Metody rozwiązania równania Schrödingera

Transkrypt

1 Metody rozwiązania równania Schrödingera Równanie Schrödingera jako algebraiczne zagadnienie własne Rozwiązanie analityczne dla skończonej i nieskończonej studni potencjału Problem rozwiązania równania Schrödingera dla układu ze zmienną masą Metoda różnicowa pozwalająca wyznaczyć strukturę pasmową dla skończonej studni potencjału

2 Mechanika klasyczna - mechanika kwantowa 1. Druga zasada dynamiki Newtona: pęd, operator, potencjał, energia kinetyczna, energia potencjalna 2. Równanie Schrödingera - swobodny elektron - elektron w studni potencjału: potencjał!!! Fizyczna realizacja studni (jamy) potencjału 2

3 Numeryczne metody rozwiązania równania Schrödingera Metody różnic skończonych, zwane metodami siatkowymi - metody macierzowe znane również jako metody globalne - metody strzałów (metoda Numerowa) Metody wariacyjne Metody elementów skończonych 3 Literatura: W. Salejda, M.H. Tyc, M. Just, Algebraiczne metody rozwiązywania równania Schrödingera, PWN Warszawa 2002.

4 4 Operator drugiej pochodnej w postaci numerycznej

5 5 Równanie Schrödingera z numerycznym operatorem drugiej pochodnej

6 Idea rozwiązania równania Schrödingera metodą strzałów (Numerowa) Warunki brzegowe: Przykładowe warunki startowe: 6

7 Postać bezwymiarowa równania Schrödingera 7 Literatura: W. Salejda, M.H. Tyc, M. Just, Algebraiczne metody rozwiązywania równania Schrödingera, PWN Warszawa 2002.

8 Bezwymiarowa postać równania Schrödingera z numerycznym operatorem drugiej pochodnej 8 Literatura: W. Salejda, M.H. Tyc, M. Just, Algebraiczne metody rozwiązywania równania Schrödingera, PWN Warszawa 2002.

9 Algebraiczne zagadnienie własne dla symetrycznej macierzy trójdiagonalnej 9 Literatura: W. Salejda, M.H. Tyc, M. Just, Algebraiczne metody rozwiązywania równania Schrödingera, PWN Warszawa 2002.

10 Algebraiczne zagadnienie własne dla symetrycznej macierzy trójdiagonalnej Algebraiczne zagadnienie własne dla dyskretnego operatora energii 10 Literatura: W. Salejda, M.H. Tyc, M. Just, Algebraiczne metody rozwiązywania równania Schrödingera, PWN Warszawa 2002.

11 Rozwiązanie przy pomocy metody z Lapacka 11 Nagłówek procedury służącej do obliczania wartości własnych symetrycznej Macierzy (procedura była omawiana) Uwaga! Sprowadzenie macierzy do bezwymiarowej postaci nie jest konieczne jednak jest bardzo wygodne

12 Algorytm Martina-Deana 12 Literatura: W. Salejda, M.H. Tyc, M. Just, Algebraiczne metody rozwiązywania równania Schrödingera, PWN Warszawa 2002.

13 Kwantowanie energii elektronów nieskończona studnia potencjału (przypomnienie) 0 d Z Funkcja próbna: Z warunków brzegowych mamy: 13

14 Kwantowanie energii elektronów skończona studnia potencjału (przypomnienie) W barierze funkcja falowa zanika wykładniczo Funkcja falowa praz jej pierwsza pochodna jest ciągłą na całym obszarze Brak rozwiązania analitycznego dla tego zagadnienia 14

15 Skończona studnia potencjału Warunek brzegowy: Rozwiązanie postaci: Oznaczenia: Otrzymujemy równanie: 15

16 Skończona studnia Rozwiązanie równania Schrödingera dla skończonej studni potencjału sprowadza się do numerycznego wyznaczenia zera funkcji. 16

17 Ruch elektronu w ciele stałym masa efektywna 1. Struktura krystalograficzna (twierdzenie Blocha) 2. Struktura pasmowa ciała stałego: metale, półprzewodniki (dielektryki?) 3. Pojęcie masy efektywnej 17

18 Problem jednowymiarowego równania Schrödingera ze zmienną masą Gdzie pojawia się problem przy masie zmiennej z położeniem? Operator pędu zakłada, że masa efektywna nie zmienia się z położeniem co nie prawdą w przypadku studni kwantowych realizowanych w strukturach półprzewodnikowych. 18

19 Problem jednowymiarowego równania Schrödingera ze zmienną masą 19 Literatura: W. Salejda, et al. Acta Physica Pollonica A 95, 881 (1999).

