9 Przekształcenia liniowe

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "9 Przekształcenia liniowe"

Transkrypt

1 9 Przekształcenia liniowe Definicja 9.1. Niech V oraz W będą przestrzeniami liniowymi nad tym samym ciałem F. Przekształceniem liniowym nazywamy funkcję ϕ : V W spełniającą warunek (LM) v1,v 2 V a1,a 2 F ϕ(a 1 v 1 + a 2 v 2 ) = a 1 ϕ(v 1 ) + a 2 ϕ(v 2 ) Przekształcenie liniowe ϕ : V W nazywamy: monomorfizmem, gdy ϕ jest różnowartościowe, epimorfizmem, gdy ϕ jest przekształceniem na, izomorfizmem, gdy ϕ jest bijekcją, endomorfizmem, gdy V = W. Stwierdzenie 9.2. Jeżeli V i W są przestrzeniami liniowymi nad ciałem F oraz ϕ jest funkcją z V do W, to następujące warunki są równoważne: 1. ϕ jest przekształceniem liniowym, 2. ϕ zachowuje dowolna kombinację liniową, to znaczy dla dowolnej kombinacji liniowej a i v i wektorów z przestrzeni V spełniony jest warunek ϕ a i v i = a i ϕ(v i ), 3. ϕ spełnia warunki (LM1) v1,v 2 V ϕ(v 1 + v 2 ) = ϕ(v 1 ) + ϕ(v 2 ) (addytywność) (LM2) v V a F ϕ(a v) = a ϕ(v) (jednorodność). Dowód: Wynikanie (2) (1) jest oczywiste. Dowód implikacji odwrotnej dla skończonego układu (v i ) jest indukcyjny i korzysta z łączności dodawania wektorów. Jeżeli układ (v i ) jest nieskończony, to jego kombinacja liniowa o współczynnikach (a i ) ma tylko skończoną liczbę współczynników różnych od 0; niech będą to a i1,..., a in. Wówczas dzięki zachowywaniu skończonej kombinacji liniowej otrzymujemy ϕ a i v i = ϕ (a i1 v i a in v in ) = a i1 ϕ (v i1 ) a in ϕ (v in ) = a i ϕ(v i ). Implikację (1) (3) otrzymujemy podstawiając a 1 = a 2 = 1 i korzystając z (V8) dla (LM1) oraz podstawiając a 1 = a, a 2 = 0, v 1 = v i korzystając ze stw. 5.4(1). Dowód implikacji (3) (1) polega na użyciu warunku (LM1), a następnie dwukrotnie warunku (LM2): ϕ(a 1 v 1 + a 2 v 2 ) = ϕ(a 1 v 1 ) + ϕ(a 2 v 2 ) = a 1 ϕ(v 1 ) + a 2 ϕ(v 2 ). 1

2 Stwierdzenie 9.3. Jeżeli ϕ : V W jest przekształceniem liniowym, to 1. ϕ(θ V ) = θ W, 2. v V ϕ(v) = ϕ(v). Dowód: 1. Wystarczy przyjąć w warunku (LM1) v 1 = v 2 = θ V i skorzystać z prawa skreśleń (stw. 2.7). 2. Biorąc w warunku (LM1) v 1 = v, v 2 = v i korzystając z (1) dostajemy ϕ( v) + ϕ(v) = θ. Przykład Przekształcenie zerowe Θ przypisujące każdemu wektorowi z V wektor zerowy z przestrzeni W jest przekształceniem liniowym. 2. Przekształcenie tożsamościowe id V jest liniowe. 3. Przekształcenie liniowe V F nazywamy funkcjonałem liniowym. 4. Pochodna jako przekształcenie C 1 (I) C(I), jako funkcjonał f f(x 0 ), a także jako przekształcenie wielomianów R[x] n R[x] n jest przekształceniem liniowym. 5. Przekształceniem liniowym C(I) R jest całka oznaczona po przedziale I. 6. Jeżeli V 1 i V 2 są przestrzeniami liniowymi. Funkcja π 1 : V 1 V 2 V 1 dana wzorem π 1 (v 1, v 2 ) = v 1 dla (v 1, v 2 ) V 1 V 2 (rzut na pierwszy składnik iloczynu kartezjańskiego) jest przekształceniem liniowym. Stwierdzenie 9.5. Przekształcenie liniowego jest jednoznacznie określone przez swoje wartości na bazie (dziedziny tego przekształcenia). Dowód: Niech ϕ : V W będzie przekształceniem liniowym, a (v i ) bazą przestrzeni V. Niech ϕ(v i ) = w i dla i I. Dowolny wektor z V jest kombinacją liniową wektorów (v i ), skąd na mocy stw. 9.2(2) otrzymujemy wzór przekształcenia ϕ ϕ a i v i = a i w i. Gdyby przekształcenie liniowe ψ : V W spełniało również warunki ψ(v i ) = w i dla i I, to dla dowolnego wektora z V mamy ze stw. 9.2(2) i powyższego ψ a i v i = a i w i = ϕ a i v i czyli ψ = ϕ. Stwierdzenie 9.6. liniowym. 1. Złożenie przekształceń liniowych jest przekształceniem 2

3 2. Złożenie izomorfizmów jest izomorfizmem. 3. Funkcja odwrotna do izomorfizmu jest izomorfizmem. Dowód: 1. Jeżeli ϕ : V W oraz ψ : U V są przekształceniami liniowymi, to dla u 1, u 2 U oraz a 1, a 2 F mamy (ϕ ψ)(a 1 u 1 + a 2 u 2 ) = (ϕ(ψ(a 1 u 1 + a 2 u 2 )) (LM) = ϕ(a 1 ψ(u 1 ) + a 2 ψ(u 2 )) (LM) = a 1 ϕ(ψ(u 1 )) + a 2 ϕ(ψ(u 2 )) = a 1 (ϕ ψ)(u 1 ) + a 2 (ϕ ψ)(u 2 ), zatem funkcja ϕ ψ jest przekształceniem liniowym. 2. wynika z (1) i faktu, że złożenie bijekcji jest bijekcją. 3. Niech ϕ 1 będzie funkcją odwrotną do izomorfizmu ϕ : V W. Funkcja taka istnieje i jest bijekcją, bo ϕ jest bijekcją. Jeżeli w 1, w 2 W, to istnieją takie v 1, v 2 V, że w 1 = ϕ(v 1 ) oraz w 2 = ϕ(v 2 ). Zatem dla a 1, a 2 F otrzymujemy, że ϕ 1 (a 1 w 1 + a 2 w 2 ) = ϕ 1 (a 1 ϕ(v 1 ) + a 2 ϕ(v 2 )) czyli ϕ 1 jest izomorfizmem. (LM) = ϕ 1 (ϕ(a 1 v 1 + a 2 v 2 )) = a 1 v 1 + a 2 v 2 = a 1 ϕ 1 (w 1 ) + a 2 ϕ 1 (w 2 ), Definicja 9.7. Mówimy, że przestrzeń liniowa V jest izomorficzna z przestrzenią liniową W i piszemy V W, gdy istnieje izomorfizm przestrzeni V na przestrzeń W. Wniosek 9.8. Relacja izomorficzności przestrzeni liniowych jest relacją równoważności Dowód: Ponieważ id V jest izomorfizmem, więc relacja jest zwrotna. Symetria wynika z punktu (3), a przechodniość z punktu (2) stw Twierdzenie 9.9. Każde dwie przestrzenie liniowe tego samego wymiaru skończonego nad tym samym ciałem są izomorficzne. Dowód: Dowolna przestrzeń zerowymiarowa jest jednoelementowa, więc teza dla wymiaru 0 jest oczywista. Zgodnie z wnioskiem 9.8 wystarczy pokazać, że dowolna przestrzeń liniowa wymiaru n N nad ciałem F jest izomorficzna z F n. Niech B = (v 1,..., v n ) będzie bazą przestrzeni V. Określmy funkcję Φ : V F n wzorem Φ(v) = C B (v) dla v V 3

