Egzamin poprawkowy Elementarna teoria liczb. Zestawienie pkt

Transkrypt

1 Egzamin poprawkowy Elementarna teoria liczb imi... nazwisko... numer indeksu... rok... Zestawienie pkt Od 50 pkt do 69 pkt dst Od 70 pkt do 79 pkt dst+ Od 80 pkt do 94 pkt db Od 95 pkt do 100 pkt db+ Powy»ej 100 pkt bdb

2 1. Sformuªowa zasad minimum. 2. Sformuªowa zasad maksimum. 3. Sformuªowa twierdzenie o dzieleniu z reszt w liczbach caªkowitych. 4. Poda denicj liczby pierwszej. 5. Poda denicj najwi kszego wspólnego dzielnika dwóch liczb caªkowitych. 6. Poda denicj najmniejszej wspólnej wielokrotno±ci dwóch liczb caªkowitych. 7. Sformuªowa podstawowe twierdzenie arytmetyki. 8. Udowodni podstawowe twierdzenie arytmetyki. 9. Sformuªowa chi«skie twierdzenie o resztach.

3 10. Sformuªowa twierdzenie Eulera. 11. Sformuªowa kryterium Eulera. 12. Sformuªowa twierdzenie Wilsona. 13. Poda denicj symbolu Legendre'a. 14. Ile rozwi za«ma kongruencja x 18 1 (mod 19)? Uzasadni odpowied¹. 15. Sformuªowa prawo wzajemno±ci reszt kwadratowych. 16. Ile rozwi za«ma kongruencja x (mod 121)? Uzasadni odpowied¹. 17. Obliczy reszt z dzielenia 9 66 przez Obliczy reszt z dzielenia 5 42 przez 49.

4 19. Sformuªowa twierdzenie Fermata (maªe). 20. Niech p P. Ile rozwi za«ma kongruencja x p 1 1 (mod p)? Uzasadni odpowied¹. 21. Niech p b dzie liczb pierwsz nieparzyst. Ile rozwi za«ma kongruencja x p (mod p)? Uzasadni odpowied¹. 22. Niech m N. Ile rozwi za«ma kongruencja x ϕ(m) 1 (mod m)? Uzasadni odpowied¹. 23. Obliczy d 99 µ(d) = Zapisa w postaci kanonicznej liczb Doko«czy zdanie: Niech a, b, c Z, a 0 lub b 0. Równanie ax + by = c ma rozwi zanie w liczbach caªkowitych x i y wtedy i tylko wtedy, gdy Doko«czy zdanie: Dla dowolnych liczb naturalnych n, m zachodzi równo± [n, m](n, m) = Niech a = , b = , c = Znale¹ najwi kszy wspólny dzielnik i najmniejsz wspóln wielokrotno± liczb a, b, c.

5 28. Obliczy ϕ( ) =... ϕ( ) = Poda liczb dzielników naturalnych liczby Doko«czy zdanie: Niech a, b Z, m N. Kongruencja ax b (mod m) jest rozwi zalna wtedy i tylko wtedy, gdy Obliczy µ( ) =... µ( ) = Sformuªowa twierdzenie odwrotne do twierdzenia Wilsona. 33. Doko«czy zdanie: Niech a, b Z, a 0 lub b 0. Wówczas dla dowolnej liczby naturalnej m (ma, mb) = Dla jakich liczb pierwszych p kongruencja x 2 1 (mod p) nie ma rozwi zania? (3 pkt) 35. Zapisa w postaci kanonicznej liczb 21 ( 7) ( 6) 5 ( 33) 36. Poda denicj funkcji Möbiusa.

6 37. Doko«czy zdanie: Dla dowolnej liczby naturalnej n zachodzi równo± ϕ(d) =... d n 38. Obliczy ( 2 =... 67) 39. Ile rozwi za«ma kongruencja x 2 2 (mod 97)? (3 pkt) 40. Ile rozwi za«ma kongruencja x 2 1 (mod 79)? (3 pkt) 41. Obliczy ( 1 ) = Obliczy ϕ(d) =... d Czy prawdziwa jest równo± ( 67 ) = 997 ( 997 )? Uzasadni odpowied¹ Niech n N. Udowodni,»e je»eli 5 (n 1), 5 n, 5 (n + 1), to 5 (n 2 + 1). (3 pkt) 45. Dla jakich liczb pierwszych nieparzystych liczba 3 jest reszt kwadratow modulo p?

7 46. Pokaza,»e n+1 21 n+2 3 n n+1. (3 pkt) 47. Przedstawi liczb w postaci uªamka ªa«cuchowego arytmetycznego. 48. Przedstawi liczb 7 w postaci uªamka ªa«cuchowego arytmetycznego. (3 pkt)

8 49. Rozwi za ukªad kongruencji x 5 (mod 6) x 3 (mod 5) x 6 (mod 7) 50. Rozwi za ukªad kongruencji x 7 (mod 12) x 11 (mod 14) x 17 (mod 30) (9 pkt)

9 51. Rozwi za kongruencj 6x 5 (mod 11). (3 pkt) 52. Udowodni,»e 10 (n 1)! + 1 dla dowolnej liczby naturalnej n. (3 pkt) 53. Znale¹ wszystkie rozwi zania kongruencji 33x 21 (mod 75)

10 54. Ile rozwi za«ma kongruencja x (mod 151)? 55. Ile rozwi za«ma kongruencja x (mod 997)?

11 56. Rozwi za w liczbach naturalnych ukªad równa«{ xy = 240 [x, y] = Niech p b dzie liczb pierwsz. Pokaza,»e je»eli 5p 2 2 jest liczb pierwsz, to liczby 5p 2 4 i 5p s równie» liczbami pierwszymi.