2 Kongruencje 5. 4 Grupy 9. 5 Grupy permutacji Homomorfizmy grup Pierścienie 16

Transkrypt

1 DB Algebra dla informatyków 1 semestr letni Spis treści 1 Podzielność w Z, algorytm Euklidesa 2 2 Kongruencje 5 3 Twierdzenia: Fermata, Eulera i Wilsona 7 4 Grupy 9 5 Grupy permutacji 12 6 Homomorfizmy grup 14 7 Pierścienie 16 8 Podpierścienie, ideały, homomorfizmy 19 9 Pierścienie wielomianów i liczby zespolone Pierścień wielomianów Ciało liczb zespolonych Działania na liczbach zespolonych Postać trygonometryczna liczby zespolonej

2 DB Algebra dla informatyków 1 semestr letni Podzielność w Z, algorytm Euklidesa Definicja 1.1. Mówimy, że liczba n dzieli liczbę a, co zapisujemy n a wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje liczba k Z taka, że a = kn. Definicja 1.2. Liczbę naturalną d nazywamy największym wspólnym dzielnikiem liczb a 1, a 2,..., a m, gdy 1. i {1, 2,..., m} : d a i oraz 2. c N : c a 1 c a 2... c a m = c d. Piszemy wówczas d = (a 1, a 2,..., a m ). Definicja 1.3. Liczbę naturalną w nazywamy najmniejszą wspólną wielokrotnością różnych od zera liczb a 1, a 2,..., a m, gdy 1. i {1, 2,..., m} : a i w oraz 2. c N : a 1 c a 2 c... a m c = w c. Piszemy wówczas w = [a 1, a 2,..., a m ]. Gdy i {1, 2,..., m} : a i = 0, to w = [a 1, a 2,..., a m ] = 0. Fakt 1.1. Dla dowolnych a 1,..., a m Z \ {0}, zachodzi: gdzie A i := a 1 a 2... a i 1 a i+1... a m. [a 1, a 2,..., a m ] (A 1, A 2,..., A m ) = a 1 a 2... a m, Twierdzenie 1.2. Dla dowolnych liczb a 1,..., a m Z \ {0}, istnieją liczby k 1,..., k m Z spełniające równanie: k 1 a 1 + k 2 a k m a m = (a 1, a 2,..., a m ). Twierdzenie 1.3 (lemat Euklidesa). Jeśli a bc oraz (a, b) = 1, to a c. Twierdzenie 1.4. Równanie a 1 x 1 + a 2 x a m x m = b ma rozwiązanie w liczbach całkowitych wtedy i tylko wtedy, gdy (a 1, a 2,..., a m ) b. Fakt 1.5. Jeśli równanie ax + by = c ma rozwiązanie w liczbach całkowitych, to jest ono dane wzorami: x = x 0 + b (a, b) t, y = y 0 a t, (1) (a, b) gdzie t przebiega zbiór liczb całkowitych, a liczby x 0, y 0 są rozwiązaniami szczególnymi danego równania. Twierdzenie 1.6 (Fermata). Niech a Z oraz niech p będzie liczbą pierwszą. Wówczas a p a (mod p). Twierdzenie 1.7 (Eulera). Jeśli n N, a Z oraz (a, n) = 1, to a ϕ(n) 1 (mod n) Twierdzenie 1.8 (Wilsona). Niech n N oraz n > 1. Wówczas n jest liczbą pierwszą wtedy i tylko wtedy, gdy (n 1)! 1 (mod n).

3 DB Algebra dla informatyków 1 semestr letni Podzielność w Z, algorytm Euklidesa ZADANIA Zadanie 1.1. Pokazać, że: (a) (b) a b b a = a = b a = b, c a c b = x, y Z : c ax + by, (c) a b b c = a c, (d) a b = k Z : a bk, (e) a c b c (a, b) = 1 = ab c. Zadanie 1.2. Pokazać, że liczba postaci 18a+5b 19 jest całkowita wiedząc, że 11a+2b 19 Z. Zadanie 1.3. Obliczyć resztę z dzielenia liczby ab przez n wiedząc, że liczby a i b przy dzieleniu przez n dają resztę 1. Zadanie 1.4. Udowodnić indukcyjnie, że 2 n 2 + n, 6 n 3 n oraz n Zadanie 1.5. Pokazać, że dla dowolnej liczby naturalnej n zachodzi: n 2 (n + 1) n 1. Wskazówka: (x + y) k = k i=0 ( k i) x i y k i. Zadanie 1.6 ( ). Obliczyć korzystając z algorytmu Euklidesa największy wspólny dzielnik oraz najmniejszą wspólną wielokrotność liczb: (a) 120, 195, (b) 80, 208, (c) 36, 60, 90, (d) 120, 168, 280, (e) 30, 42, 70, 105. Zadanie 1.7 ( ). Zapisać największy wspólny dzielnik podanych liczb jako ich kombinację liniową. (a) 12 i 9, (b) 32 i 20, (c) 95 i 150, (d) 6, 104 i 15, (e) 24, 30 i 45. Zadanie 1.8 ( ). Rozwiązać równania w liczbach całkowitych x i y. (a) 35x + 91y = 77, (b) 25x + 15y = 33, (c) 18x 12y = 30, Rozwiązanie: (18, 12) = 6 30, więc równanie ma rozwiązanie. Dzielimy obustronnie przez 6 i otrzymujemy: 3x 2y = 5, gdzie (3, 2) = 1. Jest to równanie postaci ax + by = c, gdzie a = 3, b = 2, c = 5. Szukamy rozwiązań: Sposób I: W tym przypadku widzimy rozwiązania szczególne, tzn. x 0 = 1, y 0 = 1. Stosujemy wzory (1), tj. x = x 0 + b (a, b) t, y = y 0 a t, t Z. (a, b)