4 (wektorowi v przypisujemy jego współrzędne w bazie B). Funkcja Φ jest różnowartościowa, bo jeżeli wektory v, v V mają te same współrzędne w bazie B, to są równe. Surjektywność funkcji Φ wynika z faktu, że dla dowolnego wektora x = (x 1,..., x n ) F n wektor x 1 v x n v n V jest przekształcany za pomocą Φ na x. Liniowość Φ wykażemy bezpośrednim rachunkiem. Niech v = a 1 v a n v n V, v = a 1v a nv n V oraz a, a F. Wówczas C B (v) = (a 1,..., a n ) oraz C B (v ) = (a 1,..., a n) i w konsekwencji Φ(av + a v ) = Φ ((aa 1 + a a 1)v (aa n + a a n)v n ) = (aa 1 + a a 1,..., aa n + a a n) = a(a 1,..., a n ) + a (a 1,..., a n) = ac B (v) + a C B (v ) = aφ(v) + a Φ(v ). Definicja Dla danego przekształcenia liniowego ϕ : V W zbiór ker ϕ = ϕ 1 ({θ W }) = {v V ; ϕ(v) = θ W } nazywamy jądrem przekształcenia ϕ, a zbiór obrazem przekształcenia ϕ. im ϕ = ϕ (V ) = {w W ; v V ϕ(v) = w} Stwierdzenie Jeżeli ϕ : V W jest przekształceniem liniowym, to 1. ker ϕ jest podprzestrzenią liniową przestrzeni V, 2. im ϕ jest podprzestrzenią liniową przestrzeni W. Dowód: 1. Jeżeli v 1, v 2 ker ϕ oraz a 1, a 2 F, to z warunku (LM) wynika, że ϕ(a 1 v 1 + a 2 v 2 ) = a 1 ϕ(v 1 ) + a 2 ϕ(v 2 ) = a 1 θ + a 2 θ = θ, czyli a 1 v 1 + a 2 v 2 ker ϕ. 2. Jeżeli w 1, w 2 im ϕ oraz a 1, a 2 F, to istnieją takie v 1, v 2 V, że w 1 = ϕ(v 1 ), w 2 = ϕ(v 2 ). Wówczas na mocy warunku (LM) mamy, że a 1 w 1 + a 2 w 2 = a 1 ϕ(v 1 ) + a 2 ϕ(v 2 ) = ϕ(a 1 v 1 + a 2 v 2 ), skąd a 1 w 1 + a 2 w 2 im ϕ. Przykład Przekształcenie zerowe Θ : V W ma jądro będące całą przestrzenią V, a obrazem ϕ jest {θ W }. 2. ker id V = {θ}, im id V = V. 3. Rozpatrując pochodną wielomianów : R[x] n R[x] n otrzymujemy, że jej jądrem jest zbiór wielomianów stałych R[x] 0, a obrazem przestrzeń R[x] n 1 4

5 Stwierdzenie Przekształcenie liniowe ϕ jest monomorfizmem wtedy i tylko wtedy, gdy ker ϕ = {θ}. Dowód: ) Jeżeli ϕ jest monomorfizmem, to z różnowartościowości i stw. 9.3(1) wynika, że warunek ϕ(v) = θ = ϕ(θ) pociąga za sobą v = θ, co oznacza trywialność jądra. ) Jeżeli jądro przekształcenia liniowego ϕ jest trywialne, to dla dowolnych v, v W równość ϕ(v) = ϕ(v ) wraz z warunkiem (LM) pociąga za sobą ϕ(v v ) = θ. Założenie ker ϕ = {θ} implikuje teraz v v = θ, czyli v = v. Twierdzenie Jeżeli ϕ : V W jest przekształceniem liniowym oraz wymiar przestrzeni V jest skończony, to dim V = dim ker ϕ + dim im ϕ. Dowód: Gdyby dim V = 0, to ϕ = Θ i dim ker ϕ = 0 = dim im ϕ. Załóżmy, że dim V = n N. Jeżeli jądro ma wymiar 0, to ze stw przekształcenie liniowe ϕ jest monomorfizmem. Dla dowolnej bazy (t 1,..., t n ) przestrzeni V wektory ϕ(t 1 ),..., ϕ(t n ) rozpinają podprzestrzeń ϕ(v ) = im ϕ, są także liniowo niezależne. Istotnie, jeżeli c 1 ϕ(t 1 )+...+c n ϕ(t n ) = θ, to z liniowości (stw. 9.2(2)) mamy, że ϕ(c 1 t c n t n ) = θ. Zatem z założenia o jądrze c 1 t c n t n = θ, co wraz z liniową niezależnością układu (t 1,..., t n ) daje zerowanie się współczynników c 1,..., c n i tym samym liniową niezależność układu (ϕ(t 1 ),..., ϕ(t n )). Ostatecznie w przypadku dim ker ϕ = 0 mamy dim im ϕ = n = n 0 = dim V dim ker ϕ Gdyby dim ker ϕ = n, to przestrzeń V miałaby bazę złożoną tylko z wektorów jądra, więc ϕ = Θ i dim im ϕ = 0. Załóżmy teraz, że dim ker ϕ = k, przy czym 0 < k < n (wn.8.15) i że A = (u 1,..., u k ) jest bazą podprzestrzeni ker ϕ. Zgodnie ze stw rozszerzamy ten układ do bazy B = (u 1,..., u k, v 1,..., v n k ) przestrzeni V. Wykażemy, że układ C = (ϕ(v 1 ),..., ϕ(v n )) jest bazą podprzestrzeni im ϕ. Przypuśćmy, że kombinacja liniowa układu C o współczynnikach a 1,..., a n k F jest wektorem zerowym. Wówczas z liniowości (stw. 9.2(2)) mamy, że wektor v = a 1 v a n k v n k ker ϕ. Istnieją więc skalary b 1,..., b k takie, że v = b 1 u b k u k. Wówczas jednak ( b 1 )u ( b k )u k + a 1 v a n k v n k = θ, co wraz liniową niezależnością układu B daje w szczególności a 1 =... = a n k = 0. Układ C jest zatem liniowo niezależny. Jeżeli w im ϕ, to istnieje v V takie, że w = ϕ(v). Wektor v jest kombinacją liniową bazy B, a z liniowości jego obraz w jest kombinacją liniową układu C, gdyż wektory z układu A jako wektory jądra przechodzą na wektor zerowy. Zatem im ϕ = lin (C ) i także w tym przypadku dim im ϕ = n k = dim V dim ker ϕ. 5

6 Stwierdzenie Jeżeli przestrzeni liniowe V i W są tego samego skończonego wymiaru, a ϕ : V W jest przekształceniem liniowym, to następujace warunki są równoważne: 1. ϕ jest izomorfizmem, 2. ϕ jest epimorfizmem, 3. ϕ jest monomorfizmem. Dowód: Implikacje (1) (2) i (1) (3) są oczywiste. Dla przestrzeni 0 wymiarowych równoważność jest oczywista. Załóżmy, że dim V = dim W = n N. (2) (1) Jeżeli ϕ jest epimorfizmem, to dim im ϕ = dim W, co wraz z założeniem i tw daje dim ker ϕ = 0, a więc zgodnie zze stw monomorficzność ϕ. (3) (1) Jeżeli ϕ jest monomorfizmem, to ze stw i tw mamy dim im ϕ = dim V = dim W. Zatem im ϕ jest podprzestrzenią liniową (stw. 9.11(2)) przestrzeni W tego samego wymiaru co przestrzeń W. Zgodnie więc z wn mamy im ϕ = W. Ostatecznie ϕ jako jednocześnie monomorfizm i epimorfizm jest izomorfizmem. Definicja Niech V i W będą przestrzeniami liniowymi nad ciałem F. Zbiór wszystkich przekształceń liniowych z przestrzeni V w przestrzeń W oznaczamy przez L(V ; W ) i nazywamy przestrzenią przekształceń liniowych z V w W. Zbiór V = L(V ; F ) wszystkich funkcjonałów liniowych określonych na V nazywamy przestrzenią dualną do V. Stwierdzenie Dla przestrzeni liniowych V i W nad ciałem F zbiór L(V ; W ), z działaniami dodawania przekształceń liniowych i mnożenia przekształcenia liniowego przez skalar danymi wzorami (ϕ + ψ)(v) = ϕ(v) + ψ(v), v V, dla ϕ, ψ L(V ; W ) (a ϕ)(v) = a ϕ(v), v V, dla ϕ L(V ; W ), a F, jest przestrzenią liniową nad ciałem F. Stwierdzenie Dla przestrzeni V i W skończonego wymiaru nad ciałem F zachodzi dim L(V ; W ) = dim V dim W. Jeżeli (v 1,..., v n ) i (w 1,..., w m ) są odpowiednio bazami V i W, to układ przekształceń liniowych (ϕ ij ) 1 i m,1 j n, określonych wzorami { wi dla k = j ϕ ij (v k ) = θ dla k j i = 1,..., m, j = 1,..., n, jest bazą przestrzeni L(V ; W ). Dowód: Przypuśćmy, że dla pewnych a ij F, i = 1,..., m, j = 1,..., n przekształcenie liniowe a ij ϕ ij (i,j) {1,...,m} {1,...,n} 6

