Stateczność ramy. Wersja komputerowa

Transkrypt

1 Zakład Mechaniki Budowli Prowadzący: dr hab. inż. Przemysław Litewka Ćwiczenie projektowe 2 Stateczność ramy. Wersja komputerowa Daniel Sworek gr. KB2 Rok akademicki 1/11 Semestr 2, II Grupa: KB2 Daniel Sworek strona - 1 -

2 SPIS TREŚCI: 1. Dane do ćwiczenia Rozkład sił normalnych od zadanego obciążenia Wyznaczenie globalnej macierzy sztywności oraz macierzy geometrycznej Pręt nr 1 obustronnie utwierdzony Pręt nr 2 obustronnie utwierdzony Pręt nr 3 obustronnie utwierdzony Pręt nr 4 przegub na lewym końcu Agregacja macierzy sztywności K oraz macierzy geometrycznej K G Wyznaczenie wartości obciążenia krytycznego oraz postaci wyboczenia Obliczenie przemieszczeń oraz sił przekrojowych w ramie uwzględniając siły osiowe dla obciążenia odpowiadającego połowie obciążenia krytycznego (jedna iteracja) Macierze geometryczne prętów Pręt nr 1 obustronnie utwierdzony Pręt nr 2 obustronnie utwierdzony Pręt nr 3 obustronnie utwierdzony Pręt nr 4 przegub z lewej strony Macierz kolumnowa sił przywęzłowych Uwzględnienie warunków brzegowych Wyznaczenie wewnętrznych sił przywęzłowych Porównanie wyników Grupa: KB2 Daniel Sworek strona - 2 -

3 1. Dane do ćwiczenia moduł Young a: 25 25/ przekrój 1 I26 o o o o 53, , przekrój 2 I24 o o o o 46, , ,5 schemat ramy i obciążenie zewnętrzne Układ globalny x 6, 5, 2,/ 2 51, y ,5 5, 4, przyjęcie kolejności i kierunków przemieszczeń globalnych układu ramowego Układ globalny x 2 2 y ,5 5, 4, Grupa: KB2 Daniel Sworek strona - 3 -

4 2. Rozkład sił normalnych od zadanego obciążenia Wykres sił normalnych wyznaczono za pomocą programu RM-Win: 1-1,456-63,138-4,65-51,573-51, ,456-63,138-4,65 [kn] 3. Wyznaczenie globalnej macierzy sztywności oraz macierzy geometrycznej Macierze, które zostaną wykorzystane w ćwiczeniu: Pręt obustronnie utwierdzony Macierze sztywności Pręt z przegubem na lewym końcu Pręt obustronnie utwierdzony Macierze geometryczne Pręt z przegubem na lewym końcu Grupa: KB2 Daniel Sworek strona - 4 -

5 Macierz transformacji Pręt nr 1 obustronnie utwierdzony Schemat pręta nr ,5 α 1 5, 5, 3,5 6,1 34,99 Macierz sztywności pręta nr 1 w układzie lokalnym:, , ,95 622,7 1897,39-622,7 1897, , ,7-1897, , , ,95-622,7-1897,39 622,7-1897, , ,3-1897, ,7 Macierz geometryczna pręta nr 1 w układzie lokalnym:,,,,,,,, -,2864 -,1456,,2864 -,1456, -,1456-1,1842,,1456,2961,,,,,,,,2864,1456, -,2864,1456, -,1456,2961,,1456-1,1842 Macierz transformacji pręta nr 1:,8193 -,5734,5734,8193, 1,8193 -,5734,5734, Transponowana macierz transformacji pręta nr 1: Grupa: KB2 Daniel Sworek strona - 5 -

