Wzory skróconego mnożenia w zadaniach olimpijskich

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Wzory skróconego mnożenia w zadaniach olimpijskich"

Transkrypt

1 Wzory skróconego mnożenia w zadaniach olimpijskich Jacek Dymel Bardzo często uczniowie wyrażają taką opinię, że do rozwiązywania zadań olimpijskich niezbędna jest znajomość wielu skomplikowanych metod, zaawansowanych teorii oraz sprytnych twierdzeń. Częściowo jest to prawdą, gdyż uczeń, który zna większą liczbę tricków olimpijskich ma większą szansę na rozwiązanie zadania. Jednakże czasami zbyt duża wiedza prowadzi na manowce: rozwiązanie opiera się na typowej wiedzy szkolnej, a tymczasem uczeń szuka skomplikowanego rozwiązania. Dobrym przykładem opisanego zjawiska są zadania olimpijskie, które można rozwiązać wykorzystując właściwie tylko wzory skróconego mnożenia. Zaprezentowane poniżej zadania pochodzą z olimpiad matematycznych. Na początku przedstawimy wzory skróconego, które będziemy wykorzystywać do rozwiązywania zadań. Niech n będzie liczbą naturalną. a 4n + b 4n = (a n + a n b n + b n )(a n a n b n + b n ) (a + b) n = n a n b n = (a b) ( ) n a k b n k k k=0 ( n 1 ) a k b n k 1 k=0 Jeżeli n jest liczbą nieparzystą zachodzi wzór: ( n 1 ) a n + b n = (a + b) ( 1) k a k b n k 1 k=0 1

2 1. Zadanie 1 z I etapu 1. OMG Dowieść, że = 1 Sposób I zadania polega na dostrzeżeniu możliwości zapisania wyrażeń podpierwiastkowych jako kwadratów innych wyrażeń. Pierwsze i trzecie wyrażenie można zapisać następująco: 3 8 = (1 ) = 1 = = = ( 3) = 3 = 3 Analogicznie można postąpić ze środkowym wyrażeniem: Wówczas: 5 4 = ( 3) = 3 = = = 1 Sposób II Na początek pokażemy następujący: Lemat Jeżeli a, b 0 oraz a b, to a a + a b = b a a b

3 Dowód a a (a b = a b) = 4 a + a b a + a b a a b + a a b a + a b a a b = = a + a b a a b. Korzystając z Lematu otrzymujemy: = = = = 1 = 3 = 3 Wówczas: = = 1. Zadanie 4 z I etapu 1. OMG Wyznaczyć wszystkie rozwiązania układu równań 5x + 9y = 1yz 9y + 4z = 0xz 4z + 5x = 30xy 3

4 w liczbach rzeczywistych x, y, z. Dodajmy stronami wszystkie trzy równania układu. Otrzymujemy 50x + 18y + 8z = 1yz + 0xz + 30xy, a po wykorzystaniu wzorów skróconego mnożenia dostaniemy: (5x 30xy + 9y ) + (5x 0xz + 4z ) + (9y 1yz + 4z ) = 0 (5x 3y) + (5x z) + (3y z) = 0 Zatem jeżeli liczby (x, y, z) są rozwiązaniem danego układu równań, to 5x = 3y = z. Zatem rozwiązaniem równania jest trójka liczb x = t, y = 5t, z = 5 t, gdzie t R. Pozostaje sprawdzić, że podane 3 trójki liczb spełniają także układ równań dany w zadaniu. 3. Zadanie 1 z II etapu. OMG Wyznacz wszystkie trójki (a, b, c) liczb rzeczywistych spełniajace układ równań: { a + b + c = 3 a + b + 4c =. Po pomnożeniu drugiego równania przez odejmujemy je od pierwszego uzyskując równanie: a a + b 4b + c 8c + 1 = 0 które po zastosowaniu wzorów skróconego mnożenia przyjmuje postać: (a 1) + (b ) + (c 4) = 0 Jedynym rozwiązaniem rzeczywistym tego równania jest trójka liczb (1,, 4), która jednak nie jest rozwiązaniem wyjściowego układu równań. Układ równań nie ma zatem rozwiązań w liczbach rzeczywistych. 4

5 4. Zadanie z I etapu 4. OMG Dany jest prostopadłościan o podstawie kwadratowej. Przekątna tego prostopadłościanu ma długość d, a jego pole powierzchni jest równe b. Oblicz sumę długości wszystkich krawędzi prostopadłościanu. Niech x, x, y oznaczają długości boków prostopadłościanu. Wówczas na podstawie danych z zadania zachodzą związki: x + y = d x + 4xy = b. Dodając stronami powyższe równania otrzymujemy: Po przekształceniach dostajemy 4x + 4xy + y = d + b. (x + y) = d + b co daje x + y = d + b. Zatem suma krawędzi prostopadłościanu jest równa: 4 d + b. 5. Zadanie 1 z I etapu 50. OM Dowieść, że wśród liczb postaci 50 n + (50n + 1) 50, gdzie n jest liczbą naturalną, występuje nieskończenie wiele liczb złożonych. Sposób 1 Niech n = 5k, gdzie k jest dodatnią liczba naturalną. Wówczas liczba 50 n + (50n + 1) 50 = (50 k ) 5 + ((50n + 1) 10 ) 5 jest sumą piątych potęg liczb naturalnych dodatnich. Ponieważ 1 < 50 k + (50n + 1) 10 < (50 k ) 5 + ((50n + 1) 10 ) 5, liczba 50 n + (50n + 1) 50 nie jest pierwsza. Sposób Można zauważyć, że jeżeli n = 6k + 3, gdzie k jest dodatnią liczbą naturalną, to 50 6k+3 1 (mod 3) i (50(6k + 3) + 1) 50 1 (mod 3). Zatem 50 6k+3 + (50(6k + 3) + 1) 50 0 (mod 3), co oznacza, że liczba postaci 50 6k+3 + (50(6k + 3) + 1) 50 jest złożona. 5

6 6. Zadanie 5 z II etapu 33. OM Niech q będzie liczbą parzystą dodatnią. Dowieść, że dla każdej liczby naturalnej n liczba q (q+1)n + 1 dzieli się przez (q + 1) n+1, ale nie dzieli się przez (q + 1) n+. Dowód przeprowadzimy korzystając z zasady indukcji matematycznej. Twierdzenie jest prawdziwe dla n = 0, gdyż (q + 1) 1 (q + 1) i (q + 1) (q + 1). Chcemy pokazać, że dla każdej naturalnej liczby n zachodzi implikacja: jeżeli (q + 1) n+1 (q (q+1)n + 1) (q + 1) n+ (q (q+1)n + 1), to Dowód (q + 1) n+ (q (q+1)n+1 + 1) (q + 1) n+3 (q (q+1)n+1 + 1). Ponieważ q + 1 jest nieparzystą liczbą naturalną, możemy skorzystać ze wzoru skróconego mnożenia: q (q+1)n = q (q+1)n (q+1) + 1 = (q (q+1)n + 1) ( q (q+1)nq q (q+1)n (q 1) +... q (q+1)n + 1 ) = (q (q+1)n +1) ( (q (q+1)nq 1) (q (q+1)n (q 1) + 1) +... (q (q+1)n + 1) + (q + 1) ) Suma (q (q+1)nq 1) (q (q+1)n (q 1) + 1) +... (q (q+1)n + 1) jest różna od zera, a każdy składnik tej sumy (na podstawie założenia indukcyjnego) jest podzielny przez (q + 1) n+1. Zatem wyrażenie (q (q+1)nq 1) (q (q+1)n (q 1) + 1) +... (q (q+1)n + 1) + (q + 1) jest podzielne przez (q+1) i nie jest podzielne przez (q+1). Z założenia indukcyjnego wynika także, że (q + 1) n+1 (q (q+1)n + 1) (q + 1) n+ (q (q+1)n + 1). 6