7 jest przekształceniem zerowym Θ. Wówczas zgodnie z określeniem przekształceń ϕ ij otrzymujemy dla k = 1,..., n: θ = Θ(v k ) = a ik ϕ ik (v k ) = a ik w i. Liniowa niezależność układu (w 1,..., w m ) implikuje a 1k =... = a mk = 0, k = 1,..., n. Zatem układ (ϕ ij ) jest liniowo niezależny. Dla dowodu generowania L(V ; W ) przez ten układ weźmy dowolne ψ L(V ; W ) i określmy skalary b ij, i = 1,..., m, j = 1,..., n następująco: b ij jest i tą współrzędną wektora ψ(v j ) w bazie (w 1,..., w m ). Pokażemy, że ψ = (i,j) {1,...,m} {1,...,n} b ij ϕ ij. Zgodnie ze stw. 9.5 wystarczy pokazać równość tych przekształceń na wektorach bazy (v 1,..., v n ). Tak istotnie jest, gdyż przekształcenie określone przez prawą stronę równości na wektorze v k, k = 1,..., n, przyjmuje wartość b ik ϕ ik (v k ) = b ik w i = ψ(v k ). Wniosek Jeżeli przestrzeń V nad ciałem F ma skończony wymiar, to dim V = dim V. Jeżeli (v 1,..., v n ) jest bazą V, to układ funkcjonałów liniowych (vj ) 1 j n, określonych wzorami v j (v k ) = { 1 dla k = j 0 dla k j j = 1,..., n, jest bazą przestrzeni V. Dowód: Wystarczy w stw za bazę przestrzeni F nad ciałem F przyjąć układ (1). Uwaga 1. Wniosek 9.19 gwarantuje izomorficzność przestrzeni V i V, gdy dim V <. Izomorfizm określony wzorami v j v j, j = 1,... n nie jest jednak kanoniczny zależy od wyboru bazy w przestrzeni V. W przypadku nieskończonego wymiaru V V. Uwaga 2. Jeżeli dim V <, to przestrzeń V jest kanonicznie izomorficzna ze swoją przestrzenią bidualną V = (V ). Izomorfizm ten jest dany wzorem v (V ϕ ϕ(v) F ). 7

B jest liniowo niezależny V = lin (B) 1. Układ pusty jest bazą przestrzeni trywialnej {θ}. a i v i = i I. b i v i, (a i b i ) v i = θ.

B jest liniowo niezależny V = lin (B) 1. Układ pusty jest bazą przestrzeni trywialnej {θ}. a i v i = i I. b i v i, (a i b i ) v i = θ. 8 Baza i wymiar Definicja 8.1. Bazą przestrzeni liniowej nazywamy liniowo niezależny układ jej wektorów, który generuję tę przestrzeń. Innymi słowy, układ B = (v i ) i I wektorów z przestrzeni V jest bazą

Bardziej szczegółowo

ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ

ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ WSHE, O/K-CE 10. Homomorfizmy Definicja 1. Niech V, W będą dwiema przestrzeniami liniowymi nad ustalonym ciałem, odwzorowanie ϕ : V W nazywamy homomorfizmem

Bardziej szczegółowo

4 Przekształcenia liniowe

4 Przekształcenia liniowe MIMUW 4. Przekształcenia liniowe 16 4 Przekształcenia liniowe Obok przestrzeni liniowych, podstawowym obiektem algebry liniowej są przekształcenia liniowe. Rozpatrując przekształcenia liniowe między przestrzeniami

Bardziej szczegółowo

Wykład 5. Ker(f) = {v V ; f(v) = 0}

Wykład 5. Ker(f) = {v V ; f(v) = 0} Wykład 5 Niech f : V W będzie przekształceniem liniowym przestrzeni wektorowych Wtedy jądrem przekształcenia nazywamy zbiór tych elementów z V, których obrazem jest wektor zerowy w przestrzeni W Jądro

Bardziej szczegółowo

. : a 1,..., a n F. . a n Wówczas (F n, F, +, ) jest przestrzenią liniową, gdzie + oraz są działaniami zdefiniowanymi wzorami:

. : a 1,..., a n F. . a n Wówczas (F n, F, +, ) jest przestrzenią liniową, gdzie + oraz są działaniami zdefiniowanymi wzorami: 9 Wykład 9: Przestrzenie liniowe i podprzestrzenie Definicja 9 Niech F będzie ciałem Algebrę (V, F, +, ), gdzie V, + jest działaniem w zbiorze V zwanym dodawaniem wektorów, a jest działaniem zewnętrznym

Bardziej szczegółowo

Przestrzenie wektorowe

Przestrzenie wektorowe Rozdział 4 Przestrzenie wektorowe Rozważania dotyczące przestrzeni wektorowych rozpoczniemy od kilku prostych przykładów. Przykład 4.1. W przestrzeni R 3 = {(x, y, z) : x, y, z R} wprowadzamy dwa działania:

Bardziej szczegółowo

Baza w jądrze i baza obrazu ( )

Baza w jądrze i baza obrazu ( ) Przykład Baza w jądrze i baza obrazu (839) Znajdź bazy jądra i obrazu odwzorowania α : R 4 R 3, gdzie α(x, y, z, t) = (x + 2z + t, 2x + y 3z 5t, x y + z + 4t) () zór ten oznacza, że α jest odwzorowaniem

Bardziej szczegółowo

Algebra liniowa z geometrią

Algebra liniowa z geometrią Algebra liniowa z geometrią Maciej Czarnecki 15 stycznia 2013 Spis treści 1 Geometria płaszczyzny 2 1.1 Wektory i skalary........................... 2 1.2 Macierze, wyznaczniki, układy równań liniowych.........

Bardziej szczegółowo

Układy równań liniowych

Układy równań liniowych Układy równań liniowych Niech K będzie ciałem. Niech n, m N. Równanie liniowe nad ciałem K z niewiadomymi (lub zmiennymi) x 1, x 2,..., x n K definiujemy jako formę zdaniową zmiennej (x 1,..., x n ) K

Bardziej szczegółowo

13 Układy równań liniowych

13 Układy równań liniowych 13 Układy równań liniowych Definicja 13.1 Niech m, n N. Układem równań liniowych nad ciałem F m równaniach i n niewiadomych x 1, x 2,..., x n nazywamy koniunkcję równań postaci a 11 x 1 + a 12 x 2 +...

Bardziej szczegółowo

Przestrzenie liniowe

Przestrzenie liniowe Rozdział 4 Przestrzenie liniowe 4.1. Działania zewnętrzne Niech X oraz F będą dwoma zbiorami niepustymi. Dowolną funkcję D : F X X nazywamy działaniem zewnętrznym w zbiorze X nad zbiorem F. Przykład 4.1.