6 ,,8193,5734 -,5734,8193 1,8193,5734 -,5734, Macierz sztywności pręta nr 1 w układzie globalnym:,,,,,,,,, 12441, , , , , , , , , , , , , , ,7-187, , , , , , , , , , , , , , , , , ,3-187, , ,7 Macierz geometryczna pręta nr 1 w układzie globalnym: -,942 -,1346 -,835,942,1346 -,835 -,1346 -,1922 -,1193,1346,1922 -,1193, -,835 -,1193-1,1842,835,1193,2961,942,1346,835 -,942 -,1346,835,1346,1922,1193 -,1346 -,1922,1193 -,835 -,1193,2961,835,1193-1, Pręt nr 2 obustronnie utwierdzony Schemat pręta nr 2: 2 2 4, Macierz sztywności pręta nr 2 w układzie lokalnym:, 4,, , ,5 1633, , , , , ,5-3267, , , ,5-1633, , , , , , , ,5 Macierz geometryczna pręta nr 2 w układzie lokalnym:,,,,,,,, -15,4719-5,1573, 15,4719-5,1573, -5, ,556, 5,1573 6,8764,,,,,,, 15,4719 5,1573, -15,4719 5,1573, -5,1573 6,8764, 5, ,556 Grupa: KB2 Daniel Sworek strona - 6 -

7 Macierz transformacji pręta nr 2: 1 1, Transponowana macierz transformacji pręta nr 2:, Macierz sztywności pręta nr 2 w układzie globalnym:,,,,,,,,, , ,5 1633, , , , , ,5-3267, , , ,5-1633, , , , , , , ,5 Macierz geometryczna pręta nr 2 w układzie globalnym:,,,,,,, -15,4719-5,1573, 15,4719-5,1573,, -5, ,556, 5,1573 6,8764,,,,,,, 15,4719 5,1573, -15,4719 5,1573, -5,1573 6,8764, 5, , Pręt nr 3 obustronnie utwierdzony Schemat pręta nr 3: 3 1 3,5 α 3 3,5 9, Grupa: KB2 Daniel Sworek strona - 7 -

8 Macierz sztywności pręta nr 3 w układzie lokalnym:, , , , , , , , , -5763, , , , , , , , , , -5763, , Macierz geometryczna pręta nr 3 w układzie lokalnym:,,,,,,,, -21,6473-6,3138, 21,6473-6,3138, -6, ,4644, 6,3138 7,3661,,,,,,, 21,6473 6,3138, -21,6473 6,3138, -6,3138 7,3661, 6, ,4644 Macierz transformacji pręta nr 3: -1 1, Transponowana macierz transformacji pręta nr 3:, Macierz sztywności pręta nr 3 w układzie globalnym:,,,, ,,,,, 3293, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , Macierz geometryczna pręta nr 2 w układzie globalnym: -21,6473, -6, ,6473, -6,3138,,,,,,, -6,3138, -29,4644 6,3138, 7, ,6473, 6, ,6473, 6,3138,,,,,, -6,3138, 7,3661 6,3138, -29,4644 Grupa: KB2 Daniel Sworek strona - 8 -

9 3.4. Pręt nr 4 przegub na lewym końcu Schemat pręta nr 4: 4 1 3,5 α 4 3,5 9, Macierz sztywności pręta nr 4 w układzie lokalnym:, , ,71 823,35-823, , , ,71-823,35 823, , , ,71 186, Macierz geometryczna pręta nr 4 w układzie lokalnym:,,,,,,,, -1,3937,, 1,3937 -,813,,,,,,,,,,,,, 1,3937,, -1,3937,465, -,813,,,813-2,8455 Macierz transformacji pręta nr 4: -1 1, Transponowana macierz transformacji pręta nr 4:, Grupa: KB2 Daniel Sworek strona - 9 -

10 Macierz sztywności pręta nr 4 w układzie globalnym:,,,,,,,,, 823,35-823, , , ,71-823,35 823, , , , , ,71 186, Macierz geometryczna pręta nr 4 w układzie globalnym: -1,3937,, 1,3937, -,813,,,,,,,,,,,,, 1,3937,, -1,3937,,465,,,,,, -,813,,,813, -2,8455 Tabela powiązań: 3.5 Agregacja macierzy sztywności K oraz macierzy geometrycznej K G Pręt Grupa: KB2 Daniel Sworek strona - 1 -

