METODA MIESZANIA KONFIGURACJI Configuration Interaction (CI)
|
|
- Wojciech Skiba
- 4 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 METODA MIESZANIA KONFIGURACJI Configuration Interaction (CI)
2 lub ĤΨ i = E i Ψ i Ψ i = K r=0 c riφ r ĤΨ = EΨ Ψ = c o Φ o + ia ca i Φ a i + ijab cab ij Φ ab ij + ijkabc cabc ijk Φ abc ijk + Funkcje Φ r (Φij.. ab.. ) s a w ogólnym przypadku wyznacznikami zbudzonymi (otrzymanymi przez przeniesienie jednego lub wiȩcej lektronów z poziomu zajȩtego w funkcji referencyjnej na poziomy irtualne na wszystkie możliwe sposoby).
3 Funkcje Φ r s a ortonormalne, tzn. Φ r Φ s = δ rs wzglȩdnienie w powyższych rozwiniȩciach wszystkich ożliwych konfiguracji definiuje metodȩ FCI (Full Configuration nteraction). Liczba K wszystkich wyznaczników dla N elektronów i M funkcji azowych określona jest wyrażeniem K = 2M N = (2M)! N!(2M N)!
4 Dwa przyk lady: cz asteczka benzenu C 6 H 6 : 42 elektrony baza DZP: 120 funkcji K = jon CH + 6 elektronów baza DZ: 12 funkcji K = = 240! 42!198! = 24! 6 6!18! = iczba wyznaczników w rozwiniȩciu funkcji falowej zmniejsza siȩ o uwzglȩdnieniu spinu elektronu.
5 ĤΨ i = E i Ψ i Ψ i = K r=0 c riφ r etoda wariacyjna z liniowymi parametrami wariacyjnymi (metoda itza) HC = CE dzie H jest tzw. macierz a CI o elementach H rs = Φ r Ĥ Φ s C i E s a, odpowiednio, macierzami wspó lczynników ozwiniȩcia i wartości w lasnych.
6 Spin w metodzie CI Każda funkcja falowa jest funkcj a w lasn a operatora z: Ŝ z Ψ i = S z hψ i a każda poprawna powinna być także funkcj a w lasn a peratora Ŝ2 : Ŝ 2 Ψ i = S(S + 1) h 2 Ψ i
7 Jeżeli ostatnia równość jest spe lniona to mówimy, że unkcja Ψ i jest spinowo zaadaptowana i jest to funkcja p. singletowa (S=0), dubletowa (S= 1 2 ), trypletowa S=1), etc.. gólnie multipletowość funkcji falowej określa wartość 2S+1). Relacja pomiȩdzy wartościami liczby kwantowej S i z jest identyczna jak w atomie tzn. S z {S,S 1,..., S}
8 Ważn a relacj a, wynikaj ac a z niezależności hamiltoianu od spinu, s a równości: Φ S q Ĥ ΦS r = Φ q Ĥ Φ r δ SS Φ S z q Ĥ ΦS z r = Φ q Ĥ Φ r δ Sz S z dzie Φ S oraz Φ S z s a funkcjami w lasnymi operatorów i Ŝz, odpowiednio. Zauważmy, że jedna wartość S z oże odnosić siȩ do kilku wartości liczby S.
9 Z powyższych warunków wynika, że macierz CI powinniśmy onstruowac z funkcji odpowiadaj acych tej samej wartości lasnej operatorów Ŝ z i Ŝ. Pierwszy przypadek da siȩ atwo zrealizować, ponieważ natychmiast rozpoznaemy jakiej wartości w lasnej operatora Ŝ z odpowiada yznacznik o k elektronach ze spinem α i l elektronach e spinem β. Ŝ z Φ(kα,lβ) = k l 2 hφ(kα,lβ)
10 Za lóżmy, że mamy w uk ladzie sześć elektronów, zaem mamy stany: eptetowe, (S=3), kwintetowe, (S=2), trypletowe, (S=1) singletowe (S=0). Dopuszczalne wartości liczby S z wynikaj a z dobrze nanych regu l : =3 S z = =2 S z = =1 S z = =0 S z = 0
11 Liczby konfiguracji dla poszczególnych wartości liczb wantowych dla kwadratu spinu u jego sk ladowej zeowej podaje poniższa tabela: z = = = = =134596
12 iczba spinowozaadaptowanych konfiguracji o spinie i multipletowości 2S+1 (N = liczba elektronów, M liczba wszystkich orbitali) K = 2S + 1 M + 1 M + 1 N 2 S M + 1 M S N 2
13 Adaptacja spinowa unkcja falowa powinna byc funkcj a w lasn a operaora sk ladowej zetowej wypadkowego spinu i operaora kwadratu wypadkowego spinu w cz asteczce. Ŝ z Ψ i = S z hψ i Ŝ 2 Ψ i = S(S + 1) h 2 Ψ i poszczególne sk ladowe otrzymujemy przez ich zsumowanie o wszystkich elektronach w uk ladzie: Ŝ x = i ŝx(i) Ŝ y = i ŝy(i) Ŝ z = i ŝz(i) Ŝ 2 = Ŝ 2 x + Ŝ 2 y + Ŝ 2 z+
14 Dzia lania operatorów spinu na funkcje spinowe poedynczego elektronu: ŝ x α = h 2 β ŝ x β = h 2 α ŝ y α = i h 2 β ŝ y β = i h 2 α ŝ z α = h 2 α ŝ z β = h 2 β
15 Ĥ Φ o Φ a i Φab ij Φabc ijk Φabcd ijkl Φ abcde ijklm Φ o E o 0 X Φ a i 0 X X X 0 0 Φ ab ij X X X X X 0 Φ abc ijk 0 X X X X X Φ abcd ijkl 0 0 X X X X Φ abcde ijklm X X X..
16 Ĥ S z = 0 Φ a i Φab ij Φabc ijk Φabcd ijkl Φ abcde ijklm Φ o E o 0 X Φ a i 0 X X X 0 0 Φ ab ij X X X X X 0 Φ abc ijk 0 X X X X X Φ abcd ijkl 0 0 X X X X Φ abcde ijklm X X X..