Bardziej szczegółowo

R n = {(x 1, x 2,..., x n ): x i R, i {1,2,...,n} },

R n = {(x 1, x 2,..., x n ): x i R, i {1,2,...,n} }, nazywa- Definicja 1. Przestrzenią liniową R n my zbiór wektorów R n = {(x 1, x 2,..., x n ): x i R, i {1,2,...,n} }, z określonymi działaniami dodawania wektorów i mnożenia wektorów przez liczby rzeczywiste.

Bardziej szczegółowo

φ(x 1,..., x n ) = a i x 2 i +

φ(x 1,..., x n ) = a i x 2 i + Teoria na egzamin z algebry liniowej Wszystkie podane pojęcia należy umieć określić i podać pprzykłady, ewentualnie kontrprzykłady. Ponadto należy znać dowody tam gdzie to jest zaznaczone. Liczby zespolone.

Bardziej szczegółowo

Kombinacje liniowe wektorów.

Kombinacje liniowe wektorów. Kombinacje liniowe wektorów Definicja: Niech V będzie przestrzenią liniową nad ciałem F, niech A V Zbiór wektorów A nazywamy liniowo niezależnym, jeżeli m N v,, v m A a,, a m F [a v + + a m v m = θ a =

Bardziej szczegółowo

Wykład 12 i 13 Macierz w postaci kanonicznej Jordana , 0 A 2

Wykład 12 i 13 Macierz w postaci kanonicznej Jordana , 0 A 2 Wykład 12 i 13 Macierz w postaci kanonicznej Jordana Niech A - macierz kwadratowa stopnia n Jak obliczyć np A 100? a 11 0 0 0 a 22 0 Jeśli A jest macierzą diagonalną tzn A =, to Ak = 0 0 a nn Niech B =

Bardziej szczegółowo

1 Podobieństwo macierzy

1 Podobieństwo macierzy GAL (Informatyka) Wykład - zagadnienie własne Wersja z dnia 6 lutego 2014 Paweł Bechler 1 Podobieństwo macierzy Definicja 1 Powiemy, że macierze A, B K n,n są podobne, jeżeli istnieje macierz nieosobliwa

Bardziej szczegółowo

1 Przestrzeń liniowa. α 1 x α k x k = 0

1 Przestrzeń liniowa. α 1 x α k x k = 0 Z43: Algebra liniowa Zagadnienie: przekształcenie liniowe, macierze, wyznaczniki Zadanie: przekształcenie liniowe, jądro i obraz, interpretacja geometryczna. Przestrzeń liniowa Już w starożytności człowiek

Bardziej szczegółowo

(6) Homomorfizm φ : P R nazywamy epimorfizmem kategoryjnym, jeśli dla każdego pierścienia. jeśli φ ψ 1 = φ ψ 2, to ψ 1 = ψ 2 ;

(6) Homomorfizm φ : P R nazywamy epimorfizmem kategoryjnym, jeśli dla każdego pierścienia. jeśli φ ψ 1 = φ ψ 2, to ψ 1 = ψ 2 ; 10. Wykład 10: Homomorfizmy pierścieni, ideały pierścieni. Ideały generowane przez zbiory. 10.1. Homomorfizmy pierścieni, ideały pierścieni. Definicja 10.1. Niech P, R będą pierścieniami. (1) Odwzorowanie

Bardziej szczegółowo

1. Zbadać liniową niezależność funkcji x, 1, x, x 2 w przestrzeni liniowej funkcji ciągłych na przedziale [ 1, ).

1. Zbadać liniową niezależność funkcji x, 1, x, x 2 w przestrzeni liniowej funkcji ciągłych na przedziale [ 1, ). B 2 Suma Zbadać, czy liniowo niezależne wektory u, v, w stanowią bazę przestrzeni liniowej lin { u + 2 v + w, u v + 2 w, 3 u + 5 w } 2 Współrzędne wektora (, 4, 5, 4 ) w pewnej bazie podprzestrzeni U R

Bardziej szczegółowo

Praca domowa - seria 6

Praca domowa - seria 6 Praca domowa - seria 6 28 grudnia 2012 Zadanie 1. Znajdź bazę jądra i obrazu przekształcenia liniowego φ : R 4 wzorem: R 3 danego φ(x 1, x 2, x 3, x 4 ) = (x 1 +2x 2 x 3 +3x 4, x 1 +x 2 +2x 3 +x 4, 2x

Bardziej szczegółowo

1 Pierścienie i ich homomorfizmy. Ideał, pierścień ilorazowy. Ideały pierwsze i maksymalne, dziedziny i ciała - definicje i przykłady

1 Pierścienie i ich homomorfizmy. Ideał, pierścień ilorazowy. Ideały pierwsze i maksymalne, dziedziny i ciała - definicje i przykłady Tekst ten jest dostępny na stronie http://www-usersmatumkpl/ cstefan/ W razie potrzeby tam będą znajdowały się ewentualne poprawki i uzupełnienia 1 Pierścienie i ich homomorfizmy Ideał, pierścień ilorazowy

Bardziej szczegółowo

Seria zadań z Algebry IIR nr kwietnia 2017 r. i V 2 = B 2, B 4 R, gdzie

Seria zadań z Algebry IIR nr kwietnia 2017 r. i V 2 = B 2, B 4 R, gdzie Seria zadań z Algebry IIR nr 29 kwietnia 207 r Notacja: We wszystkich poniższych zadaniach K jest ciałem, V wektorow a nad K zaś jest przestrzeni a Zadanie Niechaj V = K 4 [t] Określmy podprzestrzenie

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej

Wyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej Wyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej 1 Baza przestrzeni liniowej Niech V bedzie przestrzenia liniowa. Powiemy, że podzbiór X V jest maksymalnym zbiorem liniowo niezależnym, jeśli X jest zbiorem

Bardziej szczegółowo

Przekształcenia liniowe

Przekształcenia liniowe Przekształcenia liniowe Zadania Które z następujących przekształceń są liniowe? (a) T : R 2 R 2, T (x, x 2 ) = (2x, x x 2 ), (b) T : R 2 R 2, T (x, x 2 ) = (x + 3x 2, x 2 ), (c) T : R 2 R, T (x, x 2 )

Bardziej szczegółowo

1 Formy hermitowskie. GAL (Informatyka) Wykład - formy hermitowskie. Paweł Bechler

1 Formy hermitowskie. GAL (Informatyka) Wykład - formy hermitowskie. Paweł Bechler GAL (Informatyka) Wykład - formy hermitowskie Wersja z dnia 23 stycznia 2014 Paweł Bechler 1 Formy hermitowskie Niech X oznacza przestrzeń liniową nad ciałem K. Definicja 1. Funkcję φ : X X K nazywamy

Bardziej szczegółowo

Zadania z algebry liniowej - sem. I Przestrzenie liniowe, bazy, rząd macierzy

Zadania z algebry liniowej - sem. I Przestrzenie liniowe, bazy, rząd macierzy Zadania z algebry liniowej - sem I Przestrzenie liniowe bazy rząd macierzy Definicja 1 Niech (K + ) będzie ciałem (zwanym ciałem skalarów a jego elementy nazywać będziemy skalarami) Przestrzenią liniową

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 10 Przestrzeń przekszta lceń liniowych

Wyk lad 10 Przestrzeń przekszta lceń liniowych Wyk lad 10 Przestrzeń przekszta lceń liniowych 1 Określenie przestrzeni przekszta lceń liniowych Niech V i W bed a przestrzeniami liniowymi Oznaczmy przez L(V ; W ) zbór wszystkich przekszta lceń liniowych

Bardziej szczegółowo

Pokazać, że wyżej zdefiniowana struktura algebraiczna jest przestrzenią wektorową nad ciałem

Pokazać, że wyżej zdefiniowana struktura algebraiczna jest przestrzenią wektorową nad ciałem Zestaw zadań 9: Przestrzenie wektorowe. Podprzestrzenie () Wykazać, że V = C ze zwykłym dodawaniem jako dodawaniem wektorów i operacją mnożenia przez skalar : C C C, (z, v) z v := z v jest przestrzenią

