Metody obliczeniowe - Budownictwo semestr 4 - wykład nr 3. Metody obliczeniowe. wykład nr 3. interpolacja i aproksymacja funkcji model regresji

Transkrypt

1 Metod obliczeiowe - Bdowictwo semestr 4 - wkład r 3 Metod obliczeiowe wkład r 3 iterpolacja i aproksmacja fkcji model regresji

2 Jeśli i = f( i )(i=,,) dla pewej fkcji f() to mówim iż fkcja g() iterpolje fkcję f() w węzłach i (i=,,) 3 Zadaie Iterpolacji Metod obliczeiowe - Bdowictwo semestr 4 - wkład r 3,5,5 (, ), Dach jest + pktów (węzłowch) (, ),,(, ) poszkjem takiej fkcji g()w obrębie fkcji pewej staloej klas dla której g( i )= i (i=,,), mówim wówczas iż fkcja g() iterpolje wartości i w węzłach i (i=,,) Przbliżeie fkcji skomplikowaej fkcją prostszą

3 3 Iterpolacja wielomiaowa Metod obliczeiowe - Bdowictwo semestr 4 - wkład r 3 Najprostsz przpadek iterpolacja liiowa - zadaie iterpolacji dla dwóch pktów (, ),(, ) rozwiązaiem w klasie wielomiaów pierwszego stopia jest fkcja liiowa, której wkres przechodzi przez pkt (, ),(, ) 4,5 4 (, ) 3,5 3,5,5 (, ),5 (, ) 3 4 5

4 Iterpolacja wielomiaowa Metod obliczeiowe - Bdowictwo semestr 4 - wkład r 3 4 Wzaczaie współczików wielomia iterpolacjego poprzez rozwiązaie kład rówań liiowch a a a a a a a a a a a a p... ) ( a a a ,5,5, (, )

5 5 Iterpolacja wielomiaowa Zjawisko Rgego, wzrost stopia wielomia Metod obliczeiowe - Bdowictwo semestr 4 - wkład r ,5 3,5 3 3,5,5,5,5,5,

6 6 Kbicze fkcje sklejae Metod obliczeiowe - Bdowictwo semestr 4 - wkład r 3 określeie fkcji sklejach 3 stopia (cbic splie) zachowaa ciągłość fkcji i jej pochodch do stopia włączie wkres wielomiaów stopia co ajwżej 3 f( 4 ) f( 3 ) f() f( ) f( ) drgie pochode rówe f( ) 3 4

7 7 Fkcje sklejae (splie) Metod obliczeiowe - Bdowictwo semestr 4 - wkład r 3 Kostrkcja fkcji sklejaej Dach + pktów węzłowch (,f( )),,(,f( )) w każdm podprzedziale [ i-, i ] (i=,...,) określam wielomia s i () stopia k wartości w węzłach zewętrzch spełiają warek iterpolacji : s f, s f wartości drgich pochodch w węzłach zewętrzch spełiają warek atralości :,,,, s s w węzłach wewętrzch wartości fkcji, wartości pierwszch pochodch i wartości drgich pochodch są rówe są rówe :,,..., s s f i i i i i i,,,,,,..., s s i,,...,,, i i i i s s i gd stopień wielomia k =3 fkcje sklejae azwać będziem kbiczmi fkcjami sklejami. Wówczas 3,,..., s a b c d i i i i i i i i i i i i i do wzaczeia łączie 4 współczików - iewiadomch

8 8 Metod obliczeiowe - Bdowictwo semestr 4 - wkład r 3 Kbicze fkcje sklejae, a wielomia 4 4 3,5 3,5 3 3,5,5,5,5,5, fkcja sklejaa wielomia iterpoljąc fkcja sklejaa wielomia iterpoljąc

9 9 Metod obliczeiowe - Bdowictwo semestr 4 - wkład r 3 Iterpolacja fkcji wiel zmiech Iterpolacja dwliiowa - rozszerzeie iterpolacji liiowej. Iterpolacja fkcji dwóch zmiech. złożeie dwóch iterpolacji liiowch. przeprowadza się dwie iterpolacje liiowe dla jedego kierk (p. wzdłż osi OX w kładzie kartezjańskim), astępie dla tak zskach wartości przeprowadza się iterpolację liiową dla drgiego kierk (osi OY). Iterpoljem wartość fkcji w pkcie P iterpolacja liiowa wzdłż osi OX: iterpolacja liiowa wzdłż osi OY:

10 Metod obliczeiowe - Bdowictwo semestr 4 - wkład r 3 Iterpolacja fkcji wiel zmiech Iterpolacja dwliiowa - rozszerzeie iterpolacji liiowej. Iterpolacja fkcji dwóch zmiech. Iterpolacja powierzchie -go stopia (kwadrki) powierzchie bikbicze powierzchie sklejae

11 Krzwe Béziera Metod obliczeiowe - Bdowictwo semestr 4 - wkład r 3 Pierre Bézier - fracski iżier firm Realt, Pal de Castelja - iżier firm Citroë.

