Transformata Fouriera. Krzysztof Patan
|
|
- Aniela Matuszewska
- 7 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Transformata Fouriera Krzysztof Patan
2 Aproksymacja sygnałów Aproksymacja sygnału x(t) za pomocą rozwinięcia o skończonej długości polega na znalezieniu funkcji ˆx n (t) = c 1 x 1 (t) + + c k x k (t) + + c n x n (t) gdzie c i współczynniki rzeczywiste lub zespolone, x k (t) funkcje, np. ortogonalne < x i (t), x j (t) >= 0 Miara błędu ε = x(t) ˆx n (t) 2 = x(t) n c k x k (t) 2 k=1 Zadanie aproksymacji to poszukiwanie minimum miary błedu ε ze względu na dobór współczynników c k W przestrzeni L 2 (całkowalnej z kwadratem) współczynniki przybierają postać: c k = < x(t), x k(t) > x k (t) 2, k = 1, 2,..., n Szereg aproksymujący (*) nosi nazwę szeregu Fouriera ( )
3 Reprezentacja sygnału ciągłego szereg Fouriera Załóżmy, że x(t) to sygnał okresowy x(t) = x(t + T ) t Szukamy rozwinięcia w wykładniczy szereg Fouriera postaci x(t) = k= c k e jkω 0t = k= gdzie ω 0 = 2π T częstotliwość podstawowa c k współczynniki rozwinięcia T okres sygnału k = 0, k = 1, k = 2,... harmoniczne sygnału c k e jk2πt/t
4 Problem: Jak znaleźć współczynniki rozwinięcia? Odpowiedź czyli x(t) x(t)e jnω 0t T zauważmy, że x(t)e jnω0t dt = T pomnóż przez e jnω 0t x(t)e jnω 0t scałkuj po całym okresie T T x(t)e jnω 0t dt = k= T k= ( c k T e j(k n)ω 0t dt = c k e jkω 0t e jnω0t dt = ) e j(k n)ω0t dt { T, k = n 0, k n = T δ[k n]
5 ostatecznie x(t)e jnω0t dt = c k T δ[k n] T k= jeśli przedstawimy to dla konkretnego współczynnika k = n to x(t)e jkω0t dt = c k T c k = 1 x(t)e jkω0t dt T T T Szereg Fouriera dla sygnału ciągłego x(t) = c k e jkω 0t c k = 1 T k= T x(t)e jkω 0t dt synteza sygnału analiza sygnału
6 Postać trygonometryczna szeregu Fouriera Wzory Eulera cos(kω 0 t) = 1 ( e jkω 0t + e jkω0t) 2 sin(kω 0 t) = 1 ( e jkω 0t e jkω0t) 2j Po przekształceniach: c k e jkω 0t = c 0 + c k e jkω0t + c k e jkω 0t k= k=1 k=1 = c 0 + c k (cos(kω 0t)+j sin(kω 0t))+c k (cos(kω 0t) j sin(kω 0t)) k=1 = c 0 + a k cos(kω 0t) + jb k sin(kω 0t) k=1 gdzie a k = (c k + c k ), b k = j(c k c k )
7 Przykład 1 po zastosowaniu wzorów Eulera x(t) = 1 2 x(t) = cos(4πt) + 2 sin(8πt) (e j4πt + e j4πt) + 2 (e j8πt e j8πt) j2 czyli współczynniki ω 0 = 4π, T = 2π ω 0 = 1 2 c 0 = 0, c 1 = 1 2, c 2 = 1 j, c 1 = 1 2, c 2 = 1 j, c 3 = 0, c 3 = 0
8 Przykład 1 po zastosowaniu wzorów Eulera x(t) = 1 2 x(t) = cos(4πt) + 2 sin(8πt) (e j4πt + e j4πt) + 2 (e j8πt e j8πt) j2 czyli współczynniki ω 0 = 4π, T = 2π ω 0 = 1 2 c 0 = 0, c 1 = 1 2, c 2 = 1 j, c 1 = 1 2, c 2 = 1 j, c 3 = 0, c 3 = 0
9 Charakterystyki szeregu Fouriera Szereg Fouriera jest przekształceniem, które przyporządkowuje ciągłemu sygnałowi okresowemu x(t) sygnał dyskretny {c k, k = 0, ±1, ±2,... } Zespolony współczynik c k można przedstawić w postaci: c k = c k e jϕ k Widmo aplitudowe: zbiór { c k, k = 0, ±1, ±2,... } Widmo fazowe: zbiór {ϕ k, k = 0, ±1, ±2,... } Widmo dystrybucji mocy: zbiór { c k 2, k = 0, ±1, ±2,... }
10 Przykład 2 Okresowa fala prostokątna 1 x(t) dla k = 0 dla k 0 T -T/2 -T 1 0 T 1 T/2 c 0 = 1 T T/2 T/2 T x(t)dt = 2T 1 T t c k T/2 T1 = 1 x(t)e jkω0t dt = 1 e jkω0t dt T T/2 T T 1 = 1 T 1 jkω 0 T e jkω0t = sin(kω 0T 1 ) T 1 kπ
11 Przykład 2 Okresowa fala prostokątna 1 x(t) dla k = 0 dla k 0 T -T/2 -T 1 0 T 1 T/2 c 0 = 1 T T/2 T/2 T x(t)dt = 2T 1 T t c k T/2 T1 = 1 x(t)e jkω0t dt = 1 e jkω0t dt T T/2 T T 1 = 1 T 1 jkω 0 T e jkω0t = sin(kω 0T 1 ) T 1 kπ
12 Przykład 2 Okresowa fala prostokątna 1 x(t) dla k = 0 dla k 0 T -T/2 -T 1 0 T 1 T/2 c 0 = 1 T T/2 T/2 T x(t)dt = 2T 1 T t c k T/2 T1 = 1 x(t)e jkω0t dt = 1 e jkω0t dt T T/2 T T 1 = 1 T 1 jkω 0 T e jkω0t = sin(kω 0T 1 ) T 1 kπ
13 Przykład 2 cd Widmo okresowej fali prostokątnej
14 Efekt Gibbsa okresowa fala prostokątna wraz ze zwiększaniem liczby wyrazów maleje błąd aproksymacji, ale oscylacje wokół punktów nieciągłości pozostają stałe, zmienia się ich czas trwania (a) k = 1 (b) k = line 1 line line 1 line (c) k = 7 (d) k = line 1 line line 1 line DEMO: gibbs.m
15 Zbieżność szeregu Fouriera Funkcja x(t) aproksymowana jest przez funkcję ˆx(t) postaci ˆx(t) = c k e jkω0t k= ( ) błąd aproksymacji e(t) zadanie aproksymacji e(t) = x(t) ˆx(t) = x(t) 1 min e(t) 2 dt c k T T k= c k e jkω0t szereg aproksymacyjny ( ) zapewnia minimum błędu w sensie energii lub mocy sygnału błędu 1 lim e(t) 2 dt = 0 k 0T T
16 Warunki Dirichleta zbieżności szeregu Fouriera 1 funkcja x(t) jest bezwzględnie całkowalna na dowolnym przedziale o długości okresu T, tzn. T x(t) dt < 2 w każdym ograniczonym przedziale, x(t) ma skończoną liczbę maksimów i minimów o skończonej wartości 3 w każdym ograniczonym przedziale, x(t) ma skończoną liczbę nieciągłości Jeżeli warunki Dirichleta są spełnione to sygnał okresowy x(t) może być reprezentowany jako suma szeregu funkcji harmonicznych Warunki Dirichleta są spełnione dla większości sygnałów spotykanych w rzeczywistości
17 Przykłady sygnałów dla których warunki Dirichleta nie są spełnione 1 Sygnał x(t) o okresie T 0 = 1 zdefiniowany { 0 dla t = 0 x(t) = sin(2π/t) dla 0 < t 1 funkcja nie spełnia drugiego warunku Dirichleta 2 Sygnał x(t) o okresie T 0 = 1 zdefiniowany { 0 dla t = 0 x(t) = ( dla t 1 k 1 k+1, 1 k funkcja nie spełnia trzeciego warunku Dirichleta ], k = 1, 2,...
