Dyskretne przekształcenie Fouriera cz. 2

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Dyskretne przekształcenie Fouriera cz. 2"

Transkrypt

1 Cyfrowe przetwarzanie sygnałów Jacek Rezmer -1- Dyskretne przekształcenie Fouriera cz. 2 Twierdzenie o przesunięciu Istnieje ważna właściwość DFT, znana jako twierdzenie o przesunięciu. Mówi ono, że: przesunięcie w czasie okresowego ciągu wejściowego x(n) powoduje stałe przesunięcie fazowe DFT. Jeśli zdecydujemy się próbkować x(n) począwszy od n równego pewnej wartości k, w przeciwieństwie do n = 0, to DFT tych przesuniętych w czasie wartości próbek stanowi k j 2 π km/ X m = e X m ( 1 ) Z równania (1) widać, że jeśli punkt, w którym rozpoczynamy próbkowanie x(n) jest przesunięty w prawo o k próbek, to wyjściowe widmo X k (m) DFT wyraża się jako X(m), o każdym j 2πkm / zespolonym składniku X(m) przemnożonym przez liniowe przesunięcie fazowe e, które jest przesunięciem fazy o 2πkm/ a odwrót, jeśli punkt, w którym rozpoczynamy próbkowanie x(n) jest przesunięty w lewo o k j2πkm / próbek, to widmo X k (m) wyraża się jako X(m) przemnożone przez e Przykład 2 ( patrz poprzedni przykład 1 DFT ) Dokonaliśmy próbkowania sygnału wejściowego z przykładu poprzedniego DFT 1 3 () = sin ( 2π 1000 ) + sin ( 2π ) xt t t π 2 4 z opóźnieniem o k = 3 próbki.

2 Cyfrowe przetwarzanie sygnałów Jacek Rezmer -2- a rysunku 1 pokazano oryginalną wejściową funkcję czasu Rysunek 1. Próbkowanie sygnału x(t) w obu przykładach owy, przesunięty ciąg x(n) stanowi wartości reprezentowane grubymi czarnymi kropkami na rys. 1., których wartości to: x(0) =1,0607, x(l) =0,3535, x(2) = - 1,0607, x(3) = - 1,3535, x(4) = - 0,3535, x(5) = 0,3535, x(6) = 0,3535, x(7) = 0,6464 Wyznaczając DFT ciągu, X k (m) ma postać: m amplituda faza część rzeczywista część urojona ,8284 2, ,4141-1, ,4141-1, ,8284-2,8284

3 Cyfrowe przetwarzanie sygnałów Jacek Rezmer -3- Rysunek 2. Wyniki DFT z przykładu 2: (a) moduł X k (m), (b) faza X k (m), (c) część rzeczywista X k (m), (d) część urojona X k (m). Z obliczeń wynika, że amplituda X k (m) jest nie zmieniona względem amplitudy X(m). Amplituda DFT względem oryginalnego sygnału okresowego nie uległa zmianie chociaż próbkowaliśmy sygnał w innym przedziale. Jednak, faza DFT zmienia się w zależności od chwili, w której zaczęliśmy próbkować sygnał x(n). Patrząc na składową DFT X k (m), odpowiadającą m = 1 sprawdzimy wartości fazy sygnału przesuniętego: Pamiętając, że X(1) z przykładu 1 DFT miała amplitudę 4 przy kącie fazowym 90 mamy dla k = 3 oraz = 8: k m j2πk j 2π j j () 1 = e X () 1 = e 4e 4e X = 3 π π ( 2 ) Zatem X k (m) ma amplitudę równą 4 i kąt fazowy +45 o.

4 Cyfrowe przetwarzanie sygnałów Jacek Rezmer -4- Odwrotne dyskretne przekształcenie Fouriera Wprowadzimy pojęcie odwrotnego dyskretnego przekształcenia Fouriera (ang. Inverse Discrete Fourier Transform IDEF). DFT traktujemy zazwyczaj jako przetransformowanie danych z dziedziny czasu w ich reprezentację w dziedzinie częstotliwości. Możemy również odwrócić ten proces i otrzymać oryginalny sygnał w dziedzinie czasu przez przeprowadzenie IDFT na wartościach X(m) w dziedzinie częstotliwości. Wyrażeniami standardowymi dla IDFT są i jednocześnie 1 1 j2 π mn/ x n = X m e ( 3 ) m= n n x( n) = X ( m) cos 2πm jsin 2πm + m= 1 ( 4 ) Sygnał dyskretny w dziedzinie czasu można traktować jako sumę składowych sinusoidalnych o różnych częstotliwościach a wartości X(m) DFT tworzą zbiór wartości zespolonych, określających amplitudę i fazę każdej ze składowych tworzących tę sumę. * *)Równania (3) i (4) są wyrażeniami matematycznymi tego stwierdzenia. Jeśli wyznaczymy IDFT wstawiając wyniki z przykładu 1 do równania (3), przejdziemy z powrotem z dziedziny częstotliwości do dziedziny czasu i otrzymamy wartości próbek oryginalnego sygnału x(n). x[0]=0,3535, x[1]=0,3535, x[2]= 0,6464, x[3] = 1,0607, x[4]=0,3535, x[5]=-1,0607, x[6] = -1,3535, x[7] = -0,3535 Zauważmy, że wyrażenie dla IDFT, określone równaniem (3), różni się od równania dla DFT jedynie czynnikiem skalującym 1/ oraz zmianą znaku wykładnika. Oprócz różnicy w skalowaniu wartości, wszystkie właściwości dotyczące DFT, jakimi dotąd zajmowaliśmy się, stosują się również do IDEF.

5 Cyfrowe przetwarzanie sygnałów Jacek Rezmer -5- Przeciek DFT Poprzednie przykłady DFT przyniosły poprawne wyniki, ponieważ wejściowe ciągi x(n) stanowiły starannie dobrane przebiegi sinusoidalne. Jak się okazuje, DFT próbkowanych sygnałów rzeczywistych prowadzi do wyników w dziedzinie częstotliwości, które mogą być mylące. Właściwość DFT, znana jako przeciek widma, powoduje, że wyniki DFT stanowią jedynie aproksymację widma sygnałów wejściowych poddanych próbkowaniu. Istnieją sposoby minimalizacji przecieku, nie można jednak wyeliminować go całkowicie. DFT ograniczają się do operowania na skończonych zbiorach wartości wejściowych, próbkowanych z częstotliwością f p, dając w wyniku - punktową transformatę, której dyskretne wartości wyjściowe są związane z kolejnymi częstotliwościami analizy f a mf p fa ( m) = ; m= 0,1,2,..., 1 ( 5 ) dla których wyznaczamy kolejne prążki DFT. DFT daje prawidłowe wyniki tylko wtedy, kiedy ciąg danych wejściowych zawiera energię rozłożoną dokładnie przy częstotliwościach, dla których dokonujemy analizy określonych równaniem (5), będących całkowitymi wielokrotnościami częstotliwości podstawowej f p /. Jeśli sygnał wejściowy zawiera składową o pewnej częstotliwości pośredniej, np.:1,5 f p / to pomiędzy częstotliwościami mf p /, dla których wyznaczamy wartości DFT, ta składowa sygnału wejściowego ujawni się w pewnym stopniu przy wszystkich wyjściowych wartościach częstotliwości DFT, dla których przeprowadzamy częstotliwościową analizę tego sygnału! Przykład DFT. Wyznaczamy 64 punktową DFT dla ciągu, który otrzymano w wyniku próbkowania 3 okresów sinusoidy (rys.3). Obliczona transformata pokazuje, że ciąg nie zawiera składowej o częstotliwości innej niż m=3. Korelacja ciągu wejściowego oraz składowych sinusoidalnych dla m różnego od 3 jest równa zero.

6 Cyfrowe przetwarzanie sygnałów Jacek Rezmer -6- Rysunek punktowa DFT (a) ciąg wejściowy, (b) moduł wartości wyjściowych DFT, pierwsza połowa wyniku Mamy teraz ciąg wejściowy sinusoidalny mający 3,4 okresu dla 64 próbek. Ponieważ ten ciąg wejściowy nie ma całkowitej liczby okresów w przedziale 64 próbek, energia wejściowa przecieka do wszystkich innych prążków DFT, jak to pokazano na rys. 4(b). Rysunek punktowa DFT (a) ciąg wejściowy, (b) moduł wartości wyjściowych DFT, pierwsza połowa wyniku

7 Cyfrowe przetwarzanie sygnałów Jacek Rezmer -7- Prążek np. dla m = 4 nie jest równy zeru, ponieważ suma iloczynów ciągu wejściowego i składowej odpowiadającej analizie częstotliwości dla m= 4 nie jest już równa zeru. To jest przeciek powoduje on. że dowolny sygnał wejściowy, którego częstotliwość nie jest dokładnie równa częstotliwości, dla której jest wyznaczany dany prążek DFT, przecieka do wszystkich innych wyznaczanych prążków DFT. Przeciek jest nie do uniknięcia, kiedy wyznaczamy DFT rzeczywistego ciągu czasowego o skończonej długości. Jak należy przewidywać i minimalizować skutki przecieku? Aby zrozumieć skutki przecieku, wymagana jest znajomość wyrażenia określającego prążki DFT, gdy sygnałem wejściowym DFT jest rzeczywista sinusoida o arbitralnie przyjętej częstotliwości. Dla rzeczywistego przebiegu kosinusoidalnego, zawierającego k okresów w - punktowym wejściowym ciągu czasowym, wartości prążków - punktowej DFT w funkcji indeksu m są aproksymowane za pomocą funkcji sinc X m sin π = 2 π ( k m) ( k m) Użyjemy równania (6), zilustrowanego na rys.5(a), aby określić ile przecieku pojawia się w DFT. ( 6 ) Rysunek 5. Odpowiedź częstotliwościowa DFT dla -punktowego ciągu wejściowego, zawierającego k okresów rzeczywistej kosinusoidy: (a) odpowiedź amplitudowa jako funkcja m- tego prążka, (b) moduł odpowiedzi jako funkcja częstotliwości w Hz)