4 DB Algebra dla informatyków 1 semestr letni Otrzymujemy: { x = 1 2t y = 1 3t, t Z. (2) Sposób II ( UNIWERSALNY ): Widzimy, że (3, 2) = 1, więc szukamy współczynników kombinacji liniowej A, B Z, tak by: 3 A + 2 B = 1. Otrzymujemy: A = 1, B = 1. Następnie, ponieważ nasze równanie jest postaci 3x 2y = 5, więc przemnażamy powyższą równość obustronnie przez 5 i odpowiednio dopasowujemy znaki, tzn.: = 5. Mamy więc x 0 = 5, y 0 = 5. Korzystając z (1) (patrz powyżej), otrzymujemy: { x = 5 2s y = 5 3s, s Z. (3) Zauważmy, że rozwiązania wygenerowane ze wzorów (2) oraz (3) są takie same. Istotnie, jeśli za s w (3) podstawimy t + 2, to otrzymamy (2). Natomiast, gdy do (2), za t podstawimy s 2, to otrzymamy (3). (d) 22x 33y = 11. Zadanie 1.9. Rozwiązać w liczbach całkowitych następujące układy równań: { (x, y) = 45 (a) x (b) (c) (d) y = 11 7 { (x, y) = 20 xy = 8400 { (x, y) = 30 x + y = 150 { x + y = 667 [x,y] (x,y) = 120

5 DB Algebra dla informatyków 1 semestr letni Kongruencje Definicja 2.1. Niech a, b Z, n N. Mówimy, że a przystaje do b modulo n, gdy n (a b), co zapisujemy a b (mod n). Relację przystawania modulo n nazywamy kongruencją. Fakt 2.1. Relacja przystawania modulo n jest relacją równoważności. Fakt 2.2. Jeśli a b (mod n) oraz c d (mod n), to a + c b + d (mod n) oraz ac bd (mod n). Wniosek Do kongruencji możemy dodać stronami tę samą liczbę, pomnożyć stronami przez tę samą liczbę oraz możemy podnieść obie strony kongruencji do tej samej potęgi (naturalnej). Fakt 2.3. ab ac (mod n) b c (mod n (a, n) ). Twierdzenie 2.4. Kongruencja ax b (mod n) ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy (a, n) b. wówczas (a, n) rozwiązań modulo n tej kongruencji. Istnieje Twierdzenie 2.5 (chińskie o resztach). Jeśli (n, m) = 1, to układ kongruencji: { x a (mod m), x b (mod n); ma dokładnie jedno rozwiązanie modulo mn. Definicja 2.2. Funkcję ϕ : N N zdefiniowaną następująco: ϕ(n) := (Z/n), nazywamy funkcją Eulera. Zatem jest to funkcja, która przyporządkowuje liczbie naturalnej n, liczbę liczb względnie pierwszych z n ze zbioru Z/n. Twierdzenie 2.6 (Własności funkcji ϕ). 1. ϕ(1) = 1, 2. ϕ(p) = p 1, 3. ϕ(p k ) = p k (1 1 p ) = pk p k 1, 4. Funkcja Eulera ϕ jest multiplikatywna, tzn. jeśli (m, n) = 1, to ϕ(n m) = ϕ(m) ϕ(n), 5. Jako wniosek z powyższego podpunktu, otrzymujemy: Dla n N, mamy: ϕ(n) = n p n ( 1 1 ). p

