Funkcje arytmetyczne

Transkrypt

1 Funkcje arytmetyczne wersja robocza Jacek Cichoń Politechnika Wrocławska Wydział Podstawowych Problemów Techniki Liczbami naturalnymi nazywany tutaj zbiór N = {1, 2, 3...}. Zbiór liczb ierwszych oznaczamy rzez P. Dla P określamy Zauważmy, że α (n) = max{k : k n}. n = n α(n) = α(n) Uwaga: stosujemy nastęującą konwencję: f() = P f() oraz f() = P f(). Nastęujące, łatwe do udowodnienia, wzory często się rzydają w rozważaniach teoretycznych (w raktyce zaś mniej, bo wymagają znajomości rozkładu liczb na czynniki ierwsze): nwd(n, m) = min{α(n),α(m)} oraz nww(n, m) = max{α(n),α(m)}. Ze wzorów tych wynikają, na rzykład, natychmiast nastęujące wzory: nwd(a, b, c) = nwd(a, nwd(b, c)) = nwd(nwd(a, b), c). 1 Funkcje arytmetyczne Funkcjami arytmetycznymi nazywamy funkcje o dziedzinie N o wartościach w zbiorze liczb zesolonych. Zbiór wszystkich funkcji arytmetycznych oznaczmy tutaj symbolem AF. Na zbiorze tym rozważamy działanie + określone wzorem (f + g)((n) = f(n) + g(n). Struktura (AF, +) jest oczywiście gruą abelową z elementem neutralnym 0 (funkcją tożsamościowo równą zero). Rozważać możemy oerację mnożenia funkcji arytmetycznych określoną wzorem (f g)((n) = f(n) g(n). Jednakże ta oeracja nie ma ciekawych własności. Zamiast tego zajmować będziemy się slotem Dirichletta: 1

2 Definicja 1 (Slot Dirichletta). Niech f, g AF. Slotem Dirichletta funkcji f i g nazywamy funkcję f g AF okresloną wzorem (f g)(n) = ( n ) f(d)g. d Zauważmy, że slot f g możemy zaisać w równoważny sosób: ( n ) f(d)g = ( n ) f g(d) = f(d 1 )g(d 2 ). d d d 1d 2=n Z obserwacji tej wynika, że slot Dirichletta jest rzemienny, czyli, że f g = g f. Bez trudu możemy okazać, że (f + g) h = (f h) + (g h). Lemat 1. (f g) h = f (g h) Dowód. ((f g) h)(n) = k l=d 2 d 2d 3=n d 2d 3=n f(k)g(l)h(d 3 ) = (f g)(d 2 )h(d 3 ) = d 1d 2d 3=n d 2d 3=n k l=d 2 f(k)g(l)h(d 3 ) = f(d 1 )g(d 2 )h(d 3 ) = (f (g h))(n). Niech δ(x) = Dla dowolnej funkcji f AF mamy { 1 : x = 1 0 : x > 0 (f δ)(n) = kl=n f(k)δ(l) = f(n), więc δ jest neutralnym slotu Dirichletta. Twierdzenie 1. Struktura (AF, +, ) jest ierścieniem rzemiennym, z elementem neutralnym δ, bez dzielników zera. Funkcja f AF jest odwracalna wtedy i tylko wtedy, gdy f(1) 0. Dowód. Pokażmy, że w strukturze AF nie ma dzielników zera. Niech bowiem f, g AF\{0}. Niech a = min{k N : f(k) 0} oraz f = min{k N : g(k) 0}. Wtedy (f g)(ab) = f(k)g(l) = f(k)g(l) = f(a)g(b) 0, kl=ab kl=ab k a,l b więc f g 0. Zauważmy teraz, że jeśli f(1) = 0 to dla dowolnej funkcji g AF mamy (f g)(1) = 0, więc z ewnością f g δ, a więc f nie jest odwracalna. Załózmy więc, że f(1) 0. Połóżmy g(1) = f(1) 1 oraz indukcyjnie, dla n > 1 g(n) = f(1) 1 kl=n l<n 2 f(k)g(l).