8 Cyfrowe przetwarzanie sygnałów Jacek Rezmer -8- Krzywą na rys. 5 (a), zawierającą listek główny oraz okresowe szczyty i doliny, znane jako listki boczne, możemy traktować jako zawsze dodatnie widmo - punktowego, rzeczywistego czasowego ciągu kosinusoidalnego, mającego k pełnych okresów w wejściowym - punktowym przedziale czasowym. Wartości wyjściowe DFT są dyskretnymi próbkami, które znajdują się na krzywych z rys. 5: to jest, wynik DFT będzie spróbkowaną wersją tego widma ciągłego. Jeśli ciąg wejściowy ma dokładnie całkowitą liczbę k okresów, przeciek nie pojawia się, ponieważ jeśli kąt w liczniku równania (6) jest niezerową całkowitą wielokrotnością π, to sinus tego kąta jest równy zeru. Jeśli wejściowa sinusoida ma całkowitą liczbę okresów w przedziale próbek sygnału wejściowego w dziedzinie czasu, to wartości wyjściowe DFT są położone na krzywej widma ciągłego dokładnie w punktach przejść przez zero tej krzywej. Przykład: Rzeczywista sinusoida o częstotliwości 8 khz, o amplitudzie 1, została spróbkowana częstotliwością 32kHz. Dla 32 punktowej DFT odległość między prążkami wynosi f p /=1kHz (rys 6.a), dla m=8 prążek jest niezerowy. Rysunek 6. DFT dla 32-punktowego ciągu wejściowego sinusoidalnego (a) częstotliwość sygnału f=8khz, (b) f=8,5khz, (c) f=8,75khz Wartości wyjściowe DFT są próbkami ciągłej krzywej widmowej

9 Cyfrowe przetwarzanie sygnałów Jacek Rezmer -9- DFT jest okresowa w dziedzinie częstotliwości, pokazuje to rysunek 7. Przy obliczaniu wartości DFT dla coraz większych częstotliwości poruszamy się w kółko. Rysunek 7 64-punktowa DFT, powielenia widma sygnału sinusoidalnego zawierającego 3,4 okresu. Bardziej konwencjonalną metodę prezentacji wartości wyjściowych DFT stanowi odwinięcie widma z rys. 7: Rysunek 8 Dodatkowe powielenia widma dla przykładu 3,4 okresu sygnału w przedziale próbkowania.

10 Cyfrowe przetwarzanie sygnałów Jacek Rezmer -10- Okienkowanie Skutki przecieku widma DFT są kłopotliwe, ponieważ wartości prążków odpowiadające sygnałom o małej amplitudzie będą zakłócane przez poziomy listków bocznych z sąsiednich prążków odpowiadających sygnałom o dużej amplitudzie. Ważna technika, znana jako okienkowanie jest najbardziej powszechnym sposobem redukcji przecieku. Okienkowanie zmniejsza przeciek DFT przez zminimalizowanie amplitudy listków bocznych funkcji sinc z równania (6). Rysunek 9. Minimalizacja nieciągłości w punktach końcowych przedziału próbkowania: (a) wejściowa sinusoida o nieskończonym czasie trwania; (b) okno prostokątne odpowiadające przedziałowi próbkowania, (c) iloczyn okna prostokątnego i wejściowej sinusoidy; (d) trójkątna funkcja okna, (e) iloczyn okna trójkątnego i wejściowej sinusoidy; (f) funkcja okna Hanninga, (g) iloczyn okna Hanninga i wejściowej sinusoidy, (h) funkcja okna Hamminga

11 Cyfrowe przetwarzanie sygnałów Jacek Rezmer -11- Rozważmy sygnał o nieskończonym czasie trwania w dziedzinie czasu, pokazany na rys. 9(a). DFT może być przeprowadzona jedynie na przedziale próbkowania o skończonym czasie, takim jak pokazany na rys. 9(c). Możemy traktować DFT sygnału wejściowego z rys. 9(c) jako DFT iloczynu sygnału wejściowego o nieskończonym czasie trwania z rys. 9(a), i okna prostokątnego, którego amplituda wynosi 1 w przedziale próbkowania pokazanym na rys. 9(b). Za każdym razem, kiedy wyznaczamy DFT ciągu wejściowego o skończonym czasie trwania, w sposób domyślny mnożymy ten ciąg przez okno samych jedynek i mnożymy wartości wejściowe poza tym przedziałem przez zera. Jak się okazuje, kształt funkcji sinc=sin(x)/x jest spowodowany przez to okno prostokątne, ponieważ ciągła transformata Fouriera okna prostokątnego jest funkcją sinc. Aby zminimalizować przeciek widma spowodowany przez te listki boczne musimy zmniejszyć ich amplitudy używając funkcji okna innych niż okno prostokątne. Wyobraźmy sobie, że przemnożyliśmy nasz sygnał wejściowy z rys. 9(a) przez okno trójkątne pokazane na rys. 9(d), aby otrzymać okienkowany sygnał wejściowy pokazany na rys. 9(e). Zauważmy na rys. 9(e), że wartości tego wynikowego sygnału wejściowego stają się takie same na początku i końcu przedziału próbkowania. Zredukowana nieciągłość zmniejsza poziom względnie wysokich składowych częstotliwościowych w całym zbiorze wartości całej DFT; to znaczy. że poziomy prążków DFT listków bocznych mają zmniejszoną amplitudę, dzięki użyciu okna trójkątnego. Istnieją inne funkcje okien, które zmniejszają przeciek nawet bardziej, niż okno trójkątne, takie jak okno Hanninga z rys. 9(f). Iloczyn okna z rys. 9(f) i ciągu wejściowego daje sygnał pokazany na rys. 9(g), stanowiący sygnał wejściowy DFT. Inną powszechnie używaną funkcją okna jest okno Hamminga, pokazane na rys. 9(h). Jest ono podobne do okna Hanninga, ale jest podniesione przy podstawie. Typy okien Zakładając, że oryginalnych próbek sygnału wejściowego jest indeksowanych przez n, gdzie 0 n 1oznaczmy współczynników okna jako w(n); to znaczy, że ciąg wejściowy x(n) jest mnożony przez odpowiadające współczynniki okna w(n), zanim jest wyznaczona DFT. Zatem DFT X w (m) okienkowanego ciągu wejściowego x(n) przyjmuje postać 1 n j2 m X W m = w n x n e π n= 0 ( 7 )

12 Cyfrowe przetwarzanie sygnałów Jacek Rezmer -12- Okno prostokątne wn = 1, dla n= 0,1, 2,..., 1 (zwane także oknem jednostajnym lub w języku angielskim boxcar) n ; n= 0,1, 2,..., / 2 /2 Okno trójkątne wn = n 2 ; n = /2 + 1, / 2 + 2,..., 1 /2 (bardzo podobne do okien Bartletta i Parzena ) 1 1 n Okno Hanninga: wn = cos 2 π, n= 0,1, 2,..., (zwane także oknem podniesionego cosinusa. Hanna lub von Hanna) n π Okno Hamminga: wn = 0,54 0, 46cos 2 ; n= 0,1, 2,..., 1 Widmo amplitudowe okna prostokątnego stanowi miarę, jakiej zazwyczaj używamy aby porównać inne okna. Definiuje się logarytmiczną odpowiedź amplitudową jako WdB ( m ) pozwalającą unormować widma różnych okien zgodnie z: W db ( m) ( 0) W m = 20 log 10 W ( 8 ) gdzie W(0) jest wartością maksymalną listka głównego dla m=0.

13 Cyfrowe przetwarzanie sygnałów Jacek Rezmer -13- Szerokości listków głównych różnych okien nie prostokątnych degradują rozdzielczość częstotliwościową okienkowanych DFT prawie dwukrotnie. Jednak istotne korzyści zmniejszenia przecieku zazwyczaj przeważają nad stratą w częstotliwościowej rozdzielczości DFT. Rysunek 10. Moduły odpowiedzi okien w unormowanej skali logarytmicznej Zauważmy zmniejszenie się poziomu pierwszego listka bocznego i gwałtowny spadek listków bocznych okna Hanninga. Okno Hamminga ma nawet mniejsze poziomy pierwszego listka, lecz listki boczne tego okna opadają wolniej w porównaniu z oknem Hanninga. Oznacza to. że przeciek w odległości trzech lub czterech prążków od prążka środkowego jest mniejszy dla okna Hamminga, niż dla okna Hanninga, ale przeciek dla kilkunastu prążków od prążka środkowego jest mniejszy dla okna Hanninga, niż dla okna Hamminga. Przykład: Jeśli zastosujemy okno Hanninga do przykładu 3,4 okresu w przedziale próbkowania, otrzymamy wartości wyjściowe DFT dla tego okienkowanego przebiegu na rys. 11 wraz z wynikami DFT bez okienkowania, tj. przy oknie prostokątnym. Jak oczekiwaliśmy, widmo amplitudowe dla okna Hanninga jest szersze i ma mniejszą wartość maksymalną, lecz przeciek listków bocznych jest zauważalnie zmniejszony w porównaniu z przeciekiem dla okna prostokątnego.

