Transformata Fouriera. Krzysztof Patan

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Transformata Fouriera. Krzysztof Patan"

Transkrypt

1 Transformata Fouriera Krzysztof Patan

2 Aproksymacja sygnałów Aproksymacja sygnału x(t) za pomocą rozwinięcia o skończonej długości polega na znalezieniu funkcji ˆx n (t) = c 1 x 1 (t) + + c k x k (t) + + c n x n (t) gdzie c i współczynniki rzeczywiste lub zespolone, x k (t) funkcje, np. ortogonalne < x i (t), x j (t) >= 0 Miara błędu ε = x(t) ˆx n (t) 2 = x(t) n c k x k (t) 2 k=1 Zadanie aproksymacji to poszukiwanie minimum miary błedu ε ze względu na dobór współczynników c k W przestrzeni L 2 (całkowalnej z kwadratem) współczynniki przybierają postać: c k = < x(t), x k(t) > x k (t) 2, k = 1, 2,..., n Szereg aproksymujący (*) nosi nazwę szeregu Fouriera ( )

3 Reprezentacja sygnału ciągłego szereg Fouriera Załóżmy, że x(t) to sygnał okresowy x(t) = x(t + T ) t Szukamy rozwinięcia w wykładniczy szereg Fouriera postaci x(t) = k= c k e jkω 0t = k= gdzie ω 0 = 2π T częstotliwość podstawowa c k współczynniki rozwinięcia T okres sygnału k = 0, k = 1, k = 2,... harmoniczne sygnału c k e jk2πt/t

4 Problem: Jak znaleźć współczynniki rozwinięcia? Odpowiedź czyli x(t) x(t)e jnω 0t T zauważmy, że x(t)e jnω0t dt = T pomnóż przez e jnω 0t x(t)e jnω 0t scałkuj po całym okresie T T x(t)e jnω 0t dt = k= T k= ( c k T e j(k n)ω 0t dt = c k e jkω 0t e jnω0t dt = ) e j(k n)ω0t dt { T, k = n 0, k n = T δ[k n]

5 ostatecznie x(t)e jnω0t dt = c k T δ[k n] T k= jeśli przedstawimy to dla konkretnego współczynnika k = n to x(t)e jkω0t dt = c k T c k = 1 x(t)e jkω0t dt T T T Szereg Fouriera dla sygnału ciągłego x(t) = c k e jkω 0t c k = 1 T k= T x(t)e jkω 0t dt synteza sygnału analiza sygnału

6 Postać trygonometryczna szeregu Fouriera Wzory Eulera cos(kω 0 t) = 1 ( e jkω 0t + e jkω0t) 2 sin(kω 0 t) = 1 ( e jkω 0t e jkω0t) 2j Po przekształceniach: c k e jkω 0t = c 0 + c k e jkω0t + c k e jkω 0t k= k=1 k=1 = c 0 + c k (cos(kω 0t)+j sin(kω 0t))+c k (cos(kω 0t) j sin(kω 0t)) k=1 = c 0 + a k cos(kω 0t) + jb k sin(kω 0t) k=1 gdzie a k = (c k + c k ), b k = j(c k c k )

7 Przykład 1 po zastosowaniu wzorów Eulera x(t) = 1 2 x(t) = cos(4πt) + 2 sin(8πt) (e j4πt + e j4πt) + 2 (e j8πt e j8πt) j2 czyli współczynniki ω 0 = 4π, T = 2π ω 0 = 1 2 c 0 = 0, c 1 = 1 2, c 2 = 1 j, c 1 = 1 2, c 2 = 1 j, c 3 = 0, c 3 = 0

8 Przykład 1 po zastosowaniu wzorów Eulera x(t) = 1 2 x(t) = cos(4πt) + 2 sin(8πt) (e j4πt + e j4πt) + 2 (e j8πt e j8πt) j2 czyli współczynniki ω 0 = 4π, T = 2π ω 0 = 1 2 c 0 = 0, c 1 = 1 2, c 2 = 1 j, c 1 = 1 2, c 2 = 1 j, c 3 = 0, c 3 = 0

9 Charakterystyki szeregu Fouriera Szereg Fouriera jest przekształceniem, które przyporządkowuje ciągłemu sygnałowi okresowemu x(t) sygnał dyskretny {c k, k = 0, ±1, ±2,... } Zespolony współczynik c k można przedstawić w postaci: c k = c k e jϕ k Widmo aplitudowe: zbiór { c k, k = 0, ±1, ±2,... } Widmo fazowe: zbiór {ϕ k, k = 0, ±1, ±2,... } Widmo dystrybucji mocy: zbiór { c k 2, k = 0, ±1, ±2,... }

10 Przykład 2 Okresowa fala prostokątna 1 x(t) dla k = 0 dla k 0 T -T/2 -T 1 0 T 1 T/2 c 0 = 1 T T/2 T/2 T x(t)dt = 2T 1 T t c k T/2 T1 = 1 x(t)e jkω0t dt = 1 e jkω0t dt T T/2 T T 1 = 1 T 1 jkω 0 T e jkω0t = sin(kω 0T 1 ) T 1 kπ

11 Przykład 2 Okresowa fala prostokątna 1 x(t) dla k = 0 dla k 0 T -T/2 -T 1 0 T 1 T/2 c 0 = 1 T T/2 T/2 T x(t)dt = 2T 1 T t c k T/2 T1 = 1 x(t)e jkω0t dt = 1 e jkω0t dt T T/2 T T 1 = 1 T 1 jkω 0 T e jkω0t = sin(kω 0T 1 ) T 1 kπ

12 Przykład 2 Okresowa fala prostokątna 1 x(t) dla k = 0 dla k 0 T -T/2 -T 1 0 T 1 T/2 c 0 = 1 T T/2 T/2 T x(t)dt = 2T 1 T t c k T/2 T1 = 1 x(t)e jkω0t dt = 1 e jkω0t dt T T/2 T T 1 = 1 T 1 jkω 0 T e jkω0t = sin(kω 0T 1 ) T 1 kπ

13 Przykład 2 cd Widmo okresowej fali prostokątnej

14 Efekt Gibbsa okresowa fala prostokątna wraz ze zwiększaniem liczby wyrazów maleje błąd aproksymacji, ale oscylacje wokół punktów nieciągłości pozostają stałe, zmienia się ich czas trwania (a) k = 1 (b) k = line 1 line line 1 line (c) k = 7 (d) k = line 1 line line 1 line DEMO: gibbs.m

15 Zbieżność szeregu Fouriera Funkcja x(t) aproksymowana jest przez funkcję ˆx(t) postaci ˆx(t) = c k e jkω0t k= ( ) błąd aproksymacji e(t) zadanie aproksymacji e(t) = x(t) ˆx(t) = x(t) 1 min e(t) 2 dt c k T T k= c k e jkω0t szereg aproksymacyjny ( ) zapewnia minimum błędu w sensie energii lub mocy sygnału błędu 1 lim e(t) 2 dt = 0 k 0T T

16 Warunki Dirichleta zbieżności szeregu Fouriera 1 funkcja x(t) jest bezwzględnie całkowalna na dowolnym przedziale o długości okresu T, tzn. T x(t) dt < 2 w każdym ograniczonym przedziale, x(t) ma skończoną liczbę maksimów i minimów o skończonej wartości 3 w każdym ograniczonym przedziale, x(t) ma skończoną liczbę nieciągłości Jeżeli warunki Dirichleta są spełnione to sygnał okresowy x(t) może być reprezentowany jako suma szeregu funkcji harmonicznych Warunki Dirichleta są spełnione dla większości sygnałów spotykanych w rzeczywistości

17 Przykłady sygnałów dla których warunki Dirichleta nie są spełnione 1 Sygnał x(t) o okresie T 0 = 1 zdefiniowany { 0 dla t = 0 x(t) = sin(2π/t) dla 0 < t 1 funkcja nie spełnia drugiego warunku Dirichleta 2 Sygnał x(t) o okresie T 0 = 1 zdefiniowany { 0 dla t = 0 x(t) = ( dla t 1 k 1 k+1, 1 k funkcja nie spełnia trzeciego warunku Dirichleta ], k = 1, 2,...

18 Przykłady sygnałów dla których warunki Dirichleta nie są spełnione 1 Sygnał x(t) o okresie T 0 = 1 zdefiniowany { 0 dla t = 0 x(t) = sin(2π/t) dla 0 < t 1 funkcja nie spełnia drugiego warunku Dirichleta 2 Sygnał x(t) o okresie T 0 = 1 zdefiniowany { 0 dla t = 0 x(t) = ( dla t 1 k 1 k+1, 1 k funkcja nie spełnia trzeciego warunku Dirichleta ], k = 1, 2,...

19 Przykłady sygnałów dla których warunki Dirichleta nie są spełnione 1 Sygnał x(t) o okresie T 0 = 1 zdefiniowany { 0 dla t = 0 x(t) = sin(2π/t) dla 0 < t 1 funkcja nie spełnia drugiego warunku Dirichleta 2 Sygnał x(t) o okresie T 0 = 1 zdefiniowany { 0 dla t = 0 x(t) = ( dla t 1 k 1 k+1, 1 k funkcja nie spełnia trzeciego warunku Dirichleta ], k = 1, 2,...

