Twierdzenie Li-Yorke a Twierdzenie Szarkowskiego

Transkrypt

1 Politechnika Gdańska Wydział Fizyki Technicznej i Matematyki Stosowanej Twierdzenie Li-Yorke a Twierdzenie Szarkowskiego Autor: Kamil Jaworski 11 marca 2012

2 Spis treści 1 Wstęp Podstawowe pojęcia Twierdzenie Li-Yorke a Treść twierdzenia Twierdzenia pomocnicze Dowód twierdzenia Li-Yorke a Twierdzenie Szarkowskiego Treść twierdzenia Twierdzenia pomocnicze Dowód twierdzenia Szarkowskiego Uwaga o uogólnieniu na wyższe wymiary

3 1 Wstęp Tien-Yien Li i James Yorke podali swoje twierdzenie wraz z dowodem w 1975 roku w pracy [2] Period Three Implies Chaos, z której pochodzi przedstawiony w następnym rozdziale dowód. Parę lat później na konferencji w Berlinie Wschodnim okazało się, że dużo ogólniejsze wyniki podał w 1964 roku ukraiński matematyk Aleksander Szarkowski, jednak przez wiele lat Zachód nic nie wiedział o jego pracy, gdyż została opublikowana po rosyjsku w mało znanym czasopiśmie. Przedstawiony w rozdziale 3 dowód pochodzi z pracy [3] Bau-Sen Du A Simple Proof of Sharkovsky s Theorem Revisited. Oba twierdzenia mówią o dynamice określonej na prostej rzeczywistej. 1.1 Podstawowe pojęcia Poniżej przedstawiam w skrócie niezbędne pojęcia, którymi operują omawiane twierdzenia. Punkt p nazywamy punktem stałym odwzorowania F, jeżeli F (p) = p. Punkt p nazywamy punktem okresowym odwzorowania F o okresie n, jeżeli F n (p) = p i n jest najmniejszą liczbą o tej własności. Orbitę P nazywamy okresową o okresie m, jeżeli jest postaci: P = {x, F (x), F 2 (x),..., F m 1 (x)}. 2 Twierdzenie Li-Yorke a 2.1 Treść twierdzenia Twierdzenie Li-Yorke a (1975) Niech J będzie przedziałem i niech F : J J będzie funkcją ciągłą. Załóżmy, że istnieje punkt a J taki, że punkty b = F (a), c = F 2 (a) i d = F 3 (a) spełniają d a b > c). Wtedy dla każdego k = 1, 2,... istnieje w przedziale J punkt okresowy o okresie k. 2

4 2.2 Twierdzenia pomocnicze Dowód twierdzenia oparty jest na następujących lematach: Lemat 0 Niech G : I R będzie odwzorowaniem ciągłym określonym na przedziale I. Dla dowolnego przedziału zwartego I 1 G(I) istnieje przedział zwarty Q I taki, że G(Q) = I 1. Dowód Lematu 0 Niech I 1 G(I) będzie przedziałem zwartym. Wówczas I 1 = [G(p), G(q)] dla pewnych p, q I. Bez straty ogólności możemy założyć, że p < q. Przedział Q konstruujemy w następujący sposób. Niech r będzie największą liczbą z przedziału [p, q] taką, że G(r) = G(p) (taka liczba istnieje, bo równość jest spełniona dla r = p) i niech s będzie najmniejszą liczbą z przedziału [r, q] taką, że G(s) = G(q) (taka liczba również istnieje, mamy równość dla s = q). Liczby te dobieramy tak, żeby wykres funkcji G na przedziale [r, s] mieścił się między prostymi y = G(p) oraz y = G(q). Wtedy G([r, s]) = I 1. Przyjmujemy zatem Q = [r, s]. Lemat 1 Niech F : J J będzie funkcją ciągłą i niech {I n } będzie ciągiem przedziałów zwartych takich, że I n J oraz I n+1 F (I n ) dla każdego n. Wtedy istnieje ciąg przedziałów zwartych {Q n } taki, że Q n+1 Q n I 0 i F n (Q n ) = I n dla n 0. 3

