PODSTAWOWE ROZKŁADY ZMIENNYCH LOSOWYCH

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "PODSTAWOWE ROZKŁADY ZMIENNYCH LOSOWYCH"

Transkrypt

1 PODSTAWOWE ROZKŁADY ZMIENNYCH LOSOWYCH

2 Szkic wykładu 1 Podstawowe rozkłady zmiennej losowej skokowej Rozkład dwupunktowy Rozkład dwumianowy Rozkład Poissona 2

3 Rozkład dwupunktowy Rozkład dwumianowy Rozkład Poissona Podstawowe rozkłady zmiennej losowej skokowej W teorii rachunku prawdopodobieństwa najczęściej rozpatrywanymi rozkładami zmiennej losowej skokowej sa:

4 Rozkład dwupunktowy Rozkład dwumianowy Rozkład Poissona Podstawowe rozkłady zmiennej losowej skokowej W teorii rachunku prawdopodobieństwa najczęściej rozpatrywanymi rozkładami zmiennej losowej skokowej sa: rozkład dwupunktowy,

5 Rozkład dwupunktowy Rozkład dwumianowy Rozkład Poissona Podstawowe rozkłady zmiennej losowej skokowej W teorii rachunku prawdopodobieństwa najczęściej rozpatrywanymi rozkładami zmiennej losowej skokowej sa: rozkład dwupunktowy, rozkład dwumianowy,

6 Rozkład dwupunktowy Rozkład dwumianowy Rozkład Poissona Podstawowe rozkłady zmiennej losowej skokowej W teorii rachunku prawdopodobieństwa najczęściej rozpatrywanymi rozkładami zmiennej losowej skokowej sa: rozkład dwupunktowy, rozkład dwumianowy, rozkład Poissona.

7 Rozkład dwupunktowy Rozkład dwupunktowy Rozkład dwumianowy Rozkład Poissona Mówimy, że zmienne losowa X ma rozkład dwupunktowy, jeśli może przyjmować jedynie dwie wartości, oznaczone dalej umownie jako x 1 oraz x 2, z prawdopodobieństwami odpowiednio: przy czym p + q = 1. P(X = x 1 ) = p, P(X = x 2 ) = q,

8 Rozkład dwupunktowy Rozkład dwupunktowy Rozkład dwumianowy Rozkład Poissona Mówimy, że zmienne losowa X ma rozkład dwupunktowy, jeśli może przyjmować jedynie dwie wartości, oznaczone dalej umownie jako x 1 oraz x 2, z prawdopodobieństwami odpowiednio: przy czym p + q = 1. P(X = x 1 ) = p, P(X = x 2 ) = q, W przypadku szczególnym, gdy x 1 = 1, x 2 = 0, mówimy, że X ma rozkład zero-jedynkowy z parametrem p.

9 Rozkład dwupunktowy Rozkład dwupunktowy Rozkład dwumianowy Rozkład Poissona Mówimy, że zmienne losowa X ma rozkład dwupunktowy, jeśli może przyjmować jedynie dwie wartości, oznaczone dalej umownie jako x 1 oraz x 2, z prawdopodobieństwami odpowiednio: przy czym p + q = 1. P(X = x 1 ) = p, P(X = x 2 ) = q, W przypadku szczególnym, gdy x 1 = 1, x 2 = 0, mówimy, że X ma rozkład zero-jedynkowy z parametrem p. Parametr p nazywamy prawdopodobieństwem sukcesu.

10 Rozkład dwupunktowy Rozkład dwupunktowy Rozkład dwumianowy Rozkład Poissona Mówimy, że zmienne losowa X ma rozkład dwupunktowy, jeśli może przyjmować jedynie dwie wartości, oznaczone dalej umownie jako x 1 oraz x 2, z prawdopodobieństwami odpowiednio: przy czym p + q = 1. P(X = x 1 ) = p, P(X = x 2 ) = q, W przypadku szczególnym, gdy x 1 = 1, x 2 = 0, mówimy, że X ma rozkład zero-jedynkowy z parametrem p. Parametr p nazywamy prawdopodobieństwem sukcesu. Gdy X ma rozkład zero-jedynkowy, wówczas: E(X) = p, D 2 (X) = pq.

11 Copyright Giorgio Krenkel and Alex Sandri, GNU Free Documentation License, Low Resolution Podstawowe rozkłady zmiennej losowej skokowej Rozkład dwupunktowy Rozkład dwumianowy Rozkład Poissona Przykładowy wykres funkcji prawdopodobieństwa rozkładu zero-jedynkowego Na osi odciętych zaznaczone sa dwie realizacje zmiennej zero-jedynkowej, tj. 0 i 1, natomiast pionowe odcinki reprezentuja prawdopodobieństwa wystapienia tych realizacji, tj. q = 1 p oraz p.

12 Rozkład dwumianowy Rozkład dwupunktowy Rozkład dwumianowy Rozkład Poissona Mówimy, że zmienna losowa X ma rozkład dwumianowy z parametrami n i p, jeśli jej funkcja rozkładu prawdopodobieństwa wyraża się wzorem: P(X = x) = ( n x ) p x q n x, dla x = 0, 1,..., n, gdzie: n N, p (0, 1), q = 1 p, p jest tzw. prawdopodobieństwem sukcesu,

13 Rozkład dwumianowy Rozkład dwupunktowy Rozkład dwumianowy Rozkład Poissona Mówimy, że zmienna losowa X ma rozkład dwumianowy z parametrami n i p, jeśli jej funkcja rozkładu prawdopodobieństwa wyraża się wzorem: P(X = x) = ( n x ) p x q n x, dla x = 0, 1,..., n, gdzie: n N, p (0, 1), q = 1 p, ( p jest tzw. prawdopodobieństwem sukcesu, n = x) x!(n x)! jest symbolem Newtona (wykrzyknik oznacza silnię).

14 Rozkład dwumianowy Rozkład dwupunktowy Rozkład dwumianowy Rozkład Poissona Mówimy, że zmienna losowa X ma rozkład dwumianowy z parametrami n i p, jeśli jej funkcja rozkładu prawdopodobieństwa wyraża się wzorem: P(X = x) = ( n x ) p x q n x, dla x = 0, 1,..., n, gdzie: n N, p (0, 1), q = 1 p, ( p jest tzw. prawdopodobieństwem sukcesu, n = x) x!(n x)! jest symbolem Newtona (wykrzyknik oznacza silnię). W rozkładzie dwumianowym: E(X) = np, D 2 (X) = npq.

15 Rozkład dwumianowy Uwagi Rozkład dwupunktowy Rozkład dwumianowy Rozkład Poissona W przypadku zmiennej o rozkładzie dwumianowym zakłada się, że mamy do czynienia z eksperymentem losowym polegajacym na wykonaniu ciagu tzw. doświadczeń Bernoulliego.

16 Rozkład dwumianowy Uwagi Rozkład dwupunktowy Rozkład dwumianowy Rozkład Poissona W przypadku zmiennej o rozkładzie dwumianowym zakłada się, że mamy do czynienia z eksperymentem losowym polegajacym na wykonaniu ciagu tzw. doświadczeń Bernoulliego. Nazwa doświadczeń pochodzi od nazwiska trzeciego ze znanej rodziny matematyków Jakuba Bernoulliego.

17 Rozkład dwumianowy Uwagi Rozkład dwupunktowy Rozkład dwumianowy Rozkład Poissona W przypadku zmiennej o rozkładzie dwumianowym zakłada się, że mamy do czynienia z eksperymentem losowym polegajacym na wykonaniu ciagu tzw. doświadczeń Bernoulliego. Nazwa doświadczeń pochodzi od nazwiska trzeciego ze znanej rodziny matematyków Jakuba Bernoulliego. Doświadczenia Bernoulliego to ciag n identycznych doświadczeń losowych, spełniajacych trzy warunki: 1. Sa dwa możliwe wyniki każdego doświadczenia, nazywane odpowiednio sukcesem i porażka.

18 Rozkład dwumianowy Uwagi Rozkład dwupunktowy Rozkład dwumianowy Rozkład Poissona W przypadku zmiennej o rozkładzie dwumianowym zakłada się, że mamy do czynienia z eksperymentem losowym polegajacym na wykonaniu ciagu tzw. doświadczeń Bernoulliego. Nazwa doświadczeń pochodzi od nazwiska trzeciego ze znanej rodziny matematyków Jakuba Bernoulliego. Doświadczenia Bernoulliego to ciag n identycznych doświadczeń losowych, spełniajacych trzy warunki: 1. Sa dwa możliwe wyniki każdego doświadczenia, nazywane odpowiednio sukcesem i porażka. 2. Prawdopodobieństwo sukcesu, oznaczane symbolem p, jest w każdym doświadczeniu stałe.

19 Rozkład dwumianowy Uwagi Rozkład dwupunktowy Rozkład dwumianowy Rozkład Poissona W przypadku zmiennej o rozkładzie dwumianowym zakłada się, że mamy do czynienia z eksperymentem losowym polegajacym na wykonaniu ciagu tzw. doświadczeń Bernoulliego. Nazwa doświadczeń pochodzi od nazwiska trzeciego ze znanej rodziny matematyków Jakuba Bernoulliego. Doświadczenia Bernoulliego to ciag n identycznych doświadczeń losowych, spełniajacych trzy warunki: 1. Sa dwa możliwe wyniki każdego doświadczenia, nazywane odpowiednio sukcesem i porażka. 2. Prawdopodobieństwo sukcesu, oznaczane symbolem p, jest w każdym doświadczeniu stałe. 3. Doświadczenia sa niezależne, co oznacza, że wynik jednego doświadczenia nie ma wpływu na wyniki pozostałych doświadczeń.

20 Rozkład dwupunktowy Rozkład dwumianowy Rozkład Poissona Przykład zastosowań rozkładu dwumianowego Przykład. Przypuśćmy, że pewna fabryka produkuje pralki, wśród których 5% to pralki wadliwe.

21 Rozkład dwupunktowy Rozkład dwumianowy Rozkład Poissona Przykład zastosowań rozkładu dwumianowego Przykład. Przypuśćmy, że pewna fabryka produkuje pralki, wśród których 5% to pralki wadliwe. Z partii produkcji wybrano losowo, ze zwracaniem 20 pralek i poddano je szczegółowej kontroli jakości.

22 Rozkład dwupunktowy Rozkład dwumianowy Rozkład Poissona Przykład zastosowań rozkładu dwumianowego Przykład. Przypuśćmy, że pewna fabryka produkuje pralki, wśród których 5% to pralki wadliwe. Z partii produkcji wybrano losowo, ze zwracaniem 20 pralek i poddano je szczegółowej kontroli jakości. Jakie jest prawdopodobieństwo, że w wybranej próbie pralek: 1. dokładnie dwie pralki sa wybrakowane,

23 Rozkład dwupunktowy Rozkład dwumianowy Rozkład Poissona Przykład zastosowań rozkładu dwumianowego Przykład. Przypuśćmy, że pewna fabryka produkuje pralki, wśród których 5% to pralki wadliwe. Z partii produkcji wybrano losowo, ze zwracaniem 20 pralek i poddano je szczegółowej kontroli jakości. Jakie jest prawdopodobieństwo, że w wybranej próbie pralek: 1. dokładnie dwie pralki sa wybrakowane, 2. co najwyżej dwie pralki maja wady,

24 Rozkład dwupunktowy Rozkład dwumianowy Rozkład Poissona Przykład zastosowań rozkładu dwumianowego Przykład. Przypuśćmy, że pewna fabryka produkuje pralki, wśród których 5% to pralki wadliwe. Z partii produkcji wybrano losowo, ze zwracaniem 20 pralek i poddano je szczegółowej kontroli jakości. Jakie jest prawdopodobieństwo, że w wybranej próbie pralek: 1. dokładnie dwie pralki sa wybrakowane, 2. co najwyżej dwie pralki maja wady, 3. żadna pralka nie jest wadliwa.

