a)wykaż,żejeżeli2 n 1jestliczbapierwszą,to2 n 1 (2 n 1)jestliczbądoskonałą.

Transkrypt

1 Teoria liczb z elementami kryptografii Lista 1-Rozmaitości Liczby doskonałe, zaprzyjaźnione, trójkątne itp. były przedmiotem zainteresowania matematyków począwszy od Pitagorasa(VI-V w. p.n.e) przynajmniej do czasów Fermata(XVII w.) i Eulera(XVIII w.). Pytanie, czy istnieje nieparzysta liczba doskonała jest wciąż otwarte, ale zasadniczo ta tematyka leży dziś na marginesie teorii liczb. Zadania te nie wymagają żadnej wiedzy wstępnej z teorii liczb. 1. Liczbę naturalną n nazywamy doskonałą, jeżeli jest ona sumą swoich właściwychdzielników,np.6= a)wykaż,żejeżeli2 n 1jestliczbapierwszą,to2 n 1 (2 n 1)jestliczbądoskonałą. b) Podaj wszystkie liczby doskonałe, jakie potrafisz wywnioskować z podanego wzoru za pomocą ręcznych rachunków. Jeśli nie będziesz bardzo uparty, to zapewne przegrasz z matematykami późnego średniowiecza. 2. Liczby naturalne nazywamy zaprzyjaźnionymi, jeżeli każda z nich jest sumą dzielników właściwych drugiej. a) Sprawdź, ze 220 i 284 są parą liczb zaprzyjaźnionych. b) Z jaką liczbą zaprzyjaźniona jest liczba 1184? 3.LiczbątrójkątnąnazywamyliczbępostaciT n = n. a) Wyjaśnij, skąd bierze się taka nazwa. b) Znajdź wzór na n-tą liczbę trójkątną. c) Znajdź największą czterocyfrową liczbę trójkątną. d) Wykaż, że suma dwu kolejnych liczb trójkątnych jest kwadratem liczby naturalnej. e)wykaż,żeliczbanjesttrójkątnawtedyitylkowtedy,gdy8n+1jestkwadratem liczby naturalnej. f) Znajdź wszystkie trójkątne liczby pierwsze. g)wykaż,żekażdaliczbapostacin(n+1)(n+2)(n+3)/8jesttrójkątna. h)znajdźwzórnasumęt 1 +T T n iwykażjegopoprawność. i) Uzasadnij, że 1 T T T =2. j)wykaż,żejeżelit n jestkwadratem,totakżet 4n(n+1) jestkwadratem. k) Wykaż, że istnieje nieskończenie wiele liczb trójkątnych będących kwadratami. 4.Liczby1,5,12,22,35,...nazywamypentagonalnymi. a) Wyjaśnij, skąd bierze się ich nazwa. b) Znajdź wzór na n-tą liczbę pentagonalną. c) Jaki związek zachodzi pomiędzy liczbami pentagonalnymi a trójkątnymi?

2 Lista 2-Podzielność i algorytm Euklidesa 1. Znajdź największy wspólny dzielnik i najmniejszą wspólną wielokrotność liczb: a)99i51; b)123i456; c)1234i567; d)121212i Korzystając z odwrotnego algorytmu Euklidesa przedstaw największy wspólny dzielnik podanych liczb jako ich całkowitą kombinację: a)119i272; b)1769i Przedstaw największy wspólny dzielnik liczb 198, 288 i 512 jako ich całkowitą kombinację liniową. 4. Uzasadnij, że sąsiednie liczby Fibonacciego są względnie pierwsze. 5. Znajdź największy wspólny dzielnik liczb: a) oraz ; b) oraz Załóżmy, że liczby a, b są względnie pierwsze. Jaką wartość może przyjmować największy wspólny dzielnik liczb: a)a+bia b; b)2a+bia+2b; c)a+bia 2 +b 2 ; d)a+bia 2 ab+b 2 ; e)a+biab; f)a n ib n. 7. Wykaż, że prawie wszystkie liczby naturalne dadzą się przedstawić w postaci całkowitej nieujemnej kombinacji liczb 6, 10 i Znajdźprostywzórnanajwiększywspólnydzielnikliczb2 k 1oraz2 m 1. 9.Jakiewartościmożeprzyjmowaćnajwiększywspólnydzielnikliczb2 n oraz ( ) 2n n? 10. Wykaż, że dwie liczby znajdujące się w tym samym wierszu trójkąta Pascala są względnie pierwsze tylko wtedy, gdy któraś z nich jest jedynką. ( )( ) ( )( ) n k n n m Wsk. Skorzystaj z tożsamości =. k m m k m 11.*Załóżmy,żenajwiększymwspólnymdzielnikiemliczba 1,a 2,...,a k jest1. Wykaż, że prawie wszystkie liczby naturalne dadzą się przedstawić w postaci ich całkowitej nieujemnej kombinacji.