Bardziej szczegółowo

Przestrzeń liniowa i przekształcenie liniowe

Przestrzeń liniowa i przekształcenie liniowe opracował Maciej Grzesiak Przestrzeń liniowa i przekształcenie liniowe W algebrze rozpatruje się zbiory abstrakcyjne Natura elementów zbioru się nie liczy Na elementach rozpatruje się działania spełniające

Bardziej szczegółowo

13. Cia la. Rozszerzenia cia l.

13. Cia la. Rozszerzenia cia l. 59 13. Cia la. Rozszerzenia cia l. Z rozważań poprzedniego paragrafu wynika, że jeżeli wielomian f o wspó lczynnikach w ciele K jest nierozk ladalny, to pierścień ilorazowy K[X]/(f) jest cia lem zawieraja

Bardziej szczegółowo

Zadania o transferze

Zadania o transferze Maria Donten, 5.12.2007 Zadania o transferze 1. Oznaczenia, założenia i przypomnienia Przez M i M będziemy oznaczać rozmaitości gładkie, przy czym M nakrywa M. Przyjmujemy, że gładkie odwzorowanie p :

Bardziej szczegółowo

14. Wykład 14: Grupa Galois wielomianu. Zasadnicze twierdzenia teorii Galois. Rozszerzenia rozwiązalne, cykliczne i abelowe

14. Wykład 14: Grupa Galois wielomianu. Zasadnicze twierdzenia teorii Galois. Rozszerzenia rozwiązalne, cykliczne i abelowe 14. Wykład 14: Grupa Galois wielomianu. Zasadnicze twierdzenia teorii Galois. Rozszerzenia rozwiązalne, cykliczne i abelowe. 14.1. Grupa Galois wielomianu. Definicja 14.1. Niech F będzie ciałem, niech

Bardziej szczegółowo

Zadania z Algebry liniowej 3 semestr zimowy 2008/2009

Zadania z Algebry liniowej 3 semestr zimowy 2008/2009 Zadania z Algebry liniowej 3 semestr zimowy 2008/2009 1. Niech V będzie przestrzenią wektorową nad ciałem K i niech 0 K oraz θ V będą elementem zerowym ciała K i wektorem zerowym przestrzeni V. Posługując

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 11 Przekszta lcenia liniowe a macierze

Wyk lad 11 Przekszta lcenia liniowe a macierze Wyk lad 11 Przekszta lcenia liniowe a macierze 1 Izomorfizm przestrzeni L(V ; W ) i M m n (R) Twierdzenie 111 Niech V i W bed a przestrzeniami liniowymi o bazach uporzadkowanych (α 1,, α n ) i (β 1,, β

Bardziej szczegółowo

Jak łatwo zauważyć, zbiór form symetrycznych (podobnie antysymetrycznych) stanowi podprzestrzeń przestrzeni L(V, V, K). Oznaczamy ją Sym(V ).

Jak łatwo zauważyć, zbiór form symetrycznych (podobnie antysymetrycznych) stanowi podprzestrzeń przestrzeni L(V, V, K). Oznaczamy ją Sym(V ). Odwzorowania n-liniowe; formy n-liniowe Definicja 1 Niech V 1,..., V n, U będą przestrzeniami liniowymi nad ciałem K. Odwzorowanie G: V 1 V n U nazywamy n-liniowym, jeśli dla każdego k [n] i wszelkich

Bardziej szczegółowo

Ciała skończone. 1. Ciała: podstawy

Ciała skończone. 1. Ciała: podstawy Ciała skończone 1. Ciała: podstawy Definicja 1. Każdy zbiór liczb, w którym są wykonalne wszystkie cztery działania z wyjątkiem dzielenia przez 0 i który zawiera więcej niż jedną liczbę, nazywamy ciałem

Bardziej szczegółowo

Algebra liniowa z geometrią 2

Algebra liniowa z geometrią 2 Algebra liniowa z geometrią 2 Maciej Czarnecki 23 maja 2013 Spis treści 5 Geometria płaszczyzny zespolonej 2 6 Macierze 3 6.1 Działania na macierzach....................... 3 6.2 Wyznacznik..............................

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 6 Podprzestrzenie przestrzeni liniowych

Wyk lad 6 Podprzestrzenie przestrzeni liniowych Wyk lad 6 Podprzestrzenie przestrzeni liniowych 1 Określenie podprzestrzeni Definicja 6.1. Niepusty podzbiór V 1 V nazywamy podprzestrzeni przestrzeni liniowej V, jeśli ma on nastepuj ace w lasności: (I)

Bardziej szczegółowo

PRZESTRZENIE WEKTOROWE.

PRZESTRZENIE WEKTOROWE. III-1 H. Toruńczyk, GAL I (jesień 09) III PRZESTRZENIE WEKTOROWE. Wstęp. Gdy badamy przekształcenie liniowe przestrzeni współrzędnych, napotykamy następującą poważną trudność. Obraz rozważanego przekształcenia

Bardziej szczegółowo

Zestaw zadań 14: Wektory i wartości własne. ) =

Zestaw zadań 14: Wektory i wartości własne. ) = Zestaw zadań 4: Wektory i wartości własne () Niech V = V V 2 będzie przestrzenią liniową nad ciałem K, w którym + 0 Znaleźć wszystkie podprzestrzenie niezmiennicze rzutu V na V wzdłuż V 2 oraz symetrii

Bardziej szczegółowo

Egzamin z logiki i teorii mnogości, rozwiązania zadań

Egzamin z logiki i teorii mnogości, rozwiązania zadań Egzamin z logiki i teorii mnogości, 08.02.2016 - rozwiązania zadań 1. Niech φ oraz ψ będą formami zdaniowymi. Czy formuła [( x : φ(x)) ( x : ψ(x))] [ x : (φ(x) ψ(x))] jest prawem rachunku kwantyfikatorów?

Bardziej szczegółowo

Rozwiązania, seria 5.

Rozwiązania, seria 5. Rozwiązania, seria 5. 26 listopada 2012 Zadanie 1. Zbadaj, dla jakich wartości parametru r R wektor (r, r, 1) lin{(2, r, r), (1, 2, 2)} R 3? Rozwiązanie. Załóżmy, że (r, r, 1) lin{(2, r, r), (1, 2, 2)}.

Bardziej szczegółowo

Grzegorz Bobiński. Wykład monograficzny Programowanie Liniowe i Całkowitoliczbowe

Grzegorz Bobiński. Wykład monograficzny Programowanie Liniowe i Całkowitoliczbowe Grzegorz Bobiński Wykład monograficzny Programowanie Liniowe i Całkowitoliczbowe Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu 2012 Spis treści Notacja 1 1 Podstawowe pojęcia

Bardziej szczegółowo

Iloczyn skalarny. Mirosław Sobolewski. Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW. 10. wykład z algebry liniowej Warszawa, grudzień 2013

Iloczyn skalarny. Mirosław Sobolewski. Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW. 10. wykład z algebry liniowej Warszawa, grudzień 2013 Iloczyn skalarny Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 10. wykład z algebry liniowej Warszawa, grudzień 2013 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, grudzień 2013 1 / 14 Standardowy

Bardziej szczegółowo

ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ. 1. Ciała

ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ. 1. Ciała ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ WSHE, O/K-CE 1. Ciała Definicja 1. Układ { ; 0, 1; +, } złożony ze zbioru, dwóch wyróżnionych elementów 0, 1 oraz dwóch działań +:, : nazywamy ciałem

Bardziej szczegółowo

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ LINIOWA NIEZALEŻNOŚĆ, ROZPINANIE I BAZY

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ LINIOWA NIEZALEŻNOŚĆ, ROZPINANIE I BAZY ALGEBRA Z GEOMETRIĄ 1/10 LINIOWA NIEZALEŻNOŚĆ, ROZPINANIE I BAZY Piotr M. Hajac Uniwersytet Warszawski Wykład 10, 11.12.2013 Typeset by Jakub Szczepanik. Geometryczne intuicje Dla pierścienia R = R mamy

Bardziej szczegółowo

Zbiory, relacje i funkcje

Zbiory, relacje i funkcje Zbiory, relacje i funkcje Zbiory będziemy zazwyczaj oznaczać dużymi literami A, B, C, X, Y, Z, natomiast elementy zbiorów zazwyczaj małymi. Podstawą zależność między elementem zbioru a zbiorem, czyli relację

Bardziej szczegółowo

Układy równań i nierówności liniowych

Układy równań i nierówności liniowych Układy równań i nierówności liniowych Wiesław Krakowiak 1 grudnia 2010 1 Układy równań liniowych DEFINICJA 11 Układem równań m liniowych o n niewiadomych X 1,, X n, nazywamy układ postaci: a 11 X 1 + +

Bardziej szczegółowo

Analiza Funkcjonalna - Zadania

Analiza Funkcjonalna - Zadania Analiza Funkcjonalna - Zadania 1 Wprowadzamy następujące oznaczenia. K oznacza ciało liczb rzeczywistych lub zespolonych. Jeżeli T jest dowolnym zbiorem niepustym, to l (T ) = {x : E K : x funkcja ograniczona}.