20 Przykłady sygnałów dla których warunki Dirichleta nie są spełnione 1 Sygnał x(t) o okresie T 0 = 1 zdefiniowany { 0 dla t = 0 x(t) = sin(2π/t) dla 0 < t 1 funkcja nie spełnia drugiego warunku Dirichleta 2 Sygnał x(t) o okresie T 0 = 1 zdefiniowany { 0 dla t = 0 x(t) = ( dla t 1 k 1 k+1, 1 k funkcja nie spełnia trzeciego warunku Dirichleta ], k = 1, 2,...

21 Właściwości szeregu Fouriera Liniowość: x(t) a k, y(t) b k αx(t) + βy(t) αa k + βb k Symetria (i) jeśli x(t) funkcja rzeczywista i parzysta to c k rzeczywista i parzysta funkcja zmiennej k (ii) jeśli x(t) funkcja rzeczywista i nieparzysta to c k urojona i nieparzysta funkcja zmiennej k Przesunięcie w dziedzinie czasu x(t) c k x(t t 0 ) c k e jkω 0t 0 = c k e jk2πt 0/T przesunięcie nie zmienia modułów współczynników, ale zmienia ich fazy o kω 0t 0

22 Równość Parsevala 1 x(t) 2 dt = T T }{{} średnia moc sygnału k= c k 2 }{{} moc k-tej harmonicznej Moc sygnału obliczamy jako sumę kwadratów modułów współczynników rozwinięcia w szereg Fouriera Równość Parsevala dostarcza informacji o rozkładzie mocy sygnału w funkcji częstotliwości Ćwiczenie. Obliczyć moc sygnału z przykładu 1

23 Reprezentacja sygnału dyskretnego szereg Fouriera x[n] sygnał okresowy z okresem N x[n] = x[n + N] ω 0 = 2π N za względu na okresowość: e jkω0n = e j(k+n)ω0n wystarczy wziąć N sygnałów:e j0ω0n, e j1ω0n,..., e jn 1ω0n czyli x[n] = k=<n> c k e jk(2π/n)n gdzie c k współczynniki rozwinięcia k = 0, k = 1, k = 2,... harmoniczne sygnału UWAGA: Szereg Fouriera dla sygnału dyskretnego jest skończony!

24 Problem: Jak znaleźć współczynniki rozwinięcia? Odpowiedź x[n] x[n]e jmω 0n czyli pomnóż przez e jmω 0n x[n]e jmω 0n sumuj po N kolejnych wyrazach n=<n> x[n]e jmω 0n n=<n> x[n]e jmω 0n = = n=<n> k=<n> = Nc m c k ( k=<n> c k e jkω 0n e jmω 0n e j(k m)ω 0n ) n=<n> }{{} =Nδ[k m]

25 Szereg geometryczny N 1 N dla a = 1 a n = 1 a n=0 N dla a 1 1 a Ćwiczenie Pokazać, że n=<n> x[n]e jmω 0n = Nc m

26 Szereg Fouriera dla sygnału dyskretnego x[n] = c k e jkω 0n synteza sygnału c k = 1 N k=<n> x[n]e jkω 0n k=<n> analiza sygnału Wygodnie jest rozważać współczynniki c k tak jakby były zdefiniowane dla wszystkich liczb k: 1 c k+n = c k specjalna właściwość współczynników szeregu Fouriera (tylko dla sygnałów dyskretnych!) 2 używamy tylko N kolejnych wartości c k ; x[n] jest reprezetowane tylko przez N współczynników

27 Przykład 3 ( ) ( π π x[n] = cos 8 n + cos 4 n + π ) 4 x[n] = 1 2 ( e jπ/8n + e jπ/8n) + 1 (e jπ/4n e jπ/4 + e jπ/4n e jπ/4) 2 czyli współczynniki ω 0 = π/8, N = 16 c 0 =0, c 1 = 1 2, c 1 = 1 2, c 2 = 1 2 ejπ/4, c 2 = 1 2 e jπ/4, c 3 =0, c 3 =0 c 15 = c 1+16 = c 1 = 1 2, a 66 = c = c 2 = 1 2 ejπ/4

28 Przykład 4 Okresowa fala prostokątna 1 x[n] dla n = 0 dla k wielokrotność N N -N 1 0 N 1 c 0 = 1 N N 1 N x[n] = 2N1 + 1 N n= N 1 n c k N 1 = 1 e jkω0n = 1 N N n= N 1 = 1 2N 1 N ejkω 0N 1 = 1 N m=0 sin(k(n 1 + 1/2)ω 0) sin(kω 0/2) 2N 1 e jkω 0(m N 1 ) m=0 ( e jkω 0 ) m 1 = N ejkω 0N 1 1 e jkω0(2n1+1) 1 e jkω 0 = 1 N Uwaga: korzystamy z sumy szeregu geometrycznego sin(2πk(n 1 + 1/2)/N) sin(πk/n)

29 Przykład 4 cd Widmo fali prostokątnej N 1 = N = N = N = DEMO: widmo.m

30 Transformata Fouriera sygnałów ciągłych Szeregi Fouriera stosuje się dla sygnałów okresowych Problem: Co w przypadku, gdy x(t) jest nieokresowy? Sygnał nieokresowy można rozważać jako sygnał okresowy z okresem T Dla sygnału okresowego, harmoniczne są rozmieszczone co ω 0 = 2π/T Gdy T, ω 0 0 i harmoniczne są rozmieszczane coraz gęściej w dziedzinie częstotliwości szereg Fouriera zastępujemy całką Fouriera

31 ˆx(t) = c k e jkω 0t k= ω 0 = 2π T c k = 1 T T 2 T 2 ˆx(t)e jkω 0t dt w rozważanym przedziale ˆx(t) = x(t) więc c k = 1 T T 2 T 2 x(t)e jkω 0t dt = 1 T x(t)e jkω 0t dt zdefiniujmy wtedy X(jω) = x(t)e jkωt dt c k = X(jkω 0) T

32 dla T 2 < t < T 2 x(t) = ˆx(t) = k= kiedy T, ω 0 dω 1 T X(jkω 0) e jkω 0 t = 1 }{{} 2π c k Transformata Fouriera dla sygnału ciągłego k= odwrotna transformata Fouriera synteza sygnału ω 0 X(jkω 0 )e jkω 0t x(t) = F 1 (X(jω)) = 1 X(jω)e jωt dω 2π k= transformata Fouriera analiza sygnału X(jω) = F (x(t)) = x(t)e jωt dt

33 Transformatę Fouriera można stosować dla sygnałów: 1 ze skończoną energią x(t) 2 dt < jeżeli błąd e(t) = x(t) 1 2π infty X(jω)ejωt dω wtedy e(t) 2 dt = 0 2 spełniających warunki Dirichleta x(t) jest bezwzględnie całkowalna na t (, ) x(t) ma skończoną liczbą maksimów i minimów w każdym skończonym przedziale x(t) ma skończoną liczbę nieciągłości o skończonej wartości w każdym skończonym przedziale ˆx(t) = x(t) w punktach ciągłości sygnału x(t) ˆx(t) = x(t+ ) + x(t ) w punktach nieciągłości sygnału x(t) 2 3 okresowych

34 Właściwości transformaty Fouriera dla sygnałów ciągłych Liniowość: ax(t) + by(t) ax(jω) + by (jω) Przesunięcie w dziedzinie czasu: x(t t 0 ) e jω 0t 0 X(jω) przesunięcie nie zmienia modułów X(jω), ale zmienia ich fazy o kωt 0 Symetria: jeśli x(t) funkcja rzeczywista to X( jω) = X (jω) X( jω) = X(jω) parzyste X( jω) = X(jω) nieparzyste Re X( jω) = Re X(jω) parzyste Im X( jω) = Im X(jω) nieparzyste

35 Zmiana skali czasu: x(at) 1 (j a X ω ) a a > 0 sygnał przyspiesza w dziedzinie czasu jego widmo zostaje rozciągnięte, zwiększa się zawartość widma w zakresie większych częstotliwości a < 0 sygnał zwalnia w dziedzinie czasu widmo zostaję sciśnięte, zwiększa się zawartość widma w zakresie małych częstotliwości

36 Przykład 5 Impuls jednostkowy (a) x(t) = δ(t) (b) x(t) = δ(t t 0 ) X(jω) = X(jω) = δ(t) = 1 2π δ(t)e jωt dt = 1 e jωt dω δ(t t 0 )e jωt dt = e jωt 0

37 Przykład 6 Funkcja wykładnicza x(t) = e at u(t), a > 0 X(jω) = X(jω) = DEMO: f wykl.m x(t)e jωt dt = ( ) 1 = e (a+jω)t = a + jω 0 1 a 2 + ω 2 ) X(jω) = tg 1 ( ω a 0 e at e jωt dt }{{} e (a+jω)t 1 a + jω funkcja parzysta funkcja nieparzysta

38 Przykład 7 Impuls prostokątny x(t) = 1 dla t < T 1, T 1 > X(0) = X(jω) = T1 e jωt dt = 2 sin(ωt 1) T 1 ω x(t)dt X(0) = T1 T 1 x(t)dt = 2T 1 x(0) = 1 X(jω)dω x(0) = 1 X(jω)dω = 1 2π 2π 2π P = 1

39 Przykład 7 cd 4 X(jw) DEMO: f square.m

40 Przykład 8 Funkcja Gaussa x(t) = e at2 X(jω) = = = ( e at2 e jωt dt ( e a t 2 +j ω jω a t+( 2a ) 2) +a( jω 2a ) 2 dt jω a(t+ e ) 2a ) 2 dt e ω2 4a π X(jω) = 2 4a a e ω

