a fale świetlne Powtórzenie; operatory róŝniczkowe Wektorowe równanie falowe (3D) Fale wyraŝone przez zespolone amplitudy r r r 2 r r r r E E E 1 E

Transkrypt

1 Równania Mawella a fale świetlne Wykład 3 Fale wyaŝone pzez zespolone amplitudy wektoowe Pola zespolone, a więc i ich amplitudy są teaz wektoami: % % Równania Mawella Wypowadzenie ównania falowego z ównań Mawella Dlaczego fale świetlne w póŝni (powietzu) są falami popzecznymi Gęstość enegii fali świetlnej Wekto Poyntinga Iadiancja (natęŝenie światła) Iadiancja supepozycji fal świetlnych Skąd się bieze światło? Wielkości częstości oscylacji atomowych i cząsteczkowych Zadania (, t) ep i ( k ωt) % % Zespolone amplitudy zapisane są więc pzy pomocy aŝ sześciu liczb, któe tzeba znać, by te amplitudy w pełni okeślić!!! składowa składowa y składowa z (Re{ } + i Im{ }, Re{ y} + i Im{ y}, Re{ z} + i Im{ z}) % Wektoowe ównanie falowe (3D) posiada ozwiązanie w postaci: lub: µε v + + µε y z v u u t A i k t % (, ) ep ( ω θ ) u (, t ) ep i ( k ωt ) % % zespolona amplituda Teaz mamy stzałkę nad. Są to tzy niezaleŝne ównania falowe; kaŝde z nich dotyczy składowych, y, i z wektoa. Powtózenie; opeatoy óŝniczkowe RóŜniczkowy opeato wektoowy nabla : Gadient funkcji skalanej f :,, y z f,, y z - jest wektoem, wskazuje kieunek, w jakim wzost funkcji f jest największy. Dywegencja opeato óŝniczkowy, któy funkcji wektoowej pzypisuje wielkość skalaną z y z y f + +

2 Powtózenie; opeatoy óŝniczkowe Laplacian funkcji skalanej: y z f f,, f f f + + y z Laplacian funkcji wektoowej: (działa na kaŝdą ze składowych funkcji wektoowej) f f f y z y z y z f f f y y y fz f z fz f + +, + +, + + Laplacian mówi nam o zakzywieniu funkcji wektoowej Równania Mawell a Podstawowe ównania elektomagnetyzmu i optyki. Opisują własności pola elektycznego i magnetycznego oaz zaleŝności między tymi polami. W póŝni (w powietzu): - natęŝenie pola elektycznego, [ V / m ], - indukcja magnetyczna, [T Vs /m ], ε - pzenikalność elektyczna póŝni, µ - pzenikalność magnetyczna, - opeato dywegencji, [/m], - opeato otacji, [/m]. H H H H Z ównań Mawella moŝna wypowadzić ównanie falowe fali M. Powtózenie; opeatoy óŝniczkowe Rotacja The Culfunkcji of a vecto wektoowej function f : z y f z y f,, y dz z d dy Rotacja The cul moŝe can be być teat zapisana ed as a mati pzy pomocy deteminant wyznacznika: : ) ) ) y z f y z f f y fz Functions that tend to cul a ound have lage culs Wypowadzenie ównania falowego z ównań Mawella Weźmy : (RM) t [ ] [ ] t Zmieńmy kolejność óŝniczkowania zgodnie z egułą RHS: [ ] [ ] Podstawiając za: µε (RM) mamy: [ ] [ µε ], lub: t t [ ] µε µ i ε są stałe w czasie: 3 4

