4.1. Środek ciężkości i środek masy
|
|
|
- Beata Skrzypczak
- 6 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 4 Śode ciężości i śode as Rozpatz uład putów ateialch o asach (,,, ), a tóe działają sił ciężości (s 4) Niech położeie tch putów względe putu odiesieia O oeślają weto wodzące, ja a suu Wiadoo, że sił ciężości poszczególch putów są ówe iloczowi as pzez pzśpieszeie ziesie, g, i są sieowae do śoda uli ziesiej Poieważ wia uładów ateialch ozpatwach w zastosowaiach techiczch są poijalie ałe w poówaiu z poieie uli ziesiej, sił ciężości oże uważać za sił ówoległe Put położeia wpadowej sił ciężości azwa śodie ciężości uładu lub ciała ateialego Put te ie zależ od obotu uładu lub ciała ateialego Soo sił ciężości są siłai ówoległi, to do oeśleia położeia śoda ciężości oże wozstać wzo wpowadzoe w p 39 a śode uładu sił ówoległch Weto wodząc śoda ciężości uładu putów ateialch zgodie ze wzoe (354) będzie ważał związe: (4) Współzęde śoda ciężości w postoąt uładzie współzędch otza ze wzoów (355): z,, z We wzoach (4) i (4) jest ciężae całowit uładu ateialego: (4) W pzpadu ciała ateialego o ciągł ozieszczeiu as, jai jest bła, dzieli je ślowo a ałch eleetów o asach i ciężaach (s 4) Po podstawieiu do wzoów (4) i (4) zaiast otza wzo a pzbliżoe położeie śoda ciężości bł:, (43)
2 z,, z (44) z z O Rs 4 Sił ciężości jao sił ówoległe O Rs 4 Wzaczaie śoda ciężości dowolej bł Doład wzó a poień wodząc śoda ciężości otza, bioąc gaicę su wstępującej we wzoze (43) pz liczbie eleetów dążącej do iesończoości i ich wiaach dążącch do zea Wted w iejsce su otza całę ozciągiętą a całą błę Zate weto wodząc śoda ciężości li d (45) Z olei współzęde postoąte śoda ciężości bł są oeśloe wzoai: d d,, z zd (46) Załóż obecie, że pole sił ciężości jest pole jedood, czli pzśpieszeie ziesie ie ulega ziaie, tz g cost w cał ozpatwa uładzie ateial Może wted zapisać: g i d gd, gdzie jest asą całego uładu lub ciała ateialego Po podstawieiu tch zależości do wzoów (45) i (46) i po sóceiu pzez g otza wzo:
3 d d d,, z, (47) zd (48) Oeślają oe położeie śoda as bł W pzpadu uładu putów ateialch śode as będzie oeślo pzez aalogicze wzo, z t że iejsce całe zają su:, (49) z,, z (40) Ze wzoów (47 40) wia, że pz pzjętch założeiach w jedood polu sił ciężości śode as powa się ze śodie ciężości Z tego względu ówiąc o śodu ciężości, oże ieć a śli śode as i odwotie Tzeba jeda paiętać, pz jaich założeiach te dwa put się powają
4 4 Śode ciężości bł jedoodej Błą jedoodą azwa ciało ateiale, w tó asa jest ozieszczoa ówoieie w całej jego objętości Dla taich ciał zaówo gęstość, ja i cięża właściw są wielościai stałi Jeżeli cięża właściw ozacz pzez γ, a objętość bł pzez, to całowit cięża oaz cięża eleetu objętości bł oże wazić wzoai: γ, d γ d Po podstawieiu tch zależości do wzoów (45) oaz (46) i sóceiu pzez stał czi γ otza: d d d,, z, (4) zd (4) Obszae całowaia jest tutaj cała objętość bł Z otzach wzoów wia, że położeie śoda ciężości (śoda as) bł jedoodch zależ tlo od ich ształtu geoetczego W wzaczaiu śodów ciężości pooce jest astępujące twiedzeie, tóego dowód pozostawia zteliowi Jeżeli bła jedooda a płaszczzę, oś lub śode setii, to śode ciężości tej bł będzie leżał a płaszczźie, osi lub w śodu setii Pzład 4 Wzaczć położeie śoda ciężości jedoodego ostosłupa foeego o podstawie wadatu o bou b i wsoości h (s 43) Rozwiązaie Poieważ oś z jest osią setii, śode ciężości będzie leżał a tej osi, czli 0 Wstacz zate wzaczć jedą współzędą z z tzeciego wzou (4)
5 z h dz b z z O b b Rs 43 Wzaczaie śoda ciężości ostosłupa z zd (a) W iaowiu tego wzou wstępuje objętość ostosłupa: bh 3 (b) W celu wzaczeia całi wstępującej w licziu wzou (a) ostosłup podzieli a eleet d w postaci cieich płte wadatowch, ówoległch do podstaw, o bou b z i gubości dz Objętość ta pzjętego eleetu d b zdz Bo awędzi eleetu zajdzie z popocji wiającej z suu: b b h z h b z h h z, stąd b ( z )
6 Ma więc: b d ( h z) dz (c) h Po podstawieiu wzoów (c) i (b) do (a) i woaiu całowaia otza szuaą współzędą śoda ciężości: z b h h ( ) 0 h z zdz h b h 4 3
7 4 Śode ciężości powiezchi jedoodej Taie bł, ja cieie płt, blach, powłoi itp, tóch gubość jest zioo ała w poówaiu z pozostałi wiaai, będzie azwali powiezchiai ateiali Jeżeli z cięża jedosti powiezchi jest stał, d to powiezchię taą azwa powiezchią jedoodą d cięża d jedosti powiezchi ozacz pzez γ, powiezchię całowitą O pzez, a powiezchię eleetaą pzez d (s 44), to oże apisać: Rs 44 Wzaczaie położeia śoda ciężości powiezchi γ, d γ d Po podstawieiu tch zależości do wzoów (46) i po sóceiu liczia i iaowia pzez γ cost otza wzo a współzęde śoda ciężości powiezchi jedoodej: d d,, z (43) Wstępujące w tch wzoach całi są całai powiezchiowi ozciągięti a całą powiezchię Jeżeli powiezchia jedooda jest figuą płasą i leż a płaszczźie p, to współzęda z 0 oaz d d zd, (44) Put o współzędch oeśloch wzoai (44) azwa śodie ciężości figu płasiej