17 Metoda mieszania konfiguracji w ujȩciu operatorów kreacji-anihilacji Ψ o = (1 + Ĉ)Φ o Ĉ = Ĉ 1 + Ĉ Ĉ n Ĉ n = (n!) 1 ab... ij... cab... ij... â ˆb...ĵî
18 (Singles and doubles) Model CISD Ĉ = Ĉ 1 + Ĉ 2 Ĉ 1 = ai ca i â î Ĉ 2 = 1 2 abij cab ij â ˆb ĵî ezultat dzia lania operatorów Ĉ1 i Ĉ2 na funkcjȩ Φ o to onfiguracje jednokrotnie i dwukrotnie wzbudzone: Ĉ 1 Φ o = ai ca i Φ a i Ĉ 2 Φ o = 1 2 abij cab ij Φ ab ij
19 (Doubles) Model CID Ĉ = Ĉ 2 Ĉ 2 = 1 2 abij cab ij â ˆb ĵî ezultat dzia lania operatora Ĉ2 na funkcjȩ Φ o to konguracje jednokrotnie i dwukrotnie wzbudzone: Ĉ 2 Φ o = 1 2 abij cab ij Φ ab ij
20 Równania metody CI ĤΨ o = E o Ψ o Ĥ(1 + Ĉ 2 )Φ o = E CID o (1 + Ĉ 2 )Φ o okonujemy projekcji (rzutowania) powyższego równania a wektor Φ o : Φ o Ĥ(1 + Ĉ 2 Φ o = E CID o Φ o 1 + Ĉ 2 Φ o Φ o Ĥ(1 + Ĉ 2 Φ o = E CID o E CID o = Φ o Ĥ Φ o + Φ o ĤĈ 2 Φ o
21 Równanie na amplitudy c2 Φ ab ij Ĥ(1 + Ĉ 2 )Φ o = E CID o (e i + e j e a e b E)c ab ij = 1 2 c ab ij mn mn ij cab mn ef ab ef cef ij + 2 me ma ei ceb mj me ma ei cbe mj me ma ie cbe mj me mb ie cae mj + ab ij
22 E = E CID o Φ o ĤΦ o e i,e j... energie orbitalne,j... przebiega po poziomach zajȩtych,b... przebiega po poziomach wirtualnych
23 subroutine cid(no,nu,ti,c2,o2,vhh,vpp,vhpr,vhpl,eh,ep) plicit double precision (a-h,o-z) teger a,b,e,f ommon/enci/enrgnew imension vhh(no,no,no,no),ti(1),eh(no),ep(nu),c2(no,nu,nu, o),o2(no,nu,nu,no),vpp(nu,nu,nu,nu),vhpr(no,nu,nu,no), hpl(no,nu,nu,no),ve(nu,nu,nu,no) ata zero/0.0d+0/,two/2.0d+0/,half/0.5d+0/,tresh/0.1d-13/ all rdov4(1,nu,no,ti,vhh) all rdov4(0,no,nu,ti,vpp) all ro2hpp(1,no,nu,ti,vhpr) all ro2hpp(2,no,nu,ti,vhpl) all ro2hpp(1,no,nu,ti,o2) all adden(no,nu,o2,eh,ep) all energymm(no,nu,ti,o2,c2,enrgold) er=0
24 1000 continue!ci LOOP er=iter+1 o 110 i=1,no o 110 j=1,no o 110 a=1,nu o 110 b=1,nu 1=zero;x2=zero;x3=zero o 120 e=1,nu o 120 f=1,nu 1=x1+o2(i,e,f,j)*vpp(a,e,b,f)*half!1a 20 continue o 140 m=1,no o 140 n=1,no 2=x2+o2(m,a,b,n)*vhh(i,j,m,n)*half!2a 40 continue o 160 e=1,nu o 161 m=1,no 3=x3 2(i,e,b,m)*vhpl(m,e,a,j)!3a 2(i,a,e,m)*vhpl(m,e,b,j)!4a o2(i,a,e,m)*vhpr(m,e,b,j)*two!5a 2(i,e,a,m)*vhpr(m,e,b,j)!6a 61 continue 60 continue 2(i,a,b,j)=x1+x2+x3 10 continue
25 call symetr(c2,no,nu) all ro2hpp(1,no,nu,ti,o2)!wczytywanie calki all vectadd(c2,o2,no2u2)!dodawnie calki (wyrazu wolnego) do amp.c2 all adddenci2(no,nu,c2,eh,ep) all energymm(no,nu,ti,c2,o2,enrgnew)!wyznaczamy emergie rite(6,99)iter,enrgnew iff=enrgnew-enrgold (dabs(diff).gt.tresh)then all veccop(no2u2,o2,c2)!podst. nowych ampl. w miejsce stch ie o2 nrgold=enrgnew oto 1000 ndif
26 iteration: 1 energia CC teration: 2 energia CC teration: 3 energia CC teration: 4 energia CC teration: 5 energia CC teration: 6 energia CC teration: 7 energia CC teration: 8 energia CC teration: 9 energia CC teration: 10 energia CC teration: 11 energia CC teration: 12 energia CC teration: 13 energia CC teration: 14 energia CC teration: 15 energia CC teration: 16 energia CC teration: 17 energia CC teration: 18 energia CC teration: 19 energia CC
27 teration: 24 energia CC teration: 25 energia CC teration: 26 energia CC teration: 27 energia CC teration: 28 energia CC teration: 29 energia CC
Monika Musia l. METODA MIESZANIA KONFIGURACJI Configuration Interaction (CI) (ujȩcie wyznacznikowe)
Monika Musia l METODA MIESZANIA KONFIGURACJI Configuration Interaction (CI) (ujȩcie wyznacznikowe) ĤΨ i = E i Ψ i W metodzie mieszania konfiguracji wariacyjna funkcja falowa, jest liniow a kombinacj a
Bardziej szczegółowoMETODY POSTHARTREE-FOCKOWSKIE MONIKA MUSIA L
METODY POSTHARTREE-FOCKOWSKIE MONIKA MUSIA L Jednym z ważniejszych zadań chemii kwantowej jest opracowywanie nowych metod obliczeniowych umożliwiaj acych bardzo dok ladne wyznaczanie e- nergii korelacji
Bardziej szczegółowoMetoda oddzia lywania konfiguracji (CI)
Metoda oddzia lywania konfiguracji (CI) Spinorbitale: obsadzone φ a i wirtualne φ r : ɛ a ɛ HOMO, ɛ r ɛ LUMO ê r a wykonuje podstawienie φ a φ r, np. ê 7 2 φ 1 φ 2 φ 3... φ N = φ 1 φ 7 φ 3... φ N Operator
Bardziej szczegółowoMETODA SPRZȨŻONYCH KLASTERÓW METODA MIESZANIA KONFIGURACJI. Monika Musia l
METODA SPRZȨŻONYCH KLASTERÓW METODA MIESZANIA KONFIGURACJI Monika Musia l Jednym z ważniejszych zadań chemii kwantowej jest opracowywanie nowych metod obliczeniowych umożliwiaj acych bardzo dok ladne wyznaczanie
Bardziej szczegółowoMetody obliczeniowe chemii kwantowej oparte na funkcji falowej. Dla uk ladu N elektronów i K j ader atomowych hamiltonian przyjmuje postać:
Metody obliczeniowe chemii kwantowej oparte na funkcji falowej Równanie Schrödingera: ĤΨ = EΨ Dla uk ladu N elektronów i K j ader atomowych hamiltonian przyjmuje postać: Ĥ = h 2 K α=1 1 2M α 2 α h2 2m
Bardziej szczegółowoMetody obliczeniowe chemii teoretycznej
Metody obliczeniowe chemii teoretycznej mechanika kwantowa mechanika klasyczna ւ ց WFT DFT MM FFM metody bazuj ace na metody bazuj ace na Mechanika Molekularna funkcji falowej gȩstości elektronowej Wave
