiastki wielomianu w MATLABie?

101 Pytanie 89 Jak obliczyć wartość wielomianu o znanych współczynnikach w dowolnych punktach?

102 Pytanie 90 Podaj, jakie 3 problemy mog a się pojawić przy wyliczaniu pierwiastka kwadratowego macierzy.

103 Pytanie 91 Kiedy zwiększamy a kiedy zmniejszamy krok całkowania przy metodzie ode45?

104 Pytanie 92 Przedstaw przykładowy zapis macierzy rzadkiej przez MATLAB-a oraz jej odtworzona formę.

105 Pytanie 93 Za pomoca jakiej funkcji dokonuje się aproksymacji ciagłej opóźnienia czasowego? Opisz ta funkcję.

106 Pytanie 94 Za pomoca jakiej funkcji dokonuje się aproksymacji dyskretnej opóźnienia czasowego? Opisz ta funkcję.

107 Pytanie 95 W jaki sposób generuje się losowy model w dziedzinie czasu opisany w?

108 Pytanie 96 W jaki sposób dokonuje się konwersji systemu w czasie ci agłym na system dyskretny? Wymień przynajmniej trzy metody konwersji.

109 Pytanie 97 Jakie praktyczne korzyści może przynieść przesunięcie punktu przecięcia asymptot przez regulator/kompensator?

110 Pytanie 98 Podaj ogólny wzór transmitancji kompensatora typu LAG oraz naszkicuj jego charakterystyki częstotliwościowe.

111 Pytanie 99 Podaj ogólny wzór transmitancji kompensatora typu LEAD oraz naszkicuj jego charakterystyki częstotliwościowe.

112 Pytanie 100 W jaki sposób obliczyć (na podstawie znajomości liczby zer i biegunów) liczbę asymptot oraz punkt ich przecięcia?