3 Lista 3-Liczby pierwsze(po raz pierwszy) 1. Korzystając z sita Eratostenesa znajdź wszystkie liczby pierwsze pomiędzy 150 a Znajdź: a) wszystkie liczby pierwsze pomiędzy 1000 a 1010; b) największą liczbę pierwszą poniżej Hipoteza Goldbacha głosi, że każda liczba parzysta większa od 4 jest sumą dwu liczb pierwszych. a) Sprawdź hipotezę Goldbacha dla liczb parzystych pomiędzy 900 a b) Pokaż, że z hipotezy Goldbacha wynika, że każda liczba nieparzysta większa od 5 jest sumą trzech liczb pierwszych. 4. Analizując dowód Euklidesa wykaż, że n-ta liczba pierwsza spełnia nierówność p n <2 2n.Wykaż,żeponiżej2 2n jestprzynajmniejn+1liczbpierwszych. 5. Pokaż, że dla dowolnego n istnieje ciąg n kolejnych liczb złożonych. 6.LiczbamiFermatanazywamyliczbypostaciF n =2 2n +1. a)znajdźwzórnaf 0 F 1...F n. b) Wykaż, że liczby Fermata są parami względnie pierwsze. c) Wyprowadź stąd kolejny dowód istnienia nieskończenie wielu liczb pierwszych. 7. Dokończ poniższy dowód Stieltjesa(1890) istnienia nieskończenie wielu liczb pierwszych. Załóżmy,żeistniejetylkoskończeniewieleliczbpierwszychp 1,p 2,...,p n.podzielmy ten zbiór na dwie niepuste części. Niech a będzie iloczynem liczb pierwszychnależącychdojednejztychczęści,b-drugiej.rozważmym=a+b... 8.Niechp n oznaczan-taliczbępierwszą.pokaż,żedlanieskończeniewielunzachodzinierównośćp n <n 2. 9.Wykaż,że 3jestliczbąniewymierną. 10.Wykaż,że njestliczbąwymiernąwtedyitylkowtedy,gdykażdyczynnik pierwszy n występuje w parzystej potędze. 11.Rozważmyzbiórliczbnaturalnychpostaci4n+1:1,5,9,13,...Liczbęz tegozbioru,większąod1nazwiemy pierwszą,jeśliniemaonawtymzbiorze nietrywialnych dzielników. a) Znajdź 10 początkowych liczb pierwszych. b) Pokaż, że w zbiorze tym nie zachodzi twierdzenie o jednoznaczności rozkładu. c) Spróbuj powtórzyć dowód twierdzenia o jednoznaczności. W którym miejscu się on załamuje? 12. Ciało nazywamy algebraicznie domkniętym, jeżeli każdy wielomian o współczynnikachztegociałaróżnyodstałejmawnimpierwiastek.wykaż,żeciało skończone nie może być algebraicznie domknięte.

