Zmienne losowe. Rozkład prawdopodobieństwa i dystrybuanta. Wartość oczekiwana i wariancja zmiennej losowej

Transkrypt

1 Statystyka i opracowanie danych Probabilistyczne modele danych Zmienne losowe. Rozkład prawdopodobieństwa i dystrybuanta. Wartość oczekiwana i wariancja zmiennej losowej Dr Anna ADRIAN

2 Zmienne losowe Zmienna losowa jest to funkcja rzeczywista X, określona na zbiorze zdarzeń elementarnych Ω X: Ω W Zmienne losowe zwykle oznacza się dużymi literami z końca alfabetu : X, Y, Z. Wartości zmiennych losowych zwykle oznacza się małymi literami z końca alfabetu:,y,z.

3 Rodzaje zmiennych losowych Ze względu na zbiór wartości badanej cechy (zastosowaną skalę pomiarową rozróżnia się dwa podstawowe typy zmiennych losowych: jakościowe zbiory wartości lingwistycznych opisujących np kolor, wielkość, dzień tygodnia... ilościowe zbiory liczbowe, zawierające wartości cech mierzalnych... Zmienne losowe ilościowe mogą przyjmować wartości: dyskretne (skokowe ze zbioru skończonego (np. ocena lub dowolnego podzbioru liczb całkowitych, np liczba sztuk wadliwych, ciągłe z przedziału liczb rzeczywistych, np. czas działania urządzenia, temperatura, ciężar...

4 Definiowanie zmiennej losowej Z partii wyrobów zawierającej wyroby dobre i wyroby wadliwe losuję jeden wyrób, wtedy Ω {ω d, ω w } gdzie ω d - oznacza wylosowanie wyrobu dobrego ω w - oznacza wylosowanie wyrobu wadliwego Określam zmienną losową X w następujący sposób: X(ω d 1 X(ω w Definiowanie zmiennej losowej polega na przypisaniu poszczególnym zdarzeniom elementarnym konkretnych wartości (liczbowych

5 Rozkład prawdopodobieństwa dyskretnej zmiennej losowej Rozkład prawdopodobieństwa dyskretnej zmiennej losowej X jest zbiorem par { i, p( i }, gdzie i jest wartością zmiennej X dla zdarzenia ω i, X(ω i i ; p- prawdopodobieństwem wystąpienia wartości. Twierdzenie Założenie: Jeśli 1, 2, 3.. oznaczają wszystkie różne wartości dyskretnej zmiennej losowej, to Teza i 1 p ( i 1

6 Dystrybuanta zmiennej losowej Dystrybuantą, F X (, zmiennej losowej X jest funkcja F określona na zbiorze liczb rzeczywistych, jako prawdopodobieństwo zdarzenia, polegającego na tym, że zmienna ta przyjmie wartości mniejsze od. F X ( P(X< Dystrybuanta jest funkcją: określoną na zbierze liczb rzeczywistych; o wartościach z przedziału [-1]; niemalejącą prawostronnie ciągłą Dystrybuantę zmiennej losowej X oznaczamy zwykle jako F X F X ( P X ((-, P(X< P([a,b] P(a X< b F X (b - F X (a

7 Zastosowanie teorii w praktyce wyznaczanie rozkładu zmiennej losowej Z partii wyrobów losujemy 3 sztuki. Na rysunku pokazano przestrzeń możliwych zdarzeń sposób określania zmiennej losowej ZmiennaLiczba sztuk wadliwych www 3 dww wdw 2 ddw wwd 1 dwd wdd ddd Przestrzeń zdarzeń

8 Rozkład i dystrybuanta zmiennej losowej p 1 P( X1/8, p 2 P( X13/8,... Rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej X i i p i 1/8 3/8 3/8 1/8 F( 1/8 1/2 7/8 Dystrybuanta F X ( P X ((-, P(X< F X (1 P X ((-,1 P(X<1 P(X 1/8 F X (2 P X ((-,2 P(X<2 1/8+3/8 4/8 F X (3 P X ((-,3 P(X<3 1/8+3/8 +3/8 7/8 F X (4 P X ((-,4 P(X<4 1

9 Wykresy rozkładu prawdopodobieństwa i dystrybuanty zmiennej losowej dyskretnej (skokowej Wykres dystrybuanty 1,2 1 P r a w d o p o d o b ień s t w o,8,6,4, Wartości zmiennej X

