Jądra atomowe jako obiekty kwantowe. Wprowadzenie Potencjał jądrowy Spin i moment magnetyczny Stany energetyczne nukleonów w jądrze Prawo rozpadu

Transkrypt

1 Jąda atomowe jako obiekty kwantowe Wpowadzenie Potencjał jądowy Spin i moment magnetyczny Stany enegetyczne nukleonów w jądze Pawo ozpadu

2 Jąda atomowe jako obiekty kwantowe Magnetyczny Rezonans Jądowy jako pzejaw kwantowej natuy jąda atomowego

3 Waunki fizyczne w jądach atomowych gęstość ~ g/cm 3 tempeatua K oboty ~10 1/s natężenie pola elektycznego V/m...

4 Wpowadzenie Czy jądo jest obiektem kwantowym? Hipoteza dualizmu falowo-kopuskulanego: P(V) = Ψ makocząstka opis klasyczny D = h / p = h / ME k mikocząstka opis kwantowy D << L L

5 Długość fali nukleonu D = h / p = h / ME k E k ª 10 MeV M ª 940 MeV/c D = hc / Mc E k = 197 MeV fm/ MeV D ª 1,4 fm Pomień jąda: R = 0 A 1/3 = 1,5 A 1/3 A = 100 R = 5,8 fm R Nukleony w jądach opis w amach nieelatywistycznej mechaniki kwantowej

6 Potencjał jądowy Związek siły z enegią potencjalną F x Ep x F Ep y F Ep = ; y = ; z = ; z Zależność potencjału od odległości V V( ) = 1 + e 0 R a dla dużych V() Æ 0 dla = 0 V() ª -V 0 Potencjał Woodsa-Saxona

7 Potencjał kulombowski Dla ładunku punktowego V() c Dla jąda o skończonym wymiaze 0 + (Z 1)e 1 = 4πε dla ładunku punktowego dla jąda o skończonym wymiaze < R R ' c V() V() c + (Z 1)e 3 1 = 4πε0R R 0 + (Z 1)e 1 = 4πε

8 Potencjał dla neutonów i potonów ' + (Z )e V() c = 4πε0R R + (Z 1)e 1 V() c = 4πε 0 V0 V( ) = 1 + e R a

9 Spin nukleonu s wekto s = s 0 h s 0 = s (s+1) s = 1/ - liczba kwantowa potocznie nazywana spinem nukleonu z M=+1/ Kwantyzacja pzestzenna s z = M h M = +1/, -1/ M= -1/

10 Obitalny moment pędu nukleonu L Klasycznie L = p Kwantowo L = l (l+1) h l = 0, 1,,... l - liczba kwant. obitalnego momentu pędu nukleonu Kwantyzacja pzestzenna L z = m h m = l, l-1,...0,...-l l+1 watosci l =

11 Spin jąda I = całkowity moment pędu jąda w układzie Ś.M. = wektoowa suma pzyczynków od obitalnych i spinowych momentów pędu nukleonów I = I 0 h I 0 = I (I+1) I - liczba kwantowa potocznie nazywana spinem jąda A -pazyste I -całkowite (0, 1,,...) A -niepazyste I -połówkowe (1/,3/,...)

12 Spin jąda I Kwantyzacja pzestzenna I z = M h M = I, I-1,...0,...-I I+1 watosci

13 Pazystość funkcji falowej Stany jądowe są opisane pzez funkcje falowe o okeślonej pazystości P = +1 pazystość dodatnia Ψ ( - ) = Ψ ( ) P = 1 pazystość ujemna Ψ ( - ) = - Ψ ( )

14 Moment magnetyczny obitalny Klasycznie: m L = I S = ev/(p) p = ev/ m L = e L /(m) Kwantowo: m Le = g m B L/ h I L v e - m Lp = g m N L/ h g L - czynnik Landego m B - magneton Boha m N -magneton jądowy w paktyce moment magnetyczny (zut na oś kwantyzacji dla m=+l) m Le = g L m B l m Lp = g L m N l Doświadczenie: g L = 1