25 Rozkład dwupunktowy Rozkład dwumianowy Rozkład Poissona Przykład zastosowań rozkładu dwumianowego Przykład. Przypuśćmy, że pewna fabryka produkuje pralki, wśród których 5% to pralki wadliwe. Z partii produkcji wybrano losowo, ze zwracaniem 20 pralek i poddano je szczegółowej kontroli jakości. Jakie jest prawdopodobieństwo, że w wybranej próbie pralek: 1. dokładnie dwie pralki sa wybrakowane, 2. co najwyżej dwie pralki maja wady, 3. żadna pralka nie jest wadliwa. Jaka jest oczekiwana liczba pralek wadliwych w losowej próbie 20 pralek?

26 Rozkład dwupunktowy Rozkład dwumianowy Rozkład Poissona Przykład zastosowań rozkładu dwumianowego Rozwiazanie. Zauważymy, że wybór pralek do kontroli jakości jest losowy i niezależny. Ponadto, prawdopodobieństwo wylosowania wadliwej pralki jest w każdym losowaniu takie samo, równe p = 0, 05, natomiast liczba losowań wynosi n = 20.

27 Rozkład dwupunktowy Rozkład dwumianowy Rozkład Poissona Przykład zastosowań rozkładu dwumianowego Rozwiazanie. Zauważymy, że wybór pralek do kontroli jakości jest losowy i niezależny. Ponadto, prawdopodobieństwo wylosowania wadliwej pralki jest w każdym losowaniu takie samo, równe p = 0, 05, natomiast liczba losowań wynosi n = 20. Opisany eksperyment spełnia warunki doświadczeń Bernoulliego, w których sukcesem jest wylosowanie wadliwej pralki.

28 Rozkład dwupunktowy Rozkład dwumianowy Rozkład Poissona Przykład zastosowań rozkładu dwumianowego Rozwiazanie. Zauważymy, że wybór pralek do kontroli jakości jest losowy i niezależny. Ponadto, prawdopodobieństwo wylosowania wadliwej pralki jest w każdym losowaniu takie samo, równe p = 0, 05, natomiast liczba losowań wynosi n = 20. Opisany eksperyment spełnia warunki doświadczeń Bernoulliego, w których sukcesem jest wylosowanie wadliwej pralki. Liczba wybrakowanych pralek (tj. liczba sukcesów) w próbie 20 sztuk jest zatem zmienna losowa (oznaczmy ja przez X) o rozkładzie dwumianowym z parametrami n=20, p=0, 05.

29 Rozkład dwupunktowy Rozkład dwumianowy Rozkład Poissona Przykład zastosowań rozkładu dwumianowego Rozwiazanie c.d. Ad.1. Prawdopodobieństwo, że dokładnie dwie pralki w wylosowanej próbie 20 sztuk sa wadliwe wynosi: ( 20 P(X=2)= 2 ) (0, 05) 2 (0, 95) 18 = 20! 2!18! (0, 05)2 (0, 95) 18 0, 189.

30 Rozkład dwupunktowy Rozkład dwumianowy Rozkład Poissona Przykład zastosowań rozkładu dwumianowego Rozwiazanie c.d. Ad.1. Prawdopodobieństwo, że dokładnie dwie pralki w wylosowanej próbie 20 sztuk sa wadliwe wynosi: ( 20 P(X=2)= 2 ) (0, 05) 2 (0, 95) 18 = 20! 2!18! (0, 05)2 (0, 95) 18 0, 189. Ad.2. Prawdopodobieństwo, że co najwyżej dwie pralki w próbie 20 sztuk sa wadliwe wynosi: P(X 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) = ( ) ( 20 = (0, 05) 0 (0, 95) ( 20 2 ) (0, 05) 2 (0, 95) 18 0, 925. ) (0, 05) 1 (0, 95) 19 +

31 Rozkład dwupunktowy Rozkład dwumianowy Rozkład Poissona Przykład zastosowań rozkładu dwumianowego Rozwiazanie c.d.

32 Rozkład dwupunktowy Rozkład dwumianowy Rozkład Poissona Przykład zastosowań rozkładu dwumianowego Rozwiazanie c.d. Ad.3. Prawdopodobieństwo, że w próbie nie będzie wadliwych pralek, wynosi: ( ) 20 P(X = 0) = (0, 05) 0 (0, 95) 20 0,

33 Rozkład dwupunktowy Rozkład dwumianowy Rozkład Poissona Przykład zastosowań rozkładu dwumianowego Rozwiazanie c.d. Ad.3. Prawdopodobieństwo, że w próbie nie będzie wadliwych pralek, wynosi: ( ) 20 P(X = 0) = (0, 05) 0 (0, 95) 20 0, Oczekiwana liczba wybrakowanych pralek w 20-elementowej próbie jest równa: E(X) = np = 20 0, 05 = 1. Uzyskany wynik można interpretować następujaco. Średnia liczba wadliwych pralek przypadajacych na każda 20-elementowa próbę (tj. próbę, która potencjalnie można wylosować) wynosi 1.

34 Rozkład dwupunktowy Rozkład dwumianowy Rozkład Poissona Przykładowy wykres funkcji prawdopodobieństwa rozkładu dwumianowego Objaśnienia do wykresu analogiczne, jak w przypadku wykresu rozkładu zero-jedynkowego. Copyright Giorgio Krenkel and Alex Sandri, GNU Free Documentation License, Low Resolution

35 Rozkład dwupunktowy Rozkład dwumianowy Rozkład Poissona Przykładowy wykres funkcji prawdopodobieństwa rozkładu dwumianowego

36 Rozkład dwupunktowy Rozkład dwumianowy Rozkład Poissona Przykładowy wykres funkcji prawdopodobieństwa rozkładu dwumianowego

37 Rozkład dwupunktowy Rozkład dwumianowy Rozkład Poissona Przykładowy wykres funkcji prawdopodobieństwa rozkładu dwumianowego

38 Rozkład Poissona Rozkład dwupunktowy Rozkład dwumianowy Rozkład Poissona Mówimy, że zmienna X ma rozkład Poissona z parametrem λ > 0, jeśli jej funkcja rozkładu prawdopodobieństwa wyraża się wzorem: P(X = x) = λx x! e x, dla x = 0, 1, 2,....

39 Rozkład Poissona Rozkład dwupunktowy Rozkład dwumianowy Rozkład Poissona Mówimy, że zmienna X ma rozkład Poissona z parametrem λ > 0, jeśli jej funkcja rozkładu prawdopodobieństwa wyraża się wzorem: P(X = x) = λx x! e x, dla x = 0, 1, 2,.... Rozkład Poissona jest rozkładem granicznym rozkładu dwumianowego, tzn. jeśli w rozkładzie dwumianowym n i jednocześnie p 0 w taki sposób, że np = const, to prawdopodobieństwo P(X = x) można wyznaczać z powyższego wzoru, przyjmujac λ = np.

40 Rozkład Poissona Rozkład dwupunktowy Rozkład dwumianowy Rozkład Poissona Mówimy, że zmienna X ma rozkład Poissona z parametrem λ > 0, jeśli jej funkcja rozkładu prawdopodobieństwa wyraża się wzorem: P(X = x) = λx x! e x, dla x = 0, 1, 2,.... Rozkład Poissona jest rozkładem granicznym rozkładu dwumianowego, tzn. jeśli w rozkładzie dwumianowym n i jednocześnie p 0 w taki sposób, że np = const, to prawdopodobieństwo P(X = x) można wyznaczać z powyższego wzoru, przyjmujac λ = np. W rozkładzie Poissona: E(X) = λ, D 2 (X) = λ.

41 Rozkład dwupunktowy Rozkład dwumianowy Rozkład Poissona Aproksymacja rozkładu dwumianowego rozkładem Poissona Wykresy funkcji prawdopodobieństwa rozkładu dwumianowego z parametrami n = 100, p = 0, 01 i rozkładu Poissona z parametrem λ = np = 1 Uwaga: Na wykresie przedstawiono prawdopodobieństwa dla x = 0, 1,..., 20, z pominięciem pozostałych możliwych realizacji x = 21,..., 100, ze względu na prawdopodobieństwa bliskie 0. Zauważymy, że prawdopodobieństwa wyznaczone z rozkładu Poissona w tym przypadku dobrze przybliżaja prawdopodobieństwa z rozkładu dwumianowego.

42 Do podstawowych rozkładów zmiennej losowej ciagłej zaliczamy:

43 Do podstawowych rozkładów zmiennej losowej ciagłej zaliczamy: rozkład jednostajny,

44 Do podstawowych rozkładów zmiennej losowej ciagłej zaliczamy: rozkład jednostajny, - rozkład normalny,

45 Do podstawowych rozkładów zmiennej losowej ciagłej zaliczamy: rozkład jednostajny, - rozkład normalny, - rozkład chi-kwadrat,

46 Do podstawowych rozkładów zmiennej losowej ciagłej zaliczamy: rozkład jednostajny, - rozkład normalny, - rozkład chi-kwadrat, - rozkład Studenta.

47 Mówimy, że zmiennej losowa ciagła X ma rozkład jednostajny na przedziale [a, b], jeśli jej funkcja gęstości wyraża się wzorem: 1 b a, dla x [a, b], f (x) = 0, dla pozostałych x.

48 Mówimy, że zmiennej losowa ciagła X ma rozkład jednostajny na przedziale [a, b], jeśli jej funkcja gęstości wyraża się wzorem: 1 b a, dla x [a, b], f (x) = 0, dla pozostałych x. W rozkładzie jednostajnym: E(X) = b a 2, D2 (X) = 1 12 (b a)2.

49 Przykładowy wykres funkcji gęstości rozkładu jednostajnego Copyright Giorgio Krenkel and Alex Sandri, GNU Free Documentation License, Low Resolution

50 Mówimy, że zmienna losowa ciagła X ma rozkład normalny z parametrami µ i σ, jeśli jej funkcja gęstości wyraża się wzorem: f (x) = 1 σ (x µ) 2 2π e 2σ 2 dla x R, gdzie: µ, σ sa dowolnymi parametrami liczbowymi, takimi że µ R i σ > 0.

51 Mówimy, że zmienna losowa ciagła X ma rozkład normalny z parametrami µ i σ, jeśli jej funkcja gęstości wyraża się wzorem: f (x) = 1 σ (x µ) 2 2π e 2σ 2 dla x R, gdzie: µ, σ sa dowolnymi parametrami liczbowymi, takimi że µ R i σ > 0. W rozkładzie normalnym: E(X) = µ, D 2 (X) = σ 2.

52 Mówimy, że zmienna losowa ciagła X ma rozkład normalny z parametrami µ i σ, jeśli jej funkcja gęstości wyraża się wzorem: f (x) = 1 σ (x µ) 2 2π e 2σ 2 dla x R, gdzie: µ, σ sa dowolnymi parametrami liczbowymi, takimi że µ R i σ > 0. W rozkładzie normalnym: E(X) = µ, D 2 (X) = σ 2. Jeśli zmienna losowa X ma rozkład normalny, wówczas mówimy, że jest normalna zmienna losowa.

53 Mówimy, że zmienna losowa ciagła X ma rozkład normalny z parametrami µ i σ, jeśli jej funkcja gęstości wyraża się wzorem: f (x) = 1 σ (x µ) 2 2π e 2σ 2 dla x R, gdzie: µ, σ sa dowolnymi parametrami liczbowymi, takimi że µ R i σ > 0. W rozkładzie normalnym: E(X) = µ, D 2 (X) = σ 2. Jeśli zmienna losowa X ma rozkład normalny, wówczas mówimy, że jest normalna zmienna losowa. Jej rozkład oznaczamy w skrócie symbolem N(µ, σ).