7 Z powyższych dwóch faktów wynika prawdziwość tezy indukcyjnej Na podstawie zasady indukcji matematycznej udowodniliśmy tezę zadania. 7. Zadanie z IV Austriacko-Polskich Zawodów Matematycznych Wykazać, że jeśli a > 3 jest liczbą całkowitą nieparzystą, n liczbą naturalną, to liczba a n 1 dzieli się przez co najmniej n+1 różnych liczb pierwszych. Zauważmy na początek, że a n 1 = (a 1)(a + 1)(a + 1)(a + 1)...(a n 1 + 1)., a +1 n 1 +1 Ponieważ a 1 (mod ) oraz a 1 (mod 4), liczby a +1,..., a są nieparzyste oraz liczby a 1 i a+1 są względnie pierwsze. Do dowodu tezy zadania wystarczy pokazać, że liczby a 1, a+1, a +1, a +1,..., a są parami względnie pierwsze. Przyjmijmy, że k, l N, k > l. Zauważmy, że a k + 1 = (a k 1) + = ((a l ) k l 1) + = (a l 1)(a l + 1)((a l ) + 1)...((a l ) k l 1 + 1) + n 1 +1 Zatem największym wspólnym dzielnikiem liczb a k + 1, a l + 1 jest, czyli liczby ak +1 Z równości, a l +1 są względnie pierwsze. a k + 1 = (a k 1) + = (a 1)(a + 1)(a + 1)(a 4 + 1)...(a k 1 + 1) + wynika, że dla każdej liczby naturalnej dodatniej k największym wspólnym dzielnikiem liczb a k + 1, a 1 jest. Zatem liczby ak +1 względnie pierwsze, a 1 są 8. Jeżeli P (x) jest wielomianem o współczynnikach całkowitych, to dla dowolnych, różnych liczb całkowitych a i b zachodzi warunek: (a b) (P (a) P (b)) 7

8 . Dowód Niech P (x) = a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0, gdzie a n, a n 1,..., a 1, a 0 są liczbami całkowitymi. Wówczas P (a) P (b) = a n (a n b n ) + a n 1 (a n 1 b n 1 ) a 1 (a 1 b 1 ). Ponieważ (a b) (a k b k ), gdy k N +, więc (a b) (P (a) P (b)). 9. Zadanie 1 z II etapu 46. OM Wielomian P (x) ma współczynniki całkowite. Udowodnić, że jeżeli liczba P (5) dzieli się przez, liczba P () dzieli się przez 5, to liczba P (7) dzieli się przez 10. Z założenia liczba P (5) dzieli się przez oraz z faktu (7 5) (P (7) P (5)) (na podstawie zadania 9) otrzymujemy, że P (7) dzieli się przez. Z założenia liczba P () dzieli się przez 5 oraz z faktu (7 ) (P (7) P ()) (na podstawie zadania 9) otrzymujemy, że P (7) dzieli się przez 5. Wobec powyższych faktów otrzymujemy tezę. 10. Zadanie 9 z I etapu 47. OM Wielomian o współczynnikach całkowitych daje przy dzieleniu przez wielomian x 1x + 11 resztę 990x 889. Wykazać, że wielomian ten nie ma pierwiastków całkowitych. Rozważany wielomian ma postać: P (x) = (x 1)(x 11)Q(x) + (990x 889), gdzie Q(x) jest pewnym wielomianem. Przypuśćmy dla dowodu nie wprost, że x 0 jest pierwiastkiem całkowitym P (x). Wykorzystując zadanie 8 zauważamy, że (1 x 0 ) (P (1) P (x 0 )) oraz (11 x 0 ) (P (11) P (x 0 )). Zatem (1 x 0 ) P (1) oraz (11 x 0 ) P (11). Jednocześnie ze wzoru P (x) = (x 1)(x 11)Q(x) + (990x 889) 8

9 otrzymujemy: P (1) = 101 oraz P (11) = Liczba 101 jest liczbą pierwszą. Ponieważ (1 x 0 ) 101, x 0 może być jedną z liczb: 100, 0,, 10. Wówczas (11 x 0 ) przyjmuje wartości: 91, 9, 11, 111. Jednakże żadna z tych liczb nie jest dzielnikiem liczby = Zadanie 1 z II etapu 56. OM Wyznaczyć wszystkie dodatnie liczby całkowite n, dla których n n + 1 oraz (n) n + 1 są liczbami pierwszymi. Niech x, m 1 będą liczbami całkowitymi. Niech m = ld, gdzie l jest liczbą nieparzystą i d liczbą całkowitą dodatnią. Wówczas x m + 1 = (x d ) l + 1 = (x d + 1) ((x d ) l 1 (x d ) l +... x d + 1) Z powyższego wzoru wynika, że liczba x d + 1 jest dzielnikiem liczby x m + 1. Dla l > 1 dzielnik ten jest większy od 1 i mniejszy od x m + 1. Zatem liczba x m + 1 jest złożona. Liczba n = 1 spełnia warunki zadania: liczby =, + 1 = 5 są liczbami pierwszymi. Załóżmy więc w dalszej części rozumowania, że n. Jeżeli liczba n n + 1 jest liczbą pierwszą, to n nie ma dzielników nieparzystych większych od 1. Stąd wynika, że n = k dla pewnej liczby całkowitej dodatniej k. Wówczas n n + 1 = k k + 1 oraz (n) n + 1 = (k+1) k Dla k co najmniej jedna z liczb k k, (k + 1) k+1 ma dzielnik nieparzysty większy od 1, a więc co najmniej jedna z liczb n n + 1, (n) n + 1 jest złożona. Sprawdźmy jeszcze, że n = spełnia warunki zadania: + 1 = 5, ( ) + 1 = 57 są liczbami pierwszymi. Trudności W wyniku analizy ocen za rozwiązanie zadania 1, jakie uzyskali uczestnicy zawodów drugiego stopnia 56 Olimpiady Matematycznej, możliwe są następujące obserwacje: 9

10 6 pkt. 5 pkt. pkt. 0 pkt. t Polska ,89 Uczniowie klasy I ,73 Uczniowie klasy II ,91 Uczniowie klasy III ,9 Tabela 1: Oceny uzyskane za rozwiązania zadania 1 z II etapu 56 OM - podział ze względu na klasę t - współczynnik trudności 1) Zadanie okazało jednym z najtrudniejszych zadań II etapu 56. OM. Współczynnik trudności wyniósł 0,89. ) Uczniowie klas pierwszych zdecydowanie najlepiej radzili sobie z tym zadaniem. Współczynnik trudności dla uczniów klas pierwszych wyniósł 0,73, a dla uczniów klas drugich i trzecich, odpowiednio, 0,91 i 0,9 3) Najlepiej poradzili sobie z zadaniem uczniowie województwa małopolskiego (współczynnik trudności: 0,8). Najsłabiej wypadło w województwach: łódzkim, świętokrzyskim, warmińsko-mazurskim, w których żaden uczeń nie podał dobrego rozwiązania, ani nie miał pomysłu na rozwiązanie zadania. 4) Wśród 57 uczniów, którzy rozwiązali zadanie 1, 44 przeszło do zawodów stopnia trzeciego. Tylko 13 uczniów, którzy zrobili to zadanie, nie przeszło do III etapu. 5) Uczniowie, którzy rozwiązali zadanie 1 uzyskiwali w II etapie średnio 16,98 punktów, a w III etapie średnio 10,08 punktów. Natomiast uczniowie którzy nie rozwiązali zadania 1 uzyskiwali w II etapie średnio 4,4 punktów, a w III etapie średnio 6,16 punktów. Na podstawie powyższych obserwacji można pokusić się o sformułowanie wniosków: 1) Zadanie 1 (jak i pozostałe zadania z II etapu 56 OM) okazało się najłatwiejsze dla uczniów klas pierwszych. Jakie są tego przyczyny? Dobry uczeń klasy drugiej lub trzeciej wysyłający rozwiązania z pierwszego etapu ma większe rozeznanie, gdzie poszukiwać rozwiązań określonego typu zadań i zna lepiej literaturę olimpijską. Uczniowie klas pierwszych na ogół w pierwszych dniach września nie posiadają takiej wiedzy, a także często nie wiedzą o istnieniu Olimpiady Matematycznej, 10

