W poszukiwaniu kszta ltów kulistych

Transkrypt

1 W poszukiwaniu kszta ltów kulistych Piotr Mankiewicz April 4, 2005 Konwersatorium dla doktorantów

2 Notacje 1 Cia lo wypuk le - wypuk ly, domkniȩty podzbiór ograniczony w R n. Odleg lość geometryczna dwóch cia l A, B R n d g (A, B) = inf{t 1 /t 2 t 2 A B t 1 B, t 1, t 2 > 0}, a ich odleg lość Banacha-Mazura d(a, B) = inf{d g (A, T (B)) T jest odwracalnym operatorem liniowym z R n R n }. Uwaga: To nie s a metryki!!! Staj a sie nimi dopiero po zlogarytmowaniu! Nierówności trójk ata s a multiplikatywne. Tzn. dla każdego cia la C mamy d(a, B) d(a, C)d(C, B) i d(a, A) = 1. Bȩdziemy siȩ zajmować wy l acznie cia lami symetrycznymi; tzn. takimi że A = A. Przyk lady: Kula euklidesowa w R n, kule jednostkowe B n p w l n p dla 1 p. Konwersatorium dla doktorantów 1

3 Notacje 2 Polarem symetrycznego, wypuk lego cia la B R n nazywamy zbiór B o = {x R n < x, y > 1 for every y B}. Przyk lady: (ta) o = t 1 A o, A B poci aga B o A o, (B n p ) o = B n p, dla p [1, ], gdzie p = p/(p 1). Grassmannian G n,k - jest to zbiór wszystkich k-wymiarowych podprzestrzeni liniowych w R n wyposażony w (naturaln a) miarȩ unormowan a. Jeżeli T : R n R n jest izomorfizmem liniowym to T (B) nazywamy (inn a) pozycj a tego cia la. Konwersatorium dla doktorantów 2

4 Latwa czȩść Twierdzenia Fritza Johna Twierdzenie 1. Dla każdego symetrycznego cia la wypuk lego B w R n istnieje dok ladnie jedna elipsoida E minimalnej (dualnie maksymalnej) objȩtości zwieraj aca B (zawarta w B). Co wiecej, 1 n E B ( E) (dualnie E B ne), co znaczy, że d g (E, B) n. Bior ac odpowiednie przekszta lcenie liniowe T : E B n 2 otrzymujemy, że dla B = T (B) 1 n B n 2 B B n 2 i podobnie w dualnym przypadku. Wniosek: (i) Dla każdego cia la B w R n mamy d(b, B n 2 ) n, zatem (ii) dla dowolnych A, B w R n mamy d(a, B) n. Konwersatorium dla doktorantów 3

5 Zasada kurczenia siȩ średnic rzutów (The Shrinking Principle) Fakt. Dla dowolnego symetrycznego cia la wypuk lego B i typowej podprzestrzeni H G n,k mamy średnica P H (B) C 1 k/n średnica B dla M (B) k n. Typowa - znaczy miara takich H jest eksponencjalnie bliska jedynki ( 1 exp k), M (B) oznacza najwiȩkszy taki wymiar, że typowy rzut jest już kulisty, a C 1 > 1 jest sta l a numeryczn a. Analogiczny fakt zachodzi przez dualność (polarność) dla typowych przkrojów które rosn a wraz z maleniem wymiarów. Konwersatorium dla doktorantów 4

6 Izomorficzne, losowe, skończenie wymiarowe Twierdzenie Dvoretzkiego Tw.2. (A. Litvak & P.M. & N. Tomczak-Jaegermann) Dla każdego cia la B R n dla którego B n 2 jest elipsoid a minimalnej objȩtości i dla każdego M (B) k n mamy c log(n/k)/np H (B n 2 ) P H (B) C k/np H (B n 2 ) dla rzutów ortogonalnych P H na typowe podprzestrzenie H G n.k gdzie 0 < c < 1 < C oznaczaj a sta le numeryczne (tzn. niezależne od n, k i B). Uwaga 1. Oczywiście prawdziwa jest także dualna wersja tego twierdzenia (dla przekrojów). Uwaga 2. Z Tw. 2 formalnie wynika, że M (B) c log n. Konwersatorium dla doktorantów 5