54 Przykładowy wykres funkcji gęstości rozkładu normalnego Copyright Giorgio Krenkel and Alex Sandri, GNU Free Documentation License, Low Resolution

55 Przykładowy wykres funkcji gęstości rozkładu normalnego Copyright Giorgio Krenkel and Alex Sandri, GNU Free Documentation License, Low Resolution

56 Przykładowe wykresy funkcji gęstości rozkładu normalnego Copyright Giorgio Krenkel and Alex Sandri, GNU Free Documentation License, Low Resolution

57 Przykładowe wykresy funkcji gęstości rozkładu normalnego Copyright Giorgio Krenkel and Alex Sandri, GNU Free Documentation License, Low Resolution

58 Własności funkcji gęstości rozkładu normalnego Funkcja gęstości przyjmuje zawsze wartości nieujemne, a całkowite pole pod krzywa gęstości jest równe 1 (sa to własności funkcji gęstości dowolnej zmiennej ciagłej).

59 Własności funkcji gęstości rozkładu normalnego Funkcja gęstości przyjmuje zawsze wartości nieujemne, a całkowite pole pod krzywa gęstości jest równe 1 (sa to własności funkcji gęstości dowolnej zmiennej ciagłej). Wartość E(X) = µ określa wartość przeciętna zmiennej X.

60 Własności funkcji gęstości rozkładu normalnego Funkcja gęstości przyjmuje zawsze wartości nieujemne, a całkowite pole pod krzywa gęstości jest równe 1 (sa to własności funkcji gęstości dowolnej zmiennej ciagłej). Wartość E(X) = µ określa wartość przeciętna zmiennej X. Krzywa gęstości normalnej zmiennej losowej X jest symetryczna względem prostej prostopadłej przechodza- cej przez punkt x = µ. Z tego wynika, że pola pod krzywa gęstości na lewo i na prawo od punktu µ sa równe 1 2.

61 Własności funkcji gęstości rozkładu normalnego Funkcja gęstości przyjmuje zawsze wartości nieujemne, a całkowite pole pod krzywa gęstości jest równe 1 (sa to własności funkcji gęstości dowolnej zmiennej ciagłej). Wartość E(X) = µ określa wartość przeciętna zmiennej X. Krzywa gęstości normalnej zmiennej losowej X jest symetryczna względem prostej prostopadłej przechodza- cej przez punkt x = µ. Z tego wynika, że pola pod krzywa gęstości na lewo i na prawo od punktu µ sa równe 1 2. Interpretację ostatniej własności oprzemy na przykładzie. Załóżmy, że iloraz inteligencji w populacji dorosłej części ludzkości ma rozkład zbliżony do normalnego ze średnia µ = 100. Z tego wynika, że połowa ludzkości jest madrzej- sza od osoby przeciętnie madrej (czego nie można powiedzieć o drugiej połowie).

62 przykład Załóżmy, że na koniec każdego miesiaca obserwujemy stopę zwrotu z akcji XYZ. Na podstawie 12 danych zebranych w ciagu roku rysujemy histogram rozkładu. Copyright Giorgio Krenkel and Alex Sandri, GNU Free Documentation License, Low Resolution

63 c.d. przykładu Ten sam histogram z licznościami względnymi na osi rzędnych. Krzywa reprezentuje tu funkcję gęstości rozkładu normalnego z wartościami parametrów µ i σ równymi odpowiednio średniej i odchyleniu standardowemu stóp zwrotu w badanym zbiorze. Dopasowanie krzywej rozkładu normalnego jest bardzo słabe. Copyright Giorgio Agnieszka Krenkel and Alex Sandri, Rossa GNU Free Documentation PODSTAWOWE License, Low Resolution ROZKŁADY ZMIENNYCH LOSOWYCH

64 c.d. przykładu Gdyby obserwację stóp zwrotu prowadzić np. w połowie każdego miesiaca, wówczas zebrane wyniki byłyby inne. Poniżej przykładowy histogram. Copyright Giorgio Krenkel and Alex Sandri, GNU Free Documentation License, Low Resolution

65 c.d. przykładu Ten sam histogram z licznościami względnymi na osi rzędnych. Dopasowanie krzywej rozkładu normalnego nadal słabe. Copyright Giorgio Krenkel and Alex Sandri, GNU Free Documentation License, Low Resolution

66 Copyright Giorgio Krenkel and Alex Sandri, GNU Free Documentation License, Low Resolution Podstawowe rozkłady zmiennej losowej skokowej c.d. przykładu Przypuśćmy teraz, że obserwacji stóp zwrotu dokonujemy z większa częstotliwościa, np. w wybranym dniu każdego tygodnia. Otrzymamy większa liczbę danych. Poniżej przykładowy histogram dla kilkudziesięciu obserwacji.

67 c.d. przykładu Ten sam histogram z licznościami względnymi na osi rzędnych. Dopasowanie krzywej rozkładu normalnego nieco lepsze. Copyright Giorgio Krenkel and Alex Sandri, GNU Free Documentation License, Low Resolution

68 c.d. przykładu Jeśli obserwację przeprowadzać będziemy w innym dniu tygodnia, wówczas uzyskamy inny zbiór danych. Poniżej przykładowy histogram. Copyright Giorgio Krenkel and Alex Sandri, GNU Free Documentation License, Low Resolution

69 c.d. przykładu Ten sam histogram z licznościami względnymi na osi rzędnych oraz krzywa gęstości rozkładu normalnego. Copyright Giorgio Krenkel and Alex Sandri, GNU Free Documentation License, Low Resolution

70 c.d. przykładu Prowadzac obserwację z bardzo duża częstotliwościa, np. kilka razy dziennie przez cały rok, zbierzemy kilkaset lub nawet kila tysięcy wyników obserwacji. Poniżej ich przykładowy histogram. Copyright Giorgio Krenkel Agnieszka and Alex Sandri, Rossa GNU Free Documentation PODSTAWOWE License, Low Resolution ROZKŁADY ZMIENNYCH LOSOWYCH

71 c.d. przykładu Ten sam histogram z licznościami względnymi na osi rzędnych. W tym przypadku dopasowanie krzywej gęstości rozkładu normalnego jest wyraźne. Copyright Giorgio Krenkel and Alex Sandri, GNU Free Documentation License, Low Resolution

72 Wnioski z przykładu Jeśli rozkład liczebności względnych jest dobrze reprezentowany przez funkcję gęstości rozkładu normalnego, wówczas mówimy, że cecha ma rozkład normalny (lub zbliżony do normalnego).

73 Wnioski z przykładu Jeśli rozkład liczebności względnych jest dobrze reprezentowany przez funkcję gęstości rozkładu normalnego, wówczas mówimy, że cecha ma rozkład normalny (lub zbliżony do normalnego). Krzywa gęstości aproksymuje rozkład częstości względnych cechy normalnej w przypadku, gdy wartości tej cechy rejestrujemy z duża częstotliwościa (jak w przedstawionym przykładzie) lub w dużej zbiorowości jednostek.

74 Wnioski z przykładu Jeśli rozkład liczebności względnych jest dobrze reprezentowany przez funkcję gęstości rozkładu normalnego, wówczas mówimy, że cecha ma rozkład normalny (lub zbliżony do normalnego). Krzywa gęstości aproksymuje rozkład częstości względnych cechy normalnej w przypadku, gdy wartości tej cechy rejestrujemy z duża częstotliwościa (jak w przedstawionym przykładzie) lub w dużej zbiorowości jednostek. Nie każda cecha ciagła ma rozkład normalny. Istnieja także inne możliwe rozkłady zmiennych ciagłych zob. następny slajd.

75 Przykład innego rozkładu Krzywa gęstości rozkładu z prawostronna asymetria Copyright Giorgio Krenkel and Alex Sandri, GNU Free Documentation License, Low Resolution

76 standaryzowany z parametrami µ = 0, σ = 1 nazywamy rozkładem normalnym standaryzowanym (lub zamiennie standardowym) i oznaczamy w skrócie N(0, 1).

77 standaryzowany z parametrami µ = 0, σ = 1 nazywamy rozkładem normalnym standaryzowanym (lub zamiennie standardowym) i oznaczamy w skrócie N(0, 1). Zmienna o takim rozkładzie oznaczać będziemy dalej (dla odróżnienia) przez U, natomiast funkcję gęstości i dystrybuantę tej zmiennej symbolami odpowiednio φ(x) i Φ(x).

78 standaryzowany z parametrami µ = 0, σ = 1 nazywamy rozkładem normalnym standaryzowanym (lub zamiennie standardowym) i oznaczamy w skrócie N(0, 1). Zmienna o takim rozkładzie oznaczać będziemy dalej (dla odróżnienia) przez U, natomiast funkcję gęstości i dystrybuantę tej zmiennej symbolami odpowiednio φ(x) i Φ(x). Zauważymy, że gęstość zmiennej U ma postać: φ(x) = 1 2π e x2 2 dla x R.

79 standaryzowany z parametrami µ = 0, σ = 1 nazywamy rozkładem normalnym standaryzowanym (lub zamiennie standardowym) i oznaczamy w skrócie N(0, 1). Zmienna o takim rozkładzie oznaczać będziemy dalej (dla odróżnienia) przez U, natomiast funkcję gęstości i dystrybuantę tej zmiennej symbolami odpowiednio φ(x) i Φ(x). Zauważymy, że gęstość zmiennej U ma postać: φ(x) = 1 2π e x2 2 dla x R. W odniesieniu do dystrybuanty rozkładu N(0, 1) prawdziwa jest następujaca równość: Φ( x) = 1 Φ(x).

80 Wykres funkcji gęstości rozkładu normalnego standaryzowanego Copyright Giorgio Krenkel and Alex Sandri, GNU Free Documentation License, Low Resolution

81 Obliczanie prawdopodobieństw w rozkładzie normalnym standaryzowanym Prawdopodobieństwo, że ciagła zmienna losowa przyjmie wartość z zadanego przedziału liczbowego, reprezentowane jest przez pole pod jej krzywa gęstości w badanym przedziale, przy czym całkowite pole pod krzywa wynosi 1.

82 Obliczanie prawdopodobieństw w rozkładzie normalnym standaryzowanym Prawdopodobieństwo, że ciagła zmienna losowa przyjmie wartość z zadanego przedziału liczbowego, reprezentowane jest przez pole pod jej krzywa gęstości w badanym przedziale, przy czym całkowite pole pod krzywa wynosi 1. Załóżmy, że U ma rozkład N(0, 1). Chcemy obliczyć dystrybuantę Φ(x) = P(U < x), gdzie x zadana wartość.

83 Obliczanie prawdopodobieństw w rozkładzie normalnym standaryzowanym Prawdopodobieństwo, że ciagła zmienna losowa przyjmie wartość z zadanego przedziału liczbowego, reprezentowane jest przez pole pod jej krzywa gęstości w badanym przedziale, przy czym całkowite pole pod krzywa wynosi 1. Załóżmy, że U ma rozkład N(0, 1). Chcemy obliczyć dystrybuantę Φ(x) = P(U < x), gdzie x zadana wartość. Prawdopodobieństwo to jest równe polu pod krzywa gęstości rozkładu N(0, 1) na przedziale (, x). Obliczenie takiego pola na piechotę jest jednak stosunkowo trudne.