6 DB Algebra dla informatyków 1 semestr letni Kongruencje ZADANIA Zadanie 2.1 ( ). Rozwiąż następujące kongruencje. (a) 2x 8 (mod 5), (b) 3x 9 (mod 12), (c) 4x 3 (mod 10), (d) 5x 1 (mod 6), (e) 6x 3 (mod 9), (f) 7x 10 (mod 4), (g) 8x 20 (mod 16). Zadanie 2.2 ( ). Rozwiąż następujące układy kongruencji modulo liczba pierwsza. (a) (b) { x + 2y 2 (mod 5), 3x y 3 (mod 5); { 3x 2y 1 (mod 7), 4x + y 4 (mod 7); Zadanie 2.3 ( ). Rozwiąż następujące układy kongruencji. (a) (b) (c) { x 2 (mod 5), x 1 (mod 7); x 1 (mod 3), x 2 (mod 4), x 3 (mod 5); 2x 1 (mod 7), x 1 (mod 5), x 0 (mod 3); Zadanie 2.4 ( ). Wyznacz element odwrotny do liczby (a) 35 w Z/37 (b) 125 w Z/257 (c) 637 w Z/1734 (d) 1633 w Z/1734 Zadanie 2.5 ( ). Stosując kongruencje, rozwiąż w liczbach całkowitych następujące równania: (a) 123x 108y = 30, (b) 2x 5y + 3z = 8. Zadanie 2.6 ( ). Wyprowadź cechy podzielności przez: 2, 3, 4, 5, 9, 10, 11, 7, 13, 101, 2 k, 5 k, k N. Korzystając z wyprowadzonych cech podzielności sprawdzić, że liczba dzieli się przez 7 a jest podzielna przez 11. Zadanie 2.7 ( ). Obliczyć wartości funkcji Eulera ϕ dla następujących argumentów: 11, 180, 100, 125, 360.

7 DB Algebra dla informatyków 1 semestr letni Twierdzenia: Fermata, Eulera i Wilsona Twierdzenie 3.1 (Fermata). Niech a Z oraz niech p będzie liczbą pierwszą. Wówczas a p a (mod p). Twierdzenie 3.2 (Eulera). Jeśli n N, a Z oraz (a, n) = 1, to a ϕ(n) 1 (mod n) Twierdzenie 3.3 (Wilsona). Niech n N oraz n > 1. Wówczas n jest liczbą pierwszą wtedy i tylko wtedy, gdy (n 1)! 1 (mod n). Twierdzenia: Fermata, Eulera i Wilsona ZADANIA Zadanie 3.1 ( ). Wyprowadzić następujący wniosek z Twierdzenia Eulera: Wniosek Jeśli a Z, n N oraz (a, n) = 1, to a m 1 (mod n), gdzie n = p k1 1 pk pkr gdy i j, p i liczby pierwsze oraz m = [ϕ(p k1 1 ), ϕ(pk2 2 ),..., ϕ(pkr r )]. Dowód. Niech a, n jak w założeniu. Z Tw. Eulera: a ϕ(pk 1 1 ) 1 (mod p k1 a ϕ(pk 2 2 ) 1 (mod p k2 Wtedy: a ϕ(pkr 1 ) 2 )... r ) 1 (mod p kr a m 1 a m 1... a m 1 (mod p k1 (mod p k2 1 ) 2 ) (mod p kr r ) r ) r, dla p i p j, Wykorzystując chińskie twierdzenie o resztach i zasadę indukcji matematycznej (indukcja względem r), możemy udowodnić tezę. Istotnie, niech r = 1, czyli n = p k1 1. Wówczas am 1 (mod n). Dla r = 2, mamy n = p k1 następujący układ kongruencji: { a m 1 (mod p k1 a m 1 1 ) 2 ) (mod p k2 Zatem a m = 1 + p k1 1 t 1, dla t 1 Z. Podstawiamy do drugiego równania i otrzymujemy: p k1 1 t 1 0 (mod p k2 2 ) t 1 0 (mod p k2 2 ). Stąd t 1 = p k2 2 t 2, dla t 2 Z, więc a m = 1 + p k1 1 pk2 2 t 2. Zatem a m 1 (mod n). 1 pk2 2. Otrzymujemy więc Niech r > 2. Załóżmy, że teza zachodzi dla r 1. Pokażemy, że zachodzi dla r. Niech n = p k1 1 pk pkr r. Wówczas dla n = p k1 1 pk pkr 1 i m = [ϕ(p k1 1 ), ϕ(pk2 2 ),..., ϕ(pkr 1 )] z założenia indukcyjnego, mamy: a m 1 (mod n ). Mamy więc następujący układ kongruencji: Ponieważ m = [m, ϕ(p kr r )], więc: { a m 1 (mod n ) a ϕ(pkr r ) 1 (mod p kr r ) { a m 1 (mod n ) a m 1 (mod p kr r ) Stosując chińskie twierdzenie o resztach, otrzymamy: a m 1 (mod n p kr r ).

