Zmiana baz. Jacek Jędrzejewski Macierz przejścia od bazy do bazy 2

Wielkość: px

Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Zmiana baz. Jacek Jędrzejewski 2014. 1 Macierz przejścia od bazy do bazy 2"

Agnieszka Brzezińska
7 lat temu
Przeglądów:

1 Zmiana baz Jacek Jędrzejewski 2014 Spis treści 1 Macierz przejścia od bazy do bazy 2 2 Wektory a zmiana baz 2 21 Współrzędne wektora względem różnych baz 2 22 Wektory o tych samych współrzędnych względem różnych baz 3 3 Przekształcenia liniowe a zmiana baz 3 31 Macierze tego samego przekształcenia 3 32 Przekształcenia odpowiadające tej samej macierzy 5 1

2 1 Macierz przejścia od bazy do bazy Niech V będzie skończenie wymiarową przestrzenią liniową nad ciałem K Przez B i B oznaczmy dwie bazy (uporządkowane tej przestrzeni Niech B = (b 1,, b n i B = (b 1,, b n Zgodnie z twierdzeniem o określaniu przekształcenia liniowego wiemy, że istnieje (i to jedyne przekształcenie liniowe A takie, że A(b i = b i dla każdej liczby naturalnej i spośród {1,, n} Niech A, gdzie A = [α ij ], będzie macierzą przekształcenia A względem bazy B Macierz tę nazywamy macierzą przejścia od bazy B do bazy B 2 Wektory a zmiana baz 21 Współrzędne wektora względem różnych baz Ustalmy dwie bazy przestrzeni V Niech to będą B i B, gdzie B = (b 1,, b n i B = (b 1,, b n Załóżmy najpierw, że wektor x ma dwa rozwinięcia względem obu baz tej przestrzeni: x = ξ i b i i x = ξ i b i Interesuje nas teraz związek między współrzędnymi tego wektora względem baz B i B Jeśli A : V V jest automorfizmem przestrzeni V takim, że A(b i = b i i A, gdzie A = [α ij ], jest macierzą przejścia od bazy B do bazy B, to x = α ij ξ j b i = ξ α ij b i j=1 j=1 2

3 Oznacza to równości ξ i = α ij ξ j j=1 Zatem, jeśli [x] B oznacza ciąg współrzędnych wektora x względem bazy B, natomiast [x] B ciąg współrzędnych wektora x względem bazy B, to [x] T B = A [x] T B lub [x] B = [x] B A T 22 Wektory o tych samych współrzędnych względem różnych baz Teraz odwrócimy to zagadnienie Załóżmy teraz, że ustalony ciąg współrzędnych [ξ 1,, ξ n ] tworzy dwa wektory x i x jako rozwinięcia tych wektorów względem obu baz tej przestrzeni: x = ξ i b i i x = ξ i b i Jeśli A : V V jest automorfizmem przestrzeni V takim, że A(b i = b i, to ( n x = ξ i b i = ξ A(b i = A ξ A(b i = A(x Udowodniliśmy, że w takim przypadku x = A(x 3 Przekształcenia liniowe a zmiana baz 31 Macierze tego samego przekształcenia Niech V i W będą dwiema skończenie wymiarowymi przestrzeniami liniowymi nad ciałem K 3

4 Przez A i A oznaczmy bazy przestrzeni V, a przez B i B dwie bazy przestrzeni W Niech A : V V będzie izomorfizmem przestrzeni liniowej V na siebie, przekształcającym bazę A na bazę A Niech A będzie macierzą tego przekształcenia względem bazy A przy czym A = [α ij ] i,j n Niech B : W W będzie izomorfizmem przestrzeni liniowej W na siebie, przekształcającym bazę B na bazę B Niech B będzie macierzą tego przekształcenia względem bazy B, przy czym B = [β ij ] i,j n Niech F : V W będzie przekształceniem liniowym Jeśli F, gdzie F = [ φ ij ] jest macierzą przekształcenia F względem baz A i B oraz F, gdzie F = [ φ ij ] A,B A,B jest macierzą przekształcenia F względem baz A i B, to D o w ó d Obliczmy F (a j: Obliczmy inaczej F (a j: F = B 1 F A F (a j = φ ijb i = φ ijb (b i = ( m = φ ij β ki b k = β ki φ ij b k k=1 k=1 F (a j = F ( A(a j ( n = F α ij a i = α ij F (a i = 4

5 n ( n = α ij φ ki b k = φ ki α ij b k k=1 k=1 Obliczone wartości są rozwinięciami wektora F (a j, są więc równe Zatem β ki φ ij = φ ki α ij, a to oznacza, że odpowiednie macierze są równe, czyli skąd wynika teza twierdzenia B F = F A, 32 Przekształcenia odpowiadające tej samej macierzy Niech V i W będą dwiema skończenie wymiarowymi przestrzeniami liniowymi nad ciałem K Załóżmy, że dim V = n i dim W = m Przez A i A oznaczmy bazy przestrzeni V, a przez B i B dwie bazy przestrzeni W Niech A : V V będzie izomorfizmem przestrzeni liniowej V na siebie, przekształcającym bazę A na bazę A Niech A będzie macierzą tego przekształcenia względem bazy A przy czym A = [α ij ] i,j n Niech B : W W będzie izomorfizmem przestrzeni liniowej W na siebie, przekształcającym bazę B na bazę B Niech B będzie macierzą tego przekształcenia względem bazy B, przy czym B = [β ij ] i,j n Niech F, gdzie F = [φ ij ] i m,j n, 5

6 będzie ustaloną macierzą o podanych wymiarach Niech F : V W będzie przekształceniem liniowym, którego macierzą względem baz A i B jest macierz F, natomiast funkcja F : V W będzie przekształceniem liniowym, którego macierzą względem baz A i B jest też macierz F Wtedy F = B F A 1 D o w ó d Z założeń wynika, że F (a j = φ ij b i i F (a j = φ ij b i Zatem F A(a j = F ( A(a j = F (a j oraz B F (a j = B ( F (a j = B φ ij b i = φ ij B(b i = φ ij b i = F (a j ij Wynika stąd, że F A(a j = B F (a j Ponieważ dla wektorów bazy przekształcenia liniowe B F i F A są równe, więc są one równe w całej przestrzeni V Wnioskujemy stąd, że F = B F A 1 6

Podobne dokumenty

Wykład 4 Udowodnimy teraz, że jeśli U, W są podprzetrzeniami skończenie wymiarowej przestrzeni V to zachodzi wzór: dim(u + W ) = dim U + dim W dim(u

Wykład 4 Udowodnimy teraz, że jeśli U, W są podprzetrzeniami skończenie wymiarowej przestrzeni V to zachodzi wzór: dim(u + W ) = dim U + dim W dim(u W ) Rzeczywiście U W jest podprzetrzenią przestrzeni