14 Cyfrowe przetwarzanie sygnałów Jacek Rezmer -14- Rysunek 11. Porównanie DFT dla okna prostokątnego i Hanninga Możemy zatem stwierdzić, iż wybór okna stanowi kompromis pomiędzy rozszerzeniem listka głównego, poziomami pierwszego listka bocznego, oraz tego, jak szybko maleją listki boczne wraz ze wzrostem częstotliwości. Użycie każdego szczególnego okna zależy od zastosowań.

15 Cyfrowe przetwarzanie sygnałów Jacek Rezmer -15- Rozdzielczość DFT, uzupełnianie zerami i próbkowanie w dziedzinie częstotliwości Jedną z popularnych metod poprawy rozdzielczości częstotliwościowej DFT, jest metoda znana jako uzupełnianie zerami. Proces ten wymaga dodania do oryginalnego ciągu wejściowego DFT próbek o zerowej wartości w celu zwiększenia całkowitej liczby próbek danych wejściowych. Kiedy próbkujemy funkcję ciągłą w dziedzinie czasu, mającą ciągłą transformatę Fouriera i wyznaczamy DFT tych próbek, wówczas DFT daje w wyniku próbkowaną aproksymację transformaty ciągłej w dziedzinie częstotliwości. Im więcej jest punktów w DFT, tym lepiej wartości wyjściowe tej DFT aproksymują transformatę ciągłą. Rysunek 12. Ciągła transformata Fouriera Chcemy aproksymować transformatę Fouriera funkcji ciągłej f(t) z rys. 12(a). Ten przebieg f(t) rozciąga się w obydwu kierunkach do nieskończoności, lecz przyjmuje wartości niezerowe jedynie w przedziale czasu T sekund. Jeśli niezerowa część tej funkcji czasu jest przebiegiem sinusoidalnym o trzech okresach w sekundach, to moduł jego transformaty Fouriera jest pokazany na rys. 12(b). Jest to funkcja, którą będziemy aproksymować za pomocą DFT.

16 Cyfrowe przetwarzanie sygnałów Jacek Rezmer -16- Rys 13. Próbkowanie DFT w dziedzinie częstotliwości: (a) 16 próbek danych wejściowych i = 16; (b) 16 próbek danych wejściowych, 16 dołączonych zer i = 32; (c) 16 próbek danych wejściowych, 48 dołączonych zer i = 64, (d) 16 próbek danych wejściowych, 112 dołączonych zer i = 128 Jeśli dołączymy 16 próbek zerowych do tego ciągu wejściowego i wyznaczymy 32-punktową DFT, to otrzymamy wynik wyjściowy pokazany po prawej stronie rys. 13(b), gdzie zwiększyliśmy rozdzielczość częstotliwościową DFT dwukrotnie. Ta DFT próbkuje teraz częściej transformatę ciągłą. Dodając kolejne 32 zera i wyznaczając 64-punktową DFT, otrzymujemy wynik pokazany po prawej stronie rys. 13(c). Dodając kolejne 64 zera i wyznaczając 128-punktową DFT, otrzymujemy wynik pokazany po prawej stronie rys. 13(d). Właściwość próbkowania DFT w dziedzinie częstotliwości staje się teraz oczywista.

17 Cyfrowe przetwarzanie sygnałów Jacek Rezmer -17- Dodanie zer do ciągu wejściowego poprawi rozdzielczość wyniku DFT, ale istnieje praktyczna granica określająca, jak wiele możemy zyskać przez dodanie większej liczby zer. W rozważanym przykładzie 128-punktowa DFT pokazuje wystarczająco szczegółową zawartość widma sygnału wejściowego. W praktyce, jeśli chcemy przeprowadzić zarówno uzupełnienie zerami, jak i okienkowanie ciągu próbek danych wejściowych, musimy uważać, aby nie zastosować okna do całego sygnału wejściowego, po dołączeniu próbek o wartościach zerowych. Funkcja okna musi być zastosowana tylko do oryginalnych niezerowych próbek czasowych, w przeciwnym wypadku uzupełnione zera wyzerują się i zniekształcą część funkcji okna, prowadząc do błędnych wyników. DFT funkcji prostokątnych Jednym z najbardziej powszechnych i najważniejszych wyliczeń rozważanych w cyfrowym przetwarzaniu sygnałów jest DFT funkcji prostokątnej. Funkcja prostokątna x(n) w postaci ogólnej może być zdefiniowana jako próbek zawierających K próbek o jednostkowej wartości, jak to pokazano na rys. 14. Rysunek 14. Funkcja prostokątna x(n) w postaci ogólnej Funkcje prostokątną, którą chcemy transformować, stanowi pełny - punktowy ciąg x(n). Ciąg ten nazywamy funkcją prostokątną w postaci ogólnej, ponieważ K jednostkowych próbek zaczyna się przy dowolnej wartości indeksu n 0. - punktowa DFT ma postać: /2 X m = ( ) n= /2 + 1 x n e j2 π nm/

18 Cyfrowe przetwarzanie sygnałów Jacek Rezmer -18- Przy n niezerowym tylko w zakresie n n n + ( K ) X m ( K 1) n + = 1 e n= n 0 j2 π nm/ dla pomocniczej zmiennej q = 2π m ( K 1) n + 0 jqn jq( n0) jq( n0+ 1) jq( n0+ 2) jq( n0+ K 1) = = = X q e e e e e n= n 0 K 1 jq n j q j q j q jq K jq n jpq ( 1) = = 0 0 e e e e... e e e Równanie (30) zawiera szereg geometryczny i może być zapisane w zwartej postaci jako p= 0 ( 9 ) K 1 jqk jpq 1 e e = ( 10 ) jq p= 0 1 e Jeśli pomnożymy i podzielimy licznik i mianownik prawej strony równania (31) przez odpowiednie wyrażenia eksponencjalne połówek kąta, to rozdzielimy te wyrażenia eksponencjalne na dwie części i otrzymamy jqk /2 jqk /2 ( e e ) jq/2 jq /2 ( e e ) K 1 jpq jq( K 1)/ e = e ( 11 ) p= 0 jφ jφ e e Z równania Eulera mamy: sin( φ) =. zatem równanie (32) przyjmie postać: j2 K 1 jpq jq( K 1)/2 2jsin ( qk /2) jq( K 1)/2 sin ( qk /2) e = e = e ( 12 ) 2jsin q/2 sin q/2 p= 0 Przywracając naszej pomocniczej zmiennej q jej oryginalną wartość 2 π m/, otrzymujemy Postać ogólna jądra Dirichleta: X m ( π ) 0 sin ( π m/ ) j( 2 π m/ ) n ( K 1 )/2 sin mk / = e ( 14 ) Równanie (14) stanowi ogólne wyrażenie dla DFT funkcji prostokątnej.

19 Cyfrowe przetwarzanie sygnałów Jacek Rezmer -19- DFT symetrycznej funkcji prostokątnej Równanie (14) jest nieco skomplikowane, ponieważ rozważaliśmy oryginalną funkcję x(n) w postaci ogólnej. W praktyce, szczególne przypadki funkcji prostokątnych prowadzą do prostszych wersji równania. Rozważmy symetryczną względem punktu n=0 funkcję prostokątną x(n), jak pokazano na rys. 15, W tym przypadku K próbek jednostkowych zaczyna się w punkcie n= n0 = ( K 1)/2. Zatem podstawienie n0 = ( K 1)/2 w równaniu (14) daje X m ( πm ) ( πm ) j( 2 π m/ ) ( K 1 )/2 ( K 1 )/2 sin πmk / sin πmk / = e = ( 15 ) sin / sin / Rysunek 15. DFT funkcji prostokątnej symetrycznej(a) funkcja oryginalna, (b) część rzeczywista, (c) część urojona, (d) moduł, (e) faza (rd) Opracowano na podstawie: R. G. Lyons Wprowadzenie do cyfrowego przetwarzania sygnałów 1999

DYSKRETNE PRZEKSZTAŁCENIE FOURIERA C.D.

DYSKRETNE PRZEKSZTAŁCENIE FOURIERA C.D. CPS 6 DYSKRETE PRZEKSZTAŁCEIE FOURIERA C.D. Twierdzenie o przesunięciu Istnieje ważna właściwość DFT, znana jako twierdzenie o przesunięciu. Mówi ono, że: Przesunięcie w czasie okresowego ciągu wejściowego

Bardziej szczegółowo

Dyskretne przekształcenie Fouriera

Dyskretne przekształcenie Fouriera Dyskretne przekształcenie Fouriera Dyskretne przekształcenie Fouriera (ang. Discrete Fourier Transform - DFT) jest jedną z dwóch najbardziej popularnych i wydajnych procedur spotykanych w dziedzinie cyfrowego

Bardziej szczegółowo

Zjawisko aliasingu. Filtr antyaliasingowy. Przecieki widma - okna czasowe.