8 DB Algebra dla informatyków 1 semestr letni Zadanie 3.2 ( ). Niech p 3 będzie liczbą pierwszą. Wyznacz reszty z dzielenia przez p następujących liczb. (a) (p 2)!, (b) (p 3)!, (c) 2 p2 1, (d) 2 pn 1 dla każdego n naturalnego, (e) (2p 2), (f) (2p 1). Zadanie 3.3 ( ). Wyznacz ostatnie dwie cyfry następujących liczb: (a) , (b) , (c) , Zadanie 3.4 ( ). Znajdź reszty z dzielenia przez 30 następujących liczb: (a) , (b) , (c) , Zadanie 3.5 ( ). Udowodnij, że dla każdej liczby naturalnej n zachodzą podzielności: (a) 24 n 5 n 3, (b) 252 n 8 n 2, (c) n 16 n 4.

9 DB Algebra dla informatyków 1 semestr letni Grupy Definicja 4.1. Działaniem wewnętrznym (w skrócie będziemy mówić działaniem) w zbiorze X nazywać będziemy każdą funkcję X X X. Definicja 4.2. Niech F i A będą niepustymi zbiorami. Dowolne odwzorowanie : F A A nazywamy działaniem zewnętrznym w zbiorze A ze zbiorem operatorów F. Definicja 4.3. Grupą nazywamy zbiór G z działaniem : warunki: G G G, dla którego spełnione są następujące G1. Dla dowolnych a, b, c G : (a b) c = a (b c). (łączność) G2. Istnieje element e G (nazywany elementem neutralnym grupy) taki, że: dla każdego a G : e a = a e = a. G3. Dla każdego a G istnieje element b G (nazywany elementem odwrotnym do a) taki, że: a b = b a = e. Definicja 4.4. Grupą przemienną (lub abelową) nazywamy zbiór G z działaniem : G G G, spełniającym warunki G1. G3. z powyższej definicji oraz warunek: G4. dla dowolnych a, b G : a b = b a. Fakt 4.1. Niech G będzie grupą. 1. Element neutralny grupy G jest tylko jeden. 2. Dla każdego elementu a G element odwrotny b do elementu a jest jednoznacznie określony, oznaczamy go symbolem a Dla każdego a G mamy: ( a 1 ) 1 = a. 4. Dla dowolnych a, b G zachodzi równość: (ab) 1 = b 1 a 1. Często dla uproszczenia zapisu element neutralny dla mnożenia ( ) będziemy oznaczać poprzez 1, natomiast dla dodawania (+) poprzez 0. Definicja 4.5. Niepusty podzbiór H grupy (G, ) nazywamy podgrupą grupy G, gdy (H, ) jest grupą. Fakt 4.2. Niepusty podzbiór H grupy (G, ) jest podgrupą wtedy i tylko wtedy, gdy h 1, h 2 H : h 1 h 1 2 H. Definicja 4.6. Niech g G będzie elementem grupy G. 1. Jeżeli g n = e dla pewnego n N, to mówimy, że g jest elementem skończonego rzędu. 2. Jeżeli g G jest elementem skończonego rzędu, to liczbę: nazywamy rzędem elementu g. g := min{n N : g n = e}

10 DB Algebra dla informatyków 1 semestr letni Definicja 4.7. Podgrupę H grupy G nazywamy dzielnikiem normalnym grupy G, gdy ghg 1 H dla każdego g G. Jeśli H G jest dzielnikiem normalnym, to zapisujemy to w skrócie H G. Fakt 4.3. Niech H będzie podgrupą grupy G. Następujące warunki są równoważne: 1. H jest dzielnikiem normalnym grupy G. 2. g 1 Hg H dla każdego g G. 3. ghg 1 = H dla każdego g G. 4. gh = Hg, dla każdego g G. 5. (ah)(bh) = (ab)h, dla każdych a, b G. Definicja 4.8. Niech H G będzie podgrupą grupy G i niech g G. 1. Warstwą lewostronną elementu g względem podgrupy H nazywamy zbiór: gh := {gh; h H}. 2. Warstwą prawostronną elementu g względem podgrupy H nazywamy zbiór: Natychmiast z definicji warstwy wynika, że Hg := {hg; h H}. g 1 H = g 2 H g 1 1 g 2 H. Lemat 4.4. Niech H G będzie podgrupą. Dowolne dwie warstwy lewostronne (odp. prawostronne) podgrupy H w grupie G są albo rozłączne albo równe. Definicja 4.9. Niech H G będzie podgrupą grupy G. 1. Symbolem G/H oznaczamy zbiór wszystkich warstw lewostronnych: G/H := {gh; g G}. 2. Symbolem H\G oznaczamy zbiór wszystkich warstw prawostronnych: H\G := {Hg; g G}. Fakt 4.5. Niech G będzie grupą a H jej podgrupą. Zbiór G/H jest skończony wtedy i tylko wtedy gdy zbiór H\G jest skończony. W przypadku, gdy jeden ze zbiorów G/H lub H\G jest skończony zachodzi równość: G/H = H\G. Definicja Jeżeli H jest taką podgrupą grupy G, że zbiór G/H jest skończony, to liczbę warstw lewostronnych (równoważnie prawostronnych): [G : H] := G/H = H\G nazywamy indeksem podgrupy H w grupie G. Twierdzenie 4.6. (Lagrange a) Jeżeli H jest podgrupą grupy skończonej G, to W szczególności H dzieli G. [G : H] = G H.