11 Globalna macierz sztywności K: Po zsumowaniu elementów w poszczególnych komórkach, globalna macierz sztywności przybiera następującą postać: , ,33 187, , , , , , , , , , , , ,7-187, , , , , , , , , ,5-3293, , , , , , , , , , , , , ,3-6851, , , , , , , , , ,71-823, , , ,3-3267, , , , , , ,5 2881, , , , , , , , , 5763, , , ,71 823, , ,71 15 W wierszu i kolumnie 4,5,6 należy dodać do siebie odpowiednie elementy macierzy K 1, K 2 i K 3. W wierszu i kolumnie 7,8,9 należy dodać do siebie odpowiednie elementy macierzy K 2 i K 4. Grupa: KB2 Daniel Sworek strona

12 Globalna macierz geometryczna K G : Po zsumowaniu elementów w poszczególnych komórkach, globalna macierz geometryczna przybiera następującą postać: ,942 -,1346 -,835,942,1346 -,835,,,,,,,,, 2 -,1346 -,1922 -,1193,1346,1922 -,1193,,,,,,,,, 3 -,835 -,1193-1,1842,835,1193,2961,,,,,,,,, 4,942,1346,835-21,7415 -,1346 6,3973,,, 21,6473, 6,3138,,, 5,1346,1922,1193 -, ,6641-5,38, 15,4719-5,1573,,,,,, 6 -,835 -,1193,2961 6,3973-5,38-58,1542, 5,1573 6,8764-6,3138, 7,3661,,, 7,,,,,, -1,3937,,465,,, 1,3937,, 8,,,, 15,4719 5,1573, -15,4719 5,1573,,,,,, 9,,,, -5,1573 6,8764,813 5,1573-3,3511,,, -,813,, 1,,, -21,6473, 6,3138,,, -21,6473, -6,3138,,, 11,,,,,,,,,,,,,,, 12,,, 6,3138, -29,4644,,, -6,3138, -29,4644,,, 13,,,,,, 1,3937, -,813,,, -1,3937,, 14,,,,,,,,,,,,,,, 15,,,,,,,,,,,,,,, W wierszu i kolumnie 4,5,6 należy dodać do siebie odpowiednie elementy macierzy K 1, K 2 i K 3. W wierszu i kolumnie 7,8,9 należy dodać do siebie odpowiednie elementy macierzy K 2 i K 4. Grupa: KB2 Daniel Sworek strona

13 Po uwzględnieniu warunków podparcia (wykreślenie wierszy i kolumn nr: 1, 2, 3, 1, 11, 12, 13, 14) oraz redukcji kąta obrotu przy przegubie (wykreślenie wiersza i kolumny nr 15) otrzymano zredukowane macierze: sztywności K RED oraz geometryczną K G RED : , , , , , , , , ,19 K RED = , , , , , , , , , , ,3-3267, , , , , , ,7415 -,1346 6,3973,,, 5 -, ,6641-5,38, 15,4719-5,1573 K G RED = 6 6,3973-5,38-58,1542, 5,1573 6,8764 7,,, -1,3937,,465 8, 15,4719 5,1573, -15,4719 5,1573 9, -5,1573 6,8764,813 5,1573-3, Wyznaczenie wartości obciążenia krytycznego oraz postaci utraty stateczności Wyznaczenie wartości obciążenia krytycznego sprowadza się do rozwiązania równania równowagi układu: Sprowadzając powyższe równanie do postaci problemu własnego otrzymano: Do rozwiązania równania problemu własnego posłużono się programem upw, skąd otrzymano następujące wartości własne:,3916 1,3916 1,8395 1,8395 1, , , , , , , , ,,,,, Grupa: KB2 Daniel Sworek strona

14 Dla przyjętego wektor własny ma postać:,2272,876726,99744,865612, ,691 Zatem pełna macierz kolumnowa przemieszczeń węzłów w układzie globalnym ma następującą postać: q= 1, 2, 3, 4,2272 5, , , , ,691 1, 11, 12, 13, 14, 15, Macierze kolumnowe przemieszczeń poszczególnych prętów w układzie globalnym: q 1 =,2272,876726,99744 q 2 = q 3 = q 4 =,2272,865612,2272,865612, ,163974, ,163974, ,691, ,691 Macierze kolumnowe przemieszczeń poszczególnych prętów w układzie lokalnym: =,2272,876726,99744 = = =,115844, ,87673,163974, ,163974,2272,865612, ,691, ,691 Grupa: KB2 Daniel Sworek strona

