9 Przekształcenia liniowe
|
|
- Katarzyna Angelika Janiszewska
- 7 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 9 Przekształcenia liniowe Definicja 9.1. Niech V oraz W będą przestrzeniami liniowymi nad tym samym ciałem F. Przekształceniem liniowym nazywamy funkcję ϕ : V W spełniającą warunek (LM) v1,v 2 V a1,a 2 F ϕ(a 1 v 1 + a 2 v 2 ) = a 1 ϕ(v 1 ) + a 2 ϕ(v 2 ) Przekształcenie liniowe ϕ : V W nazywamy: monomorfizmem, gdy ϕ jest różnowartościowe, epimorfizmem, gdy ϕ jest przekształceniem na, izomorfizmem, gdy ϕ jest bijekcją, endomorfizmem, gdy V = W. Stwierdzenie 9.2. Jeżeli V i W są przestrzeniami liniowymi nad ciałem F oraz ϕ jest funkcją z V do W, to następujące warunki są równoważne: 1. ϕ jest przekształceniem liniowym, 2. ϕ zachowuje dowolna kombinację liniową, to znaczy dla dowolnej kombinacji liniowej a i v i wektorów z przestrzeni V spełniony jest warunek ϕ a i v i = a i ϕ(v i ), 3. ϕ spełnia warunki (LM1) v1,v 2 V ϕ(v 1 + v 2 ) = ϕ(v 1 ) + ϕ(v 2 ) (addytywność) (LM2) v V a F ϕ(a v) = a ϕ(v) (jednorodność). Dowód: Wynikanie (2) (1) jest oczywiste. Dowód implikacji odwrotnej dla skończonego układu (v i ) jest indukcyjny i korzysta z łączności dodawania wektorów. Jeżeli układ (v i ) jest nieskończony, to jego kombinacja liniowa o współczynnikach (a i ) ma tylko skończoną liczbę współczynników różnych od 0; niech będą to a i1,..., a in. Wówczas dzięki zachowywaniu skończonej kombinacji liniowej otrzymujemy ϕ a i v i = ϕ (a i1 v i a in v in ) = a i1 ϕ (v i1 ) a in ϕ (v in ) = a i ϕ(v i ). Implikację (1) (3) otrzymujemy podstawiając a 1 = a 2 = 1 i korzystając z (V8) dla (LM1) oraz podstawiając a 1 = a, a 2 = 0, v 1 = v i korzystając ze stw. 5.4(1). Dowód implikacji (3) (1) polega na użyciu warunku (LM1), a następnie dwukrotnie warunku (LM2): ϕ(a 1 v 1 + a 2 v 2 ) = ϕ(a 1 v 1 ) + ϕ(a 2 v 2 ) = a 1 ϕ(v 1 ) + a 2 ϕ(v 2 ). 1
2 Stwierdzenie 9.3. Jeżeli ϕ : V W jest przekształceniem liniowym, to 1. ϕ(θ V ) = θ W, 2. v V ϕ(v) = ϕ(v). Dowód: 1. Wystarczy przyjąć w warunku (LM1) v 1 = v 2 = θ V i skorzystać z prawa skreśleń (stw. 2.7). 2. Biorąc w warunku (LM1) v 1 = v, v 2 = v i korzystając z (1) dostajemy ϕ( v) + ϕ(v) = θ. Przykład Przekształcenie zerowe Θ przypisujące każdemu wektorowi z V wektor zerowy z przestrzeni W jest przekształceniem liniowym. 2. Przekształcenie tożsamościowe id V jest liniowe. 3. Przekształcenie liniowe V F nazywamy funkcjonałem liniowym. 4. Pochodna jako przekształcenie C 1 (I) C(I), jako funkcjonał f f(x 0 ), a także jako przekształcenie wielomianów R[x] n R[x] n jest przekształceniem liniowym. 5. Przekształceniem liniowym C(I) R jest całka oznaczona po przedziale I. 6. Jeżeli V 1 i V 2 są przestrzeniami liniowymi. Funkcja π 1 : V 1 V 2 V 1 dana wzorem π 1 (v 1, v 2 ) = v 1 dla (v 1, v 2 ) V 1 V 2 (rzut na pierwszy składnik iloczynu kartezjańskiego) jest przekształceniem liniowym. Stwierdzenie 9.5. Przekształcenie liniowego jest jednoznacznie określone przez swoje wartości na bazie (dziedziny tego przekształcenia). Dowód: Niech ϕ : V W będzie przekształceniem liniowym, a (v i ) bazą przestrzeni V. Niech ϕ(v i ) = w i dla i I. Dowolny wektor z V jest kombinacją liniową wektorów (v i ), skąd na mocy stw. 9.2(2) otrzymujemy wzór przekształcenia ϕ ϕ a i v i = a i w i. Gdyby przekształcenie liniowe ψ : V W spełniało również warunki ψ(v i ) = w i dla i I, to dla dowolnego wektora z V mamy ze stw. 9.2(2) i powyższego ψ a i v i = a i w i = ϕ a i v i czyli ψ = ϕ. Stwierdzenie 9.6. liniowym. 1. Złożenie przekształceń liniowych jest przekształceniem 2
3 2. Złożenie izomorfizmów jest izomorfizmem. 3. Funkcja odwrotna do izomorfizmu jest izomorfizmem. Dowód: 1. Jeżeli ϕ : V W oraz ψ : U V są przekształceniami liniowymi, to dla u 1, u 2 U oraz a 1, a 2 F mamy (ϕ ψ)(a 1 u 1 + a 2 u 2 ) = (ϕ(ψ(a 1 u 1 + a 2 u 2 )) (LM) = ϕ(a 1 ψ(u 1 ) + a 2 ψ(u 2 )) (LM) = a 1 ϕ(ψ(u 1 )) + a 2 ϕ(ψ(u 2 )) = a 1 (ϕ ψ)(u 1 ) + a 2 (ϕ ψ)(u 2 ), zatem funkcja ϕ ψ jest przekształceniem liniowym. 2. wynika z (1) i faktu, że złożenie bijekcji jest bijekcją. 3. Niech ϕ 1 będzie funkcją odwrotną do izomorfizmu ϕ : V W. Funkcja taka istnieje i jest bijekcją, bo ϕ jest bijekcją. Jeżeli w 1, w 2 W, to istnieją takie v 1, v 2 V, że w 1 = ϕ(v 1 ) oraz w 2 = ϕ(v 2 ). Zatem dla a 1, a 2 F otrzymujemy, że ϕ 1 (a 1 w 1 + a 2 w 2 ) = ϕ 1 (a 1 ϕ(v 1 ) + a 2 ϕ(v 2 )) czyli ϕ 1 jest izomorfizmem. (LM) = ϕ 1 (ϕ(a 1 v 1 + a 2 v 2 )) = a 1 v 1 + a 2 v 2 = a 1 ϕ 1 (w 1 ) + a 2 ϕ 1 (w 2 ), Definicja 9.7. Mówimy, że przestrzeń liniowa V jest izomorficzna z przestrzenią liniową W i piszemy V W, gdy istnieje izomorfizm przestrzeni V na przestrzeń W. Wniosek 9.8. Relacja izomorficzności przestrzeni liniowych jest relacją równoważności Dowód: Ponieważ id V jest izomorfizmem, więc relacja jest zwrotna. Symetria wynika z punktu (3), a przechodniość z punktu (2) stw Twierdzenie 9.9. Każde dwie przestrzenie liniowe tego samego wymiaru skończonego nad tym samym ciałem są izomorficzne. Dowód: Dowolna przestrzeń zerowymiarowa jest jednoelementowa, więc teza dla wymiaru 0 jest oczywista. Zgodnie z wnioskiem 9.8 wystarczy pokazać, że dowolna przestrzeń liniowa wymiaru n N nad ciałem F jest izomorficzna z F n. Niech B = (v 1,..., v n ) będzie bazą przestrzeni V. Określmy funkcję Φ : V F n wzorem Φ(v) = C B (v) dla v V 3
