1 Elementy analizy funkcjonalnej
|
|
- Wojciech Markiewicz
- 5 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 M. Beśka, Dodatek 1 1 Elementy analizy funkcjonalnej 1.1 Twierdzenia o reprezentacji Zaczniemy od znanego twierdzenia Riesza Twierdzenie 1.1 (Riesz) Niech będzie zwartą przestrzenią metryczną i załóżmy, że I jest liniowym funkcjonałem na C(), który jest nieujemy tzn. I(f) 0 dla f 0. Wtedy istnieje jedyna skończona (nieujemna) miara µ na B() taka, że I(f) = f dµ, f C() Zauważmy ciągłość powyższych nieujemnych funkcjonałów I na C(). Twierdzenia Riesza zostało uogólnione na wektorowe kraty funkcji rzeczywistych określonych na dowolnym zbiorze tj. na liniowe funkcyjne przestrzenie L, które są zamknięte na maksimum, czyli jeśli f, g L, to f g L. Przykładem takiej kraty wektorowej jest C() dla zwartej przestrzeni metrycznej. Inny przykład to C b () przestrzeń ciągłych ograniczonych funkcji określonych na przestrzeni metrycznej. Zauważmy, że w tym przypadku σ(c b ()) = B(). Twierdzenie 1.2 (Daniell-tone) Niech I będzie liniowym funkcjonałem na wektorowej kracie funkcyjnej L - funkcji określonych na o własnościach: (i) Liniowy funkcjonał I jest nieujemny tzn. I(f) 0 dla f 0. (ii) Jeśli {f n } n 1 jest ciągiem w L takim, że f n 0, to I(f n ) 0. Wtedy istnieje jedyna (nieujemna) miara µ na σ(l), taka że I(f) = f dµ, f L. Zauważmy, ze twierdzenie Riesza wynika z twierdzenia Daniella-tone oraz z lematu Diniego. Definicja 1.3 Niech (, F) będzie mierzalną przestrzenią. Odwzorowanie µ : F R nazywamy skończenie addytywna funkcją zbiorów (skończenie addytywną miarą) jeśli µ( ) = 0 i jeśli dla A 1,..., A n F, n 1, parami rozłącznych mamy ( n µ A i ) = µ(a i ).
2 M. Beśka, Dodatek 2 Przez M 1,f := M 1,f (, F) będziemy oznaczać zbiór tych miar skończenie addytywnych µ : F [0, 1], które ponadto są unormowane tj. µ() = 1. Wariacja miary skończenie addytywnej µ definiowana jest wzorem { } µ var := sup µ(a i ) : A 1,..., A n F, n N, A i A j =, 1 i j n. Przestrzeń miar skończenie addytywnych, które mają skończoną wariację oznaczać będziemy przez ba(, F). Przedstawimy teraz konstrukcję całki względem µ ba(, F). Przez X oznaczymy przestrzeń wszystkich mierzalnych ograniczonych funkcji na (, F). Jest ona przestrzenią Banacha w normie F sup := sup F (ω), F X. ω Oznaczmy przez X 0 liniową podprzestrzeń X wszystkich funkcji prostych tj. mających postać F = a i I Ai, funkcji F gdzie n N, a i R, A 1,..., A n F są parami rozłączne. Dla takiego F całkę definiujemy następująco: F dµ := a i µ(a i ). Łatwo sprawdzić, że definicja ta nie zależy od reprezentacji F. Ponadto (1.1) F dµ F sup µ var. Ponieważ X 0 jest gęsta w X względem normy sup, to nierówność (1.1) pozwala określić całkę z funkcji należących do X, jako rozszerzenie ciągłego funkcjonału X 0 F F dµ R. Konstrukcja całki została zakończona. Zauważmy, że M 1,f ba(, F). Wtedy całkę z F X względem Q M 1,f będziemy oznaczać przez E Q [F ] := F dq. Twierdzenie 1.4 Całka (1.2) l(f ) = F dµ, F X,
3 M. Beśka, Dodatek 3 określa wzajemnie jednoznaczną odpowiedniość między ciągłymi liniowymi funkcjonałami l na X, a przestrzenią ba(, F). Dowód. Z definicji całki względem µ i nierówności (1.1) wynika, że dla każdego µ ba(, F) tak określona całka jest liniowyn i ciągłym funkcjonałem na X. W drugą stronę. Niech I będzie liniowym i ciągłym funkcjonałem na X. Określmy µ ba(, F) wzorem µ(a) := l(i A ), A F. Pokażemy ograniczoność wariacji µ. Niech A 1,..., A n F, n 1 będą parami rozłączne oraz niech ε i = ±1 dla i = 1, 2,..., n. Mamy bo µ(a i ) = l(i Ai ) = ( ) ε i l(i Ai ) = l ε i I Ai l, n ε ii Ai sup 1. Z dowolności wyboru A 1,..., A n F, n 1 dostajemy (1.3) µ var l Zauważmy, że całka względem tak określonej miary µ jest równa funkcjonałowi l na X 0. Korzystając teraz z gestości X 0 w X oraz z ciągłości całki i funkcjonału l dostajemy równość (1.2). Uwaga. Z (1.1) i (1.3) mamy równość µ var = l. Zatem odwzorowanie o którym jest mowa w twierdzeniu 4 jest liniową izometrią Uwaga. Twierdzenie 4 daje w szczególności wzajemnie jednoznaczną odpowiedniość między M 1,f, a ciągłymi liniowymi funkcjonałami l na X, takimi że l(1) = 1 oraz l(f ) 0 dla F Twierdzenia o oddzielaniu i słabe topologie Niech (, F, P ) będzie przestrzenią probabilistyczną. Wprowadzimy przestrzenie L p = L p (, F, P ) dla 0 p. Niech p (0, ] i przez L p (, F, P ) oznaczny zbiór wszystkich F mierzalnych rzeczywistych funkcji Z (inaczej zmiennych losowych) na takich, że Z p <, gdzie Z p := { E[ Z p ] 1/p, gdy 0 < p <, inf{c 0 : P { Z > c} = 0}, gdy p =.
4 M. Beśka, Dodatek 4 Przestrzeń L p (, F, P ) jest zbiorem wszystkich P - p.w. skończonych zmiennych losowych. W przestrzeniach L p (, F, P ), p [0, ] wprawadzamy relację równoważności Z 1 Z 2 Z 1 = Z 2, P p.w., dla Z 1, Z 2 L p (, F, P ) Wtedy L p := L p (, F, P )/, p [0, ]. Pisząc Z L p mamy na myśli, że klasa równoważności Z należy do L p. Jeśli p [1,, to L p jest przestrzenią Banacha względem normy p. Przestrzeń L 0 jest wyposażona w topologię zbieżności według P. Topologia ta jest generowana przez metrykę Zuważmy, że d nie pochodzi od normy. d(x, Y ) = E[ X Y 1], X, Y L 0. Definicja 1.5 Przestrzeń liniowa E wyposażona w topologię nazywa się topologiczną przestrzenią wektorową jeśli dla każdego x E zbiór {x} jest zbiorem domkniętym oraz odwzorowania E E (x, y) x + y E i są ciagłe. R E (α, x) αx E Oczywiście każda przestrzeń Banacha jest wektorową przestrzenią topologiczną. Twierdzenie 1.6 W topologicznej przestrzeni wektorowej E dowolne dwa rozłączne wypukłe zbiory A i B z których jeden z nich ma niepuste wnętrze mogą być oddzielone niezerowym ciągłym funkcjonałem l na E tj. l(x) l(y), x A, y B. Dla ścisłego oddzielenia zbiorów A i B potrzebne są dodatkowe założenia. Definicja 1.7 Topologiczna przestrzeń wektorowa E jest lokalnie wypukłą przestrzenią jeśli posiada bazę topologiczną składającą się ze zbiorów wypukłych. Jeśli E jest przestrzenią Banacha z normą, to otwarte kule {y E : y x < r}, x E, r > 0, stanowią topologiczną bazę E. Ponieważ kule w przestrzeni unormowanej są zbiorami wypukłymi, więc dowolna przestrzeń Banacha jest lokalnie wypukła. Przestrzeń L 0 ze zbieżnością według P nie jest lokalnie wypukła o ile P nie ma atomów.
