ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2015/16

Transkrypt

1 ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2015/16

2 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych 17 5 Maªe Twierdzenie Fermata 20 6 Twierdzenie Eulera 23 7 Twierdzenie Lagrange'a 27 8 Chi«skie Twierdzenie o Resztach 30 9 RSA i gra w orªa i reszk przez telefon Kongruencje wy»szych stopni Liczby pseudopierwsze Pierwiastki pierwotne Istnienie pierwiastków pierwotnych Logarytm dyskretny Pewne zastosowania pierwiastków pierwotnych 63 2

3 Wykªad 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci Podstawow ide arytmetyki modularnej jest zredukowanie skomplikowanych oblicze«. Jednym ze sposobów jest zast pienie dziaªa«na liczbach przez dzia- ªania na resztach z dzielenia tych liczb przez inn liczb. Na przykªad, aby stwierdzi jaka jest ostatnia cyfra sumy nie trzeba wykonywa caªego dodawania, tylko doda ostatnie cyfry tych liczb, tj. reszty z dzielenia przez 10. Otrzymujemy 8+5 = 13, czyli ostatni cyfr naszej sumy jest 3. Sprawd¹my teraz, czy liczba jest kwadratem innej liczby. Je±li tak, to jej ostatni cyfr jest jedna z ostatnich cyfr liczb 0 0 = 0, 1 1 = 1, 2 2 = 4, 3 3 = 9, 4 4 = 16, 5 5 = 25, 6 6 = 36, 7 7 = 49, 8 8 = 64, 9 9 = 81, czyli 0, 1, 4, 5, 6 lub 9 (dodatkowo zauwa»my,»e je±li liczba n jest kwadratem i jej ostatni cyfr jest zero, to liczba zer na ko«cu jest parzysta). Poniewa» cyfry 3 nie ma na powy»szej li±cie, wi c nie jest kwadratem liczby caªkowitej. Wprowad¹my teraz oznaczenie m mod n dla reszty z dzielenia liczby caªkowitej m przez liczb caªkowit n ró»n od zera. Z dziaªania tego korzystamy cz sto w»yciu codziennym: Je±li teraz jest godzina 10.45, to za póª godziny b dzie godzina 11 minut ( ) mod 60, czyli 15. Symbol,, mod oznacza dziaªanie arytmetyczne. Kiedy w nast pniku tego dziaªania ustalimy liczb m, a za poprzednik b dziemy brali kolejne liczby caªkowite, to zauwa»ymy,»e wynik dziaªania powtarza si co m liczb. Liczby, które daj ten sam wynik, gdy podziaªa si na nie t sam liczb m, nazywamy przystaj cymi modulo m. Przypu± my,»e a, b, m 0 s liczbami 3

4 caªkowitymi. Mówimy,»e a przystaje do b modulo m, co zapisujemy a b (mod m), (1.1) je±li m a b. Zapis (1.1) nazywamy kongruencj. moduªem kongruencji. Liczb m nazywamy 1.1 Przykªad. Poniewa» , wi c (mod 9). Mamy te» (mod 3). Ka»de dwie liczby ze zbioru {..., 4, 5, 14, 23, 32,... } przystaj do siebie modulo 9. Ka»de dwie liczby caªkowite a oraz b przystaj do siebie modulo 1 oraz modulo 1. Mamy wi c a b (mod 1) oraz a b (mod 1). Dlatego nie warto rozwa»a kongruencji o module 1. Poniewa» a b (mod m) implikuje a b (mod m), wi c rozwa»amy tylko dodatnie moduªy. Od tej pory zakªadamy,»e moduª kongruencji jest liczb caªkowit dodatni wi ksz od 2. Przypomnimy teraz znany fakt o dzieleniu z reszt. 1.2 Twierdzenie. Je±li a, m Z oraz m 0, to istniej jednoznacznie zdeniowane liczby q Z oraz r {0, 1,..., m 1}, takie»e a = q m + r. Dowód. Je±li m = 1, to a = a m + 0 i liczby a oraz 0 s wyznaczone jednoznacznie. Podobnie mamy w sytuacji, gdy m = 1: a = ( a)m + 0. Zaªó»my wi c,»e m > 1 i rozwa»my zbiór R = {a xm : x Z}. W zbiorze R istnieje przynajmniej jedna liczba dodatnia. Aby to zauwa»y, wystarczy rozwa»y kilka przypadków, np. gdy a < 0 oraz m > 0, to za x mo»na wzi liczb a. Wtedy a xm a. Niech y b dzie najmniejsz liczb nieujemn nale» c do R. Wówczas a xm = y, czyli a = xm + y. Poka»emy,»e y < m. Istotnie, gdyby y byªo wi ksze od m 1, to y m 0 oraz y m = a (x + 1)m, czyli y m R i y m < y, sk d sprzeczno±. Zatem pokazali±my istnienie liczb q oraz r. Zaªó»my,»e istniej dwa ró»ne zapisy a = q 1 m + r 1 oraz a = q 2 m + r 2, przy czym r 1, r 2 R. Wówczas (q 1 q 2 )m = r 2 r 1. Ale r 2 r 1 < m oraz m r 2 r 1, wi c r 2 r 1 = 0. Dalej, (q 1 q 2 )m = 0, wi c skoro m 0, tak»e q 1 q 2 = 0. 4

5 Z powy»szego twierdzenia wynika,»e kongruencja (1.1) oznacza,»e a oraz b daj takie same reszty przy dzieleniu przez m, czyli a mod m = b mod m. Je»eli m a b, to fakt ten zapisujemy a b (mod m) i mówimy,»e a nie przystaje do b modulo m. Ustalmy teraz liczb m i zdeniujmy na zbiorze Z relacj ρ nast puj co: aρb a b (mod m) (1.2) 1.3 Twierdzenie. Relacja zdeniowana w (1.2) jest relacj równowa»no±ci. Klasy abstrakcji tej relacji tworz zbiór reszt modulo m. Dowód. Wystarczy pokaza,»e relacja (1.2) jest zwrotna, symetryczna i przechodnia, czyli»e 1. a a (mod m); 2. je±li a b (mod m), to b a (mod m); 3. Je±li a b (mod m) oraz b c (mod m), to a c (mod m). Aby pokaza 1, zauwa»my,»e a a = 0, zatem m a a. Symetryczno±, czyli 2, wynika z faktu,»e b a = (a b), wi c je±li m a b, to m b a. Aby pokaza 3, zapiszmy m a b oraz m b c. St d m (a b) + (b c), czyli m a c. Zbiór ilorazowy relacji (1.2) oznaczamy Z/mZ lub Z m. Zatem Z 5 skªada si z nast puj cych zbiorów: [0] = {..., 10, 5, 0, 5, 10, 15,... }, [1] = {..., 9, 4, 1, 6, 11, 16,... }, [2] = {..., 8, 3, 2, 7, 12, 17,... }, [3] = {..., 7, 2, 3, 8, 13, 18,... }, [4] = {..., 6, 1, 4, 9, 14, 19,... }. Zazwyczaj uto»samiamy elementy 0, 1, 2, 3, 4 z klasami abstrakcji, które s przez nie reprezentowane. Piszemy wi c Z 5 = {0, 1, 2, 3, 4}. Okazuje si,»e kongruencjami mo»na manipulowa bez wyra»ania liczb za pomoc reszt i ilorazów cz ±ciowych. Przy ustalonym module m, kongruencje mo»na dodawa, odejmowa i mno»y stronami. 5

6 1.4 Twierdzenie. Dla dowolnych liczb caªkowitych a, b, c, d oraz m 0 je±li a b (mod m) oraz c d (mod m), to równie» (a) a + c b + d (mod m), (b) a c b d (mod m), (c) ac bd (mod m). Dowód. Poniewa» m a b oraz m c d, wi c m a b + c d, co dowodzi (a), oraz m a b (c d), co dowodzi (b). Aby pokaza (c), zapiszmy ms = a b oraz mr = c d i rozwa»my ac bd. Mamy ac bd = ac ad + ad bd = a(c d) + d(a b) = mra + msd = m(ra + sd). St d m ac bd, czyli teza (c) jest prawdziwa. Poniewa» c c (mod m), wi c punkt (c) powy»szego twierdzenia implikuje nast puj cy wniosek. 1.5 Wniosek. Dla dowolnych liczb caªkowitych a, b, c oraz m 0, je»eli a b (mod m), to ac bc (mod m). Pot gowanie o wykªadniku naturalnym jest wielokrotnym mno»eniem. Dlatego mamy kolejny wniosek. 1.6 Wniosek. Dla dowolnych liczb caªkowitych a, b, m 0 oraz liczby naturalnej k, je»eli a b (mod m), to a k b k (mod m). Twierdzenie 1.4 oraz wnioski po nim implikuj nast puj ce twierdzenie, które b dziemy pó¹niej cz sto u»ywa. 1.7 Twierdzenie. Przypu± my,»e dany jest wielomian f(x) o wspóªczynnikach w zbiorze liczb caªkowitych. Je±li a b (mod m) jest prawdziwa, to zachodzi te» kongruencja f(a) f(b) (mod m). 6