3 Wtedy (f g)(1) = 1 oraz dla n > 1 mamy (f g)(n) = kl=n f(k)g(l) = kl=n l<n Zatem dla tak określonej funkcji g mamy f g = δ. 2 Funkcje multilikatywne f(k)g(l) + f(1)g(n) = 0. Definicja 2. Funkcję f : N R nazywamy multilikatywną jeśli f 0 oraz ( n, m N )(nwd(n, m) = 1 f(nm) = f(n)f(m)). Zbiór funkcji multilikatywnych ozanczać będziemy symbolem Mult. Jeśli f Mult to f(1) 0: rzeczywiście, gdyby f(0) = 0 to dla dowolnego n mielibyśmy f(n) = f(1 n) = f(1)f(n) = 0. Co więcej, jeśli f Mult, to f(1) = f(1 1) = f(1)f(1), więc f(1) = 1. Definicja 3. Funkcję f : N R nazywamy addytywna jeśli f nie jest równa funkcji zerowej oraz ( n, m N )(nwd(n, m) = 1 f(nm) = f(n) + f(m)) Zauważmy, że α(n m) = n m = α(n) α(m) = α(n) α(m) = α(n)+α(m) Zatem, dla dowolnego P, funkcja α jest addytywna. Istnieje bliski związek między funkcjami multilikatywnymi i addytywnymi. Mianowicie, jeśli f jest addytywna, to funkcja g(x) = e g(x) jest dodatnią funkcją multilikatywną. Odwrotnie, jeśli g jest dodatnią funkcją multilikatywną, to funkcja f(x) = ln(g(x)) jest funkcją addytywną. Załóżmy, że f jest funkcją multilikatywną oraz, że mamy wyznaczyć wartość funkcji f(n). Do zadania tego może odejść w nastęujący sosób: oszukujemy najmniejszą liczbę naturalną k 2 takiej, że k n. Liczba ta musi być liczbą ierwszą. Znajdujemy nastęnie największa liczbę a taką, że a n. Wtedy nwd( a, n a ) = 1 więc f(n) = f( a )f( n a ). Ta rosta uwaga rzydaje się w wielu rzyadkach do isania efektywnego kodu rocedur służąych do wyznaczania wartości fukcji multilikatywneych. Twierdzenie 2. Jeśli f jest funkcją multilikatywną zaś g jest funkcją addytywną, to f(n) = f( α(n) ), g(n) = g( α(n) ). n 3

4 Dowód. Zauważmy, że n = n α(n). Zatem f(n) = f α(n) = f( α(n) ). n n Wniosek 1. Złóżmy, że f o g są multilikatywne. Jeśli ( P)( k N )(f( k ) = g( k ) to f = g. 2.1 Przykłady Funkcja 1 tożsamościowo równa 1 jest multilikatywna Funkcja Id(n) = n jest multilikatywna Funkcja Id k (n) = n k jest multilikatywna Funkcja ω(n) = n 1 (czyli liczba różnych dzielników ierwszych liczby n) jest addytywna Funkcja Ω określona wzorem Ω( n α(n) ) = n α (n) jest addytywna 2.2 Funkcja Eulera Definicja 4. φ(n) = {k n : nwd(k, n) = 1}. Twierdzenie 3. Funkcja φ jest multilikatywna. Dowód. Załóżmy, że nwd(a, b) = 1. Niech A = {x a : nwd(x, a) = 1}, B = {y b : nwd(y, b) = 1} oraz C = {z ab : nwd(z, ab) = 1} Oczywiście A = φ(a), B = φ(b) oraz C = φ(ab). Niech Rozważmy zbiór f(x, y) = (bx + ay) mod ab. R = {f(x, y) : x A y B} (1) Zaczniemy od okazania, że R C. Załóżmy, że z R. Wtedy z = bx + ay + kab dla ewnej liczby k oraz ewnych x, y takich, że nwd(x, a) = 1 oraz nwd(y, b) = 1. Pokażemy, że nwd(z, ab) = 1. Załóżmy, że P oraz ab i z. Możemy założyć, że a. Lecz bx = z (ay + ab) więc bx. Gdyby b, to nwd(a, b) > 1. Zatem x. Lecz wtedy nwd(x, a) > 1, co jest srzeczne z tym, że x A. (2) Pokażemy teraz, że R = A B. Załóżmy bowiem, że (x 1, y 1 ) A B (x 2, y 2 ) A B oraz f(x 1, y 1 ) = f(x 2, y 2 ). Ustalmy liczby k 1 i k 2 takie, że f(x 1, y 1 ) = bx 1 + ay 1 + k 1 ab oraz f(x 2, y 2 ) = bx 2 + ay 2 + k 2 ab. Wtedy bx 1 + ay 1 + k 1 ab = bx 2 + ay 2 + k 2 ab, 4