5 M. Beśka, Dodatek 5 Twierdzenie 1.8 (Hahn-Banach) Niech A i B będą niepustymi, rozłącznymi i wypukłymi zbiorami lokalnie wypukłej przestrzeni E. Jeśli A jest zwarty i B jest domknięty, to istnieje ciągły liniowy funkcjonał l na E taki, że sup l(x) < inf l(y). x B y A Natychmiastowym wnioskiem z powyższego twierdzenia jest, że na przestrzeni lokalnie wypukłej zbiór E := {l : R R : l jest liniowy i ciągły} rozdziela punkty E tj. dla x, y E, x y istnieje l E taki, że l(x) l(y). Przestrzeń E nazywamy przestrzenią dualną (sprzężoną) do E. Jak wiadomo przestrzenią dualną do L p, p [1, ) jest L q, gdzie 1/q + 1/p = 1 Kolejna definicja przedstawia naturalny sposób wprowadzania topologii lokalnie wypukłej w przestrzeniach liniowych. Definicja 1.9 Niech E będzie liniową przestrzenią i niech F będzie liniową przestrzenią liniowych funkcjonałów na E, które rozdzialają punkty przestrzeni E. F-topologię na E oznaczamy przez σ(e, F ) i jest to topologia na E, której bazą (topologiczną) są zbiory postaci {y E : l i (y) l i (x) < r, i = 1,..., n}, gdzie n N, x E, l i F, 1 i n oraz r > 0. Jeśli E jest już wyposażona w topologię lokalnie wypukłą, to E -topologię oznaczaną symbolem σ(e, E ) nazywamy słabą topologią na E. Jeśli E jest przestrzenią nieskończenie wymiarową, to na ogół słaba topologia nie jest metryzowalna. Poniższe stwierdzenie podaje podstawowe własności F -topologii. twierdzenie 1.10 Przy założeniach jak w powyższej definicji, mamy (i) Przestrzeń E jest lokalnie wypukłą przestrzenia dla F -topologii. (ii) F -topologia jest najuboższą topologią na E dla której każdy l F jest ciagły. (iii) Dualna przestrzeń do E w F -topologii jest równa F. Twierdzenie 1.11 Niech E będzie lokalnie wypukłą przestrzenią, a A E zbiorem wypukłym. Wtedy A jest domknięty w słabej topologii wtedy i tylko wtedy, gdy jest domknięty w wyjściowej topologii.
6 M. Beśka, Dodatek 6 Dowód. Niech A będzie zbiorem domkniętym w wyjściowej topologii. Z twierdzenia 10 zbiór A jest przekrojem półprzestrzeni H = {l c} takich, że A H, a stąd domkniętym w słabej topologii σ(e, E ). Odwrotne twierdzenie jest oczywiste. Niech E będzie przestrzenią lokalnie wypukłą. Możemy elementy E rozważać jako liniowe funkcjonały na E definiując dla x E liniowy funkcjonał wzorem: x(l) := l(x), l E. E-topologię σ(e, E) otrzymaną w ten sposób nazywamy -słabą topologią na E. Z punktu (iii) stawierdzenia 12 wynika, że E jest przestrzenią dualną do E z topologią σ(e, E). Na przykład L jest przestrzenią dualną do L 1 w topologii generowanej przez normę. Odwrotne twierdzenie nie jest prawdziwe. Jeśli jednak L wyposażymy w -słaba topologię σ(l, L 1 ), wtedy L 1 jest przestrzenią dualną do L z -słabą topologią. Powód dla którego rozważamy słabe topologie w przestrzeniach Banacha czy w przestrzeniach lokalnie wypukłych wynika z tego, że w słabych topologiach mamy więcej zbiorów zwartych niż topologiach wyjściowych. Jak wiadomo przestrzeń Banacha (E, E ) definiuje normę na przestrzeni E wzorem l E := sup l(x), l E. x E 1 Twierdzenie 1.12 (Banach-Alaoglu) Niech E będzie przestrzenia Banach z dualną E. Wtedy {l E : l E r} jest -słabo zwartym zbiorem dla każdego r 0 Twierdzenie 1.13 (Krein-Šmulian) Niech E będzie przestrzenią Banacha i niech A będzie wypukłym podzbiorem E. Wtedy A jest - słabo domkniętym wtedy i tylko wtedy, gdy A {l E : l E r} jest -słabo domknięty dla każdego r > 0. Powyższe twierdzenie implikuje nastepującą charakteryzację -słabo domkniętych zbiorów w L = L (, F, P ), gdzie (, F, P ) jest przestrzenią probabilistyczną. Lemat 1.14 Wypukły zbiór A L jest -słabo domknięty jeśli dla każdego r > 0 zbiór jest domknięty w L 1. A r := A {X L : X r}
7 M. Beśka, Dodatek 7 Dowód. Ponieważ z założenia A r jest zbiorem wypukłym i domkniętym w L 1, więc z twierdzenia 13 jest słabo domknięty w L 1. Ponieważ naturalne zanurzenie (L, σ(l, L 1 )) (L 1, σ(l 1, L )) jest ciągłe, więc zbiór A r jest σ(l, L 1 )-domknięty w L. tąd i z twierdzenia Kreina- Šmuliana dostajemy tezę. Na koniec tego paragrafu podamy kilka faktów o słabo zwartych zbiorach w przestrzeniach Banacha. Twierdzenie 1.15 (Eberlein-Šmulian) Niech E będzie przestrzenią Banacha. Dla każdego A E następujące warunki są równoważne: (a) Zbiór A jest słabo ciągowo zwarty tj. zbieżny w E. każdy ciąg w A ma podciąg, który jest słabo (b) Zbiór A jest słabo relatywnie zwarty tj. słabe domknięcie A jest słabo zwartym zbiorem. Kolejny rezultat podaje charakteryzację słabo relatywnie zwartych zbiorów w L 1. Wynika z niej w szczególności słaba zwartość w L 1 zbioru postaci {f L 1 : f g} dla g L 1. Twierdzenie 1.16 (18), (Dunford-Pettis) Zbiór A L 1 jest słabo relatywnie zwarty w L 1 wtedy i tylko wtedy, gdy jest ograniczony oraz jednostajnie całkowalny. 1.3 Przestrzenie miar Niech będzie przestrzenią topologiczną. Przestrzeń nazywamy metryzowalną jeśli istnieje metryka d na, która generuje topologię na tzn. otwarte kule B ε (x) := {y : d(x, y) < ε}, x, ε > 0, stanowią bazę topologiczną w. Wtedy U jest zbiorem otwartym wtedy i tylko wtedy, gdy U jest sumą kul w metryce d. Jak wiadomo w przestrzeniach metrycznych ich własności topologiczne można charakteryzować w terminach zbieżnych ciągów. Np. A jest zbiorem domkniętym wtedy i tylko wtedy, gdy każdy ciąg zbieżny w A ma granicę w A. Będziemy zawsze zakładać, że jest metryczna i ośrodkowa. Wtedy σ-algebra zbiorów borelowskich B() jest generowana przez otwarte kule B ε (x), gdzie ε > 0, ε Q oraz x należy do ośrodka (ośrodek - podzbiór przeliczalny i gęsty).