11 DB Algebra dla informatyków 1 semestr letni Zadanie 4.1 ( ). Sprawdź, czy następujące struktury są grupami. (a) Z \ {0}, ; (b) R \ {0}, ; (c) Z/n, + n ; (d) Z/6, 6 ; (e) Z/5, 5 ; (f) Z,. (g) M 2 2 (R), +. (h) M 2 2 (R),. (i) GL 2 (R),. Zadanie 4.2 ( ). Sprawdź, czy H jest podgrupą G, jeśli: (a) H = {0, 1, 2}, G = Z/6, + 6 ; (b) H = {0, 2}, G = Z/4, + 4 ; (c) H = {0, 4, 8}, G = Z/12, + 12 ; (d) H = Z, +, G = R, + ; (e) H = Z +,, G = R +, ; (f) H = {1, 4}, G = (Z/5), 5 ; (g) H = {1, 2, 4}, G = (Z/15), 15 ; Zadanie 4.3 ( ). Wykonaj następujące działania w grupach. (a) ( ) w (Z/12) ; (b) i 3 jk 2 ( i) 3 j 3 w grupie kwaternionów Q 8 ; (c) (s 3 r 5 ) 2 s 3 r 4 s w grupie dihedralnej D 4. Zadanie 4.4 ( ). Rozwiąż następujące równania w grupach: (a) (ij) 3 xkj 2 = 1 w Q 8 ; (b) (s 3 r 2 ) 1 xr 2 = sr 3 w D 5. Zadanie 4.5 ( ). Oblicz rzędy następujących elementów: (a) 3 i 5 w Z/n; (b) 3 i 11 w (Z/20) ; (c) wszystkich elementów Q 8 ; (d) wszystkich elementów D 3 ; (e) r 5 i r 2 s w D 6 ; [ ] 1 1 (f) w GL 2 (F 3 ). 0 1 Zadanie 4.6 ( ). Wyznacz warstwy lewostronne i prawostronne następujących podgrup. Narysuj tabelkę działania dla grupy ilorazowej, o ile istnieje. (a) 3Z < Z; (b) {0, 5, 10, 15} < Z/20; (c) {1, 3, 9} < (Z/13) ; (d) {1, 1} < Q 8 ; (e) {1, 1, k, k} < Q 8 ; (f) {id, r 2, r 4 } < D 6 ; (g) {id, rs} < D 3.

12 DB Algebra dla informatyków 1 semestr letni Grupy permutacji Definicja Niech f : X Y (a) Mówimy, że f jest suriekcją (odwzorowaniem na zbiór Y ), gdy dla każdego y Y, istnieje x X taki, że: y = f (x). (b) Mówimy, że f jest iniekcją (odwzorowaniem różnowartościowym), gdy dla dowolnych x 1, x 2 X zachodzi następująca implikacja: x 1 x 2 f (x 1 ) f (x 2 ) lub równoważna implikacja: f (x 1 ) = f (x 2 ) x 1 = x 2. (c) Mówimy, że f jest bijekcją, gdy jest zarówno iniekcją jak i suriekcją. 2. Niech: f : X Y g : Y Z. Złożeniem funkcji f i g nazywamy funkcję h := g f : X Z określoną następująco: dla każdego x X : h (x) := (g f) (x) = g (f (x)). Czyli mamy następującą sytuację: f X Y Z g Zauważmy, że w ogólnym przypadku składanie funkcji nie jest przemienne. Niech np. f, g : R R, dla dowolnego x R dane wzorami: Wówczas dla dowolnego x R mamy: g f f (x) = 2x g (x) = x 2. (f g) (x) = f (g (x)) = f ( x 2) = 2x 2 (g f) (x) = g (f (x)) = g (2x) = 4x 2 Twierdzenie 5.1. Niech X będzie dowolnym zbiorem, a Bij (X) niech będzie zbiorem wszystkich bijekcji zbioru X (tzn. Bij (X) = {f : X X; f jest bijekcją}). Zbiór Bij (X) wraz ze składaniem funkcji tworzy grupę. Nas interesować będą zbiory, które mają skończoną liczbę elementów. Definicja 5.2. Niech X będzie dowolnym zbiorem n-elementowym. Grupę bijekcji takiego zbioru oznaczamy S n i nazywamy grupą permutacji zbioru n-elementowego. Elementy grupy S n nazywamy permutacjami.