4 (wektorowi v przypisujemy jego współrzędne w bazie B). Funkcja Φ jest różnowartościowa, bo jeżeli wektory v, v V mają te same współrzędne w bazie B, to są równe. Surjektywność funkcji Φ wynika z faktu, że dla dowolnego wektora x = (x 1,..., x n ) F n wektor x 1 v x n v n V jest przekształcany za pomocą Φ na x. Liniowość Φ wykażemy bezpośrednim rachunkiem. Niech v = a 1 v a n v n V, v = a 1v a nv n V oraz a, a F. Wówczas C B (v) = (a 1,..., a n ) oraz C B (v ) = (a 1,..., a n) i w konsekwencji Φ(av + a v ) = Φ ((aa 1 + a a 1)v (aa n + a a n)v n ) = (aa 1 + a a 1,..., aa n + a a n) = a(a 1,..., a n ) + a (a 1,..., a n) = ac B (v) + a C B (v ) = aφ(v) + a Φ(v ). Definicja Dla danego przekształcenia liniowego ϕ : V W zbiór ker ϕ = ϕ 1 ({θ W }) = {v V ; ϕ(v) = θ W } nazywamy jądrem przekształcenia ϕ, a zbiór obrazem przekształcenia ϕ. im ϕ = ϕ (V ) = {w W ; v V ϕ(v) = w} Stwierdzenie Jeżeli ϕ : V W jest przekształceniem liniowym, to 1. ker ϕ jest podprzestrzenią liniową przestrzeni V, 2. im ϕ jest podprzestrzenią liniową przestrzeni W. Dowód: 1. Jeżeli v 1, v 2 ker ϕ oraz a 1, a 2 F, to z warunku (LM) wynika, że ϕ(a 1 v 1 + a 2 v 2 ) = a 1 ϕ(v 1 ) + a 2 ϕ(v 2 ) = a 1 θ + a 2 θ = θ, czyli a 1 v 1 + a 2 v 2 ker ϕ. 2. Jeżeli w 1, w 2 im ϕ oraz a 1, a 2 F, to istnieją takie v 1, v 2 V, że w 1 = ϕ(v 1 ), w 2 = ϕ(v 2 ). Wówczas na mocy warunku (LM) mamy, że a 1 w 1 + a 2 w 2 = a 1 ϕ(v 1 ) + a 2 ϕ(v 2 ) = ϕ(a 1 v 1 + a 2 v 2 ), skąd a 1 w 1 + a 2 w 2 im ϕ. Przykład Przekształcenie zerowe Θ : V W ma jądro będące całą przestrzenią V, a obrazem ϕ jest {θ W }. 2. ker id V = {θ}, im id V = V. 3. Rozpatrując pochodną wielomianów : R[x] n R[x] n otrzymujemy, że jej jądrem jest zbiór wielomianów stałych R[x] 0, a obrazem przestrzeń R[x] n 1 4
5 Stwierdzenie Przekształcenie liniowe ϕ jest monomorfizmem wtedy i tylko wtedy, gdy ker ϕ = {θ}. Dowód: ) Jeżeli ϕ jest monomorfizmem, to z różnowartościowości i stw. 9.3(1) wynika, że warunek ϕ(v) = θ = ϕ(θ) pociąga za sobą v = θ, co oznacza trywialność jądra. ) Jeżeli jądro przekształcenia liniowego ϕ jest trywialne, to dla dowolnych v, v W równość ϕ(v) = ϕ(v ) wraz z warunkiem (LM) pociąga za sobą ϕ(v v ) = θ. Założenie ker ϕ = {θ} implikuje teraz v v = θ, czyli v = v. Twierdzenie Jeżeli ϕ : V W jest przekształceniem liniowym oraz wymiar przestrzeni V jest skończony, to dim V = dim ker ϕ + dim im ϕ. Dowód: Gdyby dim V = 0, to ϕ = Θ i dim ker ϕ = 0 = dim im ϕ. Załóżmy, że dim V = n N. Jeżeli jądro ma wymiar 0, to ze stw przekształcenie liniowe ϕ jest monomorfizmem. Dla dowolnej bazy (t 1,..., t n ) przestrzeni V wektory ϕ(t 1 ),..., ϕ(t n ) rozpinają podprzestrzeń ϕ(v ) = im ϕ, są także liniowo niezależne. Istotnie, jeżeli c 1 ϕ(t 1 )+...+c n ϕ(t n ) = θ, to z liniowości (stw. 9.2(2)) mamy, że ϕ(c 1 t c n t n ) = θ. Zatem z założenia o jądrze c 1 t c n t n = θ, co wraz z liniową niezależnością układu (t 1,..., t n ) daje zerowanie się współczynników c 1,..., c n i tym samym liniową niezależność układu (ϕ(t 1 ),..., ϕ(t n )). Ostatecznie w przypadku dim ker ϕ = 0 mamy dim im ϕ = n = n 0 = dim V dim ker ϕ Gdyby dim ker ϕ = n, to przestrzeń V miałaby bazę złożoną tylko z wektorów jądra, więc ϕ = Θ i dim im ϕ = 0. Załóżmy teraz, że dim ker ϕ = k, przy czym 0 < k < n (wn.8.15) i że A = (u 1,..., u k ) jest bazą podprzestrzeni ker ϕ. Zgodnie ze stw rozszerzamy ten układ do bazy B = (u 1,..., u k, v 1,..., v n k ) przestrzeni V. Wykażemy, że układ C = (ϕ(v 1 ),..., ϕ(v n )) jest bazą podprzestrzeni im ϕ. Przypuśćmy, że kombinacja liniowa układu C o współczynnikach a 1,..., a n k F jest wektorem zerowym. Wówczas z liniowości (stw. 9.2(2)) mamy, że wektor v = a 1 v a n k v n k ker ϕ. Istnieją więc skalary b 1,..., b k takie, że v = b 1 u b k u k. Wówczas jednak ( b 1 )u ( b k )u k + a 1 v a n k v n k = θ, co wraz liniową niezależnością układu B daje w szczególności a 1 =... = a n k = 0. Układ C jest zatem liniowo niezależny. Jeżeli w im ϕ, to istnieje v V takie, że w = ϕ(v). Wektor v jest kombinacją liniową bazy B, a z liniowości jego obraz w jest kombinacją liniową układu C, gdyż wektory z układu A jako wektory jądra przechodzą na wektor zerowy. Zatem im ϕ = lin (C ) i także w tym przypadku dim im ϕ = n k = dim V dim ker ϕ. 5
6 Stwierdzenie Jeżeli przestrzeni liniowe V i W są tego samego skończonego wymiaru, a ϕ : V W jest przekształceniem liniowym, to następujace warunki są równoważne: 1. ϕ jest izomorfizmem, 2. ϕ jest epimorfizmem, 3. ϕ jest monomorfizmem. Dowód: Implikacje (1) (2) i (1) (3) są oczywiste. Dla przestrzeni 0 wymiarowych równoważność jest oczywista. Załóżmy, że dim V = dim W = n N. (2) (1) Jeżeli ϕ jest epimorfizmem, to dim im ϕ = dim W, co wraz z założeniem i tw daje dim ker ϕ = 0, a więc zgodnie zze stw monomorficzność ϕ. (3) (1) Jeżeli ϕ jest monomorfizmem, to ze stw i tw mamy dim im ϕ = dim V = dim W. Zatem im ϕ jest podprzestrzenią liniową (stw. 9.11(2)) przestrzeni W tego samego wymiaru co przestrzeń W. Zgodnie więc z wn mamy im ϕ = W. Ostatecznie ϕ jako jednocześnie monomorfizm i epimorfizm jest izomorfizmem. Definicja Niech V i W będą przestrzeniami liniowymi nad ciałem F. Zbiór wszystkich przekształceń liniowych z przestrzeni V w przestrzeń W