8 M. Beśka, Dodatek 8 Przez C b () będziemy oznaczać zbiór wszystkich ograniczonych i ciągłych funkcji na. Oznaczmy M() := M(, B), gdzie B := B() zbiór wszystkich nieujemnych skończonych miar na (, B). Przestrzeń wszystkich probabilistycznych miar na (, B) będziemy oznaczać przez M 1 () := M 1 (, B). Definicja 1.17 łabą topologią na M() nazywamy najuboższą topologię dla której wszystkie odwzorowania M() µ f dµ, f C b (), są ciągłe. Z powyższej definicji wynika, że zbiory n { U ε (µ; f 1,..., f n ) := ν M() : f i dν } f i dµ < ε, gdzie µ M(), ε > 0, n N oraz f 1,..., f n C b () stanowią bazę dla słabej topologii w M(). Ponieważ funkcja f 1 jest ciągła i ograniczona na, więc M 1 () jest domkniętym podzbiorem M(). Przykład. Niech = R. Określmy Jest oczywiste, że µ n := n 1 n δ n δ n oraz µ = δ 0. f dµ n n f dµ dla wszystkich f C b (). tąd µ n jest zbieżny w słabej topologii do µ. Jeśli weźniemy funkcję ciągłą i nieograniczoną np. f(x) = x, wtedy f dµ n = 1 oraz f dµ n = 1 0 = f(0) = f dµ. lim n Twierdzenie 1.18 Przestrzeń M() jest ośrodkowa i metryzowalna w słabej topologii. Jeśli jest przestrzenią polską, to M() też jest. Ponadto, jeśli 0 jest gęstym i przeliczalnym podzbiorem, to zbiór { } α i δ xi : α i Q +, x i 0, n N miar dyskretnych na 0 z nieujemnymi wymiernymi wagami jest gęsty w M() w słabej topologii.
9 M. Beśka, Dodatek 9 Twierdzenie 1.19 Dla dowolnego ciągu µ, µ 1, µ 2,... miar z M(), następujące warunki są równoważne: (a) Ciąg {µ n } n 1 jest słabo zbieżny do µ. (b) µ n () µ() i lim sup n µ n (A) µ(a) dla każdego domkniętego A. (c) µ n () µ() i lim inf n µ n (U) µ(u) dla każdego otwartego A. (d) µ n (B) µ(b) dla każdego zbioru borelowskiego B takiego, że µ( B) = 0. (e) f dµ n f dµ dla każdej ograniczonej mierzalnej funkcji f która jest µ-p.w. ciągła. (f) f dµ n f dµ dla każdej ograniczonej jednostajnie ciągłej funkcji f. Na zakończenie podamy podstawową charakteryzację relatywnie zwartych podzbiorów M() znaną jako Twierdzenie Prohorova. Twierdzenie 1.20 (Prohorov) Niech będzie polską przestrzenią. Podzbiór M M() jest relatywnie zwarty w słabej topologii wtedy i tylko wtedy, gdy sup µ() < µ M oraz jest ciasny tj. dla każdego ε > 0 istnieje zwarty podzbiór K taki, że sup µ(k ) ε. µ M W szczególności M 1 () jest słabo zwarty jeśli jest zwartą przestrzenią metryczną. Przykład. Pokażemy, że M 1 (, F) M 1,f (, F). Niech {A n } n 1 będzie rozbiciem mierzalnym zbioru. Dla każdego n 1 ustalmy ω n A n i określmy funkcjonały l n : X R wzorem l n (X) := 1 X(ω i ) = X dµ n, n 1, n gdzie µ n = 1 n n δ ω i. tąd l n, n 1 są funkcjonałami liniowymi i ciagłymi oraz l n = µ n var = 1. Zatem l n dla n 1 należą do B 1 domkniętej (w normie) kuli jednostkowej (o środku w zerze) w przestrzeni dualnej X. Z twierdzenia Banacha-Alaoglu istnieje punkt skupienia l ciągu {l n } n 1 w -słabej topologii σ(x, X ). Dla każdego X X istnieje
10 M. Beśka, Dodatek 10 podciąg {n k } k 1 taki, że l nk (X) l(x). tąd l(x) 0 dla X 0 oraz l(1) = 1. Z twierdzenia 4 (o reprezentacji ) istnieje µ M 1,f takie, że l(x) = E µ [X]. Ale µ nie jest ) σ-addytywna, bo µ(a n ) = l(i An ) = 0 oraz µ( n=1 A n = µ() = 1, co daje sprzeczność. 1.4 Transformata Fenchel a-legendre a Na poczatku podamy definicję i własności właściwie wypukłych funkcji rzeczywistych Definicja 1.21 Funkcję f : R R {+ } nazywamy właściwie wypukłą funkcją jeśli f(x) < dla pewnego x R oraz f(αx + (1 α)y) α f(x) + (1 α) f(y), x, y R, α [0, 1]. Efektywna dziedzina f jest oznaczana przez dom(f) i składa się z tych x R dla których f(x) <. Zauważmy: 1. Efektywna dziedzina funkcji właściwie wypukłej jest przedziałem = dom(f) na R. 2. Jeśli rozważamy f : R, to f jest funkcja wypukłą w zwykłym sensie. 3. Każdą funkcję wypukłą określoną na przedziale R można rozszerzyć do funkcji właściwie wypukłej określonej na R, przyjmując f(x) = + dla x R \. Twierdzenie 1.22 Niech f będzie funkcją właściwie wypukłą oraz nich D = Int(dom(f)) (i) Funkcja f jest półciągła z góry na dom(f) oraz lokalnie lipschitzowska na D. (ii) Funkcja f posiada jednostronne pochodne f (y) i f +(y) dla y D. Obie pochodne f i f + są niemalejące oraz f f +. (iii) Prawostronna pochodna f + jest prawostronnie ciągła, lewostronna pochodna f jest lewostronnie ciągła. (iv) Funkcja f jest różniczkowalna p.w. na D oraz dla każdego x 0 D mamy f(x) = f(x 0 ) + x x 0 f +(y) dy = f(x 0 ) + x x 0 f (y) dy, x D. Definicja 1.23 Transformatę Fenchel a-legendre a funkcji f : R R {+ } określamy wzorem f (y) := sup(y x f(x)), y R. x R
11 M. Beśka, Dodatek 11 Jeśli f +, to f jest właściwie wypukłą funkcją i półciągłą z dołu jako supremum funkcji afinicznych y yx f(x). W szczególności f jest ciągła na swojej efektywnej dziedzinie. Jeśli f jest właściwie wypukłą funkcją, to f nazywamy funkcją sprzężoną do f. Twierdzenie 1.24 Niech f będzie właściwie wypukłą funkcją. (a) Dla x, y R xy f(x) + f (y) z równością jeśli x Int(dom(f)) oraz y [f (x), f +(x)] (b) Jeśli f jest półciągła z dołu, to f = f tj. f(x) := sup(x y f (y)), x R. y R Niech E będzie przestrzenią lokalnie wypukłą Definicja 1.25 Transformatę Fenchel a-legendre a funkcji f : E R {+ } określamy wzorem f (l) := sup(l(x) f(x)), l E. x E Jeśli f +, to f jest właściwie wypukłą funkcją i półciągłą z dołu jako supremum funkcji afinicznych. Jeśli f jest właściwie wypukłą funkcją, to f nazywamy funkcją sprzężoną do f. Zachodzi nastepujące uogólnienie twierdzenia 26(b). Twierdzenie 1.26 Niech f właściwą funkcją wypukłą na lokalnie wypukłej przestrzeni E. Jeśli f jest półciagła z dołu w słabej topologii σ(e, E ), to f = f
Korzystając z własności metryki łatwo wykazać, że dla dowolnych x, y, z X zachodzi
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, Dodatek 158 10 Dodatek 10.1 Przestrzenie metryczne Niech X będzie niepustym zbiorem. Funkcję d : X X [0, ) spełniającą dla x, y, z X warunki (i) d(x, y) = 0 x = y, (ii)
Bardziej szczegółowo2 Rodziny zbiorów. 2.1 Algebry i σ - algebry zbiorów. M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 2 11
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 2 11 2 Rodziny zbiorów 2.1 Algebry i σ - algebry zbiorów Niech X będzie niepustym zbiorem. Rodzinę indeksowaną zbiorów {A i } i I 2 X nazywamy rozbiciem zbioru X
Bardziej szczegółowo1 Relacje i odwzorowania
Relacje i odwzorowania Relacje Jacek Kłopotowski Zadania z analizy matematycznej I Wykazać, że jeśli relacja ρ X X jest przeciwzwrotna i przechodnia, to jest przeciwsymetryczna Zbadać czy relacja ρ X X
Bardziej szczegółowoA i. i=1. i=1. i=1. i=1. W dalszej części skryptu będziemy mieli najczęściej do czynienia z miarami określonymi na rodzinach, które są σ - algebrami.