84 Obliczanie prawdopodobieństw w rozkładzie normalnym standaryzowanym Prawdopodobieństwo, że ciagła zmienna losowa przyjmie wartość z zadanego przedziału liczbowego, reprezentowane jest przez pole pod jej krzywa gęstości w badanym przedziale, przy czym całkowite pole pod krzywa wynosi 1. Załóżmy, że U ma rozkład N(0, 1). Chcemy obliczyć dystrybuantę Φ(x) = P(U < x), gdzie x zadana wartość. Prawdopodobieństwo to jest równe polu pod krzywa gęstości rozkładu N(0, 1) na przedziale (, x). Obliczenie takiego pola na piechotę jest jednak stosunkowo trudne. W celu znalezienia Φ(x) = P(U < x) korzysta się często z tablic statystycznych, zawierajacych obliczone prawdopodobieństwa dla różnych x zob. następny slajd.

85 Fragment tablicy rozkładu normalnego standaryzowanego

86 Prawdopodobieństwo P(U < x) w rozkładzie N(0, 1) Np. dla x = 1, 37 mamy bezpośrednio z tablicy: P(U <1, 37)=0, 9147 Copyright Giorgio Krenkel and Alex Sandri, GNU Free Documentation License, Low Resolution

87 Prawdopodobieństwo P(U x) w rozkładzie N(0, 1) Dla x = 1, 37 mamy: P(U 1, 37)= 1 P(U < 1, 37) = 1 0, 9147 = 0, 0853 Copyright Giorgio Krenkel and Alex Sandri, GNU Free Documentation License, Low Resolution

88 Prawdopodobieństwo P( U < x) w rozkładzie N(0, 1) P( U < 1, 37) = P( 1, 37 < U < 1, 37) =P(U <1, 37) P(U < 1, 37)= =Φ(1, 37) Φ( 1, 37)=Φ(1, 37) (1 Φ(1, 37))=0, 9147 (1 0, 9147)=0, 8294 Copyright Giorgio Krenkel and Alex Sandri, GNU Free Documentation License, Low Resolution

89 Reguła 3 sigm w rozkładzie N(0, 1) P( U < 3 σ) = P( U < 3) = P( 3 < U < 3) =P(U <3) P(U < 3)= =Φ(3) Φ( 3) = Φ(3) (1 Φ(3)) = 0, 9987 (1 0, 9987) = 0, 9974 Copyright Giorgio Krenkel and Alex Sandri, GNU Free Documentation License, Low Resolution

90 Prawdopodobieństwo P(x < U < y) w rozkładzie N(0, 1) Obliczymy prawdopodobieństwo P(x < U < y) dla zadanych wartości x, y. Niech x = 0, y = 1, 43. Mamy wówczas: P(0 < U < 1, 43) =P(U <1, 43) P(U <0)=Φ(1, 43) Φ(0)=0, , 5=0, Copyright Giorgio Krenkel and Alex Sandri, GNU Free Documentation License, Low Resolution

91 Obliczanie kwantyli w rozkładzie normalnym standaryzowanym 1. Na podstawie tablic rozkładu normalnego standaryzowanego możemy także łatwo odczytać, dla jakiego u zachodzi równość: p = P(U < u), gdzie p jest zadana liczba z przedziału (0, 1).

92 Obliczanie kwantyli w rozkładzie normalnym standaryzowanym 1. Na podstawie tablic rozkładu normalnego standaryzowanego możemy także łatwo odczytać, dla jakiego u zachodzi równość: p = P(U < u), gdzie p jest zadana liczba z przedziału (0, 1). 2. Punkt u spełniajacy powyższa równość nazywamy kwantylem rozkładu normalnego standaryzowanego rzędu p.

93 Obliczanie kwantyli w rozkładzie normalnym standaryzowanym 1. Na podstawie tablic rozkładu normalnego standaryzowanego możemy także łatwo odczytać, dla jakiego u zachodzi równość: p = P(U < u), gdzie p jest zadana liczba z przedziału (0, 1). 2. Punkt u spełniajacy powyższa równość nazywamy kwantylem rozkładu normalnego standaryzowanego rzędu p. 3. Przykładowo, znajdziemy kwantyl rzędu 0, 9 dla rozkładu normalnego standaryzowanego.

94 Obliczanie kwantyli w rozkładzie normalnym standaryzowanym 1. Na podstawie tablic rozkładu normalnego standaryzowanego możemy także łatwo odczytać, dla jakiego u zachodzi równość: p = P(U < u), gdzie p jest zadana liczba z przedziału (0, 1). 2. Punkt u spełniajacy powyższa równość nazywamy kwantylem rozkładu normalnego standaryzowanego rzędu p. 3. Przykładowo, znajdziemy kwantyl rzędu 0, 9 dla rozkładu normalnego standaryzowanego. 4. Z definicji, jest to taka wartość u, dla której P(U <u)=0, 9. Na podstawie danych w tablicy wnioskujemy, iż szukany kwantyl jest równy: u 1, 28.

95 Ilustracja graficzna Równość P(U <u)=0, 9 zachodzi dla u 1, 28. Copyright Giorgio Krenkel and Alex Sandri, GNU Free Documentation License, Low Resolution

96 Wyznaczanie kwantyli dla rozkładu N(0, 1) c.d. Znajdziemy, jakiego rzędu jest kwantyl u rozkładu N(0, 1), spełniajacy równość: P( U <u)=1 α dla zadanego α = 0, 05. Następnie znajdziemy ten kwantyl. Mamy: 1 α =P( U <u) =P(U <u) P(U < u)= =P(U <u) (1 P(U <u)) = 2P(U <u) 1. Oznaczajac p = P(U <u), otrzymujemy: 2p 1 = 1 α, stad p = 1 α 2. Wynika z tego, że u jest kwantylem rzędu: p = 1 α 0, 05 = 1 = 0, Na podstawie tablicy otrzymujemy natychmiast: u 1, 96.

97 Prawdopodobieństwa w dowolnym rozkładzie normalnym N(µ, σ) Jeśli zmienna losowa X ma rozkład normalny N(µ, σ) o wartościach parametrów µ i σ innych niż 0 i 1, wówczas obliczanie odpowiednich prawdopodobieństw z wykorzystaniem dostępnych tablic statystycznych wymaga zastosowania tzw. twierdzenia o standaryzacji.

98 Prawdopodobieństwa w dowolnym rozkładzie normalnym N(µ, σ) Jeśli zmienna losowa X ma rozkład normalny N(µ, σ) o wartościach parametrów µ i σ innych niż 0 i 1, wówczas obliczanie odpowiednich prawdopodobieństw z wykorzystaniem dostępnych tablic statystycznych wymaga zastosowania tzw. twierdzenia o standaryzacji. Tw. o standaryzacji: Jeśli zmienna losowa X ma rozkład N(µ, σ), to zmienna losowa: U = X µ σ ma rozkład normalny standaryzowany N(0, 1).

99 Prawdopodobieństwa w dowolnym rozkładzie normalnym N(µ, σ) Jeśli zmienna losowa X ma rozkład normalny N(µ, σ) o wartościach parametrów µ i σ innych niż 0 i 1, wówczas obliczanie odpowiednich prawdopodobieństw z wykorzystaniem dostępnych tablic statystycznych wymaga zastosowania tzw. twierdzenia o standaryzacji. Tw. o standaryzacji: Jeśli zmienna losowa X ma rozkład N(µ, σ), to zmienna losowa: U = X µ σ ma rozkład normalny standaryzowany N(0, 1). W ramach ilustracji, obliczymy prawdopodobieństwo F(8) = P(X < 8), zakładajac, że X ma rozkład N(10; 2).

100 Prawdopodobieństwa w dowolnym rozkładzie normalnym N(µ, σ) Jeśli zmienna losowa X ma rozkład normalny N(µ, σ) o wartościach parametrów µ i σ innych niż 0 i 1, wówczas obliczanie odpowiednich prawdopodobieństw z wykorzystaniem dostępnych tablic statystycznych wymaga zastosowania tzw. twierdzenia o standaryzacji. Tw. o standaryzacji: Jeśli zmienna losowa X ma rozkład N(µ, σ), to zmienna losowa: U = X µ σ ma rozkład normalny standaryzowany N(0, 1). W ramach ilustracji, obliczymy prawdopodobieństwo F(8) = P(X < 8), zakładajac, że X ma rozkład N(10; 2). F(8) = P(X <8)=P( X 10 1 Φ(1) = 0, < )=P(U < 1)= Φ( 1) =

101 Ilustracja graficzna Prawdopodobieństwo F(8) = P(X < 8) w rozkładzie N(10, 2) Copyright Giorgio Krenkel and Alex Sandri, GNU Free Documentation License, Low Resolution

102 Zmienna X po standaryzacji X 10 2 ma rozkład N(0, 1) Zaznaczone pola sa równe Copyright Giorgio Krenkel and Alex Sandri, GNU Free Documentation License, Low Resolution

103 Przykład zastosowania Przykład. Wiadomo, że zysk (w zł) z pewnego przedsięwzięcia ma rozkład normalny N(80, 45).

104 Przykład zastosowania Przykład. Wiadomo, że zysk (w zł) z pewnego przedsięwzięcia ma rozkład normalny N(80, 45). Obliczyć prawdopodobieństwo, że inwestujac w dane przedsięwzięcie, poniesiemy stratę.

105 Przykład zastosowania Przykład. Wiadomo, że zysk (w zł) z pewnego przedsięwzięcia ma rozkład normalny N(80, 45). Obliczyć prawdopodobieństwo, że inwestujac w dane przedsięwzięcie, poniesiemy stratę. Rozwiazanie. Zysk z przedsięwzięcia jest zmienna losowa. Oznaczmy ja symbolem X. Prawdopodobieństwo, że inwestor poniesie stratę oznacza prawdopodobieństwo, że zysk będzie ujemny.

106 Przykład zastosowania Przykład. Wiadomo, że zysk (w zł) z pewnego przedsięwzięcia ma rozkład normalny N(80, 45). Obliczyć prawdopodobieństwo, że inwestujac w dane przedsięwzięcie, poniesiemy stratę. Rozwiazanie. Zysk z przedsięwzięcia jest zmienna losowa. Oznaczmy ja symbolem X. Prawdopodobieństwo, że inwestor poniesie stratę oznacza prawdopodobieństwo, że zysk będzie ujemny. Skorzystamy z tw. o standaryzacji i tablic statystycznych: ( X 80 P(X <0)=P < 0 80 ) =P(U < 1, 78)= =Φ( 1, 78)=1 Φ(1, 78)=1 0, 9625=0, 0375.

107 Mówimy, że zmienna losowa Z ma rozkład chi-kwadrat o k stopniach swobody, jeśli jest suma kwadratów k niezależnych zmiennych losowych o rozkładzie normalnym standaryzowanym, czyli: Z = k Ui 2, i=1 gdzie U 1, U 2,..., U k sa niezależnymi zmiennymi losowymi, każda o rozkładzie N(0, 1).

108 Mówimy, że zmienna losowa Z ma rozkład chi-kwadrat o k stopniach swobody, jeśli jest suma kwadratów k niezależnych zmiennych losowych o rozkładzie normalnym standaryzowanym, czyli: Z = k Ui 2, i=1 gdzie U 1, U 2,..., U k sa niezależnymi zmiennymi losowymi, każda o rozkładzie N(0, 1). W rozkładzie chi-kwadrat: E(Z ) = k, D 2 (Z ) = 2k. Rozkłady chi-kwadrat (podobnie, jak dalej przedstawione rozkłady Studenta) sa często wykorzystywane w procedurach wnioskowania statystycznego.

109 Przykładowe wykresy funkcji gęstości rozkładu chi-kwadrat Copyright Giorgio Krenkel and Alex Sandri, GNU Free Documentation License, Low Resolution

110 Mówimy, że zmienna losowa t ma rozkład Studenta o k stopniach swobody, jeśli określona wzorem: t = U Z k, gdzie U i Z sa niezależnymi zmiennymi losowymi, przy czym U ma rozkład N(0, 1), natomiast Z rozkład chi-kwadrat o k stopniach swobody.