18 Przykłady sygnałów dla których warunki Dirichleta nie są spełnione 1 Sygnał x(t) o okresie T 0 = 1 zdefiniowany { 0 dla t = 0 x(t) = sin(2π/t) dla 0 < t 1 funkcja nie spełnia drugiego warunku Dirichleta 2 Sygnał x(t) o okresie T 0 = 1 zdefiniowany { 0 dla t = 0 x(t) = ( dla t 1 k 1 k+1, 1 k funkcja nie spełnia trzeciego warunku Dirichleta ], k = 1, 2,...
19 Przykłady sygnałów dla których warunki Dirichleta nie są spełnione 1 Sygnał x(t) o okresie T 0 = 1 zdefiniowany { 0 dla t = 0 x(t) = sin(2π/t) dla 0 < t 1 funkcja nie spełnia drugiego warunku Dirichleta 2 Sygnał x(t) o okresie T 0 = 1 zdefiniowany { 0 dla t = 0 x(t) = ( dla t 1 k 1 k+1, 1 k funkcja nie spełnia trzeciego warunku Dirichleta ], k = 1, 2,...
20 Przykłady sygnałów dla których warunki Dirichleta nie są spełnione 1 Sygnał x(t) o okresie T 0 = 1 zdefiniowany { 0 dla t = 0 x(t) = sin(2π/t) dla 0 < t 1 funkcja nie spełnia drugiego warunku Dirichleta 2 Sygnał x(t) o okresie T 0 = 1 zdefiniowany { 0 dla t = 0 x(t) = ( dla t 1 k 1 k+1, 1 k funkcja nie spełnia trzeciego warunku Dirichleta ], k = 1, 2,...
21 Właściwości szeregu Fouriera Liniowość: x(t) a k, y(t) b k αx(t) + βy(t) αa k + βb k Symetria (i) jeśli x(t) funkcja rzeczywista i parzysta to c k rzeczywista i parzysta funkcja zmiennej k (ii) jeśli x(t) funkcja rzeczywista i nieparzysta to c k urojona i nieparzysta funkcja zmiennej k Przesunięcie w dziedzinie czasu x(t) c k x(t t 0 ) c k e jkω 0t 0 = c k e jk2πt 0/T przesunięcie nie zmienia modułów współczynników, ale zmienia ich fazy o kω 0t 0
22 Równość Parsevala 1 x(t) 2 dt = T T }{{} średnia moc sygnału k= c k 2 }{{} moc k-tej harmonicznej Moc sygnału obliczamy jako sumę kwadratów modułów współczynników rozwinięcia w szereg Fouriera Równość Parsevala dostarcza informacji o rozkładzie mocy sygnału w funkcji częstotliwości Ćwiczenie. Obliczyć moc sygnału z przykładu 1
23 Reprezentacja sygnału dyskretnego szereg Fouriera x[n] sygnał okresowy z okresem N x[n] = x[n + N] ω 0 = 2π N za względu na okresowość: e jkω0n = e j(k+n)ω0n wystarczy wziąć N sygnałów:e j0ω0n, e j1ω0n,..., e jn 1ω0n czyli x[n] = k=<n> c k e jk(2π/n)n gdzie c k współczynniki rozwinięcia k = 0, k = 1, k = 2,... harmoniczne sygnału UWAGA: Szereg Fouriera dla sygnału dyskretnego jest skończony!
24 Problem: Jak znaleźć współczynniki rozwinięcia? Odpowiedź x[n] x[n]e jmω 0n czyli pomnóż przez e jmω 0n x[n]e jmω 0n sumuj po N kolejnych wyrazach n=<n> x[n]e jmω 0n n=<n> x[n]e jmω 0n = = n=<n> k=<n> = Nc m c k ( k=<n> c k e jkω 0n e jmω 0n e j(k m)ω 0n ) n=<n> }{{} =Nδ[k m]
25 Szereg geometryczny N 1 N dla a = 1 a n = 1 a n=0 N dla a 1 1 a Ćwiczenie Pokazać, że n=<n> x[n]e jmω 0n = Nc m
26 Szereg Fouriera dla sygnału dyskretnego x[n] = c k e jkω 0n synteza sygnału c k = 1 N k=<n> x[n]e jkω 0n k=<n> analiza sygnału Wygodnie jest rozważać współczynniki c k tak jakby były zdefiniowane dla wszystkich liczb k: 1 c k+n = c k specjalna właściwość współczynników szeregu Fouriera (tylko dla sygnałów dyskretnych!) 2 używamy tylko N kolejnych wartości c k ; x[n] jest reprezetowane tylko przez N współczynników
27 Przykład 3 ( ) ( π π x[n] = cos 8 n + cos 4 n + π ) 4 x[n] = 1 2 ( e jπ/8n + e jπ/8n) + 1 (e jπ/4n e jπ/4 + e jπ/4n e jπ/4) 2 czyli współczynniki ω 0 = π/8, N = 16 c 0 =0, c 1 = 1 2, c 1 = 1 2, c 2 = 1 2 ejπ/4, c 2 = 1 2 e jπ/4, c 3 =0, c 3 =0 c 15 = c 1+16 = c 1 = 1 2, a 66 = c = c 2 = 1 2 ejπ/4
28 Przykład 4 Okresowa fala prostokątna 1 x[n] dla n = 0 dla k wielokrotność N N -N 1 0 N 1 c 0 = 1 N N 1 N x[n] = 2N1 + 1 N n= N 1 n c k N 1 = 1 e jkω0n = 1 N N n= N 1 = 1 2N 1 N ejkω 0N 1 = 1 N m=0 sin(k(n 1 + 1/2)ω 0) sin(kω 0/2) 2N 1 e jkω 0(m N 1 ) m=0 ( e jkω 0 ) m 1 = N ejkω 0N 1 1 e jkω0(2n1+1) 1 e jkω 0 = 1 N Uwaga: korzystamy z sumy szeregu geometrycznego sin(2πk(n 1 + 1/2)/N) sin(πk/n)
29 Przykład 4 cd Widmo fali prostokątnej N 1 = N = N = N = DEMO: widmo.m
30 Transformata Fouriera sygnałów ciągłych Szeregi Fouriera stosuje się dla sygnałów okresowych Problem: Co w przypadku, gdy x(t) jest nieokresowy? Sygnał nieokresowy można rozważać jako sygnał okresowy z okresem T Dla sygnału okresowego, harmoniczne są rozmieszczone co ω 0 = 2π/T Gdy T, ω 0 0 i harmoniczne są rozmieszczane coraz gęściej w dziedzinie częstotliwości szereg Fouriera zastępujemy całką Fouriera
31 ˆx(t) = c k e jkω 0t k= ω 0 = 2π T c k = 1 T T 2 T 2 ˆx(t)e jkω 0t dt w rozważanym przedziale ˆx(t) = x(t) więc c k = 1 T T 2 T 2 x(t)e jkω 0t dt = 1 T x(t)e jkω 0t dt zdefiniujmy wtedy X(jω) = x(t)e jkωt dt c k = X(jkω 0) T
32 dla T 2 < t < T 2 x(t) = ˆx(t) = k= kiedy T, ω 0 dω 1 T X(jkω 0) e jkω 0 t = 1 }{{} 2π c k Transformata Fouriera dla sygnału ciągłego k= odwrotna transformata Fouriera synteza sygnału ω 0 X(jkω 0 )e jkω 0t x(t) = F 1 (X(jω)) = 1 X(jω)e jωt dω 2π k= transformata Fouriera analiza sygnału X(jω) = F (x(t)) = x(t)e jωt dt
33 Transformatę Fouriera można stosować dla sygnałów: 1 ze skończoną energią x(t) 2 dt < jeżeli błąd e(t) = x(t) 1 2π infty X(jω)ejωt dω wtedy e(t) 2 dt = 0 2 spełniających warunki Dirichleta x(t) jest bezwzględnie całkowalna na t (, ) x(t) ma skończoną liczbą maksimów i minimów w każdym skończonym przedziale x(t) ma skończoną liczbę nieciągłości o skończonej wartości w każdym skończonym przedziale ˆx(t) = x(t) w punktach ciągłości sygnału x(t) ˆx(t) = x(t+ ) + x(t ) w punktach nieciągłości sygnału x(t) 2 3 okresowych