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 3 25 3 Miara 3.1 Definicja miary i jej podstawowe własności Niech X będzie niepustym zbiorem, a A 2 X niepustą rodziną podzbiorów. Wtedy dowolne odwzorowanie : A
Bardziej szczegółowoF t+ := s>t. F s = F t.
M. Beśka, Całka Stochastyczna, wykład 1 1 1 Wiadomości wstępne 1.1 Przestrzeń probabilistyczna z filtracją Niech (Ω, F, P ) będzie ustaloną przestrzenią probabilistyczną i niech F = {F t } t 0 będzie rodziną
Bardziej szczegółowoWykłady ostatnie. Rodzinę P podzbiorów przestrzeni X nazywamy σ - algebrą, jeżeli dla A, B P (2) A B P, (3) A \ B P,
Wykłady ostatnie CAŁKA LBSGU A Zasadnicza różnica koncepcyjna między całką Riemanna i całką Lebesgue a polega na zamianie ról przestrzeni wartości i przestrzeni argumentów przy konstrukcji sum górnych
Bardziej szczegółowoZadania z Analizy Funkcjonalnej I* - 1
Zadania z Analizy Funkcjonalnej I* - 1 1. Która z następujących przestrzeni jest przestrzenią Banacha w normie supremum: C(R); C ogr (R) przestrzeń funkcji ciągłych ograniczonych; C zw (R) przestrzeń funkcji
Bardziej szczegółowozbiorów domkniętych i tak otrzymane zbiory domknięte ustawiamy w ciąg. Oznaczamy
5. Funkcje 1 klasy Baire a. Pod koniec XIX i początkiem XX wieku kilku matematyków zajmowało się problemami dotyczącymi klasyfikacji funkcji borelowskich: między innymi R. Baire, E. Borel, H. Lebesgue
Bardziej szczegółowoTeoria miary i całki
Teoria miary i całki Spis treści 1 Wstęp 3 2 lgebra zbiorów 5 3 Pierścienie, ciała, σ ciała zbiorów. 7 3.1 Definicja pierścienia ciała i σ ciała............... 7 3.2 Pierścień, ciało i σ ciało generowane
Bardziej szczegółowo7 Twierdzenie Fubiniego
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, wykład 7 19 7 Twierdzenie Fubiniego 7.1 Miary produktowe Niech i będą niepustymi zbiorami. Przez oznaczmy produkt kartezjański i tj. zbiór = { (x, y : x y }. Niech E oraz
Bardziej szczegółowoZadania z Analizy Funkcjonalnej I Które z poniższych przestrzeni metrycznych są przestrzeniami unormowanymi?
Zadania z Analizy Funkcjonalnej I - 1 1. Które z poniższych przestrzeni metrycznych są przestrzeniami unormowanymi? a) X = R, d(x, y) = arctg x y ; b) X = R n, d(x, y) = x 1 y 1 + x 2 y 2 + max i 3 x i
Bardziej szczegółowoAnaliza Funkcjonalna - Zadania
Analiza Funkcjonalna - Zadania 1 Wprowadzamy następujące oznaczenia. K oznacza ciało liczb rzeczywistych lub zespolonych. Jeżeli T jest dowolnym zbiorem niepustym, to l (T ) = {x : E K : x funkcja ograniczona}.
Bardziej szczegółowoZadania do Rozdziału X
Zadania do Rozdziału X 1. 2. Znajdź wszystkie σ-ciała podzbiorów X, gdy X = (i) {1, 2}, (ii){1, 2, 3}. (b) Znajdź wszystkie elementy σ-ciała generowanego przez {{1, 2}, {2, 3}} dla X = {1, 2, 3, 4}. Wykaż,
Bardziej szczegółowo1 Zbiory. 1.1 Kiedy {a} = {b, c}? (tzn. podać warunki na a, b i c) 1.2 Udowodnić, że A {A} A =.
1 Zbiory 1.1 Kiedy {a} = {b, c}? (tzn. podać warunki na a, b i c) 1.2 Udowodnić, że A {A} A =. 1.3 Pokazać, że jeśli A, B oraz (A B) (B A) = C C, to A = B = C. 1.4 Niech {X t } będzie rodziną niepustych
Bardziej szczegółowoZadania z Analizy Funkcjonalnej I Które z poniższych przestrzeni metrycznych są przestrzeniami unormowanymi?
Zadania z Analizy Funkcjonalnej I - 1 1. Które z poniższych przestrzeni metrycznych są przestrzeniami unormowanymi?. a) X = R, x = arctg x ; b) X = R n, d(x, y) = x 1 y 1 + x 2 y 2 + max i 3 x i y i ;
Bardziej szczegółowoRodzinę spełniającą trzeci warunek tylko dla sumy skończonej nazywamy ciałem (algebrą) w zbiorze X.
1 σ-ciała Definicja 1.1 (σ - ciało) σ - ciałem (σ - algebrą) w danym zbiorze X (zwanym przestrzenią) nazywamy rodzinę M pewnych podzbiorów zbioru X, spełniającą trzy warunki: 1 o M; 2 o jeśli A M, to X
Bardziej szczegółowo1. Struktury zbiorów 2. Miara 3. Miara zewnętrzna 4. Miara Lebesgue a 5. Funkcje mierzalne 6. Całka Lebesgue a. Analiza Rzeczywista.