oznaczamy przez L(V ; W ) i nazywamy przestrzenią przekształceń liniowych z V w W. Zbiór V = L(V ; F ) wszystkich funkcjonałów liniowych określonych na V nazywamy przestrzenią dualną do V. Stwierdzenie Dla przestrzeni liniowych V i W nad ciałem F zbiór L(V ; W ), z działaniami dodawania przekształceń liniowych i mnożenia przekształcenia liniowego przez skalar danymi wzorami (ϕ + ψ)(v) = ϕ(v) + ψ(v), v V, dla ϕ, ψ L(V ; W ) (a ϕ)(v) = a ϕ(v), v V, dla ϕ L(V ; W ), a F, jest przestrzenią liniową nad ciałem F. Stwierdzenie Dla przestrzeni V i W skończonego wymiaru nad ciałem F zachodzi dim L(V ; W ) = dim V dim W. Jeżeli (v 1,..., v n ) i (w 1,..., w m ) są odpowiednio bazami V i W, to układ przekształceń liniowych (ϕ ij ) 1 i m,1 j n, określonych wzorami { wi dla k = j ϕ ij (v k ) = θ dla k j i = 1,..., m, j = 1,..., n, jest bazą przestrzeni L(V ; W ). Dowód: Przypuśćmy, że dla pewnych a ij F, i = 1,..., m, j = 1,..., n przekształcenie liniowe a ij ϕ ij (i,j) {1,...,m} {1,...,n} 6
7 jest przekształceniem zerowym Θ. Wówczas zgodnie z określeniem przekształceń ϕ ij otrzymujemy dla k = 1,..., n: θ = Θ(v k ) = a ik ϕ ik (v k ) = a ik w i. Liniowa niezależność układu (w 1,..., w m ) implikuje a 1k =... = a mk = 0, k = 1,..., n. Zatem układ (ϕ ij ) jest liniowo niezależny. Dla dowodu generowania L(V ; W ) przez ten układ weźmy dowolne ψ L(V ; W ) i określmy skalary b ij, i = 1,..., m, j = 1,..., n następująco: b ij jest i tą współrzędną wektora ψ(v j ) w bazie (w 1,..., w m ). Pokażemy, że ψ = (i,j) {1,...,m} {1,...,n} b ij ϕ ij. Zgodnie ze stw. 9.5 wystarczy pokazać równość tych przekształceń na wektorach bazy (v 1,..., v n ). Tak istotnie jest, gdyż przekształcenie określone przez prawą stronę równości na wektorze v k, k = 1,..., n, przyjmuje wartość b ik ϕ ik (v k ) = b ik w i = ψ(v k ). Wniosek Jeżeli przestrzeń V nad ciałem F ma skończony wymiar, to dim V = dim V. Jeżeli (v 1,..., v n ) jest bazą V, to układ funkcjonałów liniowych (vj ) 1 j n, określonych wzorami v j (v k ) = { 1 dla k = j 0 dla k j j = 1,..., n, jest bazą przestrzeni V. Dowód: Wystarczy w stw za bazę przestrzeni F nad ciałem F przyjąć układ (1). Uwaga 1. Wniosek 9.19 gwarantuje izomorficzność przestrzeni V i V, gdy dim V <. Izomorfizm określony wzorami v j v j, j = 1,... n nie jest jednak kanoniczny zależy od wyboru bazy w przestrzeni V. W przypadku nieskończonego wymiaru V V. Uwaga 2. Jeżeli dim V <, to przestrzeń V jest kanonicznie izomorficzna ze swoją przestrzenią bidualną V = (V ). Izomorfizm ten jest dany wzorem v (V ϕ ϕ(v) F ). 7
B jest liniowo niezależny V = lin (B) 1. Układ pusty jest bazą przestrzeni trywialnej {θ}. a i v i = i I. b i v i, (a i b i ) v i = θ.
8 Baza i wymiar Definicja 8.1. Bazą przestrzeni liniowej nazywamy liniowo niezależny układ jej wektorów, który generuję tę przestrzeń. Innymi słowy, układ B = (v i ) i I wektorów z przestrzeni V jest bazą
Bardziej szczegółowoWykład 4 Udowodnimy teraz, że jeśli U, W są podprzetrzeniami skończenie wymiarowej przestrzeni V to zachodzi wzór: dim(u + W ) = dim U + dim W dim(u
Wykład 4 Udowodnimy teraz, że jeśli U, W są podprzetrzeniami skończenie wymiarowej przestrzeni V to zachodzi wzór: dim(u + W ) = dim U + dim W dim(u W ) Rzeczywiście U W jest podprzetrzenią przestrzeni
Bardziej szczegółowoALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ
ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ WSHE, O/K-CE 10. Homomorfizmy Definicja 1. Niech V, W będą dwiema przestrzeniami liniowymi nad ustalonym ciałem, odwzorowanie ϕ : V W nazywamy homomorfizmem
Bardziej szczegółowo14. Przestrzenie liniowe
14. 14.1 Sformułować definicję przestrzeni liniowej. Podać przykłady. Przestrzenią liniową nad ciałem F nazywamy czwórkę uporządkowaną (V, F,+, ), gdzie V jest zbiorem niepustym, F jest ciałem, + jest
Bardziej szczegółowo4 Przekształcenia liniowe
MIMUW 4. Przekształcenia liniowe 16 4 Przekształcenia liniowe Obok przestrzeni liniowych, podstawowym obiektem algebry liniowej są przekształcenia liniowe. Rozpatrując przekształcenia liniowe między przestrzeniami
Bardziej szczegółowoWykład 5. Ker(f) = {v V ; f(v) = 0}
Wykład 5 Niech f : V W będzie przekształceniem liniowym przestrzeni wektorowych Wtedy jądrem przekształcenia nazywamy zbiór tych elementów z V, których obrazem jest wektor zerowy w przestrzeni W Jądro
Bardziej szczegółowo. : a 1,..., a n F. . a n Wówczas (F n, F, +, ) jest przestrzenią liniową, gdzie + oraz są działaniami zdefiniowanymi wzorami:
9 Wykład 9: Przestrzenie liniowe i podprzestrzenie Definicja 9 Niech F będzie ciałem Algebrę (V, F, +, ), gdzie V, + jest działaniem w zbiorze V zwanym dodawaniem wektorów, a jest działaniem zewnętrznym
Bardziej szczegółowoPrzestrzenie wektorowe
Rozdział 4 Przestrzenie wektorowe Rozważania dotyczące przestrzeni wektorowych rozpoczniemy od kilku prostych przykładów. Przykład 4.1. W przestrzeni R 3 = {(x, y, z) : x, y, z R} wprowadzamy dwa działania:
Bardziej szczegółowoDB Algebra liniowa 1 semestr letni 2018
DB Algebra liniowa 1 semestr letni 2018 Teoria oraz większość zadań w niniejszym skrypcie zostały opracowane na podstawie książek: 1 G Banaszak, W Gajda, Elementy algebry liniowej cz I, Wydawnictwo Naukowo-Techniczne,
Bardziej szczegółowoAnaliza funkcjonalna 1.