7 Przykªady 1.8. Jaka jest ostatnia cyfra liczby 3 23? Poniewa» 3 3 (mod 10), (mod 10), (mod 10), (mod 10), (mod 10), wi c cyfry w kolejnych pot gach liczby 3 powtarzaj si cyklicznie co cztery. Zatem 3 23 ma ostatni cyfr tak sam jak 3 3, czyli Znajdziemy 2 32 mod 17. Zauwa»my,»e (mod 17). Zatem 2 8 = ( 1) ( 1) = 1 (mod 17). Podobnie dostajemy (mod 17) oraz (mod 17). Zatem 2 32 mod 17 = 1. Kongruencji nie mo»na dzieli stronami. Istotnie, zauwa»my»e zachodz kongruencje (mod 6) oraz 8 2 (mod 6), ale 6 15 (mod 6). 7

8 Wykªad 2 Systemy pozycyjne Warsztatem pracy dla arytmetyka jest zbiór liczb caªkowitych. Liczby caªkowite mo»emy przedstawia w rozmaity sposób, ale najlepszym zdecydowanie sposobem jest zapis pozycyjny. Przypomnijmy,»e stosowany powszechnie system zapisu liczb nazywamy systemem pozycyjnym, poniewa» znaczenie cyfry zale»y od pozycji, na której si owa cyfra znajduje. Poza tym nasz system liczenia nazywamy dziesi tnym, poniewa» mamy dokªadnie 10 cyfr. Liczba cyfr w systemie pozycyjnym zale»y od podstawy. Dokªadnie, dowoln liczb caªkowit nieujemn n zapisujemy przy podstawie b 2 w postaci (d k 1 d k 2... d 1 d 0 ) b, (2.1) gdzie d k 1, d k 2,..., d 1, d 0 s liczbami caªkowitymi (dziesi tnymi) nieujemnymi oraz niewi kszymi od b 1. Liczby te nazywamy cyframi. Zapis (2.1) oznacza,»e n = d k 1 b k d 1 b + d 0. (2.2) Je»eli n jest liczb ujemn to wyra»enie po prawej stronie równo±ci (2.2) zacz liby±my od znaku. Je»eli d k 1 nie jest zerem, to mówimy,»e n jest liczb k-cyfrow w systemie pozycyjnym o podstawie b. Je»eli b = 10 to nawiasy w (2.1) opuszczamy, gdy» wtedy mamy do czynienia ze zwykªym dziesi tnym systemem pozycyjnym. Podobnie opu±cimy nawiasy gdy wybór podstawy jasno wynika z kontekstu. Zapis (2.2) nazywamy rozwini ciem liczby n przy podstawie b. Je»eli b > 10, to pisownia niektórych cyfr jest uci»liwa (wymaga dodatkowych nawiasów) lub niejasna ((101) b mo»na rozumie na dwa sposoby). Dlatego dla oznaczenia cyfr 10, 11, 12,... u»ywamy liter: A, B, C,... 8

9 Oczywi±cie, mo»na u»ywa liter lub innych znaków dla oznaczenia wszystkich cyfr. Na przykªad, podstawa 26 (liczba liter w alfabecie ªaci«skim) jest u»ywana w kryptograi i cyframi s po prostu litery alfabetu. Przypiszmy ka»dej literze alfabetu liczb, która jest jej pozycj w alfabecie. Otrzymujemy: A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z Wówczas przeksztaªcenie f(n) = n + k mod BA l jest szyfrowaniem tekstu. Tutaj n oraz k s liczbami caªkowitymi zapisanymi w systemie o podstawie 26, a l > 0. Kiedy l = 1, to nasz szyfr nazywamy cyklicznym lub Cezara. Dla przykªadu, zaszyfrujmy sªowo ARYTMETYKA za pomoc klucza J. Mamy A + J = J, E + J = N, K + J = T, M + J = V, R + J = BA, BA mod BA = A, T + J = BC, BC mod BA = C, Y + J = BH, BH mod BA = H. Zatem szyfrem sªowa ARYTMETYKA jest JAHCVNCHTJ. Wykorzystuj c twierdzenie o podzielno±ci, poka»emy»e istnieje dokªadnie jedno rozwini cie liczby caªkowitej nieujemnej w systemie pozycyjnym o podstawie b 2. Istotnie, je±li dana jest liczba n 0, to istnieje dokªadnie jedna reszta d 0 z dzielenia n przez b, wi c n = bq 0 + d 0, gdzie 0 d 0 b 1. Dalej mamy istnienie dokªadnie jednej liczby 0 d 1 b 1, takiej»e q 0 = bq 1 +d 1, lub»e n = b 2 q 1 + bd 1 + d 0. Post puj c tak dalej otrzymamy jednoznacznie okre±lone liczby d 0, d 1,..., d k 1, dla których zachodzi równo± (2.2). Podobnie, a w zasadzie identycznie pokazujemy,»e rozwini cie liczby caªkowitej ujemnej w systemie o podstawie b te» jest jednoznaczne. Podane powy»ej rozumowanie jest te» algorytmem na zmian podstawy systemu na b. Aby przej± do podstawy 10, wystarczy jedynie obliczy warto± wyra»enia po prawej stronie (2.2). Zatem sprawa si tu znacznie upraszcza. Zademonstrujemy na przykªadzie, jak przej± z zapisu w systemie o podstawie 10 do zapisu w systemie o podstawie Przykªad. Zapiszemy liczb 346 w systemie trójkowym, czyli przy podstawie 3. Dzielimy 346 na 3 otrzymuj c 115, reszta 1. Zatem 346 = Teraz dzielimy 115 na 3 otrzymuj c 38, reszta 1. St d 346 = Kontynuuj c ten proces otrzymamy 346 = , 9

10 czyli 346 = (110211) 3. Je»eli przechodzimy od podstawy b 1 10 do podstawy b 2 10, to mo»na tu przechodzi po±rednio przez podstaw 10. Czasem jednak bardziej efektywne jest zapisanie b 1 i cyfr w systemie o podstawie b 2 oraz odpowiednie pogrupowanie. Je»eli dodatkowo b 1 jest pot g b 2, to sposób ten jest bardzo szybki. Przykªady 2.2. Zapiszemy (548) 16 w systemie dwójkowym. Poniewa» 16 = 2 4, 5 = , 4 = oraz 8 = 1 2 3, mamy (548) 16 = = = ( ) Zapiszemy n = (212021) 3 w systemie o podstawie 9. Grupujemy cyfry po 2 (bo 9 = 3 2 ) zaczynaj c od prawej strony: 21, 20, 21. (Je±li,,nie starcza cyfr na ostatni grup, dodajemy z przodu odpowiedni liczb zer. Poniewa» (21) 3 = = 7, a (20) 3 = 2 3 = 6, wi c n = (767) 9. Zajmiemy si teraz uogólnieniem pewnych cech podzielno±ci jakie maj liczby w systemie o podstawie 10. Zauwa»my,»e liczba n (w systemie dziesi tnym) dzieli si przez 2, je»eli jej ostatnia cyfra dzieli si przez 2, dzieli si przez 4, je»eli liczba zªo»ona z dwóch ostatnich cyfr n dzieli si przez 4, ogólnie, liczba n dzieli si przez 2 s, je»eli liczba zªo»ona z s ostatnich cyfr liczby n dzieli si przez n. Podobne reguªy obowi zuj przy dzieleniu przez pot gi liczby 5, a zachodz one dlatego,»e zarówno 2 jak i 5 s dzielnikami podstawy systemu, czyli 10. Udowodnimy twierdzenie, które uogólnia powy»sze fakty. 2.4 Twierdzenie. Przypu± my,»e d b. Wówczas liczba n zapisana w systemie pozycyjnym o podstawie b dzieli si przez d s (s 1) wtedy i tylko wtedy, gdy liczba zªo»ona z s ostatnich cyfr liczby n dzieli si przez d s. Dowód. Przypu± my,»e n jest zapisana w systemie o podstawie b oraz d s n. Zapiszmy (2.2) w troch inny sposób, mianowicie n = n s b s + d s 1 b s d 1 b + d }{{} 0, n 0 10