7 Nierównosć Santaló Twierdzenie 3. Dla każdego cia la wypuk lego B R n c ( vol (B) vol (B o ) 1/n ) C, vol (B n 2 )2 gdzie 0 < c C s a sta lymi numerycznymi. Uwaga. Można pokazać, że c < C = 1. Definicja. (Wewnȩtrzny i zewnȩtrzny volume ratio ) Niech E bȩdzie elipsoid a a B cia lem, E, B R n. (i) Jeżeli E B, to definiujemy vr (B, E) = (vol (B)/ vol (E)) 1/n. (ii) Jeżeli B E, to definiujemy Vr (B, E) = (vol (E/vol(B)) 1/n. Konwersatorium dla doktorantów 6

8 Wnioskowanie z objȩtości (Volume Ratio Argument; inner and outer case) Twierdzenie 4. Jeżeli cia lo B R n zawiera λb n 2, to dla typowej podprzestrzeni E G n,k, gdzie k = δn, mamy λb n 2 E B E (C vr (B, B n 2 )) 1/1 δ λb n 2 E, co znaczy d g (B E, B n 2 E) (C vr (B, B n 2 )) 1/1 δ. Dualnie Twierdzenie 5. Jeżeli λb n 2 zawiera cia lo B, to dla typowej podprzestrzeni E G n,k, gdzie k = δn, mamy λ(c Vr (B, λb n 2 )) 1/1 δ P H (B n 2 ) P H (B) λp E (B n 2, co znaczy d g (B, P H (B n 2 )) (C Vr (B, B n 2 )) 1/1 δ. Przyk lady... Konwersatorium dla doktorantów 7

9 Elipsoida Milmana Definicja. Mówimy, że elipsoida E B R n jest elipsoid a Milmana (M-elipsoid a) dla symetrycznego, wypuk lego cia la B R n (z parametrem C), jeżeli s a spe lnione obie nierówności: ( 1/n vol (B+EB ) vol (B E B )) C ( vol (B o +E o ) 1/n B ) vol (B o E B o ) C, gdzie + oznacza sumȩ Minkowskiego, A + B = {x + y x A i y B}. Twierdzenie 6. (V. Milman) Istnieje sta la numeryczna C 0 1 taka, że dla każdego n 1 i dla każdego symetrycznego wypuk lego cia la B R n istnieje M- elipsoidsa z parametrem C 0. Mówimy, że B jest w M-pozycji, gdy B n 2 jest M- elipsoid a dla B (z parametrem C 0 ). Konwersatorium dla doktorantów 8

10 W lasności elipsoidy Milmana Bezpośrednio z definicji wynika, że C 1 0 vol B/ vol E B C 0 oraz C 1 0 vol B o / vol E o B C 0. Ponadto, (*) E B o = (E B ) o. Twierdzenie 7. Dla każdego δ > 0 istnieje C = C(δ) taka, że dla każdego n N i dla każdego cia la B R n i jego M-elipsoidy E B oraz dla każdej n wymiarowej podprzestrzeni H R n wymiaru k = δn, mamy C(δ) 1 (vol P H (K)/ vol P H (E B )) 1/k C(δ) C(δ) 1 (vol (H K)/ vol (H E B )) 1/k C(δ), dla K bȩd acym dowolnym zbiorem z listy: B + E B, B E B, B. Uwaga. Na mocy (*), podobne nierówności zachodz a dla B o i E B o. Konwersatorium dla doktorantów 9

11 Twierdzenie Milmana o przekrojach rzutów (Subspace of a Quotient Theorem) Theorem 8 (V, Milman). Dla każdej pary 0 < δ 1 < δ 2 < 1 istnieje sta la C(δ 1, δ 2 ) > 1 taka, że dla każdego n N i dla każdego symetrycznego, wypuk lego cia la B R n w M pozycji mamy: (**) typowy [δ 1 ] wymiarowy przekrój typowego [δ 2 ]-wymiarowego rzutu ortogonalnego jest C(δ 1, δ 2 ) kulisty. Konwersatorium dla doktorantów 10