Bardziej szczegółowoPostulaty mechaniki kwantowej
Wyk lad 2 Postulaty mechaniki kwantowej 1 wymiar Postulat Stan czastki określa funkcja falowa Ψ = Ψ(x, t) zależna od po lożenia czastki x oraz czasu t. Interpretacje fizyczna ma jedynie kwadrat modu lu
Bardziej szczegółowoJEDNOSTKI ATOMOWE =1, m e =1, e=1, ; 1 E 2 h = 4, J. Energia atomu wodoru lub jonu wodoropodobnego w jednostkach atomowych:
do wyk ladu z 1.10.13 Atom wodoru i jon wodoropodobny Ze - ladunek jadra, e - ladunek elektronu, µ - masa zredukowana µ = mem j m e+m j ( µ m e ) M j - masa jadra, m e - masa elektronu, ε 0 - przenikalność
Bardziej szczegółowoNotatki do wyk ladu V (z ) Metoda Hartree-Focka (Hartree ego-focka)
Notatki do wyk ladu V (z 03.11.014) Metoda Hartree-Focka (Hartree ego-focka) Metoda wariacyjna, w której przyjmuje sie, że przybliżona funkcja falowa, opisujaca stan uk ladu n-elektronowego ma postać wyznacznika
Bardziej szczegółowoStruktura elektronowa czasteczek. przybliżenie Borna-Oppenheimera. równania Schrödingera dla elektronów przy ustalonym po lożeniu jader
Notatki do wyk ladu VII Struktura elektronowa czasteczek przybliżenie Borna-Oppenheimera rozwiazanie równania Schrödingera dla elektronów przy ustalonym po lożeniu jader przybliżenie jednoelektronowe metoda
Bardziej szczegółowoCHEMIA KWANTOWA MONIKA MUSIA L. Ćwiczenia. mm
CHEMIA KWANTOWA MONIKA MUSIA L Ćwiczenia METODY PRZYBLIŻONE ROZWIA ZYWANIA RÓWNANIA SCHRÖDINGERA METODA WARIACYJNA metoda wariacyjna ĤΨ n = E n Ψ n Ψ n ortonormalne Szukamy rozwi azań dla stanu podstawowego,
Bardziej szczegółowoMetoda Hartree-Focka (Hartree ego-focka)
Notatki do wyk ladu V Metoda Hartree-Focka (Hartree ego-focka) Metoda wariacyjna, w której przyjmuje sie, że przybliżona funkcja falowa, opisujaca stan uk ladu n-elektronowego ma postać wyznacznika Slatera,
Bardziej szczegółowoUkłady wieloelektronowe
Układy wieloelektronowe spin cząstki nierozróżnialność cząstek a symetria funkcji falowej fermiony i bozony przybliżenie jednoelektonowe wyznacznik Slatera konfiguracje elektronowe atomów ciało posiadające
Bardziej szczegółowoNotatki do wyk ladu IV (z ) Metoda Hartree-Focka (Hartree ego-focka)
Notatki do wyk ladu IV (z 1.11.01) Metoda Hartree-Focka (Hartree ego-focka) Metoda wariacyjna, w której przyjmuje sie, że przybliżona funkcja falowa opisujac a stan uk ladu n-elektronowego ma postać wyznacznika
Bardziej szczegółowoNiezb. ednik matematyczny. Niezb. ednik matematyczny
Niezb ednik matematyczny Niezb ednik matematyczny Liczby zespolone I Rozważmy zbiór R R (zbiór par liczb rzeczywistych) i wprowadźmy w nim nastepuj ace dzia lania: z 1 + z 2 = (x 1, y 1 ) + (x 2, y 2 )
Bardziej szczegółowoSTRUKTURA ELEKTRONOWA CZA STECZEK: METODA ORBITALI MOLEKULARNYCH (MO) Ćwiczenia. Monika Musia l
STRUKTURA ELEKTRONOWA CZA STECZEK: METODA ORBITALI MOLEKULARNYCH (MO) Ćwiczenia Monika Musia l Uk lad zamkniȩtopow lokowy: N elektronów; N 2 elektronowa: Ψ = 1 N! orbitali. Funkcja falowa N- φ 1 (1)α(1)
Bardziej szczegółowoUwzględnienie energii korelacji w metodach ab initio - przykłady
Uwzględnienie energii korelacji w metodach ab initio - przykłady Funkcje falowe (i funkcje bazy) jawnie skorelowane - zależa jawnie od odległości międzyelektronowych r ij = r i r j Funkcje falowe w postaci
Bardziej szczegółowo#$%&"!' ()*+$,% -$)%.)/ 01! *0,,2* %2, 40,-7 $$$
M NM O *+ 62-3B6 8 -C 6-B7 6 * *+5 2 B9 A: 6:!"#$% '!"#$%' ()* +,-. $/0(1()*$ +,!' + -.+ -/ (* +,!' + - / +,!'0!" $(1 234.56789: $(1 ;. *; ' +,!' 1 $% )# ?@ABCDE!6 9: $(1 FGH IJ!" $/0(1 IJKL
Bardziej szczegółowoSymbol termu: edu (sumy ca lkowitego orbitalnego momentu edu i ca lkowitego spinu) Przyk lad: 2 P 3. kwantowa
Notatki do wyk ladu VI (z 18.11.2013) Symbol termu: 2S+1 L (1) L -liczba kwantowa ca lkowitego orbitalnego momentu pedu Duże litery S, P, D, F, itd. dla L=0, 1, 2, 3, itd. 2S+1 - multipletowość; S - liczba
Bardziej szczegółowoWyk lad 11 1 Wektory i wartości w lasne
Wyk lad 11 Wektory i wartości w lasne 1 Wektory i wartości w lasne Niech V bedzie przestrzenia liniowa nad cia lem K Każde przekszta lcenie liniowe f : V V nazywamy endomorfizmem liniowym przestrzeni V
Bardziej szczegółowoZagadnienie Dualne Zadania Programowania Liniowego. Seminarium Szkoleniowe Edyta Mrówka
Zagadnienie Dualne Zadania Programowania Liniowego Seminarium Szkoleniowe Edyta Mrówka Ogólne zagadnienie PL Znajdź taki wektor X = (x 1, x 2,..., x n ), który minimalizuje kombinacje liniow a przy ograniczeniach
Bardziej szczegółowoPodstawowe metody i przybliżenia: metoda wariacyjna, rachunek zaburzeń
Wyk lad 6 Podstawowe metody i przybliżenia: metoda wariacyjna, rachunek zaburzeń Uk lady modelowe czastka swobodna czastka na barierze potencja lu czastka w pudle oscylator harmoniczny oscylator Morse
Bardziej szczegółowoStany atomu wieloelektronowego o określonej energii. być przypisywane elektrony w tym stanie atomu.
