Dynamika relatywistyczna

Transkrypt

1 Dynamika relatywistyczna Fizyka I (B+C) Wykład XVIII: Energia relatywistyczna Transformacja Lorenza energii i pędu Masa niezmiennicza

2 Energia relatywistyczna Dla ruchu ciała pod wpływem stałej siły otrzymaliśmy: x(t) = c ( ) 1 + (αt) 2 1 α αt β(t) = 1 + (αt) 2 Można zauważyć, że: γ(t) = 1 1 β 2 (t) x(t) = mc2 (γ 1) F = α = 1 + (αt) 2 F mc Energia kinetyczna jest równa pracy wykonanej przez siłę: E k (t) = F x(t) = m c 2 (γ(t) 1) A.F.Żarnecki Wykład XVIII 1

3 Energia relatywistyczna Transformacja Wprowadzamy energię spoczynkowa: Energia całkowita: E = m c 2 E = E + E k = m c 2 γ Poprzednio wyprowadziliśmy już wyrażenie na pęd: p = m c β γ W układzie własnym czastki: p = 0 Zgodnie z definicja układu środka masy. Możemy zauważyć, że: E = γ E p c = β γ E Jeśli czastka porusza się wzdłuż osi X: E = γ E c p x = β γ E c p y = 0 c p z = 0 A.F.Żarnecki Wykład XVIII 2

4 Energia relatywistyczna Transformacja Formalnie możemy zapisać: (p = p,x = p,y = p,z = 0) E c p x c p y c p z = γ E + γ β c p,x γ β E + γ c p,x c p,y c p,z = γ γ β 0 0 γ β γ E c p,x c p,y c p,z Okazuje się, że energia i pęd podlegaja, przy zmianie układu odniesienia, transformacji Lorenza identycznej z transformacja czasu i położenia. A.F.Żarnecki Wykład XVIII 3

5 Masa niezmienicza Niezmiennik transformacji Z definicji czynnika Lorenza γ = 1 1 β 2 γ 2 β 2 γ 2 = γ 2 (1 β 2 ) = 1 γ 2 E 2 β 2 γ 2 E 2 = E 2 E 2 c 2 p 2 = m 2 c 4 niezależnie od prędkości czastki, czyli niezależnie od układu odniesienia Wyrażenie: s = M 2 c 4 = E 2 c 2 p 2 jest niezmiennikiem transformacji Lorenza dla dowolnego układu fizycznego (nie zależy od wyboru układu odniesienia) M s - masa niezmienicza układu (masa inwariantna) Kluczowa wielkość w opisie zderzeń relatywistycznych... A.F.Żarnecki Wykład XVIII 4

6 Transformacja Lorenza Energia relatywistyczna Transformacja Lorenza ma zastosowanie do wszystkich czterowektorów: czterowektor położenia (w czasoprzestrzeni): (ct, x, y, z) czterowektor energii-pędu ( czteropęd ): (E, cp x, cp y, cp z ) czteropotencjał pola elektromagnetycznego: (Φ, A x, A y, A z ) E = Φ 1 c A t B = A różnica dwóch czterowektorów (np. odstęp między zdarzeniami, przekaz czteropędu...) Niezmiennikiem transformacji Lorenza jest kwadrat każdego czterowektora A (4) 2 = A 2 0 A 2 = A 2 0 A2 x A 2 y A 2 z zmiana położenia interwał: s AB = ( t) 2 ( x) 2 ( y) 2 ( z) 2 energia-pęd masa niezmiennicza: M 2 = E 2 p 2 x p 2 y p 2 z A.F.Żarnecki Wykład XVIII 5

7 Układ środka masy Energia układu czastek: E = i E i Pęd układu czastek: P = i p i masa niezmiennicza M Jak znaleźć układ środka masy P = 0? Wiemy, że w CMS E = M E = γ M c P = β γ M Otrzymujemy zwiazki na wspólczynniki transformacji do układu środka masy: β = c P E γ = E M c 2 β γ = P M c obowiazuj a zarówno dla pojedyńczej czastki jak i dowolnego układu czastek A.F.Żarnecki Wykład XVIII 6

8 Rozpraszanie elastyczne Rozważmy zderzenie pocisku o masie m 1 i energii E 1 z tarcza o masie m 2. m m 1 2 E 1 V 1 V =0 2 Dla układu dwóch ciał mamy: (c 1) E = E 1 + E 2 = E 1 + m 2 P = P 1 = E1 2 m2 1 Transformacja do układu środka masy: β = P E = E1 2 m2 1 E 1 + m 2 γ = E M = E 1 + m 2 2 E 1 m 2 + m m2 2 βγ = P M = E 2 1 m2 1 2 E 1 m 2 + m m2 2 M 2 = E 2 P 2 = (E 1 + m 2 ) 2 P 2 1 = m m E 1 m 2 A.F.Żarnecki Wykład XVIII 7

9 Rozpraszanie elastyczne Pęd obu ciał w układzie środka masy: p 1 = p 2 = βγ m 2 = P M m 2 (p ) 2 = (E 2 1 m2 1 ) m2 2 m m E 1 m 2 Energie w układzie środka masy: E 2 = γ m 2 = E M m 2 = (E 1 + m 2 )m 2 2 E 1 m 2 + m m2 2 E 1 = M E 2 = E 1 m 2 + m E 1 m 2 + m m2 2 Jeśli spełniona ma być zasada zachowania pędu i zasada zachowania energii to tak jak w przypadku klasycznym: p 1 = p 2 = p 1 = p 2 W układzie środka masy wartości pędów nie ulegaja zmianie. Warunek: m 1 = m 1 i m 2 = m 2!!! Rozpraszanie elastyczne A.F.Żarnecki Wykład XVIII 8