41 Przykład 8 cd 1 x(t) 1.4 X(jw) t w DEMO: f gauss.m

42 Transformata Fouriera sygnałów dyskretnych x[n] sygnał nieokresowy o skończonej długości N jest dostatecznie duże takie, że x[n] = 0 jeśli n N 2 ˆx[n] = x[n] dla n N 2 okresowy z okresem N czyli ˆx[n] = x[n] n kiedy N

43 ˆx[n] = c k e jkω0n, k=<n> ω 0 = 2π N c k = 1 N = 1 N n=<n> N 2 ˆx[n]e jkω 0n n=n 1 ˆx[n]e jkω 0n = 1 N x[n]e jkω 0n n= zdefiniujmy X(e jω ) = x[n]e jωn n= syg. okresowy z okresem 2π c k = 1 N X(ejkω 0 )

44 ˆx[n] = k=<n> 1 N X(ejkω 0 ) e jkω 0 n = 1 }{{} 2π c k gdy N to ˆx[n] = x[n] n k=<n> gdy ω 0 0 to ω 0 dω w równaniu ( ) Transformata Fouriera dla sygnału dyskretnego odwrotna transformata Fouriera synteza sygnału ω 0 X(e jkω 0 )e jkω 0n ( ) x[n] = Fd 1 (X(ejω )) = 1 X(e jω )e jωn dω 2π 2π transformata Fouriera analiza sygnału X(e jω ) = F d (x[n]) = n= x[n]e jωn

45 Przykład 9 Impuls prostokątny x[n] 1 N 1 N 1 n N 1 X(e jω ) = e jωn = n= N 1 DEMO: square pulse.m N 1 n= N 1 (e jω) n = sin(ω(n 1 + 1/2)) sin(ω/2) Uwaga! Transformata jest okresowa: X(e jω ) = X(e j(ω 2π) )

46 Właściwości transformaty Fouriera dla sygnałów dyskretnych 1 Okresowość 2 Liniowość X(e j(ω+2π) ) = X(e jω ) ax 1 [n] + bx 2 [n] ax 1 (e jω ) + bx 2 (e jω ) 3 Przesunięcie w dziedzinie czasu x[n n 0 ] e jωn 0 X(e jω ) 4 Przesunięcie w dziedzinie częstotliwości e jω0n x[n] X(e j(ω ω0) )

47 5 Inwersja czasu 6 Symetria x[ n] X(e jω ) x[n] rzeczywisty X(e jω ) = X (e jω ) X(e jω ) i Re(X(e jω )) są parzyste X(e jω ) i Im(X(e jω )) są nieparzyste 7 Zmiana skali czasu x[n/2] nie ma sensu (chwile czasu to liczby całkowite!) x[2n] tracimy wartości dla nieparzystych chwil czasu x[n] Można spowolnić sygnał wprowadzając zera w odpowiednich czwilach czasu

48 x[n] n x[n] n

49 Dyskretna Transformata Fouriera Przekształcenie Fouriera dla sygnałów dyskretnych definiuje częstotliwościowy model nieskończonych ciągów dyskretnych W rzeczywistości czas obserwacji sygnału jest skończony skończone ciągi Przekształcenie Fouriera dla sygnałów dyskretnych prowadzi do ciągłego widma częstotliwościowego sygnału Dyskretna Transformata Fouriera prowadzi do dyskretnego widma częstotliwościowego sygnału Dyskretna Transformata Fouriera pozwala na estymację widma sygnału ciągłego

50 x[n] ciąg o skończonej długości N przekształcenie Fouriera X(e jω ) = F d (x[n]) = n= wprowadźmy dyskretyzację zmiennej ω x[n]e jωn = N 1 ω k = 2π k, k = 0, 1,..., N 1 N próbka w dziedzinie pulsacji X N [k] = D F (x[n]) = n=0 N 1 x[n]e jkn(2π/n) n=0 x[n]e jωn wyrażenie ( ) nazywamy dyskretnym przekształceniem Fouriera (ang. Discrete Fourier Transform, DFT) ( )

51 Problem: Jak znaleźć przekształcenie odwrotne? Dla transformaty Fouriera sygnałów dyskretnych otrzymaliśmy: x[n] = 1 N 1 ω 0 X(e jkω0 )e jkω0n, 2π k=0 ω 0 = 2π N x[n] = 1 N 1 2π 2π N X(ejk2π/N )e jkn2π/n = 1 N k=0 Dyskretna Transformata Fouriera, DFT N 1 k=0 X N [k]e jkn2π/n odwrotna transformata Fouriera synteza sygnału x[n] = D 1 F (X N[k]) = 1 N 1 X N [k]e jkn2π/n N k=0 transformata Fouriera analiza sygnału N 1 X(e jω ) = D F (x[n]) = n=0 x[n]e jkn2π/n

52 Szybkie przekształcenie Fouriera Szybkie przekształcenie Fouriera FFT (ang. Fast Fourier Transform) jest efektywną procedurą numeryczną do wyznacznia DFT Cooley-Tukey FFT najbardziej popularna procedura wyznaczania DFT (1965r.) Algorytm wyznacza transformatę Fouriera osobno dla parzystych próbek x[2m], nieparzystych x[2m + 1], a następnie łączy te wyniki w celu otrzymania transformaty Fouriera dla całej sekwencji Cały proces można przeprowadzić rekurencyjnie co skraca czas obliczeń Procedura zakłada N jako potęgę 2 w praktyce ograniczenie z reguły nie sprawia problemów

53 X N [k] = = = N/2 1 m=0 M 1 m=0 N/2 1 x[2m]e j2mk2π/n + m=0 M 1 x[2m]e jmk2π/m + e jk2π/m E k + e j 2π N k O k E k M e j 2π(k M) x[2m + 1]e j(2m+1)k2π/n m=0 k < M N O k M k M x[2m + 1]e jmk2π/m gdzie M = N 2 E j parzyste próbki x[2m] O j nieparzyste próbki x[2m + 1] m = 0,..., M 1, j = 0,..., M 1

54 Przykład 10, DFT różnych sygnałów (a) impulsu prostokątnego DEMO: dft square.m (b) fali prostokątnej DEMO: dft square2.m (c) sinusoidy DEMO: dft sinus.m

55 Analiza systemów o wymuszeniach okresowych Załóżmy, że liniowy system stacjonarny jest pobudzany sygnałem okresowym x(t) Rozpatrzmy skończoną aproksymację ˆx n sygnału x(t) postaci ˆx n = A 0 + n A k cos(kω 0 t + ϕ k ) (1) k=1 Ponieważ system jest liniowy, to można zastosować zasadę superpozycji: przeprowadzić analizę systemu oddzielnie dla każdej harmonicznej, a następnie zsumować wyniki Jeżeli odpowiedź na k-tą harmoniczną określimy jako B k cos(kω 0 t + γ k ) to odpowiedzią systemu na wymuszenie ˆx n jest n ŷ n = B 0 + B k cos(kω 0 t + γ k ) (2) k=1

56 Przykład 11 Rozważmy elektryczny układ RC ze źródłem prądowym i(t) = 0.1 1(cos(2πt)). Znaleźć napięcie u(t). R I 0 I 1e jt I ne jnt Szukamy napięcia postaci C u(t) i(t) = k= I k e jkt I 0 = π, I k = sin(kπ/2) kπ u(t) = k= U k e jkt Impedancja obwodu R z(k) = 1 + jkrc Składowa stała analiza stałoprądowa U 0 = I 0R Odpowiedź na k-tą harmoniczną sygnału wejściowego U k = I k z(k) = I k R 1 + jkrc

57 Transmitancja częstotliwościowa Własności dynamiczne układu można opisać w postaci równania różniczkowego a n d n y(t) dt n = b m d m u(t) dt m + a n 1 d n 1 y(t) dt n 1 + b m 1 dy(t) + + a 1 + a 0 y(t) dt du(t) + + b 1 dt d m 1 u(t) dt m 1 + b 0 u(t) W celu rozwiązania (3) dokonujemy transformacji Fouriera obu stron tego równania ( an (jω) n + a n 1 (jω) n a 0 ) Y (jω) (3) = ( b m (jω) m + a m 1 (jω) m b 0 ) X(jω) Czyli Y (jω) = b m(jω) m + a m 1 (jω) m b 0 a n (jω) n + a n 1 (jω) n a 0 X(jω) = H(jω)X(jω)

58 Wielkość H(jω) nazywamy transmitancją częstotliwościową systemu czasu ciągłego Odpoiwedź układu w dziedzinie częstotliwości Y (jω) = H(ω)X(jω) Odpowiedź systemu w dfziedzienie czasu y(t) = F 1 (Y (jω)) Znając parametry a i i b j można wyznaczyć transmitancję częstotliwościową i na jej podstawioe odpowiedź systemu na dowolne wymuszenie

59 Przykład 12 Wyznaczyć odpowiedź systemu z przykładu 11, po pobudzeniu sygnałami: (i) x 1 (t) = cos(ω 1 t), ω 1 = 1rad/s, (ii) x 2 (t) = 2 sin(ω 2 t), ω 2 = 2rad/s. Założyć C = 1 i R = 1. Opis za pomocą równania różniczkowego x(t) = C dy(t) dt + 1 R y(t) Transmitancja częstotliwościowa H(jω) = 1 Cjω + 1 R = R 1 + jωrc