10 Parametry rozkładu zmiennej losowej - Wartość oczekiwana Wartość oczekiwaną [nadzieję matematyczną / wartość przeciętną], zmiennej losowej X oznacza się E(X i określa w następujący sposób Dla zmiennej losowej dyskretnej E Dla zmiennej losowej ciągłej ( X n i i p i E ( X f ( + d

11 Twierdzenia o wartości oczekiwanej Założenia : X, Y są zmiennymi losowymi α jest liczbą rzeczywistą, c oznacza stałą wartość Tezy: 1. E (c c 2. E (α X α E (X 3. E (X +Y E (X + E (Y

12 Parametry rozkładu zmiennej losowej Wariancja D 2 (X i odchylenie standardowe D(X Wariancją zmiennej losowej X nazywamy wyrażenie D 2 { X E ( } 2 ( X E X Wariancja jest /parametrem/charakterystyką określającą stopień rozrzutu (rozproszenia, zróżnicowania, dyspersji. Ze względu na łatwość interpretacji geometrycznej, za miarę rozrzutu przyjmuje się pierwiastek kwadratowy z wariancji, czyli Odchylenie standardowe: D ( X D 2 ( X Stosunek odchylenia standardowego do wartości oczekiwanej nazywamy współczynnikiem zmienności : VD(X/E(X

13 Parametry rozkładu zmiennej losowej Wariancja D 2 (X miara rozproszenia Wariancja zmiennej losowej skokowej D 2 ( X { E ( X } 2 p i i Wariancja zmiennej losowej ciągłej 2 + { } D ( X E( X f ( d 2

14 Twierdzenia o wariancji Założenia: X, Y : zmienne losowe, a: liczba; Tezy: D 2 (XE (X 2 (E(X 2 D 2 (const D 2 (a*x a 2 *D 2 (X D 2 (ax +b a 2 *D 2 (X D 2 (X +Y D 2 (X + D 2 (Y

15 Funkcje zmiennej losowej X jest zmienną losową i Y g(x to Y jest zmienną losową, Rozkład zmiennej Y wyznaczymy znając rozkład zmiennej X Przykład dla zmiennej dyskretnej Y2X+1 (1 Zmienna X ma rozkład dwupunktowy P(X,25 i P(X1,75 Wyznaczmy rozkład zmiennej Y Z (1 obliczymy Y gdy X to Y1 oraz gdy X1 to Y3 Zatem: P(X P(Y1,25 P(X1 P(Y3,75

16 Funkcje zmiennej losowej - Momenty W szczególnym przypadku, gdy g( X k, gdzie k Ν. liczbę m k E(X k nazywamy momentem rzędu k zmiennej losowej X. Mówimy, że jest to moment zwykły. Wartość oczekiwana jest momentem zwykłym rzędu pierwszego m 1 E(X

17 Moment rzędu k względem punktu d µ k E((X - d k gdzie: k - nazywamy rzędem momentu, d - punktem odniesienia, Jeżeli d mamy momenty bezwzględne de(x mamy momenty centralne Przypadki szczególne : jeżeli d ; k1 Wartość oczekiwana: jeżeli d E (X; k2 Wariancja: Dla rozkładów symetrycznych momenty centralne rzędu nieparzystego są równe zero.

18 Przykład jak prosto obliczyć wartość oczekiwaną i wariancję i Σ p i,125,375,375,125 i *p i,375,75,375 1,5 i2 *p i,375 1,5 1,125 3 E(X 1,5 D 2 (XE (X 2 (E(X 2 3 (1,5 2,75

19 Wybrane rozkłady zmiennej skokowej rozkład binarny dwupunktowy Jeżeli w przedstawionym przykładzie, dotyczącym kontroli jakości wyrobów, 9% wyrobów było dobrych, natomiast 1% stanowiły wybraki, to możemy mówić o prawdopodobieństwie zdarzeń: P({ω : X(ω},1 P({ω : X(ω1},9 (jest to tzw. dwupunktowy rozkład prawdopodobieństwa Tablicowy zapis rozkładu p rawdop odobieństwa zmiennej losowej X i 1 p i,1,9 Rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej X jest zbiorem par {, p}, gdzie jest wartością zmiennej X, p- prawdopodobieństwem wystąpienia wartości.