34 Właściwości transformaty Fouriera dla sygnałów ciągłych Liniowość: ax(t) + by(t) ax(jω) + by (jω) Przesunięcie w dziedzinie czasu: x(t t 0 ) e jω 0t 0 X(jω) przesunięcie nie zmienia modułów X(jω), ale zmienia ich fazy o kωt 0 Symetria: jeśli x(t) funkcja rzeczywista to X( jω) = X (jω) X( jω) = X(jω) parzyste X( jω) = X(jω) nieparzyste Re X( jω) = Re X(jω) parzyste Im X( jω) = Im X(jω) nieparzyste
35 Zmiana skali czasu: x(at) 1 (j a X ω ) a a > 0 sygnał przyspiesza w dziedzinie czasu jego widmo zostaje rozciągnięte, zwiększa się zawartość widma w zakresie większych częstotliwości a < 0 sygnał zwalnia w dziedzinie czasu widmo zostaję sciśnięte, zwiększa się zawartość widma w zakresie małych częstotliwości
36 Przykład 5 Impuls jednostkowy (a) x(t) = δ(t) (b) x(t) = δ(t t 0 ) X(jω) = X(jω) = δ(t) = 1 2π δ(t)e jωt dt = 1 e jωt dω δ(t t 0 )e jωt dt = e jωt 0
37 Przykład 6 Funkcja wykładnicza x(t) = e at u(t), a > 0 X(jω) = X(jω) = DEMO: f wykl.m x(t)e jωt dt = ( ) 1 = e (a+jω)t = a + jω 0 1 a 2 + ω 2 ) X(jω) = tg 1 ( ω a 0 e at e jωt dt }{{} e (a+jω)t 1 a + jω funkcja parzysta funkcja nieparzysta
38 Przykład 7 Impuls prostokątny x(t) = 1 dla t < T 1, T 1 > X(0) = X(jω) = T1 e jωt dt = 2 sin(ωt 1) T 1 ω x(t)dt X(0) = T1 T 1 x(t)dt = 2T 1 x(0) = 1 X(jω)dω x(0) = 1 X(jω)dω = 1 2π 2π 2π P = 1
39 Przykład 7 cd 4 X(jw) DEMO: f square.m
40 Przykład 8 Funkcja Gaussa x(t) = e at2 X(jω) = = = ( e at2 e jωt dt ( e a t 2 +j ω jω a t+( 2a ) 2) +a( jω 2a ) 2 dt jω a(t+ e ) 2a ) 2 dt e ω2 4a π X(jω) = 2 4a a e ω
41 Przykład 8 cd 1 x(t) 1.4 X(jw) t w DEMO: f gauss.m
42 Transformata Fouriera sygnałów dyskretnych x[n] sygnał nieokresowy o skończonej długości N jest dostatecznie duże takie, że x[n] = 0 jeśli n N 2 ˆx[n] = x[n] dla n N 2 okresowy z okresem N czyli ˆx[n] = x[n] n kiedy N
43 ˆx[n] = c k e jkω0n, k=<n> ω 0 = 2π N c k = 1 N = 1 N n=<n> N 2 ˆx[n]e jkω 0n n=n 1 ˆx[n]e jkω 0n = 1 N x[n]e jkω 0n n= zdefiniujmy X(e jω ) = x[n]e jωn n= syg. okresowy z okresem 2π c k = 1 N X(ejkω 0 )
44 ˆx[n] = k=<n> 1 N X(ejkω 0 ) e jkω 0 n = 1 }{{} 2π c k gdy N to ˆx[n] = x[n] n k=<n> gdy ω 0 0 to ω 0 dω w równaniu ( ) Transformata Fouriera dla sygnału dyskretnego odwrotna transformata Fouriera synteza sygnału ω 0 X(e jkω 0 )e jkω 0n ( ) x[n] = Fd 1 (X(ejω )) = 1 X(e jω )e jωn dω 2π 2π transformata Fouriera analiza sygnału X(e jω ) = F d (x[n]) = n= x[n]e jωn
45 Przykład 9 Impuls prostokątny x[n] 1 N 1 N 1 n N 1 X(e jω ) = e jωn = n= N 1 DEMO: square pulse.m N 1 n= N 1 (e jω) n = sin(ω(n 1 + 1/2)) sin(ω/2) Uwaga! Transformata jest okresowa: X(e jω ) = X(e j(ω 2π) )
46 Właściwości transformaty Fouriera dla sygnałów dyskretnych 1 Okresowość 2 Liniowość X(e j(ω+2π) ) = X(e jω ) ax 1 [n] + bx 2 [n] ax 1 (e jω ) + bx 2 (e jω ) 3 Przesunięcie w dziedzinie czasu x[n n 0 ] e jωn 0 X(e jω ) 4 Przesunięcie w dziedzinie częstotliwości e jω0n x[n] X(e j(ω ω0) )
47 5 Inwersja czasu 6 Symetria x[ n] X(e jω ) x[n] rzeczywisty X(e jω ) = X (e jω ) X(e jω ) i Re(X(e jω )) są parzyste X(e jω ) i Im(X(e jω )) są nieparzyste 7 Zmiana skali czasu x[n/2] nie ma sensu (chwile czasu to liczby całkowite!) x[2n] tracimy wartości dla nieparzystych chwil czasu x[n] Można spowolnić sygnał wprowadzając zera w odpowiednich czwilach czasu
48 x[n] n x[n] n
49 Dyskretna Transformata Fouriera Przekształcenie Fouriera dla sygnałów dyskretnych definiuje częstotliwościowy model nieskończonych ciągów dyskretnych W rzeczywistości czas obserwacji sygnału jest skończony skończone ciągi Przekształcenie Fouriera dla sygnałów dyskretnych prowadzi do ciągłego widma częstotliwościowego sygnału Dyskretna Transformata Fouriera prowadzi do dyskretnego widma częstotliwościowego sygnału Dyskretna Transformata Fouriera pozwala na estymację widma sygnału ciągłego
50 x[n] ciąg o skończonej długości N przekształcenie Fouriera X(e jω ) = F d (x[n]) = n= wprowadźmy dyskretyzację zmiennej ω x[n]e jωn = N 1 ω k = 2π k, k = 0, 1,..., N 1 N próbka w dziedzinie pulsacji X N [k] = D F (x[n]) = n=0 N 1 x[n]e jkn(2π/n) n=0 x[n]e jωn wyrażenie ( ) nazywamy dyskretnym przekształceniem Fouriera (ang. Discrete Fourier Transform, DFT) ( )
51 Problem: Jak znaleźć przekształcenie odwrotne? Dla transformaty Fouriera sygnałów dyskretnych otrzymaliśmy: x[n] = 1 N 1 ω 0 X(e jkω0 )e jkω0n, 2π k=0 ω 0 = 2π N x[n] = 1 N 1 2π 2π N X(ejk2π/N )e jkn2π/n = 1 N k=0 Dyskretna Transformata Fouriera, DFT N 1 k=0 X N [k]e jkn2π/n odwrotna transformata Fouriera synteza sygnału x[n] = D 1 F (X N[k]) = 1 N 1 X N [k]e jkn2π/n N k=0 transformata Fouriera analiza sygnału N 1 X(e jω ) = D F (x[n]) = n=0 x[n]e jkn2π/n
52 Szybkie przekształcenie Fouriera Szybkie przekształcenie Fouriera FFT (ang. Fast Fourier Transform) jest efektywną procedurą numeryczną do wyznacznia DFT Cooley-Tukey FFT najbardziej popularna procedura wyznaczania DFT (1965r.) Algorytm wyznacza transformatę Fouriera osobno dla parzystych próbek x[2m], nieparzystych x[2m + 1], a następnie łączy te wyniki w celu otrzymania transformaty Fouriera dla całej sekwencji Cały proces można przeprowadzić rekurencyjnie co skraca czas obliczeń Procedura zakłada N jako potęgę 2 w praktyce ograniczenie z reguły nie sprawia problemów
