Część I Pole elektryczne

Transkrypt

1 Mateiały pomocnicze dla studentów Studiów Zaocznych Wydz Mechatoniki semest II Część I Pole elektyczne Ładunek elektyczny Q wytwaza pole elektyczne, do opisu któego możemy wykozystać dwie wielkości: natężenie i potencjał pola elektycznego Natężenie pola jest wielkością wektoową, natomiast potencjał jest wielkością skalaną Q Q Natężenie pola od ładunku punktowego: E =, natomiast potencjał ϕ = Jeśli w polu elektycznym umieścimy ładunek punktowy q, to oddziaływanie tego pola na ładunek opisuje siła Coulomba, któa jest ówna Qq ϕ ϕ ϕ F = qe = Natężenie i potencjał łączy ze sobą zależność E = -gadϕ = i j k W pzypadku x y z jednowymiaowym (lub pól symetycznych osiowo) powyższe ównanie można pzepisać w postszej postaci dϕ E() = -, któa umożliwia wyznaczenie natężenia pola, jeśli znany jest jego potencjał Natomiast, jeśli znane jest d ϕ() E d natężenie pola, to potencjał wyznacza się z ównania = ( ) Jednym z podstawowych wzoów opisujących pole elektyczne, wykozystywanym między innymi do wyznaczania Q ozkładu pola elektycznego, jest pawo Gaussa E ds =, gdzie S oznacza powiezchnię zamkniętą, ds wekto ε S nomalny do elementu powiezchni ds, a Q całkowity ładunek zawaty w objętości oganiczonej powiezchnią S Lewa stona pawa Gaussa oznacza stumień wektoa natężenia pola elektycznego pzechodzącego pzez powiezchnię S Z własności iloczynu skalanego wektoów wynika, że jeśli wektoy E i ds są do siebie postopadłe, to stumień wynosi wówczas zeo, natomiast stumień ma watość maksymalną ówną EdS, gdy kieunki wektoów E i ds pokywają się Dwa óżne ładunki Q i q znajdują się w odległości d od siebie Obliczyć, w jakim punkcie leżącym na postej łączącej te ładunki natężenie pola elektycznego będzie ównało się zeu Czy zależy to od znaku ładunków? Wskazówka: Poównać natężenia pól od jednego i dugiego ładunku w dowolnym punkcie x d Q x =, Q + q x d Q = Położenie punktów zależy od znaku ładunków Q q W dwóch pzeciwległych wiezchołkach kwadatu o boku a umieszczono jednakowe ładunki Q Obliczyć: a) natężenie pola elektycznego E w tzecim z wiezchołków, b) jaki ładunek q należy umieścić w czwatym z wiezchołków, aby natężenie pola w tzecim z wiezchołków było ówne zeu, c) obliczyć potencjał ϕ pola elektycznego w tzecim z wiezchołków, po umieszczeniu dodatkowego ładunku Q a) E =, b) q = Q, ϕ= a W wiezchołkach tójkąta ównobocznego o boku a umieszczono ładunki Q, Q i Q Ile wynosi natężenie pola w śodku tójkąta? Q E = a 4 Na obu końcach odcinka o długości d umieszczono dwa jednakowe ładunki elektyczne Q Obliczyć natężenie i potencjał pola elektycznego na symetalnej odcinka Qx Q E( x) =, ϕ ( x) = πε / ( x + ) d πε ( x + ) / d 5 Obliczyć natężenie pola elektycznego oaz potencjał od ładunku Q mającego kształt cienkiego pieścienia o pomieniu R, w punkcie P leżącym na osi symetii pieścienia w odległości x od płaszczyzny, w któej ten pieścień leży