5 Dowód Lematu 1 Dowód za pomocą indukcji matematycznej. Krok 1: Definiujemy Q 0 := I 0. Oczywiście Q 0 I 0 jest przedziałem zwartym, ponadto F 0 (Q 0 ) = id(i 0 ) = I 0. Krok 2: Założenie indukcyjne: Istnieje przedział zwarty Q n 1 Q n 2 I 0 taki, że F n 1 (Q n 1 ) = I n 1. Teza indukcyjna: Istnieje przedział zwarty Q n Q n 1 taki, że F n (Q n ) = I n. Dowód tezy indukcyjnej: Z założenia I n F (I n 1 ) z. i. = F (F n 1 (Q n 1 )) = F n (Q n 1 ). Możemy więc zastosować Lemat 0 dla G = F n : Istnieje przedział zwarty Q ozn. = Q n Q n 1 taki, że F n (Q n ) = I n. W ten sposób otrzymujemy tezę. Lemat 2 Niech G : J R będzie funkcją ciągłą i niech I J będzie przedziałem zwartym. Załóżmy, że I G(I). Wtedy istnieje punkt p I taki, że G(p) = p. Dowód Lematu 2 Niech I = [β 0, β 1 ]. Weźmy α i I, i = 0, 1 takie, że G(α i ) = β i (takie α i istnieją, bo I G(I)). Stąd I = [G(α 0 ), G(α 1 )]. α 0, α 1 [G(α 0 ), G(α 1 )], więc α 0 G(α 0 ) 0 oraz α 1 G(α 1 ) 0. Funkcja x G(x) jest ciągła, zatem z własności Darboux: p I p G(p) = 0 G(p) = p 4

6 2.3 Dowód twierdzenia Li-Yorke a Załóżmy, że d a b > c jest analogiczny). Przyjmijmy K = [a, b], L = [b, c]. Dla naturalnego k 1 określamy ciąg przedziałów {I n } następująco: 1. Jeżeli k = 1, to n I n = L. 2. Jeżeli k > 1, to: dla n = 0, 1,..., k 2: I k 1 = K I n = L pozostałe definiujemy okresowo: I n+k = I n dla n = 0, 1, 2,... W pierwszym przypadku korzystamy z Lematu 2: L F (L) (wynika to ze sposobu określenia b i c), więc p L F (p) = p. W przypadku k > 1 wykorzystamy Lemat 1. Ciąg {I n } ma postać: L, L, L,..., L, K, L, L,..., L, K, L, L,... Ze sposobu zdefiniowania b, c i d wynika, że L F (L), K F (L) oraz L F (K), więc założenia są spełnione. Zatem istnieje ciąg przedziałów zwartych {Q n } taki, jak w Lemacie 1. Mamy: F k (Q k ) = I k = I 0+k = I 0 i Q k I 0 Zatem Q k F k (Q k ). Wtedy z Lematu 2 dla G = F k : pk Q k F k (p k ) = p k. Punkt p k nie może mieć okresu mniejszego niż k. W przeciwnym przypadku mielibyśmy: 1 m<k F m (p k ) = p k. Z konstrukcji przedziałów I n oraz z dowodu Lematu 0 i z Lematu 1 (tzn. bierzemy zawsze przedziały możliwie najbardziej wysunięte na prawo) wynika, że: n p k Q k, a stąd F n (p k ) I n (*). W szczególności F k 1 (p k ) = F m m+k 1 (p k ) = F k m 1 (p k ) I k m 1 = L. Jednocześnie p k Q k Q k 1, więc F k 1 (p k ) F k 1 (Q k 1 ) = I k 1 = K. Zatem F k 1 (p k ) K L = {b}. Stąd F k+1 (p k ) = F 2 (F k 1 (p k )) = F 2 (b) = d / L, a z (*): F k+1 (p k ) I k+1 = L. Otrzymujemy sprzeczność, więc p k ma okres k. 5

7 3 Twierdzenie Szarkowskiego 3.1 Treść twierdzenia Twierdzenie Szarkowskiego (1964) Załóżmy, że f : I I jest odwzorowaniem ciągłym, gdzie I jest przedziałem. Jeśli f ma punkt okresowy o okresie m oraz m n, to f ma punkt okresowy o okresie n. Porządek Szarkowskiego Relacja porządkuje zbiór liczb naturalnych w następujący sposób: Uwaga. Zauważmy, że przyjmując w twierdzeniu Szarkowskiego m = 3 otrzymujemy twierdzenie Li-Yorke a. 3.2 Twierdzenia pomocnicze Dowód wykorzystuje następujące twierdzenia pomocnicze (wszędzie zakładamy, że f : I I jest odwzorowaniem ciągłym): Lemat 1 Niech a, b I będą punktami takimi, że albo f(b) < a < b f(a), albo f(b) a z oraz f 2 (x) < x dla y < x v. 6