53 X N [k] = = = N/2 1 m=0 M 1 m=0 N/2 1 x[2m]e j2mk2π/n + m=0 M 1 x[2m]e jmk2π/m + e jk2π/m E k + e j 2π N k O k E k M e j 2π(k M) x[2m + 1]e j(2m+1)k2π/n m=0 k < M N O k M k M x[2m + 1]e jmk2π/m gdzie M = N 2 E j parzyste próbki x[2m] O j nieparzyste próbki x[2m + 1] m = 0,..., M 1, j = 0,..., M 1
54 Przykład 10, DFT różnych sygnałów (a) impulsu prostokątnego DEMO: dft square.m (b) fali prostokątnej DEMO: dft square2.m (c) sinusoidy DEMO: dft sinus.m
55 Analiza systemów o wymuszeniach okresowych Załóżmy, że liniowy system stacjonarny jest pobudzany sygnałem okresowym x(t) Rozpatrzmy skończoną aproksymację ˆx n sygnału x(t) postaci ˆx n = A 0 + n A k cos(kω 0 t + ϕ k ) (1) k=1 Ponieważ system jest liniowy, to można zastosować zasadę superpozycji: przeprowadzić analizę systemu oddzielnie dla każdej harmonicznej, a następnie zsumować wyniki Jeżeli odpowiedź na k-tą harmoniczną określimy jako B k cos(kω 0 t + γ k ) to odpowiedzią systemu na wymuszenie ˆx n jest n ŷ n = B 0 + B k cos(kω 0 t + γ k ) (2) k=1
56 Przykład 11 Rozważmy elektryczny układ RC ze źródłem prądowym i(t) = 0.1 1(cos(2πt)). Znaleźć napięcie u(t). R I 0 I 1e jt I ne jnt Szukamy napięcia postaci C u(t) i(t) = k= I k e jkt I 0 = π, I k = sin(kπ/2) kπ u(t) = k= U k e jkt Impedancja obwodu R z(k) = 1 + jkrc Składowa stała analiza stałoprądowa U 0 = I 0R Odpowiedź na k-tą harmoniczną sygnału wejściowego U k = I k z(k) = I k R 1 + jkrc
57 Transmitancja częstotliwościowa Własności dynamiczne układu można opisać w postaci równania różniczkowego a n d n y(t) dt n = b m d m u(t) dt m + a n 1 d n 1 y(t) dt n 1 + b m 1 dy(t) + + a 1 + a 0 y(t) dt du(t) + + b 1 dt d m 1 u(t) dt m 1 + b 0 u(t) W celu rozwiązania (3) dokonujemy transformacji Fouriera obu stron tego równania ( an (jω) n + a n 1 (jω) n a 0 ) Y (jω) (3) = ( b m (jω) m + a m 1 (jω) m b 0 ) X(jω) Czyli Y (jω) = b m(jω) m + a m 1 (jω) m b 0 a n (jω) n + a n 1 (jω) n a 0 X(jω) = H(jω)X(jω)
58 Wielkość H(jω) nazywamy transmitancją częstotliwościową systemu czasu ciągłego Odpoiwedź układu w dziedzinie częstotliwości Y (jω) = H(ω)X(jω) Odpowiedź systemu w dfziedzienie czasu y(t) = F 1 (Y (jω)) Znając parametry a i i b j można wyznaczyć transmitancję częstotliwościową i na jej podstawioe odpowiedź systemu na dowolne wymuszenie
59 Przykład 12 Wyznaczyć odpowiedź systemu z przykładu 11, po pobudzeniu sygnałami: (i) x 1 (t) = cos(ω 1 t), ω 1 = 1rad/s, (ii) x 2 (t) = 2 sin(ω 2 t), ω 2 = 2rad/s. Założyć C = 1 i R = 1. Opis za pomocą równania różniczkowego x(t) = C dy(t) dt + 1 R y(t) Transmitancja częstotliwościowa H(jω) = 1 Cjω + 1 R = R 1 + jωrc
60 Przykład 12 c.d. dla sygnału pierwszego ω 1 = 1 H(jω) = 1 czyli 2 Y 1 (jω) = H(jω)X 1 (jω) = 2 e j π 4 X1 (jω) z przesunięia w dziedzinie czasu mamy x(t ± t 0 ) = e ±jωo X(jω) 1+j = 2 2 e j π 4 więc y 1 (t) = ( 2 2 x 1 t π ) 2 = (t 4 2 cos π ) 4
61 Przykład 12 c.d. dla sygnału drugiego ω 2 = 2 H(jω) = 1 1+j2 = 5 5 e j czyli więc Y 2 (jω) = H(jω)X 2 (jω) = 5 5 e j X 2 (jω) y 2 (t) = x 2 (t ) = sin (t ) 5
9. Dyskretna transformata Fouriera algorytm FFT
Transformata Fouriera ma szerokie zastosowanie w analizie i syntezie układów i systemów elektronicznych, gdyż pozwala na połączenie dwóch sposobów przedstawiania sygnałów reprezentacji w dziedzinie czasu
Bardziej szczegółowoTERAZ O SYGNAŁACH. Przebieg i widmo Zniekształcenia sygnałów okresowych Miary sygnałów Zasady cyfryzacji sygnałów analogowych
TERAZ O SYGNAŁACH Przebieg i widmo Zniekształcenia sygnałów okresowych Miary sygnałów Zasady cyfryzacji sygnałów analogowych Sygnał sinusoidalny Sygnał sinusoidalny (także cosinusoidalny) należy do podstawowych
Bardziej szczegółowoWłaściwości sygnałów i splot. Krzysztof Patan
Właściwości sygnałów i splot Krzysztof Patan Właściwości sygnałów Dla sygnału ciągłego x(t) można zdefiniować wielkości liczbowe charakteryzujące ten sygnał wartość średnia energia sygnału x sr = lim τ
Bardziej szczegółowoPrzeksztacenie Laplace a. Krzysztof Patan
Przeksztacenie Laplace a Krzysztof Patan Wprowadzenie Transformata Fouriera popularna metoda opisu systemów w dziedzinie częstotliwości Transformata Fouriera umożliwia wykonanie wielu użytecznych czynności:
Bardziej szczegółowoFiltracja. Krzysztof Patan
Filtracja Krzysztof Patan Wprowadzenie Działanie systemu polega na przetwarzaniu sygnału wejściowego x(t) na sygnał wyjściowy y(t) Równoważnie, system przetwarza widmo sygnału wejściowego X(jω) na widmo
Bardziej szczegółowouzyskany w wyniku próbkowania okresowego przebiegu czasowego x(t) ze stałym czasem próbkowania t takim, że T = t N 1 t
4. 1 3. " P r ze c ie k " w idm ow y 1 0 2 4.13. "PRZECIEK" WIDMOWY Rozważmy szereg czasowy {x r } dla r = 0, 1,..., N 1 uzyskany w wyniku próbkowania okresowego przebiegu czasowego x(t) ze stałym czasem
Bardziej szczegółowoCYFROWE PRZTWARZANIE SYGNAŁÓW (Zastosowanie transformacji Fouriera)
I. Wprowadzenie do ćwiczenia CYFROWE PRZTWARZANIE SYGNAŁÓW (Zastosowanie transformacji Fouriera) Ogólnie termin przetwarzanie sygnałów odnosi się do nauki analizowania zmiennych w czasie procesów fizycznych.