4 Lista 4-Kongruencje, MTF i twierdzenie Wilsona 1. Nie korzystając z kalkulatora itp. oblicz: a)2 100 mod7; b)3 200 mod13;c)7 111 mod15; d) mod35. 2.Oblicz:a)10 1 mod111; b)51 1 mod169; c) mod Czy prawdą jest, że dla liczby pierwszej p zachodzi wynikanie 4.Znajdźostatnietrzycyfryliczby a n b n modp a bmodp? Wsk.:7 4n (1+400) n 1+400nmod Znajdźresztęzdzielenia:99!:a)przez101;b)przez Podaj piątą kartę w sztuczce z kartami, gdy pierwszymi czterema były kolejno: a)aspik,królpik,damapik,waletpik; b)damapik,trójkapik,siódemkapikiaspik. 7. Udowodnij MTF dla dodatnich a korzystając z indukcji matematycznej i wzoru Newtona. 8.Udowodnij,żedlaliczbpierwszychpzachodzi(p 2)! 1 modp. 9.Jakiewartościprzyjmujefunkcjaf(n)=(n 1)! modn? 10. Wykaż, że istnieje nieskończenie wiele liczb złożonych postaci n! Wykaż, że dla nieparzystej liczby pierwszej p zachodzą kongruencje: a) (p 2) 2 ( 1) p+1 2 mod p; b) (p 1) 2 ( 1) p+1 2 mod p.

5 Lista 5-Twierdzenie Czebyszewa 1. Twierdzenie Czebyszewa głosi, że pomiędzy n a 2n jest liczba pierwsza. KorzystającztwierdzeniaCzebyszewapokaż,żep n <2 n. 2. Wykaż, że dla dowolnej liczby naturalnej n istnieje liczba pierwsza mająca zapis dziesiętny długości n. Analogicznie dla zapisu binarnego. 3.UdowodnijtwierdzenieCzebyszewadlan Uwaga: Możesz korzystać z dostępnych tablic liczb pierwszych, ale sam dowód musi być dość krótki. 4.Ustawmyliczby1,2,...n 2 wtablicę n n+1 n+2 n n 2n+1 2n+2 2n n (n 1)n+1 (n 1)n+2 (n 1)n+3... n 2 HipotezaSierpińskiegogłosi,żedlan 2wkażdymwierszutakiejtablicywystępuje przynajmniej jedna liczba pierwsza. Wykaż, że z hipotezy Sierpińskiego wynika: a) twierdzenie Czebyszewa; b) hipoteza Legendre a: pomiędzy kolejnymi kwadratami występuje liczba pierwsza. c) hipoteza głoszącą, że pomiędzy kolejnymi sześcianami są przynajmniej dwie liczby pierwsze. 5.*Wykaż,żedlan 2zbiórliczb1,2,...,2nmożnazawszerozbićnanpar takich,żesumakażdejparyjestliczbąpierwszą?np.dlan=2mamy1-4,2-3, dlan=3mamy1-6,2-5,3-4,adlan=41-6,2-5,3-8, *KorzystającztwierdzeniaCzebyszewawykaż,żedlan>1sumaharmoniczna nie jest liczbą całkowitą n