8 43 Śode ciężości liii jedoodej W zastosowaiach techiczch często spota bł, taie ja dut, pęt, li itp, tóch dwa wia są zioo ałe w poówaiu z długością Bł te azwa liiai ateiali, tz pzjuje, że cała asa jest z ozłożoa wzdłuż liii śodów d B pzeojów popzeczch Jeżeli cięża jedosti długości jest stał, to d taą liię azwa liią A jedoodą Po ozaczeiu ciężau jedosti O długości pzez, a długości liii γ AB (s 45) pzez cięża całowit liii i cięża eleetu długości będą ważał wzo: γ, d γ d Rs 45 Wzaczaie położeia śoda ciężości liii jedoodej Postępując aalogiczie ja w pzpadu powiezchi jedoodej ze wzoów (46), otza wzo a współzęde śoda ciężości liii jedoodej: gdzie jest długością liii d d,, z zd, (45)
9 43 Twiedzeia Pappusa-uldia Do wzaczaia śodów ciężości jedoodch liii płasich i jedoodch figu płasich stosuje się dwa twiedzeia Pappusa-uldia Poda je bez dowodów, a ich zastosowaie zilustuje posti pzładai Zazajoieie się z dowodai podach iżej twiedzeń pozostawia zteliowi Piewsze twiedzeie Pappusa-uldia Pole powiezchi, powstałej pzez obót jedoodej i płasiej liii o długości doooła osi leżącej w płaszczźie tej liii i ie pzeciającej jej, jest ówe długości liii poożoej pzez długość oęgu opisaego pz obocie pzez jej śode ciężości: π h, (46) gdzie h jest odległością śoda ciężości liii od osi obotu Dugie twiedzeie Pappusa-uldia Objętość bł, powstałej pz obocie figu płasiej o polu doooła osi leżącej w płaszczźie tej figu i ie pzeciającej jej, jest ówe polu powiezchi figu poożoeu pzez długość oęgu opisaego pz obocie pzez jej śode ciężości: π h, (47) pz cz h jest tutaj odległością śoda ciężości figu od osi obotu
10 Pzład 4 Wzaczć położeie śoda ciężości jedoodego łuu ćwiati oła pzedstawioego a s 46 O Rs 46 Zastosowaie piewszego twiedzeia Pappusa-uldia do wzaczeia śoda ciężości łuu ołowego Rozwiązaie Z uwagi a to, że pzedstawio łu a oś setii, jego śode ciężości będzie leżał a tej osi Poieważ oś setii jest dwusieczą ąta postego zawatego iędz osią i, współzęde i śoda ciężości będą ówe: Wstacz zate wzaczć jedą z ich Wzacz współzędą, ozstając z piewszego twiedzeia Pappusa-uldia Pz obocie łuu woół osi otza powiezchię w postaci połow uli o powiezchi Długość łuu π π Po podstawieiu tch watości do wzou (46) otza ówaie: stąd π π π, π
11 Pzład 43 Wzaczć położeie śoda ciężości figu płasiej pzedstawioej a s 47 / O Rs 47 Zastosowaie dugiego twiedzeia Pappusa-uldia do wzaczeia śoda ciężości figu płasiej Rozwiązaie Do wzaczeia współzędch i śoda ciężości pzedstawioej a suu figu płasiej zastosuje dugie twiedzeie Pappusa--uldia Współzędą wzacz pzez obóceie figu woół osi, a współzędą pzez obót woół osi Pz obocie figu woół osi otza błę o objętości ówej óżic półuli o poieiu i uli o poieiu 0,5 Pole figu π π π 3 3 π π π 4 8 Po podstawieiu obliczoch watości i do wzou (47) otza: stąd π 3 π π, 8 π Pz obocie figu woół osi otza błę o objętości
12 π (a) Wielość jest óżicą objętości półuli o poieiu i połow tousa o objętości, powstałego z obotu półuli o poieiu 0,5 woół osi : Do obliczeia objętości połow tousa ówież zastosuje dugie twiedzeie Pappusa-uldia Do wzou (47) zaiast h wstawi 0,5 3 π π π 8 Zate 3 3 π π 3 8 ( 6 3 ) π π 3 4 Po podstawieiu tej watości oaz wliczoej upzedio powiezchi do wzou (a) otza ówaie: 3 ( 6 3π) π π π, 4 8 a stąd π ( π)
13 44 Moet statcze as Załóż, że a uład putów ateialch o asach, tóch położeie względe dowolego putu O oeślają poieie wodzące (s 4) Rozład as tego uładu ateialego względe pzjętego putu O chaatezują oet piewszego zędu, azwae oetai statczi Moete statcz S uładu putów ateialch względe dowolego putu O azwa suę iloczów as pzez ich poieie wodzące S (48) Ta zdefiiowa oet statcz jest wetoe Po podstawieiu do tego wzou wetoa zapisaego za poocą współzędch postoątch: weto S wazi wzó: i+ j+ z S i+ j+ z (49) Współzęde tego wetoa azwa oetai statczi względe płaszczz z, z i, tóe ozacz odpowiedio pzez Sz, Sz is S, S, S z (40) z z Moete statcz uładu putów ateialch względe dowolej płaszczz azwa suę iloczów as putów pzez ich odległości od tej płaszczz
14 Ab otzać oet statcz bł względe putu, dzieli błę a eleetów o asach (s 4) Jeżeli założ, że liczba eleetów dąż do iesończoości, a ich asa do zea, zaiast wzou (48) otza całę ozciągiętą a całą asę Moet statcz bł względe początu uładu O waża wzó: S li d (4) Z olei oet statcze bł względe poszczególch płaszczz postoątego uładu współzędch będą dae wzoai: S d, S d, S zd (4) z z Z poówaia wzou (4) ze wzoe (47) a poień wodząc śoda as (ciężości) oaz wzoów (4) ze wzoai (48) a współzęde śoda as wia, że całi wstępujące w licziach wzoów (47) i (48) są oetai statczi W piewsz pzpadu jest to oet statcz względe początu uładu współzędch O, a w dugi są to oet statcze względe płaszczz z, z i Zate wzo (47) i (48) a poień wodząc śoda as i jego współzęde,, z oże wazić za poocą oetów statczch: S, (43) Sz S S z,, z (44) Zając położeie śoda as bł lub uładu ateialego, odpowiedie oet statcze oże wzaczć z powższch wzoów Otza wted: S S, (45), S, S z (46) z z