11 6 pkt. 5 pkt. pkt. 0 pkt. t Polska ,89 dolnośląskie ,91 kujawsko-pomorskie ,86 lubelskie ,94 lubuskie ,89 łódzkie małopolskie ,8 mazowieckie ,94 opolskie ,86 podkarpackie ,84 podlaskie ,94 pomorskie ,9 śląskie ,86 świętokrzyskie warmińsko-mazurskie wielkopolskie ,9 zachodniopomorskie ,88 Tabela : Oceny uzyskane za rozwiązania zadania 1 z II etapu 56 OM - podział ze względu na województwo t - współczynnik trudności co powoduje, że tylko nieliczni startują w olimpiadzie. Wśród uczniów klas pierwszych pokutuje opinia, że zawody OM są wyjątkowo trudne i raczej adresowane do uczniów starszych klas liceum. Zatem pierwszoklasista, który zdecyduje się rozwiązywać zadania z etapu pierwszego i dostanie się do etapu drugiego musi się charakteryzować determinacją oraz wyjątkowymi umiejętnościami matematycznymi. Zatem można przyjąć, że pierwszoklasiści, którzy dostają się do etapu drugiego są lepsi od swoich starszych kolegów. ) Treść zadania sugeruje, że chodzi o zadanie z teorii liczb. Uczniowie próbowali stosować za wszelką cenę znane sobie twierdzenia: Fermata, Eulera, Wilsona oraz metody znane np. z kółek czy książek olimpijskich (np. kongruencje). Jednakże żadnemu uczniowi nie udało się rozwiązać zadania w oparciu o tego typu techniki. 1. Wariacja na temat zadania 1 z II etapu 56. OM Znajdź wszystkie liczby naturalne dodatnie n, k, które spełniają warun- 11

12 ki: n k nie jest parzystą potęgą liczby oraz liczby n n + 1 i (kn) kn + 1 są liczbami pierwszymi. Jeżeli k = 1, to n > 1 nie jest parzystą potęgą liczby. Zatem n n + 1 jest liczbą złożoną. Jeżeli k =, to tylko n = 1 spełnia warunki zadania (co wynika z rozwiązania zadania poprzedniego). Jeżeli k > i n = 1, to = jest liczbą pierwszą oraz k nie jest parzystą potęgą liczby. Zatem liczba k k + 1 jest liczbą złożoną. Załóżmy, że n > 1 i k >. Gdy przynajmniej jedna z liczb n, k ma dzielnik nieparzysty większy od 1, to przynajmniej jedna z liczb n n + 1 i (kn) kn + 1 jest złożona. Przyjmijmy zatem, że obie liczby n, k są potęgami liczby. Z warunków zadania wynika, że przynajmniej jedna z liczb n, k jest nieparzystą potęgą liczby. A to oznacza, że przynajmniej jedna z liczb n n + 1 i (kn) kn + 1 jest złożona. Uwaga 1 Jeżeli dopuścimy w tym zadaniu rozważanie liczb naturalnych dodatnich n, k, które spełniają warunek: n k jest parzystą potęgą liczby, to doprowadzi nas do problemu: dla jakich liczb m N liczba Fermata m + 1 jest liczbą pierwszą. Uwaga W 1958 roku Wacław Sierpiński w pracy [] udowodnił, że jeżeli liczba n n + 1 jest pierwsza, to istnieje takie m 0, że n = m, a zatem jest liczbą Fermata. W tej chwili nie wiadomo, czy liczb pierwszych postaci n n + 1 jest skończenie czy nieskończenie wiele. Liczby Fermata Jak wiadomo, jeżeli liczba m + 1 jest pierwsza, to m musi być postaci m = n. Zatem musi być liczbą pierwszą Fermata F n = n + 1. Liczby Fermata F 0 = 3, F 1 = 5, F = 17, F 3 = 57, F 4 = są liczbami pierwszymi. Euler wykazał, że F 5 nie jest liczbą pierwszą, gdyż F 5 = Fakt ten odkrył wykorzystując Twierdzenie Każdy dzielnik liczby F n (gdzie n > 1) musi mieć postać k n

13 Ponieważ czynniki liczb Fermata mają postać k n + 1, interesujące jest pytanie, które z tych liczb są pierwsze, a które złożone. Na podstawie twierdzenia Dirichleta o liczbach pierwszych w ciągach arytmetycznych, dla dowolnej dodatniej liczby naturalnej n istnieje nieskończenie wiele liczb całkowitych dodatnich k, że liczba k n + 1 jest pierwsza. W 198 na olimpiadzie matematycznej w USA pojawiło się następujące 13. Zadanie Wykazać, że istnieje taka liczba naturalna k, że dla każdej liczby naturalnej n liczba k n + 1 jest liczbą złożoną. Dowód: Liczba Fermata 5 +1 jest podzielna przez liczbę pierwszą 641 i nie jest podzielna przez 641. Ponieważ każde dwie liczby Fermata są względnie pierwsze, liczby: f 0 = 0 + 1, f 1 = 1 + 1, f = + 1, f 3 = 3 + 1, f 4 = 4 + 1, f 5 = 641, f 6 = 5 +1 są również względnie pierwsze. 641 Na podstawie twierdzenia chińskiego o resztach istnieje taka liczba k > max{f 0, f 1,.., f 6 } spełniająca warunki: k 1 (mod f i ), gdy i = 0, 1,.., 5, k 1 (mod f 6 ). Wykażemy, że każda liczba postaci k n + 1 jest złożona. Przypadek 1 Niech n = m q, dla m {0, 1,, 3, 4}, a liczba q jest nieparzysta. Wówczas: k n + 1 n + 1 (mod f m ) n + 1 = mq + 1 = (f m 1) q + 1 (f m 1) q + 1 ( 1) q (mod f m ). Przypadek Niech n = 5 q, gdzie liczba q jest nieparzysta. Wówczas: 13

14 k n + 1 n + 1 (mod f 5 ) n + 1 = ( 3 ) q + 1 ( 3 ) q + 1 ( 1) q (mod f 5 ). Przypadek 3 Niech n = 6 q, gdzie liczba q jest liczbą naturalną. k n + 1 n + 1 (mod f 6 ) n 1 = ( 64 ) q 1 ( 64 ) q 1 ( 1) q 1 0 (mod f 6 ). Ponieważ każda liczba k n + 1 > k i jest podzielna przez jedną z liczb f 0, f 1,.., f 6, więc liczba k n + 1 jest złożona dla każdej liczby naturalnej k. W 1960 roku Wacław Sierpiński w pracy [3] udowodnił następujące Twierdzenie Istnieje nieskończenie wiele takich liczb całkowitych nieparzystych k, że liczba k n + 1 jest złożona (dla każdej dodatniej liczby naturalnej n). Liczby k o podanej powyżej własności nazywamy liczbami Sierpińskiego. Literatura [1] Sprawozdania Komitetu Głównego Olimpiady Matematycznej, numery:1-56, Warszawa [] Wacław Sierpiński Sur les nombres premiers de la forme n n + 1, L Enseign Math, 1958 (), 4, s [3] Wacław Sierpiński Sur un problème les nombres k n +1, Elem. d. Math. 15, 1960, s [4] Paulo Ribenboim Mała księga wielkich liczb pierwszych, Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, Warszawa, 1997, s

Przykładowe zadania z teorii liczb

Przykładowe zadania z teorii liczb Przykładowe zadania z teorii liczb I. Podzielność liczb całkowitych. Liczba a = 346 przy dzieleniu przez pewną liczbę dodatnią całkowitą b daje iloraz k = 85 i resztę r. Znaleźć dzielnik b oraz resztę

Bardziej szczegółowo

Zadania do samodzielnego rozwiązania

Zadania do samodzielnego rozwiązania Zadania do samodzielnego rozwiązania I. Podzielność liczb całkowitych 1. Pewna liczba sześciocyfrowa a kończy się cyfrą 5. Jeśli tę cyfrę przestawimy na miejsce pierwsze ze strony lewej, to otrzymamy nową

Bardziej szczegółowo

Jeśli lubisz matematykę

Jeśli lubisz matematykę Witold Bednarek Jeśli lubisz matematykę Część 3 Opole 011 1 Wielokąt wypukły i kąty proste Pewien wielokąt wypukły ma cztery kąty proste. Czy wielokąt ten musi być prostokątem? Niech n oznacza liczbę wierzchołków

Bardziej szczegółowo

Obóz Naukowy Olimpiady Matematycznej Gimnazjalistów

Obóz Naukowy Olimpiady Matematycznej Gimnazjalistów Obóz Naukowy Olimpiady Matematycznej Gimnazjalistów Liga zadaniowa 2012/2013 Seria X (kwiecień 2013) rozwiązania zadań 46. Na szachownicy 75 75 umieszczono 120 kwadratów 3 3 tak, że każdy pokrywa 9 pól.