Analiza funkcjonalna 1. Wioletta Karpińska Semestr letni 2015/2016 0 Bibliografia [1] Banaszczyk W., Analiza matematyczna 3. Wykłady. (http://math.uni.lodz.pl/ wbanasz/am3/) [2] Birkholc A., Analiza matematyczna.
Bardziej szczegółowoBaza w jądrze i baza obrazu ( )
Przykład Baza w jądrze i baza obrazu (839) Znajdź bazy jądra i obrazu odwzorowania α : R 4 R 3, gdzie α(x, y, z, t) = (x + 2z + t, 2x + y 3z 5t, x y + z + 4t) () zór ten oznacza, że α jest odwzorowaniem
Bardziej szczegółowoAlgebra liniowa z geometrią
Algebra liniowa z geometrią Maciej Czarnecki 15 stycznia 2013 Spis treści 1 Geometria płaszczyzny 2 1.1 Wektory i skalary........................... 2 1.2 Macierze, wyznaczniki, układy równań liniowych.........
Bardziej szczegółowo13 Układy równań liniowych
13 Układy równań liniowych Definicja 13.1 Niech m, n N. Układem równań liniowych nad ciałem F m równaniach i n niewiadomych x 1, x 2,..., x n nazywamy koniunkcję równań postaci a 11 x 1 + a 12 x 2 +...
Bardziej szczegółowoUkłady równań liniowych
Układy równań liniowych Niech K będzie ciałem. Niech n, m N. Równanie liniowe nad ciałem K z niewiadomymi (lub zmiennymi) x 1, x 2,..., x n K definiujemy jako formę zdaniową zmiennej (x 1,..., x n ) K
Bardziej szczegółowoWyk lad 9 Przekszta lcenia liniowe i ich zastosowania
Wyk lad 9 Przekszta lcenia liniowe i ich zastosowania 1 Przekszta lcenia liniowe i ich w lasności Definicja 9.1. Niech V i W bed przestrzeniami liniowymi. Przekszta lcenie f : V W spe lniajace warunki:
Bardziej szczegółowoa 11 a a 1n a 21 a a 2n... a m1 a m2... a mn a 1j a 2j R i = , C j =
11 Algebra macierzy Definicja 11.1 Dla danego ciała F i dla danych m, n N funkcję A : {1,..., m} {1,..., n} F nazywamy macierzą m n (macierzą o m wierszach i n kolumnach) o wyrazach z F. Wartość A(i, j)
Bardziej szczegółowoPrzestrzenie liniowe
Rozdział 4 Przestrzenie liniowe 4.1. Działania zewnętrzne Niech X oraz F będą dwoma zbiorami niepustymi. Dowolną funkcję D : F X X nazywamy działaniem zewnętrznym w zbiorze X nad zbiorem F. Przykład 4.1.
Bardziej szczegółowoR n = {(x 1, x 2,..., x n ): x i R, i {1,2,...,n} },
nazywa- Definicja 1. Przestrzenią liniową R n my zbiór wektorów R n = {(x 1, x 2,..., x n ): x i R, i {1,2,...,n} }, z określonymi działaniami dodawania wektorów i mnożenia wektorów przez liczby rzeczywiste.
Bardziej szczegółowoφ(x 1,..., x n ) = a i x 2 i +
Teoria na egzamin z algebry liniowej Wszystkie podane pojęcia należy umieć określić i podać pprzykłady, ewentualnie kontrprzykłady. Ponadto należy znać dowody tam gdzie to jest zaznaczone. Liczby zespolone.
Bardziej szczegółowo1.1 Definicja. 1.2 Przykład. 1.3 Definicja. Niech G oznacza dowolny, niepusty zbiór.
20. Definicje i przykłady podstawowych struktur algebraicznych (grupy, pierścienie, ciała, przestrzenie liniowe). Pojęcia dotyczące przestrzeni liniowych (liniowa zależność i niezależność układu wektorów,
Bardziej szczegółowoWykład 12 i 13 Macierz w postaci kanonicznej Jordana , 0 A 2
Wykład 12 i 13 Macierz w postaci kanonicznej Jordana Niech A - macierz kwadratowa stopnia n Jak obliczyć np A 100? a 11 0 0 0 a 22 0 Jeśli A jest macierzą diagonalną tzn A =, to Ak = 0 0 a nn Niech B =
Bardziej szczegółowoPrzestrzeń unitarna. Jacek Kłopotowski. 23 października Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH
Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH 23 października 2018 Definicja iloczynu skalarnego Definicja Iloczynem skalarnym w przestrzeni liniowej R n nazywamy odwzorowanie ( ) : R n R n R spełniające
Bardziej szczegółowoKombinacje liniowe wektorów.