15 Wzo (45) i (46) został wpowadzoe dla bł, jeda do aalogiczch wzoów dojdzie, powadząc podobe ozważaia dla uładu putów ateialch Stąd wiające z tch wzoów wiosi będą dotczł ówież oetów statczch uładu putów ateialch Oto oe: a) Moet statcz bł lub uładu putów ateialch względe dowolego putu jest ów oetowi statczeu as całowitej supioej w śodu as (ciężości) względe tego putu b) Moet statcz bł lub uładu putów ateialch względe dowolej płaszczz jest ów oetowi statczeu as całowitej supioej w śodu as (ciężości) względe tej płaszczz c) Moet statcz bł lub uładu putów ateialch względe śoda as (ciężości) jest ów zeu d) Moet statcz bł lub uładu putów ateialch względe płaszczz pzechodzącej pzez śode as (ciężości) jest ów zeu Aalogiczie do oetów statczch as (asowch oetów statczch) wpowadza się pojęcie oetów statczch objętości bł, powiezchi i liii Moet statcze objętości, powiezchi i liii względe płaszczz postoątego uładu współzędch są całai wstępująci odpowiedio w licziach wzoów (4), (43) i (45) Na szczególą uwagę zasługują oet statcze powiezchi figu płasich względe osi, poieważ ają duże zastosowaie w wtzałości ateiałów ałi wstępujące w licziach wzoów są oetai statczi figu płasiej względe osi i (s 48): O S d, S d (47) Po taich ozaczeiach wzo (44) a współzęde śoda ciężości figu płasiej oża zapisać w astępując sposób: Rs 48 Wzaczaie położeia śoda S S, (48) Stąd gd za współzęde śoda ciężości, oże wzaczć oet statcze: S, S, (49) gdzie jest pole całowit powiezchi figu płasiej
Definicja krętu i kręt układu materialnego
7.3.. Defiicja ętu i ęt uładu ateialego Kęte putu ateialego o asie względe putu azyway oet pędu p tego putu ateialego względe putu : p. (7.56) Z powyższej defiicji wyia, że ęt zdefiioway podobie ja oet
DYNAMIKA. Dynamika jest działem mechaniki zajmującym się badaniem ruchu ciał z uwzględnieniem sił działających na ciało i wywołujących ten ruch.
DYNMIK Daika jes działe echaiki zajując się badaie uchu ciał z uwzględieie sił działającch a ciało i wwołującch e uch. Daika opiea się a pawach Newoa, a w szczególości a dugi pawie (zwa pawe daiki). Moża
( ) O k k k. A k. P k. r k. M O r 1. -P n W. P 1 P k. Rys. 3.21. Redukcja dowolnego przestrzennego układu sił
3.7.. Reducja dowolego uładu sił do sił i par sił Dowolm uładem sił będiem awać uład sił o liiach diałaia dowolie romiescoch w prestrei. tm pucie ajmiem się sprowadeiem (reducją) taiego uładu sił do ajprostsej
Blok 8: Moment bezwładności. Moment siły Zasada zachowania momentu pędu
Blo 8: Moent bezwładności Moent siły Zasada zachowania oentu pędu Moent bezwładności awiając uch postępowy ciała, posługujey się pojęciai pzeieszczenia, szybości, pzyspieszenia tego ciała oaz wypadowej
Energia kinetyczna układu punktów materialnych
74 egia ietycza ułau putów ateialych egią ietyczą putu ateialego o asie, pouszającego się z pęością, azyway połowę iloczyu asy putu i waatu jego pęości: Dla ułau putów ateialych o asach pouszających się
Mechanika teoretyczna
ktestki geometcze Mecik teoetcz Wkłd 9, i ktestki geometcze figu płskic. Główe cetle osie ezwłdości. Pole powiezci Momet sttcz współzęde śodk ciężkości. Momet ezwłdości Momet odśodkow główe cetle osie
GEOMETRIA ANALITYCZNA W PRZESTRZENI
GEOMETRIA ANALITYCZNA W PRZESTRZENI Współęde postoąte De są t osie OX OY OZ wjemie postopdłe peijąe się w puie O. Oiem pewie odie jo jedostow i om pe współęde putów odpowiedih osih. DEFINICJA Postoątm
6.1. Rodzaje momentów bezwładności
6.. Rodaje oetów bewładości W pucie (4.4) poaliś wielości charaterujące roład as, awae oetai statci. W podach ta worach (4.0) współręde wstępują w pierwsej potęde. Preoa się, że w daice doiosłą rolę odgrwają
Egzamin z Analizy Matematycznej Każde zadanie należy rozwiązać na oddzielnej, podpisanej kartce!
Egzami z Aaliz Matematczej Każde zadaie ależ ozwiązać a oddzielej, podpisaej katce! Zbadać, w jakich puktach jest óżiczkowala fukcja f (, ( + = +, (, (,), (, = (,) Zaleźć ajmiejszą i ajwiększą watość fukcji
20. Model atomu wodoru według Bohra.
Model atou wodou według Boha Wybó i opacowaie zadań Jadwiga Mechlińska-Dewko Więcej zadań a te teat zajdziesz w II części skyptu Opieając się a teoii Boha zaleźć: a/ poień -tej obity elektou w atoie wodou,
ROZWIĄZUJEMY PROBLEM RÓWNOWAŻNOŚCI MASY BEZWŁADNEJ I MASY GRAWITACYJNEJ.
ROZWIĄZUJEMY PROBLEM RÓWNOWAŻNOŚCI MASY BEZWŁADNEJ I MASY GRAWITACYJNEJ. STRESZCZENIE Na bazie fizyki klasycznej znaleziono nośnik ładunku gawitacyjnego, uzyskano jedność wszystkich odzajów pól ( elektycznych,
Przejmowanie ciepła przy kondensacji pary
d iż. Michał Stzeszewski 004-01 Pzejowaie ciepła pzy kodesacji pay Zadaia do saodzielego ozwiązaia v. 0.9 1. powadzeie Jeżeli paa (asycoa lub pzegzaa) kotaktuje się z powiezchią o tepeatuze T s iższej
RUCH OBROTOWY- MECHANIKA BRYŁY SZTYWNEJ
Pediot: Fika RUCH OBROTOWY- MECHANKA BRYŁY SZTYWNEJ Wkład 7 7/8, ia Pediot: Fika MOMENT PĘDU ENERGA KNETYCZNA W RUCHU PUNKTU MATERANEGO PO OKRĘGU Defiicja oetu pędu =v= ω p =ω = p ω Moet bewładości Jedostką
XXX OLIMPIADA FIZYCZNA (1980/1981). Stopień I, zadanie teoretyczne T4 1
XXX OLMPADA FZYCZNA (1980/1981). Stopień, zadanie teoetyczne T4 1 Źódło: Komitet Główny Olimpiady Fizycznej; Waldema Gozowsi; Andzej Kotlici: Fizya w Szole, n 3, 1981.; Andzej Nadolny, Kystyna Pniewsa:
Krystyna Gronostaj Maria Nowotny-Różańska Katedra Chemii i Fizyki, FIZYKA Uniwersytet Rolniczy do użytku wewnętrznego ĆWICZENIE 4
Kystyna Gonostaj Maia Nowotny-Różańska Katea Cheii i Fizyki, FIZYKA Uniwesytet Rolniczy o użytku wewnętznego ĆWICZENIE 4 WYZNACZANIE GĘSTOŚCI CIAŁ STAŁYCH I CIECZY PRZY POMOCY PIKNOMETRU Kaków, 2004-2012
Mec Me han a ik i a a o gólna Wyp W a yp dko dk w o a w do d w o o w l o ne n g e o g o ukł uk a ł du du sił.