60 Przykład 12 c.d. dla sygnału pierwszego ω 1 = 1 H(jω) = 1 czyli 2 Y 1 (jω) = H(jω)X 1 (jω) = 2 e j π 4 X1 (jω) z przesunięia w dziedzinie czasu mamy x(t ± t 0 ) = e ±jωo X(jω) 1+j = 2 2 e j π 4 więc y 1 (t) = ( 2 2 x 1 t π ) 2 = (t 4 2 cos π ) 4

61 Przykład 12 c.d. dla sygnału drugiego ω 2 = 2 H(jω) = 1 1+j2 = 5 5 e j czyli więc Y 2 (jω) = H(jω)X 2 (jω) = 5 5 e j X 2 (jω) y 2 (t) = x 2 (t ) = sin (t ) 5

9. Dyskretna transformata Fouriera algorytm FFT

9. Dyskretna transformata Fouriera algorytm FFT Transformata Fouriera ma szerokie zastosowanie w analizie i syntezie układów i systemów elektronicznych, gdyż pozwala na połączenie dwóch sposobów przedstawiania sygnałów reprezentacji w dziedzinie czasu

Bardziej szczegółowo

Właściwości sygnałów i splot. Krzysztof Patan

Właściwości sygnałów i splot. Krzysztof Patan Właściwości sygnałów i splot Krzysztof Patan Właściwości sygnałów Dla sygnału ciągłego x(t) można zdefiniować wielkości liczbowe charakteryzujące ten sygnał wartość średnia energia sygnału x sr = lim τ

Bardziej szczegółowo

Przeksztacenie Laplace a. Krzysztof Patan

Przeksztacenie Laplace a. Krzysztof Patan Przeksztacenie Laplace a Krzysztof Patan Wprowadzenie Transformata Fouriera popularna metoda opisu systemów w dziedzinie częstotliwości Transformata Fouriera umożliwia wykonanie wielu użytecznych czynności:

Bardziej szczegółowo

Filtracja. Krzysztof Patan

Filtracja. Krzysztof Patan Filtracja Krzysztof Patan Wprowadzenie Działanie systemu polega na przetwarzaniu sygnału wejściowego x(t) na sygnał wyjściowy y(t) Równoważnie, system przetwarza widmo sygnału wejściowego X(jω) na widmo

Bardziej szczegółowo

CYFROWE PRZTWARZANIE SYGNAŁÓW (Zastosowanie transformacji Fouriera)

CYFROWE PRZTWARZANIE SYGNAŁÓW (Zastosowanie transformacji Fouriera) I. Wprowadzenie do ćwiczenia CYFROWE PRZTWARZANIE SYGNAŁÓW (Zastosowanie transformacji Fouriera) Ogólnie termin przetwarzanie sygnałów odnosi się do nauki analizowania zmiennych w czasie procesów fizycznych.

Bardziej szczegółowo

Systemy. Krzysztof Patan

Systemy. Krzysztof Patan Systemy Krzysztof Patan Systemy z pamięcią System jest bez pamięci (statyczny), jeżeli dla dowolnej chwili t 0 wartość sygnału wyjściowego y(t 0 ) zależy wyłącznie od wartości sygnału wejściowego w tej

Bardziej szczegółowo

uzyskany w wyniku próbkowania okresowego przebiegu czasowego x(t) ze stałym czasem próbkowania t takim, że T = t N 1 t

uzyskany w wyniku próbkowania okresowego przebiegu czasowego x(t) ze stałym czasem próbkowania t takim, że T = t N 1 t 4. 1 3. " P r ze c ie k " w idm ow y 1 0 2 4.13. "PRZECIEK" WIDMOWY Rozważmy szereg czasowy {x r } dla r = 0, 1,..., N 1 uzyskany w wyniku próbkowania okresowego przebiegu czasowego x(t) ze stałym czasem

Bardziej szczegółowo

Przekształcenie Fouriera obrazów FFT

Przekształcenie Fouriera obrazów FFT Przekształcenie ouriera obrazów T 6 P. Strumiłło, M. Strzelecki Przekształcenie ouriera ourier wymyślił sposób rozkładu szerokiej klasy funkcji (sygnałów) okresowych na składowe harmoniczne; taką reprezentację

Bardziej szczegółowo

Wykład 2: Szeregi Fouriera

Wykład 2: Szeregi Fouriera Rachunek prawdopodobieństwa MAP64 Wydział Elektroniki, rok akad. 8/9, sem. letni Wykładowca: dr hab. A. Jurlewicz Wykład : Szeregi Fouriera Definicja. Niech f(t) będzie funkcją określoną na R, okresową

Bardziej szczegółowo

ELEKTRONIKA. dla Mechaników

ELEKTRONIKA. dla Mechaników ELEKTRONIKA dla Mechaników dr inż. Waldemar Jendernalik Politechnika Gdańska Wydział ETI Katedra Systemów Mikroelektronicznych p. 309, waldi@ue.eti.pg.gda.pl www.ue.eti.pg.gda.pl/~waldi Po co to Wam? Elektronika

Bardziej szczegółowo

Szeregi funkcyjne. Szeregi potęgowe i trygonometryczne. Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka

Szeregi funkcyjne. Szeregi potęgowe i trygonometryczne. Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka Szeregi funkcyjne Szeregi potęgowe i trygonometryczne Małgorzata Wyrwas Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka Szeregi funkcyjne str. 1/36 Szereg potęgowy Szeregiem potęgowym o

Bardziej szczegółowo

Przetwarzanie sygnałów biomedycznych

Przetwarzanie sygnałów biomedycznych Przetwarzanie sygnałów biomedycznych dr hab. inż. Krzysztof Kałużyński, prof. PW Człowiek- najlepsza inwestycja Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Bardziej szczegółowo

FFT i dyskretny splot. Aplikacje w DSP

FFT i dyskretny splot. Aplikacje w DSP i dyskretny splot. Aplikacje w DSP Marcin Jenczmyk m.jenczmyk@knm.katowice.pl Wydział Matematyki, Fizyki i Chemii 10 maja 2014 M. Jenczmyk Sesja wiosenna KNM 2014 i dyskretny splot 1 / 17 Transformata

Bardziej szczegółowo

Transformata Fouriera

Transformata Fouriera Transformata Fouriera Program wykładu 1. Wprowadzenie teoretyczne 2. Algorytm FFT 3. Zastosowanie analizy Fouriera 4. Przykłady programów Wprowadzenie teoretyczne Zespolona transformata Fouriera Jeżeli

Bardziej szczegółowo

Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania. Modelowanie

Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania. Modelowanie Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania Modelowanie Zad Wyznacz transformaty Laplace a poniższych funkcji, korzystając z tabeli transformat: a) 8 3e 3t b) 4 sin 5t 2e 5t + 5 c) e5t e

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenie 3. Właściwości przekształcenia Fouriera

Ćwiczenie 3. Właściwości przekształcenia Fouriera Politechnika Wrocławska Wydział Elektroniki Mikrosystemów i Fotoniki Przetwarzanie sygnałów laboratorium ETD5067L Ćwiczenie 3. Właściwości przekształcenia Fouriera 1. Podstawowe właściwości przekształcenia

Bardziej szczegółowo

Transmitancje i charakterystyki częstotliwościowe. Krzysztof Patan

Transmitancje i charakterystyki częstotliwościowe. Krzysztof Patan Transmitancje i charakterystyki częstotliwościowe Krzysztof Patan Transmitancja systemu czasu ciągłego Przekształcenie Laplace a systemu czasu ciągłego jest superpozycją składowych pochodzących od wymuszenia

Bardziej szczegółowo

Dyskretne przekształcenie Fouriera cz. 2

Dyskretne przekształcenie Fouriera cz. 2 Cyfrowe przetwarzanie sygnałów Jacek Rezmer -1- Dyskretne przekształcenie Fouriera cz. 2 Twierdzenie o przesunięciu Istnieje ważna właściwość DFT, znana jako twierdzenie o przesunięciu. Mówi ono, że: przesunięcie

Bardziej szczegółowo

Przetwarzanie i transmisja danych multimedialnych. Wykład 8 Transformaty i kodowanie cz. 2. Przemysław Sękalski.