Kombinacje liniowe wektorów Definicja: Niech V będzie przestrzenią liniową nad ciałem F, niech A V Zbiór wektorów A nazywamy liniowo niezależnym, jeżeli m N v,, v m A a,, a m F [a v + + a m v m = θ a =
Bardziej szczegółowo3 Przestrzenie liniowe
MIMUW 3 Przestrzenie liniowe 8 3 Przestrzenie liniowe 31 Przestrzenie liniowe Dla dowolnego ciała K, analogicznie jak to robiliśmy dla R, wprowadza się operację dodawania wektorów kolumn z K n i mnożenia
Bardziej szczegółowo1 Podobieństwo macierzy
GAL (Informatyka) Wykład - zagadnienie własne Wersja z dnia 6 lutego 2014 Paweł Bechler 1 Podobieństwo macierzy Definicja 1 Powiemy, że macierze A, B K n,n są podobne, jeżeli istnieje macierz nieosobliwa
Bardziej szczegółowo1 Przestrzeń liniowa. α 1 x α k x k = 0
Z43: Algebra liniowa Zagadnienie: przekształcenie liniowe, macierze, wyznaczniki Zadanie: przekształcenie liniowe, jądro i obraz, interpretacja geometryczna. Przestrzeń liniowa Już w starożytności człowiek
Bardziej szczegółowoUwaga 1.2. Niech (G, ) będzie grupą, H 1, H 2 < G. Następujące warunki są równoważne:
1. Wykład 1: Produkty grup. Produkty i koprodukty grup abelowych. Przypomnijmy konstrukcje słabych iloczynów (sum) prostych i iloczynów (sum) prostych grup znane z kursowego wykładu algebry. Ze względu
Bardziej szczegółowoSIMR 2016/2017, Analiza 2, wykład 1, Przestrzeń wektorowa
SIMR 06/07, Analiza, wykład, 07-0- Przestrzeń wektorowa Przestrzeń wektorowa (liniowa) - przestrzeń (zbiór) w której określone są działania (funkcje) dodawania elementów i mnożenia elementów przez liczbę
Bardziej szczegółowo(6) Homomorfizm φ : P R nazywamy epimorfizmem kategoryjnym, jeśli dla każdego pierścienia. jeśli φ ψ 1 = φ ψ 2, to ψ 1 = ψ 2 ;
10. Wykład 10: Homomorfizmy pierścieni, ideały pierścieni. Ideały generowane przez zbiory. 10.1. Homomorfizmy pierścieni, ideały pierścieni. Definicja 10.1. Niech P, R będą pierścieniami. (1) Odwzorowanie
Bardziej szczegółowo1. Zbadać liniową niezależność funkcji x, 1, x, x 2 w przestrzeni liniowej funkcji ciągłych na przedziale [ 1, ).
B 2 Suma Zbadać, czy liniowo niezależne wektory u, v, w stanowią bazę przestrzeni liniowej lin { u + 2 v + w, u v + 2 w, 3 u + 5 w } 2 Współrzędne wektora (, 4, 5, 4 ) w pewnej bazie podprzestrzeni U R
Bardziej szczegółowoAlgebra liniowa. 1. Macierze.
Algebra liniowa 1 Macierze Niech m oraz n będą liczbami naturalnymi Przestrzeń M(m n F) = F n F n będącą iloczynem kartezjańskim m egzemplarzy przestrzeni F n z naturalnie określonymi działaniami nazywamy
Bardziej szczegółowoPraca domowa - seria 6
Praca domowa - seria 6 28 grudnia 2012 Zadanie 1. Znajdź bazę jądra i obrazu przekształcenia liniowego φ : R 4 wzorem: R 3 danego φ(x 1, x 2, x 3, x 4 ) = (x 1 +2x 2 x 3 +3x 4, x 1 +x 2 +2x 3 +x 4, 2x
Bardziej szczegółowo1 Zbiory i działania na zbiorach.
Matematyka notatki do wykładu 1 Zbiory i działania na zbiorach Pojęcie zbioru jest to pojęcie pierwotne (nie definiuje się tego pojęcia) Pojęciami pierwotnymi są: element zbioru i przynależność elementu
Bardziej szczegółowoDziałania Definicja: Działaniem wewnętrznym w niepustym zbiorze G nazywamy funkcję działającą ze zbioru GxG w zbiór G.
Działania Definicja: Działaniem wewnętrznym w niepustym zbiorze G nazywamy funkcję działającą ze zbioru GxG w zbiór G. Przykłady działań wewnętrznych 1. Dodawanie i mnożenie są działaniami wewnętrznymi
Bardziej szczegółowoZadania z Algebry liniowej 4 Semestr letni 2009
Zadania z Algebry liniowej 4 Semestr letni 2009 Ostatnie zmiany 23.05.2009 r. 1. Niech F będzie podciałem ciała K i niech n N. Pokazać, że niepusty liniowo niezależny podzbiór S przestrzeni F n jest także
Bardziej szczegółowoPrzekształcenia liniowe
Przekształcenia liniowe Zadania Które z następujących przekształceń są liniowe? (a) T : R 2 R 2, T (x, x 2 ) = (2x, x x 2 ), (b) T : R 2 R 2, T (x, x 2 ) = (x + 3x 2, x 2 ), (c) T : R 2 R, T (x, x 2 )
Bardziej szczegółowoPokazać, że wyżej zdefiniowana struktura algebraiczna jest przestrzenią wektorową nad ciałem
Zestaw zadań 9: Przestrzenie wektorowe. Podprzestrzenie () Wykazać, że V = C ze zwykłym dodawaniem jako dodawaniem wektorów i operacją mnożenia przez skalar : C C C, (z, v) z v := z v jest przestrzenią
Bardziej szczegółowoWyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej
Wyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej 1 Baza przestrzeni liniowej Niech V bedzie przestrzenia liniowa. Powiemy, że podzbiór X V jest maksymalnym zbiorem liniowo niezależnym, jeśli X jest zbiorem
Bardziej szczegółowoZadania z algebry liniowej - sem. I Przestrzenie liniowe, bazy, rząd macierzy
Zadania z algebry liniowej - sem I Przestrzenie liniowe bazy rząd macierzy Definicja 1 Niech (K + ) będzie ciałem (zwanym ciałem skalarów a jego elementy nazywać będziemy skalarami) Przestrzenią liniową
Bardziej szczegółowo1 Pierścienie i ich homomorfizmy. Ideał, pierścień ilorazowy. Ideały pierwsze i maksymalne, dziedziny i ciała - definicje i przykłady
Tekst ten jest dostępny na stronie http://www-usersmatumkpl/ cstefan/ W razie potrzeby tam będą znajdowały się ewentualne poprawki i uzupełnienia 1 Pierścienie i ich homomorfizmy Ideał, pierścień ilorazowy
Bardziej szczegółowo1 Formy hermitowskie. GAL (Informatyka) Wykład - formy hermitowskie. Paweł Bechler
GAL (Informatyka) Wykład - formy hermitowskie Wersja z dnia 23 stycznia 2014 Paweł Bechler 1 Formy hermitowskie Niech X oznacza przestrzeń liniową nad ciałem K. Definicja 1. Funkcję φ : X X K nazywamy
Bardziej szczegółowo1 ROZWIĄZYWANIE UKŁADÓW RÓWNAŃ LINIOWYCH
ZADANIA Z GEOMETRII Z ALGEBRĄ LINIOWĄ grupa 2, semestr zimowy 2018/19 1 ROZWIĄZYWANIE UKŁADÓW RÓWNAŃ LINIOWYCH 1.1 Zadania na ćwiczenia: 1.1. Rozwiązać układ równań: 1.2. Rozwiązać układ równań: 8x 1 +
Bardziej szczegółowo1 Działania na zbiorach
Algebra liniowa z geometrią /4 Działania na zbiorach Zadanie Czy działanie : R R R określone wzorem (x x ) (y y ) := (x y x y x y + x y ) jest przemienne? Zadanie W dowolnym zbiorze X określamy działanie
Bardziej szczegółowoWyk lad 10 Przestrzeń przekszta lceń liniowych
Wyk lad 10 Przestrzeń przekszta lceń liniowych 1 Określenie przestrzeni przekszta lceń liniowych Niech V i W bed a przestrzeniami liniowymi Oznaczmy przez L(V ; W ) zbór wszystkich przekszta lceń liniowych
Bardziej szczegółowoPrzestrzeń liniowa i przekształcenie liniowe
opracował Maciej Grzesiak Przestrzeń liniowa i przekształcenie liniowe W algebrze rozpatruje się zbiory abstrakcyjne Natura elementów zbioru się nie liczy Na elementach rozpatruje się działania spełniające
Bardziej szczegółowoSeria zadań z Algebry IIR nr kwietnia 2017 r. i V 2 = B 2, B 4 R, gdzie
Seria zadań z Algebry IIR nr 29 kwietnia 207 r Notacja: We wszystkich poniższych zadaniach K jest ciałem, V wektorow a nad K zaś jest przestrzeni a Zadanie Niechaj V = K 4 [t] Określmy podprzestrzenie
Bardziej szczegółowoZadania o transferze
Maria Donten, 5.12.2007 Zadania o transferze 1. Oznaczenia, założenia i przypomnienia Przez M i M będziemy oznaczać rozmaitości gładkie, przy czym M nakrywa M. Przyjmujemy, że gładkie odwzorowanie p :
Bardziej szczegółowo13. Cia la. Rozszerzenia cia l.