15 Moment magnetyczny e - m se = g m B s 0 s 0 =s/ h g - czynnik Landego m B - magneton Boha m B = e h/ (m e ) = 5, MeV/T w paktyce moment magnetyczny m se = g m B s (zut na oś kwantyzacji dla M=+1/) Doświadczenie: g = -,003 m se /m B = -1,00116 Teoia klasyczna: g = -1 Teoia Diaca: g = - Elektodynamika kwantowa: g = -,003

16 Moment magnetyczny p m sp = g m N s 0 s 0 =s/ h g - czynnik Landego m N - magneton jądowy m N = e h/ (m p ) = 3, ev/t w paktyce moment magnetyczny m sp = g m N s (zut na oś kwantyzacji dla M=+1/) Doświadczenie: g = 5,586 m sp /m N =,793 poton = uud q = +/3 +/3-1/3= 1

17 Moment magnetyczny n m sn = g m N s 0 s 0 =s/ h g - czynnik Landego m N - magneton jądowy m N = e h/ (m p ) = 3, ev/t w paktyce moment magnetyczny m sn = g m N s (zut na oś kwantyzacji dla M=+1/) Doświadczenie: g = -3,86 m sn /m N = -1,913 neuton = udd q = +/3-1/3-1/3= 0

18 Moment magnetyczny jąda okeślony pzez m s i m L nukleonów m I = g I m N I 0 I 0 =I/ h g I -jądowy czynnik g m N - magneton jądowy w paktyce moment magnetyczny m I = g I m N I Jądo w polu magnetycznym B M=-3/ E = E 0 - m I B -1/ = E 0 -g I m N I 0 B E 0 1/ = E 0 -g I m N M B I=3/ 3/ m I B

19 Potencjał oddziaływania nukleon-nukleon =... ) ( ) ( ) )( ( 3 ) ( ) ( ) ( ) ( h h h L s s V s s s s V s s V V V LS T ss kótkozasięgowy silnie pzyciągający na ~fm, ale odpychający dla ~0.fm nie zależy od ładunku zależy od względnego ustawienia spinów ma chaakte niecentalny

20 Równanie Schödingea ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ) ( ) ( 1) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1) ( ) ( 1, ) (,,,,,, ) (,, sin 1 sin sin 1 1,,,,,,,,,, Eu u m l l V d u d m u R ER R m l l V d dr d d m Y R E V m z y x V z y x V z y x E z y x z y x V z y x z y x m = = = = Ψ Ψ = Ψ + + Ψ = Ψ = Ψ + Ψ + + h h h h h h ϑ θ ϑ θ ϑ θ ϑ θ ϑ θ ϑ θ θ θ θ ϑ potencjał o symetii sfeycznej

21 Enegie stanów własnych nukleonów

22 Schemat poziomów jąde

23 Szeokość poziomów jądowych Zasada nieoznaczonosci Heisenbega DE Dt h P(E)/P(E Γ τ 0 ) = h Γ 1 P( E P(E) ) = = π Γ Γ ( E E0 ) + 4 h MeV s Γ= = τ τ E 0 E

24 Pawo ozpadu N 0 i N liczba jąde w czasie 0 i t Założenie: 1. liczba jąde zmniejsza sie w skutek ozpadu. w (t,t+dt) ubytek -dn =l N dt l - stała ozpadu [s -1 ] Pawo zaniku: N = N 0 e - l t

25 Pawo ozpadu Okes połowicznego zaniku: T 1/ N Æ N/ dla t Æ t + T 1/ N (t + T 1/ ) = N 0 e - l (t + T 1/) = N (t)/ = N 0 / e - l t e l T 1/ = T 1/ = ln/ l / l Czas życia: τ = T 1/ / ln 1.44 T 1/

26 Magnetyczny Rezonans Jądowy jako pzejaw kwantowej natuy jąda atomowego Własności magnetyczne mają jąda o niepazystej liczbie nukleonów, np. 1 H, 13 C, 15 N, 19 F, 31 P oaz jąda o niepazystej liczbie neutonów i niepazystej liczbie potonów, np. H, 14 N. Nie posiadają takich własności jąda o spinie I = 0, np. 4 He, 1 C, 16 O, 40 Ca, 56 Fe,... Dla niektóych atomów, m. in. Hg, Cu, C i S oaz cząsteczek, np. H O, CaO, LiCl, CO, NH 3 pole wywołane pzez powłoki elektonowe znika w położeniu jąda atomowego, gdyż momenty magnetyczne poszczególnych powłok elektonowych sumują się do zea ( m J = 0 ).