2 Mateiały pomocnicze dla studentów Studiów Zaocznych Wydz Mechatoniki semest II Wskazówka: Podzielić pieścień na małe elementy o długości dl, obliczyć dϕ lub de od pojedynczego elementu, uzależnić wynik tylko od jednej zmiennej i zsumować wszystkie de (pamiętając o tym, że natężenie pola jest wektoem) lub dϕ Qx Q E( x) =, ϕ ( x) = / x + x + / ( ) d ( ) d 6 Ładunek o gęstości powiezchniowej σ ozłożono ównomienie na kążku o pomieniu R Obliczyć natężenie pola elektycznego oaz potencjał w punkcie P leżącym na osi symetii postopadłej do kążka i odległym o x od jego powiezchni σ ε Wskazówka: Podzielić tacze na pieścienie ( ) ϕ x = R + x x, E ( x) σ ε = x R + x 7 Obliczyć natężenie pola elektycznego od nieskończenie cienkiej nici naładowanej ładunkiem o gęstości liniowej λ [C/m] w odległości od niej Wskazówka: Skozystać z pawa Gaussa, wybieając jako powiezchnię gaussowską walec o pomieniu podstawy i wysokości λ λ h umieszczony osiowo względem nici ϕ () = ln, E() = Możliwe jest ównież obliczenie obu πε πε watości popzez zsumowanie natężeń de lub potencjałów dϕ od małych elementów nici 8 Znaleźć natężenie pola elektycznego wewnątz i na zewnątz płyty o gubości d naładowanej jednoodnie ładunkiem o gęstości objętościowej ρ [C/m ] Wskazówka: Skozystać z pawa Gaussa, wybieając jako powiezchnię gaussowską walec o podstawie o powiezchni S i wysokości x umieszczony symetycznie względem płaszczyzny płyty, w kieunku postopadłym do płyty, ρd d ρx d E( x) = dla x oaz E( x) = dla x ε ε 9 Znaleźć natężenie pola elektycznego wewnątz i na zewnątz kuli naładowanej jednoodnie ładunkiem Q Pomień kuli wynosi R Zobić wykes zależności natężenia pola od odległości od jej śodka Ile wyniesie potencjał elektyczny wewnątz i na zewnątz tej kuli? Q E() = dla < R, E() = dla > R, ϕ () = dla < R, () dla R R Q Q 8πε R Q ϕ = Dwie ównoległe płyty metalowe odległe od siebie o d zostały zwate dutem metalowym Między płyty wsunięto ównolegle do nich cienką wastwę ładunku o gęstości powiezchniowej σ [C/m ] Wyznaczyć natężenie pola elektycznego między płytami po obu stonach ładunku powiezchniowego, jeśli jego odległość od jednej z płyt wynosi a = d/ Wskazówka: Natężenia pól po obu stonach ładunku będą óżne, natomiast jednakowy będzie potencjał naładowanej wastwy względem obu płyt Zastosować ównież pawo Gaussa, wybieając jako powiezchnię gaussowską walec o podstawie o powiezchni S i wysokości h umieszczony między płytami, symetycznie względem wastwy, w kieunku postopadłym do σ σ wastwy E =, E = ε ε Wyznaczyć pojemność kondensatoa cylindycznego o długości l, jeśli pomienie cylindów wynoszą odpowiednio a i b πε l = ln C ( b/a) Wyznaczyć pojemność kondensatoa kulistego, w któym pomienie metalowych sfe wynoszą odpowiednio R i R C = R R >

3 Mateiały pomocnicze dla studentów Studiów Zaocznych Wydz Mechatoniki semest II Obliczyć stosunek pojemności kondensatoów płaskich C a i C b wypełnionych dwoma dielektykami o względnych pzenikalnościach elektycznych ε i ε o tej samej objętości: a) b) C C a b ( ε + ε ) = 4 ε ε 4 Kondensato o pojemności C naładowano do napięcia U, a następnie odłączono od źódła napięcia i podłączono do nienaładowanego kondensatoa o pojemności C Obliczyć napięcie panujące na okładkach oaz óżnicę enegii? C Wskazówka: Skozystać z zasady zachowania ładunku U = U C + C, C Ek Ep = ΔE = Ep < C + C 5 Kondensato płaski o powiezchni okładek S i odległości okładek d naładowano do napięcia U ateię odłączono i między okładki wsunięto płytkę dielektyka o gubości d i względnej pzenikalności elektycznej ε Obliczyć zmianę enegii zawatej w kondensatoze Co się stało z tą enegią? εs Ek Ep = ΔE = U < d ε 6 Płaski kondensato powietzny został naładowany do óżnicy potencjału V o i odłączony od źódła SEM Powiezchnia płyt wynosi S, a odległość między nimi d Pomiędzy okładki wsunięto następnie