20 Problem jednowymiarowego równania Schrödingera ze zmienną masą g0:= e-4 20 Literatura: W. Salejda, et al. Acta Physica Pollonica A 95, 881 (1999).

21 Problem jednowymiarowego równania Schrödingera ze zmienną masą Algebraiczne zagadnienie własne można sprowadzić do postaci: Gdzie: w-jest to odwrotność masy efektywnej wyznaczona na siatce punktów pośrednich Algebraiczne zagadnienie własne można rozwiązać przy pomocy algorytmu Martina-Deana lub przy pomocy zewnętrznej funkcji diagonalizującej macierz 21 Literatura: W. Salejda, M.H. Tyc, M. Just, Algebraiczne metody rozwiązywania równania Schrödingera, PWN Warszawa 2002.

22 Metoda różnic skończonych do wyznaczenia struktury pasmowej studni kwantowej Równanie Schrödingera Zakładamy Hamiltonian postaci: Rozkładamy Hamiltonian ze względu na potęgę przy kz. A,B,C macierze odpowiadające metodzie np. 8kp. Operator: 22

23 Zapewnienie ciągłości funkcji falowej na interfejsach oraz hermitowskość macierzy gwarantują następujące dyskretyzację operatorów

24 Otrzymujemy następujące równanie macierzowe: Rząd macierzy N=n*Nz Nz- pokrojenie w przestrzeni rzeczywistej 24

25 Oznaczenia M i,j to macierze: Indeks i numeruje macierze w zależności od położenia gdzie A jest macierzą współczynników stojących przy wyrazach kz 2, B jest macierzą współczynników stojących przy wyrazach kz a C jest macierzą niezależną od wyrazów kz. Każda z macierzy jest rozmiaru n n gdzie n oznacza liczbę funkcji bazowych (rodzaj modelu kp np.:8) 25

26 Metoda różnic skończonych do wyznaczenia struktury pasmowej Tworzymy macierze A, B i C, dla konkretnych wartości kx, ky. Na zadane siatce punktów w przestrzeni rzeczywistej. Na podstawie hamiltonianu odpowiadającemu metodzie kp, grupujemy człony ze względu na kz. Tworzymy macierz N-rzędu n*nz i ją diagonalizumemy. Możemy od razu uzyskać funkcję falową. Proces powtarzamy dla zadanego punktu w przestrzeni k (np. [100]) 26

27 Metoda Fal płaskich vs. Metoda Elementów skończonych Metoda rozwinięcia na fale płaskie Metoda elementów skończonych Musimy wybrać ilość fal płaskich i dokonać transformaty Fouriera dla wszystkich wielkości zależnych od położenia Szybkość metody zależy od ilości fal płaskich i czas obliczeń wzrasta wykładniczo wraz z ilością fal płaskich Dokładność metody zależy od ilości fal płaskich Przy optymalnym doborze parametrów metoda szybka Punktem wyjścia jest dyskretyzacja wszystkich wielkości w przestrzeni rzeczywistej Dokładność metody zależy od pokrojenia w przestrzeni rzeczywistej Szybkość metody zależy od liczby punktów w przestrzeni rzeczywistej Metoda stosunkowo wolna 27

28 28 Porównanie metody fal płaskich(pwe) i metody elementów skończonych(fdm)

29 Jeszcze raz o falach płaskich Fala płaska jest to fala, której powierzchnie falowe tworzą równoległe do siebie linie proste, gdy fala rozchodzi się po powierzchni, lub płaszczyzny, gdy rozchodzi się w przestrzeni trójwymiarowej. Równanieopisujące falę płaską: Fala płaska w 1D Fala płaska rozchodząca się w Kierunku z w periodycznej sieci (niezależna od czasu) u z = Ae 2πik(z+dz) k = π n L Przedstawiając daną wielkość w bazie fal płaskich musimy znaleźć układ ortonormalny o węzłach odpowiadających pokojeniu w Kz 29

30 Transformata Fouriera W rzeczywistości jako produkt transformaty Fouriera powstają macierze 2Nx2N. Z wielkości które były wektorami zależnymi od z (położenie) powstały macierze kwadratowe. i==-n..n Dla wybranej siatki punktów w przestrzeni rzeczywistej j=-n..n i dla danego N(liczba fal płaskich dokonujemy transformaty) n=i-j n 0 L zi L AF = න 0 2 π n A(z) e 2πzi/L n dz 1 e 2πzi/L n z n = 0 0 = AF L A z / Ldz Kz = π (i + j) L 30 Oznaczenia zi=i(zespolone)