3 Wypowadzenie ównania falowego z ównań Mawella Skozystamy teaz z lematu (do wykazania w domu): [ f ] ( f ) f [ ] µε ( ) µε. Wówczas: PoniewaŜ nigdzie nie mamy Ŝadnej gęstości ładunku (póŝnia), ρ, (RM) otzymaliśmy ównanie falowe, o ile: : µ ε v µε Fala elektomagnetyczna popaguje się w póŝni z pędkością v c: Skąd wiadomo, że fala elektomagnetyczna w póŝni jest falą popzeczną? Równania opisujące falę hamoniczną: v k ω µ ε k ω k k są ozwiązaniami ównań Mawella o ile: ω k c RLACJA DYSPRSJI Zdjęcie w czasie t: Wektoy,, k twozą układ pawoskętny. v ( ) k k Skąd wiadomo, że fala elektomagnetyczna w póŝni jest falą popzeczną? Równania opisujące falę hamoniczną: v k ω µ ε k ω k k są ozwiązaniami ównań Mawella o ile: ω k c RLACJA DYSPRSJI Równania Mawella poddane tansfomacie Fouiea zgodnie z egułą: Wielkość pola magnetycznego fali świetlnej Niech fala ozchodzi się wzdłuŝ osi i jej pole elektyczne skieowane jest wzdłuŝ osi y. Statujemy with: z: We Całkujemy: can integate: Otzymujemy: z y y z (, t) z (,) dt Pzyjmijmy z (,) i y (, t) ep i ( k ωt ) % t ik z (, t) ep i( k t) iω % PoniewaŜ ω / k c: [ ω ] z (, t) y (, t) c Całkowanie y wzgledem daje ik, a całkowanie względem t daje /-iω. 5 6

4 Siła działająca na ładunek w polu fali świetlnej Siła Loentza działajaca na ładunek q: Poównajmy obie siły; ich stosunek wynosi: Ponieważ /c: F q + q v F F magnetic electical F F magnetic electical F electical qv q v c magnetic gdzie v jest pędkością ładunku Tak więc tak długo, jak pędkość ładunku jest duŝo mniejsza niŝ pędkość światła, część magnetyczna siły Loentza jest duŝo mniejsza niŝ część elektyczna i moŝna ją zaniedbać. F v v sinθ v Gęstość enegii fali świetlnej (Gęstość enegii pola: enegia pola w jednostce objętości) Gęstość enegii pola elektycznego: U ε Gęstość enegii pola magnetycznego: U µ Dla fali: /c, i Mamy więc:, a więc: ( ε εµ µ ) ε µ εµ ε µ U ε U Całkowita gęstość enegii: U U + U ε Tak więc gęstość enegii pola elektycznego i magnetycznego fali świetlnej są ówne. Gęstość enegii fali świetlnej (Gęstość enegii pola: enegia pola w jednostce objętości) Gęstość enegii pola elektycznego: U ε Gęstość enegii pola magnetycznego: U µ Dla fali: /c, i, a więc: εµ Wekto Poyntinga: - stumień enegii pzenoszonej pzez wiązkę światła (moc pzepływająca pzez jednostkę powiezchni) [ ] U gęstość enegii pola c t A Mamy więc: Całkowita gęstość enegii: ( εµ ) ε µ U U U U + U ε Tak więc gęstość enegii pola elektycznego i magnetycznego fali świetlnej są ówne. W poszukiwaniu wielkości, któe dają się zmiezyć, czy teŝ tych, na któe eaguje nasze oko gęstość stumienia enegii gęstość enegii pędkość jej tanspotu negia pzepływająca pzez powiezchnię A w czasie t: U V U A c t negia pzepływająca w jednostkowym czasie pzez jednostkę powiezchni: U V / ( A t ) U c c ε c ε W poszukiwaniu wielkości, któe dają się zmiezyć, czy teŝ tych, na któe eaguje nasze oko 7 8

