Wprowadzenie do rachunku tensorowego

Wielkość: px

Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Wprowadzenie do rachunku tensorowego"

Błażej Brzeziński
7 lat temu
Przeglądów:

1 A Zabors, Wprowadzene do rachunu ensorowego Wprowadzene do rachunu ensorowego Konwenca sumacyna Ensena Powórzene s wsanów oznacza sumowane, s o zw wsan neme Wsan neme mona dowolne zmena, zachowuc edna reguł ch powarzana s: = a x a x a x Iloczyn salarny weorów zapsuemy: uv = u x vx + u y v y + u z vz = u v = u v ( = u v ), a długo weora (salar): u = x + u y + uz = u u = x, z a u = u u x = x, z Uład równa zapsuemy z uycem wsanów ywych: a x + a x + a3 + b a x + a x + a3 + b a x + b (sumowane po, yle równa le ) a3 x + a3 x + a33 + b3 Jel powarzace s wsan ne naley sumowa, bdzemy psal e w nawasach, np suma wadraów osnusów erunowych prose w przesrzen: a a n n (n bez ( n) ( n) = = nawasów oznaczałoby podwóne sumowane: po n po ) Pochodne po współrzdnych oznacza bdzemy przecnem przed ndesem współrzdne po óre rónczuemy: f f, x Transformaca przez obró Transformaca uładu współrzdnych zapsue s: ξ = a x gdze a s współrzdnym macerzy przeca (nesymeryczne, oronormalne), np dla obrou o α na płaszczyne: cosα snα a = snα cosα Elemeny perwszego wersza zawera oleno osnusy ów pomdzy perwsz os nowego uładu (obróconego) a osam uładu wycowego W drugm werszu wdne osnusy mdzy drug os nowego uładu a osam uładu wycowego Macerz a es orogonalna: a a dla, oraz unormowana: a a = dla = Oznacza o, e wersze olumny macerzy przeca s wersoram os orogonalnego uładu nowego w sarym uładze (wycowym) Dela Kronecera dla δ = dla = Warune oronormalnoc zapszemy wc: a a = δ,, = ξ, η, = x, y Jes ae: b δ = b

2 A Zabors, Wprowadzene do rachunu ensorowego Defnca ensora II rzdu Tensorem (drugego rzdu) nazywamy macerz wadraow (3 współrzdnych), óre współrzdne przy obroce uładu współrzdnych ransformu s zgodne z prawem (zwanym prawem ransformac ensorowe): a gdze a, a l s dosawam erunowym os (osnusam ów mdzy osam -, -l, czyl współrzdnym wersorów os w uładze współrzdnych) S elemenam macerzy przeca ze sarego uładu współrzdnych do nowego Prawo ransformac es lnowe ednorodne wzgldem współrzdnych ensora Kady obe geomeryczn óry przy zmane uładu współrzdnych ransformue s zgodne z prawem ransformac ensorowe, es ensorem a l l Do ensorów sosu s wszele zasady rachunu ensorowego, a zaps ensorowy es nezaleny od przyego uładu współrzdnych (obone czy arezasego czy e rzywolnowego, neorogonalnego) Uwaga : Bdzemy zamowal s wyłczne ensoram symerycznym: = Uwaga : Ilo współrzdnych zaley od wymaru przesrzen rzdu ensora (w m-wymarowe przesrzen ensor n-ego rzdu ma m n współrzdnych) Przyłady: Doychczas poznalmy: ensory rzdu (3 współrzdnych), czyl salary: a = = a cons, ensory rzdu (3 współrzdnych); a wda z zapsu s nm współrzdne punu (óre moemy uwaa za weory wodzce), w = a w, ensorem rzdu s e weory (ne ylo wodzce); dowód: r w = ρ -r = (rysobo) = a ρ - a r = a (ρ - r ) = a w ensor rzdu ednosowy - dela Kronecera δ ; es o ensor nezmenncz gdy dla uładu orogonalnego:δ =a a l δ l = a a = δ Tensorem rzdu es loczyn współrzdnych weorów (zw loczyn salarny zewnrzn dadyczny): v w = a v a w = a a v w, l przyładem aego loczynu es loczyn weora sły P wersora normalne zewnrzne n do płaszczyzny przerou: Px P x nx Px n y Px Py ( nx n y ) = Py nx Py n y Py nx n y Inerpreaca geomeryczna es naspuca: sładowe na przene główne s o rzuy sładowych P na erune normalne n, równoległe do os x, z a sładowe poza przen o rzuy na prosopadłe erun lece na płaszczyne przerou Dowód: P x n x = P x cos(n,x), podobne dla pozosałych ednomennych P x n x + P x n y + P x n z = P x (n x + n y + n z ) = P x, l l l w ρ