6 Lista 6-Rozmieszczenie liczb pierwszych 1. Twierdzenie Dirichleta głosi, że jeżeli liczby naturalne a, r sa względnie pierwsze, to istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych postaci a + nr. Korzystając z twierdzenia Dirichleta wykaż, że istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych: a) postaci n; b) kończących się układem Wyjaśnij, skąd wzięły się liczby w tych przykładach. 2. Wykaż, że jeżeli jakiś ciąg arytmetyczny nieskończony o wyrazach naturalnych zawiera dwie liczby pierwsze, to zawiera ich nieskończenie wiele. 3.Czebyszewwykazał,że0,89n/lnn<π(n)<1,11n/lnn. a) Wykaż, że z oszacowania tego wynika twierdzenie Czebyszewa. b) Czy z oszacowania podanego na wykładzie wynika, że dla prawie wszystkich n istnieje liczba pierwsza pomiędzy n a 3n? 4. Korzystając z twierdzenia o rozmieszczeniu liczb pierwszych wykaż, że dla prawie wszystkich n: a) zachodzi twierdzenie Czebyszewa; b) istnieje liczba pierwsza pomiędzy 2n a 3n. 5.Czyprawdąjest,żedlaodpowiedniodużychnpomiędzyn 2 anjestprzynajmniej n liczb pierwszych? 6. Wykaż, że dla liczby naturalnej n zachodzi nierówność π(n 1) n 1 < π(n) n wtedyitylkowtedy,gdynjestliczbapierwszą. 7.Wykaż,że π(2n) π(n) lim n π(n) =1. Wyglądanato,żewprzedziałach[1,n]oraz[n+1,2n]jestzgrubszapotyle samoliczbpierwszych.czyniematusprzeczności,ztym,żewrazzewzrostem n liczby pierwsze występują coraz rzadziej? 8.Jakzdefiniowaćcharakteryχorazχ 0,abywykazaćmetodąDirichleta,żeistnieje nieskończeniewieleliczbpierwzychpostaci3n+1,atakże3n+2? 9.*Wykaż,że p >lnlnp 1 2. Spróbuj podać podobne oszacowanie z góry. 10.* Czy każda skończona kombinacja cyfr(nie zaczynająca się zerem) może być początkiem liczby pierwszej?

7 Lista 7-Twierdzenie Eulera i pierwiastki pierwotne 1.Obliczϕ(n)dla:a)n=1001;b)111111; c)555555; d) Wyraź ϕ(666) za pomocą samych szóstek. 3. Znajdź kres górny i kres dolny zbioru liczb postaci ϕ(n)/n. 4. Jaki zachodzi związek pomiędzy ϕ(2n) a ϕ(n)? 5. Wykaż, że równanie ϕ(n) = n/3 ma nieskończenie wiele rozwiązań. 6. Wykaż, że jedyną nieparzystą wartością funkcji Eulera jest liczba Udowodnij twierdzenie Eulera: a) małpując dowód MTF z wykładu; b) korzystając z twierdzenia Lagrange a o rzędzie podgrupy. 8.Czyistniejepierwiastekpierwotnydla:a)n=12;b)18;c)27? 9.Znajdź jakikolwiek pierwiastek pierwotny Z 29. Korzystając z niego znajdź wszystkie pozostałe. 10.IlejestpierwiastkówpierwotnychwZ 101? 11. Wykaż, że jeśli r jest pierwiastkiem pierwotnym dla liczby pierwszej p, to r p modp. 12. Uzupełnij dowód twierdzenia Wilsona: Niech r będzie pierwiastkiem pierwotnym modulo p. Wówczas (p 1)! r (p 1) mod p Korzystając z twierdzenie Eulera wykaż, jeśli n jest liczbą nieparzystą niepodzielną przez 5, to pewna jej krotność ma zapis złożony z samych jedynek. Uwaga: Podobny wynik można uzyskać za pomocą zasady szufladkowej. 14. Uzasadnij, że dla liczb pierwszych p długość okresu w rozwinięciu dziesiętnym liczby1/pjestdzielnikiemliczbyp Niech p będzie nieparzystą liczbą pierwszą. Wykaż, że suma 1 n +2 n +...+(p 1) n jestrówna0bądź 1.Wsk.Jeżelip 1niedzielin,arjestpierwiastkiem pierwotnymdlap,tożądanasumamodulopjestrówna 1+r n +r 2n +...+r (p 2)n. 16.* Oblicz wyznacznik nwd(1,1) nwd(1,2)... nwd(1,n) nwd(2,1) nwd(2,2)... nwd(2,n) nwd(n,1) nwd(n,2)... nwd(n,n) 17.* Wykaż, że dla dowolnej nieparzystej liczby pierwszej istnieją pierwiastki pierwotnemodulop k oraz2p k.