Zjawisko aliasingu. Filtr antyaliasingowy. Przecieki widma - okna czasowe. Katedra Mechaniki i Podstaw Konstrukcji Maszyn POLITECHNIKA OPOLSKA Komputerowe wspomaganie eksperymentu Zjawisko aliasingu.. Przecieki widma - okna czasowe. dr inż. Roland PAWLICZEK Zjawisko aliasingu

Bardziej szczegółowo

uzyskany w wyniku próbkowania okresowego przebiegu czasowego x(t) ze stałym czasem próbkowania t takim, że T = t N 1 t

uzyskany w wyniku próbkowania okresowego przebiegu czasowego x(t) ze stałym czasem próbkowania t takim, że T = t N 1 t 4. 1 3. " P r ze c ie k " w idm ow y 1 0 2 4.13. "PRZECIEK" WIDMOWY Rozważmy szereg czasowy {x r } dla r = 0, 1,..., N 1 uzyskany w wyniku próbkowania okresowego przebiegu czasowego x(t) ze stałym czasem

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenie 3. Właściwości przekształcenia Fouriera

Ćwiczenie 3. Właściwości przekształcenia Fouriera Politechnika Wrocławska Wydział Elektroniki Mikrosystemów i Fotoniki Przetwarzanie sygnałów laboratorium ETD5067L Ćwiczenie 3. Właściwości przekształcenia Fouriera 1. Podstawowe właściwości przekształcenia

Bardziej szczegółowo

Politechnika Wrocławska Wydział Elektroniki Mikrosystemów i Fotoniki Przetwarzanie sygnałów laboratorium ETD5067L

Politechnika Wrocławska Wydział Elektroniki Mikrosystemów i Fotoniki Przetwarzanie sygnałów laboratorium ETD5067L Politechnika Wrocławska Wydział Elektroniki Mikrosystemów i Fotoniki Przetwarzanie sygnałów laboratorium ETD5067L Ćwiczenie 3. Właściwości przekształcenia Fouriera 1. Podstawowe właściwości przekształcenia

Bardziej szczegółowo

Andrzej Leśnicki Laboratorium CPS Ćwiczenie 6 1/8 ĆWICZENIE 6. Dyskretne przekształcenie Fouriera DFT

Andrzej Leśnicki Laboratorium CPS Ćwiczenie 6 1/8 ĆWICZENIE 6. Dyskretne przekształcenie Fouriera DFT Andrzej Leśnicki Laboratorium CPS Ćwiczenie 6 1/8 ĆWICZEIE 6 Dyskretne przekształcenie Fouriera DFT 1. Cel ćwiczenia Dyskretne przekształcenie Fouriera ( w skrócie oznaczane jako DFT z ang. Discrete Fourier

Bardziej szczegółowo

Przetwarzanie sygnałów

Przetwarzanie sygnałów Spis treści Przetwarzanie sygnałów Ćwiczenie 3 Właściwości przekształcenia Fouriera 1 Podstawowe właściwości przekształcenia Fouriera 1 1.1 Kompresja i ekspansja sygnału................... 2 1.2 Właściwości

Bardziej szczegółowo

CYFROWE PRZETWARZANIE SYGNAŁÓW

CYFROWE PRZETWARZANIE SYGNAŁÓW POLITECHNIKA RZESZOWSKA im. I. Łukasiewicza WYDZIAŁ ELEKTROTECHNIKI I INFORMATYKI Katedra Metrologii i Systemów Diagnostycznych CYFROWE PRZETWARZANIE SYGNAŁÓW Analiza widmowa sygnałów (2) dr inż. Robert

Bardziej szczegółowo

DYSKRETNA TRANSFORMACJA FOURIERA

DYSKRETNA TRANSFORMACJA FOURIERA Laboratorium Teorii Sygnałów - DFT 1 DYSKRETNA TRANSFORMACJA FOURIERA Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia jest przeprowadzenie analizy widmowej sygnałów okresowych za pomocą szybkiego przekształcenie Fouriera

Bardziej szczegółowo

Cyfrowe przetwarzanie sygnałów Jacek Rezmer -1-

Cyfrowe przetwarzanie sygnałów Jacek Rezmer -1- Cyfrowe przetwarzanie sygnałów Jacek Rezmer -1- Filtry cyfrowe cz. Zastosowanie funkcji okien do projektowania filtrów SOI Nierównomierności charakterystyki amplitudowej filtru cyfrowego typu SOI można

Bardziej szczegółowo

9. Dyskretna transformata Fouriera algorytm FFT

9. Dyskretna transformata Fouriera algorytm FFT Transformata Fouriera ma szerokie zastosowanie w analizie i syntezie układów i systemów elektronicznych, gdyż pozwala na połączenie dwóch sposobów przedstawiania sygnałów reprezentacji w dziedzinie czasu

Bardziej szczegółowo

8. Analiza widmowa metodą szybkiej transformaty Fouriera (FFT)

8. Analiza widmowa metodą szybkiej transformaty Fouriera (FFT) 8. Analiza widmowa metodą szybkiej transformaty Fouriera (FFT) Ćwiczenie polega na wykonaniu analizy widmowej zadanych sygnałów metodą FFT, a następnie określeniu amplitud i częstotliwości głównych składowych

Bardziej szczegółowo

Szybkie przekształcenie Fouriera

Szybkie przekształcenie Fouriera Szybkie przekształcenie Fouriera Wprawdzie DFT jest najbardziej bezpośrednią procedurą matematyczną do określania częstotliwościowej zawartości ciągu z dziedziny czasu, jest ona bardzo nieefektywna. Ponieważ

Bardziej szczegółowo

Systemy akwizycji i przesyłania informacji

Systemy akwizycji i przesyłania informacji Politechnika Rzeszowska im. Ignacego Łukasiewicza w Rzeszowie Wydział Elektryczny Kierunek: Informatyka Systemy akwizycji i przesyłania informacji Projekt zaliczeniowy Temat pracy: Okna wygładzania ZUMFL

Bardziej szczegółowo

W celu obliczenia charakterystyki częstotliwościowej zastosujemy wzór 1. charakterystyka amplitudowa 0,

W celu obliczenia charakterystyki częstotliwościowej zastosujemy wzór 1. charakterystyka amplitudowa 0, Bierne obwody RC. Filtr dolnoprzepustowy. Filtr dolnoprzepustowy jest układem przenoszącym sygnały o małej częstotliwości bez zmian, a powodującym tłumienie i opóźnienie fazy sygnałów o większych częstotliwościach.

Bardziej szczegółowo

Teoria Sygnałów. III rok Informatyki Stosowanej. Wykład 8

Teoria Sygnałów. III rok Informatyki Stosowanej. Wykład 8 Teoria Synałów rok nformatyki Stosowanej Wykład 8 Analiza częstotliwościowa dyskretnych synałów cyfrowych okna widmowe (cd poprzednieo wykładu) N = 52; T =.24; %czas trwania synału w sekundach dt = T/N;

Bardziej szczegółowo

CYFROWE PRZTWARZANIE SYGNAŁÓW (Zastosowanie transformacji Fouriera)

CYFROWE PRZTWARZANIE SYGNAŁÓW (Zastosowanie transformacji Fouriera) I. Wprowadzenie do ćwiczenia CYFROWE PRZTWARZANIE SYGNAŁÓW (Zastosowanie transformacji Fouriera) Ogólnie termin przetwarzanie sygnałów odnosi się do nauki analizowania zmiennych w czasie procesów fizycznych.

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenie 4. Filtry o skończonej odpowiedzi impulsowej (SOI)

Ćwiczenie 4. Filtry o skończonej odpowiedzi impulsowej (SOI) Politechnika Wrocławska Wydział Elektroniki Mikrosystemów i Fotoniki Przetwarzanie sygnałów laboratorium ETD5067L Ćwiczenie 4. Filtry o skończonej odpowiedzi impulsowej (SOI) 1. Filtracja cyfrowa podstawowe

Bardziej szczegółowo

Przekształcenie Fouriera i splot

Przekształcenie Fouriera i splot Zastosowania Procesorów Sygnałowych dr inż. Grzegorz Szwoch greg@multimed.org p. 732 - Katedra Systemów Multimedialnych Przekształcenie Fouriera i splot Wstęp Na tym wykładzie: przekształcenie Fouriera

Bardziej szczegółowo

Andrzej Leśnicki Laboratorium CPS Ćwiczenie 7 1/7 ĆWICZENIE 7. Splot liniowy i kołowy sygnałów

Andrzej Leśnicki Laboratorium CPS Ćwiczenie 7 1/7 ĆWICZENIE 7. Splot liniowy i kołowy sygnałów Andrzej Leśnicki Laboratorium CPS Ćwiczenie 7 1/7 ĆWICZEIE 7 Splot liniowy i kołowy sygnałów 1. Cel ćwiczenia Operacja splotu jest jedną z najczęściej wykonywanych operacji na sygnale. Każde przejście

