Twierdzenie o n-kanapce

Transkrypt

1 Twierdzenie o n-kanapce Jacek J. Łakis Naukowe Koło Matematyki PG 24 marca 204. Wprowadzenie Twierdzenie o n-kanapce jest jednym z tych twierdzeń, które pokazują niezwykłe własności i zastosowania funkcji ciągłej. Jest uogólnieniem twierdzeń którym ze względu na swoją prostotę zrozumienia nadano kulinarny charakter. Zanim jednak sformułuję te szczególne przypadki chciałbym przytoczyć najważniejsze twierdzenie w tym artykule: Twierdzenie Borsuka-Ulama. Dla każdego ciągłego odwzorowania f : S n R n istnieje taki punkt x S n dla którego: f(x) = f( x) Skrótowo mówi się również, że każde ciągłe odwzorowanie f skleja punkty antypodyczne. W pozycji [] można znaleźć bardzo długi dowód tego twierdzenia jak również twierdzenia jemu równoważne, twierdzenia które implikuje i mnóstwo przykładów jego użycia. Przejdźmy w takim razie do, wcześniej wspomnianych, szczegółnych przypadków tytułowego twierdzenia. Jako, że zbiory zawarte w R 2 można utożsamiać z naleśnikami, a zbiory z R 3 z chlebem, masłem i szynką, twierdzenia te otrzymały nazwy: Twierdzenie o naleśnikach (n = 2). Niech A i A 2 będą zwartymi podzbiorami płaszczyzny R 2. Wówczas istnieje jedna prosta dzielące jednocześnie oba te zbiory na dwa podzbiory o tych samych miarach. Dowód tego twierdzenia stanowi świetny, a zarazem prosty przykład wykorzystania fundamentalnych twierdzeń topologii - Twierdzenia Darboux i twierdzenia Borsuka-Ulama o antypodach, w jednym i dwóch wymiarach. Twierdzenie o kanapce z szynką i serem (n = 3). Niech A, A 2, A 3 będą zwartymi podzbiorami przestrzeni R 3. Wówczas istnieje jedna płaszczyzna dzieląca jednocześnie wszystkie trzy zbiory na dwa podzbiory o tych samych miarach. Dowód przypadku n-wymiarowego zrealizujemy w kilku krokach. Najpierw skonstruujemy jednoznaczny podział dowolnej przestrzeni R n który będzie wyznaczony przez punkt u S n - czemu poświęcimy osobny paragraf. Następnie pokażemy, że specjalnie zdefiniowane miary - odpowiadające miarom dwóch części dzielonych zbiorów tworzą funkcję ciągłą co pozwoli nam skorzystać z twierdzenia Borsuka-Ulama.

2 2. Konstrukcja półprzestrzeni Kolejną konstrukcją pomocną w dowodzie będzie określenie pewnego szczególnego podziału przestrzeni R n na dwie półprzestrzenie. Chcielibyśmy pokazać, że istnieje pewne przyporządkowanie każdemu punktowi u ze sfery S n półprzestrzeni w R n. S n u R n u R n W czasie konstrukcji wskażemy kilka ciekawych własności tego przyporządkowania. Wybierzmy zatem punkt u = (u 0, u,..., u n ) S n. Zauważmy, że tworząc zbiór tych wszystkich x = (x 0, x,..., x n ) R n+ dla których zachodzi: u x = 0 () definiujemy jednoznacznie hiperpłaszczyznę n-wymiarową zanurzoną w R n. Hiperpłaszczyzna () jest ortogonalna do wektora zaczepionego w początku układu, kończącego się w punkcie u. W celu zrozumienia tego przyporządkowania proponuję przyjrzeć się Rysunkowi który przedstawia sferę S, dwa różne przypadki wyboru punktu u i hiperpłaszczyznę odpowiadającą tym punktom (prosta zaznaczona na niebiesko) Rysunek : Określenie hiperpłaszczyzny (R) u x = 0 dla przypadku R 2 Widzimy również, że ta hiperpłaszczyzna dzieli naszą przestrzeń R n+ na dwie części (na część zawierającą punkt u i niezawierającą punktu u), a mianowicie na przypadek u x < 0 i u x > 0. Zatem, mając dany punkt u S n możemy określić jednoznacznie podział przestrzeni R n+ na dwie połprzestrzenie. Interesuje nas jednak podział przestrzeni R n. Uprośćmy zatem rozważania jedynie do takich x R n+, że x 0 =. Reasumując, przypiszmy każdemu punktowi u = (u 0, u,..., u n ) S n półpłaszczyznę R n spełaniającą warunki: u x 0 u 0 x 0 + u x u n x n < 0 x 0 = 2