Bardziej szczegółowoSystemy. Krzysztof Patan
Systemy Krzysztof Patan Systemy z pamięcią System jest bez pamięci (statyczny), jeżeli dla dowolnej chwili t 0 wartość sygnału wyjściowego y(t 0 ) zależy wyłącznie od wartości sygnału wejściowego w tej
Bardziej szczegółowoPrzekształcenie Fouriera obrazów FFT
Przekształcenie ouriera obrazów T 6 P. Strumiłło, M. Strzelecki Przekształcenie ouriera ourier wymyślił sposób rozkładu szerokiej klasy funkcji (sygnałów) okresowych na składowe harmoniczne; taką reprezentację
Bardziej szczegółowoTeoria sterowania - studia niestacjonarne AiR 2 stopień
Teoria sterowania - studia niestacjonarne AiR stopień Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. Inż. Katedra Inżynerii Systemów Sterowania Wykład 4-06/07 Transmitancja widmowa i charakterystyki częstotliwościowe
Bardziej szczegółowoWykład 2: Szeregi Fouriera
Rachunek prawdopodobieństwa MAP64 Wydział Elektroniki, rok akad. 8/9, sem. letni Wykładowca: dr hab. A. Jurlewicz Wykład : Szeregi Fouriera Definicja. Niech f(t) będzie funkcją określoną na R, okresową
Bardziej szczegółowoSzeregi funkcyjne. Szeregi potęgowe i trygonometryczne. Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka
Szeregi funkcyjne Szeregi potęgowe i trygonometryczne Małgorzata Wyrwas Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka Szeregi funkcyjne str. 1/36 Szereg potęgowy Szeregiem potęgowym o
Bardziej szczegółowoAndrzej Leśnicki Laboratorium CPS Ćwiczenie 6 1/8 ĆWICZENIE 6. Dyskretne przekształcenie Fouriera DFT
Andrzej Leśnicki Laboratorium CPS Ćwiczenie 6 1/8 ĆWICZEIE 6 Dyskretne przekształcenie Fouriera DFT 1. Cel ćwiczenia Dyskretne przekształcenie Fouriera ( w skrócie oznaczane jako DFT z ang. Discrete Fourier
Bardziej szczegółowo2. P (E) = 1. β B. TSIM W3: Sygnały stochastyczne 1/27
SYGNAŁY STOCHASTYCZNE Przestrzeń probabilistyczna i zmienna losowa Definicja Przestrzenią probabilistyczną (doświadczeniem) nazywamy trójkę uporządkowaną (E, B, P ), gdzie: E przestrzeń zdarzeń elementarnych;
Bardziej szczegółowoPodstawy Automatyki. Wykład 5 - stabilność liniowych układów dynamicznych. dr inż. Jakub Możaryn. Warszawa, Instytut Automatyki i Robotyki
Wykład 5 - stabilność liniowych układów dynamicznych Instytut Automatyki i Robotyki Warszawa, 2018 Wstęp Stabilność O układzie możemy mówić, że jest stabilny jeżeli jego odpowiedź na wymuszenie (zakłócenie)
Bardziej szczegółowoELEKTRONIKA. dla Mechaników
ELEKTRONIKA dla Mechaników dr inż. Waldemar Jendernalik Politechnika Gdańska Wydział ETI Katedra Systemów Mikroelektronicznych p. 309, waldi@ue.eti.pg.gda.pl www.ue.eti.pg.gda.pl/~waldi Po co to Wam? Elektronika
Bardziej szczegółowoTransformata Fouriera
Transformata Fouriera Program wykładu 1. Wprowadzenie teoretyczne 2. Algorytm FFT 3. Zastosowanie analizy Fouriera 4. Przykłady programów Wprowadzenie teoretyczne Zespolona transformata Fouriera Jeżeli
Bardziej szczegółowoPrzekształcenie Z. Krzysztof Patan
Przekształcenie Z Krzysztof Patan Wprowadzenie Przekształcenie Laplace a można stosować do sygnałów i systemów czasu ciągłego W przypadku sygnałów czy systemów czasu dyskretnego do wyznaczenia transmitancji
Bardziej szczegółowoAkwizycja i przetwarzanie sygnałów cyfrowych
Akwizycja i przetwarzanie sygnałów cyfrowych Instytut Teleinformatyki ITI PK Kraków 21 luty 2011 Plan na dziś 1 Przedstawienie przedmiotu i zakresu wykładu polecanej iteratury zasad zaliczenia 2 Wyklad
Bardziej szczegółowoAkwizycja i przetwarzanie sygnałów cyfrowych
Akwizycja i przetwarzanie sygnałów cyfrowych Instytut Teleinformatyki ITI PK Kraków 21 luty 2011 Analiza czas - częstotliwość analiza częstotliwościowa: problem dla sygnału niestacjonarnego zwykła transformata
Bardziej szczegółowoPrzetwarzanie sygnałów biomedycznych
Przetwarzanie sygnałów biomedycznych dr hab. inż. Krzysztof Kałużyński, prof. PW Człowiek- najlepsza inwestycja Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Bardziej szczegółowoTRANSFORMATA FOURIERA
TRANSFORMATA FOURIERA. Wzór całkowy Fouriera Wzór ten wykorzystujemy do analizy funkcji nieokresowych; funkcje te mogą opisywać np.przebiegi eleektryczne. Najpierw sformułujmy tzw. warunki Dirichleta.
Bardziej szczegółowoPolitechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania. Modelowanie
Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania Modelowanie Zad Wyznacz transformaty Laplace a poniższych funkcji, korzystając z tabeli transformat: a) 8 3e 3t b) 4 sin 5t 2e 5t + 5 c) e5t e
Bardziej szczegółowoĆwiczenie 3. Właściwości przekształcenia Fouriera
Politechnika Wrocławska Wydział Elektroniki Mikrosystemów i Fotoniki Przetwarzanie sygnałów laboratorium ETD5067L Ćwiczenie 3. Właściwości przekształcenia Fouriera 1. Podstawowe właściwości przekształcenia
Bardziej szczegółowoFFT i dyskretny splot. Aplikacje w DSP
i dyskretny splot. Aplikacje w DSP Marcin Jenczmyk m.jenczmyk@knm.katowice.pl Wydział Matematyki, Fizyki i Chemii 10 maja 2014 M. Jenczmyk Sesja wiosenna KNM 2014 i dyskretny splot 1 / 17 Transformata
Bardziej szczegółowoPRZETWARZANIE SYGNAŁÓW
PRZEWARZANIE SYGNAŁÓW SEMESR V Człowiek- nalepsza inwestyca Proekt współfinansowany przez Unię Europeską w ramach Europeskiego Funduszu Społecznego Wykład II Wprowadzenie Podstawy teoretyczne przetwarzania
Bardziej szczegółowoTransmitancje i charakterystyki częstotliwościowe. Krzysztof Patan
Transmitancje i charakterystyki częstotliwościowe Krzysztof Patan Transmitancja systemu czasu ciągłego Przekształcenie Laplace a systemu czasu ciągłego jest superpozycją składowych pochodzących od wymuszenia
Bardziej szczegółowoDyskretne układy liniowe. Funkcja splotu. Równania różnicowe. Transform
Dyskretne układy liniowe. Funkcja splotu. Równania różnicowe. Transformata Z. March 20, 2013 Dyskretne układy liniowe. Funkcja splotu. Równania różnicowe. Transformata Z. Sygnał i system Sygnał jest opisem
Bardziej szczegółowoPrzetwarzanie i transmisja danych multimedialnych. Wykład 8 Transformaty i kodowanie cz. 2. Przemysław Sękalski.
Przetwarzanie i transmisja danych multimedialnych Wykład 8 Transformaty i kodowanie cz. 2 Przemysław Sękalski sekalski@dmcs.pl Politechnika Łódzka Katedra Mikroelektroniki i Technik Informatycznych DMCS
Bardziej szczegółowo2. Próbkowanie Sygnały okresowe (16). Trygonometryczny szereg Fouriera (17). Częstotliwość Nyquista (20).
SPIS TREŚCI ROZDZIAŁ I SYGNAŁY CYFROWE 9 1. Pojęcia wstępne Wiadomości, informacje, dane, sygnały (9). Sygnał jako nośnik informacji (11). Sygnał jako funkcja (12). Sygnał analogowy (13). Sygnał cyfrowy
Bardziej szczegółowoDYSKRETNE PRZEKSZTAŁCENIE FOURIERA C.D.