8 Lista 8-RSA i inne protokoły kryptograficzne 1. Znajdź logarytm dyskretny modulo 73, przy podstawie 5 z liczb: a)7;b)49;c)51. 2.WceluuzgodnieniakluczaAlaiBartekuzgodnililiczbyp=37orazg=2Ala przesłała Bartkowi liczbę 27, Bartek Ali 17. Znajdź uzgodniony klucz. 3.RozważmyRSAdlan=143,e=7. a)wyślijdoaliwiadomośćm=100. b)znajdźklucztajnyd. c) Pokaż rachunki, jakie trzeba przeprowadzić dla odszyfrowania wiadomości. 4.Rozłóżn=35143naczynnikiwiedząc,żejestonailoczynemdwuliczbpierwszych,aφ(n)= WkryptosystemieElGamalaAlawybieraliczbępierwszap=31inajmniejszy pierwiastek pierwotny. Jako swój klucz prywatny wybrała liczbę 13. Bartek chcąc wysłać jej wiadomość wysyła jej: c 1 =19, c 2 =8. a) Znajdź klucz jawny Ali, klucz efemeryczny Bartka i przesyłaną wiadomość. b) Ustalmy p, pierwiastek pierwotny g, klucz tajny Ali a oraz efemeryczny Bartka k.czydowolnaparaliczb(c 1,c 2 )mniejszychodwybranejliczbypierwszejp odpowiada jakiemuś przekazowi? 6.Bartek,abywysłaćwiadomośćmdoAlimożewysłaće A (m),gdziee A klucz jawnyali.jednakzdecydowałsięnawysłaniedwuwiadomości:e A (m)oraz d B (m).czemutosłuży? 7.Alabudujeszyfrplecakowyprzyjmujączaciągsuperrosnący1,3,7,15,31,70, aponadton=200,a=31. a) Podaj ciąg liczb stanowiących publiczny klucz Ali. b) Wyślij do niej wiadomość c) Pokaż rachunki, jakie musi wykonać Ala, aby odczytać przekaz. 8. Pokaż, jak za pomocą drobnej modyfikacji RSA można symulować przez telefon rozdawanie kart. Dla uproszczenia przyjmijmy, że każdy z dwu graczy ma dostać po2kartyspośród Jak stworzyć podpis elektroniczny w kryptosystemie El Gamala?

9 Lista 9-Rozpoznawanie pierwszości i faktoryzacja 1. Wykaż, że liczba jest liczbą Carmichaela, tzn. dla dowolnego a względnie pierwszego z zachodzi kongruencja a φ(41041) 1 mod Zastosuj a-test Millera-Rabina do liczby n: a)n=101,a=2;b)n=143,a=12;c)n=209,a=56. Czy wynik jest pewny, czy tylko prawdopodobny? 3. Dla jakich a względnie pierwszych z 33 liczba ta jest silnie pseudopierwsza przy podstawie a? 4. Rozłóż na czynniki za pomocą algorytmu Fermata: a)8858;b)53357;c) Uwaga: Można wykorzystywać kalkulator z tablicowaniem funkcji, ale nie możesz stosować próbnego dzielenia. 5.Czyzdanych , , mod1633można wywnioskować rozkład 1633 na czynniki? 6. Znajdź nietrywialny dzielnik N za pomocą algorytmu Dixona wykorzystując podane informacje: a)n=61063, b)n=52097, mod61063, mod mod52907, mod52907, mod52907, mod Rozłóż za pomocą algorytmu ρ-pollarda: a) 221. b) Metodąp 1Pollardaznajdźnietrywialnydzielnikliczby:a)77;b)247;c) Wyjaśnij, dlaczego w algorytmie ρ-pollarda można zakładać, że odpowiednia paramapostaćx 2i x i. 10. Wykaż, że potęga liczby pierwszej nie jest liczbą Carmichaela. 11. Wykaż, że żadna liczba parzysta nie jest liczbą Carmichaela. 12. Wykaż, że każda liczba Carmichaela ma przynajmniej trzy dzielniki pierwsze,