27 Moment magnetyczny jąda okeślony pzez m s i m L nukleonów m I = g I m N I 0 I 0 = I/ h g I - jądowy czynnik g m N - magneton jądowy w paktyce moment magnetyczny m I = g I m N I Jądo w polu magnetycznym B M=-3/ E = E 0 - m I B -1/ = E 0 - g I m N I 0 B E 0 1/ = E 0 - g I m N M B I=3/ 3/ m I B

28 Jądo 1 H (poton) w zewnętznym polu B 0 N ω L = g I m N m I B 0 / h N

29 Rozszczepienie poziomów jądowych 1 H w zewnętznym polu B 0 E m I = -1/ m I = 1 E 0 E = hω L = g I m N m I B 0 m I = +1/ B 0 E ośnie z B 0

30 Zmiana oientacji spinu i dipolowego momentu magnetycznego B 1 (t) = B 1 cos (ω L t) B 1^ B 0 dla 1 H m I = ± 1 Wyznaczanie m I pzez pomia ω L ω L = g I m N m I B 0 / h m I = ± 1 ω L = m I B 0 / ( I )

31 Wykozystanie NMR do identyfikacji nieznanych związków h ω L = g I m N m I (B zew + B lok ) Widmo NMR dla etanolu B lok pochodzące od momentów magnetycznych atomów i jąde w otoczeniu potonu ω L jest chaakteystyczna dla danego odzaju jąde, ale jest inna dla danego odzaju jąde występujących w óżnych gupach

32 Zasada badania Magnetycznego Rezonansu Jądowego

33 Pzejścia ezonansowe dla jąde 1 H B 1 = 0 B 1^ B 0

34 Stopień zóżnicowania obsadzeń podpoziomów, pomiędzy któymi zachodzą pzejścia ezonansowe. W stanie ównowagi temodynamicznej: N(-1/) / N(+1/)= exp( - E/kT) = exp (- g I m N B 0 /kt) k- stała Boltzmanna Dla jąde 1 H o I= 1/ w polu B 0 = 1 T i tempeatuze T= 300 K N(-1/)= N(+1/) 0, W póbce makoskopowej: 1 cm 3 wody zawiea około 7 10 jąde 1 H, a więc w stanie o m I = +½ jest o około N o = jąde więcej niż w stanie o m I = -½. N(-½) / N(+½) zależy od B 0 i T

35

36

37 Obazowanie NMR Jeśli póbka jest umieszczona w cewce indukcyjnej, to zmienne w czasie pole magnetyczne pochodzące od magnetyzacji spowoduje indukcję napięcia w cewce. Amplituda sygnału napięcia jest popocjonalna do częstości ezonansowej ω L i do wielkości magnetyzacji. Sygnał pochodzi tylko od magnetyzacji w stanie pecesji (od składowych popzecznych), a więc twa w czasie do chwili, gdy magnetyzacja nie powóci do stanu ównowagi popzez poces elaksacji.

38 Obazowanie NMR Częstość ezonansowa jest chaakteystyczna dla danego odzaju jąde i ona okeśla położenie linii w widmie NMR dla danego jąda. Szeokość linii w widmie NMR okeślona jest pzez czas elaksacji popzecznej T. Intensywność linii zależy od czasu elaksacji podłużnej T 1. Stopień szaości obazu zależy od amplitudy sygnału, a więc od gęstości potonów w póbce, czasów T 1 i T. Czasy T 1 i T zależą od otoczenia w jakim się znajduje jądo wodou, a więc óżnicują tkanki i stany choobowe. Częstość ezonansowa dla danego odzaju jąde, ale występujących w óżnych gupach jest inna. Pzesunięcie chemiczne częstości wynika z ekanowania zewnętznego pola magnetycznego pzez elektony.

39 Budowa tomogafu NMR

40 Tomogaf NMR z polem B=1,5 T

41 Obazy NMR w diagnostyce medycznej

42 Obazy NMR w diagnostyce medycznej