echaika ogóla Wkład r 2 Wpadkowa dowolego układu sił. ówowaga. odzaje sił i obciążeń. odzaje ustrojów prętowch. Wzaczaie reakcji. Wpadkowa układu sił rówoległch rzłożeie układu zerowego (układ sił rówoważącch
Rys. 1. Ilustracja modelu. Oddziaływanie grawitacyjne naszych ciał z masą centralną opisywać będą wektory r 1
6 FOTON 6, Wiosna 0 uchy Księżyca Jezy Ginte Uniwesytet Waszawski Postawienie zagadnienia Kiedy uczy się o uchach ciał niebieskich na pozioie I klasy liceu, oawia się najczęściej najpiew uch Ziei i innych
Novosibirsk, Russia, September 2002
Noobk, ua, Septebe 00 W-5 (Jaoewc) 4 lajdów Dyaka były tywej Cało tywe jego uch uch potępowy cała tywego uch obotowy cała tywego wględe tałej o obotu. oet bewładośc Dyaka cała tywego uch łożoy cała tywego
ZASADY ZACHOWANIA W FIZYCE
ZASADY ZACHOWAIA: ZASADY ZACHOWAIA W FIZYCE Energii Pędu Moentu pędu Ładunku Liczb barionowej ZASADA ZACHOWAIA EERGII Praca sił zewnętrznej W = ΔE calk Ziana energii całkowitej Jeżeli W= to ΔE calk = ZASADA
WYBRANE DZIAŁY ANALIZY MATEMATYCZNEJ. Wykład 0 Wprowadzenie ( ) ( ) dy x dx ( )
Rówaia óżiczkowe zwyczaje Rówaie postaci: Wykład Wpowadzeie dy x dx ( x y ( x) ) = f () Gdzie f ( x y ) jest fukcją dwóch zmieych okeśloą i ciągłą w pewym obszaze płaskim D azywamy ówaiem óżiczkowym zwyczajym
Rozkład normalny (Gaussa)
Rozład ormal (Gaussa Wprowadzeie rozładu Gaussa w modelu Laplace a błędów pomiarowch. Rozważm pomiar wielości, tór jest zaburza przez losowch efetów o wielości ε ażd, zarówo zaiżającch ja i zawżającch
Rozkład normalny (Gaussa)
Rozład ormal (Gaussa Wprowadzeie rozładu Gaussa w modelu Laplace a błędów pomiarowch. Rozważm pomiar wielości, tór jest zaburza przez losowch efetów o wielości ε ażd, zarówo zaiżającch ja i zawżającch
MMF ćwiczenia nr 1 - Równania różnicowe
MMF ćwiczeia - Rówaia óżicowe Rozwiązać ówaia óżicowe piewszego zędu: (a) y + y =, y = (b) y + y =!, y = Wsk Podzielić ówaie pzez! i podstawić z = y /( )! Rozwiązać ówaia óżicowe dugiego zędu: (a) + 6,
Siła. Zasady dynamiki
Siła. Zasady dynaiki Siła jest wielkością wektoową. Posiada okeśloną watość, kieunek i zwot. Jednostką siły jest niuton (N). 1N=1 k s 2 Pzedstawienie aficzne A Siła pzyłożona jest do ciała w punkcie A,
Rozkład normalny (Gaussa)
Rozład ormaly (Gaussa) Wyprowadzeie rozładu Gaussa w modelu Laplace a błędów pomiarowych. Rozważmy pomiar wielości m, tóry jest zaburzay przez losowych efetów o wielości e ażdy, zarówo zaiżających ja i
Dodatek 10. Kwantowa teoria przewodnictwa I
Dodate 10 Kwatowa teoria przewodictwa I Teoria lascza iała astępujące aaet: (1) zierzoe wartości średiej drogi swobodej oazał się o ila rzędów wielości więsze iż oczeiwae () teoria ie dawała poprawc zależości
V OGÓLNOPOLSKI KONKURS Z FIZYKI Fizyka się liczy I Etap ZADANIA 27 lutego 2013r.
V OGÓLNOPOLSKI KONKURS Z FIZYKI Fizka się licz I Etap ZDNI 7 lutego 3r.. Dwa pociski wstrzeloo jeocześie w tę saą stroę z wóch puktów oległch o o. Pierwsz pocisk wstrzeloo z prękością o po kąte α. Z jaką
f '. Funkcja h jest ciągła. Załóżmy, że ciąg (z n ) n 0, z n+1 = h(z n ) jest dobrze określony, tzn. n 0 f ' ( z n
Metoda Newtoa i rówaie z = 1 Załóżmy, że fucja f :C C ma ciągłą pochodą. Dla (prawie) ażdej liczby zespoloej z 0 tworzymy ciąg (1) (z ) 0, z 1 = z f ( z ), ciąg te f ' (z ) będziemy azywać orbitą liczby
Ćwiczenia rachunkowe TEST ZGODNOŚCI χ 2 PEARSONA ROZKŁAD GAUSSA
Aaliza iepewości pomiarowych w esperymetach fizyczych Ćwiczeia rachuowe TEST ZGODNOŚCI χ PEARSONA ROZKŁAD GAUSSA UWAGA: Na stroie, z tórej pobrałaś/pobrałeś istrucję zajduje się gotowy do załadowaia arusz
XXI OLIMPIADA FIZYCZNA ( ). Stopień III, zadanie teoretyczne T1. Źródło: XXI i XXII OLIMPIADA FIZYCZNA, WSiP, Warszawa 1975 Andrzej Szymacha,
XXI OLIMPIADA FIZYCZNA (97-97). Stopień III zadanie teoetyczne. Źódło: XXI i XXII OLIMPIADA FIZYCZNA WSiP Waszawa 975 Auto: Nazwa zadania: Działy: Słowa kluczowe: Andzej Szyacha Dwa ciała i spężynka Dynaika
Rama płaska metoda elementów skończonych.