12 Krzwe Béziera Metod obliczeiowe - Bdowictwo semestr 4 - wkład r 3 krzwa wielomiaowa (Pierre Bézier 97) powszechie stosowae w programach do projektowaia iżierskiego - programach CAD-owskich Najczęściej żwae są krzwe trzeciego stopia leżące a płaszczźie. Defiijąc krzwą trzeciego stopia określam 4 pkt (tzw. pkt kotrole) A, B, C i D, którch położeie wzacza przebieg krzwej. Krzwa ma swój początek w pkcie A i skierowaa jest w stroę pkt B. Następie zmierza w stroę pkt D dochodząc do iego od stro pkt C. Odciek AB jest stcz do krzwej w pkcie A, atomiast odciek CD jest stcz w pkcie D Krzwą Béziera trzeciego stopia określa astępjące rówaie: P(t)= A( t) 3 +3Bt( t) + 3Ct ( t)+ Dt 3 dla t. Czli: P (t)= A ( t) 3 + 3B t( t) + 3C t ( t) + D t 3 P (t)= A ( t) 3 + 3B t( t) + 3C t ( t) + D t 3 Krzwa ma swój początek w pkcie A (t = ) i koiec w pkcie D (t = ).

13 3 Metod obliczeiowe - Bdowictwo semestr 4 - wkład r 3 Płat Béziera defiiowaie ograicza się do wskazaia siatki pktów kotrolch Każda siatka pktów kotrolch defiijąca płat Bèziera posiada wiersz i m kolm. Szczególm przpadkiem płata Bèziera jest postać bikbicza (płat jest 3 stopia w ob kierkach, mam 6 pktów kotrolch).

14 4 Metod obliczeiowe - Bdowictwo semestr 4 - wkład r 3 Zadaie aproksmacji fkcji daa jest fkcja (jedej zmieej) f() określoa a przedziale [a,b] fkcja f() może bć zadaa w postaci dskretej (zbior pktów) {( i,f( i ))} i=,..., wzor aalitczego Zadaie aproksmacji: ależ dobrać taką fkcję aproksmjącą F() spośród fkcji określoej klas tak ab fkcja F() możliwie dokładie przbliżała przebieg fkcji (w oparci o staloe krterim) aproksmowaej f() w określom przedziale F f F

15 5 Zadaie aproksmacji fkcji Metod obliczeiowe - Bdowictwo semestr 4 - wkład r 3 f miimalizacja sm kwadratów tch odległości 3 4 f m i f mi i i

16 6 Metod obliczeiowe - Bdowictwo semestr 4 - wkład r 3 Metoda ajmiejszch kwadratów Mając da zbiór fkcji bazowch {,, } m i siatkę pktów i, f i i przbliżam fkcję f() fkcją aproksmjącą postaci, c c c Określam współcziki c,...,c tak, b wrażeie: (przpadek dskret): bło jak ajmiejsze g,..., Metoda słżąca rozwiązai zadaia aproksmacji średiokwadratowej Metoda Najmiejszch Kwadratów (Gass Legedre, 86) f g k k m i k f g i i

17 Układ rówań ma dokładie jedo rozwiązaie jeśli {,, } jest liiowo iezależ Dla dowolch fkcji f(),g() prz daej siatce węzłów {,, } iloczem skalarm azwać będziem wrażeie Metoda ajmiejszch kwadratów Metod obliczeiowe - Bdowictwo semestr 4 - wkład r 3 7 j f c i j j i i,...,,, ) ( ) ( :, i m i i g f g f f f f c c c,,,,,,,,,,,, i i c i g Wzaczeie fkcji aproksmjącej jako kombiacji liiowej fkcji bazowch sprowadza się do rozwiązaia kład rówań (wzaczeia współczików c,,c )

18 8 Metod obliczeiowe - Bdowictwo semestr 4 - wkład r 3 Metoda ajmiejszch kwadratów - przkład dae są wiki pomiarów: f() ależ zaleźć fkcję aproksmjącą postaci: f()= c + c (fkcje bazowe: =, = ) f() () () <f, >= = -. <f, >=-.-.9*3-.6*4+.6*6+.9*7=.7 <, >= 5, <, >= =, <, >= = otrzmjem kład rówań: 5 c c. c.7 c ,5 =,553 -,54,5 -, ,5 - -,5