11 gdzie n 0 jest liczb zªo»on z s ostatnich cyfr n a n s liczb zªo»on z pozostaªych cyfr n (je±li n ma mniej ni» s cyfr, to n s = 0). Poniewa» b s n n s b s, wi c n n s b s (mod d s ), sk d d s n 0.. Korzystaj c z oznacze«wprowadzonych w pierwszej cz ±ci dowodu za- ªó»my»e d s n 0. Poniewa» d s b s, wi c d s n. Rozwa»ymy jeszcze cech podzielno±ci przez odpowiedniki liczb 3 i 9 w systemie o podstawie b. 2.5 Twierdzenie. Zaªó»my,»e d b 1. Liczba d dzieli liczb n zapisan w systemie o podstawie b wtedy i tylko wtedy, gdy d dzieli sum cyfr liczby n. Dowód. Skorzystamy z kongruencji b 1 (mod d) danej w zaªo»eniu oraz z wielomianu f(x) = d k 1 x k 1 + d k 2 x k d 1 x + d 0, gdzie d 0, d 1,..., d k 1 s cyframi liczby n w systemie o podstawie b. Wówczas n = f(b), a f(1) jest sum cyfr liczby n. Z twierdzenia 1.7 mamy f(b) f(1) (mod d), zatem d f(b) wtedy i tylko wtedy, gdy d f(1). Dziaªania arytmetyczne na liczbach w systemie o podstawie b wykonujemy bez anga»owania w to podstawy 10. Dodawanie, odejmowanie i mno»enie pisemne przeprowadzamy tak jak dotychczas, przy czym przy,,po»yczaniu bierzemy nie 10 lecz b. Tak»e uªamki mo»na rozwija przy dowolnej podstawie. Maj one (sko«- czon lub niesko«czon posta (d k 1 d k 2... d 1 d 0, d 1 d 2... ) b. Warto tu zauwa»y,»e przy zmianie podstawy, mog te» zmieni si uªamki okresowe. Na przykªad 0, = (0, 1) 3, a 0, 5 = (0, ) 3. 11

12 Wykªad 3 Elementy odwrotne Jak do tej pory, zauwa»yli±my,»e kongruencje mo»na dodawa, odejmowa i mno»y stronami. Zauwa»yli±my te»,»e, ogólnie, nie mo»na dzieli kongruencji stronami. Co wi cej, nie zachodzi te» prawo skracania: 4 12 (mod 8), ale 1 3 (mod 8). 3.1 Twierdzenie. Przypu± my,»e c jest dodatni liczb caªkowit oraz ac bc (mod m) dla pewnych liczb a, b oraz m > 0. Wówczas zachodzi kongruencja a b (mod m NWD(m, c) ). Dowód. Oznaczmy d = NWD(m, c) i zapiszmy c = dc, m = dm. Wówczas NWD(c, m ) = 1. Z drugiej strony, m c(a b), czyli dm dc (a b), st d m c (a b). Poniewa» NWD(c, m ) = 1, wi c m a b. Skoro jednak m = m, wi c mamy tez. d Wracaj c do przykªadu poprzedzaj cego powy»sze twierdzenie, docelowa kongruencja, to 1 3 (mod 2), poniewa» 8/NWD(4, 8) = 4. Zauwa»my jeszcze dwa nast puj ce fakty. 1. Ka»d kongruencj mo»na skraca przez liczb wzgl dnie pierwsz z moduªem, np. wiadomo,»e (mod 9), wówczas 12 3 (mod 9). 2. Je±li moduª dzieli si przez liczb, przez któr chcemy skróci kongruencj, to równie» skracamy moduª, np. wiadomo,»e (mod 9), wówczas 16 4 (mod 3). Cz sto si zdarza,»e trzeba ª czy kongruencje o ró»nych moduªach. Je±li a b (mod m) oraz a b (mod n), to nie musi koniecznie zachodzi kongruencja a b (mod mn). Na przykªad, 2 10 (mod 8), 2 10 (mod 4), ale 2 10 (mod 32). Potrzebne jest tu dodatkowe zaªo»enie. 12

13 3.2 Twierdzenie. Przypu± my,»e NWD(m, n) = 1. Wówczas a b (mod m) oraz a b (mod n) a b (mod mn). Dowód. Poniewa» m a b, wi c istnieje taka liczba caªkowita k,»e mk = a b. Skoro n mk oraz NWD(m, n) = 1, wi c n k. Zatem istnieje taka liczba k 1,»e nk 1 = k. St d mnk 1 = a b, czyli a b (mod mn).. Skoro a b (mod mn), wi c a b (mod d) dla dowolnego dzielnika d liczby mn. W szczególno±ci dla m oraz n. Powy»sze twierdzenie pozwala rozbija kongruencje o du»ych zªo»onych moduªach na kongruencje o ni»szych moduªach pierwszych. Jest to o tyle istotne,»e ªatwiej jest wydedukowa co± na temat podzielno±ci przez liczb pierwsz ni» przez liczb zªo»on. Na przykªad, aby sprawdzi, czy 1729 przystaje do 1 modulo 12, wystarczy sprawdzi, czy zachodz kongruencje (mod 3) oraz (mod 4). Jest to ªatwe, poniewa» cechy podzielno±ci przez 3 i 4 s ªatwe w zastosowaniu. Poniewa» liczba 1728 dzieli si zarówno przez 3 jak i przez 4, wi c wspomniane kongruencje zachodz. Podobnie jak równania mo»na te» rozwi zywa kongruencje. Generalnie, je»eli dany jest moduª m oraz funkcja f okre±lona w zbiorze liczb caªkowitych i o warto±ciach caªkowitych, to pytamy jak znale¹ x, aby speªniona byªa kongruencja f(x) 0 (mod m). W tym podrozdziale zajmiemy si kongruencjami liniowymi, czyli takimi, dla których f(x) = ax + b, gdzie a oraz b s liczbami caªkowitymi. Aby upro±ci zapis b dziemy dalej pisa kongruencje liniowe w postaci ax b (mod m) (3.1) Przypomnijmy,»e w zbiorze liczb rzeczywistych, aby rozwi za równanie ax = b, mno»ymy obie jego strony przez liczb odwrotn do a (o ile taka istnieje, a nie istnieje tylko dla a = 0). Podobnie b dziemy post pujemy w przypadku kongruencji liniowych. Dlatego zajmiemy si teraz liczbami odwracalnymi modulo m. Liczb a nazywamy odwracaln modulo m je»eli istnieje taka liczba a,»e aa 1 (mod m). (3.2) 3.3 Przykªad. Poniewa» (mod 11), wi c liczby 6 oraz 2 s odwracalne modulo 11. Zauwa»my,»e tak»e liczby ró»ni ce si od 2 i 6 o wielokrotno± 11 s odwracalne modulo 11. Istotnie, mamy 2 (6 + 11k) (mod 11). 13

14 Liczba 2 nie jest odwracalna modulo 8, poniewa» je±li 2a 1 (mod 8), to oznacza to,»e 8 2a 1, czyli 8 dzieli liczb nieparzyst, co nie jest prawd. Liczby odwracalne modulo m maj bardzo wygodn charakteryzacj przedstawion w twierdzeniu 3.5. Dowód tego twierdzenia dostarcza nam te» metody, jak szuka elementu a. Potrzebny nam jednak b dzie lemat. 3.4 Lemat. Je±li d = NWD(a, b), to istniej liczby caªkowite x oraz y, takie»e ax + by = d. Odwrotnie, dla dowolnych liczb caªkowitych x oraz y, NWD(a, b) ax + by. Dowód. Oznaczmy S = {am + bn : m, n Z}. Zauwa»my,»e w zbiorze S s liczby dodatnie. Zatem, zgodnie z zasad minimum, istnieje w S najmniejsza liczba dodatnia. Oznaczmy j przez q. Poka»emy,»e q jest dzielnikiem a. Istotnie, zapiszmy a = eq + t, gdzie 0 t < q. Poniewa» q = am 0 + bn 0 dla pewnych m 0, n 0, wi c t = (1 em 0 )a + ( n 0 )b S. Zatem t = 0 gdy» w przeciwnym wypadku mieliby±my sprzeczno± z wyborem liczby q. Podobnie pokazujemy,»e t b. Zauwa»ymy teraz,»e q jest najwi kszym wspólnym dzielnikiem liczb a i b. W tym celu przypu± my,»e c > 0, c a oraz c b. Wówczas c am + bn dla dowolnych m i n, wi c w szczególno±ci, c q. Zatem c q. W ostateczno±ci, q = NWD(a, b) i q S co dowodzi pierwszej cz ±ci twierdzenia. Z drugiej strony, skoro NWD(a, b) jest dzielnikiem a oraz b, wi c jest te» dzielnikiem dowolnego elementu zbioru S. 3.5 Twierdzenie. Liczba caªkowita a jest odwracalna modulo m wtedy i tylko wtedy, gdy NWD(a, m) = 1. Dowód. Skoro istnieje taka liczba a,»e aa 1 (mod m), to istnieje te» taka liczba caªkowita k,»e aa 1 = km, albo aa km = 1. Z poprzedniego lematu wynika,»e NWD(a, m) = 1.. Je±li NWD(a, m) = 1, to istniej liczby caªkowite x oraz y takie,»e ax + my = 1, czyli m ax 1. Zatem a jest odwracalna modulo m. Aby obliczy liczb odwrotn do a, nale»y znale¹ takie liczby x oraz y,»eby zachodziªa równo± ax + my = 1. Liczby te znajdujemy stosuj c algorytm Euklidesa. Wówczas a = x. Dla przykªadu, znajd¹my 11 modulo 31. W tym celu wykonujemy nast puj ce obliczenia: 31 = = = =

