Akrecja sferyczna. charakterystyczna odległość, na jakiej zmieniają się warunki. W typowej sytuacji:

Transkrypt

1 Akecja sfeyczna Rozważymy tym azem już samą dynamikę akecji mateii na obiekt centalny. W ogólnym pzypadku nie mamy do czynienia z żadną symetią poblemu; np. gdy stuga udeza bezpośednio w powiezchnię gwiazdy. Wato jednak na początek ozważyć pzypadek pozonie najpostszy, czyli właśnie poblem akecji sfeycznej, szczególnie że jest to poblem mocno ostatnio dyskutowany w kontekście czanej dziuy w centum naszej Galaktyki i czanych dziu w innych pobliskich galaktykach eliptycznych, o czym będzie na końcu wykładu. Co więcej, okaże się zesztą, że opis ten stosuje się całkiem nieźle w takch sutyacjach jak akecja kolumnowa na białe kały i gwiazdy neutonowe akecja w dysku poniżej obity maginalnie stabilnej akecja "adwektywna" (ADAF - advection dominated accetion flow) 1. Opis hydodynamiczny - założenia Mateia akeująca jest z eguły dosść zadka i zjonizowana, stanowi mieszaninę óżnych jonów i elektonów. Wymiana enegii pomiędzy nimi następuje w wyniku zdezeń (oddziaływań kulombowskich). Zbyt mała liczba zdezeń nie pozwala na oaiągnięcie ównowagi hydodynamicznej i tzeba wtedy stosować opis mikoskopowy. Na szczęście na oół nie ma tej konieczności. Ilościowo waunek stosowalności opisu hydodynamicznego wyaża się następująco: śednia doga swobodna W typowej sytuacji: L chaakteystyczna odległość, na jakiej zmieniają się waunki T T - tempeatua [K]; N - gęstość liczbowa [cm -3 ]; ln - między 10 a 0 N ln Kiedy opis hydodynamiczny załamuje się? Posty pzykład. Na obiekt o masie M i pomieniu R spada zadki gaz. Tempo akecji wynosi dot M. Wtedy mamy związki M = 4 v ; v v ff = GM ; = N m p 1

2 1. Opis hydodynamiczny - założenia c.d. Kozystając z wielkości wpowadzonych na wykładzie 1 wielkości te można wyazić wpowadzając m = M M Edd ; x = czyli zakładając, że plazma ma tempeatuę wiialną. Jeśli te wielkości podstwić do definicji śedniej dogi swobodnej to otzymamy elację = 106 ( w ogólniejszym pzypadku dodatkowy czynnik T ). x 3/ Widać, że dla ṁ T viial małych x i/lub małych watości tempa akecji wielkość ta jest > 1, czyli opis hydodynamiczny nominalnie załamuje się! Jednak w pzypadku obecności choćby niewielkiego pola magnetycznego wzó na śednią dogę swobodną ulega zmianie, a jej watość edukuje się o zędy wielkości. Na pzykład w pobliżu powiezchni magnetycznego białego kała eff Dlatego jest sens ozważać akecję sfeyczną w pzybliżeniu hydodynamicznym, ale o poblemie wato pamiętać.. Równania hydodynamiczne W swej ogólnej postaci ównania stosowane w astofizyce nie są niczym innym jak ównaniami dobze znanymi z kusu fizyki: ównanie ciąglości: R Schw ; t v = 0 kt = GM m p v t v v = P f ównania Eulea (. uchu): ównanie enegii: związki temodynamiczne i inne elacje okeślające siły zewnętzne, stumień pomieniowania oaz pzewodnictwo cieplne itp, w miaę potzeby: t 1 v [ 1 v P v] = f v F ad q P,T,,T, F ad, q, etc.