Bardziej szczegółowo

CHARAKTERYSTYKI CZĘSTOTLIWOŚCIOWE

CHARAKTERYSTYKI CZĘSTOTLIWOŚCIOWE CHARAKTERYSTYKI CZĘSTOTLIWOŚCIOWE Do opisu członów i układów automatyki stosuje się, oprócz transmitancji operatorowej (), tzw. transmitancję widmową. Transmitancję widmową () wyznaczyć można na podstawie

Bardziej szczegółowo

2. Próbkowanie Sygnały okresowe (16). Trygonometryczny szereg Fouriera (17). Częstotliwość Nyquista (20).

2. Próbkowanie Sygnały okresowe (16). Trygonometryczny szereg Fouriera (17). Częstotliwość Nyquista (20). SPIS TREŚCI ROZDZIAŁ I SYGNAŁY CYFROWE 9 1. Pojęcia wstępne Wiadomości, informacje, dane, sygnały (9). Sygnał jako nośnik informacji (11). Sygnał jako funkcja (12). Sygnał analogowy (13). Sygnał cyfrowy

Bardziej szczegółowo

1.1 Wprowadzenie. 1.2 Podstawy matematyczne analizy widmowej Przestrzeń Euklidesowa N-wymiarowa

1.1 Wprowadzenie. 1.2 Podstawy matematyczne analizy widmowej Przestrzeń Euklidesowa N-wymiarowa 1.1 Wprowadzenie Dowolnemu procesowi technologicznemu towarzyszą zawsze zjawiska pasożytnicze w postaci drgań poszczególnych części danego urządzenia i związanej z tym emisji hałasu. Efekty te, w zależności

Bardziej szczegółowo

Podstawy Przetwarzania Sygnałów

Podstawy Przetwarzania Sygnałów Adam Szulc 188250 grupa: pon TN 17:05 Podstawy Przetwarzania Sygnałów Sprawozdanie 6: Filtracja sygnałów. Filtry FIT o skończonej odpowiedzi impulsowej. 1. Cel ćwiczenia. 1) Przeprowadzenie filtracji trzech

Bardziej szczegółowo

Teoria sterowania - studia niestacjonarne AiR 2 stopień

Teoria sterowania - studia niestacjonarne AiR 2 stopień Teoria sterowania - studia niestacjonarne AiR stopień Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. Inż. Katedra Inżynerii Systemów Sterowania Wykład 4-06/07 Transmitancja widmowa i charakterystyki częstotliwościowe

Bardziej szczegółowo

Kartkówka 1 Opracowanie: Próbkowanie częstotliwość próbkowania nie mniejsza niż podwojona szerokość przed spróbkowaniem.

Kartkówka 1 Opracowanie: Próbkowanie częstotliwość próbkowania nie mniejsza niż podwojona szerokość przed spróbkowaniem. Znowu prosta zasada - zbierzmy wszystkie zagadnienia z tych 3ech kartkówek i opracujmy - może się akurat przyda na dopytkę i uda się zaliczyć labki :) (dodatkowo można opracowania z tych rzeczy z doc ów

Bardziej szczegółowo

dr inż. Artur Zieliński Katedra Elektrochemii, Korozji i Inżynierii Materiałowej Wydział Chemiczny PG pokój 311

dr inż. Artur Zieliński Katedra Elektrochemii, Korozji i Inżynierii Materiałowej Wydział Chemiczny PG pokój 311 dr inż. Artur Zieliński Katedra Elektrochemii, Korozji i Inżynierii Materiałowej Wydział Chemiczny PG pokój 311 Politechnika Gdaoska, 2011 r. Publikacja współfinansowana ze środków Unii Europejskiej w

Bardziej szczegółowo

ĆWICZENIE III ANALIZA WIDMOWA SYGNAŁÓW DYSKRETNYCH. ver.3

ĆWICZENIE III ANALIZA WIDMOWA SYGNAŁÓW DYSKRETNYCH. ver.3 1 Zakład Elektrotechniki Teoretycznej ver.3 ĆWICZEIE III AALIZA WIDMOWA SYGAŁÓW DYSKRETYCH (00) Celem ćwiczenia jest przeprowadzenie analizy widmowej dyskretnych sygnałów okresowych przy zastosowaniu szybkiego

Bardziej szczegółowo

Akustyka muzyczna ANALIZA DŹWIĘKÓW MUZYCZNYCH

Akustyka muzyczna ANALIZA DŹWIĘKÓW MUZYCZNYCH Akustyka muzyczna ANALIZA DŹWIĘKÓW MUZYCZNYCH Dźwięk muzyczny Dźwięk muzyczny sygnał wytwarzany przez instrument muzyczny. Najważniejsze parametry: wysokość związana z częstotliwością podstawową, barwa

Bardziej szczegółowo

PRZETWARZANIE SYGNAŁÓW

PRZETWARZANIE SYGNAŁÓW PRZEWARZANIE SYGNAŁÓW SEMESR V Człowiek- nalepsza inwestyca Proekt współfinansowany przez Unię Europeską w ramach Europeskiego Funduszu Społecznego Wykład II Wprowadzenie Podstawy teoretyczne przetwarzania

Bardziej szczegółowo

Przekształcenia widmowe Transformata Fouriera. Adam Wojciechowski

Przekształcenia widmowe Transformata Fouriera. Adam Wojciechowski Przekształcenia widmowe Transformata Fouriera Adam Wojciechowski Przekształcenia widmowe Odmiana przekształceń kontekstowych, w których kontekstem jest w zasadzie cały obraz. Za pomocą transformaty Fouriera

Bardziej szczegółowo

Liczby zespolone. x + 2 = 0.

Liczby zespolone. x + 2 = 0. Liczby zespolone 1 Wiadomości wstępne Rozważmy równanie wielomianowe postaci x + 2 = 0. Współczynniki wielomianu stojącego po lewej stronie są liczbami całkowitymi i jedyny pierwiastek x = 2 jest liczbą

Bardziej szczegółowo

Podstawowe człony dynamiczne

Podstawowe człony dynamiczne . Człon proporcjonalny 2. Człony całkujący idealny 3. Człon inercyjny Podstawowe człony dynamiczne charakterystyki czasowe = = = + 4. Człony całkujący rzeczywisty () = + 5. Człon różniczkujący rzeczywisty

Bardziej szczegółowo

FFT i dyskretny splot. Aplikacje w DSP

FFT i dyskretny splot. Aplikacje w DSP i dyskretny splot. Aplikacje w DSP Marcin Jenczmyk m.jenczmyk@knm.katowice.pl Wydział Matematyki, Fizyki i Chemii 10 maja 2014 M. Jenczmyk Sesja wiosenna KNM 2014 i dyskretny splot 1 / 17 Transformata

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenie 11. Podstawy akwizycji i cyfrowego przetwarzania sygnałów. Program ćwiczenia:

Ćwiczenie 11. Podstawy akwizycji i cyfrowego przetwarzania sygnałów. Program ćwiczenia: Ćwiczenie 11 Podstawy akwizycji i cyfrowego przetwarzania sygnałów Program ćwiczenia: 1. Konfiguracja karty pomiarowej oraz obserwacja sygnału i jego widma 2. Twierdzenie o próbkowaniu obserwacja dwóch

Bardziej szczegółowo

dr inż. Artur Zieliński Katedra Elektrochemii, Korozji i Inżynierii Materiałowej Wydział Chemiczny PG pokój 311

dr inż. Artur Zieliński Katedra Elektrochemii, Korozji i Inżynierii Materiałowej Wydział Chemiczny PG pokój 311 dr inż. Artur Zieliński Katedra Elektrochemii, Korozji i Inżynierii Materiałowej Wydział Chemiczny PG pokój 3 Politechnika Gdaoska, 20 r. Publikacja współfinansowana ze środków Unii Europejskiej w ramach

Bardziej szczegółowo

Laboratorium Przetwarzania Sygnałów. Ćwiczenie 2. Analiza widmowa

Laboratorium Przetwarzania Sygnałów. Ćwiczenie 2. Analiza widmowa PTS laboratorium Laboratorium Przetwarzania Sygnałów Ćwiczenie 2 Analiza widmowa Opracowali: - prof. dr hab. inż. Krzysztof Kałużyński - dr inż. Beata Leśniak-Plewińska - dr inż. Jakub Żmigrodzki Zakład

Bardziej szczegółowo

POLITECHNIKA OPOLSKA

POLITECHNIKA OPOLSKA POLITECHNIKA OPOLSKA KATEDRA MECHANIKI I PODSTAW KONSTRUKCJI MASZYN MECHATRONIKA Instrukcja do ćwiczeń laboratoryjnych Analiza sygnałów czasowych Opracował: dr inż. Roland Pawliczek Opole 2016 1 2 1. Cel

Bardziej szczegółowo

Analiza szeregów czasowych: 2. Splot. Widmo mocy.