CPS 6 DYSKRETE PRZEKSZTAŁCEIE FOURIERA C.D. Twierdzenie o przesunięciu Istnieje ważna właściwość DFT, znana jako twierdzenie o przesunięciu. Mówi ono, że: Przesunięcie w czasie okresowego ciągu wejściowego
Bardziej szczegółowoTransformaty. Kodowanie transformujace
Transformaty. Kodowanie transformujace Kodowanie i kompresja informacji - Wykład 10 10 maja 2009 Szeregi Fouriera Każda funkcję okresowa f (t) o okresie T można zapisać jako f (t) = a 0 + a n cos nω 0
Bardziej szczegółowoPolitechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inżynierii Systemów Sterowania. Podstawy Automatyki
Politechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Podsta Automatyki Transmitancja operatorowa i widmowa systemu, znajdowanie odpowiedzi w dziedzinie s i w
Bardziej szczegółowo) (2) 1. A i. t+β i. sin(ω i
Ćwiczenie 8 AALIZA HARMOICZA PRZEBIEGÓW DRGAŃ 1. Cel ćwiczenia Analiza przebiegów drgań maszyny i wyznaczenie składowych harmonicznych tych przebiegów,. Wprowadzenie.1. Sygnały pomiarowe W celu przeprowadzenia
Bardziej szczegółowoTEORIA OBWODÓW I SYGNAŁÓW LABORATORIUM
EORI OBWODÓW I SYGNŁÓW LBORORIUM KDEMI MORSK Katedra eleomuniacji Morsiej Ćwiczenie nr 2: eoria obwodów i sygnałów laboratorium ĆWICZENIE 2 BDNIE WIDM SYGNŁÓW OKRESOWYCH. Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia
Bardziej szczegółowoDyskretne przekształcenie Fouriera cz. 2
Cyfrowe przetwarzanie sygnałów Jacek Rezmer -1- Dyskretne przekształcenie Fouriera cz. 2 Twierdzenie o przesunięciu Istnieje ważna właściwość DFT, znana jako twierdzenie o przesunięciu. Mówi ono, że: przesunięcie
Bardziej szczegółowoPodstawy Automatyki. Wykład 5 - stabilność liniowych układów dynamicznych. dr inż. Jakub Możaryn. Warszawa, Instytut Automatyki i Robotyki
Wykład 5 - stabilność liniowych układów dynamicznych Instytut Automatyki i Robotyki Warszawa, 2015 Wstęp Stabilność - definicja 1 O układzie możemy mówić, że jest stabilny gdy wytrącony ze stanu równowagi
Bardziej szczegółowoPrzekształcenie całkowe Fouriera
Przekształcenie całkowe Fouriera Postać zespolona szeregu Fouriera Niech ana bęzie funkcja f spełniająca w przeziale [, ] warunki Dirichleta. Wtey szereg Fouriera tej funkcji jest o niej zbieżny, tj. przy
Bardziej szczegółowoWykład 2. Transformata Fouriera
Wykład 2. Transformata Fouriera Transformata Fouriera jest podstawowym narzędziem analizy harmonicznej i teorii analizy i przetwarzania sygnału. Z punktu widzenia teorii matematycznej transformata Fouriera
Bardziej szczegółowoFunkcje elementarne. Matematyka 1
Funkcje elementarne Matematyka 1 Katarzyna Trąbka-Więcław Funkcjami elementarnymi nazywamy: funkcje wymierne (w tym: wielomiany), wykładnicze, trygonometryczne, odwrotne do wymienionych (w tym: funkcje
Bardziej szczegółowoSzybka transformacja Fouriera (FFT Fast Fourier Transform)
Szybka transformacja Fouriera (FFT Fast Fourier Transform) Plan wykładu: 1. Transformacja Fouriera, iloczyn skalarny 2. DFT - dyskretna transformacja Fouriera 3. FFT szybka transformacja Fouriera a) algorytm
Bardziej szczegółowoTransformata Fouriera. Sylwia Kołoda Magdalena Pacek Krzysztof Kolago
Transformata Fouriera Sylwia Kołoda Magdalena Pacek Krzysztof Kolago Transformacja Fouriera rozkłada funkcję okresową na szereg funkcji okresowych tak, że uzyskana transformata podaje w jaki sposób poszczególne
Bardziej szczegółowoAndrzej Leśnicki Laboratorium CPS Ćwiczenie 7 1/7 ĆWICZENIE 7. Splot liniowy i kołowy sygnałów
Andrzej Leśnicki Laboratorium CPS Ćwiczenie 7 1/7 ĆWICZEIE 7 Splot liniowy i kołowy sygnałów 1. Cel ćwiczenia Operacja splotu jest jedną z najczęściej wykonywanych operacji na sygnale. Każde przejście
Bardziej szczegółowoPrzekształcenia całkowe. Wykład 1
Przekształcenia całkowe Wykład 1 Przekształcenia całkowe Tematyka wykładów: 1. Liczby zespolone -wprowadzenie, - funkcja zespolona zmiennej rzeczywistej, - funkcja zespolona zmiennej zespolonej. 2. Przekształcenie
Bardziej szczegółowoPrzetwarzanie sygnałów
Spis treści Przetwarzanie sygnałów Ćwiczenie 3 Właściwości przekształcenia Fouriera 1 Podstawowe właściwości przekształcenia Fouriera 1 1.1 Kompresja i ekspansja sygnału................... 2 1.2 Właściwości
Bardziej szczegółowoPrzetwarzanie sygnałów dyskretnych
Przetwarzanie sygnałów dyskretnych System dyskretny p[ n ] r[ n] Przykłady: [ ] = [ ] + [ ] r n a p n a p n [ ] r n = 2 [ + ] + p[ n ] p n 2 r[ n] = a p[ n] + b n [ ] = [ ] r n a p n n [ ] = [ + ] r n
Bardziej szczegółowoDystrybucje, wiadomości wstępne (I)
Temat 8 Dystrybucje, wiadomości wstępne (I) Wielkości fizyczne opisujemy najczęściej przyporządkowując im funkcje (np. zależne od czasu). Inną drogą opisu tych wielkości jest przyporządkowanie im funkcjonałów
Bardziej szczegółowoPodstawy Automatyki. Wykład 3 - charakterystyki częstotliwościowe, podstawowe człony dynamiczne. dr inż. Jakub Możaryn. Instytut Automatyki i Robotyki
Wykład 3 - charakterystyki częstotliwościowe, podstawowe człony dynamiczne Instytut Automatyki i Robotyki Warszawa, 2017 część 1: Charakterystyki częstotliwościowe Wstęp Charakterystyki częstotliwościowe
Bardziej szczegółowoW celu obliczenia charakterystyki częstotliwościowej zastosujemy wzór 1. charakterystyka amplitudowa 0,
Bierne obwody RC. Filtr dolnoprzepustowy. Filtr dolnoprzepustowy jest układem przenoszącym sygnały o małej częstotliwości bez zmian, a powodującym tłumienie i opóźnienie fazy sygnałów o większych częstotliwościach.
Bardziej szczegółowoStabilność. Krzysztof Patan
Stabilność Krzysztof Patan Pojęcie stabilności systemu Rozważmy obiekt znajdujący się w punkcie równowagi Po przyłożeniu do obiektu siły F zostanie on wypchnięty ze stanu równowagi Jeżeli po upłynięciu
Bardziej szczegółowof = 2 śr MODULACJE
5. MODULACJE 5.1. Wstęp Modulacja polega na odzwierciedleniu przebiegu sygnału oryginalnego przez zmianę jednego z parametrów fali nośnej. Przyczyny stosowania modulacji: 1. Umożliwienie wydajnego wypromieniowania
Bardziej szczegółowoTreści programowe. Matematyka 1. Efekty kształcenia. Literatura. Warunki zaliczenia. Ogólne własności funkcji. Definicja 1. Funkcje elementarne.
Treści programowe Matematyka 1 Katarzyna Trąbka-Więcław Funkcje elementarne. Granica funkcji, własności granic, wyrażenia nieoznaczone, ciągłość funkcji. Pochodna funkcji w punkcie i w przedziale, pochodne
Bardziej szczegółowo13. Wybrane algorytmy cyfrowego przetwarzania sygnałów
13. Wybrane algorytmy cyfrowego przetwarzania sygnałów Dyskretna transformata Fouriera algorytm FFT (ang. fast Fourier transform) Wykrywanie tonów DTMF (ang. Dual Tone Multi Frequency) Filtracja cyfrowa
Bardziej szczegółowoPodstawy Automatyki. Wykład 2 - podstawy matematyczne. dr inż. Jakub Możaryn. Warszawa, Instytut Automatyki i Robotyki
Wykład 2 - podstawy matematyczne Instytut Automatyki i Robotyki Warszawa, 2015 Wstęp Rzeczywiste obiekty regulacji, a co za tym idzie układy regulacji, mają właściwości nieliniowe, n.p. turbulencje, wiele
Bardziej szczegółowoKartkówka 1 Opracowanie: Próbkowanie częstotliwość próbkowania nie mniejsza niż podwojona szerokość przed spróbkowaniem.
Znowu prosta zasada - zbierzmy wszystkie zagadnienia z tych 3ech kartkówek i opracujmy - może się akurat przyda na dopytkę i uda się zaliczyć labki :) (dodatkowo można opracowania z tych rzeczy z doc ów
Bardziej szczegółowoTeoria Sygnałów. III rok Informatyki Stosowanej. Wykład 8
Teoria Synałów rok nformatyki Stosowanej Wykład 8 Analiza częstotliwościowa dyskretnych synałów cyfrowych okna widmowe (cd poprzednieo wykładu) N = 52; T =.24; %czas trwania synału w sekundach dt = T/N;
Bardziej szczegółowo6. FUNKCJE. f: X Y, y = f(x).