Literatura P. Billingsley, Miara i prawdopodobieństwo, PWN, Warszawa 1997, P. R. Halmos, Measure theory, Springer-Verlag, 1994, W, Kołodziej, naliza matematyczna, PWN, Warszawa 1978, S. Łojasiewicz, Wstęp
Bardziej szczegółowo1 Przestrzenie Hilberta
M. Beśka, Wykład monograficzny, Dodatek 1 1 Przestrzenie Hilberta 1.1 Podstawowe fakty o przestrzeniach Hilberta Niech H będzie przestrzenią liniową nad ciałem liczb rzeczywistych. Określmy odwzorowanie,
Bardziej szczegółowojest ciągiem elementów z przestrzeni B(R, R)
Wykład 2 1 Ciągi Definicja 1.1 (ciąg) Ciągiem w zbiorze X nazywamy odwzorowanie x: N X. Dla uproszczenia piszemy x n zamiast x(n). Przykład 1. x n = n jest ciągiem elementów z przestrzeni R 2. f n (x)
Bardziej szczegółowon=0 Dla zbioru Cantora prawdziwe są wersje lematu 3.6 oraz lematu 3.8 przy założeniu α = :
4. Zbiory borelowskie. Zbiór wszystkich podzbiorów liczb naturalnych będziemy oznaczali przez ω. Najmniejszą topologię na zbiorze ω, w której zbiory {A ω : x A ω \ y}, gdzie x oraz y są zbiorami skończonymi,
Bardziej szczegółowo8 Całka stochastyczna względem semimartyngałów
M. Beśka, Całka Stochastyczna, wykład 8 148 8 Całka stochastyczna względem semimartyngałów 8.1 Całka stochastyczna w M 2 Oznaczmy przez Ξ zbiór procesów postaci X t (ω) = ξ (ω)i {} (t) + n ξ i (ω)i (ti,
Bardziej szczegółowoRozdział 6. Ciągłość. 6.1 Granica funkcji
Rozdział 6 Ciągłość 6.1 Granica funkcji Podamy najpierw dwie definicje granicy funkcji w punkcie i pokażemy ich równoważność. Definicja Cauchy ego granicy funkcji w punkcie. Niech f : X R, gdzie X R oraz
Bardziej szczegółowoG. Plebanek, MIARA I CAŁKA Zadania do rozdziału 1 28
G. Plebanek, MIARA I CAŁKA Zadania do rozdziału 1 28 1.9 Zadania 1.9.1 Niech R będzie pierścieniem zbiorów. Zauważyć, że jeśli A, B R to A B R i A B R. Sprawdzić, że (R,, ) jest także pierścieniem w sensie
Bardziej szczegółowo7. Miara, zbiory mierzalne oraz funkcje mierzalne.
7. Miara, zbiory mierzalne oraz funkcje mierzalne. Funkcję rzeczywistą µ nieujemną określoną na ciele zbiorów S będziemy nazywali miarą, gdy dla dowolnego ciągu A 0, A 1,... zbiorów rozłącznych należących
Bardziej szczegółowoDystrybucje, wiadomości wstępne (I)
Temat 8 Dystrybucje, wiadomości wstępne (I) Wielkości fizyczne opisujemy najczęściej przyporządkowując im funkcje (np. zależne od czasu). Inną drogą opisu tych wielkości jest przyporządkowanie im funkcjonałów
Bardziej szczegółowoRozdział 4. Ciągi nieskończone. 4.1 Ciągi nieskończone
Rozdział 4 Ciągi nieskończone W rozdziale tym wprowadzimy pojęcie granicy ciągu. Dalej rozszerzymy to pojęcie na przypadek dowolnych funkcji. Jak zauważyliśmy we wstępie jest to najważniejsze pojęcie analizy
Bardziej szczegółowo(b) Suma skończonej ilości oraz przekrój przeliczalnej ilości zbiorów typu G α
FUNKCJE BORELOWSKIE Rodzinę F podzbiorów zbioru X (tzn. F X) będziemy nazywali ciałem gdy spełnione są warunki: (1) Jeśli zbiór Y F, to dopełnienie X \ Y też należy do rodziny F. (2) Jeśli S F jest skończoną
Bardziej szczegółowo1 Ciągłe operatory liniowe
1 Ciągłe operatory liniowe Załóżmy, że E, F są przestrzeniami unormowanymi. Definicja 1.1. Operator liniowy T : E F nazywamy ograniczonym, jeżeli zbiór T (B) F jest ograniczony dla dowolnego zbioru ograniczonego
Bardziej szczegółowoWykłady... b i a i. i=1. m(d k ) inf
Wykłady... CŁKOWNIE FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH Zaczniemy od konstrukcji całki na przedziale domkniętym. Konstrukcja ta jest, w gruncie rzeczy, powtórzeniem definicji całki na odcinku domkniętym w R 1. Przedziałem
Bardziej szczegółowoRodzinę F złożoną z podzbiorów zbioru X będziemy nazywali ciałem zbiorów, gdy spełnione są dwa następujące warunki.
3. Funkcje borelowskie. Rodzinę F złożoną z podzbiorów zbioru X będziemy nazywali ciałem zbiorów, gdy spełnione są dwa następujące warunki. (1): Jeśli zbiór Y należy do rodziny F, to jego dopełnienie X
Bardziej szczegółowoWykład 10. Stwierdzenie 1. X spełnia warunek Borela wtedy i tylko wtedy, gdy każda scentrowana rodzina zbiorów domkniętych ma niepusty przekrój.
Wykład 10 Twierdzenie 1 (Borel-Lebesgue) Niech X będzie przestrzenią zwartą Z każdego pokrycia X zbiorami otwartymi można wybrać podpokrycie skończone Dowód Lemat 1 Dla każdego pokrycia U przestrzeni ośrodkowej
Bardziej szczegółowoAnaliza funkcjonalna 1.
Analiza funkcjonalna 1. Wioletta Karpińska Semestr letni 2015/2016 0 Bibliografia [1] Banaszczyk W., Analiza matematyczna 3. Wykłady. (http://math.uni.lodz.pl/ wbanasz/am3/) [2] Birkholc A., Analiza matematyczna.
Bardziej szczegółowo1 Przestrzenie metryczne
1 Przestrzenie metryczne Definicja 1.1 (metryka) Niech będzie niepustym zbiorem. Funkcję d: R + nazywamy metryką, jeśli spełnia warunki: 1 o d(x, y) = d(y, x) (symetria) 2 o d(x, y) + d(y, z) d(x, z) (nierówność
Bardziej szczegółowoO pewnych klasach funkcji prawie okresowych (niekoniecznie ograniczonych)
(niekoniecznie ograniczonych) Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet im. Adama Mickiewicza, Poznań Będlewo, 25-30 maja 2015 Funkcje prawie okresowe w sensie Bohra Definicja Zbiór E R nazywamy względnie
Bardziej szczegółowo1 Twierdzenie Bochnera-Minlosa
M. Beśka, Twierdzenie Bochnera-Minlosa 1 1 Twierdzenie Bochnera-Minlosa 1.1 Dystrybucje Niech Ω n będzie niepustym zbiorem otwartym. Przez C0 (Ω oznaczmy przestrzeń funkcji gładkich określonych na Ω o
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna 1 - test egzaminacyjny wersja do ćwiczeń
Analiza matematyczna 1 - test egzaminacyjny wersja do ćwiczeń Leszek Skrzypczak 1. Niech E = {x [0, 1] : x = k 2 n k = 1, 2,... 2 n, n = 1, 2, 3,...} Wówczas: (a) Dla dowolnych liczb wymiernych p, q [0,
Bardziej szczegółowoZdzisław Dzedzej. Politechnika Gdańska. Gdańsk, 2013
Zdzisław Dzedzej Politechnika Gdańska Gdańsk, 2013 1 PODSTAWY 2 3 Definicja. Przestrzeń metryczna (X, d) jest zwarta, jeśli z każdego ciągu {x n } w X można wybrać podciąg zbieżny {x nk } w X. Ogólniej
Bardziej szczegółowoPrzestrzenie metryczne. Elementy Topologii. Zjazd 2. Elementy Topologii
Zjazd 2 Przestrzenia metryczna (X, d) nazywamy parę złożona ze zbioru X i funkcji d : X X R, taka, że 1 d(x, y) 0 oraz d(x, y) = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy x = y, 2 d(x, y) = d(y, x), 3 d(x, z) d(x, y)
Bardziej szczegółowoNotatki z Analizy Matematycznej 2. Jacek M. Jędrzejewski
Notatki z Analizy Matematycznej 2 Jacek M. Jędrzejewski Definicja 3.1. Niech (a n ) n=1 będzie ciągiem liczbowym. Dla każdej liczby naturalnej dodatniej n utwórzmy S n nazywamy n-tą sumą częściową. ROZDZIAŁ
Bardziej szczegółowoWstęp do topologii Ćwiczenia
Wstęp do topologii Ćwiczenia Spis treści Przestrzeń metryczna, metryka 2 Kule w przestrzeni metrycznej 2 3 Zbieżność w przestrzeniach metrycznych 4 4 Domknięcie, wnętrze i brzeg 6 5 Zbiory gęste, brzegowe
Bardziej szczegółowoOśrodkowość procesów, proces Wienera. Ośrodkowość procesów, proces Wienera Procesy Stochastyczne, wykład, T. Byczkowski,
Procesy Stochastyczne, wykład, T. Byczkowski, Procesy Stochastyczne, PPT, Matematyka MAP1136 27 luty, 2012 Ośrodkowość procesów Dalej zakładamy, że (Ω, Σ, P) jest zupełną przestrzenią miarową. Definicja.