dielektyk o względnej pzenikalności elektycznej ε tak, że tylko połowa pzestzeni między nimi jest nim wypełniona Znaleźć: a) natężenie pola między okładkami kondensatoa w obu częściach, b) gęstość powiezchniową ładunku swobodnego znajdującego się na okładkach; czy jest ona stała?, c) óżnicę potencjału między okładkami, d) pojemność kondensatoa po wsunięciu dielektyka e) zmianę enegii elektostatycznej ΔW po wsunięciu dielektyka Na co poszła ta zmiana enegii? V εv εεv V ε( + ε) a) E = E =, b) σ =, σ =, c) V = V =, d) C =, e) d( + ε) d( + ε) d( + ε) + ε d εsv Δ W = d ε ε + 7 Pomiędzy okładki póżniowego kondensatoa płaskiego ównolegle do płyt wpada elekton, wylatuje zaś pod kątem α do piewotnego kieunku Obliczyć enegię kinetyczną elektonu w chwili jego wejścia do kondensatoa, jeżeli natężenie pola wewnątz kondensatoa wynosi E, a długość okładek kondensatoa l Wpływ pola gawitacyjnego pominąć Ładunek elektonu e Wskazówka: Ruch w kieunku poziomym jest uchem jednostajnym Ruch w kieunku pionowym jest uchem eel jednostajnie pzyspieszonym E k = tgα α

4 Mateiały pomocnicze dla studentów Studiów Zaocznych Wydz Mechatoniki semest II 8 Kulkę wahadła matematycznego o masie m, naelektyzowaną ładunkiem q umieszczono w jednoodnym pionowym polu elektostatycznym o natężeniu E Wyznaczyć stosunek okesów dgań wahadła obliczonych dla pzeciwnych zwotów natężenia pola elektostatycznego Pzyspieszenie ziemskie wynosi g Wskazówka: Co powoduje obecność pola elektycznego T T g + ee = m g ee m 9 Dwa identyczne kuliste balony napełnione gazem lżejszym od powietza naładowano takim samym ładunkiem elektycznym alony połączono nićmi o długości l (licząc od śodka balonu), na końcu któych pzywiązano ciężaek o masie m taki, że całość utzymuje się w powietzu bez uchu Odległość między śodkami balonów wyniosła d Obliczyć, jaki ładunek otzymał każdy z balonów Q = πεmgd 4l d Do nieskończonej płaszczyzny naładowanej ładunkiem powiezchniowym o gęstości powiezchniowej σ umocowano na nici o długości d małą kulkę o masie m Obliczyć kąt, o jaki odchyli się nić z kulką, gdy na kulkę zostanie wpowadzony ładunek q Dane pzyspieszenie gawitacyjne g qσ Wskazówka: Obliczyć natężenie pola elektycznego kozystając z pawa Gaussa tgα = mg Ile elektonów pzepływa w czasie t pzez pzekój popzeczny pzewodnika o ezystancji R pod wpływem napięcia U Ładunek elektonu e Ut N = Re Obliczyć dogę, jaką pzebyła w póżni cząstka o masie m i ładunku q w jednoodnym polu elektycznym o gęstości enegii W w czasie t od ozpoczęcia uchu Pzenikalność elektyczna póżni jest ówna ε q W s = t m ε Dwie naładowane kulki zawieszone na niciach o jednakowej długości zostały zanuzone w cieczy dielektycznej o gęstości ρ c i względnej pzenikalności elektycznej ε Jaka jest gęstość mateiału kulek, jeśli odchylenia nici w powietzu i cieczy są jednakowe? ερc ρ c = ε 4 Dwie płaskie, jednakowe płytki znajdują się w odległości d od siebie Powiezchnia każdej z płytek ówna jest S Na jednej płytce znajduje się ładunek +q, a na dugiej +4q Obliczyć óżnicę potencjałów pomiędzy płytkami ε jest dane qd U = S ε ε 4