10 Lista 10-Chińskie twierdzenie o resztach 1. Rozwiąż układ kongruencji: a)x 1 mod3, x 2 mod5, x 3 mod7; b)2x 1 mod5, 3x 9 mod6, 4x 1 mod7,5x 9 mod Gdy z koszyka wyjmujemy każdorazowo 2 jajka zostaje w nim jedno. Podobnie, gdykażdorazowowyjmujemy3,4,5albo6jajek.gdywyjmujemypo7jajek, koszyk w końcu okazuje się pusty. Znajdź minimalna liczbę jajek w koszyku. 3. Banda 17 piratów zdobyła worek jednakowych złotych monet. Przy próbie podziału po równo zostały 3 monety. Rozgorzał spór, w wyniku którego jeden z piratów stracił życie. Podjęto kolejną próbę podziału, ale tym razem zostało 10 monet. I znów doszło do zaciętej polemiki, po której liczba piratów zmalała do 15. Teraz już równy podział nie stwarzał matematycznych problemów. Znajdź minimalną liczbę monet. 4. Rozwiąż układ kongruencji 5x+3y 1 mod7, 7x+3y mod Pokryciem N nazywamy zbiór kongruencji liniowych takich, że każda liczba naturalna jest rozwiązaniem jednej z nich. Sprawdź, czy układ x 0mod2, x 0mod3, x 1mod4, x 5mod6, x 7mod Pokaż, jak wywnioskować z CTR, że istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych. 7. Niech M i =(M/m i ) ϕ(m i). Uzasadnij,żeM i 1modm i iwyprowadźstądnowydowódctr. 8.* Znajdź logarytm dyskretny modulo 1009 przy podstawie 11 z liczby 107. Oczywiście nie można korzystać z czystego potęgowania(po 1008 krokach na pewno się ten logarytm znajdzie). 9.** Pokrycie N(p. zad. 5) nazywamy dokładnym, gdy każda liczba jest rozwiązaniem tylko jednej kongruencji. Wykaż, że w pokryciu dokładnym dwa największe moduły są równe.

11 Lista 11- Reszty kwadratowe i prawo wzajemności 1. Jaką cyfrą może kończyć się: a) kwadrat liczby naturalnej; b) sześcian liczby naturalnej; c) liczba trójkątna? 2. Korzystając z lematu Gaussa zbadaj, czy 26 jest resztą kwadratową mdulo Niechp>5będzieliczbąpierwszą.Uzasadnij,żeprzynajmniejjednazliczb2, 3oraz6jestresztąkwadratowąmodulop. 4. Oblicz wartość symbolu Legendre a: a) ( ) 51 ; b) 67 ( ) 333 ; c) 911 ( ) Rozważ którykolwiek z przypadków(pominiętych na wykładzie) wyprowadzenia wzoru na(3/p). 6. Sprawdź, że symbol Jacobiego(2/585) = 1. Czy 2 jest resztą kwadratową modulo 585? 7.Wykaż,żeliczbapostaci niejestpełnymkwadratem. 8.Dlajakichliczbnaturalnychn 1suma1!+2!+3!+...+n!jestkwadratem? 9. Niech p będzie nieparzystą liczba pierwszą. Wykaż, że ( ) 3 = p { 1,jeżelip 1mod6; 1,jeżelip 5mod6. Wywnioskuj stąd, że istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych postaci 6k Udowodnij prawo wzajemności dla symbolu Jacobiego.