Bardziej szczegółowoDystrybucje. Marcin Orchel. 1 Wstęp Dystrybucje Pochodna dystrybucyjna Przestrzenie... 5
Dystrybucje Marcin Orchel Spis treści 1 Wstęp 1 1.1 Dystrybucje................................... 1 1.2 Pochodna dystrybucyjna............................ 3 1.3 Przestrzenie...................................
Bardziej szczegółowoRobert Kowalczyk. Zbiór zadań z teorii miary i całki
Robert Kowalczyk Zbiór zadań z teorii miary i całki 2 Zadanie 1 Pokazać, że poniższe dwie definicje σ-ciała M są równoważne: (i) Rodzinę M podzbiorów przestrzeni X nazywamy σ-ciałem jeżeli zachodzą następujące
Bardziej szczegółowoZbiory liczbowe widziane oczami topologa
Zbiory liczbowe widziane oczami topologa Aleksander Błaszczyk Instytut Matematyki Uniwersytetu Ślaskiego Brenna, 25 wrzesień 2018 Aleksander Błaszczyk (UŚ) Zbiory liczbowe widziane oczami topologa Brenna,
Bardziej szczegółowoTwierdzenie spektralne
Twierdzenie spektralne Algebrę ograniczonych funkcji borelowskich na K R będziemy oznaczać przez B (K). Spektralnym rozkładem jedności w przestrzeni Hilberta H nazywamy odwzorowanie, które każdemu zbiorowi
Bardziej szczegółowo4 Kilka klas procesów
Marek Beśka, Całka Stochastyczna, wykład 4 48 4 Kilka klas procesów 4.1 Procesy rosnące i przestrzenie V,, loc Jak poprzednio niech (Ω, F, F, P ) będzie zupełną bazą stochastyczną. Definicja 4.1 Proces
Bardziej szczegółowoWYKŁAD Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ I. dr. Elżbieta Kotlicka. Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki
WYKŁAD Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ I dr. Elżbieta Kotlicka Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki http://im0.p.lodz.pl/~ekot Łódź 2006 Spis treści 1. CIĄGI LICZBOWE 2 1.1. Własności ciągów liczbowych o wyrazach
Bardziej szczegółowoAnaliza funkcjonalna I. Ryszard Szwarc
Analiza funkcjonalna I Ryszard Szwarc Wrocław 2010 2 Spis treści 1 Przestrzenie unormowane 3 1.1 Dodatek.............................. 13 2 Operatory liniowe 15 3 Przestrzenie Hilberta 26 3.1 Podstawowe
Bardziej szczegółowo1 Działania na zbiorach
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 1 1 1 Działania na zbiorach W rozdziale tym przypomnimy podstawowe działania na zbiorach koncentrując się na własnościach tych działań, które będą przydatne w dalszej
Bardziej szczegółowoZadania z Rachunku Prawdopodobieństwa III - 1
Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa III - 1 Funkcją tworzącą momenty (transformatą Laplace a) zmiennej losowej X nazywamy funkcję M X (t) := Ee tx, t R. 1. Oblicz funkcję tworzącą momenty zmiennych o
Bardziej szczegółowoKRATY BANACHA. Marek Kosiek. Wykład monograficzny dla studentów Uniwersytetu Jagiellońskiego
KRATY BANACHA Marek Kosiek Wykład monograficzny dla studentów Uniwersytetu Jagiellońskiego Spis treści Rozdział 1. Kraty wektorowe i operatory dodatnie 5 1. Kraty wektorowe 5 2. Operatory dodatnie 7 3.
Bardziej szczegółowoTopologia I*, jesień 2012 Zadania omawiane na ćwiczeniach lub zadanych jako prace domowe, grupa 1 (prowadzący H. Toruńczyk).
Topologia I*, jesień 2012 Zadania omawiane na ćwiczeniach lub zadanych jako prace domowe, grupa 1 (prowadzący H. Toruńczyk). Zadania w dużej mierze pochodzą z zestawu zadań w rozdziale 8 skryptu autorów
Bardziej szczegółowoTeoria miary. WPPT/Matematyka, rok II. Wykład 5
Teoria miary WPPT/Matematyka, rok II Wykład 5 Funkcje mierzalne Niech (X, F) będzie przestrzenią mierzalną i niech f : X R. Twierdzenie 1. NWSR 1. {x X : f(x) > a} F dla każdego a R 2. {x X : f(x) a} F
Bardziej szczegółowoPrawa wielkich liczb, centralne twierdzenia graniczne
, centralne twierdzenia graniczne Katedra matematyki i ekonomii matematycznej 17 maja 2012, centralne twierdzenia graniczne Rodzaje zbieżności ciągów zmiennych losowych, centralne twierdzenia graniczne
Bardziej szczegółowoInformacja o przestrzeniach Sobolewa
Wykład 11 Informacja o przestrzeniach Sobolewa 11.1 Definicja przestrzeni Sobolewa Niech R n będzie zbiorem mierzalnym. Rozważmy przestrzeń Hilberta X = L 2 () z iloczynem skalarnym zdefiniowanym równością
Bardziej szczegółowoRepetytorium z przedmiotu Miara i prawdopodobieństwo dla kierunku Informatyka 2003/2004. Adam Jakubowski
Repetytorium z przedmiotu Miara i prawdopodobieństwo dla kierunku Informatyka 2003/2004 Adam Jakubowski Uniwersytet Mikołaja Kopernika Wydział Matematyki i Informatyki Toruń, styczeń 2004 Spis treści
Bardziej szczegółowoRachunek różniczkowy i całkowy w przestrzeniach R n
Rachunek różniczkowy i całkowy w przestrzeniach R n Na dzisiejszym wykładzie rozważać będziemy funkcje f : R m R n Każda taka funkcję f można przedstawić jako wektor funkcji (f 1, f 2,, f n ), gdzie każda
Bardziej szczegółowoTopologia I Wykład 4.