15 Tak wi c 1 = = 11 5 ( ) = Zatem 11 = = 17. Zauwa»my,»e je±li liczba caªkowita a jest odwracalna modulo m, to istnieje niesko«czenie wiele liczb a, które speªniaj kongruencj (3.2). Mówi c o elementach odwracalnych, chcieliby±my tak»e zdeniowa element odwrotny do danego. Nale»y wi c wyró»ni jeden z elementów a. Poka»emy,»e w zbiorze wszystkich elementów a speªniaj cych (3.2) zachodzi pewna regularno±. 3.6 Twierdzenie. Je±li aa 1 (mod m), oraz aa 1 (mod m), to liczby a i a ró»ni si o wielokrotno± m. Dowód. Przypu± my,»e a a = qm + r dla q Z oraz 0 r m 1. Mamy aa aa = aqm + ar, albo aa aa ar (mod m). Zatem zachodzi 0 ar (mod m), czyli m ar. Skoro jednak NWD(a, m) = 1, wi c m r, a to oznacza,»e r = 0. Z powy»szego twierdzenia wynika,»e je±li liczba a jest odwracalna modulo m, to mo»emy mówi o elemencie odwrotnym do a modulo m. Tak wi c, je±li a Z jest odwracalny modulo m, to elementem odwrotnym do a modulo m nazywamy liczb b {0, 1,..., m 1}, tak»e ab 1 (mod m). B dziemy przy tym pisa b = a 1 mod m. Zdeniujmy dodawanie + m oraz m modulo m w nast puj cy sposób: a + m b = a + b mod m, a m b = a b mod m. Z tak zdeniowanymi dziaªaniami dodawania i mno»enia, zbiór Z m speªnia wszystkie aksjomaty ciaªa z wyj tkiem szóstego. Aksjomat szósty (istnienie elementu odwrotnego do ka»dego niezerowego elementu ciaªa) jest speªniony tylko dla liczb pierwszych m, co wynika z twierdzenia 3.5. Zatem zbiór Z p z dziaªaniami + m i m jest ciaªem. Wró my teraz do kongruencji (3.1). Ma ona rozwi zanie, je±li liczba a jest odwracalna modulo m. Aby znale¹ to rozwi zanie, nale»y pomno»y obie strony kongruencji (3.1) przez liczb odwrotn do a. 3.7 Przykªad. Rozwi»emy 3x 5 (mod 13). Wykorzystuj c algorytm Euklidesa, otrzymujemy = 1. Zatem 9 jest liczb odwrotn do 3 modulo 13. Mno» c obie strony naszej kongruencji przez 9 otrzymujemy x (mod 13). Zatem 6 (i ka»da liczba, która si ró»ni od 6 o wielokrotno± 13) jest rozwi zaniem naszej kongruencji. 15

16 Je±li nie b dzie powiedziane inaczej, to od tej chwili b dziemy rozwa»a tylko te rozwi zania kongruencji (3.1), które nale» do Z m = {0, 1,..., m 1}. Je±li w tym zbiorze jest tylko jedno rozwi zanie, to mówimy,»e jest ono jednoznaczne lub jednoznaczne modulo m. Je»eli a nie jest odwracalna modulo m, to rozwi zanie te» mo»e istnie. Przedstawimy teraz twierdzenie, które mówi o istnieniu i jednoznaczno±ci rozwi za«. 3.8 Twierdzenie. Kongruencja (3.1) ma dokªadnie d = NWD(a, m) rozwi - za«je±li d b oraz nie ma rozwi zania je±li d b. Je»eli d b oraz x 0 jest rozwi zaniem, to d ró»nych rozwi za«wyra»a si wzorem x 0 + m i mod m dla d i {0, 1,..., d 1}. Dowód. Je±li d = 1, to jak ju» zauwa»yli±my, kongruencja (3.1) ma rozwi zanie. Aby pokaza jego jednoznaczno±, przypu± my,»e x 1 oraz x 2 s dwoma rozwi zaniami (3.1). Zatem ax 1 ax 2 (mod m). Z twierdzenia 3.2 wynika kongruencja x 1 x 2 (mod m), czyli x 1 = x 2. Zaªó»my teraz,»e d 1. Je±li d b, to poniewa» d a, wi c d ax b dla»adnego x Z, a co za tym idzie, m ax b dla»adnej liczby x. Zatem kongruencja (3.1) nie ma rozwi zania. Przypu± my wi c,»e d 1 oraz d b. Rozwa»my kongruencj a d x b (mod m d d ) (3.3) Skoro NWD( a, ) m d d = 1, wi c kongruencja (3.3) ma rozwi zanie x0. Zapiszmy a x d 0 b = m k dla pewnej liczby caªkowitej k. Mno» c obie strony tego d d równania przez d otrzymujemy,»e x 0 jest rozwi zaniem kongruencji (3.1). Ale x 0 jest rozwi zaniem (3.3), a ka»de dwie liczby speªniaj ce t kongruencj ró»ni si o wielokrotno± m. Zatem w Z d m jest tych rozwi za«dokªadnie d i ka»de z nich mo»emy zapisa w postaci x 0 + m i mod m dla d i {0, 1,..., d 1}. S to wi c wszystkie rozwi zania kongruencji (3.1). Tak wi c kongruencja z przykªadu 3.7 ma dokªadnie jedno rozwi zanie. Podamy jeszcze jeden przykªad ilustruj cy powy»sze twierdzenie. 3.9 Przykªad. Rozwi»emy kongruencj 4x 10 (mod 30). Poniewa» NWD(4, 30) = 2 oraz 2 10, wi c nasza kongruencja ma dwa rozwi zania. Redukujemy caª kongruencj przez 2 otrzymuj c 2x 5 (mod 15), a nast pnie znajdujemy liczb odwrotn do 2 modulo 15. jest ni 8. Otrzymujemy wi c x 0 = 10. Jest to pierwsze rozwi zanie. Drugim jest x 1 = =

17 Wykªad 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych Zajmiemy si teraz ukªadami dwóch kongruencji z dwiema niewiadomymi. { a 1 x + b 1 y c 1 (mod m) (4.1) a 2 x + b 2 y c 2 (mod m), gdzie m > 1. Dla skupienia uwagi rozwa»my nast puj ce dwa przykªady: { 5x + 2y 7 (mod 14) { 3x + 2y 4 (mod 12) 8x + 3y 4 (mod 14), 8x + 4y 6 (mod 12). Pierwszy z powy»szych ukªadów rozwi zujemy zgodnie z intuicj i bez przeszkód, tj. z pierwszej kongruencji, po pomno»eniu jej przez 3 (liczba odwrotna do 5 modulo 14), wyznaczamy x 7+8y (mod 14). Po podstawieniu do drugiej kongruencji i uproszczeniu, dostajemy 11y 4 (mod 14). St d ju» szybko otrzymujemy y 8 (mod 14), a zaraz potem x 1 (mod 14). Zatem jedynym rozwi zaniem (modulo 14) pierwszej kongruencji jest para (1, 8). Drugiego (prawego) ukªadu nie jeste±my w stanie rozwi za stosuj c ten sam algorytm. Po przeksztaªceniu pierwszej kongruencji, dostajemy 3x 4 2y (mod 12). Poniewa» NWD(3, 12) = 3, wi c zgodnie z twierdzeniem 3.8, aby nasza (pierwsza) kongruencja miaªa rozwi zanie, 3 4 2y. Zatem y {2, 5, 8, 11}. Podstawiaj c ka»d z tych liczb za y, zauwa»amy,»e druga kongruencja przyjmuje zawsze posta 8x 10 (mod 12). Ale NWD(8, 12) = 4 oraz 4 10, wi c 17