Analiza szeregów czasowych: 2. Splot. Widmo mocy. Analiza szeregów czasowych: 2. Splot. Widmo mocy. P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ semestr letni 2006/07 Splot Jedna z najważniejszych własności transformaty Fouriera jest to, że transformata

Bardziej szczegółowo

Politechnika Wrocławska Wydział Elektroniki Mikrosystemów i Fotoniki Przetwarzanie sygnałów laboratorium ETD5067L

Politechnika Wrocławska Wydział Elektroniki Mikrosystemów i Fotoniki Przetwarzanie sygnałów laboratorium ETD5067L Politechnika Wrocławska Wydział Elektroniki Mikrosystemów i Fotoniki Przetwarzanie sygnałów laboratorium ETD5067L Ćwiczenie 4. Filtry o skończonej odpowiedzi impulsowej (SOI) 1. Filtracja cyfrowa podstawowe

Bardziej szczegółowo

Przetwarzanie sygnałów

Przetwarzanie sygnałów Przetwarzanie sygnałów Ćwiczenie 5 Filtry o nieskończonej odpowiedzi impulsowej (NOI) Spis treści 1 Wprowadzenie 1 1.1 Filtry jednobiegunowe....................... 1 1.2 Filtry wąskopasmowe........................

Bardziej szczegółowo

Politechnika Wrocławska Wydział Elektroniki Mikrosystemów i Fotoniki Przetwarzanie sygnałów laboratorium ETD5067L

Politechnika Wrocławska Wydział Elektroniki Mikrosystemów i Fotoniki Przetwarzanie sygnałów laboratorium ETD5067L Politechnika Wrocławska Wydział Elektroniki Mikrosystemów i Fotoniki Przetwarzanie sygnałów laboratorium ETD5067L Ćwiczenie 4. Filtry o skończonej odpowiedzi impulsowej (SOI) 1. Filtracja cyfrowa podstawowe

Bardziej szczegółowo

Cyfrowe przetwarzanie i kompresja danych

Cyfrowe przetwarzanie i kompresja danych Cyfrowe przetwarzanie i kompresja danych dr inż.. Wojciech Zając Wykład 5. Dyskretna transformata falkowa Schemat systemu transmisji danych wizyjnych Źródło danych Przetwarzanie Przesył Przetwarzanie Prezentacja

Bardziej szczegółowo

Dyskretne sygnały deterministyczne i analiza widmowa

Dyskretne sygnały deterministyczne i analiza widmowa Wydział Elektryczny Zakład Automatyki LABORATORIUM CYFROWEGO PRZETWARZAIA SYGAŁÓW Ćwiczenie Dyskretne sygnały deterministyczne i analiza widmowa. Cel ćwiczenia Opanowanie umiejętności komputerowego modelowania

Bardziej szczegółowo

Rozdział 2. Liczby zespolone

Rozdział 2. Liczby zespolone Rozdział Liczby zespolone Zbiór C = R z działaniami + oraz określonymi poniżej: x 1, y 1 ) + x, y ) := x 1 + x, y 1 + y ), 1) x 1, y 1 ) x, y ) := x 1 x y 1 y, x 1 y + x y 1 ) ) jest ciałem zob rozdział

Bardziej szczegółowo

ĆWICZENIE 6 Transmitancje operatorowe, charakterystyki częstotliwościowe układów aktywnych pierwszego, drugiego i wyższych rzędów

ĆWICZENIE 6 Transmitancje operatorowe, charakterystyki częstotliwościowe układów aktywnych pierwszego, drugiego i wyższych rzędów ĆWICZENIE 6 Transmitancje operatorowe, charakterystyki częstotliwościowe układów aktywnych pierwszego, drugiego i wyższych rzędów. Cel ćwiczenia Badanie układów pierwszego rzędu różniczkującego, całkującego

Bardziej szczegółowo

TEORIA OBWODÓW I SYGNAŁÓW LABORATORIUM

TEORIA OBWODÓW I SYGNAŁÓW LABORATORIUM TEORIA OBWODÓW I SYGNAŁÓW LABORATORIUM AKADEMIA MORSKA Katedra Telekomunikacji Morskiej ĆWICZENIE 4 WYZNACZANIE CHARAKTERYSTYK CZĘSTOTLIWOŚCIOWYCH UKŁADÓW RLC. Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia jest doświadczalne

Bardziej szczegółowo

Przetwarzanie sygnałów

Przetwarzanie sygnałów Przetwarzanie sygnałów Ćwiczenie 3 Filtry o skończonej odpowiedzi impulsowej (SOI) Spis treści 1 Filtracja cyfrowa podstawowe wiadomości 1 1.1 Właściwości filtru w dziedzinie czasu............... 1 1.2

Bardziej szczegółowo

Analiza szeregów czasowych: 2. Splot. Widmo mocy.

Analiza szeregów czasowych: 2. Splot. Widmo mocy. Analiza szeregów czasowych: 2. Splot. Widmo mocy. P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ semestr letni 2007/08 Splot Jedna z najważniejszych własności transformaty Fouriera jest to, że transformata

Bardziej szczegółowo

Aproksymacja funkcji a regresja symboliczna

Aproksymacja funkcji a regresja symboliczna Aproksymacja funkcji a regresja symboliczna Problem aproksymacji funkcji polega na tym, że funkcję F(x), znaną lub określoną tablicą wartości, należy zastąpić inną funkcją, f(x), zwaną funkcją aproksymującą

Bardziej szczegółowo

Analiza właściwości filtra selektywnego

Analiza właściwości filtra selektywnego Ćwiczenie 2 Analiza właściwości filtra selektywnego Program ćwiczenia. Zapoznanie się z przykładową strukturą filtra selektywnego 2 rzędu i zakresami jego parametrów. 2. Analiza widma sygnału prostokątnego..

Bardziej szczegółowo

w analizie wyników badań eksperymentalnych, w problemach modelowania zjawisk fizycznych, w analizie obserwacji statystycznych.

w analizie wyników badań eksperymentalnych, w problemach modelowania zjawisk fizycznych, w analizie obserwacji statystycznych. Aproksymacja funkcji a regresja symboliczna Problem aproksymacji funkcji polega na tym, że funkcję F(), znaną lub określoną tablicą wartości, należy zastąpić inną funkcją, f(), zwaną funkcją aproksymującą

Bardziej szczegółowo

8. Realizacja projektowanie i pomiary filtrów IIR

8. Realizacja projektowanie i pomiary filtrów IIR 53 8. Realizacja projektowanie i pomiary filtrów IIR Cele ćwiczenia Realizacja na zestawie TMX320C5515 ezdsp prostych liniowych filtrów cyfrowych. Pomiary charakterystyk amplitudowych zrealizowanych filtrów

Bardziej szczegółowo

Katedra Elektrotechniki Teoretycznej i Informatyki

Katedra Elektrotechniki Teoretycznej i Informatyki Katedra Elektrotechniki Teoretycznej i Inormatyki Przedmiot: Zintegrowane Pakiety Obliczeniowe W Zastosowaniach InŜynierskich umer ćwiczenia: 7 Temat: Wprowadzenie do Signal Processing Toolbox 1. PRÓBKOWAIE

Bardziej szczegółowo

Transformata Fouriera

Transformata Fouriera Transformata Fouriera Program wykładu 1. Wprowadzenie teoretyczne 2. Algorytm FFT 3. Zastosowanie analizy Fouriera 4. Przykłady programów Wprowadzenie teoretyczne Zespolona transformata Fouriera Jeżeli

Bardziej szczegółowo

Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne.

Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne. Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne. Funkcja homograficzna. Definicja. Funkcja homograficzna jest to funkcja określona wzorem f() = a + b c + d, () gdzie współczynniki

Bardziej szczegółowo

Przetwarzanie sygnału cyfrowego (LabVIEW)

Przetwarzanie sygnału cyfrowego (LabVIEW) Politechnika Rzeszowska im. Ignacego Łukasiewicza w Rzeszowie Wydział: Elektryczny, Kierunek: Informatyka Projekt zaliczeniowy Przedmiot: Systemy akwizycji i przesyłania informacji Przetwarzanie sygnału

Bardziej szczegółowo

BIBLIOTEKA PROGRAMU R - BIOPS. Narzędzia Informatyczne w Badaniach Naukowych Katarzyna Bernat

BIBLIOTEKA PROGRAMU R - BIOPS. Narzędzia Informatyczne w Badaniach Naukowych Katarzyna Bernat BIBLIOTEKA PROGRAMU R - BIOPS Narzędzia Informatyczne w Badaniach Naukowych Katarzyna Bernat Biblioteka biops zawiera funkcje do analizy i przetwarzania obrazów. Operacje geometryczne (obrót, przesunięcie,

Bardziej szczegółowo

Logarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne.

Logarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne. Logarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne. Definicja. Niech a i b będą dodatnimi liczbami rzeczywistymi i niech a. Logarytmem liczby b przy podstawie

Bardziej szczegółowo

Pochodna i różniczka funkcji oraz jej zastosowanie do rachunku błędów pomiarowych

Pochodna i różniczka funkcji oraz jej zastosowanie do rachunku błędów pomiarowych Pochodna i różniczka unkcji oraz jej zastosowanie do rachunku błędów pomiarowych Krzyszto Rębilas DEFINICJA POCHODNEJ Pochodna unkcji () w punkcie określona jest jako granica: lim 0 Oznaczamy ją symbolami:

Bardziej szczegółowo

f = 2 śr MODULACJE

f = 2 śr MODULACJE 5. MODULACJE 5.1. Wstęp Modulacja polega na odzwierciedleniu przebiegu sygnału oryginalnego przez zmianę jednego z parametrów fali nośnej. Przyczyny stosowania modulacji: 1. Umożliwienie wydajnego wypromieniowania

Bardziej szczegółowo

Wykład 2: Szeregi Fouriera

Wykład 2: Szeregi Fouriera Rachunek prawdopodobieństwa MAP64 Wydział Elektroniki, rok akad. 8/9, sem. letni Wykładowca: dr hab. A. Jurlewicz Wykład : Szeregi Fouriera Definicja. Niech f(t) będzie funkcją określoną na R, okresową

Bardziej szczegółowo

Transformata Fouriera i analiza spektralna

Transformata Fouriera i analiza spektralna Transformata Fouriera i analiza spektralna Z czego składają się sygnały? Sygnały jednowymiarowe, częstotliwość Liczby zespolone Transformata Fouriera Szybka Transformata Fouriera (FFT) FFT w 2D Przykłady

Bardziej szczegółowo

Algorytmy detekcji częstotliwości podstawowej

Algorytmy detekcji częstotliwości podstawowej Algorytmy detekcji częstotliwości podstawowej Plan Definicja częstotliwości podstawowej Wybór ramki sygnału do analizy Błędy oktawowe i dokładnej estymacji Metody detekcji częstotliwości podstawowej czasowe

Bardziej szczegółowo

POLITECHNIKA POZNAŃSKA

POLITECHNIKA POZNAŃSKA POLITECHNIKA POZNAŃSKA INSTYTUT ELEKTROTECHNIKI I ELEKTRONIKI PRZEMYSŁOWEJ Zakład Elektrotechniki Teoretycznej i Stosowanej Laboratorium Podstaw Telekomunikacji Ćwiczenie nr 1 Temat: Pomiar widma częstotliwościowego

Bardziej szczegółowo

rezonansu rezonansem napięć rezonansem szeregowym rezonansem prądów rezonansem równoległym

rezonansu rezonansem napięć rezonansem szeregowym rezonansem prądów rezonansem równoległym Lekcja szósta poświęcona będzie analizie zjawisk rezonansowych w obwodzie RLC. Zjawiskiem rezonansu nazywamy taki stan obwodu RLC przy którym prąd i napięcie są ze sobą w fazie. W stanie rezonansu przesunięcie

Bardziej szczegółowo

Stabilność. Krzysztof Patan

Stabilność. Krzysztof Patan Stabilność Krzysztof Patan Pojęcie stabilności systemu Rozważmy obiekt znajdujący się w punkcie równowagi Po przyłożeniu do obiektu siły F zostanie on wypchnięty ze stanu równowagi Jeżeli po upłynięciu

Bardziej szczegółowo

6. FUNKCJE. f: X Y, y = f(x).

6. FUNKCJE. f: X Y, y = f(x). 6. FUNKCJE Niech dane będą dwa niepuste zbiory X i Y. Funkcją f odwzorowującą zbiór X w zbiór Y nazywamy przyporządkowanie każdemu elementowi X dokładnie jednego elementu y Y. Zapisujemy to następująco

Bardziej szczegółowo

Procedura modelowania matematycznego

Procedura modelowania matematycznego Procedura modelowania matematycznego System fizyczny Model fizyczny Założenia Uproszczenia Model matematyczny Analiza matematyczna Symulacja komputerowa Rozwiązanie w postaci modelu odpowiedzi Poszerzenie

Bardziej szczegółowo

przy warunkach początkowych: 0 = 0, 0 = 0

przy warunkach początkowych: 0 = 0, 0 = 0 MODELE MATEMATYCZNE UKŁADÓW DYNAMICZNYCH Podstawową formą opisu procesów zachodzących w członach lub układach automatyki jest równanie ruchu - równanie dynamiki. Opisuje ono zależność wielkości fizycznych,

Bardziej szczegółowo

Teoria Sygnałów. Inżynieria Obliczeniowa II rok 2018/19. Wykład 10. ( t) Wykorzystanie transformacji Fouriera w analizie korelacyjnej

Teoria Sygnałów. Inżynieria Obliczeniowa II rok 2018/19. Wykład 10. ( t) Wykorzystanie transformacji Fouriera w analizie korelacyjnej Teoria Synałów Inżynieria Obliczeniowa II rok 208/9 Wykład 0 Wykorzystanie transformacji Fouriera w analizie korelacyjnej Na początek krótkie przypomnienie podstawowych definicji: Funkcja autokorelacji

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenie - 1 OBSŁUGA GENERATORA I OSCYLOSKOPU. WYZNACZANIE CHARAKTERYSTYKI AMPLITUDOWEJ I FAZOWEJ NA PRZYKŁADZIE FILTRU RC.

Ćwiczenie - 1 OBSŁUGA GENERATORA I OSCYLOSKOPU. WYZNACZANIE CHARAKTERYSTYKI AMPLITUDOWEJ I FAZOWEJ NA PRZYKŁADZIE FILTRU RC. Ćwiczenie - 1 OBSŁUGA GENERATORA I OSCYLOSKOPU. WYZNACZANIE CHARAKTERYSTYKI AMPLITUDOWEJ I FAZOWEJ NA PRZYKŁADZIE FILTRU RC. Spis treści 1 Cel ćwiczenia 2 2 Podstawy teoretyczne 2 2.1 Charakterystyki częstotliwościowe..........................

Bardziej szczegółowo

Politechnika Warszawska Wydział Elektryczny Laboratorium Teletechniki

Politechnika Warszawska Wydział Elektryczny Laboratorium Teletechniki Politechnika Warszawska Wydział Elektryczny Laboratorium Teletechniki Skrypt do ćwiczenia T.09 Określenie procentu modulacji sygnału zmodulowanego AM 1. Określenie procentu modulacji sygnału zmodulowanego

Bardziej szczegółowo

Transformata Laplace a to przekształcenie całkowe funkcji f(t) opisane następującym wzorem:

Transformata Laplace a to przekształcenie całkowe funkcji f(t) opisane następującym wzorem: PPS 2 kartkówka 1 RÓWNANIE RÓŻNICOWE Jest to dyskretny odpowiednik równania różniczkowego. Równania różnicowe to pewne związki rekurencyjne określające w sposób niebezpośredni wartość danego wyrazu ciągu.

Bardziej szczegółowo

Interpolacja, aproksymacja całkowanie. Interpolacja Krzywa przechodzi przez punkty kontrolne

Interpolacja, aproksymacja całkowanie. Interpolacja Krzywa przechodzi przez punkty kontrolne Interpolacja, aproksymacja całkowanie Interpolacja Krzywa przechodzi przez punkty kontrolne Aproksymacja Punkty kontrolne jedynie sterują kształtem krzywej INTERPOLACJA Zagadnienie interpolacji można sformułować

Bardziej szczegółowo

Charakterystyka amplitudowa i fazowa filtru aktywnego

Charakterystyka amplitudowa i fazowa filtru aktywnego 1 Charakterystyka amplitudowa i fazowa filtru aktywnego Charakterystyka amplitudowa (wzmocnienie amplitudowe) K u (f) jest to stosunek amplitudy sygnału wyjściowego do amplitudy sygnału wejściowego w funkcji

Bardziej szczegółowo

Analiza właściwości filtrów dolnoprzepustowych

Analiza właściwości filtrów dolnoprzepustowych Ćwiczenie Analiza właściwości filtrów dolnoprzepustowych Program ćwiczenia. Zapoznanie się z przykładową strukturą filtra dolnoprzepustowego (DP) rzędu i jego parametrami.. Analiza widma sygnału prostokątnego.

Bardziej szczegółowo

Politechnika Świętokrzyska. Laboratorium. Cyfrowe przetwarzanie sygnałów. Ćwiczenie 6. Transformata cosinusowa. Krótkookresowa transformata Fouriera.

Politechnika Świętokrzyska. Laboratorium. Cyfrowe przetwarzanie sygnałów. Ćwiczenie 6. Transformata cosinusowa. Krótkookresowa transformata Fouriera. Politechnika Świętokrzyska Laboratorium Cyfrowe przetwarzanie sygnałów Ćwiczenie 6 Transformata cosinusowa. Krótkookresowa transformata Fouriera. Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia jest zapoznanie studentów

Bardziej szczegółowo

Szereg i transformata Fouriera

Szereg i transformata Fouriera Analiza danych środowiskowych III rok OŚ Wykład 3 Andrzej Leśniak KGIS, GGiOŚ AGH Szereg i transformata Fouriera Cel wykładu: Wykrywanie i analiza okresowości w szeregach czasowych Przepływ wody w rzece

Bardziej szczegółowo

1. Modulacja analogowa, 2. Modulacja cyfrowa

1. Modulacja analogowa, 2. Modulacja cyfrowa MODULACJA W16 SMK 2005-05-30 Jest operacja mnożenia. Jest procesem nakładania informacji w postaci sygnału informacyjnego m.(t) na inny przebieg o wyższej częstotliwości, nazywany falą nośną. Przyczyna

Bardziej szczegółowo

Funkcje wymierne. Jerzy Rutkowski. Działania dodawania i mnożenia funkcji wymiernych określa się wzorami: g h + k l g h k.