5 Mateiały pomocnicze dla studentów Studiów Zaocznych Wydz Mechatoniki semest II Część II Ruch ładunku w polu magnetycznym Pole magnetyczne oddziałuje na ładunki elektyczne siłą zwaną siłą Loentza: F = q(v ), gdzie v jest pędkością ładunku, a - indukcją pola magnetycznego Z własności iloczynu wektoowego wynika, że wekto siły jest postopadły do płaszczyzny wyznaczonej pzez wektoy v i, a jego zwot wyznacza eguła śuby pawoskętnej Watość siły Loentza wynosi: F = qvsin < (v, ) Jak łatwo zauważyć pole magnetyczne nie działa na ładunek elektyczny wówczas, gdy ładunek nie pousza się ( v = ) lub, gdy pousza się w kieunku linii indukcji pola magnetycznego (wtedy sinus kąta między wektoami v i ówna się zeo) Siła działająca na ładunek będzie miała watość największą, gdy uch ładunku będzie się odbywał postopadle do linii indukcji magnetycznej Ponieważ siła Loentza jest zawsze skieowana postopadle do kieunku uchu ładunku, to (dla stałego pola magnetycznego) paca wykonana pzez tę siłę nad ładunkiem wynosi zeo Dla elementu tou ładunku o długości dl paca ta, dw, wynosi F dl - jest ona ówna zeo, ponieważ wektoy F i dl są zawsze postopadle Z tego powodu stałe pole magnetyczne nie może zmienić enegii kinetycznej pouszającego się ładunku, a zatem i watości pędkości, może tylko zmienić kieunek jego uchu Rozpatzmy pzypadek, gdy elekton wylatuje z pędkością v do obszau, w któym działa pole magnetyczne o kieunku linii indukcji ównoległym do osi OZ i postopadłym do wektoa pędkości Z definicji siły Loentza wynika, że siła działająca na cząstkę leży na płaszczyźnie XY i jej watość wynosi qv sin( π / ) = qv Ponieważ pzyśpieszenie styczne do tou cząstki jest ówne zeu, to wekto pędkości ma stałą watość Ruch może odbywać się tylko w płaszczyźnie XY i siła będzie zawsze postopadła do kieunku uchu Również pzyśpieszenie cząstki a = F/ m ma stałą watość i jest skieowane postopadle do pędkości X x F Z v z Y Ruch ładunku w polu magnetycznym y Ruchem o takich własnościach jest uch jednostajny po okęgu, w któym siła Loentza jest zaazem siłą dośodkową: mv qv =, gdzie jest pomieniem okęgu, po któym pousza się cząstka Łatwo z ostatniego wzou obliczyć ten mv pomień: = Można też obliczyć czas zataczania jednego okęgu pzez pouszający się ładunek, czyli tak zwany π πmv π m okes obiegu: T = = = Czas ten nie zależy od pędkości ładunku, a tylko od watości pola v qν magnetycznego i stosunku masy cząstki do jej ładunku 5 Elekton będący początkowo w spoczynku został pzyspieszony w czasie t w jednoodnym polu elektycznym o natężeniu E i następnie wleciał w obsza pola magnetycznego o indukcji Wekto pędkości elektonu jest postopadły do wektoa indukcji magnetycznej Obliczyć pzyspieszenie dośodkowe elektonu Ładunek elektonu e, masa elektonu m q Et a = m 5

6 Mateiały pomocnicze dla studentów Studiów Zaocznych Wydz Mechatoniki semest II 6 Pole magnetyczne o indukcji jest skieowane postopadle do pola elektycznego o natężeniu E Elekton wpada z pewną pędkością v do obszau tych pól, pzy czym jego pędkość jest postopadła do płaszczyzny, w któej leżą te wektoy E i Obliczyć: a) pędkość v elektonu, jeśli podczas ównoczesnego działania obydwu pól elekton nie zostaje odchylony, b) pomień okęgu R, po któym pouszałby się elekton o takiej pędkości, w pzypadku działania wyłącznie pola magnetycznego Ładunek elektonu e, masa elektonu m E me v =, R = 7 Naładowana cząstka pousza się w polu magnetycznym po okęgu o pomieniu R Po pzejściu pzez płytkę ołowianą pousza się dalej po okęgu, lecz o pomieniu, w tym samym polu magnetycznym Obliczyć względną zmianę enegii kinetycznej cząstki Zmianę masy waz z pędkością pominąć E E k k R = 8 Elekton o zeowej