18 twierdzenie 3.8 pozbawia nas zªudze«: kongruencja ta, a wi c i caªy ukªad kongruencji nie ma rozwi zania. Do ukªadu (4.1) zastosujemy algorytm Cramera. Po pomno»eniu pierwszej kongruencji przez a 2, a drugiej przez a 1 oraz dodaniu ich stronami, otrzymujemy (a 1 b 2 b 1 a 2 )y a 1 c 2 c 2 a 1 (mod m). (4.2) Oznaczmy W = a 1 b 2 b 1 a 2, W y = a 1 c 2 c 2 a 1 oraz W x = c 1 b 2 b 1 c 2. Po pomno»eniu pierwszej kongruencji przez b 2, drugiej przez b 1 oraz dodaniu stronami, wykorzystuj c wprowadzone oznaczenia mamy { W x W x (mod m) W y W y (mod m). (4.3) Zatem rozwi zania ukªadu (4.1) zawieraj si w zbiorze rozwi za«ukªadu (4.3). Ka»d z kongruencji tego ukªadu rozwi zujemy (je±li to mo»liwe) stosuj c twierdzenie 3.8. Ostatecznie otrzymujemy nast puj cy rezultat. 4.1 Twierdzenie. Oznaczmy d = NWD(W, m). Ukªad kongruencji (4.1) nie ma rozwi za«je±li d W x lub d W y. W przeciwnym wypadku, ukªad ten ma modulo m co najwy»ej d 2 rozwi za«, których pierwsze oraz drugie wspóªrz dne przystaj do siebie modulo m d. Podobny rezultat otrzymamy uogólniaj c powy»sze twierdzenie na przypadek wi kszej liczby kongruencji. Zauwa»my,»e w naszych przykªadzie mamy W = 1 (modulo 14) dla lewego ukªadu, co oznacza,»e ma on dokªadnie jedno rozwi zanie. Natomiast W = 4, W x = 4 oraz W y = 14 dla prawego ukªadu. Poniewa» NWD(W, 12) = 4 i 4 14, wi c ukªad ten nie ma rozwi zania. Jako przykªad zastosowa«powy»szych idei, opiszemy szyfr aniczny. Podobnie jak w Rozdziale 2, ka»dej literze alfabetu przypiszemy liczb, która jest pozycj danej litery w alfabecie. A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z Przeksztaªcenie szyfruj ce tzw. kodu anicznego ma posta E(p) = ap + b mod N. 18

19 Naszym kluczem jest tu para (a, b). eby rozszyfrowa wiadomo± u»ywamy innego klucza. Dokªadnie, D(c) = a c + b mod N, gdzie a jest liczb odwrotn do a modulo N, a b = a b w Z N. Aby E byªo odwzorowaniem szyfruj cym, NWD(a, N), wi c i NWD(a, N) jest równe 1. Kiedy a = 1, kod aniczny staje si kodem cyklicznym. Gdy b = 0, kod aniczny nazywamy szyfrem liniowym. W przypadku alfabetu 26-literowego, przestrze«kluczy ma 312 (= 12 26) elementów. Nie jest to du»a liczba z kryptoanalitycznego punktu widzenia, ale rozwa»enie takiej liczby przypadków mo»e stworzy pewne trudno±ci. Zademostrujemy metod ªamania kodów anicznych, która ogranicza istotnie liczb rozwa»anych przypadków. 4.2 Przykªad. Zªamiemy szyfr vqtmx ozdtg hgjqm aqhcx bgkgt ag. W szyfrze tym najcz stsz liter jest g, a nast pn jest q. Podejrzewamy,»e g (pozycja 6) to zaszyfrowane a (pozycja 0), natomiast q (pozycja 16), to e (pozycja 4). Mamy wi c 6a +b 0( mod 26) 16a +b 4( mod 26) (4.4) Odejmuj c obie kongruencje stronami otrzymujemy 10a 4 (mod 26), a st d natychmiast a = 3. Chwil potem mamy b = 8 i mamy klucz deszyfruj cy. Zastosowanie tego klucza, tj. (3, 8) daje nam tekst jawny Ten szyfr nadaje si do zªamania. Wykorzystuj c twierdzenie 4.1 do ukªadu (4.4) otrzymujemy W = 16, W a = 22, W b = 24, NWD(W, 26) = 2, wi c ukªad kongruencji (4.4) ma 4 potencjalne rozwi zania modulo 26. S to pary (3, 8), (3, 21), (16, 8) oraz (16, 21). Dwie ostanie pary odpadaj, poniewa» NWD(a, N) ma by równy 1. Odpada te» para (3, 21), bo po sprawdzeniu zauwa»amy,»e nie jest ona rozwi zaniem ukªadu (4.4). 19

20 Wykªad 5 Maªe Twierdzenie Fermata W czerwcu 1640 roku Fermat napisaª list do Mersenne'a, w którym stwierdziª,»e je±li p jest liczb pierwsz, to 2 p 2 jest wielokrotno±ci 2p, a je±li q jest pierwszym dzielnikiem 2 p 1, to q 1 jest wielokrotno±ci p. Jak zwykle, Fermat nie napisaª dowodu tego stwierdzenia. Zrobiª to dopiero Euler w 1730 u»ywaj c rozwini cia dwumianowego, a w 1758 opublikowaª on inny dowód, który pozwoliª uogólni twierdzenie Fermata. To uogólnione twierdzenie nosi nazw twierdzenia Eulera. W rozdziale tym przytoczymy i udowodnimy obydwa te twierdzenia. 5.1 Twierdzenie (Maªe Twierdzenie Fermata MTF ). Je»eli p jest liczb pierwsz, to a p a (mod p) dla dowolnej liczby caªkowitej a oraz a p 1 1 (mod p) dla wszystkich liczb caªkowitych a, takich»e p a. Oryginalny dowód Eulera z 1730 roku. Przypu± my,»e a 0. U»yjemy indukcji matematycznej. Twierdzenie jest prawdziwe dla a = 0. Przypu± my,»e twierdzenie jest prawdziwe dla a = n. Poka»emy,»e jest ono prawdziwe tak»e dla a = n + 1. W tym celu zauwa»my,»e dla dowolnego 1 m p 1 zachodzi relacja p ( p m). Istotnie, ( ) p = m p! m!(p m)!, (5.1) ale w mianowniku uªamka po prawej stronie równo±ci (5.1) znajduj si liczby mniejsze od p, a ( p m) jest liczb naturaln, wi c m!(p m)! musi dzieli (p 1)! Zatem p ( p m). 20

21 Dalej mamy (n + 1) p n p + ( ) p n p ( ) ( ) p p n p n + 1 (mod p) 2 p 1 n p (co±) (mod p) n + 1 (mod p). Na podstawie indukcji matematycznej wnioskujemy,»e twierdzenie jest prawdziwe dla wszystkich liczb nieujemnych a. Je±li a jest liczb ujemn oraz p > 2, to a p ( a) p ( a) = a (mod p), czyli twierdzenie jest prawdziwe i w tym przypadku. Przypadek p = 2 jest trywialny. Zaªó»my teraz,»e p a. Zatem NWD(a, p) = 1 i a posiada element odwrotny a 1 modulo p. Po pomno»eniu obu stron kongruencji a p a (mod p) przez a 1, otrzymamy a p 1 1 (mod p). Podamy teraz przykªady zastosowa«mtf. 5.2 Przykªad. Poka»emy,»e jest podzielne przez 13. Poniewa» 50 = , wi c z twierdzenia 5.1 mamy a 50 a 2 (mod 13) dla a = 2 i a = 3. Zatem wi c = 13 0 (mod 13), 5.3 Przykªad. Poka»emy,»e 7 nie dzieli n dla»adnej liczby n N. Istotnie, gdyby n (mod 7), to wówczas n 2 1 (mod 7), czyli n 6 1 (mod 7), co jest sprzeczne z twierdzeniem 5.1. Poniewa» (mod 341) oraz 341 = 11 31, wi c twierdzenie odwrotne do 5.1 nie jest prawdziwe. Liczby n, które speªniaj tez MTF, ale nie s pierwszymi nazywamy pseudopierwszymi. Wi cej o liczbach pseudopierwszych powiemy w dalszej cz ±ci wykªadu. 5.4 Twierdzenie. Przypu± my,»e a r 1 (mod p) dla pewnej liczby pierwszej p oraz liczby caªkowitej a, która nie dzieli si przez p. Je±li d = NWD(r, p 1), to a d 1 (mod p). 21

22 Dowód. Z lematu 3.4 mamy istnienie takich liczb caªkowitych x oraz y,»e rx + (p 1)y = d. Zatem a d a rx+(p 1)y (mod p) (a r ) x ( a p 1) y (mod p) 1 1 = 1 (mod p). Kilka zastosowa«udowodnionego przed chwil twierdzenia zobrazujemy w nast puj cych przykªadach. 5.5 Przykªad. Przypu± my,»e p oraz q s nieparzystymi liczbami pierwszymi oraz q 2 p 1. Wówczas 2 p 1 (mod q) i je»eli d = NWD(p, q 1), to 2 d 1 (mod q). Ale, poniewa» p jest liczb pierwsz, wi c d = p, gdy» przypadek d = 1 implikuje nieprawdziw kongruencj 2 1 (mod q). Zatem p q 1, a poniewa» liczba p jest nieparzysta, a q 1 jest parzysta, wi c 2p q 1. Wynika st d,»e aby sprawdzi czy liczba 2 p 1 jest pierwsza wystarczy rozwa»y, jako potencjalne dzielniki, tylko liczby postaci 2kp + 1, dla 1 k 1 2 2p Przykªad. Poka»emy,»e istnieje niesko«czenie wiele liczb pierwszych postaci 4k + 1. Aby tego dokona, przypu± my,»e jest ich tylko sko«czona liczba, czyli»e p 1, p 2,..., p r s wszystkimi liczbami pierwszymi tej postaci. Rozwa»my liczb N = (2p 1 p 2... p r ) 2 +1 i przypu± my,»e p N. Wynika st d kongruencja (2p 1 p 2... p r ) 2 1 (mod p) oraz (2p 1 p 2... p r ) 4 1 (mod p). Oznaczmy d = NWD(4, p 1). Zatem liczba d jest dzielnikiem liczby 4, czyli nale»y do zbioru {1, 2, 4}. Poniewa» (2p 1 p 2... p r ) d 1 (mod p), wi c d nie mo»e by równa 1 ani 2. Zatem d = 4, czyli 4 p 1 i p jest postaci 4k + 1. Ale p N, wi c p nie mo»e by»adn z liczb p 1, p 2,..., p r. St d sprzeczno±. 22