Przetwarzanie i transmisja danych multimedialnych. Wykład 8 Transformaty i kodowanie cz. 2. Przemysław Sękalski. Przetwarzanie i transmisja danych multimedialnych Wykład 8 Transformaty i kodowanie cz. 2 Przemysław Sękalski sekalski@dmcs.pl Politechnika Łódzka Katedra Mikroelektroniki i Technik Informatycznych DMCS

Bardziej szczegółowo

2. Próbkowanie Sygnały okresowe (16). Trygonometryczny szereg Fouriera (17). Częstotliwość Nyquista (20).

2. Próbkowanie Sygnały okresowe (16). Trygonometryczny szereg Fouriera (17). Częstotliwość Nyquista (20). SPIS TREŚCI ROZDZIAŁ I SYGNAŁY CYFROWE 9 1. Pojęcia wstępne Wiadomości, informacje, dane, sygnały (9). Sygnał jako nośnik informacji (11). Sygnał jako funkcja (12). Sygnał analogowy (13). Sygnał cyfrowy

Bardziej szczegółowo

TEORIA OBWODÓW I SYGNAŁÓW LABORATORIUM

TEORIA OBWODÓW I SYGNAŁÓW LABORATORIUM EORI OBWODÓW I SYGNŁÓW LBORORIUM KDEMI MORSK Katedra eleomuniacji Morsiej Ćwiczenie nr 2: eoria obwodów i sygnałów laboratorium ĆWICZENIE 2 BDNIE WIDM SYGNŁÓW OKRESOWYCH. Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia

Bardziej szczegółowo

Przekształcenie całkowe Fouriera

Przekształcenie całkowe Fouriera Przekształcenie całkowe Fouriera Postać zespolona szeregu Fouriera Niech ana bęzie funkcja f spełniająca w przeziale [, ] warunki Dirichleta. Wtey szereg Fouriera tej funkcji jest o niej zbieżny, tj. przy

Bardziej szczegółowo

13. Wybrane algorytmy cyfrowego przetwarzania sygnałów

13. Wybrane algorytmy cyfrowego przetwarzania sygnałów 13. Wybrane algorytmy cyfrowego przetwarzania sygnałów Dyskretna transformata Fouriera algorytm FFT (ang. fast Fourier transform) Wykrywanie tonów DTMF (ang. Dual Tone Multi Frequency) Filtracja cyfrowa

Bardziej szczegółowo

Przekształcenia całkowe. Wykład 1

Przekształcenia całkowe. Wykład 1 Przekształcenia całkowe Wykład 1 Przekształcenia całkowe Tematyka wykładów: 1. Liczby zespolone -wprowadzenie, - funkcja zespolona zmiennej rzeczywistej, - funkcja zespolona zmiennej zespolonej. 2. Przekształcenie

Bardziej szczegółowo

Podstawy Automatyki. Wykład 2 - podstawy matematyczne. dr inż. Jakub Możaryn. Warszawa, Instytut Automatyki i Robotyki

Podstawy Automatyki. Wykład 2 - podstawy matematyczne. dr inż. Jakub Możaryn. Warszawa, Instytut Automatyki i Robotyki Wykład 2 - podstawy matematyczne Instytut Automatyki i Robotyki Warszawa, 2015 Wstęp Rzeczywiste obiekty regulacji, a co za tym idzie układy regulacji, mają właściwości nieliniowe, n.p. turbulencje, wiele

Bardziej szczegółowo

f = 2 śr MODULACJE

f = 2 śr MODULACJE 5. MODULACJE 5.1. Wstęp Modulacja polega na odzwierciedleniu przebiegu sygnału oryginalnego przez zmianę jednego z parametrów fali nośnej. Przyczyny stosowania modulacji: 1. Umożliwienie wydajnego wypromieniowania

Bardziej szczegółowo

Stabilność. Krzysztof Patan

Stabilność. Krzysztof Patan Stabilność Krzysztof Patan Pojęcie stabilności systemu Rozważmy obiekt znajdujący się w punkcie równowagi Po przyłożeniu do obiektu siły F zostanie on wypchnięty ze stanu równowagi Jeżeli po upłynięciu

Bardziej szczegółowo

Treści programowe. Matematyka 1. Efekty kształcenia. Literatura. Warunki zaliczenia. Ogólne własności funkcji. Definicja 1. Funkcje elementarne.

Treści programowe. Matematyka 1. Efekty kształcenia. Literatura. Warunki zaliczenia. Ogólne własności funkcji. Definicja 1. Funkcje elementarne. Treści programowe Matematyka 1 Katarzyna Trąbka-Więcław Funkcje elementarne. Granica funkcji, własności granic, wyrażenia nieoznaczone, ciągłość funkcji. Pochodna funkcji w punkcie i w przedziale, pochodne

Bardziej szczegółowo

Dystrybucje, wiadomości wstępne (I)

Dystrybucje, wiadomości wstępne (I) Temat 8 Dystrybucje, wiadomości wstępne (I) Wielkości fizyczne opisujemy najczęściej przyporządkowując im funkcje (np. zależne od czasu). Inną drogą opisu tych wielkości jest przyporządkowanie im funkcjonałów

Bardziej szczegółowo

Kartkówka 1 Opracowanie: Próbkowanie częstotliwość próbkowania nie mniejsza niż podwojona szerokość przed spróbkowaniem.

Kartkówka 1 Opracowanie: Próbkowanie częstotliwość próbkowania nie mniejsza niż podwojona szerokość przed spróbkowaniem. Znowu prosta zasada - zbierzmy wszystkie zagadnienia z tych 3ech kartkówek i opracujmy - może się akurat przyda na dopytkę i uda się zaliczyć labki :) (dodatkowo można opracowania z tych rzeczy z doc ów

Bardziej szczegółowo

W celu obliczenia charakterystyki częstotliwościowej zastosujemy wzór 1. charakterystyka amplitudowa 0,

W celu obliczenia charakterystyki częstotliwościowej zastosujemy wzór 1. charakterystyka amplitudowa 0, Bierne obwody RC. Filtr dolnoprzepustowy. Filtr dolnoprzepustowy jest układem przenoszącym sygnały o małej częstotliwości bez zmian, a powodującym tłumienie i opóźnienie fazy sygnałów o większych częstotliwościach.

Bardziej szczegółowo

dr inż. Artur Zieliński Katedra Elektrochemii, Korozji i Inżynierii Materiałowej Wydział Chemiczny PG pokój 311

dr inż. Artur Zieliński Katedra Elektrochemii, Korozji i Inżynierii Materiałowej Wydział Chemiczny PG pokój 311 dr inż. Artur Zieliński Katedra Elektrochemii, Korozji i Inżynierii Materiałowej Wydział Chemiczny PG pokój 3 Politechnika Gdaoska, 20 r. Publikacja współfinansowana ze środków Unii Europejskiej w ramach

Bardziej szczegółowo

Transformata Laplace a to przekształcenie całkowe funkcji f(t) opisane następującym wzorem:

Transformata Laplace a to przekształcenie całkowe funkcji f(t) opisane następującym wzorem: PPS 2 kartkówka 1 RÓWNANIE RÓŻNICOWE Jest to dyskretny odpowiednik równania różniczkowego. Równania różnicowe to pewne związki rekurencyjne określające w sposób niebezpośredni wartość danego wyrazu ciągu.

Bardziej szczegółowo

6. FUNKCJE. f: X Y, y = f(x).

6. FUNKCJE. f: X Y, y = f(x). 6. FUNKCJE Niech dane będą dwa niepuste zbiory X i Y. Funkcją f odwzorowującą zbiór X w zbiór Y nazywamy przyporządkowanie każdemu elementowi X dokładnie jednego elementu y Y. Zapisujemy to następująco

Bardziej szczegółowo

Podstawy Automatyki. Wykład 5 - stabilność liniowych układów dynamicznych. dr inż. Jakub Możaryn. Warszawa, Instytut Automatyki i Robotyki

Podstawy Automatyki. Wykład 5 - stabilność liniowych układów dynamicznych. dr inż. Jakub Możaryn. Warszawa, Instytut Automatyki i Robotyki Wykład 5 - stabilność liniowych układów dynamicznych Instytut Automatyki i Robotyki Warszawa, 2015 Wstęp Stabilność O układzie możemy mówić, że jest stabilny gdy układ ten wytrącony ze stanu równowagi

Bardziej szczegółowo

Rozdział 8. Analiza fourierowska. 8.1 Rozwinięcie w szereg Fouriera

Rozdział 8. Analiza fourierowska. 8.1 Rozwinięcie w szereg Fouriera Rozdział 8 Analiza fourierowska 8.1 Rozwinięcie w szereg Fouriera Rozważmy funkcję rzeczywistą f określoną na okręgu o promieniu jednostkowym. Parametryzując okrąg przy pomocy kąta φ [, π] otrzymujemy

Bardziej szczegółowo

CHARAKTERYSTYKI CZĘSTOTLIWOŚCIOWE

CHARAKTERYSTYKI CZĘSTOTLIWOŚCIOWE CHARAKTERYSTYKI CZĘSTOTLIWOŚCIOWE Do opisu członów i układów automatyki stosuje się, oprócz transmitancji operatorowej (), tzw. transmitancję widmową. Transmitancję widmową () wyznaczyć można na podstawie

Bardziej szczegółowo

Treści programowe. Matematyka. Literatura. Warunki zaliczenia. Funkcje elementarne. Katarzyna Trąbka-Więcław

Treści programowe. Matematyka. Literatura. Warunki zaliczenia. Funkcje elementarne. Katarzyna Trąbka-Więcław Treści programowe Matematyka Katarzyna Trąbka-Więcław Funkcje elementarne. Granica funkcji, własności granic, wyrażenia nieoznaczone, ciągłość funkcji. Pochodna funkcji w punkcie i w przedziale, pochodne

Bardziej szczegółowo

MODULACJE ANALOGOWE. Funkcja modulująca zależna od sygnału modulującego: m(t) = m(t) e

MODULACJE ANALOGOWE. Funkcja modulująca zależna od sygnału modulującego: m(t) = m(t) e Nośna: MODULACJE ANALOGOWE c(t) = Y 0 cos(ωt + ϕ 0 ) Sygnał analityczny sygnału zmodulowanego y(t): z y (t) = m(t)z c (t), z c (t) = Y 0 e jωt Funkcja modulująca zależna od sygnału modulującego: j arg

Bardziej szczegółowo

Obwody prądu zmiennego

Obwody prądu zmiennego Obwody prądu zmiennego Prąd stały ( ) ( ) i t u t const const ( ) u( t) i t Prąd zmienny, dowolne funkcje czasu i( t) t t u ( t) t t Natężenie prądu i umowny kierunek prądu Prąd stały Q t Kierunek poruszania

Bardziej szczegółowo

Lepkosprężystość. Metody pomiarów właściwości lepkosprężystych materii

Lepkosprężystość. Metody pomiarów właściwości lepkosprężystych materii Metody pomiarów właściwości lepkosprężystych materii Pomiarów dokonuje się w dwóch dziedzinach: czasowej lub częstotliwościowej i nie zależy to od rodzaju przyłożonych naprężeń (normalnych lub stycznych).