59 13. Cia la. Rozszerzenia cia l. Z rozważań poprzedniego paragrafu wynika, że jeżeli wielomian f o wspó lczynnikach w ciele K jest nierozk ladalny, to pierścień ilorazowy K[X]/(f) jest cia lem zawieraja
Bardziej szczegółowo14. Wykład 14: Grupa Galois wielomianu. Zasadnicze twierdzenia teorii Galois. Rozszerzenia rozwiązalne, cykliczne i abelowe
14. Wykład 14: Grupa Galois wielomianu. Zasadnicze twierdzenia teorii Galois. Rozszerzenia rozwiązalne, cykliczne i abelowe. 14.1. Grupa Galois wielomianu. Definicja 14.1. Niech F będzie ciałem, niech
Bardziej szczegółowo5. Algebra działania, grupy, grupy permutacji, pierścienie, ciała, pierścień wielomianów.
5. Algebra działania, grupy, grupy permutacji, pierścienie, ciała, pierścień wielomianów. Algebra jest jednym z najstarszych działów matematyki dotyczącym początkowo tworzenia metod rozwiązywania równań
Bardziej szczegółowoWyk lad 11 Przekszta lcenia liniowe a macierze
Wyk lad 11 Przekszta lcenia liniowe a macierze 1 Izomorfizm przestrzeni L(V ; W ) i M m n (R) Twierdzenie 111 Niech V i W bed a przestrzeniami liniowymi o bazach uporzadkowanych (α 1,, α n ) i (β 1,, β
Bardziej szczegółowoJak łatwo zauważyć, zbiór form symetrycznych (podobnie antysymetrycznych) stanowi podprzestrzeń przestrzeni L(V, V, K). Oznaczamy ją Sym(V ).
Odwzorowania n-liniowe; formy n-liniowe Definicja 1 Niech V 1,..., V n, U będą przestrzeniami liniowymi nad ciałem K. Odwzorowanie G: V 1 V n U nazywamy n-liniowym, jeśli dla każdego k [n] i wszelkich
Bardziej szczegółowoR k v = 0}. k N. V 0 = ker R k 0
Definicja 1 Niech R End(V ). Podprzestrzeń W przestrzeni V nazywamy podprzestrzenią niezmienniczą odwzorowania R jeśli Rw W, dla każdego w W ; równoważnie: R(W ) W. Jeśli W jest różna od przestrzeni {0}
Bardziej szczegółowoZadania z Algebry liniowej 3 semestr zimowy 2008/2009
Zadania z Algebry liniowej 3 semestr zimowy 2008/2009 1. Niech V będzie przestrzenią wektorową nad ciałem K i niech 0 K oraz θ V będą elementem zerowym ciała K i wektorem zerowym przestrzeni V. Posługując
Bardziej szczegółowoCiała skończone. 1. Ciała: podstawy
Ciała skończone 1. Ciała: podstawy Definicja 1. Każdy zbiór liczb, w którym są wykonalne wszystkie cztery działania z wyjątkiem dzielenia przez 0 i który zawiera więcej niż jedną liczbę, nazywamy ciałem
Bardziej szczegółowoInformacja o przestrzeniach Hilberta
Temat 10 Informacja o przestrzeniach Hilberta 10.1 Przestrzenie unitarne, iloczyn skalarny Niech dana będzie przestrzeń liniowa X. Załóżmy, że każdej parze elementów x, y X została przyporządkowana liczba
Bardziej szczegółowoAlgebra liniowa z geometrią 2
Algebra liniowa z geometrią 2 Maciej Czarnecki 23 maja 2013 Spis treści 5 Geometria płaszczyzny zespolonej 2 6 Macierze 3 6.1 Działania na macierzach....................... 3 6.2 Wyznacznik..............................
Bardziej szczegółowoPRZESTRZENIE WEKTOROWE.
III-1 H. Toruńczyk, GAL I (jesień 09) III PRZESTRZENIE WEKTOROWE. Wstęp. Gdy badamy przekształcenie liniowe przestrzeni współrzędnych, napotykamy następującą poważną trudność. Obraz rozważanego przekształcenia
Bardziej szczegółowoLista. Przestrzenie liniowe. Zadanie 1 Sprawdź, czy (V, +, ) jest przestrzenią liniową nadr :
Lista Przestrzenie liniowe Zadanie 1 Sprawdź, czy (V, +, ) jest przestrzenią liniową nadr : V = R[X], zbiór wielomianów jednej zmiennej o współczynnikach rzeczywistych, wraz ze standardowym dodawaniem
Bardziej szczegółowoZajmijmy się najpierw pierwszym równaniem. Zapiszmy je w postaci trygonometrycznej, podstawiając z = r(cos ϕ + i sin ϕ).
Zad (0p) Zaznacz na płaszczyźnie zespolonej wszystkie z C, które spełniają równanie ( iz 3 z z ) Re [(z + 3) ( z 3) = 0 Szukane z C spełniają: iz 3 = z z Re [(z + 3) ( z 3) = 0 Zajmijmy się najpierw pierwszym
Bardziej szczegółowoWyk lad 6 Podprzestrzenie przestrzeni liniowych
Wyk lad 6 Podprzestrzenie przestrzeni liniowych 1 Określenie podprzestrzeni Definicja 6.1. Niepusty podzbiór V 1 V nazywamy podprzestrzeni przestrzeni liniowej V, jeśli ma on nastepuj ace w lasności: (I)
Bardziej szczegółowoZestaw zadań 14: Wektory i wartości własne. ) =
Zestaw zadań 4: Wektory i wartości własne () Niech V = V V 2 będzie przestrzenią liniową nad ciałem K, w którym + 0 Znaleźć wszystkie podprzestrzenie niezmiennicze rzutu V na V wzdłuż V 2 oraz symetrii
Bardziej szczegółowo5 Wyznaczniki. 5.1 Definicja i podstawowe własności. MIMUW 5. Wyznaczniki 25
MIMUW 5 Wyznaczniki 25 5 Wyznaczniki Wyznacznik macierzy kwadratowych jest funkcją det : K m n K, (m = 1, 2, ) przypisującą każdej macierzy kwadratowej skalar, liniowo ze względu na każdy wiersz osobno
Bardziej szczegółowoRozwiązania, seria 5.