15 Funkcje kształtu do wyznaczenia przemieszczeń prętów: Dla pręta obustronnie utwierdzonego Dla pręta z przegubem z lewej strony nie występuje Wartości przemieszczeń wyznaczono w pięciu miejscach każdego pręta według poniższych wzorów: Pręt nr 1 obustronnie utwierdzony x x/l N1 N2 N3 N4 N5 N6 u v,, 1, 1,,,,,,, 1,525,25,75,8438,8578,25,1563 -,2859,29 -, ,5,5,5,5,7625,5,5 -,7625,579 -, ,575,75,25,1563,2859,75,8438 -,8578,869 -, ,1 1,,,, 1, 1,,,1158,1881 Pręt nr 2 obustronnie utwierdzony x x/l N1 N2 N3 N4 N5 N6 u v,, 1, 1,,,,,,227,877 1,,25,75,8438,5625,25,1563 -,1875,1737, ,,5,5,5,5,5,5 -,5,1446 1,648 3,,75,25,1563,1875,75,8438 -,5625,1156, , 1,,,, 1, 1,,,866 -,16 Pręt nr 3 obustronnie utwierdzony x x/l N1 N2 N3 N4 N5 N6 u v,, 1, 1,,,,,,,,875,25,75,8438,4922,25,1563 -,1641 -,219 -,1648 1,75,5,5,5,4375,5,5 -,4375 -,438 -, ,625,75,25,1563,1641,75,8438 -,4922 -,658 -, ,5 1,,,, 1, 1,, -,877,227 Pręt nr 4 przegub na lewym końcu x x/l N1 N2 N3 N4 N5 N6 u v,, 1, 1,,,,,,,,875,25,75,6328,,25,3672 -,412,4, ,75,5,5,3125,,5,6875 -,6563,8, ,625,75,25,859,,75,9141 -,5742,12,5861 3,5 1,,,, 1, 1,,,16,866 Grupa: KB2 Daniel Sworek strona

16 Postać utraty stateczności ramy 5. Obliczenie przemieszczeń oraz sił przekrojowych w ramie uwzględniając siły osiowe dla obciążenia odpowiadającego połowie obciążenia krytycznego (jedna iteracja) Rama zostaje obciążona siłami zewnętrznymi pomnożonymi przez : 1,2E+4 39,16 39,16 9,8E+3 1 9,9E Siły normalne od zadanego obciążenia: 1-283,975-1,2E ,726-1,E+4-1,E ,975-1,2E+4-792,726 [kn] Grupa: KB2 Daniel Sworek strona

17 5.1. Macierze geometryczne prętów Pręt nr 1 obustronnie utwierdzony Macierz geometryczna pręta nr 1 w układzie lokalnym:,,,,,,,, -55,715-28,3195, 55,715-28,3195, -28, ,3319, 28, ,583,,,,,,, 55,715 28,3195, -55,715 28,3195, -28, ,583, 28, ,3319 Macierz transformacji oraz transponowana macierz transformacji pręta nr 1:,,8193 -,5734,8193,5734,5734,8193 -,5734, ,,8193 -,5734,8193,5734,5734,8193 -,5734, Macierz geometryczna pręta nr 1 w układzie globalnym:,,,,, -18, ,172-16, , ,172-16, ,172-37, ,28 26,172 37, ,28-16, ,28-23, , ,28 57,583 18, ,172 16, , ,172 16, ,172 37, ,28-26,172-37, ,28-16, ,28 57,583 16, ,28-23, Pręt nr 2 obustronnie utwierdzony Macierz geometryczna pręta nr 2 w układzie lokalnym:,,,,,,,, -317, ,7119, 317, ,7119, -15, ,7968, 15, ,9492,,,,,,, 317, ,7119, -317, ,7119, -15, ,9492, 15, ,7968 Macierz transformacji oraz transponowana macierz transformacji pręta nr 2:, , Grupa: KB2 Daniel Sworek strona