19 9 Metod obliczeiowe - Bdowictwo semestr 4 - wkład r 3 Model regresji - wprowadzeie dae są dae ekspermetale, wiki pomiarów celem pomiarów wkrcie i opisaie za pomocą fkcji aalitczch zależości =f(,..., ) miedz iezależmi parametrami (zmiemi objaśiającmi),..., oraz parametrem od ich zależm (zmieą objaśiaą) wkrcie istieia zależości korelacja staleie postaci fkcji która ją opisje regresja zadaie wzaczeia model regresji polega a wzaczei kokretej zależości fkcjej p. regresja jedowmiarowa: zależość fkcja =f() jedowmiarowa regresja liiowa: zależość fkcja = a +a zbadai arzędziami rachk prawdopodobieństwa jakości wzaczoego model regresji

20 Model regresji - wprowadzeie Metod obliczeiowe - Bdowictwo semestr 4 - wkład r 3 dae parametr, poszkiwaa zależość fkcja: = a + a próbka r poszkiwa model regresji wkres rozrzt 4 4 współczik korelacji,

21 Model regresji - wprowadzeie Metod obliczeiowe - Bdowictwo semestr 4 - wkład r 3 dae parametr, poszkiwaa zależość fkcja: = a + a próbka r wkres rozrzt - empircza liia regresji 4 =,967 współczik korelacji,

22 Model regresji - wprowadzeie Metod obliczeiowe - Bdowictwo semestr 4 - wkład r 3 dae parametr, poszkiwaa zależość fkcja: = a +a próbka r model regresji wkres rozrzt 4 współczik korelacji =,

23 3 Model regresji - wprowadzeie Metod obliczeiowe - Bdowictwo semestr 4 - wkład r 3 dae parametr, poszkiwaa zależość fkcja: = a +a próbka r model regresji wkres rozrzt - empircz model regresji =, ,5385 współczik korelacji =,

24 4 Korelacja liiowa Metod obliczeiowe - Bdowictwo semestr 4 - wkład r 3 Dae dwie zmiee losowe X, Y reprezetjące parametr współczik korelacji liiowej mierz siłę zależości międz zmiemi X, oraz Y tworzącmi dwwmiarową zmieą losową przjmje wartości z przedział [-,] im wartość współczika bliższa krańcom przedział, tm związek korelacj siliejsz współczik Pearsoa współczik korelacji liiowej w próbie (zależ od liczebości prób) 3 r i i i i i i i i i i i i i i i,5,5,5,5,5,5

25 5 Model regresji liiowej Metod obliczeiowe - Bdowictwo semestr 4 - wkład r 3 Dwie zmiee X,Y : poszkjem zależości liiowej pomiędz zmiemi X i Y:,5 b b,5,5 i b b, i,..., i i,5,5,5 -,5 Metoda ajmiejszch kwadratów - metoda estmacji parametrów model regresji wzaczeie takich parametrów b, b że sma kwadratów odchleń (SSE) pomiędz rzeczwistmi a teoretczmi wartościami zmieej Y jest ajmiejsza SSE i ( i ( i )) i ( i b b i ) mi

26 6 Regresja liiowa badaie jakości wzaczoego model Metod obliczeiowe - Bdowictwo semestr 4 - wkład r 3 współczik determiacji (R ) iformje jaka część zmieej Y jest wjaśioa poprzez oszacowae rówaie regresji przez zaobserwowae w próbie zmia wartości zmiech objaśiającch przjmje wartości z zakres od do, gd R = : dae leżą dokładie a liii" regresji (zmieość jest wjaśioa w %); R = : regresja iczego ie wjaśia, dae są ieskorelowae;,9 R < : bardzo dobre,,8 R <,9 : dopasowaie dobre,,7 R <,8 : dopasowaie zadawalające w iektórch zastosowaiach.