20 Wybrane rozkłady zmiennej skokowej Schemat Bernouliego Mam rozkład dwupunktowy. Zmienna losowa może przyjąć tylko jedną z dwóch wartości { 1, 2 }, jeśli przyjmie wartość 1 mówimy o sukcesie, jeśli 2 nazwiemy to porażką, p jest prawdopodobieństwem sukcesu P(X 1 p gdzie <p<1 P(X 2 1- p Schemat Bernoulliego: w niezmienionych warunkach wykonujemy n razy to samo doświadczenie, w wyniku każdego doświadczenia może wystąpić jedno z dwóch zdarzeń A lub  (nie A Zakładamy, że dla każdego z n doświadczeń P(Ap, P(Â1 p q oraz <p<1

21 Rozkład Bernoulliego - dwumianowy Prawdopodobieństwo odniesienia k sukcesów w n doświadczeniach, P n (Xk P({ω: X(ωk}Σ P({ω i1,..., ω in } gdy p-oznacza prawdopodobieństwo sukcesu w pojedynczym doświadczeniu, wtedy P n (Xk obliczamy z wzoru Bernouliego P n ( X k Wartość oczekiwana w rozkładzie Bernouliego E (X n*p Wariancja w rozkładzie Bernouliego D 2 (X n*p*q n k p k q n k

22 Zadanie Student na egzaminie losuje 4 pytania, aby zdać egzamin należy odpowiedzieć poprawnie na co najmniej dwa pytania. Proszę: 1. Zdefiniować zmienną losową 2. Określić rozkład prawdopodobieństwa tej zmiennej w trzech różnych przypadkach, tzn gdy, wiadomo, że student opanował a. 25% materiału, b. 5% c. 75% materiału 3. Wykonać wykresy tych rozkładów i dystrybuanty dla a, b, c 4. Wskazać najbardziej prawdopodobną liczbę poprawnych odpowiedzi, w każdym z podanych przypadków a, b, c. 5. Obliczyć oczekiwaną liczbę odpowiedzi poprawnych

23 Zastosowania rozkładu Bernoulliego Robotnik obsługuje cztery jednakowe automaty funkcjonujące niezależnie od siebie. Prawdopodobieństwo, że w ciągu godziny automat będzie wymagał interwencji wynosi,9. Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że w ciągu godziny: Żaden automat nie będzie wymagał interwencji Co najmniej jeden będzie wymagał interwencji Znaleźć najbardziej prawdopodobną liczbę automatów wymagających interwencji ( w ciągu godziny

24 Rozkład Poissona i jego związek z rozkładem Bernouliego Jeśli zmienna losowa X n ma rozkład Bernoulliego i prawdopodobieństwo sukcesu pp(n maleje do zera w ten sposób, że poczynając od pewnego n dla każdego n > n spełniony jest związek n*p λ, ( gdzie λ> jest wielkością stałą to p ( k lim n P ( X gdzie k,1,2,... oraz n k λ n*p e λ λ k! k Wartość oczekiwana w rozkładzie Poissona E (X n*p λ Wariancja w rozkładzie Poissona D2(X n*p*q λ

25 Przykład zastosowania rozkładu Poissona W skład złożonej aparatury wchodzi między innymi n1 elementów określonego rodzaju. Prawdopodobieństwo uszkodzenia wciągu roku każdego z tych n elementów p,1 i nie zależy od stanu pozostałych elementów. Obliczyć prawdopodobieństwo uszkodzenia w ciągu roku: a. dokładnie dwóch elementów b. co najmniej dwóch elementów c. oczekiwaną liczbę uszkodzonych elementów d. wariancję dla liczby elementów uszkodzonych w ciągu roku

26 Rozwiązanie λ n*p 1 *,11 ap(x2,5* e -1,184 bp(x 2 1- P(X<2 1- [P(X +P(X1] 1-(e -1 + e -1,264 c E(X n*p λ 1 dd 2 (X λ 1

27 Zadanie praca indywidualna W zawodach strzeleckich bierze udział 12 zawodników. Każdy oddaje 7 strzałów do wyznaczonego celu Niech zmienna losowa X oznacza liczbę trafionych strzałów, wyznaczyć Rozkład zmiennej X Wykonać wykres tego rozkładu Wskazać najbardziej prawdopodobną liczbę trafionych Obliczyć oczekiwaną liczbę strzałów trafionych Jakie jest prawdopodobieństwo przejścia do następnego etapu jeśli warunkiem jest uzyskanie co najmniej 5 trafionych