Notatki do wyk ladu VI Stany atomu wieloelektronowego o określonej energii. Konfiguracja elektronowa atomu - zbiór spinorbitali, wykorzystywanych do konstrukcji funkcji falowej dla danego stanu atomu;
Bardziej szczegółowoWyk lad 9 Przekszta lcenia liniowe i ich zastosowania
Wyk lad 9 Przekszta lcenia liniowe i ich zastosowania 1 Przekszta lcenia liniowe i ich w lasności Definicja 9.1. Niech V i W bed przestrzeniami liniowymi. Przekszta lcenie f : V W spe lniajace warunki:
Bardziej szczegółowoTEORIA FUNKCJONA LÓW. (Density Functional Theory - DFT) Monika Musia l
TEORIA FUNKCJONA LÓW GȨSTOŚCI (Density Functional Theory - DFT) Monika Musia l PRZEDMIOT BADAŃ Uk lad N elektronów + K j ader atomowych Przybliżenie Borna-Oppenheimera Zamiast funkcji falowej Ψ(r 1,σ 1,r
Bardziej szczegółowoMatematyczne Metody Chemii I Zadania
Matematyczne Metody Chemii I Zadania Mariusz Radoń, Marcin Makowski, Grzegorz Mazur Zestaw Zadanie. Pokazać, że wyznacznik dowolnej macierzy unitarnej jest liczbą o module. Zadanie. Pokazać, że elementy
Bardziej szczegółowopo lożenie cz astki i od czasu (t). Dla cz astki, która może poruszać siȩ tylko w jednym wymiarze (tu x)
Stan czastki określa funkcja falowa Ψ zależna od wspó lrzȩdnych określaj acych po lożenie cz astki i od czasu (t). Dla cz astki, która może poruszać siȩ tylko w jednym wymiarze (tu x) Wartości funkcji
Bardziej szczegółowoOddzia lywania miedzycz. jony molekularne lub atomy. edzy A i B:
Notatki do wyk ladu XIII Oddzia lywania miedzycz asteczkowe A i B zamknietopow lokowe czasteczki, jony molekularne lub atomy. Energia oddzia lywania E oddz mi edzy A i B: E oddz = E AB (E A + E B ) ()
Bardziej szczegółowoWykład Budowa atomu 3
Wykład 14. 12.2016 Budowa atomu 3 Model atomu według mechaniki kwantowej Równanie Schrödingera dla atomu wodoru i jego rozwiązania Liczby kwantowe n, l, m l : - Kwantowanie energii i liczba kwantowa n
Bardziej szczegółowoII. POSTULATY MECHANIKI KWANTOWEJ W JĘZYKU WEKTORÓW STANU. Janusz Adamowski
II. POSTULATY MECHANIKI KWANTOWEJ W JĘZYKU WEKTORÓW STANU Janusz Adamowski 1 1 Przestrzeń Hilberta Do opisu stanów kwantowych używamy przestrzeni Hilberta. Przestrzenią Hilberta H nazywamy przestrzeń wektorową
Bardziej szczegółowoOPTYKA KWANTOWA Wykład dla 5. roku Fizyki
OPTYKA KWANTOWA Wykład dla 5. roku Fizyki c Adam Bechler 2006 Instytut Fizyki Uniwersytetu Szczecińskiego Rezonansowe oddziaływanie układu atomowego z promieniowaniem "! "!! # $%&'()*+,-./-(01+'2'34'*5%.25%&+)*-(6
Bardziej szczegółowoWyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej
Wyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej 1 Baza przestrzeni liniowej Niech V bedzie przestrzenia liniowa. Powiemy, że podzbiór X V jest maksymalnym zbiorem liniowo niezależnym, jeśli X jest zbiorem
Bardziej szczegółowoII.3 Atom helu i zakaz Pauliego. Atomy wieloelektronowe. Układ okresowy
II.3 Atom helu i zakaz Pauliego. Atomy wieloelektronowe. Układ okresowy 1. Atom helu: struktura poziomów, reguły wyboru, 2. Zakaz Pauliego, 3. Moment pędu w atomach wieloelektronowych: sprzężenie LS i
Bardziej szczegółowoCHEMIA KWANTOWA MONIKA MUSIA L METODA HÜCKLA. Ćwiczenia. http://zcht.mfc.us.edu.pl/ mm
CHEMIA KWANTOWA MONIKA MUSIA L METODA HÜCKLA Ćwiczenia Zwi azki organiczne zawieraj ace uk lady π-elektronowe Sprzȩżony uk lad wi azań podwójnych: -C=C-C=C-C=C-C=C- Skumulowany uk lad wi azań podwójnych:
Bardziej szczegółowoy 1 y 2 = f 2 (t, y 1, y 2,..., y n )... y n = f n (t, y 1, y 2,..., y n ) f 1 (t, y 1, y 2,..., y n ) y = f(t, y),, f(t, y) =
Uk lady równań różniczkowych Pojȩcia wsȩpne Uk ladem równań różniczkowych nazywamy uk lad posaci y = f (, y, y 2,, y n ) y 2 = f 2 (, y, y 2,, y n ) y n = f n (, y, y 2,, y n ) () funkcje f j, j =, 2,,
Bardziej szczegółowoIII.1 Atom helu i zakaz Pauliego. Atomy wieloelektronowe. Układ okresowy
III.1 Atom helu i zakaz Pauliego. Atomy wieloelektronowe. Układ okresowy r. akad. 2004/2005 1. Atom helu: struktura poziomów, reguły wyboru, 2. Zakaz Pauliego, 3. Moment pędu w atomach wieloelektronowych:
Bardziej szczegółowoNotatki do wyk ladu IV (z 27.10.2014)
Dla orbitalnego momentu p edu (L): Notatki do wyk ladu IV (z 7.10.014) ˆL ψ nlm = l(l + 1) ψ nlm (1) ˆL z ψ nlm = m ψ nlm () l + 1 możliwych wartości rzutu L z na wyróżniony kierunek w przestrzeni (l -liczba
Bardziej szczegółowoMechanika kwantowa. Jak opisać atom wodoru? Jak opisać inne cząsteczki?