Bardziej szczegółowo

Maria Romanowska UDOWODNIJ, ŻE... PRZYKŁADOWE ZADANIA MATURALNE Z MATEMATYKI

Maria Romanowska UDOWODNIJ, ŻE... PRZYKŁADOWE ZADANIA MATURALNE Z MATEMATYKI Maria Romanowska UDOWODNIJ, ŻE... PRZYKŁADOWE ZADANIA MATURALNE Z MATEMATYKI Matematyka dla liceum ogólnokształcącego i technikum w zakresie podstawowym i rozszerzonym Z E S Z Y T M E T O D Y C Z N Y Miejski

Bardziej szczegółowo

Kongruencje pierwsze kroki

Kongruencje pierwsze kroki Kongruencje wykład 1 Definicja Niech n będzie dodatnią liczbą całkowitą, natomiast a i b dowolnymi liczbami całkowitymi. Liczby a i b nazywamy przystającymi (kongruentnymi) modulo n i piszemy a b (mod

Bardziej szczegółowo

Indukcja matematyczna

Indukcja matematyczna Indukcja matematyczna 1 Zasada indukcji Rozpatrzmy najpierw następujący przykład. Przykład 1 Oblicz sumę 1 + + 5 +... + (n 1). Dyskusja. Widzimy że dla n = 1 ostatnim składnikiem powyższej sumy jest n

Bardziej szczegółowo

Wykład 4. Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni.

Wykład 4. Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni. Wykład 4 Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni. Twierdzenie 1 Niech m, n Z. Jeśli n > 0 to istnieje dokładnie jedna para licz q, r, że: m = qn + r, 0 r < n. Liczbę r nazywamy resztą z dzielenia

Bardziej szczegółowo

Jarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, zima 2015/16

Jarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, zima 2015/16 Na ćwiczeniach 6.0.205 omawiamy test kwalifikacyjny. Uwaga: Przyjmujemy, że 0 nie jest liczbą naturalną, tzn. liczby naturalne są to liczby całkowite dodatnie.. Sformułować uogólnione cechy podzielności

Bardziej szczegółowo

W. Guzicki Zadanie IV z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 1

W. Guzicki Zadanie IV z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 1 W. Guzicki Zadanie IV z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 1 Zadanie IV. Dany jest prostokątny arkusz kartony o długości 80 cm i szerokości 50 cm. W czterech rogach tego arkusza wycięto kwadratowe

Bardziej szczegółowo

4. Postęp arytmetyczny i geometryczny. Wartość bezwzględna, potęgowanie i pierwiastkowanie liczb rzeczywistych.

4. Postęp arytmetyczny i geometryczny. Wartość bezwzględna, potęgowanie i pierwiastkowanie liczb rzeczywistych. Jarosław Wróblewski Matematyka dla Myślących, 008/09. Postęp arytmetyczny i geometryczny. Wartość bezwzględna, potęgowanie i pierwiastkowanie liczb rzeczywistych. 15 listopada 008 r. Uwaga: Przyjmujemy,

Bardziej szczegółowo

Twierdzenie Eulera. Kongruencje wykład 6. Twierdzenie Eulera

Twierdzenie Eulera. Kongruencje wykład 6. Twierdzenie Eulera Kongruencje wykład 6 ... Euler, 1760, Sankt Petersburg Dla każdego a m zachodzi kongruencja a φ(m) 1 (mod m). Przypomnijmy: φ(m) to liczba reszt modulo m względnie pierwszych z m; φ(m) = m(1 1/p 1 )...

Bardziej szczegółowo

Kongruencje twierdzenie Wilsona

Kongruencje twierdzenie Wilsona Kongruencje Wykład 5 Twierdzenie Wilsona... pojawia się po raz pierwszy bez dowodu w Meditationes Algebraicae Edwarda Waringa (1770), profesora (Lucasian Professor) matematyki w Cambridge, znanego głównie

Bardziej szczegółowo

OLIMPIADA MATEMATYCZNA

OLIMPIADA MATEMATYCZNA OLIMPIADA MATEMATYCZNA Na stronie internetowej wwwomgedupl Olimpiady Matematycznej Gimnazjalistów (OMG) ukazały się ciekawe broszury zawierające interesujące zadania wraz z pomysłowymi rozwiązaniami z

Bardziej szczegółowo

Zestaw zadań dotyczących liczb całkowitych

Zestaw zadań dotyczących liczb całkowitych V Zestaw zadań dotyczących liczb całkowitych Opracowanie Monika Fabijańczyk ROZDZIAŁ 1 Cechy podzielności Poniższe zadania zostały wybrane z różnych zbiorów zadań, opracowań, konkursów matematycznych.

Bardziej szczegółowo

XI Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów

XI Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów www.omg.edu.pl I Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów Zawody stopnia pierwszego część korespondencyjna (1 września 2015 r. 12 października 2015 r.) Szkice rozwiązań zadań konkursowych 1. Wykaż, że istnieje

Bardziej szczegółowo

6. Liczby wymierne i niewymierne. Niewymierność pierwiastków i logarytmów (c.d.).

6. Liczby wymierne i niewymierne. Niewymierność pierwiastków i logarytmów (c.d.). 6. Liczby wymierne i niewymierne. Niewymierność pierwiastków i logarytmów (c.d.). 0 grudnia 008 r. 88. Obliczyć podając wynik w postaci ułamka zwykłego a) 0,(4)+ 3 3,374(9) b) (0,(9)+1,(09)) 1,() c) (0,(037))

Bardziej szczegółowo

XII Olimpiada Matematyczna Juniorów Zawody stopnia pierwszego część korespondencyjna (1 września 2016 r. 17 października 2016 r.)

XII Olimpiada Matematyczna Juniorów Zawody stopnia pierwszego część korespondencyjna (1 września 2016 r. 17 października 2016 r.) XII Olimpiada Matematyczna Juniorów Zawody stopnia pierwszego część korespondencyjna ( września 06 r. 7 października 06 r.) Szkice rozwiązań zadań konkursowych. Liczby wymierne a, b, c spełniają równanie

Bardziej szczegółowo

VII Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów

VII Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów VII Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów Zawody stopnia pierwszego część testowa, test próbny www.omg.edu.pl (wrzesień 2011 r.) Rozwiązania zadań testowych 1. Liczba krawędzi pewnego ostrosłupa jest o

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna

Matematyka dyskretna Matematyka dyskretna Wykład 6: Ciała skończone i kongruencje Gniewomir Sarbicki 2 marca 2017 Relacja przystawania Definicja: Mówimy, że liczby a, b Z przystają modulo m (co oznaczamy jako a = b (mod m)),

Bardziej szczegółowo

2. Liczby pierwsze i złożone, jednoznaczność rozkładu na czynniki pierwsze, największy wspólny dzielnik, najmniejsza wspólna wielokrotność.