28 Rozkład zmiennej losowej ciągłej Uwagi o zmiennej losowej ciągłej: Liczba wszystkich możliwych i wzajemnie wykluczających się zdarzeń elementarnych jest nieskończona Dystrybuanta dla dowolnej zmiennej losowej F( P (X<, Zmienna losowa o dystrybuancie F jest typu ciągłego, jeśli istnieje funkcja f, spełniająca równość F ( f ( d (1 Funkcję f nazywa się gęstością prawdopodobieństwa zmiennej losowej ciągłej

29 Związek dystrybuanty i gęstości zmiennej losowej ciągłej Dla dowolnej funkcji f, będącej gęstością prawdopodobieństwa zachodzi zależność F ( f ( d 1 Dla zmiennej losowej ciągłej zachodzi równość P(a X b F(b F (a Stąd wynika, że: P (X a ponieważ P (X a P (a X a F (a - F (a

30 Funkcja gęstości prawdopodobieństwa Funkcja gęstości prawdopodobieństwa odgrywa najważniejszą rolę w definiowaniu rozkładów prawdopodobieństwa zmiennych losowych typu ciągłego. Definicja Funkcją gęstości prawdopodobieństwa zmiennej losowej typu ciągłego nazywamy funkcję f (, określoną na zbiorze liczb rzeczywistych, taką że: f( ( przyjmuje wartości nieujemne oraz oraz dla dowolnych a < b zachodzi b f ( d P ( a < X < b a F ( f ( d 1

31 Interpretacja graficzna związku funkcji gęstości z prawdopodobieństwem f( a b b f ( d P( a < X < b a

32 Własności funkcji gęstości prawdopodobieństwa Funkcja gęstości jest nieujemna; f. W punktach, w których f jest ciągła zachodzi równość: f( F (; funkcja gęstości jest pochodną dystrybuanty. Każda funkcja f, będąca gęstością prawdopodobieństwa, wyznacza jednoznacznie pewną dystrybuantę, a tym samym rozkład prawdopodobieństwa pewnej zmiennej. Z faktu, że prawdopodobieństwo zdarzenia jest równe zeru, nie wynika, że zdarzenie to jest niemożliwe, bo P( X lim P( X < + lim + f ( d f ( d

33 Przykład czy dana funkcja może być funkcją gęstości Sprawdzić czy dana funkcja f, f ( e dla dla < 1. jest gęstością prawdopodobieństwa 2. znaleźć dystrybuantę F( 3. obliczyć P (X<,5 P (1<X<2 4. przedstawić graficzną interpretację wyników obliczeń

34 Rozwiązanie Czy f jest gęstością prawdopodobieństwa: 1. Funkcja f jest nieujemna 2. f ( d d + e d e 1 Dystrybuanta F ( 1 e dla dla > P(X<,5 F(,5 1- e -,5 P(1<X<2 F(2 F(1 (1- e -2 ( 1- e -1 e -1 + e -2

35 Zadanie do domu Wyznaczyć stałą A taką, aby funkcja f była gęstością prawdopodobieństwa zmiennej losowej X. Obliczyć P(X>1 Zinterpretować otrzymane wyniki na wykresie gęstości i dystrybuanty f ( 3 Ae dla dla <

36 Funkcje zmienne losowej Niech zmienna losowa Y będzie funkcją pewnej zmiennej X, tzn Y( ω g(x(ω Znając rozkład zmiennej X możemy wyznaczyć rozkład zmiennej Y Zadanie : Znaleźć rozkład zmiennej losowej Y (dystrybuantę i gęstość, gdy : Y ax+b, gdzie a X jest zmienną losową typu ciągłego z gęstością f X i dystrybuantą F X Rozważmy dwa przypadki : a> i a<

37 Funkcje zmienne losowej dla a> F Y (y P(Y<y P(aX+b <y P(X<(y-b/a F X ((y-b/a zauważmy, że funkcja F X jest różniczkowalna w punktach ciągłości f X więc f Y d d y b d ( y ( y FY ( y FX ( dy dy a dy y b ( a dla < F Y (y P(Y<y P(aX+b <y P(X >(y-b/a 1- F X ((y-b/a zauważmy, że funkcja F X jest różniczkowalna w punktach ciągłości f X więc f Y d d y b d ( y FY ( y [1 FX ( ] dy dy a dy y b / a f f X ( d ( d 1 a f X 1 a y b ( X X ( b/ a a f gęstość f Y (y możemy napisać przy użyciu jednego f Y ( y 1 a f X ( y b a