Mechanika kwantowa Jak opisać atom wodoru? Jak opisać inne cząsteczki? Mechanika kwantowa Elektron fala stojąca wokół jądra Mechanika kwantowa Równanie Schrödingera Ĥ E ψ H ˆψ = Eψ operator różniczkowy
Bardziej szczegółowou nk = n c nn u n 0 wyznacza siȩ empirycznie (elementy przejść) lub próbuje oszacować w obliczeniach typu ab initio Rachunek zaburzeń Löwdina
Jeśli pasma nie s a energetycznie dobrze separowalne lub energetycznie zdegenerowane (kwazizdegenerowane) to ich wzajemny wp lyw musi być uwzglȩdniony wariacyjnie - w I rzȩdzie RZ dla stanow zdegenerowanych
Bardziej szczegółowoPodstawowe działania w rachunku macierzowym
Podstawowe działania w rachunku macierzowym Marcin Detka Katedra Informatyki Stosowanej Kielce, Wrzesień 2004 1 MACIERZE 1 1 Macierze Macierz prostokątną A o wymiarach m n (m wierszy w n kolumnach) definiujemy:
Bardziej szczegółowoMatematyka A, klasówka, 24 maja zania zadań z kolokwium z matematyki A w nadziei, że pope lni lem wielu b le. rozwia
Matematyka A, klasówka, 4 maja 5 Na prośbe jednej ze studentek podaje zania zadań z kolokwium z matematyki A w nadziei, że pope lni lem wielu b le dów Podać definicje wektora w lasnego i wartości w lasnej
Bardziej szczegółowoWstęp do Optyki i Fizyki Materii Skondensowanej
Wstęp do Optyki i Fizyki Materii Skondensowanej Część I: Optyka, wykład 9 wykład: Piotr Fita pokazy: Andrzej Wysmołek ćwiczenia: Anna Grochola, Barbara Piętka Wydział Fizyki Uniwersytet Warszawski 2014/15
Bardziej szczegółowoRozdzia l 11. Przestrzenie Euklidesowe Definicja, iloczyn skalarny i norma. iloczynem skalarnym.
Rozdzia l 11 Przestrzenie Euklidesowe 11.1 Definicja, iloczyn skalarny i norma Definicja 11.1 Przestrzenia Euklidesowa nazywamy par e { X K,ϕ }, gdzie X K jest przestrzenia liniowa nad K, a ϕ forma dwuliniowa
Bardziej szczegółowoUklady modelowe III - rotator, atom wodoru
Wyk lad 5 Uklady modelowe III - rotator, atom wodoru Model Separacja ruchu środka masy R = m 1r 1 + m 2 r 2 m 1 + m 2 Ĥ = Ĥ tr (R) + Ĥ rot (r) Ĥ tr 2 (R) = 2(m 1 + m 2 ) R [ Ψ E tr (R; t) = exp i (k R
Bardziej szczegółowoSterowalność liniowych uk ladów sterowania
Sterowalność liniowych uk ladów sterowania W zadaniach sterowania docelowego należy przeprowadzić obiekt opisywany za pomoc a równania stanu z zadanego stanu pocz atkowego ẋ(t) = f(x(t), u(t), t), t [t,
Bardziej szczegółowoSpektroskopia magnetyczna
Spektroskopia magnetyczna Literatura Zbigniew Kęcki, Podstawy spektroskopii molekularnej, PWN W- wa 1992 lub nowsze wydanie Przypomnienie 1) Mechanika ruchu obrotowego - moment bezwładności, moment pędu,
Bardziej szczegółowoMechanika kwantowa ćwiczenia, 2007/2008, Zestaw II
1 Dane są następujące operatory: ˆD = x, ˆQ = π 0 x, ŝin = sin( ), ĉos = cos( ), ˆπ = π, ˆ0 = 0, przy czym operatory ˆπ oraz ˆ0 są operatorami mnożenia przez opowienie liczby (a) Wyznacz kwarat oraz owrotność
Bardziej szczegółowoBudowa atomów. Atomy wieloelektronowe Układ okresowy pierwiastków
Budowa atomów Atomy wieloelektronowe Układ okresowy pierwiastków Model atomu Bohra atom zjonizowany (ciągłe wartości energii) stany wzbudzone jądro Energia (ev) elektron orbita stan podstawowy Poziomy
Bardziej szczegółowoPrzestrzenie wektorowe, liniowa niezależność wektorów, bazy przestrzeni wektorowych
Grupa, cia lo Zadanie 1. Jakie w lasności w zbiorze liczb naturalnych, ca lkowitych, wymiernych, rzeczywistych maj dzia lania a b = a b, a b = a 2 + b 2, a b = a+b, a b = b. 2 Zadanie 2. Pokazać, że (R
Bardziej szczegółowoMechanika kwantowa. Jak opisać atom wodoru? Jak opisać inne cząsteczki?