Pzyład. Rama płasa metoda elementów sończonych. M p l A, EJ P p l A, EJ l A, EJ l l,5 l. Dysetyzacja Podział na elementy i węzły x st. sw. M 5 P Z X, M, V, H 7, M, H Y, V Element amy płasiej węzły, x stopni
OBLICZANIE GEOMETRYCZNYCH MOMENTÓW BEZWŁADNOŚCI FIGUR PŁASKICH, TWIERDZENIE STEINERA LABORATORIUM RACHUNKOWE
OBLICZNIE GEOMETRYCZNYCH MOMENTÓW BEZWŁDNOŚCI FIGUR PŁSKICH, TWIERDZENIE STEINER LBORTORIUM RCHUNKOWE Prz oblczeach wtrzmałoścowch dotczącch ektórch przpadków obcążea (p. zgae) potrzeba jest zajomość pewch
Zbiorowość statystyczna zbiór elementów (osób, przedmiotów, itp.) mających jedną lub kilka wspólnych cech.
Statsta Statsta aua zajująca się wrwaie, badaie i opiswaie zależości wstępującch w zjawisach asowch; zbiór etod służącch groadzeiu, prezetacji, aalizie i iterpretacji dach. Przediote badaia statstczego
Ruch kulisty bryły. Kinematyka
Ruch kulist bł. Kinematka Ruchem kulistm nawam uch, w casie któego jeden punktów bł jest stale nieuchom. Ruch kulist jest obotem dookoła chwilowej osi obotu (oś ta mienia swoje położenie w casie). a) b)
Przykładowe zadania dla poziomu rozszerzonego
Przkładowe zadaia dla poziomu rozszerzoego Zadaie. ( pkt W baku w pierwszm roku oszczędzaia stopa procetowa bła rówa p%, a w drugim roku bła o % iższa. Po dwóch latach, prz roczej kapitalizacji odsetek,
PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI
PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ODPOWIEDZI DO ARKUSZA ROZSZERZONEGO Zadanie ( pkt) A Zadanie ( pkt) C Zadanie ( pkt) A, bo sinα + cosα sinα + cosα cos sinα sin cosα + π π + π sin α π A więc musi
Fizyka. Wykład 2. Mateusz Suchanek
Fizyka Wykład Mateusz Suchanek Zadanie utwalające Ruch punktu na płaszczyźnie okeślony jest ównaniai paaetycznyi: x sin(t ) y cos(t gdzie t oznacza czas. Znaleźć ównanie tou, położenie początkowe punktu,
STATYSTYCZNY OPIS UKŁADU CZĄSTEK
WYKŁAD 6 STATYSTYCZNY OPIS UKŁADU CZĄSTK Zespół statcz moża opisać: ) Klasczie pzestzeń fazowa P ( P PN, q, q q N) q Każda kofiguacja N cząstek zespołu statczego opisaa jest puktem w pzestzei fazowej.
Dynamika układu punktów materialnych
Daka układu puktów ateralch Układ puktów ateralch jest to bór puktów ateralch, w któr ruch każdego puktu jest ależ od ruchu ch puktów. P P,,,,,,,,,,,, sł wewętre P P P sł ewętre Układ puktów ateralch sł
LINIA PRZESYŁOWA PRĄDU STAŁEGO
oitechnia Białostoca Wydział Eetyczny Kateda Eetotechnii Teoetycznej i Metoogii nstucja do zajęć aboatoyjnych Tytuł ćwiczenia LNA RZEYŁOWA RĄD TAŁEGO Nume ćwiczenia E Auto: mg inŝ. Łuasz Zaniewsi Białysto
Wykład 4. Zasada zachowania energii. Siły zachowawcze i niezachowawcze
Wład 4 Zasada achowania enegii Sił achowawce i nieachowawce Wsstie istniejące sił możem podielić na sił achowawce i sił nie achowawce. Siła jest achowawca jeżeli paca tóą wonuję ta siła nad puntem mateialnm
(x 1 y 1 ) (x n y n ) 2. 1<j<m x i y i. x2 y 2 gdy x 1 = y 1 x 2 y 2 + x 1 + y 1 gdy x 1 = y 1. gdy x, y, 0 nie są współliniowe
. Metrka Zadaie.. Pokazać, że metrka jest fukcją ieujemą. Zadaie.2. Odowodić, że poiższe wzor defiiuja metrki. a) (metrka euklidesowa) X = R. d e (, ) := ( ) 2 +... + ( ) 2 b) (metrka taksówkowa) X = R
Twierdzenie 15.3 (o postaci elementów rozszerzenia ciała o zbiór). Niech F będzie ciałem oraz A F pewnym zbiorem. Niech L<F.
15. Wyład 15: Podciała, podciała geerowae przez zbiór, rozszerzeia ciał. Charaterystya pierścieia i ciała, ciała proste i lasyfiacja ciał prostych. 15.1. Podciała, podciała geerowae przez zbiór, rozszerzeia
Beata Leska Zespół Szkół im. M. Konarskiego w Warszawie
www.awas.e Publikacje auczycieli eaa Leska Zespół Szkół i. M. Koaskiego w Waszawie O liczbach i wieloiaach eoulliego Paca opublikowaa w Ieeowy Sewisie Oświaowy AWANS.NET O LICZACH I WIELOMIANACH ERNOULLIEGO
Wytrzymałość śruby wysokość nakrętki
Wyzymałość śuby wysoość aęi Wpowazeie zej Wie Działająca w śubie siła osiowa jes pzeoszoa pzez zeń i zwoje gwiu. owouje ozciągaie lub ścisaie zeia śuby, zgiaie i ściaie zwojów gwiu oaz wywołuje acisi a
Automatyczna detekcja i pomiar markerów w fotogrametrycznym systemie trójwymiarowego pozycjonowania ciała dla celów rehabilitacji leczniczej *
Automatcza detekcja i pomia makeów w otogametczm sstemie tójwmiaowego pozcjoowaia ciała dla celów ehabilitacji lecziczej * D iż. Regia Tokaczk, iż. Michał Huppet Steszczeie Fotogametcz sstem pozcjoowaia
GRAWITACJA. przyciągają się wzajemnie siłą proporcjonalną do iloczynu ich mas i odwrotnie proporcjonalną do kwadratu ich odległości r.