38 Wartość przeciętna i wariancja zmiennej losowej ciągłej Obliczyć wartość oczekiwaną i wariancję zmiennej losowej ciągłej, o gęstości prawdopodobieństwa wartość oczekiwana/nadzieja matematyczna [ ] [ ] 1 ( ( 1 _ + e e d e e d e d f X E < ( dla e dla f [ ] 2 2 ( ( ( 2 2 _ d e e e d d e d f X E wariancja/dyspersja: D 2 (X E[X-E(X] 2 E(X 2 -(E(X 2 D 2 (X

39 Mediana, Medianę zmiennej losowej X oznaczaną 1/2 lubm e definiują następujące wzory P( {ω: X(ω m e } 1/2 i P( {ω: X(ω m e } 1/2 Dla zmiennej losowej ciągłej medianę wyznacza się ze wzoru 1 2 Przykład czyli 1- ep(- m e 1/2 m e m e _ e d f ( d 1 2 stąd m e ln2

40 Kwantyle Mediana jest szczególnym przypadkiem ogólniejszego parametru, zwanego Kwantylem. Definicja Kwantylem rzędu p (<p<1 zmiennej losowej X, o dystrybuancie F, nazywamy liczbę p, taką że F( p p F( p + Dla zmiennej losowej ciągłej Kwantyl p jest wyznaczany z wzoru F( p p Mediana jest kwantylem rzędu 1/2

41 Rozkład jednostajny Rozkład jednostajny (zwany też równomiernym lub prostokątnym albo płaskim to ciągły rozkład prawdopodobieństwa, dla którego gęstość prawdopodobieństwa w przedziale od a do b jest stała i różna od zera, a poza nim równa zeru. Ponieważ rozkład jest ciągły, nie ma większego znaczenia czy punkty a i b włączy się do przedziału czy nie. Rozkład jest określony parą parametrów a i b, takich że b>a.

42 Rozkład jednostajny Funkcja gęstości prawdopodobieństwa f ( ; < a 1 ; a b a ; > b b Dystrybuanta Wartość oczekiwana E ( X a + 2 b Wariancja D ( X ( b 2 a 12 2

43 Zastosowanie rozkładu jednostajnego Rozkład jednostajny: ma zastosowanie przy analizie niepewności systematycznych. Gęstość prawdopodobieństwa f( jest stała wewnątrz przedziału (a, b i równa zero poza nim. Dla pomiarów obarczonych niepewnością systematyczną, mamy b a 2, zatem S D ( ( b 2 2 X a 12 3

44 Zadanie Punkt materialny porusza się ruchem jednostajnym po okręgu koła o promieniu r. Niech O będzie ustalonym punktem okręgu, natomiast X długością łuku łączącego punkty OM. Określić rozkład zmiennej losowej X Narysować wykres funkcji gęstości i dystrybuanty zmiennej X Obliczyć P (X<πr oraz P(X> 3πr/2 Obliczyć wartość oczekiwaną i wariancję X M O

45 Rozwiązanie zadania postać funkcji gęstości f ( 1 2πr ; ; ; < 2πr ; > 2πr Zadanie należy dokończyć samodzielnie

46 Zadanie praca samodzielna Pociągi przyjeżdżają na stację dokładnie co 1 minut. Pasażer przychodzi na stację w pewnej przypadkowej chwili. Niech X oznacza czas oczekiwania na przybycie pociągu. Należy: Określić funkcję gęstości prawdopodobieństwa f, wykonać wykres Określić dystrybuantę F, wykonać wykres Obliczyć P(X<8 i przedstawić interpretację graficzną Obliczyć oczekiwany/średni czas czekania na przyjazd pociągu

47 Rozkład wykładniczy Funkcja gęstości f( λ e - λ Dystrybuanta: F( 1- e - λ Wartość oczekiwana E( λ -1 Wariancja D (X λ -2 Znajduje zastosowanie do obliczania prawdopodobieństwa przejścia obiektu ze stanu X w stan Y w czasie δt, przy stałym, w jednostce czasu, prawdopodobieństwie zmiany stanu obiektu z X na Y.

48 Rozkład normalny N ( µ,σ Funkcja gęstości w rozkładzie normalnym Rozkład nazywany też rozkładem Gaussa - Laplace'a jest najczęściej spotykanym rozkładem zmiennej losowej ciągłej Funkcja gęstości w rozkładzie normalnym o postaci: f ( σ 1 2 π e ( µ 2σ 2 2 jest określona dla wszystkich rzeczywistych wartości zmiennej X.