12 Lista 12- Twierdzenie Lagrange a 1. Przedstaw w postaci sumy czterech kwadratów liczb naturalnych liczby: a)19;b)21;c)399;d) Na ile sposobów mozna przedstawić w postaci sumy dwu kwadratów liczbę 2550? 3. Znajdź najmniejszą liczbę naturalną k > 1 taką, że dla pewnego naturalnego n n 2 =k 2. 4.Pokaż,żeliczbypostaci8k+7;niedasięprzedstawićwpostacisumytrzech kwadratów. 5. Przedstaw liczbę 454 w postaci sumy ośmiu sześcianów. Przypuszcza się, że każdą większą od niej można przedstawić w postaci 7 sześcianów. 6. Zgodnie z twierdzeniem Waringa-Hilberta dla każdej liczby naturalnej k istnieje liczba g(k) taka, że dowolna liczba naturalna da się przedstawić w postaci g(k) k-tych potęg. Pokaż, że: a)g(2)=4; b)g(3) 9; c)*g(k) [(3/2) k ]+2 k Przedstaw w postaci sumy trzech liczb trójkątnych(wliczając w to zero): a)100;b) Każda liczba naturalna jest sumą trzech liczb trójkątnych(gauss 1796), jest też sumą czterech kwadratów(lagrange 1770). Jak brzmi kolejne z serii pokrewnych twierdzeń? Podaj sens użytych terminów. 9.* Wywnioskuj twierdzenie Lagrange e o sumie czterech kwadratów z twierdzenia Gaussa o sumie liczb trójkątnych. 10.*Wykaż,żedladowolnegonliczbanlub2ndajesięprzedstawićwpostacisumy trzech kwadratów. Wsk.: Liczba naturalna daje się przedstawić w postaci sumy trzech kwadratów wtedyitylkowtedy,gdyniejestpostaci4 m (8k+7).Dowódwjednąstronęjest trudny.

13 Lista 12-Równania diofantyczne 1. Znajdź wszystkie pierwotne trójki pitagorejskie tworzące ciąg arytmetyczny. 2.Wykaż,żejeżelix,y,zsatrójkąpitagorejską,topośródnichjestliczbapodzielna przez3,podzielnaprzez4ipodzielnaprzez5. 3. Istnieje tylko jedna para nietrywialnych potęg złożona z kolejnych liczb naturalnych. Znajdź tę parę. 4.KorzystajączWTFwykaż,że 3 2jestliczbąniewymierną.Czypotrafiszwykazać wtensposóbniewymierność 3 3?Lubinnenieoczywistemodyfikacje. 5.Fermatwykazał,żex 4 +y 4 =z 2 niemarozwiązańwdodatnichliczbachnaturalnych.wywnioskujstąd,że 2jestliczbąniewymierną. 6.Każdazdwuurnzawieratęsamąliczbękul,częśćznichbiała,częśćczarna.Z każdej z tych urn losujemy n krotnie ze zwracaniem jedna kulę. a)pokaż,żeprzyn=2możnatakdobraćzawartościurn,abyprawdopdobieństwo, iż wszystkie kule wyciągnięte z I urny są białe było równe prawdopodobieństwu, że wszystkie kule wylosowane z II urny mają ten sam kolor(wszystkie czarne albo wszystkie białe). b)czymożnatoosiągnąćprzyn>2? 7.Pokaż,zerównaniex 2 +y 2 =z 3 manieskończeniewielerozwiązańwliczbach całkowitych. 8.Znajdźminimalnenietrywialnerozwiązanierównańx 2 ny 2 =1dlan=11, n= Niech rad(n) oznacza iloczyn wszystkich dzielników pierwszych liczby n. Hipotezaabcgłosi,zedladowolnegoε>0istniejestałaK ε taka,że c<k ε (rad(abc)) 1+ε dla dowolnych naturalnych a, b, c względnie pierwszych spełniających równość a+b=c.wykaż,żezhipotezyabcwynikaprawdziwośćwtfdlaprawie wszystkich n. Wsk.Możeszprzyjąćε= Wykaż, że pole trójkąta pitagorejskiego nie może być pełnym kwadratem. 11. Znajdź trójkąt prostokątny o bokach wymiernych i polu ** Udowodnij, że zbiór dodatnich wartości wielomianu 2y x 4 y 2x 3 y 2 +x 2 y 3 +2xy 4 y 5 pokrywa się ze zbiorem liczb Fibonacciego.