6. FUNKCJE Niech dane będą dwa niepuste zbiory X i Y. Funkcją f odwzorowującą zbiór X w zbiór Y nazywamy przyporządkowanie każdemu elementowi X dokładnie jednego elementu y Y. Zapisujemy to następująco
Bardziej szczegółowoCHARAKTERYSTYKI CZĘSTOTLIWOŚCIOWE
CHARAKTERYSTYKI CZĘSTOTLIWOŚCIOWE Do opisu członów i układów automatyki stosuje się, oprócz transmitancji operatorowej (), tzw. transmitancję widmową. Transmitancję widmową () wyznaczyć można na podstawie
Bardziej szczegółowoRozdział 8. Analiza fourierowska. 8.1 Rozwinięcie w szereg Fouriera
Rozdział 8 Analiza fourierowska 8.1 Rozwinięcie w szereg Fouriera Rozważmy funkcję rzeczywistą f określoną na okręgu o promieniu jednostkowym. Parametryzując okrąg przy pomocy kąta φ [, π] otrzymujemy
Bardziej szczegółowoTeoria Sygnałów. Inżynieria Obliczeniowa II rok 2018/19. Wykład 10. ( t) Wykorzystanie transformacji Fouriera w analizie korelacyjnej
Teoria Synałów Inżynieria Obliczeniowa II rok 208/9 Wykład 0 Wykorzystanie transformacji Fouriera w analizie korelacyjnej Na początek krótkie przypomnienie podstawowych definicji: Funkcja autokorelacji
Bardziej szczegółowoTransformata Laplace a to przekształcenie całkowe funkcji f(t) opisane następującym wzorem:
PPS 2 kartkówka 1 RÓWNANIE RÓŻNICOWE Jest to dyskretny odpowiednik równania różniczkowego. Równania różnicowe to pewne związki rekurencyjne określające w sposób niebezpośredni wartość danego wyrazu ciągu.
Bardziej szczegółowoINTERPOLACJA I APROKSYMACJA FUNKCJI
Transport, studia niestacjonarne I stopnia, semestr I Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Adam Wosatko Wprowadzenie Na czym polega interpolacja? Interpolacja polega
Bardziej szczegółowodr inż. Artur Zieliński Katedra Elektrochemii, Korozji i Inżynierii Materiałowej Wydział Chemiczny PG pokój 311
dr inż. Artur Zieliński Katedra Elektrochemii, Korozji i Inżynierii Materiałowej Wydział Chemiczny PG pokój 3 Politechnika Gdaoska, 20 r. Publikacja współfinansowana ze środków Unii Europejskiej w ramach
Bardziej szczegółowoTreści programowe. Matematyka. Literatura. Warunki zaliczenia. Funkcje elementarne. Katarzyna Trąbka-Więcław
Treści programowe Matematyka Katarzyna Trąbka-Więcław Funkcje elementarne. Granica funkcji, własności granic, wyrażenia nieoznaczone, ciągłość funkcji. Pochodna funkcji w punkcie i w przedziale, pochodne
Bardziej szczegółowoTeoria sygnałów Signal Theory. Elektrotechnika I stopień (I stopień / II stopień) ogólnoakademicki (ogólno akademicki / praktyczny)
. KARTA MODUŁU / KARTA PRZEDMIOTU Kod modułu Nazwa modułu Nazwa modułu w języku angielskim Obowiązuje od roku akademickiego 2012/2013 Teoria sygnałów Signal Theory A. USYTUOWANIE MODUŁU W SYSTEMIE STUDIÓW
Bardziej szczegółowoInformacja o przestrzeniach Hilberta
Temat 10 Informacja o przestrzeniach Hilberta 10.1 Przestrzenie unitarne, iloczyn skalarny Niech dana będzie przestrzeń liniowa X. Załóżmy, że każdej parze elementów x, y X została przyporządkowana liczba
Bardziej szczegółowoPodstawy Automatyki. Wykład 5 - stabilność liniowych układów dynamicznych. dr inż. Jakub Możaryn. Warszawa, Instytut Automatyki i Robotyki
Wykład 5 - stabilność liniowych układów dynamicznych Instytut Automatyki i Robotyki Warszawa, 2015 Wstęp Stabilność O układzie możemy mówić, że jest stabilny gdy układ ten wytrącony ze stanu równowagi
Bardziej szczegółowoAkwizycja i przetwarzanie sygnałów cyfrowych
Akwizycja i przetwarzanie sygnałów cyfrowych Instytut Teleinformatyki ITI PK Kraków 21 luty 2011 Analiza czestotliwościowa sygnałów dyskretnych Do tej pory - dwie metody analizy częstotliwościowej sygnałów
Bardziej szczegółowoPolitechnika Wrocławska Wydział Elektroniki Mikrosystemów i Fotoniki Przetwarzanie sygnałów laboratorium ETD5067L
Politechnika Wrocławska Wydział Elektroniki Mikrosystemów i Fotoniki Przetwarzanie sygnałów laboratorium ETD5067L Ćwiczenie 3. Właściwości przekształcenia Fouriera 1. Podstawowe właściwości przekształcenia
Bardziej szczegółowoObwody prądu zmiennego
Obwody prądu zmiennego Prąd stały ( ) ( ) i t u t const const ( ) u( t) i t Prąd zmienny, dowolne funkcje czasu i( t) t t u ( t) t t Natężenie prądu i umowny kierunek prądu Prąd stały Q t Kierunek poruszania
Bardziej szczegółowoPOLITECHNIKA POZNAŃSKA
POLIECHNIKA POZNAŃSKA INSYU ELEKROECHNIKI I ELEKRONIKI PRZEMYSŁOWEJ Zakład Elektrotechniki eoretycznej i Stosowanej Laboratorium Podstaw elekomunikacji Ćwiczenie nr 1 emat: Pomiar widma częstotliwościowego
Bardziej szczegółowoPodstawy Elektrotechniki i Elektroniki. Opracował: Mgr inż. Marek Staude
Podstawy Elektrotechniki i Elektroniki Opracował: Mgr inż. Marek Staude Część 2 Analiza obwodów w stanie ustalonym przy wymuszeniu sinusoidalnym Przypomnienie ostatniego wykładu Prąd i napięcie Podstawowe
Bardziej szczegółowoPodstawy Automatyki. Wykład 3 - Charakterystyki częstotliwościowe, podstawowe człony dynamiczne. dr inż. Jakub Możaryn. Instytut Automatyki i Robotyki
Wykład 3 -, podstawowe człony dynamiczne Instytut Automatyki i Robotyki Warszawa, 2019 Wstęp określają zachowanie się elementu (układu) pod wpływem ciągłych sinusoidalnych sygnałów wejściowych. W analizie
Bardziej szczegółowoMODULACJE ANALOGOWE. Funkcja modulująca zależna od sygnału modulującego: m(t) = m(t) e
Nośna: MODULACJE ANALOGOWE c(t) = Y 0 cos(ωt + ϕ 0 ) Sygnał analityczny sygnału zmodulowanego y(t): z y (t) = m(t)z c (t), z c (t) = Y 0 e jωt Funkcja modulująca zależna od sygnału modulującego: j arg
Bardziej szczegółowoDYSKRETNA TRANSFORMACJA FOURIERA
Laboratorium Teorii Sygnałów - DFT 1 DYSKRETNA TRANSFORMACJA FOURIERA Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia jest przeprowadzenie analizy widmowej sygnałów okresowych za pomocą szybkiego przekształcenie Fouriera
Bardziej szczegółowoPodstawy Automatyki. Wykład 3 - charakterystyki częstotliwościowe, podstawowe człony dynamiczne. dr inż. Jakub Możaryn. Instytut Automatyki i Robotyki
Wykład 3 - charakterystyki częstotliwościowe, podstawowe człony dynamiczne Instytut Automatyki i Robotyki Warszawa, 2015 cz.1: Charakterystyki częstotliwościowe Wstęp Charakterystyki częstotliwościowe
Bardziej szczegółowoWstęp do metod numerycznych Dyskretna transformacja Fouriera. P. F. Góra
Wstęp do metod numerycznych Dyskretna transformacja Fouriera P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 01 Problem Majac dany szereg czasowy {x i } N i=1 = {x 1, x,..., x N } (zazwyczaj nieciekawy),
Bardziej szczegółowoIII. Funkcje rzeczywiste
. Pojęcia podstawowe Załóżmy, że dane są dwa niepuste zbiory X i Y. Definicja. Jeżeli każdemu elementowi x X przyporządkujemy dokładnie jeden element y Y, to mówimy, że na zbiorze X została określona funkcja
Bardziej szczegółowoLepkosprężystość. Metody pomiarów właściwości lepkosprężystych materii
Metody pomiarów właściwości lepkosprężystych materii Pomiarów dokonuje się w dwóch dziedzinach: czasowej lub częstotliwościowej i nie zależy to od rodzaju przyłożonych naprężeń (normalnych lub stycznych).