2. Liczby pierwsze i złożone, jednoznaczność rozkładu na czynniki pierwsze, największy wspólny dzielnik, najmniejsza wspólna wielokrotność. 2. Liczby pierwsze i złożone, jednoznaczność rozkładu na czynniki pierwsze, największy wspólny dzielnik, najmniejsza wspólna wielokrotność. 11 października 2008 r. 19. Wskazać takie liczby naturalne m,

Bardziej szczegółowo

Matematyka Dyskretna Zestaw 2

Matematyka Dyskretna Zestaw 2 Materiały dydaktyczne Matematyka Dyskretna (Zestaw ) Matematyka Dyskretna Zestaw 1. Wykazać, że nie istnieje liczba naturalna, która przy dzieleniu przez 18 daje resztę 13, a przy dzieleniu przez 1 daje

Bardziej szczegółowo

Jarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, zima 2013/14. Czwartek 21 listopada zaczynamy od omówienia zadań z kolokwium nr 2.

Jarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, zima 2013/14. Czwartek 21 listopada zaczynamy od omówienia zadań z kolokwium nr 2. Czwartek 21 listopada 2013 - zaczynamy od omówienia zadań z kolokwium nr 2. Uprościć wyrażenia 129. 4 2+log 27 130. log 3 2 log 59 131. log 6 2+log 36 9 log 132. m (mn) log n (mn) dla liczb naturalnych

Bardziej szczegółowo

Znaleźć wzór ogólny i zbadać istnienie granicy ciągu określonego rekurencyjnie:

Znaleźć wzór ogólny i zbadać istnienie granicy ciągu określonego rekurencyjnie: Ciągi rekurencyjne Zadanie 1 Znaleźć wzór ogólny i zbadać istnienie granicy ciągu określonego rekurencyjnie: w dwóch przypadkach: dla i, oraz dla i. Wskazówka Należy poszukiwać rozwiązania w postaci, gdzie

Bardziej szczegółowo

Kongruencje oraz przykłady ich zastosowań

Kongruencje oraz przykłady ich zastosowań Strona 1 z 25 Kongruencje oraz przykłady ich zastosowań Andrzej Sładek, Instytut Matematyki UŚl sladek@ux2.math.us.edu.pl Spotkanie w LO im. Powstańców Śl w Bieruniu Starym 27 października 2005 Strona

Bardziej szczegółowo

Indukcja matematyczna. Zasada minimum. Zastosowania.

Indukcja matematyczna. Zasada minimum. Zastosowania. Indukcja matematyczna. Zasada minimum. Zastosowania. Arkadiusz Męcel Uwagi początkowe W trakcie zajęć przyjęte zostaną następujące oznaczenia: 1. Zbiory liczb: R - zbiór liczb rzeczywistych; Q - zbiór

Bardziej szczegółowo

1. Wykład NWD, NWW i algorytm Euklidesa.

1. Wykład NWD, NWW i algorytm Euklidesa. 1.1. NWD, NWW i algorytm Euklidesa. 1. Wykład 1 Twierdzenie 1.1 (o dzieleniu z resztą). Niech a, b Z, b 0. Wówczas istnieje dokładnie jedna para liczb całkowitych q, r Z taka, że a = qb + r oraz 0 r< b.

Bardziej szczegółowo

Obóz Naukowy Olimpiady Matematycznej Gimnazjalistów

Obóz Naukowy Olimpiady Matematycznej Gimnazjalistów Obóz Naukowy Olimpiady Matematycznej Gimnazjalistów Liga zadaniowa 202/203 Seria VI (grudzień 202) rozwiązania zadań 26. Udowodnij, że istnieje 0 00 kolejnych liczb całkowitych dodatnich nie większych

Bardziej szczegółowo

LI Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia trzeciego 3 kwietnia 2000 r. (pierwszy dzień zawodów)

LI Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia trzeciego 3 kwietnia 2000 r. (pierwszy dzień zawodów) LI Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia trzeciego 3 kwietnia 2000 r. (pierwszy dzień zawodów) Zadanie 1. Dana jest liczba całkowita n 2. Wyznaczyć liczbę rozwiązań (x 1,x

Bardziej szczegółowo

Sumy kwadratów kolejnych liczb naturalnych

Sumy kwadratów kolejnych liczb naturalnych Sumy kwadratów kolejnych liczb naturalnych Andrzej Nowicki 24 maja 2015, wersja kk-17 Niech m < n będą danymi liczbami naturalnymi. Interesować nas będzie równanie ( ) y 2 + (y + 1) 2 + + (y + m 1) 2 =

Bardziej szczegółowo

Jarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, zima 2012/13

Jarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, zima 2012/13 Poniedziałek 12 listopada 2012 - zaczynamy od omówienia zadań z kolokwium nr 1. Wtorek 13 listopada 2012 - odbywają się zajęcia czwartkowe. 79. Uprościć wyrażenia a) 4 2+log 27 b) log 3 2 log 59 c) log

Bardziej szczegółowo

Liczby całkowite. Zadania do pierwszych dwóch lekcji

Liczby całkowite. Zadania do pierwszych dwóch lekcji Matematyka w klasie IE Zadania do zajęć w Marynce Jesień 2012 Liczby całkowite prof. W. Gajda Zagadka Pomyśl sobie jakąś dużą liczbę całkowitą. Dodaj do niej tę samą liczbę. Do uzyskanej sumy dodaj jeszcze

Bardziej szczegółowo

Rozkład wyników ogólnopolskich

Rozkład wyników ogólnopolskich Rozkład wyników ogólnopolskich 1 9 8 7 procent uczniów 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 2 21 22 23 24 liczba punktów - wyniki niskie - wyniki średnie - wyniki wysokie Parametry

Bardziej szczegółowo

Jarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, lato 2012/13. Czwartek 28 marca zaczynamy od omówienia zadań z kolokwium nr 1.

Jarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, lato 2012/13. Czwartek 28 marca zaczynamy od omówienia zadań z kolokwium nr 1. Czwartek 28 marca 2013 - zaczynamy od omówienia zadań z kolokwium nr 1. 122. Uprościć wyrażenia a) 4 2+log 27 b) log 3 2 log 59 c) log 6 2+log 36 9 123. Dla ilu trójek liczb rzeczywistych dodatnich a,

Bardziej szczegółowo

Kongruencje. Sławomir Cynk. 24 września Nowy Sącz. Instytut Matematyki Uniwersytetu Jagiellońskiego

Kongruencje. Sławomir Cynk. 24 września Nowy Sącz. Instytut Matematyki Uniwersytetu Jagiellońskiego Instytut Matematyki Uniwersytetu Jagiellońskiego 24 września 2008 Nowy Sącz Przykłady W. Sierpiński, 250 zadań z elementarnej teorii liczb, Biblioteczka Matematyczna 17. Zadanie 3. Pokazać, że jeżeli 7

Bardziej szczegółowo

Jarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, lato 2014/15

Jarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, lato 2014/15 Ćwiczenia 5/6, 10, 17.03.2015 (obie grupy) 33. Połączyć podane warunki w grupy warunków równoważnych dla dowolnej liczby naturalnej n. a) liczba n jest nieparzysta b) liczba n jest względnie pierwsza z

Bardziej szczegółowo

LX Olimpiada Matematyczna

LX Olimpiada Matematyczna LX Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia drugiego 13 lutego 2009 r. (pierwszy dzień zawodów) Zadanie 1. Liczby rzeczywiste a 1, a 2,..., a n (n 2) spełniają warunek a 1

Bardziej szczegółowo

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c,

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c, Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax 2 + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax 2, a R \

Bardziej szczegółowo

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax, a R \ {0}.

Bardziej szczegółowo

KONGRUENCJE. 1. a a (mod m) a b (mod m) b a (mod m) a b (mod m) b c (mod m) a c (mod m) Zatem relacja kongruencji jest relacją równoważności.