Bardziej szczegółowo

Sylabus do programu kształcenia obowiązującego od roku akademickiego 2012/13

Sylabus do programu kształcenia obowiązującego od roku akademickiego 2012/13 Sylabus do programu kształcenia obowiązującego od roku akademickiego 2012/13 (1) Nazwa Algebra liniowa z geometrią (2) Nazwa jednostki prowadzącej Instytut Matematyki przedmiot (3) Kod () Studia Kierunek

Bardziej szczegółowo

Przestrzenie liniowe

Przestrzenie liniowe Przestrzenie liniowe Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 2 wykład z algebry liniowej Warszawa, październik 2015 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesień 2015 1 / 10 Przestrzenie

Bardziej szczegółowo

1 Elementy logiki i teorii mnogości

1 Elementy logiki i teorii mnogości 1 Elementy logiki i teorii mnogości 11 Elementy logiki Notatki do wykładu Definicja Zdaniem logicznym nazywamy zdanie oznajmujące, któremu przysługuje jedna z dwu logicznych ocen prawda (1) albo fałsz

Bardziej szczegółowo

= b i M i [x], gdy charf = p, to a i jest pierwiastkiem wielomianu x n i

= b i M i [x], gdy charf = p, to a i jest pierwiastkiem wielomianu x n i 15. Wykład 15: Rozszerzenia pierwiastnikowe. Elementy wyrażające się przez pierwiastniki. Rozwiązalność równań przez pierwiastniki. Równania o dowolnych współczynnikach. 15.1. Rozszerzenia pierwiastnikowe.

Bardziej szczegółowo

1 Określenie pierścienia

1 Określenie pierścienia 1 Określenie pierścienia Definicja 1. Niech P będzie zbiorem, w którym określone są działania +, (dodawanie i mnożenie). Mówimy, że struktura (P, +, ) jest pierścieniem, jeżeli spełnione są następujące

Bardziej szczegółowo

Treść wykładu. Układy równań i ich macierze. Rząd macierzy. Twierdzenie Kroneckera-Capellego.

Treść wykładu. Układy równań i ich macierze. Rząd macierzy. Twierdzenie Kroneckera-Capellego. . Metoda eliminacji. Treść wykładu i ich macierze... . Metoda eliminacji. Ogólna postać układu Układ m równań liniowych o n niewiadomych x 1, x 2,..., x n : a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21

Bardziej szczegółowo

... [a n,b n ] kn [M 1,M 2 ], gdzie a i M 1, b i M 2, dla i {1,..., n}. Wówczas: [a 1,b 1 ] k 1. ... [a n,b n ] kn =(a 1 b 1 a 1

... [a n,b n ] kn [M 1,M 2 ], gdzie a i M 1, b i M 2, dla i {1,..., n}. Wówczas: [a 1,b 1 ] k 1. ... [a n,b n ] kn =(a 1 b 1 a 1 4. Wykład 4: Grupy rozwiązalne i nilpotentne. Definicja 4.1. Niech (G, ) będzie grupą. Wówczas (1) ciąg podgrup grupy G zdefiniowany indukcyjnie wzorami G (0) = G, G (i) =[G (i 1),G (i 1) ], dla i N nazywamy

Bardziej szczegółowo

Rozdzia l 1. Przestrzenie wektorowe

Rozdzia l 1. Przestrzenie wektorowe Rozdzia l 1 Przestrzenie wektorowe Materiał tego rozdziału jest, z jednej strony, trudny, bo operuje pojęciami abstrakcyjnymi, a zdrugiej strony łatwy, nie zawiera w sobie istotnych problemów technicznych,

Bardziej szczegółowo

Struktury formalne, czyli elementy Teorii Modeli

Struktury formalne, czyli elementy Teorii Modeli Struktury formalne, czyli elementy Teorii Modeli Szymon Wróbel, notatki z wykładu dra Szymona Żeberskiego semestr zimowy 2016/17 1 Język 1.1 Sygnatura językowa Sygnatura językowa: L = ({f i } i I, {P j

Bardziej szczegółowo

Zadania z analizy i algebry. (wykład prof.prof. J. Wojtkiewicza i K. Napiórkowskiego) ALGEBRA, przestrzenie wektorowe

Zadania z analizy i algebry. (wykład prof.prof. J. Wojtkiewicza i K. Napiórkowskiego) ALGEBRA, przestrzenie wektorowe Zadania z analizy i algebry. (wykład prof.prof. J. Wojtkiewicza i K. Napiórkowskiego) ALGEBRA, przestrzenie wektorowe Zadanie Zbadać czy wektor v mażna przedstawić jako kombinację liniową wektorów e i

Bardziej szczegółowo

Zadania przygotowawcze, 3 kolokwium

Zadania przygotowawcze, 3 kolokwium Zadania przygotowawcze, 3 kolokwium Mirosław Sobolewski 8 grudnia. Niech φ t : R 3 R 3 bedzie endomorfizmem określonym wzorem φ t ((x, x, )) (x +, tx + x, x + ), gdzie parametr t R. a) Zbadać dla jakiej

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenia 1 - Pojęcie grupy i rzędu elementu

Ćwiczenia 1 - Pojęcie grupy i rzędu elementu Algebra 1 Ćwiczenia 1 - Pojęcie grupy i rzędu elementu Definicje i podstawowe własności Definicja 1. Niech X będzie niepustym zbiorem. Działaniem w zbiorze X nazywamy dowolne odwzorowanie (funkcję) działające

Bardziej szczegółowo

Algebra Liniowa 2 (INF, TIN), MAP1152 Lista zadań

Algebra Liniowa 2 (INF, TIN), MAP1152 Lista zadań Algebra Liniowa 2 (INF, TIN), MAP1152 Lista zadań Przekształcenia liniowe, diagonalizacja macierzy 1. Podano współrzędne wektora v w bazie B. Znaleźć współrzędne tego wektora w bazie B, gdy: a) v = (1,

Bardziej szczegółowo

wszystkich kombinacji liniowych wektorów układu, nazywa się powłoką liniową uk ładu wektorów

wszystkich kombinacji liniowych wektorów układu, nazywa się powłoką liniową uk ładu wektorów KOINACJA LINIOWA UKŁADU WEKTORÓW Definicja 1 Niech będzie przestrzenią liniową (wektorową) nad,,,, układem wektorów z przestrzeni, a,, współczynnikami ze zbioru (skalarami). Wektor, nazywamy kombinacją

Bardziej szczegółowo

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ BAZY PRZESTRZENI WEKTOROWYCH

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ BAZY PRZESTRZENI WEKTOROWYCH ALGEBRA Z GEOMETRIĄ 1/10 BAZY PRZESTRZENI WEKTOROWYCH Piotr M. Hajac Uniwersytet Warszawski Wykład 11, 18.12.2013 Typeset by Jakub Szczepanik. Istnienie bazy Tak jak wśród wszystkich pierścieni wyróżniamy