Rozwiązania, seria 5. 26 listopada 2012 Zadanie 1. Zbadaj, dla jakich wartości parametru r R wektor (r, r, 1) lin{(2, r, r), (1, 2, 2)} R 3? Rozwiązanie. Załóżmy, że (r, r, 1) lin{(2, r, r), (1, 2, 2)}.
Bardziej szczegółowoWyk lad 13 Funkcjona ly dwuliniowe
1 Izomorfizmy kanoniczne Wyk lad 13 Funkcjona ly dwuliniowe Definicja 13.1. Niech V i W bed przestrzeniami liniowymi. Funkcje ξ : V W R nazywamy funkcjona lem dwuliniowym, jeżeli i a,b R α,β V γ W ξa α
Bardziej szczegółowoGrzegorz Bobiński. Wykład monograficzny Programowanie Liniowe i Całkowitoliczbowe
Grzegorz Bobiński Wykład monograficzny Programowanie Liniowe i Całkowitoliczbowe Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu 2012 Spis treści Notacja 1 1 Podstawowe pojęcia
Bardziej szczegółowoWyk lad 9 Baza i wymiar przestrzeni liniowej
Wyk lad 9 Baza i wymiar przestrzeni liniowej 1 Operacje elementarne na uk ladach wektorów Niech α 1,..., α n bed dowolnymi wektorami przestrzeni liniowej V nad cia lem K. Wyróżniamy nastepuj ace operacje
Bardziej szczegółowoEgzamin z logiki i teorii mnogości, rozwiązania zadań
Egzamin z logiki i teorii mnogości, 08.02.2016 - rozwiązania zadań 1. Niech φ oraz ψ będą formami zdaniowymi. Czy formuła [( x : φ(x)) ( x : ψ(x))] [ x : (φ(x) ψ(x))] jest prawem rachunku kwantyfikatorów?
Bardziej szczegółowo2 1 3 c c1. e 1, e 2,..., e n A= e 1 e 2...e n [ ] M. Przybycień Matematyczne Metody Fizyki I
Liniowa niezależno ność wektorów Przykład: Sprawdzić czy następujące wektory z przestrzeni 3 tworzą bazę: e e e3 3 Sprawdzamy czy te wektory są liniowo niezależne: 3 c + c + c3 0 c 0 c iei 0 c + c + 3c3
Bardziej szczegółowoAlgebra liniowa 3. Kazimierz Szymiczek
Algebra liniowa 3 2008 2009 Kazimierz Szymiczek 2 Spis treści Przedmowa 5 1 Przestrzenie wektorowe 1 1.1 Podstawowe pojęcia............................... 1 1.2 Homomorfizmy.................................
Bardziej szczegółowoImię i nazwisko... Grupa...
Algebra i teoria mnogości 2.09.2014 Za każde zadanie można otrzymać 0-3 pkt. W zadaniach 1-5 w puste pola należy wpisać TAK lub NIE. Każda odpowiedź oceniana jest osobno (1pkt za poprawną odpowiedź, 0.5pkt
Bardziej szczegółowoIloczyn skalarny. Mirosław Sobolewski. Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW. 10. wykład z algebry liniowej Warszawa, grudzień 2013
Iloczyn skalarny Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 10. wykład z algebry liniowej Warszawa, grudzień 2013 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, grudzień 2013 1 / 14 Standardowy
Bardziej szczegółowoRównania liniowe. Rozdział Przekształcenia liniowe. Niech X oraz Y będą dwiema niepustymi przestrzeniami wektorowymi nad ciałem
Rozdział 6 Równania liniowe 6 Przekształcenia liniowe Niech X oraz Y będą dwiema niepustymi przestrzeniami wektorowymi nad ciałem F Definicja 6 Funkcję f : X Y spełniającą warunki: a) dla dowolnych x,
Bardziej szczegółowoO pewnych związkach teorii modeli z teorią reprezentacji
O pewnych związkach teorii modeli z teorią reprezentacji na podstawie referatu Stanisława Kasjana 5 i 12 grudnia 2000 roku 1. Elementy teorii modeli Będziemy rozważać język L składający się z przeliczalnej
Bardziej szczegółowoALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ. 1. Ciała
ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ WSHE, O/K-CE 1. Ciała Definicja 1. Układ { ; 0, 1; +, } złożony ze zbioru, dwóch wyróżnionych elementów 0, 1 oraz dwóch działań +:, : nazywamy ciałem
Bardziej szczegółowoALGEBRA Z GEOMETRIĄ LINIOWA NIEZALEŻNOŚĆ, ROZPINANIE I BAZY
ALGEBRA Z GEOMETRIĄ 1/10 LINIOWA NIEZALEŻNOŚĆ, ROZPINANIE I BAZY Piotr M. Hajac Uniwersytet Warszawski Wykład 10, 11.12.2013 Typeset by Jakub Szczepanik. Geometryczne intuicje Dla pierścienia R = R mamy
Bardziej szczegółowo1 Określenie pierścienia
1 Określenie pierścienia Definicja 1. Niech P będzie zbiorem, w którym określone są działania +, (dodawanie i mnożenie). Mówimy, że struktura (P, +, ) jest pierścieniem, jeżeli spełnione są następujące
Bardziej szczegółowoSzczegółowa lista zagadnień kursu Algebra z geometrią MT obowiązujących na egzamin ustny w roku akademickim 2018/19
Szczegółowa lista zagadnień kursu Algebra z geometrią MT obowiązujących na egzamin ustny w roku akademickim 2018/19 1. Zbiory, zdania i formy zdaniowe. 2. Operacje logiczne i podstawowe prawa rachunku
Bardziej szczegółowoUkłady równań i nierówności liniowych
Układy równań i nierówności liniowych Wiesław Krakowiak 1 grudnia 2010 1 Układy równań liniowych DEFINICJA 11 Układem równań m liniowych o n niewiadomych X 1,, X n, nazywamy układ postaci: a 11 X 1 + +
Bardziej szczegółowoZadania egzaminacyjne
Rozdział 13 Zadania egzaminacyjne Egzamin z algebry liniowej AiR termin I 03022011 Zadanie 1 Wyznacz sumę rozwiązań równania: (8z + 1 i 2 2 7 iz 4 = 0 Zadanie 2 Niech u 0 = (1, 2, 1 Rozważmy odwzorowanie
Bardziej szczegółowoZasada indukcji matematycznej
Zasada indukcji matematycznej Twierdzenie 1 (Zasada indukcji matematycznej). Niech ϕ(n) będzie formą zdaniową zmiennej n N 0. Załóżmy, że istnieje n 0 N 0 takie, że 1. ϕ(n 0 ) jest zdaniem prawdziwym,.