23 Wykªad 6 Twierdzenie Eulera Jak ju» zauwa»yli±my (tw. 3.5), liczba a jest odwracalna modulo n wtedy i tylko wtedy, gdy NWD(a, n) = 1. Funkcja ϕ, która przyporz dkowuje ka»dej liczbie naturalnej n, ilo± dodatnich i niewi kszych od n liczb odwracalnych modulo n nazywamy funkcj Eulera. Zatem ϕ(n) = # {0 < x n : NWD(x, n) = 1}. 6.1 Przykªad. ϕ(8) = 4, poniewa» tylko liczby nieparzyste s wzgl dnie pierwsze z 8 oraz 8 nie ma dzielników nieparzystych. Je±li p jest liczb pierwsz, to ϕ(p) = p 1, gdy» ka»da liczba dodatnia mniejsza od p jest wzgl dnie pierwsza z p. Je»eli p r jest pot g liczby pierwszej, to jedynymi liczbami, które nie s wzgl dnie pierwsze z p r, s wielokrotno±ci p, czyli liczby p, 2p, 3p,..., (p r 1 1)p. Tych liczb jest w sumie p r 1 1, zatem ( ϕ(p r ) = p r 1 (p r 1 1) = p r p r 1 = p r 1 1 ). (6.1) p Poka»emy,»e przy pewnym zaªo»eniu, ϕ jest funkcj multyplikatywn. Pozwoli nam to wyprowadzi do± por czny wzór na warto±ci ϕ uogólniaj cy (6.1). 6.2 Twierdzenie. Je±li NWD(m, n) = 1, to ϕ(mn) = ϕ(m)ϕ(n). Dowód. Zauwa»my najpierw,»e je±li jedna z liczb m, n jest równa 1, to teza jest prawdziwa. Mo»emy zatem zaªo»y,»e m > 1 i n > 1. Wypiszmy 23

24 wszystkie liczby niewi ksze od mn w nast puj cy sposób: 1, 2,..., r,..., n, n + 1, n + 2,..., n + r,..., 2n, 2n + 1, 2n + 2,..., 2n + r,..., 3n, , ,..., ,...,..., (m 1)n + 1, (m 1)n + 2,..., (m 1)n + r,..., mn. (6.2) Zauwa»my,»e liczby ka»dej z kolumn tablicy (6.2) ró»ni si modulo m od liczb 1, 2,..., m 1 tylko porz dkiem. Istotnie, je±li istniej liczby q 1, q 2, oraz r, takie»e q 1 n + r q 2 n + r (mod m), to poniewa» m i n s wzgl dnie pierwsze, wi c z ostatniej kongruencji wynika q 1 q 2 (mod m) (tw. 3.1). Ale poniewa» q 1 i q 2 s nieujemnymi liczbami mniejszymi od m, wi c q 1 = q 2. Znacznie ªatwiej jest zauwa»y,»e w ka»dym wierszu tablicy (6.2) mamy liczby przystaj ce modulo n, odpowiednio, do 1, 2,..., n 1, 0. Tak wi c w ka»dym wierszu jest ϕ(n) liczb wzgl dnie pierwszych z n, a w ka»dej kolumnie jest ϕ(m) liczb wzgl dnie pierwszych z m. Co wi cej, zauwa»my,»e je»eli w pewnej kolumnie (6.2) mamy liczb, która nie jest wzgl dnie pierwsza z n, to wszystkie liczby tej kolumny nie s wzgl dnie pierwsze z n. Z drugiej strony, je±li jaka± liczba jest wzgl dnie pierwsza z mn, to jest ona wzgl dnie pierwsza z m i wzgl dnie pierwsza z n. Wykre±lmy zatem z (6.2) wszystkie liczby, które nie s wzgl dnie pierwsze z mn. Wówczas w ka»dym wierszu pozostanie nam ϕ(n) liczb, przy czym wykre±limy caªe kolumny. Pozostanie wi c ϕ(n) kolumn z ϕ(m) liczb w ka»dej z nich. Zatem ϕ(mn) = ϕ(n)ϕ(m). Rozwa»my liczb n = k i=1 pα i i. Poniewa» wszystkie czynniki w tym iloczynie s parami wzgl dnie pierwsze, wi c po zastosowaniu twierdzenia 6.2, dostajemy ϕ(n) = = = n k i=1 k i=1 ϕ (p α i i ) p α i i (1 1pi ) k ) (1 1pi i=1 Udowodnili±my wi c nast puj cy wniosek. 24

25 6.3 Wniosek. Je±li n = k i=1 pα i i U»ywaj c wniosku 6.3, dostajemy, to ϕ(n) = n ) k i=1 (1 1pi. ϕ( ) = (29 1)(25 5) = 560. Poniewa» ró»nica p k p k 1 jest liczb parzyst, z wyj tkiem przypadku gdy p = 2 oraz k = 1, wi c jedyn nieparzyst warto±ci funkcji ϕ jest 1, która jest przyjmowana dla argumentów 1 oraz 2. Dla liczb wi kszych od 3, funkcja Eulera przyjmuje tylko warto±ci parzyste. Co wi cej, je±li w rozkªadzie liczby n wyst puje dokªadnie k pot g liczb pierwszych, to 2 k 1 ϕ(n). 6.4 Przykªad. Znajdziemy wszystkie liczby n, dla których ϕ(n) = 6. W tym celu rozwa»ymy kilka przypadków. n = p α. Zatem 6 = p α 1 (p 1). Rozwa»aj c kolejne liczby pierwsze, zauwa»amy,»e n = 3 2 = 9, lub n = 7. n = p α q β. Wówczas 6 = (p α p α 1 )(q β q β 1 ). Zauwa»my,»e ró»nica dwóch kolejnych pot g»adnej liczby pierwszej nie jest równa 3, wi c jedna z liczb p α p α 1, q β q β 1 musi by równa 1, czyli p = 2, a druga 6. Rozwa»aj c kolejne liczby pierwsze jako kandydatki na q, otrzymujemy n = = 18 lub n = 2 7 = 14. Z uwagi umieszczonej tu» przed przykªadem, wynika,»e n nie mo»e by iloczynem wi cej ni» dwóch pot g liczb pierwszych. U»ywaj c funkcji Eulera ϕ, sformuªujemy i udowodnimy uogólnienie Ma- ªego Twierdzenia Fermata. Zauwa»my przy tym,»e je±li NWD(a, n) 1, to a k 1 (mod n) dla»adnego k > 1. Istotnie, gdyby tak byªo, to n byªaby dzielnikiem a k 1, czyli istniaªaby liczba caªkowita x, taka»e xn+a a k 1 = 1. Z lematu 3.4 wynika zatem,»e NWD(a, n) = 1, sk d sprzeczno±. Tak wi c, aby otrzyma kongruencj, w której pot ga a przystaje do 1, nale»y rozwa»a tylko te liczby a, które s wzgl dnie pierwsze z n. Je±li n jest liczb pierwsz, to sprowadza si to do liczb, które nie s podzielne przez n, st d zaªo»enia drugiej cz ±ci MTF. Zauwa»my,»e owa druga cz ± MTF jest zawarta w nast puj cym twierdzeniu. 6.5 Twierdzenie (Eulera). Przypu± my,»e NWD(a, n) = 1 dla liczby caªkowitej a oraz n > 2. Wówczas a ϕ(n) 1 (mod n) (6.3) 25