Bardziej szczegółowo

Topologia Algebraiczna 2 Zadania egzaminacyjne

Topologia Algebraiczna 2 Zadania egzaminacyjne Topologia Algebraiczna 2 Zadania egzaminacyjne Agnieszka Bojanowska, Stefan Jackowski 9 czerwca 2013 1 Kompleksy łańcuchowe Zad. 1. Niech I będzie odcinkiem w kategorii kompleksów łańcuchowych, czyli kompleksem

Bardziej szczegółowo

Algebra liniowa 4 Endomorfizmy przestrzeni euklidesowych i unitarnych

Algebra liniowa 4 Endomorfizmy przestrzeni euklidesowych i unitarnych Algebra liniowa 4 Endomorfizmy przestrzeni euklidesowych i unitarnych Wykład monograficzny 2009 Kazimierz Szymiczek 12.06.2009 Spis treści Przedmowa iii 1 Endomorfizmy przestrzeni wektorowych 1 1.1 Podstawowe

Bardziej szczegółowo

Relacje. opracował Maciej Grzesiak. 17 października 2011

Relacje. opracował Maciej Grzesiak. 17 października 2011 Relacje opracował Maciej Grzesiak 17 października 2011 1 Podstawowe definicje Niech dany będzie zbiór X. X n oznacza n-tą potęgę kartezjańską zbioru X, tzn zbiór X X X = {(x 1, x 2,..., x n ) : x k X dla

Bardziej szczegółowo

Endomorfizmy liniowe

Endomorfizmy liniowe Endomorfizmy liniowe Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 8. wykład z algebry liniowej Warszawa, listopad 2011 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, listopad 2011 1 / 16 Endomorfizmy

Bardziej szczegółowo

ALGEBRA LINIOWA 2. Lista zadań 2003/2004. Opracowanie : dr Teresa Jurlewicz, dr Zbigniew Skoczylas

ALGEBRA LINIOWA 2. Lista zadań 2003/2004. Opracowanie : dr Teresa Jurlewicz, dr Zbigniew Skoczylas ALGEBRA LINIOWA 2 Lista zadań 23/24 Opracowanie : dr Teresa Jurlewicz dr Zbigniew Skoczylas Lista pierwsza Zadanie Uzasadnić z definicji że zbiór wszystkich rzeczywistych macierzy trójkątnych górnych stopnia

Bardziej szczegółowo

Programowanie liniowe

Programowanie liniowe Programowanie liniowe Maciej Drwal maciej.drwal@pwr.wroc.pl 1 Problem programowania liniowego min x c T x (1) Ax b, (2) x 0. (3) gdzie A R m n, c R n, b R m. Oznaczmy przez x rozwiązanie optymalne, tzn.

Bardziej szczegółowo

Algebra liniowa nad pierścieniami

Algebra liniowa nad pierścieniami Algebra liniowa nad pierścieniami Wykład monograficzny Kazimierz Szymiczek Przedmowa Linear algebra, like motherhood, has become a sacred cow. Irving Kaplansky Niniejszy skrypt jest zapisem wykładu monograficznego

Bardziej szczegółowo

A,B M! v V ; A + v = B, (1.3) AB = v. (1.4)

A,B M! v V ; A + v = B, (1.3) AB = v. (1.4) Rozdział 1 Prosta i płaszczyzna 1.1 Przestrzeń afiniczna Przestrzeń afiniczna to matematyczny model przestrzeni jednorodnej, bez wyróżnionego punktu. Można w niej przesuwać punkty równolegle do zadanego

Bardziej szczegółowo

Algebra II Wykład 1. Definicja. Element a pierścienia R nazywamy odwracalnym, jeśli istnieje element b R taki, że ab = 1.

Algebra II Wykład 1. Definicja. Element a pierścienia R nazywamy odwracalnym, jeśli istnieje element b R taki, że ab = 1. Algebra II Wykład 1 0. Przypomnienie Zbiór R z działaniami +, : R R R, wyróżnionymi elementami 0, 1 R i operacją : R R nazywamy pierścieniem, jeśli spełnione są następujące warunki: (1) a, b, c R : a +

Bardziej szczegółowo

Dystrybucje, wiadomości wstępne (I)

Dystrybucje, wiadomości wstępne (I) Temat 8 Dystrybucje, wiadomości wstępne (I) Wielkości fizyczne opisujemy najczęściej przyporządkowując im funkcje (np. zależne od czasu). Inną drogą opisu tych wielkości jest przyporządkowanie im funkcjonałów

Bardziej szczegółowo

GAL. J. Chaber, R.Pol. Wydział MIM UW

GAL. J. Chaber, R.Pol. Wydział MIM UW GAL J. Chaber, R.Pol Wydział MIM UW wrzesień 2015 Wstęp Materiały do zajęć z GAL-u są oparte na naszym wieloletnim doświadczeniu w prowadzeniu tych zajęć na Wydziale MIM UW i są dostosowane do obecnego

Bardziej szczegółowo

Sylabus do programu kształcenia obowiązującego od roku akademickiego 2014/15

Sylabus do programu kształcenia obowiązującego od roku akademickiego 2014/15 Sylabus do programu kształcenia obowiązującego od roku akademickiego 2014/15 Nazwa Algebra liniowa z geometrią Nazwa jednostki prowadzącej Wydział Matematyczno - Przyrodniczy przedmiot Kod Studia Kierunek

Bardziej szczegółowo

Przekształcenia liniowe

Przekształcenia liniowe Przekształcenia liniowe Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 4. wykład z algebry liniowej Warszawa, październik 2010 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesień 2006 1 / 7

Bardziej szczegółowo

2. Definicja pochodnej w R n

2. Definicja pochodnej w R n 2. Definicja pochodnej w R n Niech będzie dana funkcja f : U R określona na zbiorze otwartym U R n. Pochodną kierunkową w punkcie a U w kierunku wektora u R n nazywamy granicę u f(a) = lim t 0 f(a + tu)

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna

Matematyka dyskretna Matematyka dyskretna Wykład 6: Ciała skończone i kongruencje Gniewomir Sarbicki 24 lutego 2015 Relacja przystawania Definicja: Mówimy, że liczby a, b Z przystają modulo m (co oznaczamy jako a = b (mod

Bardziej szczegółowo

Skończone rozszerzenia ciał

Skończone rozszerzenia ciał Skończone rozszerzenia ciał Notkę tę rozpoczniemy od definicji i prostych własności wielomianu minimalnego, następnie wprowadzimy pojecie rozszerzenia pojedynczego o element algebraiczny, udowodnimy twierdzenie

Bardziej szczegółowo

Matematyka z el. statystyki, # 1 /Geodezja i kartografia I/

Matematyka z el. statystyki, # 1 /Geodezja i kartografia I/ Matematyka z el. statystyki, # 1 /Geodezja i kartografia I/ dr n. mat. Zdzisław Otachel Uniwersytet Przyrodniczy w Lublinie Katedra Zastosowań Matematyki i Informatyki ul. Akademicka 15, p.211a, bud. Agro

Bardziej szczegółowo

Wektory i wartości własne

Wektory i wartości własne Treść wykładu Podprzestrzenie niezmiennicze Podprzestrzenie niezmiennicze... Twierdzenie Cayley Hamiltona Podprzestrzenie niezmiennicze Definicja Niech f : V V będzie przekształceniem liniowym. Podprzestrzeń

Bardziej szczegółowo

Zadanie 2. Obliczyć rangę dowolnego elementu zbioru uporządkowanego N 0 N 0, gdy porządek jest zdefiniowany następująco: (a, b) (c, d) (a c b d)

Zadanie 2. Obliczyć rangę dowolnego elementu zbioru uporządkowanego N 0 N 0, gdy porządek jest zdefiniowany następująco: (a, b) (c, d) (a c b d) Matemaryka dyskretna - zadania Zadanie 1. Opisać zbiór wszystkich elementów rangi k zbioru uporządkowanego X dla każdej liczby naturalnej k, gdy X jest rodziną podzbiorów zbioru skończonego Y. Elementem