3 . Równania hydodynamiczne cd. Czasami wystaczy stosować pzybliżenie gazu doskonałego, ewentualnie z małymi modyfikacjami, np. P = kt m p gdzie w obszaze częściowej jonizacji śedni cięża cząsteczkowy nie jest stałą! A czasami (w białych kałach czy gwiazdach neutonowych) tzeba uwzględniać degeneację gazu. W pocesach akecyjnych bezpośednio to nie występuje, akeująca wastwa jest z eguły "oddegeneowana", ale za to występuje wkład od ciśnienia pomieniowania. 3. Rozwiązania stacjonane, adiabatyczne, izotemiczne, politopowe Ze względu na duży stopień komplikacji ównań, często na początek ozważa się ozmaite pzybliżenia: stacjonaność: 0 adiabatyczność: enegia t nie jest wyświecana wzdłuż linii pądu. Dla gazu doskonałego d Pd 1 = const nieelatywistycznego jednoatmowowego mamy co oznacza elację. P = kt ; = 3 kt P 5/3 = constdla gazu doskonałego nieelatywistycznego w pzypadku ogólnym m p oznacza to m p wzdłuż linii pądu. Dla gazu elatywistycznego P = const politopowość: to pzyjęcie =4/3 elacji w całym ośodku, co oznacza stałość entopii izotemiczność: T = const, co jest szczególnym P = const pzypadkiem popzedniego, jako =1 4. Bondi (195) - stacjonana akecja sfeyczna Poblem, któy teaz ozważymy, nie jest postym ćwiczeniem matematycznym, ale jednym z dwóch zasadniczych waiantów akecji. W swym podstawowym sfomułowaniu odpowiada on na następujące pytanie: Mamy pojedynczą gwiazdę o masie M i pomieniu R, zanuzona w ośodku międzygwiazdowym, któy z dala od naszej gwiazdy ma gęstość ρ out i tempeatuę T out. Jakie jest tempo akecji z tego ośodka na gwiazdę? 3

4 4. Bondi (195) - stacjonana akecja sfeyczna c.d. Na piewszy zut oka mogłoby sie wydawać, że cały ośodek będzie chciał aptownie spłynąć, pociągnięty gawitacją gwiazdy. Tak jednak nie jest, ustala się dobze okeślony stan stacjonany. Pześledzimy teaz, jak to działa. Założymy dla uposzczenia ozwiązanie politopowe, P = K czyli nie potzebujemy ównania enegii. Mamy sfeyczną symetię, czyli ównanie ciągłości w wesji stacjonanej wygląda następująco: 1 d d v = 0 Mnożąc pzez i całkując po pomieniu otzymujemy: v = const Zwyczajowa definicja tej stałej to czyli tempo akecji jest dodatnie, pędkość jest ujemna. Równania uchu oganiczają się do jednej składowej adialnej v dv d 1 dp d GM =0 Mamy zatem dwa ównania + zależność P(ρ) i to pozwala nam z nich otzymać v() i ρ(). Równanie dugie też się daje scałkować, ale chaakte ozwiązania łatwiej zozumieć pzed wykonaniem całkowania obu ównań. Najpiew kozystamy z definicji pędkości dźwięku: c s = dp a następnie kozystając z elacji pzekształcamy ównanie uchu do dp d M = const 4 v = dp d v dv d 1 Teaz możemy je połączyć z ównaniem ciągłości pzed jego scałkowaniem tak, aby znaleźć wyażenie algebaiczne na pochodną kwadatu pędkości d d d d = c s d d d c s =0 dv Ta postać ównania pokazuje istotę poblemu. Mianownik w tym ównaniu staje się ówny zeu, gdy tylko pędkość akecji staje się ówna pędkości dźwięku w danym punkcie: v = c s Jest to tak zwany punkt osobliwy ównania. d = GM [1 c s GM ] 1 1 c s v 4

5 4. Bondi (195) - stacjonana akecja sfeyczna c.d. Czy musimy się na niego natknąć? Asymptotycznie, zaczynając od nieskończoności, mamy v pawie zeo, duże, zatem dv /d < 0, pędkość ośnie do śodka. Dalej mogą się zdazyć dwa "nieszczęścia" jeżeli gwiazda ma mały pomień, to licznik w pewnym momencie osiąnie zeo i pędkość spadania zacznie maleć, tak jakby mateia "hamowała" gaz się tak tak ozpędzi, że niemal osiągnie pędkość dźwięku, ale wtedy pędkość zacznie osnąć do nieskończoności. Wygląda to niepokojąco i można się domyślić, że jedynym ozsądnym wyjściem dla spadającego gazu jest spełnienie waunku Licznik = 0 wtedy gdy Mianownik = 0 i wtedy da się pzejśc pzez punkt osobliwy, z ciągłą pochodną. Punkt pzejścia s (właściwie jest to sfea!) pzez pędkość dźwięku nazywamy pomieniem Bondiego, a w punkcie tym mamy następujące waunki v = c s c s s Mamy zatem chaakteystyczne zakesy w pzepływie akecyjnym > s - v < c s akecja poddźwiękowa < s - v > c s akecja naddźwiękowa Oczywiście c s jest funkcja gęstości, a zatem i pomienia, ale w piewszym pzybliżeniu można ocenić pomień Bondiego podstawiając s GM c s albo ównoważnie s s = GM c s = kt out m p 4 c R Schw c c pedkosc swiatla s Jeśli ośodek międzygwiazdowy ma T ~ 10 4 K to, a jeśli goętsza T ~ 10 7 s 10 8 R Schw K to odpowiednio s 10 5 R Schw, a zatem zawsze dla czanej dziuy obsza zbieania masy jest badzo ozległy. 5