27 7 Próbka Próbka Regresja liiowa 4 Metod obliczeiowe - Bdowictwo semestr 4 - wkład r liia regresji wzaczoa a podstawie próbki

28 8 Regresja liiowa Metod obliczeiowe - Bdowictwo semestr 4 - wkład r 3 Próbka Próbka teoretcza liia regresji (odosząca się do poplacji geeralej): empircze rówaie regresji (rówaie regresji w próbce): b b liia regresji wzaczoa a podstawie próbki aproksmjąc teoretczą prostą regresji za pomocą empirczego rówaia, wzaczam współcziki b,b dla kokretej prób

29 9 Metod obliczeiowe - Bdowictwo semestr 4 - wkład r 3 Regresja liiowa werfikacja statstcza test istotości dla parametrów regresji aaliza reszt (reszt wi mieć rozkład ormal) Y =.98 -=.8 = X wzaczeie obszar (pasa) fości przjmjąc określo poziom fości p=- (p. p=,95) obszarem fości azwam obszar w którm z prawdopodobieństwem rówm poziomowi fości zajdje się iezaa teoretcza liia regresji

30 % 3 Regresja liiowa - przkład Metod obliczeiowe - Bdowictwo semestr 4 - wkład r 3 Dokoao aaliz próbek grt, mierząc a różch głębokościach procetową zawartość piask aaliza prz żci MS Ecel 8 Nr próbki % zawartości głębokość [cm] piask w próbce [cm]

31 % 3 Regresja liiowa - przkład Metod obliczeiowe - Bdowictwo semestr 4 - wkład r 3 Dokoao aaliz próbek grt, mierząc a różch głębokościach procetową zawartość piask aaliza prz żci MS Ecel 8 Nr próbki % zawartości głębokość [cm] piask w próbce = -, ,6 R² =, [cm]

32 3 Regresja liiowa przkład Metod obliczeiowe - Bdowictwo semestr 4 - wkład r 3 Dokoao aaliz próbek grt, badao zależość dwóch parametrów stopia plastczości i spójości grt (zależość wzaczoo w oparci 7 prób i prób) 4 stopień plastczości - spójość = 3,787-8, + 5,9 R² =, ,,4,6,8,,4-5 - = -3, ,799 R² =,85 7 prób

33 33 Regresja liiowa przkład Metod obliczeiowe - Bdowictwo semestr 4 - wkład r 3 Dokoao aaliz próbek grt, badao zależość dwóch parametrów stopia plastczości i spójości grt (zależość wzaczoo w oparci 7 prób i prób) stopień plastczości - spójość = -44, ,3 R² =,348 5,,5,3,35,4,45,5,55,6 prób

34 34 Fkcje SciLaba Metod obliczeiowe - Bdowictwo semestr 4 - wkład r 3 iterp() obliczeie wartości iterpoljącej fkcji sklejaej iterpd(), iterp3d() iterpolacja fkcjami sklejami iterpl() rozwiązaie zadaia iterpolacji liiowej a płaszczźie lsq() rozwiązaie rówaia postaci AX=B metodą ajmiejszch kwadratów lsq_splie() aproksmacja średiokwadratowa sześcieą fkcją sklejaą liear_iterp() rozwiązaie zadaia -wmiarowej iterpolacji liiowej spli(), splid(), spli3d() obliczeie współczików fkcji sklejaej, iterpoljącej podae pkt węzłowe regli(), regress() wzaczeie współczików regresji liiowej

35 35 Podsmowaie Metod obliczeiowe - Bdowictwo semestr 4 - wkład r 3 Aproksmacja i iterpolacja, pojęcie model regresji Zadaie iterpolacji iterpolacja wielomiaowa wzór Lagrage a, postać macierz Lagrage a, wzór Lagrage a dla węzłów rówoodległch, wzór Iterpolacj Newtoa. Fkcje sklejae własości fkcji sklejach 3 stopia (cbic splie) Krzwa Béziera Aproksmacja ogóla postać zadaia aproksmacji. Zadaie aproksmacji liiowej pojęcie fkcji bazowch, postać rozwiązaia kład rówań liiowch adokreślo wgładzaie fkcji Zadaie aproksmacji średiokwadratowej: metoda ajmiejszch kwadratów ilocz skalar fkcji, fkcje ortogoale, własości wielomiaów Czebszewa. Zadaie aproksmacji jedostajej: sformłowaie zadaia Twierdzeie Weierstrassa

36 36 Podsmowaie Metod obliczeiowe - Bdowictwo semestr 4 - wkład r 3 Aproksmacja i iterpolacja, pojęcie model regresji Model regresji opisaie problem, podstawowe pojęcia statstki: poplacja geerala, jedostka statstcza, cech statstcze, próbka, badaie częściowe, pojęcie zmieej losowej i jej realizacji, teoretcza liia regresji, a empircze rówaie regresji, badaie korelacji a podstawie realizacji prób, sposób wzaczeia rówaia regresji metodą ajmiejszch kwadratów miar jakości przjętego model regresji wariacja resztkowa współczik determiacji werfikacja statstcza przjętego model regresji obszar fości i predkcji Modele ieliiowe regresji sprowadzaie do model liiowego