Bardziej szczegółowo

Podstawy Elektrotechniki i Elektroniki. Opracował: Mgr inż. Marek Staude

Podstawy Elektrotechniki i Elektroniki. Opracował: Mgr inż. Marek Staude Podstawy Elektrotechniki i Elektroniki Opracował: Mgr inż. Marek Staude Część 2 Analiza obwodów w stanie ustalonym przy wymuszeniu sinusoidalnym Przypomnienie ostatniego wykładu Prąd i napięcie Podstawowe

Bardziej szczegółowo

III. Funkcje rzeczywiste

III. Funkcje rzeczywiste . Pojęcia podstawowe Załóżmy, że dane są dwa niepuste zbiory X i Y. Definicja. Jeżeli każdemu elementowi x X przyporządkujemy dokładnie jeden element y Y, to mówimy, że na zbiorze X została określona funkcja

Bardziej szczegółowo

przy warunkach początkowych: 0 = 0, 0 = 0

przy warunkach początkowych: 0 = 0, 0 = 0 MODELE MATEMATYCZNE UKŁADÓW DYNAMICZNYCH Podstawową formą opisu procesów zachodzących w członach lub układach automatyki jest równanie ruchu - równanie dynamiki. Opisuje ono zależność wielkości fizycznych,

Bardziej szczegółowo

Teoria sygnałów Signal Theory. Elektrotechnika I stopień (I stopień / II stopień) ogólnoakademicki (ogólno akademicki / praktyczny)

Teoria sygnałów Signal Theory. Elektrotechnika I stopień (I stopień / II stopień) ogólnoakademicki (ogólno akademicki / praktyczny) . KARTA MODUŁU / KARTA PRZEDMIOTU Kod modułu Nazwa modułu Nazwa modułu w języku angielskim Obowiązuje od roku akademickiego 2012/2013 Teoria sygnałów Signal Theory A. USYTUOWANIE MODUŁU W SYSTEMIE STUDIÓW

Bardziej szczegółowo

ELEKTRONIKA W EKSPERYMENCIE FIZYCZNYM

ELEKTRONIKA W EKSPERYMENCIE FIZYCZNYM ELEKTRONIKA W EKSPERYMENCIE FIZYCZNYM D. B. Tefelski Zakład VI Badań Wysokociśnieniowych Wydział Fizyki Politechnika Warszawska, Koszykowa 75, 00-662 Warszawa, PL 28 lutego 2011 Stany nieustalone, stabilność

Bardziej szczegółowo

Pochodna funkcji. Pochodna funkcji w punkcie. Różniczka funkcji i obliczenia przybliżone. Zastosowania pochodnych. Badanie funkcji.

Pochodna funkcji. Pochodna funkcji w punkcie. Różniczka funkcji i obliczenia przybliżone. Zastosowania pochodnych. Badanie funkcji. Pochodna funkcji Pochodna funkcji w punkcie. Różniczka funkcji i obliczenia przybliżone. Zastosowania pochodnych. Badanie funkcji. Małgorzata Wyrwas Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika

Bardziej szczegółowo

1. Modulacja analogowa, 2. Modulacja cyfrowa

1. Modulacja analogowa, 2. Modulacja cyfrowa MODULACJA W16 SMK 2005-05-30 Jest operacja mnożenia. Jest procesem nakładania informacji w postaci sygnału informacyjnego m.(t) na inny przebieg o wyższej częstotliwości, nazywany falą nośną. Przyczyna

Bardziej szczegółowo

Przekształcenia widmowe Transformata Fouriera. Adam Wojciechowski

Przekształcenia widmowe Transformata Fouriera. Adam Wojciechowski Przekształcenia widmowe Transformata Fouriera Adam Wojciechowski Przekształcenia widmowe Odmiana przekształceń kontekstowych, w których kontekstem jest w zasadzie cały obraz. Za pomocą transformaty Fouriera

Bardziej szczegółowo

TEORIA OBWODÓW I SYGNAŁÓW LABORATORIUM

TEORIA OBWODÓW I SYGNAŁÓW LABORATORIUM TEORIA OBWODÓW I SYGNAŁÓW LABORATORIUM AKADEMIA MORSKA Katedra Telekomunikacji Morskiej ĆWICZENIE 7 BADANIE ODPOWIEDZI USTALONEJ NA OKRESOWY CIĄG IMPULSÓW 1. Cel ćwiczenia Obserwacja przebiegów wyjściowych

Bardziej szczegółowo

Teoria systemów i sygnałów Kierunek AiR, sem. 5 2wE + 1l

Teoria systemów i sygnałów Kierunek AiR, sem. 5 2wE + 1l Teoria systemów i sygnałów Kierunek AiR, sem. 5 2wE + 1l Prof. dr hab. Wojciech Moczulski Politechnika Ślaska, Wydział Mechaniczny Technologiczny Katedra Podstaw Konstrukcji Maszyn 19 października 2008

Bardziej szczegółowo

(1.1) gdzie: - f = f 2 f 1 - bezwzględna szerokość pasma, f śr = (f 2 + f 1 )/2 częstotliwość środkowa.

(1.1) gdzie: - f = f 2 f 1 - bezwzględna szerokość pasma, f śr = (f 2 + f 1 )/2 częstotliwość środkowa. MODULACJE ANALOGOWE 1. Wstęp Do przesyłania sygnału drogą radiową stosuje się modulację. Modulacja polega na odzwierciedleniu przebiegu sygnału oryginalnego przez zmianę jednego z parametrów fali nośnej.

Bardziej szczegółowo

Podstawy Automatyki. wykład 1 (26.02.2010) mgr inż. Łukasz Dworzak. Politechnika Wrocławska. Instytut Technologii Maszyn i Automatyzacji (I-24)

Podstawy Automatyki. wykład 1 (26.02.2010) mgr inż. Łukasz Dworzak. Politechnika Wrocławska. Instytut Technologii Maszyn i Automatyzacji (I-24) Podstawy Automatyki wykład 1 (26.02.2010) mgr inż. Łukasz Dworzak Politechnika Wrocławska Instytut Technologii Maszyn i Automatyzacji (I-24) Laboratorium Podstaw Automatyzacji (L6) 105/2 B1 Sprawy organizacyjne

Bardziej szczegółowo

Treści programowe. Matematyka. Efekty kształcenia. Warunki zaliczenia. Literatura. Funkcje elementarne. Katarzyna Trąbka-Więcław

Treści programowe. Matematyka. Efekty kształcenia. Warunki zaliczenia. Literatura. Funkcje elementarne. Katarzyna Trąbka-Więcław Treści programowe Matematyka Katarzyna Trąbka-Więcław Funkcje elementarne. Granica funkcji, własności granic, wyrażenia nieoznaczone, ciągłość funkcji. Pochodna funkcji w punkcie i w przedziale, pochodne

Bardziej szczegółowo

Rozdział 5. Szeregi liczbowe. 5.1 Szeregi liczbowe. Definicja sumy częściowej ciągu. Niech dany będzie ciąg liczbowy (a n ) n=1.

Rozdział 5. Szeregi liczbowe. 5.1 Szeregi liczbowe. Definicja sumy częściowej ciągu. Niech dany będzie ciąg liczbowy (a n ) n=1. Rozdział 5 Szeregi liczbowe 5. Szeregi liczbowe Definicja sumy częściowej ciągu. Niech dany będzie ciąg liczbowy ( ). Ciąg (s n ) określony wzorem s n = n a j, n N, nazywamy ciągiem sum częściowych ciągu

Bardziej szczegółowo

Liczby zespolone. x + 2 = 0.

Liczby zespolone. x + 2 = 0. Liczby zespolone 1 Wiadomości wstępne Rozważmy równanie wielomianowe postaci x + 2 = 0. Współczynniki wielomianu stojącego po lewej stronie są liczbami całkowitymi i jedyny pierwiastek x = 2 jest liczbą

Bardziej szczegółowo

1 Funkcje elementarne

1 Funkcje elementarne 1 Funkcje elementarne Funkcje elementarne, które będziemy rozważać to: x a, a x, log a (x), sin(x), cos(x), tan(x), cot(x), arcsin(x), arccos(x), arctan(x), arc ctg(x). 1.1 Funkcje x a. a > 0, oraz a N

Bardziej szczegółowo

Zmiany fazy/okresu oscylacji Chandlera i rocznej we współrzędnych bieguna ziemskiego.