GRAWITACJA Pawo powszechnego ciążenia (pawo gawitacji) Dwa punkty mateialne o masach m 1 i m pzyciągają się wzajemnie siłą popocjonalną do iloczynu ich mas i odwotnie popocjonalną do kwadatu ich odległości.
ź Ł Ą Ę Ź Ę Ę Ą Ę Ę Ę Ę Ę Ź Ą Ę Ą Ź Ę Ź Ó ć Ź Ó Ę Ź Ź ć ć Ę ć Ó Ó Ę Ę Ę Ę Ó Ę Ę ć Ć Ł Ó Ź ć ć ć Ę ć Ę Ł Ź Ź Ł ć ź ź Ę ć Ś Ą ć ć Ą ć Ś Ę Ź Ę Ź Ę ć Ó Ń Ę Ś Ę ź Ź Ę Ę Ć Ę Ń Ę Ę ć Ą Ę ć Ę ć Ę Ź Ę Ć Ę ź ć
n n Weźmy f: 3 (x 1, x 2, x 3 ) (y 1, y 2, y 3 ) 3 Jeżeli zdefiniujemy funkcje pomocnicze f j : 3 (x 1, x 2, x 3 ) y j, dla j = 1,2,3, to
"Maemac ą jak Facuzi: cokolwiek im ię powie od azu pzekładają o a wój wła jęzk i wówcza aje ię o czmś zupełie im." Joha Wola Goehe Weźm : Jeżeli zdeiiujem ukcje pomocicze j : j dla j = o = dzie = Czli
cz. 2. Dr inż. Zbigniew Szklarski Katedra Elektroniki, paw. C-1, pok.321
Wkład 7: Bła stwna c.. D nż. Zbgnew Sklask Kateda Elektonk, paw. C-1, pok.1 skla@agh.edu.pl http://lae.uc.agh.edu.pl/z.sklask/..17 Wdał nfoatk, Elektonk Telekounkacj - Telenfoatka 1 6..17 Wdał nfoatk,
Drgania harmoniczne. Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Drgania haroniczne Projet współfinansowany przez Unię Europejsą w raach Europejsiego Funduszu Społecznego Drgania haroniczne O oscylatorze haroniczny ożey ówić wtedy, iedy siła haująca działa proporcjonalnie
Dynamika bryły sztywnej
W-5 (Jaoewc) 4 lajdów Dyaka były tywej Cało tywe jego uch uch potępowy cała tywego uch obotowy cała tywego wględe tałej o. oet bewładośc Dyaka cała tywego uch łożoy cała tywego 3/4 L.. Jaoewc j j j j j
Dynamika układu punktów materialnych
Daka układu puktów ateralch Układ puktów ateralch est to bór puktów ateralch, w któr ruch każdego puktu est ależ od ruchu ch puktów. P,, P,,,, P sł ewętre P,,,,, sł wewętre, P Układ puktów ateralch sł
4.2.1. Środek ciężkości bryły jednorodnej
4..1. Środek ciężkości rł jednorodnej Brłą jednorodną nawam ciało materialne, w którm masa jest romiescona równomiernie w całej jego ojętości. Dla takic ciał arówno gęstość, jak i ciężar właściw są wielkościami
Politechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
Politechnia Gdańsa Wydział Eletrotechnii i Autoatyi Katedra Inżynierii Systeów Sterowania MODELOWANIE I PODSTAWY IDENTYFIKACJI Systey ciągłe budowa odeli enoenologicznych z praw zachowania Materiały poocnicze
ĆWICZENIE PROJEKTOWE NR 4 POSADOWIENIE NA PALACH Wybrane schematy i tablice z PN-83/B :
ĆWICZENIE PROJEKTOWE NR 4 POSADOWIENIE NA PALACH Wybae schematy i tablice z PN-83/B-048 : http://www.uwm.edu.pl/edu/piotsokosz/mg.htm UWAGA! Rysuki ie są w skali!!! N = 900 kn M = 500 knm G, I L =0.3 0.0m
Twierdzenia o funkcjach ciągłych
Automatya i Robotya Aaliza Wyład 5 dr Adam Ćmiel cmiel@aghedupl Twierdzeia o ucjach ciągłych Tw (Weierstrassa Jeżeli ucja : R [ R jest ciągła a [, to ograiczoa i : ( sup ( i ( i ( [, Dowód Ograiczoość
Wykład 6. Przestrzenie metryczne ośrodkowe i zupełne. ρ, gdzie r
Wyład 6 Przestrzeie etrycze ośrodowe i zupełe. Przypoiay, że zbiór azyway przeliczaly, jeśli jest o rówoliczy ze zbiore wszystich liczb aturalych N, a co ajwyżej przeliczaly, jeśli jest o przeliczaly lub
Zbigniew Osiak ENCYKLOPEDIA FIZYKI
Zbigniew Osia ENCYKLOPEDIA FIZYKI Zbigniew Osia (Test) E CYKLOPEDIA FIZYKI Małgozata Osia (Ilustacje) 3 Copyight by Zbigniew Osia (text) and Małgozata Osia (illustations) Wszelie pawa zastzeżone. Rozpowszechnianie
Zmiana wartości pieniądza
Ziaa watości piiądza w czasi topa dyskotowa Wydatki i fkty astępują w óży czasi, tzba więc uwzględić fakt, ż watość piiądza ziia się w czasi, więc taka saa sua piiędzy będzi iała ią watość w óży czasi.
Szereg czasowy z trendem. Model Holta. Stosujemy dwa równania rekurencyjne: I - słuy do wyznaczania wygładzonych wartoci szeregu czasowego w chwili t
zeeg czasow z edem. Model Hola. osujem dwa ówaia ekuecje: I - słu do wzaczaia wgładzoch waoci szeegu czasowego w chwili F = + ( )( + α α F ) II - słu do wzaczaia wgładzoch waoci pzosu edu w chwili = β
Mechanika kwantowa III
Mecaika kwatowa III Opracowaie: Barbara Pac, Piotr Petele Powtóreie Moet pędu jest wielkością pojęciowo bardo istotą, gdż dla wsstkic pól o setrii sfercej operator jego kwadratu ( ˆM koutuje ailtoiae (
DEA podstawowe modele
Marek Miszczński KBO UŁ 2008 - Aaliza dach graiczch (EA) cz.2 (przkład aaliza damiki rakigi) EA podsawowe modele WPROWAZENIE Efekwość (produkwość) obieku gospodarczego o es defiiowaa ako sosuek sum ważoch
Własności sił działających na ciało sztywne
3... łasości sił działającch a ciało sztwe Stata zajmuje się badaiem sił działającch a ciała zajdujące się w spoczu. ted sił działające a ciało, tóre pozostaje w spoczu, muszą się rówoważć, czli bć w rówowadze.