Mechanika kwantowa Jak opisać atom wodoru? Jak opisać inne cząsteczki? Mechanika kwantowa Równanie Schrödingera Ĥ E ψ H ˆψ = Eψ operator różniczkow Hamiltona energia funkcja falowa h d d d + + m d d dz
Bardziej szczegółowoAtom wodoru. Model klasyczny: nieruchome jądro +p i poruszający się wokół niego elektron e w odległości r; energia potencjalna elektronu:
ATOM WODORU Atom wodoru Model klasyczny: nieruchome jądro +p i poruszający się wokół niego elektron e w odległości r; energia potencjalna elektronu: U = 4πε Opis kwantowy: wykorzystując zasadę odpowiedniości
Bardziej szczegółowoWyk lad 9 Baza i wymiar przestrzeni liniowej
Wyk lad 9 Baza i wymiar przestrzeni liniowej 1 Operacje elementarne na uk ladach wektorów Niech α 1,..., α n bed dowolnymi wektorami przestrzeni liniowej V nad cia lem K. Wyróżniamy nastepuj ace operacje
Bardziej szczegółowoPRZYBLIŻENIE JEDNOELEKTRONOWE ATOM WIELOELEKTRONOWY. Monika Musiał. c.us.edu.pl/ mm
PRZYBLIŻENIE JEDNOELEKTRONOWE ATOM WIELOELEKTRONOWY http://zcht.mf c.us.edu.pl/ mm przybliżenie jednoelektronowe Układy wieloelektronowe- atomy i cz asteczki zawieraj ace dwa i wiȩcej elektronów; układy
Bardziej szczegółowoWyk lad 10 Przestrzeń przekszta lceń liniowych
Wyk lad 10 Przestrzeń przekszta lceń liniowych 1 Określenie przestrzeni przekszta lceń liniowych Niech V i W bed a przestrzeniami liniowymi Oznaczmy przez L(V ; W ) zbór wszystkich przekszta lceń liniowych
Bardziej szczegółowoLiczby zespolone, liniowa zależność i bazy Javier de Lucas. a d b c. ad bc
Liczby zespolone, liniowa zależność i bazy Javier de Lucas Ćwiczenie. Dowieść, że jeśli µ := c d d c, to homografia h(x) = (ax+b)/(cx+d), a, b, c, d C, ad bc, odwzorowuje oś rzeczywist a R C na okr ag
Bardziej szczegółowoWstęp do Optyki i Fizyki Materii Skondensowanej
Wstęp do Optyki i Fizyki Materii Skondensowanej Część I: Optyka, wykład 10 wykład: Piotr Fita pokazy: Andrzej Wysmołek ćwiczenia: Paweł Kowalczyk, Barbara Piętka Wydział Fizyki Uniwersytet Warszawski 2015/16
Bardziej szczegółowo13.1 Układy helopodobne (trójcząstkowe układy dwuelektronowe)
Janusz Adamowski METODY OBLICZENIOWE FIZYKI 1 Rozdział 13 UKŁADY KILKU CZĄSTEK W MECHANICE KWANTOWEJ 13.1 Układy helopodobne (trójcząstkowe układy dwuelektronowe) Zajmiemy się kwantowym opisem atomu He
Bardziej szczegółowo{E n ( k 0 ) + h2 2m (k2 k 2 0 )}δ nn + h m ( k k 0 ) p nn. c nn = E n ( k)c nn (1) gdzie ( r)d 3 r
to w pobliżu dna (lub szczytu) pasma (k k 0 ) zależność E(k) jest paraboliczna ale z mas a m m 0 Jeśli pasma nie s a energetycznie dobrze separowalne lub energetycznie zdegenerowane (kwazizdegenerowane)
Bardziej szczegółowoNormy wektorów i macierzy
Rozdzia l 3 Normy wektorów i macierzy W tym rozdziale zak ladamy, że K C. 3.1 Ogólna definicja normy Niech ψ : K m,n [0, + ) b edzie przekszta lceniem spe lniaj acym warunki: (i) A K m,n ψ(a) = 0 A = 0,
Bardziej szczegółowoCzastka swobodna Bariera potencja lu Pud lo jednowymiarowe FEMO Pud la wielowymiarowe. Wyk lad 3. Uk lady modelowe I
Wyk lad 3 Uk lady modelowe I Hamiltonian, równania Schrödingera hamiltonian Ĥ(x) = ˆT (x) = 2 d 2 2m dx 2 równanie Schrödingera zależne od czasu stany stacjonarne 2 2 Ψ(x, t) Ψ(x, t) 2m x 2 = i t dψ E
Bardziej szczegółowoWłaściwości chemiczne i fizyczne pierwiastków powtarzają się w pewnym cyklu (zebrane w grupy 2, 8, 8, 18, 18, 32 pierwiastków).
Właściwości chemiczne i fizyczne pierwiastków powtarzają się w pewnym cyklu (zebrane w grupy 2, 8, 8, 18, 18, 32 pierwiastków). 1925r. postulat Pauliego: Na jednej orbicie może znajdować się nie więcej
Bardziej szczegółowoZadania egzaminacyjne
Rozdział 13 Zadania egzaminacyjne Egzamin z algebry liniowej AiR termin I 03022011 Zadanie 1 Wyznacz sumę rozwiązań równania: (8z + 1 i 2 2 7 iz 4 = 0 Zadanie 2 Niech u 0 = (1, 2, 1 Rozważmy odwzorowanie
Bardziej szczegółowoWyk lad 7 Metoda eliminacji Gaussa. Wzory Cramera
Wyk lad 7 Metoda eliminacji Gaussa Wzory Cramera Metoda eliminacji Gaussa Metoda eliminacji Gaussa polega na znalezieniu dla danego uk ladu a x + a 2 x 2 + + a n x n = b a 2 x + a 22 x 2 + + a 2n x n =
Bardziej szczegółowoRACHUNEK ZABURZEŃ. Monika Musiał
RACHUNEK ZABURZEŃ Monika Musiał Rachunek zaburzeń jest podstawową obok metody wariacyjnej techniką obliczeniową stosowaną do rozwiązywania równania Schrödingera. Idea metody zaburzeniowej sprowadza się
Bardziej szczegółowo1. Matematyka Fizyki Kwantowej: Cześć Trzecia
1 Matematyka Fizyki Kwantowej: Cześć Trzecia Piotr Szańkowski Ćwiczenia nr 3 : Podstawowy aparatu matematycznego mechaniki kwantowej I OPERATORY Operator to odwzorowanie  : V V, które działa na stan,
Bardziej szczegółowoChemia kwantowa. Pytania egzaminacyjne. 2010/2011: 1. Przesłanki doświadczalne mechaniki kwantowej.