111 Mówimy, że zmienna losowa t ma rozkład Studenta o k stopniach swobody, jeśli określona wzorem: t = U Z k, gdzie U i Z sa niezależnymi zmiennymi losowymi, przy czym U ma rozkład N(0, 1), natomiast Z rozkład chi-kwadrat o k stopniach swobody. Rozkłady tego typu po raz pierwszy wyprowadził William Gosset (przełom XVIII i XIX wieku) publikujacy pod pseudonimem Student. Stad wywodzi się ich nazwa. Zmienna losowa jest tu oznaczana wyjatkowo mała litera t (od ostatniej litery nazwiska autora).

112 Mówimy, że zmienna losowa t ma rozkład Studenta o k stopniach swobody, jeśli określona wzorem: t = U Z k, gdzie U i Z sa niezależnymi zmiennymi losowymi, przy czym U ma rozkład N(0, 1), natomiast Z rozkład chi-kwadrat o k stopniach swobody. Rozkłady tego typu po raz pierwszy wyprowadził William Gosset (przełom XVIII i XIX wieku) publikujacy pod pseudonimem Student. Stad wywodzi się ich nazwa. Zmienna losowa jest tu oznaczana wyjatkowo mała litera t (od ostatniej litery nazwiska autora). W rozkładzie Studenta: E(t) = 0, D 2 (t) = k k 2, o ile k > 2.

113 Przykładowe wykresy funkcji gęstości rozkładu Studenta Copyright Giorgio Krenkel and Alex Sandri, GNU Free Documentation License, Low Resolution

ESTYMACJA PRZEDZIAŁOWA WYBRANYCH PARAMETRÓW

ESTYMACJA PRZEDZIAŁOWA WYBRANYCH PARAMETRÓW ESTYMACJA PRZEDZIAŁOWA WYBRANYCH PARAMETRÓW POPULACJI Szkic wykładu Wprowadzenie 1 Wprowadzenie 2 3 4 Przypomnienie dotychczasowych rozważań Przedziałem ufności nazywamy przedział losowy, o którym przypuszczamy

Bardziej szczegółowo

Statystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory

Statystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory Statystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok 407 adrian@tempus.metal.agh.edu.pl

Bardziej szczegółowo

Przestrzeń probabilistyczna

Przestrzeń probabilistyczna Przestrzeń probabilistyczna (Ω, Σ, P) Ω pewien niepusty zbiór Σ rodzina podzbiorów tego zbioru P funkcja określona na Σ, zwana prawdopodobieństwem. Przestrzeń probabilistyczna (Ω, Σ, P) Ω pewien niepusty

Bardziej szczegółowo

Jeśli wszystkie wartości, jakie może przyjmować zmienna można wypisać w postaci ciągu {x 1, x 2,...}, to mówimy, że jest to zmienna dyskretna.

Jeśli wszystkie wartości, jakie może przyjmować zmienna można wypisać w postaci ciągu {x 1, x 2,...}, to mówimy, że jest to zmienna dyskretna. Wykład 4 Rozkłady i ich dystrybuanty Dwa typy zmiennych losowych Jeśli wszystkie wartości, jakie może przyjmować zmienna można wypisać w postaci ciągu {x, x 2,...}, to mówimy, że jest to zmienna dyskretna.

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo i statystyka

Prawdopodobieństwo i statystyka Wykład II: Zmienne losowe i charakterystyki ich rozkładów 13 października 2014 Zmienne losowe Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa, cz. II Definicja zmiennej losowej i jej

Bardziej szczegółowo

Statystyka. Wydział Zarządzania Uniwersytetu Łódzkiego

Statystyka. Wydział Zarządzania Uniwersytetu Łódzkiego Statystyka Wydział Zarządzania Uniwersytetu Łódzkiego 2017 Podstawowe rozkłady zmiennych losowych Rozkłady zmiennych skokowych Rozkład zero-jedynkowy Rozpatrujemy doświadczenie, którego rezultatem może

Bardziej szczegółowo

Wykład z analizy danych: powtórzenie zagadnień z rachunku prawdopodobieństwa

Wykład z analizy danych: powtórzenie zagadnień z rachunku prawdopodobieństwa Wykład z analizy danych: powtórzenie zagadnień z rachunku prawdopodobieństwa Marek Kubiak Instytut Informatyki Politechnika Poznańska Plan wykładu Podstawowe pojęcia rachunku prawdopodobieństwa Rozkład

Bardziej szczegółowo

PODSTAWY WNIOSKOWANIA STATYSTYCZNEGO czȩść I

PODSTAWY WNIOSKOWANIA STATYSTYCZNEGO czȩść I PODSTAWY WNIOSKOWANIA STATYSTYCZNEGO czȩść I Szkic wykładu 1 Przykład wprowadzajacy 2 Prawo wielkich liczb Bernoulliego i centralne tw. graniczne 3 4 Przykład wprowadzajacy W Polsce różne głosowania odbywaja

Bardziej szczegółowo

Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka

Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka W 2. Probabilistyczne modele danych Zmienne losowe. Rozkład prawdopodobieństwa i dystrybuanta. Wartość oczekiwana i wariancja zmiennej losowej Dr Anna ADRIAN Zmienne

Bardziej szczegółowo

Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średnich. Wrocław, 5 grudnia 2014

Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średnich. Wrocław, 5 grudnia 2014 Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średnich Wrocław, 5 grudnia 2014 Przedział ufności Niech będzie dana próba X 1, X 2,..., X n z rozkładu P θ, θ Θ. Definicja Przedziałem ufności dla paramertu

Bardziej szczegółowo

Wykład 10 Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średn

Wykład 10 Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średn Wykład 10 Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średniej Wrocław, 21 grudnia 2016r Przedział ufności Niech będzie dana próba X 1, X 2,..., X n z rozkładu P θ, θ Θ. Definicja 10.1 Przedziałem

Bardziej szczegółowo

III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE

III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE.. Zmienna losowa i pojęcie rozkładu prawdopodobieństwa W dotychczas rozpatrywanych przykładach każdemu zdarzeniu była przyporządkowana odpowiednia wartość liczbowa. Ta

Bardziej szczegółowo

Rozkłady zmiennych losowych

Rozkłady zmiennych losowych Rozkłady zmiennych losowych Wprowadzenie Badamy pewną zbiorowość czyli populację pod względem występowania jakiejś cechy. Pobieramy próbę i na podstawie tej próby wyznaczamy pewne charakterystyki. Jeśli

Bardziej szczegółowo

Rozkłady statystyk z próby

Rozkłady statystyk z próby Rozkłady statystyk z próby Rozkłady statystyk z próby Przypuśćmy, że wykonujemy serię doświadczeń polegających na 4 krotnym rzucie symetryczną kostką do gry, obserwując liczbę wyrzuconych oczek Nr kolejny

Bardziej szczegółowo

Statystyka matematyczna dla leśników

Statystyka matematyczna dla leśników Statystyka matematyczna dla leśników Wydział Leśny Kierunek leśnictwo Studia Stacjonarne I Stopnia Rok akademicki 2013/2014 Wykład 3 Zmienna losowa i jej rozkłady Zdarzenia losowe Pojęcie prawdopodobieństwa

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenia 3 ROZKŁAD ZMIENNEJ LOSOWEJ JEDNOWYMIAROWEJ

Ćwiczenia 3 ROZKŁAD ZMIENNEJ LOSOWEJ JEDNOWYMIAROWEJ Ćwiczenia 3 ROZKŁAD ZMIENNEJ LOSOWEJ JEDNOWYMIAROWEJ Zadanie 1. Zmienna losowa przyjmuje wartości -1, 0, 1 z prawdopodobieństwami równymi odpowiednio: ¼, ½, ¼. Należy: a. Wyznaczyć rozkład prawdopodobieństwa

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI LABORATORIUM KOMPUTEROWE DLA II ROKU KIERUNKU ZARZĄDZANIE I INŻYNIERIA PRODUKCJI ZESTAWY ZADAŃ

MATEMATYKA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI LABORATORIUM KOMPUTEROWE DLA II ROKU KIERUNKU ZARZĄDZANIE I INŻYNIERIA PRODUKCJI ZESTAWY ZADAŃ MATEMATYKA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI LABORATORIUM KOMPUTEROWE DLA II ROKU KIERUNKU ZARZĄDZANIE I INŻYNIERIA PRODUKCJI ZESTAWY ZADAŃ Opracowała: Milena Suliga Wszystkie pliki pomocnicze wymienione w treści

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo i statystyka

Prawdopodobieństwo i statystyka Wykład VII: Rozkład i jego charakterystyki 22 listopada 2016 Uprzednio wprowadzone pojęcia i ich własności Definicja zmiennej losowej Zmienna losowa na przestrzeni probabilistycznej (Ω, F, P) to funkcja

Bardziej szczegółowo

Zmienne losowe ciągłe i ich rozkłady

Zmienne losowe ciągłe i ich rozkłady Statystyka i opracowanie danych W3 Zmienne losowe ciągłe i ich rozkłady Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok47 adan@agh.edu.pl Plan wykładu Rozkład Poissona. Zmienna losowa ciągła Dystrybuanta i funkcja gęstości

Bardziej szczegółowo

Literatura. Leitner R., Zacharski J., Zarys matematyki wyŝszej dla studentów, cz. III.

Literatura. Leitner R., Zacharski J., Zarys matematyki wyŝszej dla studentów, cz. III. Literatura Krysicki W., Bartos J., Dyczka W., Królikowska K, Wasilewski M., Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka Matematyczna w Zadaniach, cz. I. Leitner R., Zacharski J., Zarys matematyki wyŝszej

Bardziej szczegółowo

Zmienne losowe ciągłe i ich rozkłady

Zmienne losowe ciągłe i ich rozkłady Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka - W3 Zmienne losowe ciągłe i ich rozkłady Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok47 adan@agh.edu.pl Plan wykładu Zmienna losowa ciągła Dystrybuanta i unkcja gęstości rozkładu

Bardziej szczegółowo

4,5. Dyskretne zmienne losowe (17.03; 31.03)

4,5. Dyskretne zmienne losowe (17.03; 31.03) 4,5. Dyskretne zmienne losowe (17.03; 31.03) Definicja 1 Zmienna losowa nazywamy dyskretna (skokowa), jeśli zbiór jej wartości x 1, x 2,..., można ustawić w ciag. Zmienna losowa X, która przyjmuje wszystkie

Bardziej szczegółowo

Statystyka i eksploracja danych

Statystyka i eksploracja danych Wykład II: i charakterystyki ich rozkładów 24 lutego 2014 Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa, cz. II Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa,

Bardziej szczegółowo

Statystyczna analiza danych w programie STATISTICA 7.1 PL (wykład 1) Dariusz Gozdowski

Statystyczna analiza danych w programie STATISTICA 7.1 PL (wykład 1) Dariusz Gozdowski Statystyczna analiza danych w programie STATISTICA 7.1 PL (wykład 1) Dariusz Gozdowski Katedra Doświadczalnictwa i Bioinformatyki Wydział Rolnictwa i Biologii SGGW STATYSTYKA to nauka, której przedmiotem

Bardziej szczegółowo

WYKŁAD 2. Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo Zmienna losowa i jej rozkłady

WYKŁAD 2. Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo Zmienna losowa i jej rozkłady WYKŁAD 2 Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo Zmienna losowa i jej rozkłady Metody statystyczne metody opisu metody wnioskowania statystycznego syntetyczny liczbowy opis właściwości zbioru danych ocena

Bardziej szczegółowo

II WYKŁAD STATYSTYKA. 12/03/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15