Zmiany fazy/okresu oscylacji Chandlera i rocznej we współrzędnych bieguna ziemskiego. Strona 1 z 38 Zmiany fazy/okresu oscylacji Chandlera i rocznej we współrzędnych bieguna ziemskiego. Alicja Rzeszótko alicja@cbk.waw.pl 2 czerwca 2006 1 Omówienie danych 3 Strona główna Strona 2 z 38 2

Bardziej szczegółowo

Część 1. Transmitancje i stabilność

Część 1. Transmitancje i stabilność Część 1 Transmitancje i stabilność Zastosowanie opisu transmitancyjnego w projektowaniu przekształtników impulsowych Istotne jest przewidzenie wpływu zmian w warunkach pracy (m. in. v g, i) i wielkości

Bardziej szczegółowo

1 Płaska fala elektromagnetyczna

1 Płaska fala elektromagnetyczna 1 Płaska fala elektromagnetyczna 1.1 Fala w wolnej przestrzeni Rozwiązanie równań Maxwella dla zespolonych amplitud pól przemiennych sinusoidalnie, reprezentujące płaską falę elektromagnetyczną w wolnej

Bardziej szczegółowo

POLITECHNIKA POZNAŃSKA

POLITECHNIKA POZNAŃSKA POLITECHNIKA POZNAŃSKA INSTYTUT ELEKTROTECHNIKI I ELEKTRONIKI PRZEMYSŁOWEJ Zakład Elektrotechniki Teoretycznej i Stosowanej Laboratorium Podstaw Telekomunikacji Ćwiczenie nr 1 Temat: Pomiar widma częstotliwościowego

Bardziej szczegółowo

ELEKTRONIKA W EKSPERYMENCIE FIZYCZNYM

ELEKTRONIKA W EKSPERYMENCIE FIZYCZNYM ELEKTRONIKA W EKSPERYMENCIE FIZYCZNYM D. B. Tefelski Zakład VI Badań Wysokociśnieniowych Wydział Fizyki Politechnika Warszawska, Koszykowa 75, 00-662 Warszawa, PL 21 lutego 2011 Eksperyment fizyczny, Czwórniki,

Bardziej szczegółowo

1. Równania i nierówności liniowe

1. Równania i nierówności liniowe Równania i nierówności liniowe Wykonać działanie: Rozwiązać równanie: ( +x + ) x a) 5x 5x+ 5 = 50 x 0 b) 6(x + x + ) = (x + ) (x ) c) x 0x (0 x) 56 = 6x 5 5 ( x) Rozwiązać równanie: a) x + x = 4 b) x x

Bardziej szczegółowo

Materiały pomocnicze do wykładu

Materiały pomocnicze do wykładu do wykładu 1 1. Tomasz P. Zieliński - Cyfrowe przetwarzanie sygnałów. Od teorii do zastosowań, WKŁ, 2009, 2. Richard G. Lyons, Wprowadzenie do cyfrowego przetwarzania sygnałów, WKŁ, 2010 (wyd. 2 rozszerzone),

Bardziej szczegółowo

Plan wykładu. Własności statyczne i dynamiczne elementów automatyki:

Plan wykładu. Własności statyczne i dynamiczne elementów automatyki: Plan wykładu Własności statyczne i dynamiczne elementów automatyki: - charakterystyka statyczna elementu automatyki, - sygnały standardowe w automatyce: skok jednostkowy, impuls Diraca, sygnał o przebiegu

Bardziej szczegółowo

Dyskretne sygnały deterministyczne i analiza widmowa

Dyskretne sygnały deterministyczne i analiza widmowa Wydział Elektryczny Zakład Automatyki LABORATORIUM CYFROWEGO PRZETWARZAIA SYGAŁÓW Ćwiczenie Dyskretne sygnały deterministyczne i analiza widmowa. Cel ćwiczenia Opanowanie umiejętności komputerowego modelowania

Bardziej szczegółowo

Matematyka liczby zespolone. Wykład 1

Matematyka liczby zespolone. Wykład 1 Matematyka liczby zespolone Wykład 1 Siedlce 5.10.015 Liczby rzeczywiste Zbiór N ={0,1,,3,4,5, } nazywamy zbiorem Liczb naturalnych, a zbiór N + ={1,,3,4, } nazywamy zbiorem liczb naturalnych dodatnich.

Bardziej szczegółowo

Przykładowe zadania z teorii liczb

Przykładowe zadania z teorii liczb Przykładowe zadania z teorii liczb I. Podzielność liczb całkowitych. Liczba a = 346 przy dzieleniu przez pewną liczbę dodatnią całkowitą b daje iloraz k = 85 i resztę r. Znaleźć dzielnik b oraz resztę

Bardziej szczegółowo

AiR_TSiS_1/2 Teoria sygnałów i systemów Signals and systems theory. Automatyka i Robotyka I stopień ogólnoakademicki

AiR_TSiS_1/2 Teoria sygnałów i systemów Signals and systems theory. Automatyka i Robotyka I stopień ogólnoakademicki Załącznik nr 7 do Zarządzenia Rektora nr 10/12 z dnia 21 lutego 2012r. KARTA MODUŁU / KARTA PRZEDMIOTU Kod modułu Nazwa modułu Nazwa modułu w języku angielskim Obowiązuje od roku akademickiego 2013/2014

Bardziej szczegółowo

WSTĘP DO ELEKTRONIKI

WSTĘP DO ELEKTRONIKI WSTĘP DO ELEKTRONIKI Część IV Czwórniki Linia długa Janusz Brzychczyk IF UJ Czwórniki Czwórnik (dwuwrotnik) posiada cztery zaciski elektryczne. Dwa z tych zacisków uważamy za wejście czwórnika, a pozostałe

Bardziej szczegółowo

Transformacje Fouriera * podstawowe własności

Transformacje Fouriera * podstawowe własności Transformacje Fouriera * podstawowe własności * podejście mało formalne Funkcja w domenie czasowej Transformacja Fouriera - wstęp Ta sama funkcja w domenie częstości Transformacja Fouriera polega na rozkładzie

Bardziej szczegółowo

Podstawowe człony dynamiczne. dr hab. inż. Krzysztof Patan

Podstawowe człony dynamiczne. dr hab. inż. Krzysztof Patan Podstawowe człony dynamiczne dr hab. inż. Krzysztof Patan Człon proporcjonalny Równanie w dziedzinie czasu Transmitancja y(t) = Ku(t) Y (s) = KU(s) G(s) = Y (s) U(S) = K Transmiancja widmowa G(s) = K G(jω)

Bardziej szczegółowo

Przetwarzanie sygnału cyfrowego (LabVIEW)

Przetwarzanie sygnału cyfrowego (LabVIEW) Politechnika Rzeszowska im. Ignacego Łukasiewicza w Rzeszowie Wydział: Elektryczny, Kierunek: Informatyka Projekt zaliczeniowy Przedmiot: Systemy akwizycji i przesyłania informacji Przetwarzanie sygnału

Bardziej szczegółowo

Podstawy Automatyki. Wykład 2 - modelowanie matematyczne układów dynamicznych. dr inż. Jakub Możaryn. Warszawa, Instytut Automatyki i Robotyki

Podstawy Automatyki. Wykład 2 - modelowanie matematyczne układów dynamicznych. dr inż. Jakub Możaryn. Warszawa, Instytut Automatyki i Robotyki Wykład 2 - modelowanie matematyczne układów dynamicznych Instytut Automatyki i Robotyki Warszawa, 2017 Wstęp Rzeczywiste obiekty regulacji, a co za tym idzie układy regulacji, mają właściwości nieliniowe,

Bardziej szczegółowo

Projektowanie układów regulacji w dziedzinie częstotliwości. dr hab. inż. Krzysztof Patan, prof. PWSZ

Projektowanie układów regulacji w dziedzinie częstotliwości. dr hab. inż. Krzysztof Patan, prof. PWSZ Projektowanie układów regulacji w dziedzinie częstotliwości dr hab. inż. Krzysztof Patan, prof. PWSZ Wprowadzenie Metody projektowania w dziedzinie częstotliwości mają wiele zalet: stabilność i wymagania

Bardziej szczegółowo

4.2 Analiza fourierowska(f1)

4.2 Analiza fourierowska(f1) Analiza fourierowska(f1) 179 4. Analiza fourierowska(f1) Celem doświadczenia jest wyznaczenie współczynników szeregu Fouriera dla sygnałów okresowych. Zagadnienia do przygotowania: szereg Fouriera; sygnał

Bardziej szczegółowo

13 Równanie struny drgającej. Równanie przewodnictwa ciepła.

13 Równanie struny drgającej. Równanie przewodnictwa ciepła. Równanie struny drgającej. Równanie przewodnictwa ciepła 13 1 13 Równanie struny drgającej. Równanie przewodnictwa ciepła. 13.1 Równanie struny drgającej Równanie różniczkowe liniowe drugiego rzędu typu

Bardziej szczegółowo

Rozdział 2. Liczby zespolone

Rozdział 2. Liczby zespolone Rozdział Liczby zespolone Zbiór C = R z działaniami + oraz określonymi poniżej: x 1, y 1 ) + x, y ) := x 1 + x, y 1 + y ), 1) x 1, y 1 ) x, y ) := x 1 x y 1 y, x 1 y + x y 1 ) ) jest ciałem zob rozdział

Bardziej szczegółowo

Podstawowe człony dynamiczne

Podstawowe człony dynamiczne . Człon proporcjonalny 2. Człony całkujący idealny 3. Człon inercyjny Podstawowe człony dynamiczne charakterystyki czasowe = = = + 4. Człony całkujący rzeczywisty () = + 5. Człon różniczkujący rzeczywisty

Bardziej szczegółowo

Materiały pomocnicze do wykładu

Materiały pomocnicze do wykładu Materiały pomocnicze do wykładu 1 Plan zajęć Podstawowe wiadomości o sygnałach Szeregi Fouriera Ciągła Transformata Fouriera Sygnały cyfrowe Próbkowanie sygnałów. Zjawisko aliasingu Dyskretna i Szybka