Bardziej szczegółowoPodstawy Automatyki. Wykład 3 - charakterystyki częstotliwościowe, podstawowe człony dynamiczne. dr inż. Jakub Możaryn. Instytut Automatyki i Robotyki
Wykład 3 - charakterystyki częstotliwościowe, podstawowe człony dynamiczne Instytut Automatyki i Robotyki Warszawa, 2017 cz.1: Charakterystyki częstotliwościowe Wstęp Charakterystyki częstotliwościowe
Bardziej szczegółowoAnaliza szeregów czasowych: 2. Splot. Widmo mocy.
Analiza szeregów czasowych: 2. Splot. Widmo mocy. P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ semestr letni 2007/08 Splot Jedna z najważniejszych własności transformaty Fouriera jest to, że transformata
Bardziej szczegółowoTEORIA OBWODÓW I SYGNAŁÓW LABORATORIUM
TEORIA OBWODÓW I SYGNAŁÓW LABORATORIUM AKADEMIA MORSKA Katedra Telekomunikacji Morskiej ĆWICZENIE 7 BADANIE ODPOWIEDZI USTALONEJ NA OKRESOWY CIĄG IMPULSÓW 1. Cel ćwiczenia Obserwacja przebiegów wyjściowych
Bardziej szczegółowoZmiany fazy/okresu oscylacji Chandlera i rocznej we współrzędnych bieguna ziemskiego.
Strona 1 z 27 Zmiany fazy/okresu oscylacji Chandlera i rocznej we współrzędnych bieguna ziemskiego. Alicja Rzeszótko Wiesław Kosek Waldemar Popiński Seminarium Sekcji Dynamiki Ziemi Komitetu Geodezji PAN
Bardziej szczegółowoELEKTRONIKA W EKSPERYMENCIE FIZYCZNYM
ELEKTRONIKA W EKSPERYMENCIE FIZYCZNYM D. B. Tefelski Zakład VI Badań Wysokociśnieniowych Wydział Fizyki Politechnika Warszawska, Koszykowa 75, 00-662 Warszawa, PL 28 lutego 2011 Stany nieustalone, stabilność
Bardziej szczegółowoPochodna funkcji. Pochodna funkcji w punkcie. Różniczka funkcji i obliczenia przybliżone. Zastosowania pochodnych. Badanie funkcji.
Pochodna funkcji Pochodna funkcji w punkcie. Różniczka funkcji i obliczenia przybliżone. Zastosowania pochodnych. Badanie funkcji. Małgorzata Wyrwas Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika
Bardziej szczegółowoMatematyczne Metody Fizyki II
Matematyczne Metody Fizyki II Mariusz Przybycień Wydział Fizyki i Informatyki Stosowanej Akademia Górniczo-Hutnicza Wykład 7 M. Przybycień (WFiIS AGH) Matematyczne Metody Fizyki II Wykład 7 1 / 11 Reprezentacja
Bardziej szczegółowoprzy warunkach początkowych: 0 = 0, 0 = 0
MODELE MATEMATYCZNE UKŁADÓW DYNAMICZNYCH Podstawową formą opisu procesów zachodzących w członach lub układach automatyki jest równanie ruchu - równanie dynamiki. Opisuje ono zależność wielkości fizycznych,
Bardziej szczegółowoInduktor i kondensator. Warunki początkowe. oraz ciągłość warunków początkowych
Termin AREK73C Induktor i kondensator. Warunki początkowe Przyjmujemy t, u C oraz ciągłość warunków początkowych ( ) u ( ) i ( ) i ( ) C L L Prąd stały i(t) R u(t) u( t) Ri( t) I R RI i(t) L u(t) u() t
Bardziej szczegółowoPrzekształcenia widmowe Transformata Fouriera. Adam Wojciechowski
Przekształcenia widmowe Transformata Fouriera Adam Wojciechowski Przekształcenia widmowe Odmiana przekształceń kontekstowych, w których kontekstem jest w zasadzie cały obraz. Za pomocą transformaty Fouriera
Bardziej szczegółowoTreści programowe. Matematyka. Efekty kształcenia. Warunki zaliczenia. Literatura. Funkcje elementarne. Katarzyna Trąbka-Więcław
Treści programowe Matematyka Katarzyna Trąbka-Więcław Funkcje elementarne. Granica funkcji, własności granic, wyrażenia nieoznaczone, ciągłość funkcji. Pochodna funkcji w punkcie i w przedziale, pochodne
Bardziej szczegółowo1. Modulacja analogowa, 2. Modulacja cyfrowa
MODULACJA W16 SMK 2005-05-30 Jest operacja mnożenia. Jest procesem nakładania informacji w postaci sygnału informacyjnego m.(t) na inny przebieg o wyższej częstotliwości, nazywany falą nośną. Przyczyna
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /15
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2013 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 7/15 Rachunek różnicowy Dobrym narzędziem do obliczania skończonych sum jest rachunek różnicowy. W rachunku tym odpowiednikiem operatora
Bardziej szczegółowoZmiany fazy/okresu oscylacji Chandlera i rocznej we współrzędnych bieguna ziemskiego.
Strona 1 z 38 Zmiany fazy/okresu oscylacji Chandlera i rocznej we współrzędnych bieguna ziemskiego. Alicja Rzeszótko alicja@cbk.waw.pl 2 czerwca 2006 1 Omówienie danych 3 Strona główna Strona 2 z 38 2
Bardziej szczegółowoTeoria systemów i sygnałów Kierunek AiR, sem. 5 2wE + 1l
Teoria systemów i sygnałów Kierunek AiR, sem. 5 2wE + 1l Prof. dr hab. Wojciech Moczulski Politechnika Ślaska, Wydział Mechaniczny Technologiczny Katedra Podstaw Konstrukcji Maszyn 19 października 2008
Bardziej szczegółowoRozdział 5. Szeregi liczbowe. 5.1 Szeregi liczbowe. Definicja sumy częściowej ciągu. Niech dany będzie ciąg liczbowy (a n ) n=1.
Rozdział 5 Szeregi liczbowe 5. Szeregi liczbowe Definicja sumy częściowej ciągu. Niech dany będzie ciąg liczbowy ( ). Ciąg (s n ) określony wzorem s n = n a j, n N, nazywamy ciągiem sum częściowych ciągu
Bardziej szczegółowo1 Płaska fala elektromagnetyczna
1 Płaska fala elektromagnetyczna 1.1 Fala w wolnej przestrzeni Rozwiązanie równań Maxwella dla zespolonych amplitud pól przemiennych sinusoidalnie, reprezentujące płaską falę elektromagnetyczną w wolnej
Bardziej szczegółowo(1.1) gdzie: - f = f 2 f 1 - bezwzględna szerokość pasma, f śr = (f 2 + f 1 )/2 częstotliwość środkowa.
MODULACJE ANALOGOWE 1. Wstęp Do przesyłania sygnału drogą radiową stosuje się modulację. Modulacja polega na odzwierciedleniu przebiegu sygnału oryginalnego przez zmianę jednego z parametrów fali nośnej.
Bardziej szczegółowoPOLITECHNIKA POZNAŃSKA
POLITECHNIKA POZNAŃSKA INSTYTUT ELEKTROTECHNIKI I ELEKTRONIKI PRZEMYSŁOWEJ Zakład Elektrotechniki Teoretycznej i Stosowanej Laboratorium Podstaw Telekomunikacji Ćwiczenie nr 1 Temat: Pomiar widma częstotliwościowego
Bardziej szczegółowoDyskretne przekształcenie Fouriera
Dyskretne przekształcenie Fouriera Dyskretne przekształcenie Fouriera (ang. Discrete Fourier Transform - DFT) jest jedną z dwóch najbardziej popularnych i wydajnych procedur spotykanych w dziedzinie cyfrowego
Bardziej szczegółowoPrzykładowe zadania z teorii liczb
Przykładowe zadania z teorii liczb I. Podzielność liczb całkowitych. Liczba a = 346 przy dzieleniu przez pewną liczbę dodatnią całkowitą b daje iloraz k = 85 i resztę r. Znaleźć dzielnik b oraz resztę
Bardziej szczegółowo