8 Dowód Lematu 1 Załóżmy, że f(b) < a z dla min I x < v (tzn. wykres f nie ma przecięć z prostą y = z na tym przedziale), to definiujemy u := min I. W przeciwnym przypadku, gdy istnieje przecięcie, to u := max{x : min I x v, f(x) = z}. Zauważmy, że wówczas mamy f 2 (u) u (*). W pierwszym przypadku jest to oczywiste (bo u jest najmniejszą liczbą w przedziale I). Natomiast w drugim mamy u {x : min I x v, f(x) = z}, więc f(u) = z, a stąd f 2 (u) = f(z) = z > u. Mamy wówczas także f(x) > z dla u < x v, bo na tym przedziale wykres f leży powyżej prostej y = z. Zauważmy, że zachodzi też nierówność f 2 (v) < v (wynika z f(v) = b i f 2 (v) = f(b) a < v). Stąd, z (*) i z własności Darboux odwzorowanie f ma punkt o okresie 2 w przedziale [u, v) (wartość mniejsza niż z, bo v < z). Jeżeli y jest największym takim punktem, to u y < v < z < f(y). Stąd: max{f 2 (v), y} < v < z < min{f(y), f(v)}. Dla x (y, v] mamy f(x) > z (udowodnione wczesniej) oraz f 2 (x) < x (wynika z własności Darboux, bo f 2 (y) = y i f 2 (v) < v). Uwaga Niech P będzie orbitą okresową f o okresie m 3, tzn. P = {x, f(x), f 2 (x),..., f m 1 (x)}. Niech p, b P, p < b, będą punktami takimi, że f(p) b i f(b) p i niech a [p, b) będzie takie, że f(a) = b (istnieje taki punkt, bo P jest orbitą okresową). Mamy zatem f(b) < a < b = f(a), więc można stosować Lemat 1, gdy f ma punkt okresowy o okresie m 3. Fakt ten zastosujemy w dowodach kolejnych dwóch twierdzeń. 7

9 Twierdzenie 2 Jeżeli f ma punkt okresowy o okresie nieparzystym m 3, to ma punkty okresowe o okresie n dla każdego nieparzystego n m. Dowód Twierdzenia 2 Niech P będzie orbitą okresową odwzorowania f o okresie nieparzystym m 3. Wtedy z Lematu 1 (na mocy powyższej Uwagi): istnieje punkt stały z, punkt y o okresie 2 i punkt v, y < v < z < f(y), taki, że f(v) P i f(x) > z oraz f 2 (x) < x dla y < x v. Niech p m := v (konstruujemy pewien ciąg). Liczba m jest nieparzysta, punkt y ma okres 2, więc f m+2 (y) = f(y) > y. Z drugiej strony f 2 (p m ) = f 2 (v) ma okres m (bo f 2 (v) P ), więc f m+2 (p m ) = f 2 (p m ) y i f m+4 (p m+2 ) = f 2 (p m+2 ) < p m+2, więc istnieje punkt i ma okres m + 4. p m+4 := min{x : y x p m+2, f m+4 (x) = x} Powtarząc tę procedurę nieskończenie wiele razy, otrzymujemy następujący ciąg malejący y < < p m+2i+2 < p m+2i < < p m+2 < p m = v taki, że punkt p m+2i jest punktem okresowym o okresie m+2i dla i = 1, 2,... W ten sposób otrzymujemy tezę. Twierdzenie 3 Jeżeli f ma punkt okresowy o okresie nieparzystym m 3, to ma punkty okresowe o wszystkich okresach parzystych. 8