Funkcje wymierne. Jerzy Rutkowski. Działania dodawania i mnożenia funkcji wymiernych określa się wzorami: g h + k l g h k. Funkcje wymierne Jerzy Rutkowski Teoria Przypomnijmy, że przez R[x] oznaczamy zbiór wszystkich wielomianów zmiennej x i o współczynnikach rzeczywistych Definicja Funkcją wymierną jednej zmiennej nazywamy

Bardziej szczegółowo

Analiza obrazu. wykład 5. Marek Jan Kasprowicz Uniwersytet Rolniczy 2008

Analiza obrazu. wykład 5. Marek Jan Kasprowicz Uniwersytet Rolniczy 2008 Analiza obrazu komputerowego wykład 5 Marek Jan Kasprowicz Uniwersytet Rolniczy 2008 Slajdy przygotowane na podstawie książki Komputerowa analiza obrazu R.Tadeusiewicz, P. Korohoda, oraz materiałów ze

Bardziej szczegółowo

IMPLEMENTATION OF THE SPECTRUM ANALYZER ON MICROCONTROLLER WITH ARM7 CORE IMPLEMENTACJA ANALIZATORA WIDMA NA MIKROKONTROLERZE Z RDZENIEM ARM7

IMPLEMENTATION OF THE SPECTRUM ANALYZER ON MICROCONTROLLER WITH ARM7 CORE IMPLEMENTACJA ANALIZATORA WIDMA NA MIKROKONTROLERZE Z RDZENIEM ARM7 Łukasz Deńca V rok Koło Techniki Cyfrowej dr inż. Wojciech Mysiński opiekun naukowy IMPLEMENTATION OF THE SPECTRUM ANALYZER ON MICROCONTROLLER WITH ARM7 CORE IMPLEMENTACJA ANALIZATORA WIDMA NA MIKROKONTROLERZE

Bardziej szczegółowo

Laboratorium Przetwarzania Sygnałów Biomedycznych

Laboratorium Przetwarzania Sygnałów Biomedycznych Laboratorium Przetwarzania Sygnałów Biomedycznych Ćwiczenie 3 Analiza sygnału o nieznanej strukturze Opracowali: - prof. nzw. dr hab. inż. Krzysztof Kałużyński - mgr inż. Tomasz Kubik Politechnika Warszawska,

Bardziej szczegółowo

Podstawy Automatyki. Wykład 5 - stabilność liniowych układów dynamicznych. dr inż. Jakub Możaryn. Warszawa, Instytut Automatyki i Robotyki

Podstawy Automatyki. Wykład 5 - stabilność liniowych układów dynamicznych. dr inż. Jakub Możaryn. Warszawa, Instytut Automatyki i Robotyki Wykład 5 - stabilność liniowych układów dynamicznych Instytut Automatyki i Robotyki Warszawa, 2018 Wstęp Stabilność O układzie możemy mówić, że jest stabilny jeżeli jego odpowiedź na wymuszenie (zakłócenie)

Bardziej szczegółowo

Definicja i własności wartości bezwzględnej.

Definicja i własności wartości bezwzględnej. Równania i nierówności z wartością bezwzględną. Rozwiązywanie układów dwóch (trzech) równań z dwiema (trzema) niewiadomymi. Układy równań liniowych z parametrem, analiza rozwiązań. Definicja i własności

Bardziej szczegółowo

Przetwarzanie sygnałów

Przetwarzanie sygnałów Spis treści Przetwarzanie sygnałów Ćwiczenie 2 Dyskretna transformacja Fouriera 1 Liczby zespolone 1 2 Dyskretna Transformacja Fouriera (ang. Discrete Fourier Transform DFT) 2 3 Pytania i zadania na kartkówkę

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie. Spis treści. Analiza_sygnałów_-_ćwiczenia/Filtry

Wprowadzenie. Spis treści. Analiza_sygnałów_-_ćwiczenia/Filtry Analiza_sygnałów_-_ćwiczenia/Filtry Spis treści 1 Wprowadzenie 2 Filtry cyfrowe: powtórka z wykładu 2.1 Działanie filtra w dziedzinie czasu 2.2 Nazewnictwo 2.3 Przejście do dziedziny częstości 2.3.1 Działanie

Bardziej szczegółowo

Transformaty. Kodowanie transformujace

Transformaty. Kodowanie transformujace Transformaty. Kodowanie transformujace Kodowanie i kompresja informacji - Wykład 10 10 maja 2009 Szeregi Fouriera Każda funkcję okresowa f (t) o okresie T można zapisać jako f (t) = a 0 + a n cos nω 0

Bardziej szczegółowo

Politechnika Łódzka. Instytut Systemów Inżynierii Elektrycznej

Politechnika Łódzka. Instytut Systemów Inżynierii Elektrycznej Politechnika Łódzka Instytut Systemów Inżynierii Elektrycznej Laboratorium komputerowych systemów pomiarowych Ćwiczenie 3 Analiza częstotliwościowa sygnałów dyskretnych 1. Opis stanowiska Ćwiczenie jest

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenie 3 BADANIE OBWODÓW PRĄDU SINUSOIDALNEGO Z ELEMENTAMI RLC

Ćwiczenie 3 BADANIE OBWODÓW PRĄDU SINUSOIDALNEGO Z ELEMENTAMI RLC Ćwiczenie 3 3.1. Cel ćwiczenia BADANE OBWODÓW PRĄD SNSODANEGO Z EEMENTAM RC Zapoznanie się z własnościami prostych obwodów prądu sinusoidalnego utworzonych z elementów RC. Poznanie zasad rysowania wykresów

Bardziej szczegółowo

Wydział Elektryczny Katedra Telekomunikacji i Aparatury Elektronicznej

Wydział Elektryczny Katedra Telekomunikacji i Aparatury Elektronicznej Politechnika Białostocka Wydział Elektryczny Katedra Telekomunikacji i Aparatury Elektronicznej Instrukcja do zajęć laboratoryjnych z przedmiotu: Przetwarzanie Sygnałów Kod: TS1A400027 Temat ćwiczenia:

Bardziej szczegółowo

Liczby zespolone. Magdalena Nowak. 23 marca Uniwersytet Śląski

Liczby zespolone. Magdalena Nowak. 23 marca Uniwersytet Śląski Uniwersytet Śląski 23 marca 2012 Ciało liczb zespolonych Rozważmy zbiór C = R R, czyli C = {(x, y) : x, y R}. W zbiorze C definiujemy następujące działania: dodawanie: mnożenie: (a, b) + (c, d) = (a +

Bardziej szczegółowo

Dyskretne układy liniowe. Funkcja splotu. Równania różnicowe. Transform

Dyskretne układy liniowe. Funkcja splotu. Równania różnicowe. Transform Dyskretne układy liniowe. Funkcja splotu. Równania różnicowe. Transformata Z. March 20, 2013 Dyskretne układy liniowe. Funkcja splotu. Równania różnicowe. Transformata Z. Sygnał i system Sygnał jest opisem

Bardziej szczegółowo

Przekształcenia całkowe. Wykład 1

Przekształcenia całkowe. Wykład 1 Przekształcenia całkowe Wykład 1 Przekształcenia całkowe Tematyka wykładów: 1. Liczby zespolone -wprowadzenie, - funkcja zespolona zmiennej rzeczywistej, - funkcja zespolona zmiennej zespolonej. 2. Przekształcenie

Bardziej szczegółowo

x(n) x(n-1) x(n-2) D x(n-n+1) h N-1

x(n) x(n-1) x(n-2) D x(n-n+1) h N-1 Laboratorium Układy dyskretne LTI projektowanie filtrów typu FIR Z1. apisać funkcję y = filtruj(x, h), która wyznacza sygnał y będący wynikiem filtracji sygnału x przez filtr FIR o odpowiedzi impulsowej

Bardziej szczegółowo

O MACIERZACH I UKŁADACH RÓWNAŃ

O MACIERZACH I UKŁADACH RÓWNAŃ O MACIERZACH I UKŁADACH RÓWNAŃ Problem Jak rozwiązać podany układ równań? 2x + 5y 8z = 8 4x + 3y z = 2x + 3y 5z = 7 x + 8y 7z = Definicja Równanie postaci a x + a 2 x 2 + + a n x n = b gdzie a, a 2, a

Bardziej szczegółowo

dr inż. Artur Zieliński Katedra Elektrochemii, Korozji i Inżynierii Materiałowej Wydział Chemiczny PG pokój 311

dr inż. Artur Zieliński Katedra Elektrochemii, Korozji i Inżynierii Materiałowej Wydział Chemiczny PG pokój 311 dr inż. Artur Zieliński Katedra Elektrochemii, Korozji i Inżynierii Materiałowej Wydział Chemiczny PG pokój 311 Politechnika Gdaoska, 2011 r. Publikacja współfinansowana ze środków Unii Europejskiej w

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenie 3,4. Analiza widmowa sygnałów czasowych: sinus, trójkąt, prostokąt, szum biały i szum różowy

Ćwiczenie 3,4. Analiza widmowa sygnałów czasowych: sinus, trójkąt, prostokąt, szum biały i szum różowy Ćwiczenie 3,4. Analiza widmowa sygnałów czasowych: sinus, trójkąt, prostokąt, szum biały i szum różowy Grupa: wtorek 18:3 Tomasz Niedziela I. CZĘŚĆ ĆWICZENIA 1. Cel i przebieg ćwiczenia. Celem ćwiczenia

Bardziej szczegółowo