6 4. Bondi (195) - stacjonana akecja sfeyczna c.d. Watość pomienia Bondiego nie jest czymś zaskakującym. Można na to popatzeć następująco: Enegia temiczna cząstki ośodka : Enegia gawitacyjna tej cząstki w polu gwiazdy centalnej: Waunek ucieczki kt p GMm p kt out GMm p Waunek akecji: GMm p czyli pzypadek ganiczny to = k T out i otzymujemy ten sam wzó z dokładnością do czynnika liczbowego. Teaz wyznaczymy dokładniej watość pomienia Bondiego i tempa akecji Bondiego z uwzględnieniem właściwego czynnika liczbowego. Dyskutowane ównanie uchu można łatwo zcałkować, wychodąc od jego fomy niepzekształconej v dv d 1 dp d GM skąd mamy =0 P = K v K 1 1 GM i podstawiając c s zamiast K otzymujemy ównanie Benoulliego Mamy też nadal związek ρ(v) z ównania ciągłości. Skozystanie tego oaz z waunków bzegowych wyznacza nam teaz stałą Benoulliego c s GM 5 3 pomień Bondiego s = 1 4 c s tempo akecji Bondiego M = G M 5 3 out c 3 s Widać, że (i) mamy waunek γ < 5/3, (ii) zależność od M jest kwadatowa. Liczbowo, dla typowego ośodka międzygwiazdowego oaz γ = 1.4 mamy m M mało ważne dla obiektów o masie gwiazdowej natomiast istotne dla supemasywnych czanych dziu. M s 6 kt p GMm p v c s 1 GM = const = const

7 5. Topologia ozwiązań ogólnych Z punktu widzenia matematycznego wybane pzez nas ozwiązanie nie jest jedynym ozwiązaniem tego układu ównań. Ogólnie topologia ozwiązań pzedstawia się następująco: Są dwa ozwiązania odpowiadające gładkiemu pzejściu pzez pędkść dźwięku i zmianie pzepływu z poddźwiękowego na naddźwiękowy. To właśnie akecja (Bondi 195) oaz wiat (Pake wiat słoneczny). W pzypadku akecji na czaną dziuę jest jasne, że jedynym fizycznie uzasadnionym ozwiązaniem jest akecja tansoniczna. Czana dziua nie ma twadej powiezchni i mateia nie ma gdzie "usiąść", a ozwiązania z dolnej galęzi zbliżają się do ównowagi hydostatycznej. Natomiast może ono być odpowiednie dla gwiazdy. Jeśli dyskutuje się badziej ogólny pzypadek niż opisana akecja sfeyczna, np. Akecję z momentem pędu i działaniem sił lepkich, to właściwie mamy ównież do czynienia z ozwiązywaniem jednego osobliwego ównania óżniczkowego (pozostałe są egulane), któe symbolicznie można zapisać jako d V = N N nominato D denominato V =v/c d D s liczba Macha W ogólnym pzypadku zaówno licznik, jak i mianownik mogą zależeć od V i, co powadzi do óżnych topologii. siodło, węzeł, ognisko, spiala 7