13 DB Algebra dla informatyków 1 semestr letni Zauważmy, że dowolny zbiór n elementowy możemy utożsamić ze zbiorem {1, 2, 3,..., n}, niech więc X = {1, 2, 3,..., n}. Wówczas dowolną permutację σ S n możemy zapisać: σ = ( ) n. σ (1) σ (2) σ (3)... σ (n) Elementem neutralnym grupy S n jest permutacja identycznościowa: Id = ( ) n n Elementem odwrotnym do σ jest: σ 1 = ( ) σ (1) σ (2) σ (3)... σ (n) n Definicja 5.3. Permutację σ S n nazywamy cyklem długości k, gdy istnieje k elementowy podzbiór {a 1, a 2,..., a k } zbioru X taki, że: σ (a 1 ) = a 2, σ (a 2 ) = a 3,..., σ (a k 1 ) = a k, σ (a k ) = a 1 oraz σ (a) = a dla a / {a 1, a 2,..., a k }. Przyjmujemy, że permutacja identycznościowa jest cyklem długości jeden. Zauważmy, że każdy cykl długości k można zapisać na k sposobów. Definicja 5.4. Dwa cykle (a 1, a 2,..., a j ), (b 1, b 2,..., b k ) nazywamy cyklami rozłącznymi, gdy zbiory {a 1, a 2,..., a j }, {b 1, b 2,..., b k } są rozłączne. Twierdzenie 5.2. Każdą permutację można przedstawić w postaci iloczynu parami rozłącznych cykli. Przedstawienie to jest jednoznaczne z dokładnością do kolejności cykli. Definicja 5.5. Cykl długości 2 nazywamy transpozycją. Twierdzenie 5.3. Każdą permutację można rozłożyć na iloczyn transpozycji. To przedstawienie nie jest jednoznaczne. Jednak, gdy dana permutacja jest jednocześnie iloczynem p i r transpozycji, to liczby p i r są tej samej parzystości (tzn. obie są parzyste lub obie są nieparzyste). W rozkładzie permutacji identycznościowej na transpozycje występuje zawsze parzysta ich ilość. Poniższa równość określa sposób rozkładu cyklu długości k na iloczyn transpozycji: (a 1, a 2, a 3,..., a k 1, a k ) = (a 1, a k ) (a 1, a k 1 )... (a 1, a 3 ) (a 1, a 2 ). Definicja 5.6. Znakiem permutacji σ nazywamy liczbę sgn σ = ( 1) r, gdzie r jest liczbą czynników w rozkładzie permutacji σ na iloczyn transpozycji. Jeśli sgn σ = 1, to permutację σ nazywamy parzystą. Jeśli sgn σ = 1, to permutację σ nazywamy nieparzystą. Definicja 5.7. Niech dana będzie permutacja: σ = Mówimy, że liczby s, t tworzą inwersję, gdy: ( ) s... t... n. σ (1) σ (2) σ (3)... σ (s)... σ (t)... σ (n) s < t oraz σ (s) > σ (t).