KONGRUENCJE. 1. a a (mod m) a b (mod m) b a (mod m) a b (mod m) b c (mod m) a c (mod m) Zatem relacja kongruencji jest relacją równoważności. KONGRUENCJE Dla a, b, m Z mówimy, że liczba a przystaje do liczby b modulo m a b (mod m) m (a b) (a b (mod m) można też zapisać jako: a = km + b, k Z). Liczbę m nazywamy modułem kongruencji. Własności:

Bardziej szczegółowo

LVII Olimpiada Matematyczna

LVII Olimpiada Matematyczna Zadanie 1. LVII Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia trzeciego 5 kwietnia 2006 r. (pierwszy dzień zawodów) Rozwiązać w liczbach rzeczywistych a, b, c, d, e układ równań

Bardziej szczegółowo

WIELOMIANY I FUNKCJE WYMIERNE

WIELOMIANY I FUNKCJE WYMIERNE WIELOMIANY I FUNKCJE WYMIERNE. RozwiąŜ nierówność.. Dla jakiej wartości parametru a R wielomian W() = ++ a dzieli się bez reszty przez +?. Rozwiązać nierówność: a) 5 b) + 4. Wyznaczyć wartości parametru

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna

Matematyka dyskretna Matematyka dyskretna Wykład 6: Ciała skończone i kongruencje Gniewomir Sarbicki 24 lutego 2015 Relacja przystawania Definicja: Mówimy, że liczby a, b Z przystają modulo m (co oznaczamy jako a = b (mod

Bardziej szczegółowo

Warmińsko-Mazurskie Zawody Matematyczne Eliminacje cykl styczniowy Poziom: szkoły ponadgimnazjalne, 10 punktów za każde zadanie

Warmińsko-Mazurskie Zawody Matematyczne Eliminacje cykl styczniowy Poziom: szkoły ponadgimnazjalne, 10 punktów za każde zadanie Warmińsko-Mazurskie Zawody Matematyczne Eliminacje cykl styczniowy oziom: szkoły ponadgimnazjalne, 0 punktów za każde zadanie Zadanie Znajdź dwa dzielniki pierwsze liczby - Można skorzystać z artykułu

Bardziej szczegółowo

LVIII Olimpiada Matematyczna

LVIII Olimpiada Matematyczna LVIII Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia trzeciego 18 kwietnia 2007 r. (pierwszy dzień zawodów) Zadanie 1. W trójkącie ostrokątnym A punkt O jest środkiem okręgu opisanego,

Bardziej szczegółowo

LXII Olimpiada Matematyczna

LXII Olimpiada Matematyczna 1 Zadanie 1. LXII Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia drugiego 18 lutego 2011 r. (pierwszy dzień zawodów) Rozwiązać w liczbach rzeczywistych układ równań { (x y)(x 3 +y

Bardziej szczegółowo

Funkcje wymierne. Jerzy Rutkowski. Działania dodawania i mnożenia funkcji wymiernych określa się wzorami: g h + k l g h k.

Funkcje wymierne. Jerzy Rutkowski. Działania dodawania i mnożenia funkcji wymiernych określa się wzorami: g h + k l g h k. Funkcje wymierne Jerzy Rutkowski Teoria Przypomnijmy, że przez R[x] oznaczamy zbiór wszystkich wielomianów zmiennej x i o współczynnikach rzeczywistych Definicja Funkcją wymierną jednej zmiennej nazywamy

Bardziej szczegółowo

Rozkład wyników ogólnopolskich

Rozkład wyników ogólnopolskich Rozkład wyników ogólnopolskich 1 9 8 7 procent uczniów 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 2 liczba punktów - wyniki niskie - wyniki średnie - wyniki wysokie Parametry rozkładu wyników

Bardziej szczegółowo

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Inżynieria Środowiska w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt Era

Bardziej szczegółowo

Ciała i wielomiany 1. przez 1, i nazywamy jedynką, zaś element odwrotny do a 0 względem działania oznaczamy przez a 1, i nazywamy odwrotnością a);

Ciała i wielomiany 1. przez 1, i nazywamy jedynką, zaś element odwrotny do a 0 względem działania oznaczamy przez a 1, i nazywamy odwrotnością a); Ciała i wielomiany 1 Ciała i wielomiany 1 Definicja ciała Niech F będzie zbiorem, i niech + ( dodawanie ) oraz ( mnożenie ) będą działaniami na zbiorze F. Definicja. Zbiór F wraz z działaniami + i nazywamy

Bardziej szczegółowo

Indukcja matematyczna

Indukcja matematyczna Indukcja matematyczna Zadanie 1 Wykazać, że dla dowolnego prawdziwa jest równość: Do obu stron założenia indukcyjnego należy dodać brakujący wyraz. Sprawdzamy prawdziwość równości (1) dla. Prawa strona:.

Bardziej szczegółowo

Przykładowe zadania na kółko matematyczne dla uczniów gimnazjum

Przykładowe zadania na kółko matematyczne dla uczniów gimnazjum 1 Przykładowe zadania na kółko matematyczne dla uczniów gimnazjum Zagadnienia, które uczeń powinien znać przy rozwiązywaniu opisanych zadań: zastosowanie równań w zadaniach tekstowych, funkcje i ich monotoniczność,

Bardziej szczegółowo

1. Liczby wymierne. x dla x 0 (wartością bezwzględną liczby nieujemnej jest ta sama liczba)

1. Liczby wymierne. x dla x 0 (wartością bezwzględną liczby nieujemnej jest ta sama liczba) 1. Liczby wymierne. - wartość bezwzględna liczby. dla 0 (wartością bezwzględną liczby nieujemnej jest ta sama liczba) - dla < 0 ( wartością bezwzględną liczby ujemnej jest liczba do niej przeciwna) W interpretacji

Bardziej szczegółowo

Kongruencje i ich zastosowania

Kongruencje i ich zastosowania Kongruencje i ich zastosowania Andrzej Sładek sladek@ux2.math.us.edu.pl Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski w Katowicach Poznamy nowe fakty matematyczne, które pozwolą nam w łatwy sposób rozwiązać

Bardziej szczegółowo

LXIX Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia trzeciego 18 kwietnia 2018 r. (pierwszy dzień zawodów)

LXIX Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia trzeciego 18 kwietnia 2018 r. (pierwszy dzień zawodów) LXIX Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia trzeciego 18 kwietnia 2018 r. (pierwszy dzień zawodów) 1. Dany jest trójkąt ostrokątny ABC, w którym AB < AC. Dwusieczna kąta

Bardziej szczegółowo

Rozkład wyników ogólnopolskich

Rozkład wyników ogólnopolskich Rozkład wyników ogólnopolskich 1 9 8 7 procent uczniów 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 2 21 22 23 24 25 26 - wyniki niskie - wyniki średnie - wyniki wysokie liczba punktów Parametry

Bardziej szczegółowo

Średnia wielkość powierzchni gruntów rolnych w gospodarstwie za rok 2006 (w hektarach) Jednostka podziału administracyjnego kraju

Średnia wielkość powierzchni gruntów rolnych w gospodarstwie za rok 2006 (w hektarach) Jednostka podziału administracyjnego kraju ROLNYCH W GOSPODARSTWIE W KRAJU ZA 2006 ROK w gospodarstwie za rok 2006 (w hektarach) Województwo dolnośląskie 14,63 Województwo kujawsko-pomorskie 14,47 Województwo lubelskie 7,15 Województwo lubuskie

Bardziej szczegółowo

Jarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, lato 2010/11

Jarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, lato 2010/11 Uwaga: Przyjmujemy, że 0 nie jest liczbą naturalną, tzn. liczby naturalne są to liczby całkowite dodatnie.. Dane są liczby naturalne m, n. Wówczas dla dowolnej liczby naturalnej k, liczba k jest podzielna

Bardziej szczegółowo

Dr inż. Robert Wójcik, p. 313, C-3, tel Katedra Informatyki Technicznej (K-9) Wydział Elektroniki (W-4) Politechnika Wrocławska

Dr inż. Robert Wójcik, p. 313, C-3, tel Katedra Informatyki Technicznej (K-9) Wydział Elektroniki (W-4) Politechnika Wrocławska Dr inż. Robert Wójcik, p. 313, C-3, tel. 320-27-40 Katedra Informatyki Technicznej (K-9) Wydział Elektroniki (W-4) Politechnika Wrocławska E-mail: Strona internetowa: robert.wojcik@pwr.edu.pl google: Wójcik

Bardziej szczegółowo

Rozwijanie uzdolnień matematycznych uczniów. semestr letni, 2018/2019 wykład nr 8

Rozwijanie uzdolnień matematycznych uczniów. semestr letni, 2018/2019 wykład nr 8 Rozwijanie uzdolnień matematycznych uczniów semestr letni, 2018/2019 wykład nr 8 OMJ 2018/19 część korespondencyjna, zadanie 2 Będzie korekta B.S. na następnym wykładzie! OMJ 2018/19 część korespondencyjna,

Bardziej szczegółowo

I Liceum Ogólnokształcące im. Cypriana Kamila Norwida w Bydgoszczy. Wojciech Kretowicz PODZIELNOŚĆ SILNI A SUMA CYFR

I Liceum Ogólnokształcące im. Cypriana Kamila Norwida w Bydgoszczy. Wojciech Kretowicz PODZIELNOŚĆ SILNI A SUMA CYFR I Liceum Ogólnokształcące im. Cypriana Kamila Norwida w Bydgoszczy Wojciech Kretowicz PODZIELNOŚĆ SILNI A SUMA CYFR Opiekun Mariusz Adamczak wojtekkretowicz@gmail.com Bydgoszcz 2017 Spis treści Wstęp...