26 Dowód. Wypiszmy wszystkie elementy odwracalne modulo n, które s dodatnie i mniejsze od n. S to r 1, r 2..., r ϕ(n). Skoro a jest odwracalna modulo n, wi c tak»e elementy ar 1, ar 2..., ar ϕ(n) s odwracalne modulo n, oraz»adne dwa z nich nie s równe. Zatem r 1 r 2... r ϕ(n) ar 1 ar 2... ar ϕ(n) (mod n). Korzystaj c z prawa przemienno±ci mno»enia dostajemy a ϕ(n) (r 1 r 2... r ϕ(n) ) (r 1 r 2... r ϕ(n) ) (mod n). Ostatnia kongruencja implikuje (6.3). Dla przykªadu, znajdziemy ostatni cyfr liczby w ukªadzie szestnastkowym. Mamy tu ϕ(16) = 8, a (mod 8). Zatem (mod 16) i ostatni cyfr jest 9. Okazuje si,»e najni»sza pot ga liczby a w Twierdzeniu Eulera jest cz sto mniejsza ni» ϕ(n). Na przykªad ϕ(105) = 48, ale dla a wzgl dnie pierwszych ze 105 mamy a 12 1 (mod 105). Istotnie, 105 = oraz a 6 1 a 12 1 a 4 a 12 1 a 2 1 a 12 1, wi c z Maªego Twierdzenia Fermata, 105 a pokazuje jak ulepszy pot g a. Poni»sze twierdzenie 6.6 Twierdzenie. Przypu± my,»e m = p α 1 1 p α p α k k, gdzie wszystkie liczby pierwsze p i s ró»ne i p α i i jest najwi ksz poteg liczby p i, która dzieli m. Niech n = NWW(ϕ (p α 1 1 ), ϕ (p α 2 2 ),..., ϕ (p α k k )). Wtedy mamy an 1 (mod m) dla ka»dego a wzgl dnie pierwszego z m. Dowód. Z twierdzenia Eulera wynika a ϕ(pα i i ) 1 (mod p α i i ) dla ka»dego i {1, 2,..., k}. Mno» c t kongruencj stronami przez siebie n/ϕ(p α i i ) razy otrzymujemy a n 1 (mod p α i i ) dla ka»dego i. St d bezpo±rednio wynika,»e dla dowolnego i mamy p α i i a n 1. Zatem i m a n 1, a to nam daje tez. Wracaj c do uwagi przed twierdzeniem 6.6, zauwa»my,»e 105 = oraz 12 = NWW(ϕ(3), ϕ(5), ϕ(7)) = NWW(2, 4, 6). 26

27 Wykªad 7 Twierdzenie Lagrange'a Podstawowe twierdzenie algebry mówi,»e wielomian stopnia n o wspóªczynnikach zespolonych mo»e mie co najwy»ej n pierwiastków. Podobne twierdzenie zachodzi dla kongruencji stopnia n, ale tylko modulo liczba pierwsza. Dla przykªadu, rozwa»my kongruencje x 4 1 (mod 5) oraz x 2 1 (mod 8). Z twierdzenia 5.1, tj. z Maªego Twierdzenia Fermata, mamy,»e pierwsza z tych kongruencji ma dokªadnie 4 pierwiastki modulo 5 (s to liczby wzgl dnie pierwsze z 5). Je±li chodzi o drug kongruencj, to ma ona 4 pierwiastki: 1, 3, 5 i Twierdzenie (Lagrange'a). Niech p b dzie liczb pierwsz i niech f(x) b dzie wielomianem stopnia n 1 o wspóªczynnikach caªkowitych, którego wspóªczynnik przy najwy»szej pot dze x nie dzieli si przez p. Wówczas kongruencja f(x) 0 (mod p) ma co najwy»ej n pierwiastków modulo p. Dowód. Zastosujemy tu indukcj ze wzgl du na stopie«wielomianu. Zaªó»my zatem,»e f(x) jest wielomianem stopnia 1. Oznacza to,»e f(x) = ax + b, przy czym p a. Zatem a jest liczb odwracaln modulo p, czyli kongruencja ax + b 0 (mod p) ma dokªadnie jedno rozwi zanie. Przypu± my,»e teza twierdzenia jest prawdziwa dla wszystkich wielomianów stopnia mniejszego od n. Niech f(x) b dzie wielomianem stopnia n. Je±li f(x) nie ma pierwiastków, to twierdzenie jest udowodnione jako»e 0 n. Przypu± my wi c,»e f(x) ma pierwiastek a. Z twierdzenia o podzielno±ci dla wielomianów, wynika,»e istniej wielomiany q(x) oraz r(x), takie»e f(x) = (x a)q(x) + r(x), przy czym deg r(x) < deg(x a) = 1. Oznacza to, w szczególno±ci,»e r(x) jest liczb r. Poniewa» f(a) 0 (mod p), wi c (a a)q(a) + r 0 (mod p), st d r 0 (mod p). 27

28 Otrzymujemy wi c,»e f(x) (x a)q(x) (mod p). Ale wielomian q(x) ma co najwy»ej n 1 pierwiastków (z zaªo»enia indukcyjnego). Co wi cej, je»eli b jest pierwiastkiem wielomianu f(x), to (b a)q(b) 0 (mod p), czyli p (b a)q(b), wi c b a (mod p) lub b jest te» pierwiastkiem q(x). Zatem f(x) ma, co najwy»ej, o jeden pierwiastek wi cej ni» q(x), czyli co najwy»ej n. Na podstawie indukcji matematycznej, twierdzenie jest prawdziwe. Powy»sze twierdzenie okre±la tylko maksymaln liczb pierwiastków wielomianu modulo p. Nie mówi ono nic na temat ich znajdywania, a nie jest to sprawa ªatwa. Udowodnimy teraz wniosek, który wypªywa z twierdze«lagrange'a i Fermata. 7.2 Wniosek. Przypu± my,»e p jest liczb pierwsz oraz d p 1. Wówczas kongruencja x d 1 0 (mod p) ma dokªadnie d pierwiastków modulo p. Dowód. Z Maªego Twierdzenia Fermata wynika,»e x p (mod p) ma dokªadnie p 1 rozwi za«, którymi s 1, 2,..., p 1. Zapiszmy p 1 = kd. Mamy x p 1 1 = (x d 1)(x d(k 1) + x d(k 2) + + x d + 1). (7.1) Z twierdzenia Lagrange'a wynika,»e x d 1 ma co najwy»ej d pierwiastków, a (x d(k 1) + x d(k 2) + + x d + 1) ma co najwy»ej d(k 1) pierwiastków. Zatem prawa strona (7.1) ma co najwy»ej p 1 pierwiastków, a strona lewa ma dokªadnie p 1 pierwiastków. Dlatego ka»dy z wielomianów po prawej stronie (7.1) ma maksymaln mo»liw liczb pierwiastków. W szczególno±ci, x d 1 ma dokªadnie d pierwiastków. Z Maªego Twierdzenia Fermata oraz z poprzedniego wniosku wynika nast puj ce twierdzenie, które wykorzystamy przy rozwa»aniu tak zwanych liczb silnie pseudopierwszych. 7.3 Twierdzenie. Przypu± my,»e p jest liczb pierwsz i d oznacza najwi kszy wspólny dzielnik liczb s i p 1. Wówczas wielomian x s 1 ma dokªadnie d pierwiastków modulo p. Dowód. Zauwa»my najpierw,»e poniewa» d s, wi c tak»e x d 1 x s 1. Z wniosku 7.2 wynika,»e kongruencja x d 1 0 (mod p) ma dokªadnie d pierwiastków. Z uwagi poczynionej na pocz tku dowodu, mamy,»e pierwiastki te s te» pierwiastkami kongruencji x s 1 0 (mod p). Oznacza to,»e ostatnia kongruencja ma przynajmniej d pierwiastków i s to pierwiastki wielomianu x d 1 modulo p. Przypu± my,»e y jest pierwiastkiem modulo p 28

29 wielomianu x s 1, ale nie jest on pierwiastkiem kongruencji x d 1 0 (mod p). Jednak»e p y, wi c y p (mod p). Zatem z twierdzenia 5.4 wynika,»e y d 1 0 (mod p), czyli y jest pierwiastkiem x d 1 i mamy sprzeczno±. 7.4 Przykªad. Poniewa» 4 jest dzielnikiem liczby 12, wi c kongruencja x 4 1 (mod 13) ma oprócz oczywistych pierwiastków 1 i 1 jeszcze dwa pierwiastki. 7.5 Przykªad. Przypu± my,»e p 1 (mod 4). Wówczas istnieje pierwiastek z 1 modulo p, czyli kongruencja x 2 1 (mod p) ma rozwi zanie. Aby to zauwa»y, zapiszmy p = 4k + 1. Z twierdzenia 5.1, kongruencja x 4k 1 (mod p) ma dokªadnie 4k (czyli p 1) pierwiastków. Poniewa» x 4k 1 = (x 2k 1)(x 2k + 1), wi c wielomiany x 2k 1 oraz x 2k + 1 maj po 2k pierwiastków. Ale je±li a jest pierwiastkiem x 2k + 1, to x = a k jest rozwi zaniem x 2 + 1, czyli pierwiastkiem z 1. 29