3 Połączenie dwóch powyższych warunków prowadzi wprost do definicji: Definicja. Półprzestrzenią dla u S n nazywamy zbiór: h+ (u) = {(x, x2,..., xn ) Rn xu + x2u xnun < u0} (2) Podczas gdy same przekształcenia algebraiczne wydają się oczywiste to graficzne wyobrażenie tej definicji, nawet w małych wymiarach, może okazać się dość kłopotliwe. Dlatego Spójrzmy na Rysunek 2 który przedstawia przykłady takich rozumowań dla S i S Rysunek 2: Przykłady półprzestrzeni dla S i S 2 Z lewej strony widzimy konstrukcję z rysunku pierwszego, i dodajemy prostą x =. Po tym ograniczeniu widzimy podział -wymiarowej przestrzeni (tej właśnie prostej) na dwie półprzestrzenie (pomarańczową na dole i niebieską u góry). Nasza konstrukcja nadaje punktowi zaznaczonemu na sferze pomarańczową półprzestrzeń. Z prawej strony widzimy wektor poprowadzony od środka sfery S 2 do punktu u S 2 (zielony). Następnie kolorem błękitnym oznaczamy płaszczyznę normalną. Analogicznie, ta płaszczyzna dzieli 3 na dwie części. Ograniczając się jedynie do przypadku x = otrzymujemy podział 2-wymiarowej przestrzeni na dwie półprzestrzenie (pomarańczową i niebieską). Nasza konstrukcja nadaje punktowi zaznaczonemu na sferze pomarańczową półprzestrzeń. R Najciekawszą, a zarazem najważniejszą cechą tego specjalnego podporządkowania jest jego zachowanie dla punktów antypodycznych. Spoglądając na Rysunek 2 widzimy, że punkt antypodyczny u do wybranego u zada tę samą płaszczyznę normalną, jednakże ze względu na to, że znajduje się po drugiej stronie, półprzestrzenią dla u będzie ta oznaczona kolorem niebieskim. Znajdując definicję (2) dla punktu u dostajemy: x ( u ) + x2 ( u2 ) xn ( un ) < u0 (x u + x2 u xn un ) < u0 x u + x2 u xn un > u0 3

4 co natychmiast dowodzi naszą obserwację. Zamykając nasze wyprowadzenia, warto jeszcze spojrzeć na przypadki skrajne. Wyobraźmy sobie przypadek -wymiarowy i punkt u = (, 0). Zauważmy, że płaszczyzną normalną dla tego wektora będzie x = 0. Będzie ona zatem równoległa do płaszczyzny x = do której się ograniczamy.. Stąd wynika, że punktowi u = (, 0) będzie przypisana półpłaszczyzna pusta. Punktowi u = (, 0) będzie natomiast (jako punktowi antypodycznemu) przypisana cała przestrzeń. To ostatnie można również bez problemu sprawdzić analitycznie i spostrzec geometrycznie. 3. Dowód Twierdzenie o n-kanapce. Niech K, K 2,..., K n R n będą zbiorami zwartymi. Wówczas istnieje hiperpłaszczyzna która dzieli każdy z tych zbiórw na dwa pozbiory o równych miarach. Dowód. Zdefiniujmy dla i n miary odpowiadające naszym zbiorom: µ i (A) = µ(a K i ) Miary µ i pozostają miarami Radona, czyli w szczególności są lokalnie skończone. Wiemy więc, że nie istnieje zbiór C dla którego µ i (C) =. Dodatkowo zauważmy, że µ i (R) = µ(k i ) <. Niech f : S n R n będzie funkcją zadaną po współrzędnych: f i (u) = µ i (h + (u)) Jako, że dla każdego i, µ i (R) jest skończona, to miara półprzestrzeni również jest skończona i możemy mówić o dobrze zdefiniowanym odwzorowaniu. Zauważmy, że z twierdzenia Borsuka-Ulama wynika, że istnieje takie u S n dla którego zachodzi: f(u) = f( u) µ i (h + (u)) = µ i (h + ( u)) Ale skoro punkty antypodyczne zadają dwie przeciwne półprzestrzenie, a miara µ i całej przestrzeni jest miarą zbioru K i, to musi istnieć punkt u S n który rozdziela każdy zbiór K i na dwie równe części. Twierdzenie Borsuka-Ulama zakłada jednak ciągłość funkcji f co należy zbadać. Weźmy zatem dowolne u S n oraz ciąg x (k) S n taki, że lim x (k) = u. Chcemy pokazać, że lim f(x (k) ) = f(u). Czyli dla dowolnego i n: lim µ i(h + (x (k) )) = µ i (h + (u)) (3) Jeżeli zdefiniujemy g k jako funkcję charakterystyczną zbioru h + (x (k) ), a g u zbioru h + (u) to otrzymamy równoważne pytanie: g k (y)dµ i = g u (y)dµ i (4) lim Miara Radona to miara wewnętrznie regularna tj. dla dowolnego borelowskiego B, µ(b) = sup(µ(k)) gdzie K B są zwarte, oraz lokalnie skończona tj. każdy punkt przestrzeni ma skończone otoczenie. 4