1 Chemia kwantowa. Pytania egzaminacyjne. 21/211: 1. Przesłanki doświadczalne mechaniki kwantowej. 2. Efekt fotoelektryczny - interpretacja Einsteina. 3. Efekt fotoelektryczny: jak skorelowana jest licza
Bardziej szczegółowoSTRUKTURA ELEKTRONOWA CZA STECZEK: METODA ORBITALI MOLEKULARNYCH (MO) Monika Musia l
WYK LAD STRUKTURA ELEKTRONOWA CZA STECZEK: METODA ORBITALI MOLEKULARNYCH (MO) Monika Musia l http : //zcht.mf c.us.edu.pl/ mm WYK LAD - wyznaczanie orbitali atomowych i molekularnych Uk lad zamkniȩtopow
Bardziej szczegółowoZadania z GAL-u. 1 Rozwia. Listopad x + 3y = 1 3x + y = x + y = 1 x + 2y 3z = 3 2x + 4y + z = 1 1.2
Zadania z GAL-u Listopad 2004 1 Rozwia zać uk lady równań: 11 12 13 14 15 { 2x + 3y = 1 3x + y = 0 x + y = 1 x + 2y 3z = 3 2x + 4y + z = 1 3x + y + z = 1 x + 2z = 6 3y + 2z = 0 2x + 3y + 2z = 1 3x + 4y
Bardziej szczegółowo5 Reprezentacje połozeniowa i pedowa
5 Reprezentacje połozeniowa i pedowa 5.1 Reprezentacja położeniowa W poprzednim rozdziale znaleźliśmy jawną postać operatora Ĥ w przedstawieniu położeniowym. Co to znaczy? W przedstawieniu położeniwym
Bardziej szczegółowoMnożniki funkcyjne Lagrange a i funkcje kary w sterowaniu optymalnym
Mnożniki funkcyjne Lagrange a i funkcje kary w sterowaniu optymalnym Sprowadzanie zadań sterowania optymalnego do zadań wariacyjnych metod a funkcji kary i mnożników Lagrange a - zadania sterowania optymalnego
Bardziej szczegółowoA. Strojnowski - Twierdzenie Jordana 1
A Strojnowski - Twierdzenie Jordana 1 Zadanie 1 Niech f b edzie endomorfizmem skończenie wymiarowej przestrzeni V nad cia lem charakterystyki różnej od 2 takim, że M(f) nie jest diagonalizowalna ale M(f
Bardziej szczegółowoRównanie Schrödingera
Równanie Schrödingera Maciej J. Mrowiński 29 lutego 2012 Zadanie RS1 Funkcja falowa opisująca stan pewnej cząstki w chwili t = 0 ma następującą postać: A(a Ψ(x,0) = 2 x 2 ) gdy x [ a,a] 0 gdy x / [ a,a]
Bardziej szczegółowoa 11 a a 1n a 21 a a 2n... a m1 a m2... a mn a 1j a 2j R i = , C j =
11 Algebra macierzy Definicja 11.1 Dla danego ciała F i dla danych m, n N funkcję A : {1,..., m} {1,..., n} F nazywamy macierzą m n (macierzą o m wierszach i n kolumnach) o wyrazach z F. Wartość A(i, j)
Bardziej szczegółowoANALITYKA W KONTROLI JAKOŚCI
ANALITYKA W KONTROLI JAKOŚCI ANALIZA ŚLADÓW METODA ICP-OES Optyczna spektroskopia emisyjna ze wzbudzeniem w indukcyjnie sprzężonej plazmie WYKŁAD 4 Rodzaje widm i mechanizm ich powstania PODSTAWY SPEKTROSKOPII
Bardziej szczegółowoWyk lad 8 macierzy i twierdzenie Kroneckera-Capellego
Wyk lad 8 Rzad macierzy i twierdzenie Kroneckera-Capellego 1 Określenie rz edu macierzy Niech A bedzie m n - macierza Wówczas wiersze macierzy A możemy w naturalny sposób traktować jako wektory przestrzeni
Bardziej szczegółowoTeoria funkcjonału gęstości
Teoria funkcjonału gęstości Łukasz Rajchel Interdyscyplinarne Centrum Modelowania Matematycznego i Komputerowego Uniwersytet Warszawski lrajchel1981@gmail.com Wykład dostępny w sieci: http://tiger.chem.uw.edu.pl/staff/lrajchel/
Bardziej szczegółowog liczb rzeczywistych (a n ) spe lnia warunek
. Czy jest prawda, że a) R y R z R y + yz + = 0 ; b) R y R z R y + yz + 0 ; c) R y R z R y + yz + = 0 ; d) R y R z R y + yz + 0? 2. Czy jest prawdziwa nierówność a) ctg > ; b) tg < cos ; c) cos < sin ;
Bardziej szczegółowoTeoria funkcjona lu g
Notatki do wyk ladu XI Teoria funkcjona lu g estości Density Functional Theory - DFT Czy znajomość funkcji falowej jest niezb edna? Ψ(1,, 3,..., N) dla uk ladu N-elektronowego zależy od 4N zmiennych (dla
Bardziej szczegółowowartość oczekiwana choinki
wartość oczekiwana choinki Plan seminarium cośo równaniu Schrödingera analityczne metody rozwiązywania algorytm & obliczenia Schrödinger w studni koniec choinka ortogonalna Coś o równaniu Schrödingera
Bardziej szczegółowoVI. KORELACJE KWANTOWE Janusz Adamowski
VI. KORELACJE KWANTOWE Janusz Adamowski 1 1 Korelacje klasyczne i kwantowe Zgodnie z teorią statystyki matematycznej współczynnik korelacji definiujemy jako cov(x, y) corr(x, y) =, (1) σ x σ y gdzie x
Bardziej szczegółowoWstęp do Modelu Standardowego
Wstęp do Modelu Standardowego Plan (Uzupełnienie matematyczne II) Abstrakcyjna przestrzeń stanów Podstawowe własności Iloczyn skalarny amplitudy prawdopodobieństwa Operatory i ich hermitowskość Wektory
Bardziej szczegółowoUkłady równań liniowych
Układy równań liniowych Niech K będzie ciałem. Niech n, m N. Równanie liniowe nad ciałem K z niewiadomymi (lub zmiennymi) x 1, x 2,..., x n K definiujemy jako formę zdaniową zmiennej (x 1,..., x n ) K
Bardziej szczegółowoRysunek 1: Schemat doświadczenia Sterna-Gerlacha. Rysunek 2: Schemat doświadczenia Sterna-Gerlacha w różnych rzutach przestrzennych.