Bardziej szczegółowo

Diagonalizacja macierzy i jej zastosowania

Diagonalizacja macierzy i jej zastosowania Diagonalizacja macierzy i jej zastosowania Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 9. wykład z algebry liniowej Warszawa, grudzień 2011 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, grudzień

Bardziej szczegółowo

Notatki do wykładu Geometria Różniczkowa I

Notatki do wykładu Geometria Różniczkowa I Notatki do wykładu Geometria Różniczkowa I Katarzyna Grabowska, KMMF 22 października 2013 1 Przestrzeń styczna i kostyczna c.d. Pora na podsumowanie: Zdefiniowaliśmy przestrzeń styczną do przestrzeni afinicznej

Bardziej szczegółowo

GAL. zestawy do prac domowych z rozwiązaniami semestr zimowy 2011/2012. Wydział MIM UW

GAL. zestawy do prac domowych z rozwiązaniami semestr zimowy 2011/2012. Wydział MIM UW GAL zestawy do prac domowych z rozwiązaniami semestr zimowy / Wydział MIM UW wersja z października Spis treści Układy równań Liczby zespolone 7 Przestrzenie liniowe, kombinacje liniowe Podprzestrzenie

Bardziej szczegółowo

cx cx 1,cx 2,cx 3,...,cx n. Przykład 4, 5

cx cx 1,cx 2,cx 3,...,cx n. Przykład 4, 5 Matematyka ZLic - 07 Wektory i macierze Wektorem rzeczywistym n-wymiarowym x x 1, x 2,,x n nazwiemy ciąg n liczb rzeczywistych (tzn odwzorowanie 1, 2,,n R) Zbiór wszystkich rzeczywistych n-wymiarowych

Bardziej szczegółowo

Wektor, prosta, płaszczyzna; liniowa niezależność, rząd macierzy

Wektor, prosta, płaszczyzna; liniowa niezależność, rząd macierzy Wektor, prosta, płaszczyzna; liniowa niezależność, rząd macierzy Justyna Winnicka Na podstawie podręcznika Matematyka. e-book M. Dędys, S. Dorosiewicza, M. Ekes, J. Kłopotowskiego. rok akademicki 217/218

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna

Matematyka dyskretna Matematyka dyskretna Wykład 6: Ciała skończone i kongruencje Gniewomir Sarbicki 2 marca 2017 Relacja przystawania Definicja: Mówimy, że liczby a, b Z przystają modulo m (co oznaczamy jako a = b (mod m)),

Bardziej szczegółowo

POSTULATY MECHANIKI KWANTOWEJ cd i formalizm matematyczny

POSTULATY MECHANIKI KWANTOWEJ cd i formalizm matematyczny POSTULATY MECHANIKI KWANTOWEJ cd i formalizm matematyczny Funkcja Falowa Postulat 1 Dla każdego układu istnieje funkcja falowa (funkcja współrzędnych i czasu), która jest ciągła, całkowalna w kwadracie,

Bardziej szczegółowo

domykanie relacji, relacja równoważności, rozkłady zbiorów

domykanie relacji, relacja równoważności, rozkłady zbiorów 1 of 8 2012-03-28 17:45 Logika i teoria mnogości/wykład 5: Para uporządkowana iloczyn kartezjański relacje domykanie relacji relacja równoważności rozkłady zbiorów From Studia Informatyczne < Logika i

Bardziej szczegółowo

F t+ := s>t. F s = F t.

F t+ := s>t. F s = F t. M. Beśka, Całka Stochastyczna, wykład 1 1 1 Wiadomości wstępne 1.1 Przestrzeń probabilistyczna z filtracją Niech (Ω, F, P ) będzie ustaloną przestrzenią probabilistyczną i niech F = {F t } t 0 będzie rodziną

Bardziej szczegółowo

Zestaw zadań 5: Sumy i sumy proste podprzestrzeni. Baza i wymiar. Rzędy macierzy. Struktura zbioru rozwiązań układu równań.

Zestaw zadań 5: Sumy i sumy proste podprzestrzeni. Baza i wymiar. Rzędy macierzy. Struktura zbioru rozwiązań układu równań. Zestaw zadań : Sumy i sumy proste podprzestrzeni Baza i wymiar Rzędy macierzy Struktura zbioru rozwiązań układu równań () Pokazać, że jeśli U = lin(α, α,, α k ), U = lin(β, β,, β l ), to U + U = lin(α,

Bardziej szczegółowo

Teoria ciała stałego Cz. I

Teoria ciała stałego Cz. I Teoria ciała stałego Cz. I 1. Elementy teorii grup Grupy symetrii def. Grupy Zbiór (skończony lub nieskończony) elementów {g} tworzy grupę gdy: - zdefiniowana operacja mnożenia (złożenia) g 1 g 2 = g 3

Bardziej szczegółowo

Przestrzenie liniowe

Przestrzenie liniowe ALGEBRA LINIOWA 2 Wydział Mechaniczny / AIR, MTR Semestr letni 2009/2010 Prowadzący: dr Teresa Jurlewicz Przestrzenie liniowe Uwaga. W nawiasach kwadratowych podane są numery zadań znajdujących się w podręczniku

Bardziej szczegółowo

Algorytm Euklidesa. ZADANIE 1. Oblicz korzystając z algorytmu Euklidesa: (a) NWD(120, 195), (b) NWD(80, 208), (c) NWD(36, 60, 90),

Algorytm Euklidesa. ZADANIE 1. Oblicz korzystając z algorytmu Euklidesa: (a) NWD(120, 195), (b) NWD(80, 208), (c) NWD(36, 60, 90), Algorytm Euklidesa ZADANIE 1. Oblicz korzystając z algorytmu Euklidesa: (a) NWD(120, 195), (b) NWD(80, 208), (c) NWD(36, 60, 90), (d) NWD(120, 168, 280), (e) NWD(30, 42, 70, 105), (f) NWW[120, 195], (g)

Bardziej szczegółowo

PRZESTRZENIE z ILOCZYNEM SKALARNYM

PRZESTRZENIE z ILOCZYNEM SKALARNYM V-1 H. Toruńczyk, GAL II (wiosna 2012) Używane oznaczenia: Znak dopuszcza równość zbiorów; piszę gdy ją wykluczam. F ciało skalarów rozważanej przestrzeni wektorowej (=liniowej). V, W, E, B bazy uporządkowane

Bardziej szczegółowo

1 Rząd macierzy. 2 Liniowa niezależność. Algebra liniowa. V. Rząd macierzy. Baza podprzestrzeni wektorowej

1 Rząd macierzy. 2 Liniowa niezależność. Algebra liniowa. V. Rząd macierzy. Baza podprzestrzeni wektorowej 1 Rząd macierzy Rozpatrzmy równanie jednorodne Ax = 0, gdzie A M(n, k). Wiemy, że posiada ono rozwiązanie. Jednakże wymiar macierzy A, a tym samym liczba równań w odpowiadającym jej układzie równań liniowych

Bardziej szczegółowo

Lista. Algebra z Geometrią Analityczną. Zadanie 1 Zapisz za pomocą spójników logicznych i kwantyfikatorów: x jest większe niż 6 lub mniejsze niż 4

Lista. Algebra z Geometrią Analityczną. Zadanie 1 Zapisz za pomocą spójników logicznych i kwantyfikatorów: x jest większe niż 6 lub mniejsze niż 4 Lista Algebra z Geometrią Analityczną Zadanie 1 Zapisz za pomocą spójników logicznych i kwantyfikatorów: x jest większe niż 6 lub mniejsze niż 4 jeżeli x jest podzielne przez 4 to jest podzielne przez

Bardziej szczegółowo

Przekształcenia liniowe

Przekształcenia liniowe ALGEBRA LINIOWA 2 Wydział Mechaniczny / AIR, MTR Semestr letni 2009/2010 Prowadzący: dr Teresa Jurlewicz Przekształcenia liniowe Uwaga. W nawiasach kwadratowych podane są numery zadań znajdujących się

Bardziej szczegółowo