5 Wekto Poyntinga: S c ε Podstawiając: (,t) cos[(k ω t ) θ ] i H(,t) H cos[(k ω t ) θ ] do wyażenia na wekto Poyntinga: S(, t) c ε cos ( k ω t θ ) I(, t) S(, t) (/ ) Śednia z cos jest ówna /: wielkość szybkozmienna w czasie! c ε Iadiancja natężenie Ponieważ pola elektyczne i magnetyczne fali są wzajemnie postopadłe, oaz / c, oaz k, w kieunku popagacji iadiancja I (natężenie) fali wyaża się: I < S > t cε [W/m ] czyli: I ~ gdzie: cja (lub niepawidłowo, choć często używane: natężenie) wiązki światła % % % % % % % * * * + y y + z z Pamiętajmy: ozwaŝania nasze są popawne dla fali hamonicznej ozchodzącej się w póŝni. Falę opisaliśmy: (, t) Re ep i ( k ω t ) % Iadiancja natężenie śedni stumień enegii Podstawiając: (,t) cos[(k ω t ) θ ] i H(,t) H cos[(k ω t ) θ ] do wyażenia na wekto Poyntinga: S(, t) c ε cos ( k ω t θ ) I(, t) S(, t) (/ ) Śednia z cos jest ówna /: cja (lub niepawidłowo, choć często używane: natężenie) wiązki światła c ε Iadiancja natężenie cja (lub niepawidłowo, choć często używane: natężenie) wiązki światła I < S > t cε S (na pow. Ziemi) 4 W/m [W/m ] laseem osiągalne S W/m 9 V/m pola wewnątz atomów? Zwieciadło Achimedesa 9

6 Podsumowanie: v k ω µ ε k ω k k c Wektoy i są wzajemnie postopadłe. Wektoy i dgają w zgodnej fazie. k W póŝni (w ośodku izotopowym) fala elektomagnetyczna tanspotuje enegię postopadle do swojego czoła. Fala elektomagnetyczna w póŝni (powietzu) ozchodzi się z pędkością c ε µ Iadiancja sumy dwóch fal: Jeśli obie są popocjonalne do: ep i( k ω t), iadiancja wynosi: * * * * I cε cε + y y + z z % % % % % % % % + % % % Dla óŝnych polayzacji: (np. w kieunku i y): * * I cε + y y I + I y % % % % natęŝenia dodają się Dla takich samych polayzacji np. w kieunku : + % % % * * * I cε + Re{ } + % % % % % % { } I I + cε Re + I % % * Tak więc: Wyaz kzyŝowy! WyaŜenie kzyŝowe związane jest z intefeencją! Sumowanie pól: elektomagnetyzm jest teoią liniową, zasada supepozycji obowiązuje. Zadanie: Jeśli (,t) and (,t) są ozwiązaniami ównania falowego, wówczas ( + ) (,t) + (,t) jest teŝ jego ( + ) ozwiązaniem. + + t t t Oznacza to, Ŝe wiązki światła mogą pzechodzić jedna ( + ) ( + ) pzez dugą. + c t c t c t Oznacza to ównieŝ, Ŝe mogą one konstuktywnie lub destuktywnie intefeować: Zapisz pole i płaskiej fali monochomatycznej o częstotliwości ω, któa pousza się: a) w kieunku ujemnym osi i jest spolayzowana * w kieunku osi z, b) pousza się w kieunku wyznaczonym pzez początek układu współzędnych i punkt (,,) i jest spolayzowana* ównolegle do płaszczyzny z. *) Fala elektomagnetyczna jest spolayzowana w danym kieunku (lub w danej płaszczyźnie) gdy jej wekto elektyczny oscyluje zgodnie z tym kieunkiem (lub w tej płaszczyźnie).