Bardziej szczegółowo

Sponsorem wydruku schematu odpowiedzi jest wydawnictwo

Sponsorem wydruku schematu odpowiedzi jest wydawnictwo Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA Sponsorem wydruku schematu odpowiedzi jest wydawnictwo KRYTERIA OCENIANIA POZIOM ROZSZERZONY Katalog zadań poziom rozszerzony

Bardziej szczegółowo

Wielomiany podstawowe wiadomości

Wielomiany podstawowe wiadomości Rozdział Wielomiany podstawowe wiadomości Funkcję postaci f s = a n s n + a n s n + + a s + a 0, gdzie n N, a i R i = 0,, n, a n 0 nazywamy wielomianem rzeczywistym stopnia n; jeżeli współczynniki a i

Bardziej szczegółowo

LXI Olimpiada Matematyczna

LXI Olimpiada Matematyczna 1 Zadanie 1. LXI Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia trzeciego 21 kwietnia 2010 r. (pierwszy dzień zawodów) Dana jest liczba całkowita n > 1 i zbiór S {0,1,2,...,n 1}

Bardziej szczegółowo

5. Logarytmy: definicja oraz podstawowe własności algebraiczne.

5. Logarytmy: definicja oraz podstawowe własności algebraiczne. 5. Logarytmy: definicja oraz podstawowe własności algebraiczne. 78. Uprościć wyrażenia a) 4 2+log 27 b) log 3 2 log 59 c) log 6 2+log 36 9 a) 4 2+log 27 = (2 2 ) log 27 4 = 28 2 = 784 29 listopada 2008

Bardziej szczegółowo

LXV Olimpiada Matematyczna

LXV Olimpiada Matematyczna LXV Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia trzeciego 8 kwietnia 2014 r. (pierwszy dzień zawodów) Zadanie 1. Dane są względnie pierwsze liczby całkowite k,n 1. Na tablicy

Bardziej szczegółowo

Próbny egzamin maturalny z matematyki Poziom rozszerzony

Próbny egzamin maturalny z matematyki Poziom rozszerzony Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA Zadanie 1 (4 pkt) Rozwiąż równanie: w przedziale 1 pkt Przekształcenie równania do postaci: 2 pkt Przekształcenie równania

Bardziej szczegółowo

Podzielność, cechy podzielności, liczby pierwsze, największy wspólny dzielnik, najmniejsza wspólna wielokrotność.

Podzielność, cechy podzielności, liczby pierwsze, największy wspólny dzielnik, najmniejsza wspólna wielokrotność. Podzielność, cechy podzielności, liczby pierwsze, największy wspólny dzielnik, najmniejsza wspólna wielokrotność. W dniu 25 lutego 2014 r. omawiamy test kwalifikacyjny. Uwaga: Przyjmujemy, że 0 nie jest

Bardziej szczegółowo

Indukcja matematyczna

Indukcja matematyczna Indukcja matematyczna Zadanie. Zapisać, używając symboli i, następujące wyrażenia (a) n!; (b) sin() + sin() sin() +... + sin() sin()... sin(n); (c) ( + )( + /)( + / + /)... ( + / + / +... + /R). Zadanie.

Bardziej szczegółowo

Jarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, lato 2012/13. W dniu 21 lutego 2013 r. omawiamy test kwalifikacyjny.

Jarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, lato 2012/13. W dniu 21 lutego 2013 r. omawiamy test kwalifikacyjny. W dniu 21 lutego 2013 r. omawiamy test kwalifikacyjny. Uwaga: Przyjmujemy, że 0 nie jest liczbą naturalną, tzn. liczby naturalne są to liczby całkowite dodatnie. 1. Dane są liczby naturalne m, n. Wówczas

Bardziej szczegółowo

Wielomiany. XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #2 1 / 1

Wielomiany. XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #2 1 / 1 XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #2 1 / 1 Definicja Definicja Wielomianem stopnia n zmiennej rzeczywistej x nazywamy funkcję W (x) = a n x n + a n 1 x n 1 + + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 gdzie

Bardziej szczegółowo

Bukiety matematyczne dla gimnazjum

Bukiety matematyczne dla gimnazjum Bukiety matematyczne dla gimnazjum http://www.mat.uni.torun.pl/~kolka/ 1 X 2002 Bukiet I Dany jest prostokąt o bokach wymiernych a, b, którego obwód O i pole P są całkowite. 1. Sprawdź, że zachodzi równość

Bardziej szczegółowo

X Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów

X Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów www.omg.edu.pl X Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów Zawody stopnia pierwszego część korespondencyjna (10 listopada 01 r. 15 grudnia 01 r.) Szkice rozwiązań zadań konkursowych 1. nia rozmieniła banknot

Bardziej szczegółowo

Rozwiązaniem jest zbiór (, ] (5, )

Rozwiązaniem jest zbiór (, ] (5, ) FUNKCJE WYMIERNE Definicja Miech L() i M() będą niezerowymi wielomianami i niech D { R : M( ) 0 } Funkcję (*) D F : D R określoną wzorem F( ) L( ) M( ) nazywamy funkcją wymierną Funkcja wymierna, to iloraz

Bardziej szczegółowo

Analiza kongruencji. Kongruencje Wykład 3. Analiza kongruencji

Analiza kongruencji. Kongruencje Wykład 3. Analiza kongruencji Kongruencje Wykład 3 Kongruencje algebraiczne Kongruencje jak już podkreślaliśmy mają własności analogiczne do równań algebraicznych. Zajmijmy się więc problemem znajdowania pierwiastka równania algebraicznego

Bardziej szczegółowo

Jednoznaczność rozkładu na czynniki pierwsze I

Jednoznaczność rozkładu na czynniki pierwsze I Jednoznaczność rozkładu na czynniki pierwsze I 1. W Biwerlandii w obiegu są monety o nominałach 5 eciepecie i 8 eciepecie. Jaką najmniejszą (dodatnią) kwotę można zapłacić za zakupy, jeżeli sprzedawca

Bardziej szczegółowo

Indukcja. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak

Indukcja. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak Indukcja Materiały pomocnicze do wykładu wykładowca: dr Magdalena Kacprzak Charakteryzacja zbioru liczb naturalnych Arytmetyka liczb naturalnych Jedną z najważniejszych teorii matematycznych jest arytmetyka

Bardziej szczegółowo

Zasada indukcji matematycznej

Zasada indukcji matematycznej Zasada indukcji matematycznej Twierdzenie 1 (Zasada indukcji matematycznej). Niech ϕ(n) będzie formą zdaniową zmiennej n N 0. Załóżmy, że istnieje n 0 N 0 takie, że 1. ϕ(n 0 ) jest zdaniem prawdziwym,.

Bardziej szczegółowo

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Biotechnologia w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt Era inżyniera

Bardziej szczegółowo

XIV Olimpiada Matematyczna Juniorów Zawody stopnia pierwszego część korespondencyjna (1 września 2018 r. 15 października 2018 r.)