5 Najlepszym sposobem by wykazać tą równość jest: Twierdzenie Lebesgue a o zbieżności ograniczonej. Niech {f n } n= : X R będzie ciągiem funkcji mierzalnych takich. Jeżeli: istnieje funkcja całkowalna g : X R taka, że dla prawie każdego x X i dowolnego n N zachodzi f n (x) g(x) dla prawie każdego x X istnieje granica f ciągu {f n } n= : lim f n(x) = f(x) n to zachodzi równość: fdµ = lim n f n dµ. Wracając do naszych rozważań, wystarczy więc pokazać, że funkcje g k są ograniczone oraz że lim g k (y) = g u (y) µ-prawie wszędzie. Jako, że funkcja charakterystycza przyjmuje wartości jedynie 0 i to jest ograniczona przez h która jest całkowalna według miar µ i. Pozostaje nam tylko sprawdzenie drugiego faktu. Zrobimy to w dwóch częściach - dla y h + (u) i y / h + (u). Skoro y = (y,..., y n ) h + (u) to z definicji półpłaszczyzny mamy: y u + y 2 u y n u n < u 0 Niech δ := u 0 (y u +y 2 u y n u n ) > 0. Skoro wiemy, że x (k) = (x (k) 0, x (k),..., x (k) n ) u to z definicji Cauchy ego możemy znaleźć takie N i, że dla każdego k > N i dostaniemy, i x (k) i > u i δ (współczynnik przy δ może być dowolny). Jeżeli że x (k) i < u i + δ zdefiniujemy N := max N i to dostaniemy, że dla każdego k > N: n y i x (k) i < y ( u + δ ) ( + y 2 u 2 + δ ) ( y n u n + δ ) = 2ny 2ny 2 2ny n ( n ) y i u i + δ ( n ) 2 = y i u i + δ δ 2 = u 0 δ 2 < u 0 δ 2ny 0 < x k 0 Co dowodzi, że dla k > N dowolny y h + (u) zawiera się również w h + (x (k) ). Stąd dla k > N mamy g k (y) = czyli g k (y) g u (y) dla y h + (u). Rozpatrzmy przypadek y / h + (u). Skoro wiemy, że y u + y 2 u y n u n > u 0 to analogicznie zdefiniujmy δ = y u + y 2 u y n u n u 0 > 0. Istnieje wówczas takie k > N, że u i δ < x (k) i < u + δ. Czyli mamy: x (k) 0 < δ + u 0 < δ ( n ) 2ny u 0 < y i u i δ n ( 2 = y i u i δ ) n < y i x (k) i Co pokazuje, że również dla dowolnego y / h + (u), g k (y) g u (y). Zatem funkcje g k spełniają Twierdzenie Lebesgue a o zbieżności ograniczonej, co dowodzi (4) oraz (3). Można więc skorzystać z twierdzenia Borsuka-Ulama co kończy dowód. 5

6 Literatura [] Jiri Matousek: Using the Borsuk-Ulam Theorem, Lectures of Topological Methods in Combinatorics and Geometry, Springer [2] Brian Libgober: The Borsuk-Ulam and Ham Sandwitch Theorems, VIGRE [3] J. Górnicki, E.Pietrzak Niezwykłe konsekwencje twierdzenia Bolzano. 6