49 Rozkład normalny wykres funkcji gęstości i interpretacja f( σ µ Parametry rozkładu N(µ,σ, µ - Wartość oczekiwana σ 2 - Wariancja

50 Rozkład normalny interpretacja prawdopodobieństwa P(X<zp

51 Cechy charakterystyczne funkcji gęstości rozkładu normalnego Funkcja gęstości w rozkładzie normalnym: jest symetryczna względem prostej µ w punkcie µ osiąga wartość maksymalną ramiona funkcji mają punkty przegięcia dla µ -σ oraz µ + σ Kształt funkcji gęstości zależy od wartości parametrów: µ,σ: - parametr µ decyduje o przesunięciu krzywej, - parametr σ decyduje o smukłości krzywej.

52 Wykresy funkcji gęstości rozkładów N (µ, σ Przykłady funkcji gęstości rozkładów N (µ,σ dla różnych wartości µ i σ,5 N(,1 N(3,1 N(,2 N(3,

53 Wykresy dystrybuanty rozkładów N (µ, σ Wykresy dystrybuanty rozkładu normalnego N(µ,σ, dla różnych wartości µ i σ 1,2 1,8,6 N (,1 N (3,1 N (,2 N (3,2,4,2 -,

54 Rozkład normalny Reguła 3 sigma Jeżeli zmienna losowa ma rozkład normalny N(µ,σ to: - 68,3 % populacji mieści się w przedziale (µ -σ; µ + σ - 95,5 % populacji mieści się w przedziale (µ - 2σ; µ + 2σ - 99,7 % populacji mieści się w przedziale (µ - 3σ; µ + 3σ

55 Prawdopodobieństwo w rozkładzie normalnym Prawdopodobieństwo w rozkładzie normalnym ( podobnie jak w każdym innym rozkładzie ciągłym wyznaczane jest dla wartości zmiennej losowej z określonego przedziału, P(a<X b P(a<X b F(b- F(a, Dla uproszczenia obliczeń prawdopodobieństwa P(a<X b dla zmiennej losowej o rozkładzie normalnym, z wartością oczekiwanąµi odchyleniem standardowym σ, dokonuje się standaryzacji zmiennej losowej.

56 Rozkład normalny - standaryzacja Standaryzacja polega na sprowadzeniu dowolnego rozkładu normalnego N(µ, σ, o danych parametrach µ i σ do rozkładu standaryzowanego (modelowego o wartości oczekiwanej µ i odchyleniu standardowym σ 1. Zmienną X zastępuje się zmienną standardową U, która ma rozkład N(,1 u σ µ Wtedy otrzymujemy następujące zależności: f( ϕ(u, F( Φ(u, czyli: P ( X F ( Φ ( µ σ

57 Własności dystrybuanty standaryzowanego rozkładu normalnego N(,1 ( ( ( 1 ( 1 ( ( 1 ( ( ( ( ( ( u u U P u u U P u U P u u u U P u u U P X P F Φ > Φ > Φ Φ Φ

58 gdzie Φ(u oznacza wartości dystrybuanty standaryzowanego rozkładu normalnego N(,1 Wartości te znajdziemy w tablicach statystycznych Φ Φ < Φ Φ < < < σ µ σ µ σ µ σ µ σ µ σ µ σ µ σ µ σ µ a b a F b F b X a P a b b U a P b X a P b X a P ( ( ( ( Obliczanie prawdopodobieństwa w rozkładzie normalnym Obliczanie prawdopodobieństwa, że zmienna losowa X, o rozkładzie N (µ, σ, przyjmie wartości z przedziału (a, b

59 Zadanie: Wzrost kobiet w pewnej populacji ma rozkład normalny N(165,15. Oznacza to, iż zmienna losowa jaką jest wzrost kobiet ma rozkład normalny ze średnią równą 165 cm odchyleniem standardowym równym 15 cm. Jaki jest udział w populacji kobiet o wzroście: a do 16 cm, b w przedziale cm, c powyżej 175 cm d dokładnie 15 cm

60 Rozwiązanie: a do 16 cm X P( X 16 P P( U, Φ(,33 1 Φ(,33 1,6293,377 a innym sposobem P( X 16 F(16 Φ 15 Φ(,33 1 Φ(,33 1,6293,377

61 Rozwiązanie: b w przedziale cm X P(165 < X 17 P < 15 P( < U,33 Φ(,33 Φ( ,6293,5,1293 P( X 1 c powyżej 175 cm. X > 175 P > P( U >, P( U,67 1 Φ(,67 1,748571, d dokładnie 15 cm. P( X 15 P(15 X 15 F(15 F(15

62