enegii kinetycznej zostaje pzyspieszony óżnicą potencjałów U i wchodzi w obsza jednoodnego pola magnetycznego o indukcji Linie sił pola skieowane są postopadle do pędkości elektonu Obliczyć moment pędu pzyspieszonego elektonu względem dowolnego punktu pzyjmując jego masę m za stałą mu K = 9 Z umieszczonego w jednoodnym polu magnetycznym pepaatu pomieniotwóczego wybiegła cząstka α, któa w czasie t pzebiegła półokąg w płaszczyźnie postopadłej do linii sił pola Obliczyć natężenie pola magnetycznego mając dodatkowo następujące dane: m (masa cząstki α), q (ładunek cząstki), μ o (pzenikalność magnetyczna póżni) = πm, qt πm H = qt μ Po jakim toze będzie pouszała się cząstka o ładunku q i masie m, któa wpada do jednoodnego pola magnetycznego pod kątem α względem kieunku wektoa Pędkość cząstki wynosi v Obliczyć chaakteystyczne paamety tou πm m πm Skok śuby: h = vcosα, pomień okęgu R = vsinα, okes obiegu okęgu T = Poton oaz cząstka α wpadają postopadle do pola magnetycznego o indukcji Stosunek pędów tych cząstek wynosi k = p α /p p = Jaki będzie stosunek enegii kinetycznych tych cząstek? Czy pomienie zataczanych pzez cząstki okęgów będą identyczne? Założyć, że masy potonu i neutonu są identyczne E k R α p = = 4, = = E R k p α 6

7 Mateiały pomocnicze dla studentów Studiów Zaocznych Wydz Mechatoniki semest II Część III Pole magnetyczne i zjawisko indukcji elektomagnetycznej Indukcję pola magnetycznego wytwazanego pzez pzewodnik z pądem oblicza się kozystając z pawa iota- I dl Savata: d μ =, gdzie d oznacza indukcję pola magnetycznego w odległości od elementu dl pzewodnika, 4π pzez któy płynie pąd I Kieunek wektoa dl jest zgodny z kieunkiem pzepływu pądu Indukcja od całego μi dl pzewodnika jest ówna sumie wszystkich pzyczynków d, czyli = π Do wyznaczania indukcji można 4 l wykozystać ównież pawo Ampea: dl = μ I, gdzie Γ oznacza kzywą zamkniętą, I pąd całkowity Γ pzepływający pzez powiezchnię oganiczoną kzywą Γ, a dl element kzywej zgodny z kieunkiem wektoa indukcji dφ Pawo Faadaya ε i = mówi o tym, iż w zamkniętym obwodzie elektycznym, pzez któy zmienia się stumień dt pola magnetycznego Φ indukuje się siła elektomotoyczna εi (wielkość miezona w woltach!) Stumień indukcji pola magnetycznego definiowany jest następująco Φ = ds Znak - stojący w pawie Faadaya związany jest z egułą S Lenza (egułą pzekoy), któa mówi o tym, że indukowane napięcie, a co za tym idzie pąd i pole magnetyczne ma taki kieunek, że pzeciwstawia się pzyczynie, któe je wywołało Pzy zmniejszaniu się stumienia pola magnetycznego indukowane napięcie (pąd) pzeciwstawia się zmianom i staa się zwiększyć stumień W pzypadku zwiększania się stumienia pola magnetycznego zachodzi zjawisko odwotne Na pzewodnik o długości l, pzez któy płynie pąd I, umieszczony w polu magnetycznym o indukcji działa siła elektodynamiczna F = Il Obliczyć indukcję pola magnetycznego w odległości x od nieskończonego pzewodu postoliniowego, pzez któy płynie pąd o natężeniu I Wskazówka: Rozwiązać zadanie dwoma metodami: az kozystając z pawa iota-savata, a az z pawa Ampea μ I (x) = πx Obliczyć indukcję pola magnetycznego na osi pzechodzącej pzez śodek kołowego pzewodu o pomieniu R, pzez któy płynie pąd o natężeniu I Czy istnieje pole magnetyczne w śodku pieścienia? μir Wskazówka: Skozystać z pawa iota-savata (x) = Tak, pole w śodku wynosi / R + x ( ) μ = I R 4 Obliczyć