30 Wykªad 8 Chi«skie Twierdzenie o Resztach Twierdzenie, które tu przedstawimy zostaªo odkryte i wykorzystywane w ±redniowiecznych Chinach. Przyczyn tego odkrycia byªy trudno±ci z mno»eniem i dodawaniem du»ych liczb ªatwiej jest nauczy si na pami kilku kombinacji, ni» wykonywa dziaªania arytmetyczne w pami ci. A dokªadnie, kiedy dowódca chciaª zliczy swoje wojsko, kazaª ustawi si»oªnierzom w dwu-szeregu, nast pnie w trzy-szeregu, potem w pi cio-szeregu itd. Liczba,,niesparowanych»oªnierzy w ka»dym z tych ustawie«(czyli reszty z dzielenia ogólnej liczby»oªnierzy przez 2, 3, 5,... ) dawaªy liczb wszystkich»oªnierzy. eby skonkretyzowa nasze my±lenie, rozwa»my nast puj cy przykªad. 8.1 Przykªad. Po ustawieniu caªego wojska w 3-, 5- i 7-szeregu dostali±my, odpowiednio 2, 1 oraz 6 niesparowanych»oªnierzy. Jaka jest liczebno± oddziaªu, je»eli wiadomo,»e»oªnierzy jest mniej ni» 100? Formalizuj c zadanie, niech x b dzie liczb»oªnierzy. Zatem reszty z dzielenia x przez 3, 5 oraz 7, to 2, 1 i 6. St d x 2 (mod 3) (8.1) x 1 (mod 5) (8.2) x 6 (mod 7) (8.3) Powy»szy ukªad trzech kongruencji rozwi»emy w nast puj cy sposób. Z kongruencji (8.1) mamy x = 3k + 2. Podstawiaj c do (8.2), otrzymujemy 3k (mod 5), czyli 3k 1 (mod 5). Znajdujemy liczb odwrotn do 3 modulo 5 i rozwi zujemy ostatni kongruencj otrzymuj c k 2 (mod 5). Zatem k = 5r 2 oraz x = 3 (5r 2)+2 = 15r 4. Podstawiaj c t posta x 30

31 do (8.3) dostajemy 15r 4 6 (mod 7), a nast pnie r 3 (mod 7). St d mamy r = 7s + 3, czyli x = 15 (7s + 3) 4 = 105s Zatem wszystkich»oªnierzy jest 41 (nast pna mo»liwo± to 146, ale jak zaznaczyli±my,»oªnierzy jest mniej ni» 100). Dowódca, oczywi±cie, nie musiaª przeprowadza powy»szych rachunków, a jedynie zapami ta,»e ukªadowi odpowiada liczba 41. Pami taª on te» zapewne, jakim ukªadom odpowiadaj s siednie liczby: ukªad liczba ukªad liczba Ide powy»szego przykªadu uogólnimy i podamy w dowodzie nast puj - cego twierdzenia. 8.2 Twierdzenie (Chi«skie twierdzenie o resztach). Przypu± my,»e m 1, m 2,..., m r s parami wzgl dnie pierwsze. Wówczas ukªad kongruencji x a 1 (mod m 1 ) x a 2 (mod m 2 ) x a r (mod m r ) ma jednoznaczne rozwi zanie modulo m 1 m 2... m r. (8.4) Dowód. Wprowad¹my nast puj ce oznaczenia: M = m 1 m 2... m r, M i = M m i, oraz x i = M 1 i mod m i dla 1 i r. Rozwa»my teraz liczb x = a 1 M 1 x 1 + a 2 M 2 x a r M r x r. Poniewa» dla j i zachodzi M j 0 (mod m i ), wi c x a i M i x i (mod m i ) dla ka»dego i. Ale M i x i 1 (mod m i ), wi c x a i (mod m i ) dla 1 i r. Pozostaje jeszcze udowodni jednoznaczno±. Niech x oraz x b d dwoma rozwi zaniami ukªadu (8.4). Zatem x x (mod m i ) dla 1 i r. St d m i x x, a poniewa» m 1, m 2,... m r s parami wzgl dnie pierwsze, wi c M x x. Zatem dwa rozwi zania ukªadu (8.4) ró»ni si o wielokrotno± M i ukªad ten ma jednoznaczne rozwi zanie modulo M. 31

32 W odró»nieniu od dowodów wielu innych podobnych twierdze«, dowód chi«skiego twierdzenia o resztach daje wzór na rozwi zanie ukªadu kongruencji typu (8.4). 8.3 Przykªad. Rozwa»my ukªad kongruencji z przykªadu 8.1. Stosuj c oznaczenia dowodu twierdzenia 8.2, mamy M = 105 oraz i m i a i M i x i St d x (mod 105) (mod 105) 251 (mod 105) 41 (mod 105). Zaªo»enie o kopierwszo±ci moduªów jest do± istotnym ograniczeniem. Rozwa»my dla przykªadu, ukªad kongruencji x 3 (mod 8) x 7 (mod 12). (8.5) Nie mo»na go rozwi za stosuj c twierdzenie 8.2, poniewa» 8 oraz 12 nie s wzgl dnie pierwsze. Nie oznacza to jednak,»e ukªad ten nie ma rozwi zania. Rozwi»emy go w nast pnym przykªadzie. 8.4 Przykªad. Aby rozwi za ukªad kongruencji (8.5) zapiszmy najpierw 12 = 4 3 i rozbijmy drug kongruencj ukªadu na dwie kongruencje x 7 3 (mod 4) i x 7 1 (mod 3). Mamy zatem ukªad trzech kongruencji x 3 (mod 8) x 3 (mod 4) x 1 (mod 3). (8.6) 32

33 Ale rozwi zanie pierwszej kongruencji ukªadu (8.6) speªnia te» drug kongruencj, wi c druga kongruencja jest niepotrzebna. Otrzymujemy wi c równowa»ny (8.5) ukªad kongruencji x 3 (mod 8) x 1 (mod 3). Ostatni ukªad rozwi zujemy stosuj c chi«skie twierdzenie o resztach (8.2) i otrzymujemy x 19 (mod 24). Podamy teraz uogólnienie chi«skiego twierdzenia o resztach, które pozwala rozwi zywa ukªady kongruencji podobne do (8.5). 8.5 Twierdzenie. Przypu± my,»e m 1, m 2..., m r s liczbami naturalnymi. Wówczas ukªad kongruencji (8.4) ma rozwi zanie wtedy i tylko wtedy, gdy NWD(m i, m j ) a i a j dla i j. Otrzymane rozwi zanie jest jednoznaczne modulo NWW(m 1, m 2,..., m r ). Dowód. Rozwa»my najpierw przypadek, gdy m i = p e i, gdzie 1 i r, e i jest liczb nieujemn, a p jest liczb pierwsz. Mo»emy, oczywi±cie, zaªo»y,»e e 1 e 2 e r. Przypu± my teraz,»e taki ukªad kongruencji ma rozwi zanie x 0 i niech i < j. Zatem NWD(m i, m j ) = m j = p e j. Skoro zachodz kongruencje x 0 a i (mod p e i ) oraz x 0 a j (mod p e j ), wi c p e j dzieli x 0 a j oraz, poniewa» p e j p e i, p e j dzieli tak»e x 0 a j. St d p e j a i a j. W drug stron, je±li i < j, to rozwi zanie kongruencji x 0 a i (mod p e i ) jest te» rozwi zaniem kongruencji x 0 a j (mod p e j ), wi c, w szczególno±ci, rozwi zanie pierwszej kongruencji (jednoznaczne modulo p e 1 ) jest te» rozwi - zaniem pozostaªych kongruencji. Aby zako«czy t cz ± dowodu, zauwa»my jeszcze,»e p e 1 = NWW(m 1, m 2,..., m r ). Przejd¹my teraz do ogólnego przypadku. Zapiszmy m 1 = p e 11 1 p e p e 1k k m 2 = p e 21 1 p e p e 2k k m r = p e r1 1 p e r p e rk k. Wówczas ukªad kongruencji (8.4) jest równowa»ny ukªadowi, skªadaj cemu 33

34 si z podukªadów postaci x a 1 (mod p e 1s x a 2 (mod p e 2s s ) x a r s ) (mod p ers s ), (8.7) gdzie 1 s k. Oznaczmy e s = max {e ts : 1 t r}. Ka»dy z podukªadów ((8.7) ma jednoznaczne modulo p es s rozwi zanie wtedy i tylko wtedy, e gdy NWD p is s, p e ) js s ai a j dla i j, co wynika z pierwszej cz ±ci dowodu. Co wi cej, rozwi zanie y s tego podukªadu jest rozwi zaniem kongruencji o module p es s, wi c ukªad (8.4) jest równowa»ny ukªadowi x y 1 (mod p e 1 1 ) x y 2 (mod p e 2 2 ) x y k (mod p e k k ). (8.8) Ostatni ukªad ma rozwi zanie z uwagi na chi«skie twierdzenie o resztach oraz, je±li rozwi zanie istnieje, to jest ono jednoznaczne modulo p e 1 1 p e p e k k = NWW(m 1, m 2,..., m r ). Poniewa» rozwi zanie ukªadu (8.4) przy zaªo»eniach dowodzonego twierdzenia jest równowa»ne rozwi zaniu ukªadu (8.8), wi c twierdzenie jest udowodnione. Powy»szy dowód podaje te» sposób na rozwi zanie ukªadu kongruencji. Sposób ten zostaª ju» zademonstrowany w przykªadzie (8.4). Dla utrwalenia rozwi»my jeszcze jeden ukªad kongruencji. 8.6 Przykªad. Ukªad kongruencji x 5 (mod 8) x 7 (mod 14) x 21 (mod 35) 34