Bardziej szczegółowo

dr inż. Artur Zieliński Katedra Elektrochemii, Korozji i Inżynierii Materiałowej Wydział Chemiczny PG pokój 311

dr inż. Artur Zieliński Katedra Elektrochemii, Korozji i Inżynierii Materiałowej Wydział Chemiczny PG pokój 311 dr inż. Artur Zieliński Katedra Elektrochemii, Korozji i Inżynierii Materiałowej Wydział Chemiczny PG pokój 311 Politechnika Gdaoska, 2011 r. Publikacja współfinansowana ze środków Unii Europejskiej w

Bardziej szczegółowo

LABORATORIUM METROLOGII. Podstawy akwizycji i cyfrowego przetwarzania sygnałów. dr inż. Andrzej Skalski. mgr inż. Mirosław Socha

LABORATORIUM METROLOGII. Podstawy akwizycji i cyfrowego przetwarzania sygnałów. dr inż. Andrzej Skalski. mgr inż. Mirosław Socha AKADEMIA GÓRNICZO - HUTNICZA IM. STANISŁAWA STASZICA w KRAKOWIE WYDZIAŁ ELEKTROTECHNIKI, AUTOMATYKI, INFORMATYKI i ELEKTRONIKI KATEDRA METROLOGII LABORATORIUM METROLOGII Podstawy akwizycji i cyfrowego

Bardziej szczegółowo

Teoria obwodów / Stanisław Osowski, Krzysztof Siwek, Michał Śmiałek. wyd. 2. Warszawa, Spis treści

Teoria obwodów / Stanisław Osowski, Krzysztof Siwek, Michał Śmiałek. wyd. 2. Warszawa, Spis treści Teoria obwodów / Stanisław Osowski, Krzysztof Siwek, Michał Śmiałek. wyd. 2. Warszawa, 2013 Spis treści Słowo wstępne 8 Wymagania egzaminacyjne 9 Wykaz symboli graficznych 10 Lekcja 1. Podstawowe prawa

Bardziej szczegółowo

Analiza szeregów czasowych: 2. Splot. Widmo mocy.

Analiza szeregów czasowych: 2. Splot. Widmo mocy. Analiza szeregów czasowych: 2. Splot. Widmo mocy. P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ semestr letni 2006/07 Splot Jedna z najważniejszych własności transformaty Fouriera jest to, że transformata

Bardziej szczegółowo

8. Analiza widmowa metodą szybkiej transformaty Fouriera (FFT)

8. Analiza widmowa metodą szybkiej transformaty Fouriera (FFT) 8. Analiza widmowa metodą szybkiej transformaty Fouriera (FFT) Ćwiczenie polega na wykonaniu analizy widmowej zadanych sygnałów metodą FFT, a następnie określeniu amplitud i częstotliwości głównych składowych

Bardziej szczegółowo

Interpolacja. Marcin Orchel. Drugi przypadek szczególny to interpolacja trygonometryczna

Interpolacja. Marcin Orchel. Drugi przypadek szczególny to interpolacja trygonometryczna Interpolacja Marcin Orchel 1 Wstęp Mamy daną funkcję φ (x; a 0,..., a n ) zależną od n + 1 parametrów a 0,..., a n. Zadanie interpolacji funkcji φ polega na określeniu parametrów a i tak aby dla n + 1

Bardziej szczegółowo

Liczby zespolone. Magdalena Nowak. 23 marca Uniwersytet Śląski

Liczby zespolone. Magdalena Nowak. 23 marca Uniwersytet Śląski Uniwersytet Śląski 23 marca 2012 Ciało liczb zespolonych Rozważmy zbiór C = R R, czyli C = {(x, y) : x, y R}. W zbiorze C definiujemy następujące działania: dodawanie: mnożenie: (a, b) + (c, d) = (a +

Bardziej szczegółowo

EFEKTYWNE UŻYTKOWANIE ENERGII ELEKTRYCZNEJ

EFEKTYWNE UŻYTKOWANIE ENERGII ELEKTRYCZNEJ Studia Podyplomowe EFEKTYWNE UŻYTKOWANIE ENERGII ELEKTRYCZNEJ w ramach projektu Śląsko-Małopolskie Centrum Kompetencji Zarządzania Energią Pomiar parametrów sygnałów sieci elektroenergetycznej dr inż.

Bardziej szczegółowo

Liczby zespolone. P. F. Góra (w zastępstwie prof. K. Rościszewskiego) 27 lutego 2007

Liczby zespolone. P. F. Góra (w zastępstwie prof. K. Rościszewskiego)  27 lutego 2007 Liczby zespolone P. F. Góra (w zastępstwie prof. K. Rościszewskiego) http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 27 lutego 2007 Definicja C zbiór par liczb rzeczywistych w którym określono następujace działania:

Bardziej szczegółowo

Rachunek różniczkowy i całkowy 2016/17

Rachunek różniczkowy i całkowy 2016/17 Rachunek różniczkowy i całkowy 26/7 Zadania domowe w pakietach tygodniowych Tydzień 3-7..26 Zadanie O. Czy dla wszelkich zbiorów A, B i C zachodzą następujące równości: (A B)\C = (A\C) (B\C), A\(B\C) =

Bardziej szczegółowo

Literatura. Leitner R., Zacharski J., Zarys matematyki wyŝszej dla studentów, cz. III.

Literatura. Leitner R., Zacharski J., Zarys matematyki wyŝszej dla studentów, cz. III. Literatura Krysicki W., Bartos J., Dyczka W., Królikowska K, Wasilewski M., Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka Matematyczna w Zadaniach, cz. I. Leitner R., Zacharski J., Zarys matematyki wyŝszej

Bardziej szczegółowo

b n y k n T s Filtr cyfrowy opisuje się również za pomocą splotu dyskretnego przedstawionego poniżej:

b n y k n T s Filtr cyfrowy opisuje się również za pomocą splotu dyskretnego przedstawionego poniżej: 1. FILTRY CYFROWE 1.1 DEFIICJA FILTRU W sytuacji, kiedy chcemy przekształcić dany sygnał, w inny sygnał niezawierający pewnych składowych np.: szumów mówi się wtedy o filtracji sygnału. Ogólnie Filtracją

Bardziej szczegółowo

1 + x 1 x 1 + x + 1 x. dla x 0.. Korzystając z otrzymanego wykresu wyznaczyć funkcję g(m) wyrażającą liczbę pierwiastków równania.

1 + x 1 x 1 + x + 1 x. dla x 0.. Korzystając z otrzymanego wykresu wyznaczyć funkcję g(m) wyrażającą liczbę pierwiastków równania. 10 1 Wykazać, że liczba 008 008 10 + + jest większa od Nie używając kalkulatora, porównać liczby a = log 5 log 0 + log oraz b = 6 5 Rozwiązać równanie x + 4y + x y + 1 = 4xy 4 W prostokątnym układzie współrzędnych

Bardziej szczegółowo

Zagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych

Zagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych Temat 7 Zagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych Rozważmy płaski obszar R 2 ograniczony krzywą. la równania Laplace a (Poissona) stawia się trzy podstawowe zagadnienia brzegowe. Zagadnienie irichleta

Bardziej szczegółowo

Funkcje: wielomianowa, wykładnicza, logarytmiczna wykład 3

Funkcje: wielomianowa, wykładnicza, logarytmiczna wykład 3 Funkcje: wielomianowa, wykładnicza, logarytmiczna wykład 3 dr Mariusz Grzadziel Katedra Matematyki, Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocławiu semestr zimowy 2016/2017 Potęgowanie Dla dowolnej liczby dodatniej

Bardziej szczegółowo

Transformata Fouriera i analiza spektralna

Transformata Fouriera i analiza spektralna Transformata Fouriera i analiza spektralna Z czego składają się sygnały? Sygnały jednowymiarowe, częstotliwość Liczby zespolone Transformata Fouriera Szybka Transformata Fouriera (FFT) FFT w 2D Przykłady

Bardziej szczegółowo

FUNKCJE ZESPOLONE Lista zadań 2005/2006

FUNKCJE ZESPOLONE Lista zadań 2005/2006 FUNKJE ZESPOLONE Lista zadań 25/26 Opracowanie: dr Jolanta Długosz Liczby zespolone. Obliczyć wartości podanych wyrażeń: (2 + ) ( ) 2 4 i (5 + i); b) (3 i)( 4 + 2i); c) 4 + i ; d) ( + i) 4 ; e) ( 2 + 3i)

Bardziej szczegółowo

ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ. 1. Ciała

ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ. 1. Ciała ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ WSHE, O/K-CE 1. Ciała Definicja 1. Układ { ; 0, 1; +, } złożony ze zbioru, dwóch wyróżnionych elementów 0, 1 oraz dwóch działań +:, : nazywamy ciałem

Bardziej szczegółowo

Automatyka i robotyka ETP2005L. Laboratorium semestr zimowy

Automatyka i robotyka ETP2005L. Laboratorium semestr zimowy Automatyka i robotyka ETP2005L Laboratorium semestr zimowy 2017-2018 Liniowe człony automatyki x(t) wymuszenie CZŁON (element) OBIEKT AUTOMATYKI y(t) odpowiedź Modelowanie matematyczne obiektów automatyki

Bardziej szczegółowo