Ćwiczenie 43. Halotron
Ćwiczeie 4 Haloto Cel ćwiczeia Cechowaie halotou pzy użyciu pola magetyczego o zaej iducji. Wyozystaie halotou do pomiau pzestzeego ozładu pola cewi ołowej i magesu feytowego. Wpowadzeie Zasada działaia
Temat ćwiczenia: Optyczne podstawy fotografii.
Uiwerstet Rolicz w Krakowie Wdział Iżierii Środowiska i Geodezji Katedra Fotogrametrii i Teledetekcji Temat ćwiczeia: Otcze odstaw otograii. Podział układów otczch Pojęcie układów otczch Podział układów
Przykład Obliczenie wskaźnika plastyczności przy skręcaniu
Przykład 10.5. Obliczeie wskaźika plastyczości przy skręcaiu Obliczyć wskaźiki plastyczości przy skręcaiu dla astępujących przekrojów: a) -kąta foremego b) przekroju złożoego 6a 16a 9a c) przekroju ciekościeego
Pędu Momentu pędu Ładunku Liczby barionowej. Przedmiot: Fizyka. Przedmiot: Fizyka. Wydział EAIiE Kierunek: Elektrotechnika.
ZASADY ZACHOWANIA W FIZYCE ZASADY ZACHOWANIA: Enegii Pęd Moent pęd Ładnk Liczby baionowej ZASADA ZACHOWANIA ENERGII W = E calk Paca siły zewnętznej Jeżeli W=0 to E calk =0 Ziana enegii całkowitej Ziana
Pole magnetyczne. 5.1 Oddziaływanie pola magnetycznego na ładunki. przewodniki z prądem. 5.1.1 Podstawowe zjawiska magnetyczne
Rozdział 5 Pole magnetyczne 5.1 Oddziaływanie pola magnetycznego na ładunki i pzewodniki z pądem 5.1.1 Podstawowe zjawiska magnetyczne W obecnym ozdziale ozpatzymy niektóe zagadnienia magnetostatyki. Magnetostatyką
Fizyka 1 Wróbel Wojciech. w poprzednim odcinku
w popzednim odcinku 1 8 gudnia KOLOKWIUM W pzyszłym tygodniu więcej infomacji o pytaniach i tym jak pzepowadzimy te kolokwium 2 Moment bezwładności Moment bezwładności masy punktowej m pouszającej się
Wyższe momenty zmiennej losowej
Wyższe momety zmieej losowej Deiicja: Mometem m rzędu azywamy wartość oczeiwaą ucji h( dla dysretej zm. losowej oraz ucji h( dla ciągłej zm. losowej: m E P m E ( d Deiicja: Mometem cetralym µ rzędu dla
Rozważymy nieskończony strumień płatności i obliczymy jego wartość teraźniejszą.
Renty wieczyste Rozważyy nieskończony stuień płatności i obliczyy jego watość teaźniejszą Najpiew ozważy entę wieczystą polegającą na wypłacie jp co ok Jeśli piewsza płatność jest w chwili, to ówiy o encie
n k n k ( ) k ) P r s r s m n m n r s r s x y x y M. Przybycień Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka
Wyższe momety zmieej losowej Deiicja: Mometem m rzędu azywamy wartość oczeiwaą ucji h() dla dysretej zm. losowej oraz ucji h() dla ciągłej zm. losowej: m E P m E ( ) d Deiicja: Mometem cetralym µ rzędu
GEOMETRIA PŁASZCZYZNY
GEOMETRIA PŁASZCZYZNY. Oblicz pole tapezu ównoamiennego, któego podstawy mają długość cm i 0 cm, a pzekątne są do siebie postopadłe.. Dany jest kwadat ABCD. Punkty E i F są śodkami boków BC i CD. Wiedząc,
Ćw. 5. Badanie ruchu wahadła sprężynowego sprawdzenie wzoru na okres drgań
KAEDRA FIZYKI SOSOWANEJ PRACOWNIA 5 FIZYKI Ćw. 5. Badanie ruchu wahadła sprężynowego sprawdzenie wzoru na ores drgań Wprowadzenie Ruch drgający naeży do najbardziej rozpowszechnionych ruchów w przyrodzie.
KRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI Próbna Matura z OPERONEM. Matematyka Poziom rozszerzony
KRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI Póbna Matua z OPERONEM Matematyka Poziom ozszezony Listopad 0 W ni niej szym sche ma cie oce nia nia za dań otwa tych są pe zen to wa ne pzy kła do we po paw ne od po wie
Układ termodynamiczny
Uład terodynaiczny Uład terodynaiczny to ciało lub zbiór rozważanych ciał, w tóry obo wszelich innych zjawis (echanicznych, eletrycznych, agnetycznych itd.) uwzględniay zjawisa cieplne. Stan uładu charateryzuje
Wykład 8. Prawo Hooke a
Wykład 8 Pawo Hooke a Pod działaiem apężeń ciało tałe zmieia wó kztałt. Z doświadczeń wyika, że eżeli wielkość apężeia et mieza od pewe watości, zwae gaicą pężytości, to odkztałceie et odwacale i po uuięciu
K N. y y n. ) k=1,2,...k. x k. k x nk. x = 1.1
. Wbó zmiech objaśiającch.. Ozaczeia Będziem a azie ozważać mode jedoówaiow. smbo K opis iczba zmiech objaśiającch iczba obsewacji (iczba watości ażdej ze zmiech, wstępującch w modeu) zmiea objaśiaa. Jej
Dwumian Newtona. Agnieszka Dąbrowska i Maciej Nieszporski 8 stycznia 2011
Dwumia Newtoa Agiesza Dąbrowsa i Maciej Nieszporsi 8 styczia Wstęp Wzory srócoego możeia, tóre pozaliśmy w gimazjum (x + y x + y (x + y x + xy + y (x + y 3 x 3 + 3x y + 3xy + y 3 x 3 + y 3 + 3xy(x + y
Liczby zespolone. Magdalena Nowak. 23 marca Uniwersytet Śląski
Uniwersytet Śląski 23 marca 2012 Ciało liczb zespolonych Rozważmy zbiór C = R R, czyli C = {(x, y) : x, y R}. W zbiorze C definiujemy następujące działania: dodawanie: mnożenie: (a, b) + (c, d) = (a +
Wykład 7. Przestrzenie metryczne zwarte. x jest ciągiem Cauchy ego i posiada podciąg zbieżny. Na mocy
Wyład 7 Przestrzeie metrycze zwarte Defiicja 8 (przestrzei zwartej i zbioru zwartego Przestrzeń metryczą ( ρ X azywamy zwartą jeśli ażdy ciąg elemetów tej przestrzei posiada podciąg zbieży (do putu tej
Fizyka 1 Wróbel Wojciech. w poprzednim odcinku
w popzednim odcinku 1 Zasady zachowania: enegia mechaniczna E E const. k p E p ()+E k (v) = 0 W układzie zachowawczym odosobnionym całkowita enegia mechaniczna, czyli suma enegii potencjalnej, E p, zaówno
Wykład1. Elementy logiki matematycznej i teorii mnogości.