8 6. Akecja na gwiazdę - waunek bzegowy zeowej pędkości Rozważając akecję na powiezchnię gwiazdy, np. gwiazdy neutonowej białego kała czy gwiazdy ciągu głównego, musimy tochę zmodyfikować wewnętzny waunek bzegowy. Tuż pzy powiezchni gwiazdy pędkośc musi spadać do zea. Jedna z możliwości to akecja zawsze poddźwiękowa, jak kzywa dolna na popzednim ysunku v/c s (). Jednak ciekawszym i częściej spotykanym pzypadkiem jest inny waiant akecja poddźwiękowa punkt dźwiękowy akecja naddźwiękowa fala udezeniowa akecja poddźwiękowa Istnienie stacjonanej fali udezeniowej w sposób nieciągły pozwala pzejść z jednej galęzi ozwiązania na dugą. Ta nieciągłość nie jest zupełnie dowolna, ponieważ w pzepływającym pzez stacjonaną falę udezeniową gazie nadal obowiązują pewne pawa zachowania: ównanie ciągłości (zachowanie masy) zachowanie stumienia pędu zachowanie enegii (jeśli fala udezeniowa jest adiabatyczna) Nieciągłej (w zeowym pzybliżeniu) zmianie podlegają natomiast z osobna pędkość, gęstość oaz ciśnienie (i tempeatua). Fala udezeniowa w swojej istocie to zamiana enegii kinetycznej upoządkowanego uchu w nieupoządkowany uch temiczny. Ten temodynamiczny poces jest nieodwacalny w tym właśnie sensie, że opis działa dla pzejścia od akecji naddźwiękowej do poddźwiękowej, a nie odwotnie. Równanie ciągłości: v = const pzy pzejściu pzez font fali Równanie Eulea można zapisać następująco: v dv d 1 dp d F g = 0 mnożymy je teaz pzez ρ: 9

9 6. Akecja na gwiazdę - waunek bzegowy zeowej pędkości cd. v dv d dp d F g = 0 i całkujemy teaz po szeokości fali udezeniowej λ pamiętając o tym, że ρv = const, a następnie pzechodzimy z λ do zea, co powoduje zniknięcie ostatniego członu i otzymujemy P v = const Podobnie tzeba popacować nad ównaniem enegii i wtedy w pzypadku jednoatomowego gazu doskonałego otzymamy 1 v 5 P = const Te tzy związki to waunki Rankine'a - Hugonota, okeślające zmianę ρ, v i P w fali udezeniowej. Waunki po pzejściu fali okeśla się podstawiając ρ 1 v 1 = ρ v itp. Szczególnie posto wyglądają te waunki w pzybliżeniu silnej fali udezeniowej. Jeżeli pzed fontem pzepływ był wyażnie naddźwiękowy, to wtedy pzed fontem można zaniedbać cisnienie i ównania mają wtedy postać: 1 v 1 = v 1 v 1 = v P 1 v 1 = 1 v P Podstaiając dwa piewsze ównania do tzeciego i wpowadzając wielkość x = v 1 /v otzymujemyównanie kwadatowe 1 x = 5 x 4 silna fala udezeniowa o dwóch ozwiązaniach: x = A zatem w silnej fali udezeniowej są spełnione waunki 1 nie ma fali udezeniowej v 1 = 4 = 4 v 1 Miejsce (i.e. odległość od powiezchni gwiazdy), w któym twozy się taka fala udezeniowa zależy od waunków panujących pzy powiezchni i w opadającej mateii - z gubsza okeśla ją temiczna skala czasowa chłodzenia gazu w połączeniu z pędkością osiadania. Wydajność akecji na gwiazdę jest zawsze duża. 10

10 7. Zastosowania paktyczne (a) akecja kolumnowa na białego kała lub gwiazdę neutonową Fomalnie jest to pzepływ silnie niesfeyczny, ale paktycznie stosują się do niego wszystkie wpowadzone efekty. Z akecją tego typu mamy doczynienia, gdy gwiazda centalna obdazona jest na tyle silnym polem magnetycznym (B > 10 7 G dla białego kała i B > 10 1 G dla gwiazdy neutonowej), że dysk akecyjny nie może się utwozyć (lub dla słabszych pól istnieje w znacznej odległości od gwiazdy centalnej), a mateia w pobliżu gwiazy pousza się wzdłuż linii sił pola magnetycznego. Pole magnetyczne ma chaakte dipolowy i zmusza mateię do akecji na bieguny gwiazdy. W pobliżu powiezchni gwiazdy schematycznie można to pzedstawić jak na pawym ysunku.modele akecji kolumnowej stosowane do opisu takich gwiazd są nieco badziej zaawansowane, pzede wszystkim pzewudują emisję pomieniowania z akeującej plazmy, co pozwala na poównywanie pzewidywań teoetycznych z obsewacjami. I tu modele napotykają poblemy. Na pzykład dokładna analiza obsewacji sugeuje, że kolumna akecyjna nie ma stuktuy ciągłej, ale składa się z "uek magnetycznych" pokywających niewielką część powiezchni całej czapy polanej. Podobnie jest w pzypadku pulsaów entgenowskich. 11