indukcję pola magnetycznego w solenoidzie o liczbie n zwojów na jednostkę długości, pzez któy płynie pąd o natężeniu I Wskazówka: Skozystać z pawa Ampea = μin 5 Obliczyć indukcję pola magnetycznego wewnątz tooidu o pomieniach R, R i N zwojach, pzez któy płynie pąd I Wskazówka: Skozystać z pawa Ampea μ IN () =, dla punktów leżących wewnątz tooidu π 6 Znaleźć wekto indukcji pola magnetycznego w śodku pętli kołowej o pomieniu R zobionej z części nieskończenie długiego postoliniowego pzewodnika z pądem I, gdy: a) pętla jest w jednej płaszczyźnie z pzewodnikiem postoliniowym, b) pętla jest postopadła do pzewodnika postoliniowego 7

8 Mateiały pomocnicze dla studentów Studiów Zaocznych Wydz Mechatoniki semest II Wskazówka: Poszukiwane pole można okeślić, jako sumę pól pochodzących od nieskończonego pzewodu i pzewodnika kołowego (należy pamiętać, że indukcja jest wielkością wektoową) Skozystać z pawa Ampea μ a) = I μi +, b) = + R π R π 7 Zamknięta metalowa amka ma jeden z boków w kształcie półkola o pomieniu R ok ten wiuje ze stałą częstością ω Całość umieszczona jest w postopadłym do amki polu magnetycznym o indukcji Jaka siła elektomotoyczna zaindukuje się w amce? πr ε i = ωsinωt 8 W jednoodnym pionowym polu magnetycznym o indukcji umieszczono poziomo pzewodnik elektyczny o długości l i masie m zawieszony na dwóch cienkich dutach umożliwiających zasilanie go pądem i umożliwiających wychylanie go od pionu O jaki kąt odchyli się ten pzewodnik od pionu, jeśli popłynie pzez niego pąd o natężeniu I Pzyspieszenie ziemskie g Masę dutów zasilających zaniedbać Wskazówka: Pęt pozostanie w położeniu, w któym wypadkowa siła działająca na niego będzie skieowana wzdłuż dutów Il tg α = mg 9 Na dwóch poziomych ównoległych szynach położono pęt o opoze R, długości l i masie m Szyny podłączono do napięcia zasilania U i umieszczono w pionowym polu magnetycznym o indukcji Współczynnik tacia wynosi μ, a pzyspieszenie ziemskie g Jaką maksymalną pędkość osiągnie pęt? Wskazówka: Maksymalna pędkość zostanie uzyskana wówczas, gdy zównoważą się działające na pęt siły (siła U mgμr elektodynamiczna z siłą tacia) v = l l 4 Po dwóch pionowych i odległych o l od siebie szynach zsuwa się pod działaniem siły ciężkości popzeczka o masie m U góy szyny połączone są oponikiem R i znajdują się w polu magnetycznym o indukcji postopadłej do płaszczyzny szyn Pzyspieszenie ziemskie wynosi g Znaleźć maksymalną pędkość popzeczki Wskazówka: Maksymalna pędkość zostanie uzyskana wówczas, gdy zównoważą się działające na popzeczkę siły mgr v = l 4 W silnym pionowym polu magnetycznym o indukcji umieszczono ównię pochyłą o kącie nachylenia α wykonaną z dwóch ównoległych szyn odległych od siebie o l i zwatych na dole opoem R Po szynach zsuwa się bez tacia popzeczka metalowa o masie m Pzyspieszenie ziemskie g Jaki będzie uch popzeczki w jego początkowej fazie? Znaleźć pędkość popzeczki po dostatecznie długim czasie od chwili ozpoczęcia uchu Opó szyn i popzeczki zaniedbać Wskazówka: Maksymalna pędkość zostanie uzyskana wówczas, gdy zównoważą się działające na popzeczkę siły mgrsinα v = l cos α 4 Wyznaczyć współczynnik samoindukcji L tooidalnego solenoidu o pzekoju kwadatowym o boku a Pomień wewnętzny tooidu wynosi R, a całkowita ilość zwojów N μ N a R + a Wskazówka: Obliczyć całkowity stumień pola magnetycznego pzechodzący pzez tooid L = ln π R 8