II WYKŁAD STATYSTYKA. 12/03/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15 II WYKŁAD STATYSTYKA 12/03/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15 WYKŁAD 2 Rachunek prawdopodobieństwa zdarzenia elementarne zdarzenia losowe zmienna losowa skokowa i ciągła prawdopodobieństwo i gęstość prawdopodobieństwa

Bardziej szczegółowo

), którą będziemy uważać za prawdziwą jeżeli okaże się, że hipoteza H 0

), którą będziemy uważać za prawdziwą jeżeli okaże się, że hipoteza H 0 Testowanie hipotez Każde przypuszczenie dotyczące nieznanego rozkładu badanej cechy nazywamy hipotezą statystyczną. Hipoteza określająca jedynie wartości nieznanych parametrów liczbowych badanej cechy

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA wykład 5-6

STATYSTYKA wykład 5-6 TATYTYKA wykład 5-6 Twierdzenia graniczne Rozkłady statystyk z próby Wanda Olech Twierdzenia graniczne Jeżeli rozpatrujemy ciąg zmiennych losowych {X ; X ;...; X n }, to zdarza się, że ich rozkłady przy

Bardziej szczegółowo

Estymacja parametrów rozkładu cechy

Estymacja parametrów rozkładu cechy Estymacja parametrów rozkładu cechy Estymujemy parametr θ rozkładu cechy X Próba: X 1, X 2,..., X n Estymator punktowy jest funkcją próby ˆθ = ˆθX 1, X 2,..., X n przybliżającą wartość parametru θ Przedział

Bardziej szczegółowo

Dokładne i graniczne rozkłady statystyk z próby

Dokładne i graniczne rozkłady statystyk z próby Dokładne i graniczne rozkłady statystyk z próby Przypomnijmy Populacja Próba Wielkość N n Średnia Wariancja Odchylenie standardowe 4.2 Rozkład statystyki Mówimy, że rozkład statystyki (1) jest dokładny,

Bardziej szczegółowo

Korzystanie z podstawowych rozkładów prawdopodobieństwa (tablice i arkusze kalkulacyjne)

Korzystanie z podstawowych rozkładów prawdopodobieństwa (tablice i arkusze kalkulacyjne) Korzystanie z podstawowych rozkładów prawdopodobieństwa (tablice i arkusze kalkulacyjne) Przygotował: Dr inż. Wojciech Artichowicz Katedra Hydrotechniki PG Zima 2014/15 1 TABLICE ROZKŁADÓW... 3 ROZKŁAD

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA MATEMATYCZNA. rachunek prawdopodobieństwa

STATYSTYKA MATEMATYCZNA. rachunek prawdopodobieństwa STATYSTYKA MATEMATYCZNA rachunek prawdopodobieństwa treść Zdarzenia losowe pojęcie prawdopodobieństwa prawo wielkich liczb zmienne losowe rozkłady teoretyczne zmiennych losowych Zanim zajmiemy się wnioskowaniem

Bardziej szczegółowo

Prawa wielkich liczb, centralne twierdzenia graniczne

Prawa wielkich liczb, centralne twierdzenia graniczne , centralne twierdzenia graniczne Katedra matematyki i ekonomii matematycznej 17 maja 2012, centralne twierdzenia graniczne Rodzaje zbieżności ciągów zmiennych losowych, centralne twierdzenia graniczne

Bardziej szczegółowo

Weryfikacja hipotez statystycznych

Weryfikacja hipotez statystycznych Weryfikacja hipotez statystycznych Hipoteza Test statystyczny Poziom istotności Testy jednostronne i dwustronne Testowanie równości wariancji test F-Fishera Testowanie równości wartości średnich test t-studenta

Bardziej szczegółowo

AKADEMIA GÓRNICZO-HUTNICZA Wydział Matematyki Stosowanej ROZKŁAD NORMALNY ROZKŁAD GAUSSA

AKADEMIA GÓRNICZO-HUTNICZA Wydział Matematyki Stosowanej ROZKŁAD NORMALNY ROZKŁAD GAUSSA AKADEMIA GÓRNICZO-HUTNICZA Wydział Matematyki Stosowanej KATEDRA MATEMATYKI TEMAT PRACY: ROZKŁAD NORMALNY ROZKŁAD GAUSSA AUTOR: BARBARA MARDOSZ Kraków, styczeń 2008 Spis treści 1 Wprowadzenie 2 2 Definicja

Bardziej szczegółowo

R ozkład norm alny Bardzo często używany do modelowania symetrycznych rozkładów zmiennych losowych ciągłych

R ozkład norm alny Bardzo często używany do modelowania symetrycznych rozkładów zmiennych losowych ciągłych R ozkład norm alny Bardzo często używany do modelowania symetrycznych rozkładów zmiennych losowych ciągłych Przykłady: Błąd pomiarowy Wzrost, wydajność Temperatura ciała Zawartość różnych składników we

Bardziej szczegółowo

Statystyka. #5 Testowanie hipotez statystycznych. Aneta Dzik-Walczak Małgorzata Kalbarczyk-Stęclik. rok akademicki 2016/ / 28

Statystyka. #5 Testowanie hipotez statystycznych. Aneta Dzik-Walczak Małgorzata Kalbarczyk-Stęclik. rok akademicki 2016/ / 28 Statystyka #5 Testowanie hipotez statystycznych Aneta Dzik-Walczak Małgorzata Kalbarczyk-Stęclik rok akademicki 2016/2017 1 / 28 Testowanie hipotez statystycznych 2 / 28 Testowanie hipotez statystycznych

Bardziej szczegółowo

b) Niech: - wśród trzech wylosowanych opakowań jest co najwyżej jedno o dawce 15 mg. Wówczas:

b) Niech: - wśród trzech wylosowanych opakowań jest co najwyżej jedno o dawce 15 mg. Wówczas: ROZWIĄZANIA I ODPOWIEDZI Zadanie A1. Można założyć, że przy losowaniu trzech kul jednocześnie kolejność ich wylosowania nie jest istotna. A więc: Ω = 20 3. a) Niech: - wśród trzech wylosowanych opakowań

Bardziej szczegółowo

7. Estymacja parametrów w modelu normalnym(14.04.2008) Pojęcie losowej próby prostej

7. Estymacja parametrów w modelu normalnym(14.04.2008) Pojęcie losowej próby prostej 7. Estymacja parametrów w modelu normalnym(14.04.2008) Pojęcie losowej próby prostej Definicja 1 n-elementowa losowa próba prosta nazywamy ciag n niezależnych zmiennych losowych o jednakowych rozkładach

Bardziej szczegółowo

Z poprzedniego wykładu

Z poprzedniego wykładu PODSTAWY STATYSTYKI 1. Teoria prawdopodobieństwa i elementy kombinatoryki 2. Zmienne losowe i ich rozkłady 3. Populacje i próby danych, estymacja parametrów 4. Testowanie hipotez 5. Testy parametryczne

Bardziej szczegółowo

Zmienne losowe. Rozkład zmiennej losowej

Zmienne losowe. Rozkład zmiennej losowej Zmienne losowe Rozkład zmiennej losowej Zmienna losowa to funkcja, która przyjmuje różne wartości liczbowe wyznaczone przez los (przypadek). Zmienne losowe oznaczamy symbolem: X :! R Zmienna losowa X,

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA I DOŚWIADCZALNICTWO

STATYSTYKA I DOŚWIADCZALNICTWO STATYSTYKA I DOŚWIADCZALNICTWO dla studiów magisterskich kierunku ogrodnictwo Wykład 1 Dariusz Gozdowski Katedra Doświadczalnictwa i Bioinformatyki Wydział Rolnictwa i Biologii SGGW Słowo statystyka pochodzi

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA MATEMATYCZNA ZESTAW 0 (POWT. RACH. PRAWDOPODOBIEŃSTWA) ZADANIA

STATYSTYKA MATEMATYCZNA ZESTAW 0 (POWT. RACH. PRAWDOPODOBIEŃSTWA) ZADANIA STATYSTYKA MATEMATYCZNA ZESTAW 0 (POWT. RACH. PRAWDOPODOBIEŃSTWA) ZADANIA Zadanie 0.1 Zmienna losowa X ma rozkład określony funkcją prawdopodobieństwa: x k 0 4 p k 1/3 1/6 1/ obliczyć EX, D X. (odp. 4/3;

Bardziej szczegółowo

Rozkład normalny. Marcin Zajenkowski. Marcin Zajenkowski () Rozkład normalny 1 / 26

Rozkład normalny. Marcin Zajenkowski. Marcin Zajenkowski () Rozkład normalny 1 / 26 Rozkład normalny Marcin Zajenkowski Marcin Zajenkowski () Rozkład normalny 1 / 26 Rozkład normalny Krzywa normalna, krzywa Gaussa, rozkład normalny Rozkłady liczebności wielu pomiarów fizycznych, biologicznych

Bardziej szczegółowo

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka - W 9 Testy statystyczne testy zgodności. Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok407

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka - W 9 Testy statystyczne testy zgodności. Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok407 Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka - W 9 Testy statystyczne testy zgodności Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok407 adan@agh.edu.pl Weryfikacja hipotez dotyczących postaci nieznanego rozkładu -Testy zgodności.

Bardziej szczegółowo

WYKŁAD 5 TEORIA ESTYMACJI II

WYKŁAD 5 TEORIA ESTYMACJI II WYKŁAD 5 TEORIA ESTYMACJI II Teoria estymacji (wyznaczanie przedziałów ufności, błąd badania statystycznego, poziom ufności, minimalna liczba pomiarów). PRÓBA Próba powinna być reprezentacyjna tj. jak

Bardziej szczegółowo

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii.

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii. Rozkład normalny Rozkład normalny jest niezwykle ważnym rozkładem prawdopodobieństwa w wielu dziedzinach. Nazywa się go także rozkładem Gaussa, w szczególności w fizyce i inżynierii. W zasadzie jest to

Bardziej szczegółowo

Statystyka matematyczna Testowanie hipotez i estymacja parametrów. Wrocław, r

Statystyka matematyczna Testowanie hipotez i estymacja parametrów. Wrocław, r Statystyka matematyczna Testowanie hipotez i estymacja parametrów Wrocław, 18.03.2016r Plan wykładu: 1. Testowanie hipotez 2. Etapy testowania hipotez 3. Błędy 4. Testowanie wielokrotne 5. Estymacja parametrów

Bardziej szczegółowo

Spis treści 3 SPIS TREŚCI

Spis treści 3 SPIS TREŚCI Spis treści 3 SPIS TREŚCI PRZEDMOWA... 1. WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE JAKO DYSCYPLINA MATEMATYCZNA... Metody statystyczne w analizie i prognozowaniu zjawisk ekonomicznych... Badania statystyczne podstawowe

Bardziej szczegółowo

Matematyka 2. dr inż. Rajmund Stasiewicz

Matematyka 2. dr inż. Rajmund Stasiewicz Matematyka 2 dr inż. Rajmund Stasiewicz Skala ocen Punkty Ocena 0 50 2,0 51 60 3,0 61 70 3,5 71 80 4,0 81 90 4,5 91-5,0 Zwolnienie z egzaminu Ocena z egzaminu liczba punktów z ćwiczeń - 5 Warunki zaliczenia

Bardziej szczegółowo

Błędy przy testowaniu hipotez statystycznych. Decyzja H 0 jest prawdziwa H 0 jest faszywa

Błędy przy testowaniu hipotez statystycznych. Decyzja H 0 jest prawdziwa H 0 jest faszywa Weryfikacja hipotez statystycznych Hipotezą statystyczną nazywamy każde przypuszczenie dotyczące nieznanego rozkładu badanej cechy populacji, o prawdziwości lub fałszywości którego wnioskuje się na podstawie

Bardziej szczegółowo

WIELKA SGH-OWA POWTÓRKA ZE STATYSTYKI ROZKŁAD STATYSTYK Z PRÓBY

WIELKA SGH-OWA POWTÓRKA ZE STATYSTYKI ROZKŁAD STATYSTYK Z PRÓBY WIELKA SGH-OWA POWTÓRKA ZE STATYSTYKI ROZKŁAD STATYSTYK Z PRÓBY Próba losowa prosta To taki dobór elementów z populacji, że każdy element miał takie samo prawdopodobieństwo znalezienia się w próbie Niezależne

Bardziej szczegółowo

ZMIENNE LOSOWE. Zmienna losowa (ZL) X( ) jest funkcją przekształcającą przestrzeń zdarzeń elementarnych w zbiór liczb rzeczywistych R 1 tzn. X: R 1.