14 DB Algebra dla informatyków 1 semestr letni Np. Liczba 6 tworzy 5 inwersji. σ = ( ) Liczba 4 tworzy 3 inwersji. Liczba 2 tworzy 1 inwersji. Liczba 3 tworzy 1 inwersji. Liczba 7 tworzy 2 inwersji. Liczba 5 tworzy 1 inwersji. Liczba 1 tworzy 0 inwersji. Liczba wszystkich inwersji w permutacji σ wynosi = 13. Istnieje równoważna definicja parzystości permutacji: Definicja 5.8 (równoważna definicji 5.6). Permutację σ S n nazywamy parzystą, gdy dla n > 1 liczba inwersji w σ jest parzysta lub σ S 1. Permutację σ S n, n > 1 nazywamy nieparzystą, gdy liczba inwersji w σ jest nieparzysta. Twierdzenie 5.4. Rząd cyklu długości l: γ = (i 1, i 2,..., i l ) S n wynosi l. Rząd dowolnej permutacji σ S n zapisanej w postaci iloczynu parami rozłącznych cykli: gdzie γ i jest długości l i, wynosi nww(l 1, l 2,..., l k ). σ = γ 1 γ 2... γ k, 6 Homomorfizmy grup Definicja 6.1. Niech (A, + A ) oraz (B, + B ) będą grupami. Mówimy, że odwzorowanie f : A B jest homomorfizmem grup, gdy dla każdego a, b A: f (a + A b) = f (a) + B f (b). Warto zauważyć, że w przypadku, gdy (A, + A ) oraz (B, + B ) są grupami i f : A B jest homomorfizmem grup, to: f (0 A ) = 0 B. Jądrem homomorfizmu f : A B, jest zbiór: Obrazem homomorfizmu f : A B jest zbiór: Definicja 6.2. Ker f = {a A : f (a) = 0 B }. Im f = {b B, a A : f (a) = b}. Homomorfizm różnowartościowy (iniektywny) nazywamy monomorfizmem. Homomorfizm na (suriektywny) nazywamy epimorfizmem. Homomorfizm bijektywny nazywamy izomorfizmem. Fakt 6.1. Homomorfizm grup f : A B jest monomorfizmem wtedy i tylko wtedy, gdy Ker f = {0 A }. Fakt 6.2. Jeśli f : A B jest homomorfizmem grup, to: 1. Ker f A, 2. Im f jest podgrupą grupy B.

15 DB Algebra dla informatyków 1 semestr letni Grupy permutacji Zadanie 6.1 ( )., dot. poprzedniego działu] Wyznaczyć wszystkie podgrupy następujących grup: (a) Z/15, (b) Z/18, (c) (Z/8), (d) (Z/16), (e) (Z/15). Zadanie 6.2 ( ). Rozłóż na cykle i transpozycje, określ znak i wyznacz rzędy każdej z poniższych permutacji. (a) σ = ( ); (b) σ = ( ); (c) σ = ( ); (d) σ = ( ); (e) σ = ( ); (f) σ = ( ). Zadanie 6.3 ( ). Wykonaj następujące działania w S n : (a) ( ) ( ); (b) ( )3 ( ) 61. Zadanie 6.4 ( ). Rozwiąż następujące równania w S n (a) (1, 2)(2, 5, 4, 1)x = (1, 3)(2, 4) w grupie S 5 ; (b) ( ) x ( ) = ( ); (c) ( ) x ( ) 1 = ( ); (d) x ( ) = ( ); (e) ( ) 2 x ( ) = id; (f) ( )99 x ( )77 = ( )88. Homomorfizmy grup Zadanie 6.5 ( ). Sprawdź, czy następujące przekształcenia są homomorfizmami grup. Jeśli tak, to wyznacz jądro i obraz. Czy są to monomorfizmy / epimorfizmy / izomorfizmy? (a) f : R, + R >0,, f(x) = 2 x ; (b) f : R >0, R, +, f(x) = x 2 ; (c) f : Z, + Z, +, f(x) = 5x; (d) f : C, + R, +, f(z) = Re(z); (e) f : Q, + Q, +, f(x) = 2x + 1; (f) f : Q 8 {±1},, f(±1) = f(±i) = 1, f(±j) = f(±k) = 1; (g) f : D n Z/n, f(r j ) = f(r j s) = j; (h) f : S n S n, f(σ) = σ 2. Zadanie 6.6 ( ). Wyznacz wszystkie homomorfizmy: (a) f : Z Z/3; (b) f : Z (Z/8) ; (c) f : D 4 Z/4; (d) f : S 3 Q 8.

16 DB Algebra dla informatyków 1 semestr letni Pierścienie Definicja 7.1. Pierścieniem nazywamy zbiór R z dwoma działaniami: z dodawaniem + : mnożeniem : R R R, dla których są spełnione następujące warunki: R R R i z P1. (R, +) jest grupą abelową. P2. Dla dowolnych a, b, c R : (a b) c = a (b c) (łączność mnożenia). P3. Dla dowolnych a, b, c R : (rozdzielność mnożenia względem dodawania). a (b + c) = a b + a c (a + b) c = a c + b c Jeśli ponadto R {0} oraz istnieje element neutralny mnożenia e R taki, że: to mówimy, że R jest pierścieniem z jedynką. Jeśli mnożenie w pierścieniu R jest przemienne, tzn.: to mówimy, że R jest pierścieniem przemiennym. dla każdego a R : a e = e a = a, dla każdego a, b R : a b = b a, Definicja 7.2. Ciałem nazywamy niepusty zbiór K (posiadający co najmniej dwa elementy) wraz z działaniami + : K K K oraz : K K K takimi, że: C1. (K, +, ) jest pierścieniem przemiennym z jedynką. C2. Zbiór K = K \ {0} z mnożeniem jest grupą. Definicja 7.3. Niech (A, + A ) oraz (B, + B ) będą grupami. Mówimy, że odwzorowanie f : A B jest homomorfizmem grup, gdy dla każdego a, b A: f (a + A b) = f (a) + B f (b). Niech teraz (A, + A, A) oraz (B, + B, B) będą pierścieniami. Mówimy, że odwzorowanie f : A B jest homomorfizmem pierścieni, gdy dla każdego a, b A: Warto zauważyć, że w przypadku, gdy: f (a + A b) = f (a) + B f (b) f (a A b) = f (a) B f (b) 1. (A, + A ) oraz (B, + B ) są grupami i f : A B jest homomorfizmem grup, to: f (0 A ) = 0 B. 2. (A, + A, A) oraz (B, + B, B) są dowolnymi pierścieniami i f : A B jest homomorfizmem pierścieni, to: f (0 A ) = 0 B.