3 A Zabors, Wprowadzene do rachunu ensorowego sd wyna, e s o sumy geomeryczne 3 wzaemne do sebe prosopadłych sładowych Jes o wc nc nnego a rozład weora na erune normalne zewnrzne erun syczne do płaszczyzn wzaemne prosopadłe Nedługo poznamy nowe, szczególne przydane ensory rzdu Tensor pomnoony przez weor dae w wynu weor: w = a a a w = a a a w = δ w = w = w l l l l l l Powysze werdzene moe by przye ao defnca ensora, z óre mona wyprowadz wzory ransformacyne Jel w powyszym wzorze weor zaspmy wersorem normalne do pewnego erunu, o defnc mona wypowedze: Tensor n-ego rzdu es o obe geomeryczn órego rzu na dowolny erune es ensorem n- rzdu Wyna sd, e rzuy ensora rzdu na erun rzech os uładu współrzdnych s rzema weoram, ady o rzech współrzdnych (salarnych), sd całowa lo współrzdnych (salarnych) dla ensora rzdu w przesrzen 3D wynos 9 Zagadnene waroc własnych Poszuuemy ae ransformac (aego obrou) uładu współrzdnych, dla óre współrzdne ensora na przene główne (n)(n) = bd esremalne Współrzdn z przene główne ensora uzysue s dwurone rzuuc ensor na erune: za perwszym razem orzymuc weor = n, a za drugm ego współrzdn = n n Zadane sprowadza s do poszuwana esremum func z warunem pobocznym: n = (suma wadraów cosnusów erunowych a wc długo wersora normalne), czyl: n f = n n + λ ( n n ) f, Oblczamy pochodn: ( nn ), n λ( nn ) n ( nn ) n n n n n n ( ) n, = δ, λ = δ λ = λδ = λδ, przyrównuc do zera, orzymuemy: ( λδ ) n W powyszym równanu eden ze wsanów es yw co oznacza e mamy do czynena z uładem 3 równa (np =,, 3) S o równana algebraczne, lnowe ednorodne ze wzgldu na weor normalne Do denycznego uładu równa dochodzmy poszuuc aego erunu dla órego weor naprena = n byłby współlnowy z normaln zewnrzn: = λn, sd po porównanu wyrae: n = λn od razu dosaemy powysze równane Oznacza o, e szuac erunów dla órych waroc na przene byłyby esremalne (cle: chodz o warune ch saconarnoc), orzymuemy macerz w zw posac dagonalne: edyne na przene główne znadu s waroc nezerowe (rzuy na pozosałe erun prosopadłe do normalne s zero) Tensor ransformowany do uładu współrzdnych orelonego z powyszych równa ma posa dagonaln (współrzdne poza przen główn s równe zero) Poszuuemy nerywalnego (nezerowego) rozwzana powyszego uładu W maemayce ae zagadnene nazywa s zagadnenem waroc własnych ensora: λ = (n), orelonych przez n - współrzdne wersorów erunów własnych (głównych) ensora Przyoczmy bez dowodu dwa werdzena algebry: WKW snena rozwzana nezerowego lnowego uładu równa, es zerowane s wyznaczna macerzy główne uładu Ale ednoczene: WKW, aby macerz wadraowa była neosoblwa es ne zerowane s e wyznaczna n