XIV Olimpiada Matematyczna Juniorów Zawody stopnia pierwszego część korespondencyjna (1 września 2018 r. 15 października 2018 r.) XIV Olimpiada Matematyczna Juniorów Zawody stopnia pierwszego część korespondencyjna ( września 0 r. października 0 r.) Szkice rozwiązań zadań konkursowych. Liczbę naturalną n pomnożono przez, otrzymując

Bardziej szczegółowo

Internetowe Kółko Matematyczne 2003/2004

Internetowe Kółko Matematyczne 2003/2004 Internetowe Kółko Matematyczne 003/004 http://www.mat.uni.torun.pl/~kolka/ Zadania dla szkoły średniej Zestaw I (5 IX) Zadanie 1. Które liczby całkowite można przedstawić w postaci różnicy kwadratów dwóch

Bardziej szczegółowo

Układy równań i nierówności liniowych

Układy równań i nierówności liniowych Układy równań i nierówności liniowych Wiesław Krakowiak 1 grudnia 2010 1 Układy równań liniowych DEFINICJA 11 Układem równań m liniowych o n niewiadomych X 1,, X n, nazywamy układ postaci: a 11 X 1 + +

Bardziej szczegółowo

G i m n a z j a l i s t ó w

G i m n a z j a l i s t ó w Ko³o Matematyczne G i m n a z j a l i s t ó w Stowarzyszenie na rzecz Edukacji Matematycznej Zestaw 10 szkice rozwiazań zadań 1. Rozwiąż układ równań: (x+y)(x+y +z) = 72 (y +z)(x+y +z) = 120 (z +x)(x+y

Bardziej szczegółowo

Wykład 1. Na początku zajmować się będziemy zbiorem liczb całkowitych

Wykład 1. Na początku zajmować się będziemy zbiorem liczb całkowitych Arytmetyka liczb całkowitych Wykład 1 Na początku zajmować się będziemy zbiorem liczb całkowitych Z = {0, ±1, ±2,...}. Zakładamy, że czytelnik zna relację

Bardziej szczegółowo

I) Reszta z dzielenia

I) Reszta z dzielenia Michał Kremzer tekst zawiera 9 stron na moim komputerze Tajemnice liczb I) Reszta z dzielenia 1) Liczby naturalne dodatnie a, b, c dają tę samą resztę przy dzieleniu przez 3. Czy liczba A) a + b + c B)

Bardziej szczegółowo

LVIII Olimpiada Matematyczna

LVIII Olimpiada Matematyczna Zadanie 1. LVIII Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia pierwszego (11 września 2006 r. 4 grudnia 2006 r.) Rozwiązać w liczbach rzeczywistych x, y, z układ równań x 2 +2yz

Bardziej szczegółowo

1. Liczby naturalne, podzielność, silnie, reszty z dzielenia

1. Liczby naturalne, podzielność, silnie, reszty z dzielenia 1. Liczby naturalne, podzielność, silnie, reszty z dzielenia kwadratów i sześcianów przez małe liczby, cechy podzielności przez 2, 4, 8, 5, 25, 125, 3, 9. 26 września 2009 r. Uwaga: Przyjmujemy, że 0 nie

Bardziej szczegółowo

LXIII Olimpiada Matematyczna

LXIII Olimpiada Matematyczna 1 Zadanie 1. LXIII Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia drugiego 17 lutego 2012 r. (pierwszy dzień zawodów) Rozwiązać w liczbach rzeczywistych a, b, c, d układ równań a

Bardziej szczegółowo

Internetowe Ko³o M a t e m a t yc z n e

Internetowe Ko³o M a t e m a t yc z n e Internetowe Ko³o M a t e m a t yc z n e Stowarzyszenie na rzecz Edukacji Matematycznej Zestaw 1 szkice rozwiązań zadań 1 W wierszu zapisano kolejno 2010 liczb Pierwsza zapisana liczba jest równa 7 oraz

Bardziej szczegółowo

XI Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów

XI Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów XI Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów Zawody stopnia pierwszego część testowa www.omg.edu.pl (24 września 2015 r.) Rozwiązania zadań testowych 1. Dane są takie dodatnie liczby a i b, że 30% liczby a

Bardziej szczegółowo

Podstawowe struktury algebraiczne

Podstawowe struktury algebraiczne Maciej Grzesiak Podstawowe struktury algebraiczne 1. Wprowadzenie Przedmiotem algebry było niegdyś przede wszystkim rozwiązywanie równań. Obecnie algebra staje się coraz bardziej nauką o systemach matematycznych.

Bardziej szczegółowo

Rozkład wyników ogólnopolskich

Rozkład wyników ogólnopolskich Rozkład wyników ogólnopolskich 1 9 8 7 procent uczniów 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 2 21 22 23 24 25 26 27 28 29 3 31 32 33 34 35 36 37 38 39 4 41 42 43 44 45 46 47 48 49

Bardziej szczegółowo

Dwa równania kwadratowe z częścią całkowitą

Dwa równania kwadratowe z częścią całkowitą Dwa równania kwadratowe z częścią całkowitą Andrzej Nowicki Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet M. Kopernika w Toruniu anow @ mat.uni.torun.pl 4 sierpnia 00 Jeśli r jest liczbą rzeczywistą, to

Bardziej szczegółowo

Dolnośląski O/W Kujawsko-Pomorski O/W Lubelski O/W. plan IV- XII 2003 r. Wykonanie

Dolnośląski O/W Kujawsko-Pomorski O/W Lubelski O/W. plan IV- XII 2003 r. Wykonanie Dolnośląski O/W Kujawsko-Pomorski O/W Lubelski O/W 14 371 13 455,56-915,44 93,63% 11 033 10 496,64-536,36 95,14% 10 905 10 760,90-144,10 98,68% 697 576,69-120,31 82,74% 441 415,97-25,03 94,32% 622 510,30-111,70

Bardziej szczegółowo

XIII Olimpiada Matematyczna Juniorów

XIII Olimpiada Matematyczna Juniorów XIII Olimpiada Matematyczna Juniorów Zawody stopnia pierwszego część testowa (8 września 017 r.) Rozwiązania zadań testowych 1. W każdym z trzech lat 018, 019 i 00 pensja pana Antoniego będzie o 5% większa

Bardziej szczegółowo

Egzamin Gimnazjalny z WSiP LISTOPAD Analiza wyników próbnego egzaminu gimnazjalnego Część matematyczno-przyrodnicza MATEMATYKA

Egzamin Gimnazjalny z WSiP LISTOPAD Analiza wyników próbnego egzaminu gimnazjalnego Część matematyczno-przyrodnicza MATEMATYKA Egzamin Gimnazjalny z WSiP LISTOPAD 2015 Analiza wyników próbnego egzaminu gimnazjalnego Część matematyczno-przyrodnicza MATEMATYKA Arkusz egzaminu próbnego składał się z 20 zadań zamkniętych różnego typu

Bardziej szczegółowo

Wielomiany. dr Tadeusz Werbiński. Teoria

Wielomiany. dr Tadeusz Werbiński. Teoria Wielomiany dr Tadeusz Werbiński Teoria Na początku przypomnimy kilka szkolnych definicji i twierdzeń dotyczących wielomianów. Autorzy podręczników szkolnych podają różne definicje wielomianu - dla jednych

Bardziej szczegółowo

2. Liczby pierwsze i złożone, jednoznaczność rozkładu na czynniki pierwsze, największy wspólny dzielnik, najmniejsza wspólna wielokrotność. (c.d.

2. Liczby pierwsze i złożone, jednoznaczność rozkładu na czynniki pierwsze, największy wspólny dzielnik, najmniejsza wspólna wielokrotność. (c.d. 2. Liczby pierwsze i złożone, jednoznaczność rozkładu na czynniki pierwsze, największy wspólny dzielnik, najmniejsza wspólna wielokrotność. (c.d.) 10 października 2009 r. 20. Która liczba jest większa,

Bardziej szczegółowo

LV Olimpiada Matematyczna

LV Olimpiada Matematyczna LV Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia trzeciego 15 kwietnia 004 r. (pierwszy dzień zawodów) Zadanie 1. Punkt D leży na boku AB trójkąta ABC. Okręgi styczne do prostych

Bardziej szczegółowo