Topologia I Wykład 4. Stefan Jackowski 24 października 2012 Przeciąganie topologii przez rodzinę przekształceń X zbiór. f = {f i : X Y i } i I rodziną przekształceń o wartościach w przestrzeniach topologicznych
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna / Witold Kołodziej. wyd Warszawa, Spis treści
Analiza matematyczna / Witold Kołodziej. wyd. 5. - Warszawa, 2010 Spis treści Wstęp 1. Podstawowe pojęcia mnogościowe 13 1. Zbiory 13 2. Działania na zbiorach 14 3. Produkty kartezjańskie 15 4. Relacje
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka
Wykład IV: 27 października 2014 Współczynnik korelacji Brak korelacji a niezależność Definicja współczynnika korelacji Współczynnikiem korelacji całkowalnych z kwadratem zmiennych losowych X i Y nazywamy
Bardziej szczegółowoDefinicja odwzorowania ciągłego i niektóre przykłady
Odwzorowania Pojęcie odwzorowania pomiędzy dwoma zbiorami było już definiowane, ale dawno, więc nie od rzeczy będzie przypomnieć, że odwzorowaniem nazywamy sposób przyporządkowania (niekoniecznie każdemu)
Bardziej szczegółowoRepetytorium z przedmiotu MIARA I PRAWDOPODOBIEŃSTWO dla kierunku Informatyka 2001/2002. Adam Jakubowski
Repetytorium z przedmiotu MIARA I PRAWDOPODOBIEŃSTWO dla kierunku Informatyka 2001/2002 Adam Jakubowski Uniwersytet Mikołaja Kopernika Wydział Matematyki i Informatyki Toruń, 2002 Spis treści Wstęp 1
Bardziej szczegółowoFunkcje mierzalne, całka z funkcji nieujemnej, twierdzenia o przechodzeniu do granicy pod znakiem całki
Funkcje mierzalne, całka z funkcji nieujemnej, twierdzenia o przechodzeniu do granicy pod znakiem całki Ostatnio poprawiłem 25 stycznia 2015 r. Nadeszła pora na całkowanie. Pierwsza rzecza jest zdefiniowanie
Bardziej szczegółowof(t) f(x), D f(x) = lim sup t x oraz D f(x) = lim inf
9. Różniczkowanie. Jeśli f jest funkcją rzeczywistą, to granice D + f(x) = lim sup t x + f(t) f(x), D f(x) = lim sup t x t x f(t) f(x), t x f(t) f(x) f(t) f(x) D + f(x) = lim inf oraz D f(x) = lim inf
Bardziej szczegółowoNotatki do wykładu Analiza 4
Instytut Matematyczny Uniwersytetu Wrocławskiego Grzegorz Plebanek Notatki do wykładu Analiza 4 Rozdział I: Funkcje na przestrzeniach metrycznych Wrocław 2004 O skrypcie Skrypt ten, traktowany łącznie
Bardziej szczegółowoCiągłość funkcji f : R R
Ciągłość funkcji f : R R Definicja 1. Otoczeniem o promieniu δ > 0 punktu x 0 R nazywamy zbiór O(x 0, δ) := (x 0 δ, x 0 + δ). Otoczeniem prawostronnym o promieniu δ > 0 punktu x 0 R nazywamy zbiór O +
Bardziej szczegółowo2.7 Przestrzenie unormowane skończenie wymiarowe
2.7 Przestrzenie unormowane skończenie wymiarowe Rozważamy teraz przestrzenie unormowane X skończenie wymiarowe. Załóżmy, że dimx = m. Niech dalej e,e 2,...,e m będzie bazą algebraiczną tej przestrzeni
Bardziej szczegółowoMatematyka II. Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr letni 2018/2019 wykład 13 (27 maja)
Matematyka II Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr letni 208/209 wykład 3 (27 maja) Całki niewłaściwe przedział nieograniczony Rozpatrujemy funkcje ciągłe określone na zbiorach < a, ),
Bardziej szczegółowoTemperatura w atmosferze (czy innym ośrodku) jako funkcja dł. i szer. geogr. oraz wysokości.
Własności Odległości i normy w Będziemy się teraz zajmować funkcjami od zmiennych, tzn. określonymi na (iloczyn kartezja/nski egzemplarzy ). Punkt należący do będziemy oznaczać jako Przykł. Wysokość terenu
Bardziej szczegółowoTEST A. A-1. Podaj aksjomaty przestrzeni topologicznej według W. Sierpińskiego: aksjomaty
TEST A A-1. Podaj aksjomaty przestrzeni topologicznej według W. Sierpińskiego: aksjomaty T 1 przestrzeni. Czym ta aksjomatyka różni się od aksjomatyki zbiorów otwartych? A-2. Ile różnych zbiorów otwartych
Bardziej szczegółowoStanisław Betley, Józef Chaber, Elżbieta Pol i Roman Pol TOPOLOGIA I. wykłady i zadania
Stanisław Betley, Józef Chaber, Elżbieta Pol i Roman Pol TOPOLOGIA I wykłady i zadania WSTĘP. Materiał w skrypcie odpowiada programowi zajęć z Topologii I w trzecim semestrze studiów na Wydziale MIM Uniwersytetu
Bardziej szczegółowoStatystyka i eksploracja danych
Wykład II: i charakterystyki ich rozkładów 24 lutego 2014 Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa, cz. II Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa,
Bardziej szczegółowoStanisław Betley, Józef Chaber, Elżbieta Pol i Roman Pol TOPOLOGIA I. wykłady i zadania. luty 2013
Stanisław Betley, Józef Chaber, Elżbieta Pol i Roman Pol TOPOLOGIA I wykłady i zadania luty 2013 WSTĘP. Materiał w skrypcie odpowiada programowi zajęć z Topologii I w trzecim semestrze studiów na Wydziale
Bardziej szczegółowoElementy Teorii Miary i Całki
Elementy Teorii Miary i Całki c Lech Drewnowski Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet im. dama Mickiewicza w Poznaniu Poznań 2008 http://main2.amu.edu.pl/ drewlech/dydaktyka.html http://main2.amu.edu.pl/
Bardziej szczegółowo(c) Wykazać, że (X, ϱ) jest spójna wtedy i tylko wtedy, gdy (X j, ϱ j ) jest spójna, j = 1,..., N.