Bardziej szczegółowoPrzestrzenie liniowe
Przestrzenie liniowe Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 2 wykład z algebry liniowej Warszawa, październik 2015 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesień 2015 1 / 10 Przestrzenie
Bardziej szczegółowoWektory i wartości własne
Treść wykładu Podprzestrzenie niezmiennicze... Twierdzenie Cayley Hamiltona Podprzestrzenie niezmiennicze Definicja Niech f : V V będzie przekształceniem liniowym. Podprzestrzeń W V nazywamy niezmienniczą
Bardziej szczegółowoSylabus do programu kształcenia obowiązującego od roku akademickiego 2012/13
Sylabus do programu kształcenia obowiązującego od roku akademickiego 2012/13 (1) Nazwa Algebra liniowa z geometrią (2) Nazwa jednostki prowadzącej Instytut Matematyki przedmiot (3) Kod () Studia Kierunek
Bardziej szczegółowoAnaliza Funkcjonalna - Zadania
Analiza Funkcjonalna - Zadania 1 Wprowadzamy następujące oznaczenia. K oznacza ciało liczb rzeczywistych lub zespolonych. Jeżeli T jest dowolnym zbiorem niepustym, to l (T ) = {x : E K : x funkcja ograniczona}.
Bardziej szczegółowoWydział Elektroniki i Technik Informacyjnych PW Algebra liniowa - konspekt wykładu
Wydział Elektroniki i Technik Informacyjnych PW Algebra liniowa - konspekt wykładu Anna Zamojska-Dzienio Spis treści 1 Liczby zespolone 4 11 Postać kanoniczna liczby zespolonej 4 12 Interpretacja geometryczna
Bardziej szczegółowoWyk lad 11 1 Wektory i wartości w lasne
Wyk lad 11 Wektory i wartości w lasne 1 Wektory i wartości w lasne Niech V bedzie przestrzenia liniowa nad cia lem K Każde przekszta lcenie liniowe f : V V nazywamy endomorfizmem liniowym przestrzeni V
Bardziej szczegółowoTreść wykładu. Układy równań i ich macierze. Rząd macierzy. Twierdzenie Kroneckera-Capellego.
. Metoda eliminacji. Treść wykładu i ich macierze... . Metoda eliminacji. Ogólna postać układu Układ m równań liniowych o n niewiadomych x 1, x 2,..., x n : a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21
Bardziej szczegółowo... [a n,b n ] kn [M 1,M 2 ], gdzie a i M 1, b i M 2, dla i {1,..., n}. Wówczas: [a 1,b 1 ] k 1. ... [a n,b n ] kn =(a 1 b 1 a 1
4. Wykład 4: Grupy rozwiązalne i nilpotentne. Definicja 4.1. Niech (G, ) będzie grupą. Wówczas (1) ciąg podgrup grupy G zdefiniowany indukcyjnie wzorami G (0) = G, G (i) =[G (i 1),G (i 1) ], dla i N nazywamy
Bardziej szczegółowoZadania z analizy i algebry. (wykład prof.prof. J. Wojtkiewicza i K. Napiórkowskiego) ALGEBRA, przestrzenie wektorowe
Zadania z analizy i algebry. (wykład prof.prof. J. Wojtkiewicza i K. Napiórkowskiego) ALGEBRA, przestrzenie wektorowe Zadanie Zbadać czy wektor v mażna przedstawić jako kombinację liniową wektorów e i
Bardziej szczegółowo2 Rachunek macierzowy, metoda eliminacji Gaussa-Jordana Wprowadzenie teoretyczne Zadania... 9
Spis treści 1 Podstawowe struktury algebraiczne 2 11 Grupa, pierścień, ciało 2 12 Grupy permutacji 4 13 Pierścień wielomianów, algorytm Euklidesa, największy wspólny dzielnik 6 14 Zadania 7 2 Rachunek
Bardziej szczegółowo1 Elementy logiki i teorii mnogości
1 Elementy logiki i teorii mnogości 11 Elementy logiki Notatki do wykładu Definicja Zdaniem logicznym nazywamy zdanie oznajmujące, któremu przysługuje jedna z dwu logicznych ocen prawda (1) albo fałsz
Bardziej szczegółowo= b i M i [x], gdy charf = p, to a i jest pierwiastkiem wielomianu x n i
15. Wykład 15: Rozszerzenia pierwiastnikowe. Elementy wyrażające się przez pierwiastniki. Rozwiązalność równań przez pierwiastniki. Równania o dowolnych współczynnikach. 15.1. Rozszerzenia pierwiastnikowe.
Bardziej szczegółowoRelacje. opracował Maciej Grzesiak. 17 października 2011
Relacje opracował Maciej Grzesiak 17 października 2011 1 Podstawowe definicje Niech dany będzie zbiór X. X n oznacza n-tą potęgę kartezjańską zbioru X, tzn zbiór X X X = {(x 1, x 2,..., x n ) : x k X dla
Bardziej szczegółowoDiagonalizacja macierzy i jej zastosowania
Diagonalizacja macierzy i jej zastosowania Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 9. wykład z algebry liniowej Warszawa, listopad 2012 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa,listopad
Bardziej szczegółowoRozdzia l 1. Przestrzenie wektorowe
Rozdzia l 1 Przestrzenie wektorowe Materiał tego rozdziału jest, z jednej strony, trudny, bo operuje pojęciami abstrakcyjnymi, a zdrugiej strony łatwy, nie zawiera w sobie istotnych problemów technicznych,
Bardziej szczegółowowszystkich kombinacji liniowych wektorów układu, nazywa się powłoką liniową uk ładu wektorów
KOINACJA LINIOWA UKŁADU WEKTORÓW Definicja 1 Niech będzie przestrzenią liniową (wektorową) nad,,,, układem wektorów z przestrzeni, a,, współczynnikami ze zbioru (skalarami). Wektor, nazywamy kombinacją
Bardziej szczegółowoz = x + i y := e i ϕ z. cos ϕ sin ϕ = sin ϕ cos ϕ
Izometrie liniowe Przypomnijmy, że jeśli V jest przestrzenią euklidesową (skończonego wymiaru), to U End V jest izometrią wtedy i tylko wtedy, gdy U U = UU = E, to znaczy, gdy jest odwzorowaniem ortogonalnym.
Bardziej szczegółowoDystrybucje, wiadomości wstępne (I)
Temat 8 Dystrybucje, wiadomości wstępne (I) Wielkości fizyczne opisujemy najczęściej przyporządkowując im funkcje (np. zależne od czasu). Inną drogą opisu tych wielkości jest przyporządkowanie im funkcjonałów
Bardziej szczegółowoAlgebra Liniowa 2 (INF, TIN), MAP1152 Lista zadań
Algebra Liniowa 2 (INF, TIN), MAP1152 Lista zadań Przekształcenia liniowe, diagonalizacja macierzy 1. Podano współrzędne wektora v w bazie B. Znaleźć współrzędne tego wektora w bazie B, gdy: a) v = (1,
Bardziej szczegółowo