10 m 1 = m 2 Dla zderzeń czastek o równej masie: E = E 1 + m P = P 1 = E1 2 m2 M 2 = E 2 P 2 = 2 E 1 m + 2 m 2 Energia i pęd obu ciał w układzie środka masy: (z transformacji Lorenza dla spoczywajacego ciała) p = γ β m E = γ m współczynniki transformacji: E1 + m γ = 2m (p ) 2 = 1 2 m (E 1 m) (E ) 2 = 1 2 m (E 1 + m) β = β γ = E1 m E 1 + m E1 m 2m A.F.Żarnecki Wykład XVIII 9

11 m 1 = m 2 W układzie opisuje kat θ : y x p 1,x p 1,y środka masy rozproszenie p* 1 p 1 Θ Θ 1 p 2 Θ 2 = γ β m cos θ = γ β m sin θ E 1 = γ m Transformacja do układu laboratoryjnego: p 1,x = γ p 1,x + γ β E 1 = γ 2 β m (1 + cos θ ) p 1,y = γ β m sin θ γ 2 β m = 1 2 P Możliwe wartości p 1,x i p 1,y spełniaja: γ 2 p 2 1,y + ( p 1,x P 2 ) 2 = ( ) P 2 elipsa transformacja Lorenza rozciaga rozkład pędów wzdłuż kierunku ruchu pocisku. A.F.Żarnecki Wykład XVIII 10 2

12 m 1 = m 2 Katy rozproszenia mierzone w LAB: tan θ 1 = tan θ 2 = Kat pomiędzy czastkami: tan(θ 1 + θ 2 ) = sin θ γ(1 + cos θ ) sin θ γ(1 cos θ ) 2γ sin θ (γ 2 1) 2 γ sin θ 0 Dla rozproszenia z θ = π 2 tan θ = 1 γ < 1 p* 1 Θ p Θ Θ 2 γ θ 1 + θ 2 < π 2 1 p 1 2 W granicy ultrarelatywistycznej rozproszenie zachodzi naogół pod małymi katami A.F.Żarnecki Wykład XVIII 11

13 m 1 E 1 m 2 Rozważmy zderzenie elastyczne z ciężka tarcza lekkiego pocisku (m 1 m 2 ) o wysokiej energii (E 1 m 2 ) m m 1 2 E 1 V 1 V =0 2 Sytuacja z jaka często mamy do czynienia w zderzeniach fizyki czastek (rozpraszanie elektonów, mionów lub neutrin na tarczach jadrowych). Pomijajac wyrazy z m 1 mamy: E = E 1 + m 2 P = E 2 1 m2 1 E 1 M 2 = m m E 1 m 2 2 E 1 m 2 + m 2 2 A.F.Żarnecki Wykład XVIII 12

14 m 1 E 1 m 2 Współczynniki transformacji do układu środka masy: (m 1 0) Transformacja rozproszonego pocisku do układu laboratoryjnego: γ = β = E 1 + m 2 2E 1 m 2 + m 2 2 E 1 E 1 + m 2 p 1,x = γ p 1,x + γ β E 1 = γ p (β + cos θ ) p 1,y = p sin θ Możliwe wartości p 1,x i p 1,y spełniaja: β γ = E 1 2E 1 m 2 + m 2 2 p = β γ m 2 = E 1 m 2 2E 1 m 2 + m 2 2 ( γ p1,y ) 2 + ( p1,x γ β p ) 2 = ( γp ) 2 elipsa W granicy β 1 (E 1 m 2 ) pocisk rozprasza się zawsze do przodu! (p 1,x 0) A.F.Żarnecki Wykład XVIII 13

15 Zderzenia elastyczne Nierelatywistyczne W granicy m 1 m 2 tarcza przejmuje bardzo niewielka część energii pocisku. Rozproszony pocisk ma praktycznie niezmieniona energię i wartość pędu. Relatywistyczne Nawet dla m 1 m 2, jeśli E 1 m 2 pocisk może przekazać tarczy znaczna część swojej energii. y x p* 1 Θ p 1 Θ 1 V 1 V 2=0 p 2 Θ 2 V CM Rysunek dla E 1 = 3 m 2, m 1 = 0. Rysunek dla m 2 = 10 m 1 V 1 Dla E 1 m 2 nawet bardzo lekka sonda może wybić czastkę tarczy... A.F.Żarnecki Wykład XVIII 14

16 Zderzenia nieelastyczne Zderzenia elastyczne - czastki rozproszone takie same jak czastki zderzajace się Jest to jednak bardzo szczególny przypadek W oddziaływaniach czastek elementarnych, zwłaszcza przy wysokiej energii, obserwujemy bardzo wiele reakcji, w których powstaja nowe czastki: Produkcja pojedyńczej czastki (tzw. rezonansu ): a + b c Produkcja dwóch czastek: a + b c + d jedna z nich może być czastk a stanu poczatkowego Produkcja wielu czastek: a + b X gdzie X oznacza dowolny stan wieloczastkowy A.F.Żarnecki Wykład XVIII 15