ZMIENNE LOSOWE. Zmienna losowa (ZL) X( ) jest funkcją przekształcającą przestrzeń zdarzeń elementarnych w zbiór liczb rzeczywistych R 1 tzn. X: R 1. Opracowała: Joanna Kisielińska ZMIENNE LOSOWE Zmienna losowa (ZL) X( ) jest funkcją przekształcającą przestrzeń zdarzeń elementarnych w zbiór liczb rzeczywistych R tzn. X: R. Realizacją zmiennej losowej

Bardziej szczegółowo

Wnioskowanie statystyczne i weryfikacja hipotez statystycznych

Wnioskowanie statystyczne i weryfikacja hipotez statystycznych Wnioskowanie statystyczne i weryfikacja hipotez statystycznych Wnioskowanie statystyczne Wnioskowanie statystyczne obejmuje następujące czynności: Sformułowanie hipotezy zerowej i hipotezy alternatywnej.

Bardziej szczegółowo

WIELKA SGH-OWA POWTÓRKA ZE STATYSTYKI. Zmienna losowa i jej rozkład

WIELKA SGH-OWA POWTÓRKA ZE STATYSTYKI. Zmienna losowa i jej rozkład WIELKA SGH-OWA POWTÓRKA ZE STATYSTYKI Zmienna losowa i jej rozkład ZMIENNA LOSOWA Funkcja X przyporządkowująca każdemu zdarzeniu elementarnemu jedną i tylko jedną liczbę x. zmienna losowa skokowa skończona

Bardziej szczegółowo

Elektrotechnika II [ Laboratorium Grupa 1 ] 2016/2017 Zimowy. [ Laboratorium Grupa 2 ] 2016/2017 Zimowy

Elektrotechnika II [ Laboratorium Grupa 1 ] 2016/2017 Zimowy. [ Laboratorium Grupa 2 ] 2016/2017 Zimowy Elektrotechnika II [ Laboratorium Grupa ] 206/207 Zimowy Lp Numer indeksu Pkt Kol Suma Popr Ocena Data Uwagi 97574 6 7 Db + 2 9758 ++0,9 5 7,9 Db + 3 99555 0,9+0,9 2,8 Dst + 4 97595 0,8++ 0 2,8 Dst + 5

Bardziej szczegółowo

= = a na podstawie zadania 6 po p. 3.6 wiemy, że. b 1. a 2 ab b 2

= = a na podstawie zadania 6 po p. 3.6 wiemy, że. b 1. a 2 ab b 2 64 III. Zienne losowe jednowyiarowe D Ponieważ D (A) < D (B), więc należy wybrać partię A. Przykład 3.4. Obliczyć wariancję rozkładu jednostajnego. Ponieważ a na podstawie zadania 6 po p. 3.6 wiey, że

Bardziej szczegółowo

Weryfikacja hipotez statystycznych, parametryczne testy istotności w populacji

Weryfikacja hipotez statystycznych, parametryczne testy istotności w populacji Weryfikacja hipotez statystycznych, parametryczne testy istotności w populacji Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Inteligencji i Metod Matematycznych Wydział Informatyki Politechniki

Bardziej szczegółowo

LABORATORIUM 8 WERYFIKACJA HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH PARAMETRYCZNE TESTY ISTOTNOŚCI

LABORATORIUM 8 WERYFIKACJA HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH PARAMETRYCZNE TESTY ISTOTNOŚCI LABORATORIUM 8 WERYFIKACJA HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH PARAMETRYCZNE TESTY ISTOTNOŚCI WERYFIKACJA HIPOTEZ Hipoteza statystyczna jakiekolwiek przypuszczenie dotyczące populacji generalnej- jej poszczególnych

Bardziej szczegółowo

Ważne rozkłady i twierdzenia c.d.

Ważne rozkłady i twierdzenia c.d. Ważne rozkłady i twierdzenia c.d. Funkcja charakterystyczna rozkładu Wielowymiarowy rozkład normalny Elipsa kowariacji Sploty rozkładów Rozkłady jednostajne Sploty z rozkładem normalnym Pobieranie próby

Bardziej szczegółowo

Wydział Matematyki. Testy zgodności. Wykład 03

Wydział Matematyki. Testy zgodności. Wykład 03 Wydział Matematyki Testy zgodności Wykład 03 Testy zgodności W testach zgodności badamy postać rozkładu teoretycznego zmiennej losowej skokowej lub ciągłej. Weryfikują one stawiane przez badaczy hipotezy

Bardziej szczegółowo

Zadania o numerze 4 z zestawów licencjat 2014.

Zadania o numerze 4 z zestawów licencjat 2014. Zadania o numerze 4 z zestawów licencjat 2014. W nawiasie przy zadaniu jego występowanie w numerze zestawu Spis treści (Z1, Z22, Z43) Definicja granicy ciągu. Obliczyć granicę:... 3 Definicja granicy ciągu...

Bardziej szczegółowo

Testowanie hipotez statystycznych.

Testowanie hipotez statystycznych. Bioinformatyka Wykład 9 Wrocław, 5 grudnia 2011 Temat. Test zgodności χ 2 Pearsona. Statystyka χ 2 Pearsona Rozpatrzmy ciąg niezależnych zmiennych losowych X 1,..., X n o jednakowym dyskretnym rozkładzie

Bardziej szczegółowo

Elementy statystyki opisowej, podstawowe pojęcia statystyki matematycznej

Elementy statystyki opisowej, podstawowe pojęcia statystyki matematycznej Elementy statystyki opisowej, podstawowe pojęcia statystyki matematycznej Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Inteligencji i Metod Matematycznych Wydział Informatyki Politechniki

Bardziej szczegółowo

zadania z rachunku prawdopodobieństwa zapożyczone z egzaminów aktuarialnych

zadania z rachunku prawdopodobieństwa zapożyczone z egzaminów aktuarialnych zadania z rachunku prawdopodobieństwa zapożyczone z egzaminów aktuarialnych 1. [E.A 5.10.1996/zad.4] Funkcja gęstości dana jest wzorem { 3 x + 2xy + 1 y dla (x y) (0 1) (0 1) 4 4 P (X > 1 2 Y > 1 2 ) wynosi:

Bardziej szczegółowo

Statystyczna analiza danych

Statystyczna analiza danych Statystyczna analiza danych Marek Ptak 21 października 2013 Marek Ptak Statystyka 21 października 2013 1 / 70 Część I Wstęp Marek Ptak Statystyka 21 października 2013 2 / 70 LITERATURA A. Łomnicki, Wprowadzenie

Bardziej szczegółowo

IV WYKŁAD STATYSTYKA. 26/03/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15

IV WYKŁAD STATYSTYKA. 26/03/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15 IV WYKŁAD STATYSTYKA 26/03/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15 WYKŁAD 4 Populacja generalna, próba, losowanie próby, estymatory Statystyka (populacja generalna, populacja próbna, próbka mała, próbka duża, reprezentatywność,

Bardziej szczegółowo

Testowanie hipotez statystycznych

Testowanie hipotez statystycznych Agenda Instytut Matematyki Politechniki Łódzkiej 2 stycznia 2012 Agenda Agenda 1 Wprowadzenie Agenda 2 Hipoteza oraz błędy I i II rodzaju Hipoteza alternatywna Statystyka testowa Zbiór krytyczny Poziom

Bardziej szczegółowo

Rozkład normalny Parametry rozkładu zmiennej losowej Zmienne losowe wielowymiarowe

Rozkład normalny Parametry rozkładu zmiennej losowej Zmienne losowe wielowymiarowe Statystyka i opracowanie danych W4 Rozkład normalny Parametry rozkładu zmiennej losowej Zmienne losowe wielowymiarowe Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok407 adan@agh.edu.pl Rozkład normalny wykres funkcji gęstości

Bardziej szczegółowo

Testowanie hipotez. Hipoteza prosta zawiera jeden element, np. H 0 : θ = 2, hipoteza złożona zawiera więcej niż jeden element, np. H 0 : θ > 4.

Testowanie hipotez. Hipoteza prosta zawiera jeden element, np. H 0 : θ = 2, hipoteza złożona zawiera więcej niż jeden element, np. H 0 : θ > 4. Testowanie hipotez Niech X = (X 1... X n ) będzie próbą losową na przestrzeni X zaś P = {P θ θ Θ} rodziną rozkładów prawdopodobieństwa określonych na przestrzeni próby X. Definicja 1. Hipotezą zerową Θ

Bardziej szczegółowo

W ykład 4: Z m ienna losow a. Ciągła zmienna losowa. Zmienna losowa dyskretna. Dystrybuanta zmiennej X:

W ykład 4: Z m ienna losow a. Ciągła zmienna losowa. Zmienna losowa dyskretna. Dystrybuanta zmiennej X: W ykład 4: Z m ienna losow a Wartość zależna od wyniku eksperymentu. Przykład: Liczba orłów uzyskanych w jednym rzucie monetą. Zmienna losowa dyskretna Zbiór wartości, które może przyjąć zmienna losowa

Bardziej szczegółowo

WIELKA SGH-OWA POWTÓRKA ZE STATYSTYKI. Test zgodności i analiza wariancji Analiza wariancji

WIELKA SGH-OWA POWTÓRKA ZE STATYSTYKI. Test zgodności i analiza wariancji Analiza wariancji WIELKA SGH-OWA POWTÓRKA ZE STATYSTYKI Test zgodności i analiza wariancji Analiza wariancji Test zgodności Chi-kwadrat Sprawdza się za jego pomocą ZGODNOŚĆ ROZKŁADU EMPIRYCZNEGO Z PRÓBY Z ROZKŁADEM HIPOTETYCZNYM

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo i statystyka

Prawdopodobieństwo i statystyka Wykład XI: Testowanie hipotez statystycznych 12 stycznia 2015 Przykład Motywacja X 1, X 2,..., X N N (µ, σ 2 ), Y 1, Y 2,..., Y M N (ν, δ 2 ). Chcemy sprawdzić, czy µ = ν i σ 2 = δ 2, czyli że w obu populacjach

Bardziej szczegółowo

ANALIZA STATYSTYCZNA WYNIKÓW BADAŃ

ANALIZA STATYSTYCZNA WYNIKÓW BADAŃ ANALIZA STATYSTYCZNA WYNIKÓW BADAŃ Dopasowanie rozkładów Dopasowanie rozkładów- ogólny cel Porównanie średnich dwóch zmiennych 2 zmienne posiadają rozkład normalny -> test parametryczny (t- studenta) 2

Bardziej szczegółowo

VII WYKŁAD STATYSTYKA. 30/04/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15

VII WYKŁAD STATYSTYKA. 30/04/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15 VII WYKŁAD STATYSTYKA 30/04/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15 WYKŁAD 7 (c.d) WERYFIKACJA HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH PARAMETRYCZNE TESTY ISTOTNOŚCI Weryfikacja hipotez ( błędy I i II rodzaju, poziom istotności,