18 Macierz geometryczna pręta nr 2 w układzie globalnym:,,,,,,,,,,,, -317, ,7119, 317, ,7119, -15, ,7968, 15, ,9492,,,,,,, 317, ,7119, -317, ,7119, -15, ,9492, 15, , Pręt nr 3 obustronnie utwierdzony Macierz geometryczna pręta nr 3 w układzie lokalnym:,,,,,,,, -4221, ,2494, 4221, ,2494, -1231, ,835, 1231, ,4576,,,,,,, 4221, ,2494, -4221, ,2494, -1231, ,4576, 1231, ,835 Macierz transformacji oraz transponowana macierz transformacji pręta nr 3:, , Macierz geometryczna pręta nr 2 w układzie globalnym:,,,,, -4221,4265, -1231, ,4265, -1231,2494,,,,,, -1231,2494, -5745, ,2494, 1436, ,4265, 1231, ,4265, 1231,2494,,,,,, -1231,2494, 1436, ,2494, -5745, Pręt nr 4 przegub z lewej strony Macierz geometryczna pręta nr 4 w układzie lokalnym:,,,,,,,, -271,7918,, 271, ,5452,,,,,,,,,,,,, 271,7918,, -271, ,2726, -158,5452,, 158, ,982 Grupa: KB2 Daniel Sworek strona

19 Macierz transformacji oraz transponowana macierz transformacji pręta nr 4:, , Macierz geometryczna pręta nr 4 w układzie globalnym:,,,,, -271,7918,, 271,7918, -158,5452,,,,,,,,,,,, 271,7918,, -271,7918, 79,2726,,,,,, -158,5452,, 158,5452, -554,982 Agregacja macierzy geometrycznej K G Tabela powiązań: Pręt Grupa: KB2 Daniel Sworek strona

20 Globalna macierz geometryczna K G : Po zsumowaniu elementów w poszczególnych komórkach, globalna macierz geometryczna przybiera następującą postać: , ,172-16, , ,172-16,2393,,,,,,,,, 2-26,172-37, ,28 26,172 37, ,28,,,,,,,,, 3-16, ,28-23,332 16, ,28 57,583,,,,,,,,, 4 18, ,172 16, ,746-26, ,4887,,, 4221,4265, 1231,2494,,, 5 26,172 37, ,28-26, , ,5111, 317, ,712,,,,,, 6-16, ,28 57, , , ,96, 15, , ,249, 1436,4576,,, 7,,,,,, -271,792, 79,2726,,, 271,7918,, 8,,,, 317, ,7119, -317,136 15,7119,,,,,, 9,,,, -15, , , , ,75,,, -158,545,, 1,,, -4221,427, 1231,2494,,, -4221,427, -1231,249,,, 11,,,,,,,,,,,,,,, 12,,, 1231,2494, -5745,831,,, -1231,249, -5745,831,,, 13,,,,,, 271,7918, -158,5452,,, -271,792,, 14,,,,,,,,,,,,,,, 15,,,,,,,,,,,,,,, W wierszu i kolumnie 4,5,6 należy dodać do siebie odpowiednie elementy macierzy K 1, K 2 i K 3. W wierszu i kolumnie 7,8,9 należy dodać do siebie odpowiednie elementy macierzy K 2 i K 4. Grupa: KB2 Daniel Sworek strona - 2 -