5 więc b(x 1 x 2 ) + a(y 1 y 2 ) = (k 2 k 1 )ab. Widzimy, że a b(x 1 x 2 ). Lecz nwd(a, b) = 1, więc a (x 1 x 2 ), zatem x 1 = x 2 Podobnie okazujemy, że y 1 = y 2. Zatem f jest funkcją różnowartościową. (3) Pokażemy teraz, że C R. Ustalmy takie liczby całkowite u i v, że au + bv = 1. Załóżmy, że c C. Wtedy c = bx + ay, gdzie Y = cu i X = cv. Twierdzimy, że nwd(x, a) = 1. Załóżmy, że P oraz X i a. Wtedy c. Więc c i ab, więc nwd(c, ab) > 1, co jest niemożliwe. Podobnie okazujemy, że nwd(y, b) = 1. Niech x = X mod a oraz y = Y mod b. Wtedy x A, y B oraz c = b(x+ka)+a(y +lb) = bx+ay +(k +l)ab dla ewnych liczb całkowitych k i l, więc c = f(x, y). Z (1) oraz (3) wynika, że C = R. Z (2) wynika, że R = A B. Zatem φ(ab) = C = A B = φ(a)φ(b). 2.3 Slot Dirichleta funkcji multilikatywnych Twierdzenie 4. Jeśli f, g AF są multilikatywne, to f g jest multilikatywna. Dowód. Zauważmy najierw, że jeśli nwd(m, n) = 1 oraz d mn, to istnieją takie liczby d 1, d 2, że d 1 m, d 2 n oraz d = d 1 d 2. Zauważmy teraz, że nwd(m, n) = 1. Wtedy (f g)(n) = f(k)g(l) = f(k 1 l 1 )g(k 2 l 2 ) = k 1 m,k 2 m l 1 n,l 2 n k 1l 1=m k 2l 2=n kl=mn f(k 1 )f(l 1 )g(k 2 )g(l 2 ) = k 1l 1=m k 1 m,k 2 n l 1 m,l 2 n k 1l 1=m k 2l 2=n f(k 1 )f(l 1 ) (f g)(m) (f g)(n). k 2l 2=n g(k 2 )g(l 2 ) = Wniosek 2. Funkcja d(n) = 1 jest multilikatywna. Dowód. Mamy (1 1)(n) = (1)1( n d ) = 1 = d(n). Wniosek 3. Funkcja σ(n) = d jest multilikatywna. Dowód. Mamy (Id 1)(n) = Id(d)1( n d ) = d = σ(n). 5

6 Wniosek 4. Funkcja σ k (n) = dk jest multilikatywna. Dowód wynika z oczywistej równości σ k = Id k Funkcja Mobiusa 1 : n = 1 µ(n) = 0 : ( P)( 2 n) ( 1) k : n = 1 2 k A oto odstawowa własność funkcji Mobiusa: Twierdzenie 5. µ 1 = δ Dowód. Obie strony są multilikatywne. Wystarczy je srawdzić dla liczb ostaci k. (µ 1)( k ) = d k µ(d) = µ(1)+µ()+µ( 2 )+... µ( k ) = µ(1)+µ() = 1 1 = 0. Twierdzenie 6. Jeśli f jest multilikatywna, to µ(d)f(d) = f()), µ(d) d(1 2 f(d) = + f()). d(1 Dowód. Zauważmy, że funkcja h(n) = µ(n)f(n) jest multilikatywna oraz, że (h 1)(n) = µ(d)f(d), więc lewa strona ierwszej równości jest multilikatywna. Prawa jest również multilikatywne (to wynika wrost z definicji). Równość wystarczy więc srawdzić dla liczb ostaci k (atrz Wniosek 1): µ(d)f(d) = µ(1)f(1) + µ()f() = 1. d k Drugą równość dowodzi się odobnie. 2.5 Jawny wzór na funkcję Eulera Twierdzenie 7. φ(n) = n n (1 1 ) Dowód. Obie strony są multilikatywne. Srawdzimy rowność dla liczb ostaci k. Zauważmy, że {a N : a n : nwd(a, k ) > 1} = {, 2, 3,..., k 1 }, więc φ( k ) = k k 1 = k (1 1 ). Wniosek 5. ϕ = µ Id 6

7 Dowód. Niech f(n) = 1 n. To jest funkcja multilikatywna. Z 6 mamy (µ Id)(n) = µ(d)id( n d ) = µ(d) n d = n µ(d)f(d) = n (1 f(d)) = n n d(1 1 ) = φ(n). Wniosek 6. ϕ 1 = Id Dowód. Z równości ϕ = µ Id otrzymujemy ϕ 1 = µ Id 1 = (1µ )Id = δ Id = Id. Ostatnią równość możemy zaisać w nastęujące ostaci φ(d) = φ(n). A oto alternatywny, elementarny dowód tej równości: n = { k n : 1 k n} = {k : nwd(k, d) = 1} = {k : nwd(k, d) = 1} = φ(n). 7