1. Przestrzenie metryczne Zadanie 1.1. Czy może się zdarzyć, że B(a, r) B(a, r)? Zadanie 1.2. Czy może się zdarzyć, że kula nie jest zbiorem spójnym? Zadanie 1.3. Niech (X, d) będzie przestrzenią metryczną
Bardziej szczegółowoA-1. Podaj aksjomaty przestrzeni topologicznej według W. Sierpińskiego: aksjomaty
A-1. Podaj aksjomaty przestrzeni topologicznej według W. Sierpińskiego: aksjomaty T 1 przestrzeni. Czym ta aksjomatyka różni się od aksjomatyki zbiorów otwartych? A-2. Wyprowadź z aksjomatów topologii
Bardziej szczegółowo3. Funkcje wielu zmiennych
3 Funkcje wielu zmiennych 31 Ciagłość Zanim podamy definicję ciagłości dla funkcji wielu zmiennych wprowadzimy bardzo ogólne i abstrakcyjne pojęcie przestrzeni metrycznej Przestrzeń metryczna Metryka w
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka
Wykład VII: Rozkład i jego charakterystyki 22 listopada 2016 Uprzednio wprowadzone pojęcia i ich własności Definicja zmiennej losowej Zmienna losowa na przestrzeni probabilistycznej (Ω, F, P) to funkcja
Bardziej szczegółowoWykład 21 Funkcje mierzalne. Kostrukcja i własności całki wzglȩdem miary przeliczalnie addytywnej
Wykład 2 Funkcje mierzalne. Kostrukcja i własności całki wzglȩdem miary przeliczalnie addytywnej czȩść II (opracował: Piotr Nayar) Definicja 2.. Niech (E, E) bȩdzie przestrzenia mierzalna i niech λ : E
Bardziej szczegółowoStatystyka i eksploracja danych
Projekt pn. Wzmocnienie potencjału dydaktycznego UMK w Toruniu w dziedzinach matematyczno-przyrodniczych realizowany w ramach Poddziałania 4.1.1 Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki Statystyka i eksploracja
Bardziej szczegółowoZADANIA PRZYGOTOWAWCZE DO EGZAMINU Z UKŁADÓW DYNAMICZNYCH
ZADANIA PRZYGOTOWAWCZE DO EGZAMINU Z UKŁADÓW DYNAMICZNYCH Punkty okresowe, zbiory graniczne, sprzężenia Zadanie 1. Pokazać, że trajektoria (w przód) punktu x w przestrzeni metrycznej X pod działaniem ciągłego
Bardziej szczegółowoPRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE
Nazwa przedmiotu: Analiza Funkcjonalna II Functional Analysis II Kierunek: Rodzaj przedmiotu: Obowiązkowy dla wszystkich specjalności Rodzaj zajęć: wykład, ćwiczenia Matematyka Poziom kwalifikacji: II
Bardziej szczegółowoO pewnych związkach teorii modeli z teorią reprezentacji
O pewnych związkach teorii modeli z teorią reprezentacji na podstawie referatu Stanisława Kasjana 5 i 12 grudnia 2000 roku 1. Elementy teorii modeli Będziemy rozważać język L składający się z przeliczalnej
Bardziej szczegółowoZadania z Koncentracji Miary I
Zadania z Koncentracji Miary I Przez λ n oznaczamy n-wymiarową miarę Lebesgue a, a przez σ n unormowaną miarę powierzchniową na S n. Jeśli µ jest miarą na X, d), to określamy dla dowolnego zbioru A miarę
Bardziej szczegółowoUniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu
Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu Wydział Matematyki i Informatyki Krzysztof Frączek Analiza Matematyczna II Wykład dla studentów II roku kierunku informatyka Toruń 2009 Spis treści 1 Przestrzenie
Bardziej szczegółowoZbiory wypukłe i stożki
Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej 28 kwietnia 2016 Hiperpłaszczyzna i półprzestrzeń Definicja Niech a R n, a 0, b R. Zbiór H(a, b) = {x R n : (a x) = b} nazywamy hiperpłaszczyzną, zbiory {x R
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka
Wykład II: Zmienne losowe i charakterystyki ich rozkładów 13 października 2014 Zmienne losowe Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa, cz. II Definicja zmiennej losowej i jej
Bardziej szczegółowo2. Wykaż, że moment pierwszego skoku w procesie Poissona. S 1 := inf{t : N t > 0} jest zmienną losową o rozkładzie wykładniczym z parametrem λ.
Zadania z Procesów Stochastycznych 1 1. Udowodnij, że z prawdopodobieństwem 1 trajektorie procesu Poissona są niemalejące, przyjmują wartości z Z +, mają wszystkie skoki równe 1 oraz dążą do nieskończoności.
Bardziej szczegółowoZAGADNIENIA DO EGZAMINU MAGISTERSKIEGO
ZAGADNIENIA DO EGZAMINU MAGISTERSKIEGO Na egzaminie magisterskim student powinien: 1) omówić wyniki zawarte w pracy magisterskiej posługując się swobodnie pojęciami i twierdzeniami zamieszczonymi w pracy
Bardziej szczegółowoWeronika Siwek, Metryki i topologie 1. (ρ(x, y) = 0 x = y) (ρ(x, y) = ρ(y, x))
Weronika Siwek, Metryki i topologie 1 Definicja 1. Załóżmy, że X, ρ: X X [0, ). Funkcja ρ spełnia następujące warunki: 1. x,y X (ρ(x, y) = 0 x = y) 2. 3. (ρ(x, y) = ρ(y, x)) x,y X (ρ(x, y) ρ(x, z) + ρ(z,
Bardziej szczegółowoANALIZA MATEMATYCZNA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ
ANALIZA MATEMATYCZNA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ FUNKCJE DWÓCH ZMIENNYCH RZECZYWISTYCH Definicja 1. Niech A będzie dowolnym niepustym zbiorem. Metryką w zbiorze A nazywamy funkcję rzeczywistą
Bardziej szczegółowoAnaliza I.2*, lato 2018
Analiza I.2*, lato 218 Marcin Kotowski 14 czerwca 218 Zadanie 1. Niech x (, 1) ma rozwinięcie binarne.x 1 x 2.... Niech dla x, 1: oraz f() = f(1) =. Pokaż, że f: f(x) = lim sup n (a) przyjmuje wszystkie
Bardziej szczegółowoO zastosowaniach twierdzeń o punktach stałych
O zastosowaniach twierdzeń o punktach stałych Marcin Borkowski Streszczenie Wszyscy znamy twierdzenie Banacha o kontrakcji czy twierdzenie Brouwera o punkcie stałym. Stosunkowo rzadko jednak mamy okazję
Bardziej szczegółowoWykład 1. Przestrzeń Hilberta
Wykład 1. Przestrzeń Hilberta Sygnały. Funkcje (w języku inżynierów - sygnały) które będziemy rozważali na tym wykładzie będą kilku typów Sygnały ciągłe (analogowe). ) L (R) to funkcje na prostej spełniające
Bardziej szczegółowoZagadnienia stacjonarne
Zagadnienia stacjonarne Karol Hajduk 19 grudnia 2012 Nierówność wariacyjna (u (t), v u(t)) + a(u, v u) + Ψ(v) Ψ(u) (f, v u), v V. Zagadnienie stacjonarne ma postać (u (t) = 0): a(u, v u) + Ψ(v) Ψ(u) (f,
Bardziej szczegółowoPraca magisterska. Równania całkowe i teoria Hilberta-Schmidta
Politechnika Łódzka wydział FTIMS Praca magisterska Równania całkowe i teoria Hilberta-Schmidta Piotr Kowalski Promotor Pracy : dr Jerzy Kalina Kierunek: Matematyka Stosowana Specjalność: Matematyka Finansowa
Bardziej szczegółowoInformacja o przestrzeniach Hilberta
Temat 10 Informacja o przestrzeniach Hilberta 10.1 Przestrzenie unitarne, iloczyn skalarny Niech dana będzie przestrzeń liniowa X. Załóżmy, że każdej parze elementów x, y X została przyporządkowana liczba
Bardziej szczegółowoSIMR 2016/2017, Analiza 2, wykład 1, Przestrzeń wektorowa
SIMR 06/07, Analiza, wykład, 07-0- Przestrzeń wektorowa Przestrzeń wektorowa (liniowa) - przestrzeń (zbiór) w której określone są działania (funkcje) dodawania elementów i mnożenia elementów przez liczbę
Bardziej szczegółowoPEWNE FAKTY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA
PEWNE FAKTY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA 1. Trójkę (Ω, F, P ), gdzie Ω, F jest σ-ciałem podzbiorów Ω, a P jest prawdopodobieństwem określonym na F, nazywamy przestrzenią probabilistyczną. 2. Rodzinę F
Bardziej szczegółowo