WKŁAD. Wład. Element logii matematcznej i teoii mnogości. Definicja zdania Zdaniem w logice nazwam wowiedź zbudowaną zgodnie z zasadami ustalonego jęza tóej można zisać jednoznacznie jedną z dwu ocen:
O trzech elementarnych nierównościach i ich zastosowaniach przy dowodzeniu innych nierówności
Edward Stachowski O trzech elemetarych ierówościach i ich zastosowaiach przy dowodzeiu iych ierówości Przy dowodzeiu ierówości stosujemy elemetare przejścia rówoważe, przeprowadzamy rozumowaie typu: jeżeli
Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1, zima 2016/ n 333))
46. Wskazać liczbę rzeczywistą k, dla której graica k 666 + 333)) istieje i jest liczbą rzeczywistą dodatią. Obliczyć wartość graicy przy tak wybraej liczbie k. Rozwiązaie: Korzystając ze wzoru a różicę
FIZYKA R.Resnick & D. Halliday
FIZYKA R.Resnick & D. Halliday rozwiązania zadań (część IV) Jacek Izdebski 5 stycznia 2002 roku Zadanie 1 We wnętrzu zakniętego wagonu kolejowego znajduje się aratka wraz z zapase pocisków. Aratka strzela
Wyznaczenie gęstości cieczy za pomocą wagi hydrostatycznej. Spis przyrządów: waga techniczna (szalkowa), komplet odważników, obciążnik, ławeczka.
Cel ćwiczenia: WYZNACZANIE GĘSTOŚCI CIECZY ZA POMOCĄ WAGI HYDROSTATYCZNEJ Wyznaczenie gęstości cieczy za poocą wagi hydrostatycznej. Spis przyrządów: waga techniczna (szalkowa), koplet odważników, obciążnik,
Podstawowe pojęcia optyki geometrycznej. c prędkość światła w próżni v < c prędkość światła w danym ośrodku
Optyka geometrycza Podstawowe pojęcia optyki geometryczej Bezwzględy współczyik załamaia c prędkość światła w próżi v < c prędkość światła w daym ośrodku c v > 1 Aksjomaty Światło w ośrodku jedorodym propaguje
Płaskie układy obciąŝeń. Opis analityczny wielkości podstawowych. wersory. mechanika techniczna i wytrzymałość materiałów 1 statyka 2
Opis aalitcz wielkości podstawowch wersor e x, e Opis aalitcz wielkości podstawowch współrzęde puktów A( x A, B( x B, A B ) ) Opis aalitcz wielkości podstawowch współrzęde puktów A( x A, B( x B, A B )
Momenty bezwładności bez całek
FOTON 07, Zi 009 Moenty bezwłdności bez cłe Witod Zwdzi Pnuje pzeonnie, że do obiczni oentów bezwłdności był onieczn jest znjoość chunu cłowego Ozuje się jedn, że oenty bezwłdności wieu był ożn obiczyć
APROKSYMACJA I INTERPOLACJA. funkcja f jest zbyt skomplikowana; użycie f w dalszej analizie problemu jest trudne
APROKSYMACJA I INTERPOLACJA Przybliżeie fucji f(x) przez ią fucję g(x) fucja f jest zbyt sompliowaa; użycie f w dalszej aalizie problemu jest trude fucja f jest zaa tylo tabelaryczie; wymagaa jest zajomość
Znajdowanie pozostałych pierwiastków liczby zespolonej, gdy znany jest jeden pierwiastek
Zajdowaie pozostałych pierwiastków liczby zespoloej, gdy zay jest jede pierwiastek 1 Wprowadzeie Okazuje się, że gdy zamy jede z pierwiastków stopia z liczby zespoloej z, to pozostałe pierwiastki możemy
1. Liczby zespolone. Jacek Jędrzejewski 2011/2012
1. Liczby zespolone Jacek Jędrzejewski 2011/2012 Spis treści 1 Liczby zespolone 2 1.1 Definicja liczby zespolonej.................... 2 1.2 Postać kanoniczna liczby zespolonej............... 1. Postać
Automatyka i Robotyka Analiza Wykład 14 dr Adam Ćmiel
Własośi zbiorów otwarth i domięth Tw. a) Suma dowolej ilośi zbiorów otwarth jest zbiorem otwartm. b) Iloz sońzoej ilośi zbiorów otwarth jest zbiorem otwartm. Dow. a) Mam rodzię zbiorów otwarth: U A s {
Ruch obrotowy. Wykład 6. Wrocław University of Technology
Wykład 6 Wocław Univesity of Technology Oboty - definicje Ciało sztywne to ciało któe obaca się w taki sposób, że wszystkie jego części są związane ze sobą dzięki czemu kształt ciała nie ulega zmianie.
ef 3 (dziedzina, dziedzina naturalna) Niech f : A R, gdzie A jest podzbiorem płaszczyzny lub przestrzeni Zbiór A nazywamy dziedziną funcji f i oznacza
FUNKCJE WÓCH I TRZECH ZMIENNYCH (było w semestrze II) ef 1 (funcja dwóch zmiennych) Funcją f dwóch zmiennych oreśloną na zbiorze A R o wartościach w R nazywamy przyporządowanie ażdemu puntowi ze zbioru
WYKŁAD 2: CAŁKI POTRÓJNE
WYKŁAD : CAŁKI OTRÓJNE 1 CAŁKI OTRÓJNE O ROSTOADŁOŚCIANIE Oznaczenia w definicji całi po prostopadłościanie: = {(: a x, c y d, p z q} prostopadłościan w przestrzeni; = { 1,,, n } podział prostopadłościanu