7 Równania Mawella Widzieliśmy, Ŝe w pustej pzestzeni ównania Mawella (ównanie falowe) opisuje popagację światła. Równania Mawell a Podstawowe ównania elektomagnetyzmu i optyki. Opisują własności pola elektycznego i magnetycznego oaz zaleŝności między tymi polami. W ośodkach liniowych: H H H H Ale skąd się pochodzi światło, co jest jego piewotnym źódłem? Musi nim być mateia. - natęŝenie pola elektycznego, [ V / m ], - indukcja magnetyczna, [ T Vs /m ], - indukcja elektyczna, [ C / m ] - natęŝenie pola magnetycznego, [ A / m ] ε - pzenikalność elektyczna ośodka (względna), µ - pzenikalność magnetyczna ośodka (względna), - gęstość pądu, [A/m ], ρ - gęstość ładunku, [ C / m 3 ] - opeato dywegencji, [/m], - opeato otacji, [/m]. D ε + P Równania Mawell a Podstawowe ównania elektomagnetyzmu i optyki. Opisują własności pola elektycznego i magnetycznego oaz zaleŝności między tymi polami. W ośodkach liniowych: sfomułowanie makoskopowe - natęŝenie pola elektycznego, [ V / m ], - indukcja magnetyczna, [T Vs /m ], - indukcja elektyczna, [ C / m ] - natęŝenie pola magnetycznego, [ A / m ] D ε - pzenikalność elektyczna ośodka, (wzgledna) µ - pzenikalność magnetyczna ośodka, (wzgledna) - gęstość pądu swobodnego, [A/m ], ρ - gęstość ładunku swobodnego, [ C / m 3 ] - opeato dywegencji, [/m], - opeato otacji, [/m]. ε + P Źódła światła Liniowo pzyspieszane ładunki pzyspieszane ładunki niezwiazane Pomeniowanie synchotonowe - pomieniowanie emitowane pzez naładowane cząstki pzyspieszane po kzywoliniowych toach np.. w polu magnetycznym Pomieniowanie hamowania (niem. emsstahlung) - pomieniowanie powstające podczas hamowania cząstki obdazonej ładunkiem elektycznym (np. w takcie hamowania w zdezeniu z inną czastką naładowaną). 3 4

8 Źódła światła: polayzacja Ośodek spolayzowany: Rzędy wielkości częstości oscylacji atomowych i cząsteczkowych: Gdy dgania ładunków (elektonów) są skoelowane, ośodek jest spolayzowany. Polayzacja ośodka moŝe się zmieniać hamonicznie w czasie. t P µ ε µ + t Indukowana polayzacja ośodka jest zawata w ównaniach Mawell a (pzyjęto, Ŝe µ ): Oscylacje elektonów wynikające z ich uchu wokół jade atomowych: DuŜa częstość: ~ 4-7 cykli na sekundę. Oscylacje jąde cząsteczek względem siebie: Pośednie częstości: ~ - 3 cykli na sekundę. Rotacja jąde cząsteczek: Niskie częstości: ~ 9 - cykli na sekundę. negiom związanym z oscylacjami pzypisać moŝna poziomy enegetyczne Równania Mawell a w ośodku mateialnym Indukowana polayzacja P ośodka i jest zawata w ównaniach Mawell a (pzyjęto, Ŝe µ ): t P µ ε +µ Ten dodatkowy czynnik dodaje się do ównania falowego, któe zwane jest jako niejednoodne ównanie falowe: P µ Nq z c t Polayzacja jest członem q źódłowym i mówi nam o tym, jakie światło zostanie wyemitowane. ZauwaŜmy, Ŝe indukowana Polayzacja, a więc wychylenie ładunku ( q t ), jest dwukotnie óŝniczkowane. q / jest pzyspieszeniem ładunku! Tak więc to pzyspieszane ładunki (elektony) ośodka są źódłami światła. Oscylacje atomowe i cząsteczkowe obazu klasycznego odpowiadają pzejściom między poziomami enegetycznymi w opisie kwantowym. Atom oscylujący z czestością ν. negia hν Stan wzbudzony Stan podstawowy Atom oscylujący między stanem wzbudzonym i podstawowym. 5 6

9 Wzbudzone atomy spontanicznie emitują fotony. Kiedy atom waca do stanu o niŝszym poziomie enegii, emituje foton. Stan wzbudzony negia Stan podstawowy Cząsteczki na ogół pozostają dłuŝej wzbudzone (τ ~ kilka nsek). misja fotonu: fluoescencja lub, dla dłuŝszych czasów Ŝycia: fosfoescencja. Cząsteczki posiadają znacznie badziej zóŝnicowane poziomy enegetyczne niŝ atomy. Pzykład poziomów enegetycznych cząsteczki: gi wzbudzony stan elektonowy el + vib + ot szy wzbudzony stan elektonowy negia Wzbudzony poziom otacyjno-oscyalcyjny Podstawowy stan elektonowy Pzejście między stanami elektonowymi Tak więc cząsteczki mają zwykle dość złoŝone widma. Dodatkowo widmo komplikuje się wskutek spzęŝenia spin-obita, obecności spinu jądowego etc. 7