4 A Zabors, Wprowadzene do rachunu ensorowego Jel wc zadamy de( ( n) δ ), o ym samym damy lnowe zalenoc uładu równa Wówczas sporód 3 równa uładu edyne równana s lnowo nezalene Aby wc rozwza uład równa musmy dołczy równane z warunu pobocznego poszuwana esremum, wce dosawy erunowe weora własnego (suma wadraów = ) Po rozpsanu warunu zerowana s wyznaczna, orzymuemy równane szecenne na waroc własne: 3 I + I I3 W maemayce dowodz s, e dla macerzy symeryczne powysze równane ma 3 perwas rzeczywse, óre oznaczymy (,, 3 ) Z ednoznacznoc rozwzana wnosuem e nezalene od perwonego uładu współrzdnych równane szecenne es ae samo, zn e zarówno waroc własne a współczynn równana s ae same dla danego ensora Mówmy o nch e s nezmennam:,, 3 s nazywane nezmennam głównym, warocam głównym, warocam własnym ensora, I, I, I 3 s nazywane nezmennam podsawowym ensora, przy czym: I = ( = suma po przene), I = (suma podwyznacznów), I 3 = (wyznaczn główny macerzy ensora) Pomnómy dwa równana zagadnena waroc własnych odpowedno n n n, n n n odemmy od sebe, uwzgldnac symer ensora = oraz zamenac mescam wsan neme n n = n n = n n, orzymuemy: n n δ n n = ) n n n n, gdy δ ( Jel waroc własne s róne, o odpowadace m erun główne s prosopadłe Jel waroc własne s sobe równe, o ady erune na płaszczyne es erunem głównym Jel 3 waroc własne s sobe równe, o ady erune w przesrzen es erunem głównym Ja es sens powyszych wywodów? Jel ensor, zapsany w dowolnym uładze współrzdnych, ransformuemy do uładu wyznaczonego przez erun główne, o orzymamy ensor w posac dagonalne, przy czym waroc główne wyspuce na dagonalne przymu waroc esremalne (cle waroc esremalne a edna saconarna ) Zamas 9 współrzdnych ensora (lub 6 współrzdnych dla ensora symerycznego) wysarcza 3 waroc własne, co m n znaczne upraszcza zaps: ( ) xx xy xz x, z (,,3) yx yy yz zx zy zz 3 Mac współrzdne ensora w ednym uładze moemy na podsawe wzorów ransformacynych oblczy ego współrzdne w nnym uładze Zagadnene waroc własnych w przesrzen -wymarowe (na płaszczyne) Jel nezmenn podsawowy I 3 (z am przypadem mamy do czynena el np n-a olumna odpowadacy e n-y wersz zawera same zera, ale ne ylo), o edna z

5 A Zabors, Wprowadzene do rachunu ensorowego waroc własnych es równa zero równane szecenne reduue s do równana wadraowego: I + I Perwas ego równana (dla z ) wyraa s wzoram: ( + ) ± ( ) ; = xx y y xx y y + 4 x y a uład erunów głównych orelony es em α, o a naley obróc wycowy uład współrzdnych: ( xx ) cosα + x y snα, x y cosα + ( y y )snα sd, dla waroc własnych (, ) znaduemy: xx x y g α = =, x y gdze α oznacza merzony od os x do -ego erunu głównego Ponewa perwszy nezmenn podsawowy es sum wyrazów na przene główne es nezaleny od a obrou uładu współrzdnych, wyna sd orogonalno erunów głównych: xy xx + yy xx xx gα gα = = = xy yy y y yy

Podobne dokumenty

5. MES w mechanice ośrodka ciągłego

5. MES w mechanice ośrodka ciągłego . MES w mechance ośroda cągłego P.Pucńs. MES w mechance ośroda cągłego.. Stan równowag t S P x z y n ρb(x, y, z) u(x, y, z) P Wetor gęstośc sł masowych N/m 3 ρb ρ g Wetor gęstośc sł powerzchnowych N/m