11 7. Zastosowania paktyczne cd. (b) Poblem jąda naszej Galaktyki - Dogi Mlecznej Masa czanej dziuy w centum naszej Galaktyki wynosi.6 x 10 6 M s. Ostatnie obsewacje entgenowskie pzy pomocy satelity Chanda pozwoliły na okeślenia własności okalającego ją ośodka. Czana dziua wydaje się być zanuzona w bąblu goącej plazmy o pomieniu kilku pc i centum nieco pzesuniętym. Bąbel ten został wytwozony w czasie wybuchu supenowej, jaki nastąplił jakiś czas temu. Wykonano (Baganoff i in. 001) pomia emisji entgenowskiej w odległości ok. 1.6 pc od centum (aby móc zaniedbać emisję z akecji) i ustalono, że gęstość ośodka wynosi 6 cząstek/cm 3, a tempeatua 1.3 kev. Stąd można policzyć tempo akecji Bondiego, np. zakładając γ = 1.4 albo zaniedbując współczynniki. Wynik: (wg. Baganoffa). M 10 6 M s /ok Jasność entgenowska centalnego źódła jest zasadniczo na poziomie x eg/s, stąd policzona wydajność akecji = L 5 10 M c Taka wydajność akecji wydaje się niepokojąco niska; w pzypadku gwiazd, a także śednio w pzypadku kwazaów mieliśmy aczej 0.1. Typowo pace wyażają więc glębokie zaniepokojenie, i postulują, że akecja zachodzi okesowo, niestacjonanie (intemittent) akecji towazyszy silny wypływ, w fomie np. dżetu mateia ma moment pędu, więc opis Bondiego się nie stosuje (ale to właściwie wiąże się z popzednimi punktami) mamy systematyczny uch goącego gazu względem czanej dziuy, co obniża tempo akecji (edukcja z czynnikiem v -3) Tak napawdę nie jest całkiem jasne, czy powinniśmy się matwić, czy nie. Rozważany pzez nas model akecji Bondiego pzecież na mocy założenia wogóle nie świecił! (pzybliżenie adiabatyczne to właśnie oznacza, czyli wtedy η = 0). Oceny świecenia można dokonać "po fakcie", tzn. bioąc paamety pzepływu z modelu adiabatycznego można założyć mechanizmy świecenia (np. optycznie cienki bemstahlung - pomieniowanie hamowania/emisja synchotonowa/komptonizacja). Jakoś tego jednak ostatnio chyba nikt nie spawdzał. 1

12 7. Zastosowania paktyczne cd. (c) M87 Podobny poble występuje także dla conajmniej kilku galaktyk eliptycznych, dla któych istnieje ocena paametów ośodka otaczającego czaną dziuę. Wszystkie one są "undeluminous" czyli ich jasność jest mniejsza, niż wynika z akecji Bondiego pzy założeniu efektywności 0.1. Pzykład - dane dla M87 - galaktyki eliptycznej w centum gomady Vigo. Masa czanej dziuy - 3 x 10 9 M s wyznaczona z uchu kepleowskiego dysku gazowego (gaz o tempeatuze ok K) znajdującego się w odległości 0 ps od jąda (obsewacje HST). Obsewacje teleskopem Chanda (Di Matteo i in. 00): z pomiaów w pieścieniu kps wyznaczono gęstość i tempeatuę ośodka: n = 0.17 cząstki/cm 3 kt = 0.8 kev skąd można policzyć tempo akecji Bondiego M 10 1 M s /ok a znając jasność entgenowską 7 x eg/s można policzyć wydajność akecji = L 5 10 M c i znowu jest taka mała.. 13