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA

STATYSTYKA Wykład 1 20.02.2008r. 1. ROZKŁADY PRAWDOPODOBIEŃSTWA 1.1 Rozkład dwumianowy Rozkład dwumianowy, 0 1 Uwaga: 1, rozkład zero jedynkowy. 1 ; 1,2,, Fakt: Niech,, będą niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowym

Bardziej szczegółowo

Wykład 1. Podstawowe pojęcia Metody opisowe w analizie rozkładu cechy

Wykład 1. Podstawowe pojęcia Metody opisowe w analizie rozkładu cechy Wykład Podstawowe pojęcia Metody opisowe w analizie rozkładu cechy Zbiorowość statystyczna - zbiór elementów lub wyników jakiegoś procesu powiązanych ze sobą logicznie (tzn. posiadających wspólne cechy

Bardziej szczegółowo

Wykład 10 (12.05.08). Testowanie hipotez w rodzinie rozkładów normalnych przypadek nieznanego odchylenia standardowego

Wykład 10 (12.05.08). Testowanie hipotez w rodzinie rozkładów normalnych przypadek nieznanego odchylenia standardowego Wykład 10 (12.05.08). Testowanie hipotez w rodzinie rozkładów normalnych przypadek nieznanego odchylenia standardowego Przykład Cena metra kwadratowego (w tys. zł) z dla 14 losowo wybranych mieszkań w

Bardziej szczegółowo

VI WYKŁAD STATYSTYKA. 9/04/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15

VI WYKŁAD STATYSTYKA. 9/04/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15 VI WYKŁAD STATYSTYKA 9/04/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15 WYKŁAD 6 WERYFIKACJA HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH PARAMETRYCZNE TESTY ISTOTNOŚCI Weryfikacja hipotez ( błędy I i II rodzaju, poziom istotności, zasady

Bardziej szczegółowo

Zmienne losowe dyskretne i Zmienne losowe ciągłe Rozkład Normalny

Zmienne losowe dyskretne i Zmienne losowe ciągłe Rozkład Normalny Zmienne losowe dyskretne i Zmienne losowe ciągłe Rozkład Normalny 1. Wyprodukowanie określonej liczby wyrobów przez jednego pracownika w ciągu godziny jest zmienną losową o następującym rozkładzie prawdopodobieństwa:

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA I DOŚWIADCZALNICTWO Wykład 1 i 2

STATYSTYKA I DOŚWIADCZALNICTWO Wykład 1 i 2 STATYSTYKA I DOŚWIADCZALNICTWO Wykład 1 i 2 Dariusz Gozdowski Katedra Doświadczalnictwa i Bioinformatyki Wydział Rolnictwa i Biologii SGGW Słowo statystyka pochodzi od łacińskiego słowa status, które oznacza

Bardziej szczegółowo

Oznacza to, że chcemy znaleźć minimum, a właściwie wartość najmniejszą funkcji

Oznacza to, że chcemy znaleźć minimum, a właściwie wartość najmniejszą funkcji Wykład 11. Metoda najmniejszych kwadratów Szukamy zależności Dane są wyniki pomiarów dwóch wielkości x i y: (x 1, y 1 ), (x 2, y 2 ),..., (x n, y n ). Przypuśćmy, że nanieśliśmy je na wykres w układzie

Bardziej szczegółowo

Zmienne losowe typu ciągłego. Parametry zmiennych losowych. Izolda Gorgol wyciąg z prezentacji (wykład III)

Zmienne losowe typu ciągłego. Parametry zmiennych losowych. Izolda Gorgol wyciąg z prezentacji (wykład III) Zmienne losowe tpu ciągłego. Parametr zmiennch losowch. Izolda Gorgol wciąg z prezentacji (wkład III) Zmienna losowa tpu ciągłego Zmienna losowa X o ciągłej dstrbuancie F nazwa się zmienną losową tpu ciągłego,

Bardziej szczegółowo

Statystyka od podstaw Janina Jóźwiak, Jarosław Podgórski

Statystyka od podstaw Janina Jóźwiak, Jarosław Podgórski Statystyka od podstaw Janina Jóźwiak, Jarosław Podgórski Książka jest nowoczesnym podręcznikiem przeznaczonym dla studentów uczelni i wydziałów ekonomicznych. Wykład podzielono na cztery części. W pierwszej

Bardziej szczegółowo

Zmienne losowe, statystyki próbkowe. Wrocław, 2 marca 2015

Zmienne losowe, statystyki próbkowe. Wrocław, 2 marca 2015 Zmienne losowe, statystyki próbkowe Wrocław, 2 marca 2015 Zasady zaliczenia 2 kolokwia (każde po 20 punktów) projekt (20 punktów) aktywność Zasady zaliczenia 2 kolokwia (każde po 20 punktów) projekt (20

Bardziej szczegółowo

Zmienne losowe skokowe

Zmienne losowe skokowe Zmienne losowe skokowe 1.1 Rozkład prawdopodobieństwa i dystrybuanta Zad.1 Niech zmienna losowa X przyjmuje wartości równe liczbie wyrzuconych oczek przy pojedynczym rzucie kostką do gry, czyli =1,2,3,,6.

Bardziej szczegółowo

Statystyka i opracowanie danych- W 8 Wnioskowanie statystyczne. Testy statystyczne. Weryfikacja hipotez statystycznych.

Statystyka i opracowanie danych- W 8 Wnioskowanie statystyczne. Testy statystyczne. Weryfikacja hipotez statystycznych. Statystyka i opracowanie danych- W 8 Wnioskowanie statystyczne. Testy statystyczne. Weryfikacja hipotez statystycznych. Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok407 adan@agh.edu.pl Hipotezy i Testy statystyczne Każde

Bardziej szczegółowo

Statystyka Opisowa z Demografią oraz Biostatystyka. Zmienne losowe. Aleksander Denisiuk. denisjuk@euh-e.edu.pl

Statystyka Opisowa z Demografią oraz Biostatystyka. Zmienne losowe. Aleksander Denisiuk. denisjuk@euh-e.edu.pl Statystyka Opisowa z Demografią oraz Biostatystyka Zmienne losowe Aleksander Denisiuk denisjuk@euh-e.edu.pl Elblaska Uczelnia Humanistyczno-Ekonomiczna ul. Lotnicza 2 82-300 Elblag oraz Biostatystyka p.

Bardziej szczegółowo

Pobieranie prób i rozkład z próby

Pobieranie prób i rozkład z próby Pobieranie prób i rozkład z próby Marcin Zajenkowski Marcin Zajenkowski () Pobieranie prób i rozkład z próby 1 / 15 Populacja i próba Populacja dowolnie określony zespół przedmiotów, obserwacji, osób itp.

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA. Rafał Kucharski. Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach 2015/16 ROND, Finanse i Rachunkowość, rok 2

STATYSTYKA. Rafał Kucharski. Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach 2015/16 ROND, Finanse i Rachunkowość, rok 2 STATYSTYKA Rafał Kucharski Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach 2015/16 ROND, Finanse i Rachunkowość, rok 2 Karl Popper... no matter how many instances of white swans we may have observed, this does not

Bardziej szczegółowo

Weryfikacja hipotez statystycznych

Weryfikacja hipotez statystycznych Weryfikacja hipotez statystycznych Przykład (wstępny). Producent twierdzi, że wadliwość produkcji wynosi 5%. My podejrzewamy, że rzeczywista wadliwość produkcji wynosi 15%. Pobieramy próbę stuelementową

Bardziej szczegółowo

-> Średnia arytmetyczna (5) (4) ->Kwartyl dolny, mediana, kwartyl górny, moda - analogicznie jak

-> Średnia arytmetyczna (5) (4) ->Kwartyl dolny, mediana, kwartyl górny, moda - analogicznie jak Wzory dla szeregu szczegółowego: Wzory dla szeregu rozdzielczego punktowego: ->Średnia arytmetyczna ważona -> Średnia arytmetyczna (5) ->Średnia harmoniczna (1) ->Średnia harmoniczna (6) (2) ->Średnia

Bardziej szczegółowo

Testowanie hipotez dla frakcji. Wrocław, 29 marca 2017

Testowanie hipotez dla frakcji. Wrocław, 29 marca 2017 Testowanie hipotez dla frakcji Wrocław, 29 marca 2017 Powtórzenie z rachunku prawdopodobieństwa Centralne Twierdzenie Graniczne Niech X = (X 1, X 2,..., X n ) oznacza próbę z rozkładu o średniej µ i skończonej

Bardziej szczegółowo

Rozdział 1. Wektory losowe. 1.1 Wektor losowy i jego rozkład

Rozdział 1. Wektory losowe. 1.1 Wektor losowy i jego rozkład Rozdział 1 Wektory losowe 1.1 Wektor losowy i jego rozkład Definicja 1 Wektor X = (X 1,..., X n ), którego każda współrzędna jest zmienną losową, nazywamy n-wymiarowym wektorem losowym (krótko wektorem

Bardziej szczegółowo

Wykład 3 Hipotezy statystyczne

Wykład 3 Hipotezy statystyczne Wykład 3 Hipotezy statystyczne Hipotezą statystyczną nazywamy każde przypuszczenie dotyczące nieznanego rozkładu obserwowanej zmiennej losowej (cechy populacji generalnej) Hipoteza zerowa (H 0 ) jest hipoteza

Bardziej szczegółowo

KURS PRAWDOPODOBIEŃSTWO

KURS PRAWDOPODOBIEŃSTWO KURS PRAWDOPODOBIEŃSTWO Lekcja 6 Ciągłe zmienne losowe ZADANIE DOMOWE www.etrapez.pl Strona 1 Część 1: TEST Zaznacz poprawną odpowiedź (tylko jedna jest prawdziwa). Pytanie 1 Zmienna losowa ciągła jest

Bardziej szczegółowo

METODY ESTYMACJI PUNKTOWEJ. nieznanym parametrem (lub wektorem parametrów). Przez X będziemy też oznaczać zmienną losową o rozkładzie

METODY ESTYMACJI PUNKTOWEJ. nieznanym parametrem (lub wektorem parametrów). Przez X będziemy też oznaczać zmienną losową o rozkładzie METODY ESTYMACJI PUNKTOWEJ X 1,..., X n - próbka z rozkładu P θ, θ Θ, θ jest nieznanym parametrem (lub wektorem parametrów). Przez X będziemy też oznaczać zmienną losową o rozkładzie P θ. Definicja. Estymatorem

Bardziej szczegółowo

Weryfikacja hipotez statystycznych za pomocą testów statystycznych

Weryfikacja hipotez statystycznych za pomocą testów statystycznych Weryfikacja hipotez statystycznych za pomocą testów statystycznych Weryfikacja hipotez statystycznych za pomocą testów stat. Hipoteza statystyczna Dowolne przypuszczenie co do rozkładu populacji generalnej

Bardziej szczegółowo

Statystyka matematyczna i ekonometria

Statystyka matematyczna i ekonometria Statystyka matematyczna i ekonometria prof. dr hab. inż. Jacek Mercik B4 pok. 55 jacek.mercik@pwr.wroc.pl (tylko z konta studenckiego z serwera PWr) Konsultacje, kontakt itp. Strona WWW Elementy wykładu.

Bardziej szczegółowo

Zmienna losowa i jej rozkład Dystrybuanta zmiennej losowej Wartość oczekiwana zmiennej losowej

Zmienna losowa i jej rozkład Dystrybuanta zmiennej losowej Wartość oczekiwana zmiennej losowej Zmienna losowa i jej rozkład Dystrybuanta zmiennej losowej Wartość oczekiwana zmiennej losowej c Copyright by Ireneusz Krech ikrech@ap.krakow.pl Instytut Matematyki Uniwersytet Pedagogiczny im. KEN w Krakowie

Bardziej szczegółowo