VII. SPIN 1 Rysunek 1: Schemat doświadczenia Sterna-Gerlacha. Rysunek 2: Schemat doświadczenia Sterna-Gerlacha w różnych rzutach przestrzennych. 1 Wstęp Spin jest wielkością fizyczną charakteryzującą cząstki
Bardziej szczegółowoALGEBRA LINIOWA. Wykład 2. Analityka gospodarcza, sem. 1. Wydział Zarządzania i Ekonomii Politechnika Gdańska
ALGEBRA LINIOWA Wykład 2 Analityka gospodarcza, sem 1 Wydział Zarządzania i Ekonomii Politechnika Gdańska dr inż Natalia Jarzębkowska, CNMiKnO semzimowy 2018/2019 2/17 Macierze Niech M = {1, 2,, m} i N
Bardziej szczegółowoPOSTULATY MECHANIKI KWANTOWEJ cd i formalizm matematyczny
POSTULATY MECHANIKI KWANTOWEJ cd i formalizm matematyczny Funkcja Falowa Postulat 1 Dla każdego układu istnieje funkcja falowa (funkcja współrzędnych i czasu), która jest ciągła, całkowalna w kwadracie,
Bardziej szczegółowoTeoria Orbitali Molekularnych. tworzenie wiązań chemicznych
Teoria Orbitali Molekularnych tworzenie wiązań chemicznych Zbliżanie się atomów aż do momentu nałożenia się ich orbitali H a +H b H a H b Wykres obrazujący zależność energii od odległości atomów długość
Bardziej szczegółowopo lożenie cz astki i od czasu (t). Dla cz astki, która może poruszać siȩ tylko w jednym wymiarze (tu x)
Stan czastki określa funkcja falowa Ψ zależna od wspó lrzȩdnych określaj acych po lożenie cz astki i od czasu (t). Dla cz astki, która może poruszać siȩ tylko w jednym wymiarze (tu x) Wartości funkcji
Bardziej szczegółowoKulka krąży wokół jądra po orbicie, o ustalonych parametrach, które mogą się zmieniać tylko skokowo, kiedy elektron przeskakuje na inną orbitę.
Widmo elektronowe Elektrony w molekule poruszają się wokół jąder, mają więc pewną energię kinetyczną. Ponieważ znajdują się one w polu sil elektrostatycznych przyciągania przez jądra i odpychania przez
Bardziej szczegółowow jednowymiarowym pudle potencja lu
Do wyk ladu II czastka w pudle potencja lu oscylator harmoniczny rotator sztywny Ścis le rozwiazania równania Schrödingera: atom wodoru i jon wodoropodobny) Czastka w jednowymiarowym pudle potencja lu
Bardziej szczegółowo1 Zbiory i działania na zbiorach.
Matematyka notatki do wykładu 1 Zbiory i działania na zbiorach Pojęcie zbioru jest to pojęcie pierwotne (nie definiuje się tego pojęcia) Pojęciami pierwotnymi są: element zbioru i przynależność elementu
Bardziej szczegółowoRozdział 22 METODA FUNKCJONAŁÓW GĘSTOŚCI Wstęp. Janusz Adamowski METODY OBLICZENIOWE FIZYKI 1
Janusz Adamowski METODY OBLICZENIOWE FIZYKI 1 Rozdział 22 METODA FUNKCJONAŁÓW GĘSTOŚCI 22.1 Wstęp Definiujemy dla gazu elektronowego operatory anihilacji ψ σ (r) i kreacji ψ σ(r) pola fermionowego ψ σ
Bardziej szczegółowoMetoda Simplex bez użycia tabel simplex 29 kwietnia 2010
R. Rȩbowski 1 WPROWADZENIE Metoda Simplex bez użycia tabel simplex 29 kwietnia 2010 1 Wprowadzenie Powszechnie uważa siȩ, że metoda simplex, jako uniwersalny algorytm pozwalaj acyznaleźć rozwi azanie optymalne
Bardziej szczegółowo1. Przesłanki doświadczalne mechaniki kwantowej.
1 Pytania egzaminacyjne: 1. Przesłanki doświadczalne mechaniki kwantowej. 2. Efekt fotoelektryczny- interpretacja Einsteina. 3. Efekt fotoelektryczny: jak skorelowana jest liczba wybijanych elektronów
Bardziej szczegółowoBudowa atomu. Izotopy
Budowa atomu. Izotopy Zadanie. atomu lub jonu Fe 3+ atomowa Z 9 masowa A Liczba protonów elektronów neutronów 64 35 35 36 Konfiguracja elektronowa Zadanie 2. Atom pewnego pierwiastka chemicznego o masie
Bardziej szczegółowoKorelacja elektronowa
Korelacja elektronowa oraz metody jej uwzgl edniania oparte na funkcji falowej Mariusz Radoń 04.04.2017 11.04.2017 Wymiana i korelacja kulombowska W metodzie HF Elektrony o jednakowych spinach nie moga
Bardziej szczegółowoPrzestrzeń unitarna. Jacek Kłopotowski. 23 października Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH
Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH 23 października 2018 Definicja iloczynu skalarnego Definicja Iloczynem skalarnym w przestrzeni liniowej R n nazywamy odwzorowanie ( ) : R n R n R spełniające
Bardziej szczegółowoWyk lad 4 Macierz odwrotna i twierdzenie Cramera
Wyk lad 4 Macierz odwrotna i twierdzenie Cramera 1 Odwracanie macierzy I n jest elementem neutralnym mnożenia macierzy w zbiorze M n (R) tzn A I n I n A A dla dowolnej macierzy A M n (R) Ponadto z twierdzenia
Bardziej szczegółowo1 Macierze i wyznaczniki
1 Macierze i wyznaczniki 11 Definicje, twierdzenia, wzory 1 Macierzą rzeczywistą (zespoloną) wymiaru m n, gdzie m N oraz n N, nazywamy prostokątną tablicę złożoną z mn liczb rzeczywistych (zespolonych)
Bardziej szczegółowoKorelacja elektronowa. e z rachunku prawdopodobieństwa i statystyki. Zmienne losowe x i y sa. ρ(x, y) = ρ 1 (x) ρ 2 (y)
Notatki do wyk ladu XII Korelacja elektronowa Nazwa korelacja elektronowa wywodzi si e z rachunku prawdopodobieństwa i statystyki. Zmienne losowe x i y sa niezależne jeśli ρ(x, y) = ρ 1 (x) ρ 2 (y) Oznacza
Bardziej szczegółowo