PODSTAWY MECHANIKI KWANTOWEJ

Transkrypt

1 PODSTAWY MECHANIKI KWANTOWEJ De Broglie, na podstawie analogii optycznych, w roku 194 wysunął hipotezę, że cząstki materialne także charakteryzują się dualizmem korpuskularno-falowym. Hipoteza de Broglie a Cząstce materialnej o masie spoczynkowej różnej od zera można przypisać falę, której parametry falowe: częstotliwość i długość fali są związane z wielkościami mechanicznymi cząstki, energią E i pędem p, relacjami Gdzie E, h stała Plancka. h lub p E, k p, k p, h, to częstość fali materii, k jest wektorem falowym, a h Należy zaznaczyć, że E i p są tu rozumiane w sensie relatywistycznym: p m c 1, przy czym dla c można przyjąć E m mc, p m 34 6,63 10 J s to E mc c 1,. Podstawy mechaniki kwantowej 1

2 Hipoteza de Broglie a, cd. W przypadku cząstki swobodnej poruszającej się ruchem jednostajnym wzdłuż osi x równanie fali (funkcji falowej) może być zapisane jako ( r, t) Ae i( t kr ) i( t kx 0 ) ( x, t) Ae 0, lub ogólniej W przypadku makrocząstek ich własności falowe nie ujawniają się, ponieważ długości związanych z nimi fal materii są znikome, leżące poza zakresem pomiarowym znanych metod doświadczalnych. Dla przykładu długość fali materii przypisana cząstce o masie 1g poruszającej się z prędkością 6,63 m/s wynosi 34 h 6,63 10 Js 3 p 10 kg 6,63m/s m Dla kontrastu, w przypadku elektronu, który nabywa energię wskutek przebycia różnicy potencjałów U długość jego fali materii wynosi h h p m eu 9,1 10 kg 1,6 10 C U U / V e 34 6,63 10 Js 1,5 Å Podstawy mechaniki kwantowej

3 Hipoteza de Broglie a, cd. Dla 1,5 Å U /V 10 U ~ 100V uzyskamy ~ 1Å ( 1Å 10 m ). Takie długości mogą już być mierzone z dobrą dokładnością. Doświadczenie Davissona i Germera Dowodem doświadczalnym hipotezy de Broglie a było doświadczenie przeprowadzone przez Davissona i Germera w 197 roku, w którym zaobserwowano dyfrakcję elektronów na monokrysztale niklu. K - żarzona katoda będąca źródłem elektronów, A - anoda. Między K i A jest regulowane napięcie U przyspieszające elektrony. T - kryształ niklu. D - detektor elektronów. Z hipotezy de Broglie a dla U 54V mamy 1,5 54V / V Å = 1,67Å Podstawy mechaniki kwantowej 3

4 Doświadczenie Davissona i Germera S k - płaszczyzny sieciowe. CD - różnica dróg ciągów falowych PB 1 i PB. Wzmocnienie w kierunku B, gdy CD d cos n (warunek Braggów). W doświadczeniu Davissona i Germera było: d 0,91Å, 5, n 1 stąd: d cos 1,65 Å n Zależność prądu detektora D od napięcia przyspieszającego elektrony w doświadczeniu Davissona i Germera Zgodność obliczonych długości fal świadczy o słuszności hipotezy de Broglie a. Podstawy mechaniki kwantowej 4

5 Sens fizyczny funkcji falowej Interpretacja Borna (196 r.) Sama funkcja falowa nie ma bezpośredniej interpretacji fizycznej. Interpretację fizyczną ma natomiast kwadrat modułu funkcji falowej * taką, że dp dv, gdzie dp - prawdopodobieństwo tego, że cząstka znajdzie się wewnątrz obszaru o objętości dv. Funkcja jest zazwyczaj rozumiana jako funkcja znormalizowana (unormowana), czyli spełniająca warunek * dv 1 (wtedy V dp dv ) Gęstość prawdopodobieństwa znalezienia cząstki w danym elemencie przestrzeni: dp ( r, t) dv * Podstawy mechaniki kwantowej 5

6 Zasada nieoznaczoności (nieokreśloności) Heisenberga Zasada ta jest konsekwencją natury falowej cząstek. Mówi ona, że nie można dokładnie wyznaczyć par pewnych wielkości fizycznych. Jedną z par takich wielkości jest pęd cząstki w danym kierunku i położenie cząstki w tym samym kierunku. Nie można jednocześnie (w tej samej chwili) dowolnie dokładnie określić położenia i pędu cząstki w danym kierunku x p h, x y p h, y z p h. z Z zasady nieokreśloności wynika, że nie można określić trajektorii (tak jak w fizyce klasycznej) cząstki kwantowej. Uzasadnimy powyższe relacje rozpatrując dyfrakcję elektronów na pojedynczej szczelinie o szerokości a. Przed szczeliną składowa pędu p ma wartość 0 oraz 0. x p x Podstawy mechaniki kwantowej 6

7 Zasada nieoznaczoności Heisenberga Po przejściu szczeliny nieoznaczoność x można oszacować jako równą a : x a, natomiast px, jak widać na rysunku, można oszacować jako pierwszemu minimum dyfrakcyjnemu. p psin, gdzie odpowiada x Z teorii dyfrakcji na pojedynczej szczelinie wiadomo, że warunek na pierwsze minimum natężenia ma postać Dla iloczynu x px a psin a p p h a sin / a. x px otrzymamy Zasadę nieoznaczoności Heisenberga spełnia także para wielkości: energia E i czas t E t h co oznacza, że jeśli chcemy w określonym miejscu dokładniej wyznaczyć energię cząstki w danym stanie, to zajmie to więcej czasu. Podstawy mechaniki kwantowej 7

8 Równanie Schrödingera z czasem Równanie, które powinna spełniać funkcja falowa ( rt, ) przypisana cząstce nierelatywistycznej o masie m zostało zapostulowane przez Schrödingera w 196 roku i U t m gdzie i to jednostka urojona ( i 1), h, x y z Funkcja U U ( x, y, z, t) spełnia warunek U F, gdzie ex ey ez x y z (gradient U ze znakiem minus jest równy wypadkowej sile działającej na cząstkę). Jeśli U nie zależy od czasu, to U U ( x, y, z) jest energią potencjalną cząstki. Rodzaj rozpatrywanego zagadnienia fizycznego specyfikujemy w równaniu Schrödingera przez podanie postaci energii potencjalnej (potencjału) cząstki. Rozwiązaniem równania Schrödingera są funkcje falowe (stany) cząstki oraz energie cząstki. Funkcje falowe muszą także dodatkowo spełniać warunki naturalne tzn. muszą być ciągłe, gładkie, jednoznaczne i ograniczone. Podstawy mechaniki kwantowej 8

9 Ogólne właściwości rozwiązań równania Schrödingera Rozwiązując równanie Schrödingera możemy znaleźć postać funkcji falowej. Z różnych możliwych rozwiązań wybiera się przy tym takie, które spełniają tzw. warunki naturalne. Zgodnie z nimi funkcja falowa musi być: Ciągła, Gładka - pochodne / x, / y, / z powinny być ciągłe, Jednoznaczna, Ograniczona, Funkcja skończoną. powinna być całkowalna, tzn. całka V dv powinna mieć wartość Warunki naturalne w zagadnieniach, gdzie z klasycznego punktu widzenia ruch cząstki jest ograniczony, prowadzą do kwantowania wielkości fizycznych charakteryzujących cząstkę. Podstawy mechaniki kwantowej 9