10 Dowód Twierdzenia 3 Rozważmy orbitę okresową P odwzorowania f o okresie nieparzystym m 3. Wtedy z Lematu 1 (na mocy Uwagi po dowodzie Lematu 1): istnieje punkt stały z, punkt y o okresie 2 i punkt v taki, że f(v) = b P, max{f 2 (v), y} < v < z z dla y < x v. Niech g := f 2 i z 0 := min{x : v x z, g(x) = x}. Wtedy y i z 0 są punktami stałymi g takimi, że y < v < z 0 z z dla y < x < z 0 (wynika ze sposobu zdefiniowania z 0 ). Jeżeli g(x) < z 0 (tzn. wykres funkcji g nie ma przecięć z prostą y = z 0 ) dla min I x < z 0, to g([min I, z 0 ]) [min I, z 0 ], czyli g zwęża przedział [min I, z 0 ]. Wówczas mamy g m+1 2 (v) g m+1 2 ([min I, z 0 ]) [min I, z 0 ], co zaprzecza g m+1 2 (v) = b > z 0. A zatem istnieje punkt d := max{x : min I x y, g(x) = z 0 } i zachodzi nierówność f(x) > z z 0 > g(x) dla x (d, y). Niech ĝ : [d, z 0 ] [d, z 0 ] będzie odwzorowaniem zdefiniowanym wzorem ĝ(x) := max{g(x), d} i niech Dla dowolnego n 1 niech t := min{x : d x z 0, g(x) = d}. c n := min{x : d x t, ĝ n (x) = x}. Od razu z definicji (c n ) wynika, że d < < c 3 < c 2 < c 1 y i każdy wyraz c n generuje orbitę o okresie n: Q n dla ĝ. Zauważmy, że ĝ(x) = g(x) dla x Q n, bo Q n (d, z 0 ). Wobec tego wyrazy ciągu (c n ) generują orbity o okresach n także dla g = f 2. Dla x Q n zachodzi nierówność x < z 0 z < f(x) (bo Q n (d, z 0 )), więc Q n f(q n ) stanowi orbitę okresową o okresie 2n odwzorowania f. Stąd otrzymujemy tezę, że funkcja f ma punkty okresowe o wszystkich okresach parzystych. 9

11 3.3 Dowód twierdzenia Szarkowskiego Dowód polega na pokazywaniu za pomocą powyższych trzech twierdzeń, że jeżeli funkcja f ma punkty okresowe danego rodzaju, to ma też punkty o okresach wyrażonych przez kolejne liczby z porządku Szarkowskiego. 1. Jeżeli f ma punkt o okresie nieparzystym j 3, to z Twierdzenia 2 wynika, że ma też punkty o okresach postaci j + 2, a z Twierdzenia 3 - że ma punkty o okresach postaci 2j. 2. Jeżeli f ma punkt o okresie postaci 2j (j 3 nieparzyste), to f 2 ma punkt okresie j. Z Twierdzenia 2: f 2 ma punkty o okresach postaci j + 2, a więc f ma punkty o okresach 2(j + 2). 3. Jeżeli f 2 ma punkt o okresie j, to z Twierdzenia 3: f 2 ma punkty o okresach 2j, stąd f ma punkty o okresach 2 2 j. 4. Jeżeli f ma punkt o okresie 2 k j, to f 2k 1 ma punkt o okresie 2j. Analogicznie jak w 2.: f 2k 1 ma punkty o okresach 2(j + 2) i 2 2 j. Stąd f ma punkty o okresach postaci 2 k (j + 2) i 2 k+1 j. 5. Jeżeli f ma punkt o okresie 2 i j, i 0, to f 2i ma punkt o okresie j. Wtedy dla l i funkcja f 2l = (f 2i ) 2l i też ma punkt o okresie j. Z Lematu 1: f 2l ma punkt o okresie 2. Stąd f ma punkt o okresie 2 l+1 dla l i. 6. Jeżeli f ma punkt o okresie 2 k dla pewnego k 2, to f 2k 2 ma punkt o okresie 4. Z Lematu 1: f 2k 2 ma punkt o okresie 2, a więc f ma punkt o okresie 2 k 1. Tą metodą uzyskujemy również punkty o okresach 2 1 = 2 oraz 2 0 = 1. W ten sposób otrzymujemy tezę twierdzenia. 3.4 Uwaga o uogólnieniu na wyższe wymiary W wyższych wymiarach twierdzenie Szarkowskiego nie zachodzi. Weźmy np. f : R 2 R 2, f jest obrotem o 120 o. Wówczas wszystkie punkty płaszczyzny R 2 (poza punktem stałym (0, 0)) mają okres 3, co jest sprzeczne z tezą twierdzenia. 10

12 Literatura [1] T. Sękowski, Zagadnienia matematycznej teorii chaosu, Wydawnictwo UMCS [2] T.-Y. Li, J. A. Yorke, Period Three Implies Chaos, The American Mathematical Monthly, Vol. 82, No. 10, Mathematical Association of America (1975), [3] B.-S. Du, A Simple Proof of Sharkovsky s Theorem Revisited, eprint arxiv:math/ , ArXiv Mathematics e-prints (2006) 11