21 Całkowita macierz sztywności K* = K + K G : , ,5 171, , ,48 171,79,,,,,,,,, , , , , , ,24,,,,,,,,, 3 171, , ,73-171, , ,62,,,,,,,,, , ,48-171, , ,48-563, ,5,, 928,4, -4532,18,,, , ,4-1531, , ,59 73,23, 1383, ,48, ,7,,,, 6 171, , ,62-563,97 73, ,61, -2261, ,2 4532,18, 816,46,,, 7,,, ,5,, ,6, -282,44,,, -551,56,, 8,,,, 1383, ,48, 3182, ,48,,,, ,7, 9,,,, 2261, ,2-2723, , ,8,,, 2723,17,, 1,,, -7514,81, 6994,68,,, -928,4, 4532,18,,, 11,,,, ,7,,,,, ,71,,,, 12,,, -4532,18, 978,17,,, 4532,18, 772,17,,, 13,,,,,, -551,56, 2723,17,,, 551,56,, 14,,,,,,, ,7,,,,, ,71, 15,,,,,,,,,,,,,,, Grupa: KB2 Daniel Sworek strona

22 5.2. Macierz kolumnowa sił przywęzłowych Siły przywęzłowe wyznaczono tylko dla obciążonego pręta nr 2 (obustronnie utwierdzony z obciążeniem ciągłym). 2 39,16 4, 2-78,32 39,16 4, -52,21 12 = 12 = ,16 4, 2 39,16 4, 12-78,32 52,21 Agregacja sił przywęzłowych do pełnej macierzy kolumnowej w układzie globalnym: ,4 975, ,48-78, , ,21 52, , ,41 _ 8-78,32 = 78, ,21-52, Uwzględnienie warunków brzegowych Po uwzględnieniu warunków podparcia (wykreślenie wierszy i kolumn nr: 1, 2, 3, 1, 11, 12, 13, 14) oraz redukcji kąta obrotu przy przegubie (wykreślenie wiersza i kolumny nr 15) otrzymano zredukowaną macierz sztywności układu K* RED oraz zredukowaną macierz obciążenia P RED : , , , , , , , , ,19 K* RED = , , , , , , , , , , ,3-3267, , , , , ,5 P RED = 4 975,4 Grupa: KB2 Daniel Sworek strona

23 5 1248, , , , ,21 Rozwiązujemy układ równań: K* RED q RED = P RED q RED = K* (-1) RED P RED i otrzymujemy: q RED = , Pełny wektor przemieszczeń globalnych układu: q= , , , , , , Wektory przemieszczeń globalnych poszczególnych prętów q 1 =,,277245,,,,43495,,,,585297,, q 2 = q 3 = q 4 =, ,152384, ,152384,43495,2217,43495,2217, ,761847, , Wektory przemieszczeń lokalnych poszczególnych prętów: =,,277245,,,,43495,,,,585297,, = = = -,4244 -, , ,2217,489545,2217, ,152384, ,761847, , Wyznaczenie wewnętrznych sił przywęzłowych Grupa: KB2 Daniel Sworek strona

24 , ,95,, ,95,,, 566, ,7, -566, ,7, 1869,7 7485,73, -1869,7 3915, ,95,, ,95,,, -566, ,7, 566, ,7, 1869,7 3915,62, -1869,7 7485,73, 76,2, 81,67, 137,68 -, ,2, ,67, , ,5,, ,5,,, -1383, ,48, 1383, ,48, 2261, ,7, -2261, , ,5,, ,5,,, 1383, ,48, -1383, ,48, 2261, ,2, -2261, ,7,277245, 115,51, ,32-872,74, ,21-671,79 -,152384, -115,51, ,32-687,33 -, ,21 684, ,71,, ,71,,, -928,4 4532,18, 928,4 4532,18, 4532,18 772,17, -4532,18 816, ,71,, ,71,,, 928,4-4532,18, -928,4-4532,18, 4532,18 816,46, -4532,18 772,17, 12596,53, 291,, 351,98 -, ,53, ,, , ,71,, ,71,, Grupa: KB2 Daniel Sworek strona

25 , 551,56,, -551, ,17,,,,,, ,71,, ,71,,, -551,56,, 551,56-282,44, 2723,17,, -2723, ,9, 687,33, -199,6,, -, ,33 -, ,1 -, ,63 6. Porównanie wyników Nr pręta Wartość siły normalnej Względna różnica Iteracja zerowa Iteracja pierwsza [%] 1-283,195-76,2-272, , ,51, , ,53 2, , ,33-15,33 Grupa: KB2 Daniel Sworek strona