17 DB Algebra dla informatyków 1 semestr letni (A, + A, A) oraz (B, + B, B) są dowolnymi pierścieniami z jedynką i f : A B jest homomorfizmem tych pierścieni, to: f (0 A ) = 0 B, f (1 A ) = 1 B. Definicja 7.4. Niech A będzie pierścieniem. Element a A nazywamy: 1. Dzielnikiem zera, gdy b A \ {0} taki, że ab = 0 lub ba = Nilpotentem, gdy n N takie, że a n = Idempotentem, gdy a 2 = a. 4. Elementem odwracalnym lub jednością, gdy A posiada jedynkę i b A takie, że ab = ba = 1. UWAGA 1. Niech A = Z/n, gdzie n = r i=1 pki i, dla p i liczb pierwszych takich, że p i p j, gdy i j. Wówczas idempotentów w A jest 2 r. Definicja 7.5. Pierścień przemienny, w którym nie ma dzielników zera różnych od zera nazywamy dziedziną całkowitości.

18 DB Algebra dla informatyków 1 semestr letni Pierścienie ZADANIA Zadanie 7.1 ( ). Sprawdź, które z następujących struktur są pierścieniami: (a) Z Z z dodawaniem i mnożeniem po współrzędnych; (b) N z dodawaniem i mnożeniem; (c) nz z dodawaniem i mnożeniem; (d) R z działaniami min i max; (e) N z działaniami NWD i NWW; (f) Zbiór funkcji f : R R określonych wzorem f(x) = ax + b z dodawaniem i składaniem; (g) M 2 2 (R) z dodawaniem i mnożeniem macierzy. (h) Zbiór wszystkich podzbiorów zbioru X (X jest dowolnym niepustym zbiorem) z działaniami i ; (i) Zbiór wielomianów o współczynnikach rzeczywistych z dodawaniem i mnożeniem wielomianów; (j) Zbiór liczb postaci a + bi, gdzie a, b Z z dodawaniem i mnożeniem; (k) Zbiór liczb zespolonych o module 1 z dodawaniem i mnożeniem. Zadanie 7.2 ( ). Dla pierścieni z poprzedniego zadania: (a) (b) (c) (d) (e) (f) które są przemienne? które posiadają jedynkę? wymień elementy odwracalne każdego z nich; wymień dzielniki zera w każdym z nich; które są dziedzinami całkowitości? które są ciałami? Zadanie 7.3 ( ). Wymień elementy odwracalne, dzielniki zera, nilpotenty oraz idempotenty pierścienia Z/n dla n = 5, 6, 18, 20, 24, 60.

19 DB Algebra dla informatyków 1 semestr letni Podpierścienie, ideały, homomorfizmy Definicja 8.1. Podpierścieniem pierścienia A nazywamy niepusty podzbiór B A taki, że B jest zamknięty ze względu na działania dodawania i mnożenia z A i B jest pierścieniem względem tych działań ograniczonych do B. Ponadto, jeśli A posiada jedynkę, to B jest podpierścieniem z jedynką, gdy 1 B. Lemat 8.1. Niepusty podzbiór B pierścienia A jest podpierścieniem wtedy i tylko wtedy, gdy: 1. b, b B : b b B, 2. b, b B : b b B. Ponadto B jest podpierścieniem z jedynką wtedy i tylko wtedy, gdy zachodzą warunki 1. i 2. oraz warunek: 3. 1 B. Definicja 8.2. Ideałem lewostronnym pierścienia A nazywamy niepusty podzbiór I A taki, że: 1. a 1, a 2 I : a 1 a 2 I, 2. a A b I : ab I. Ideałem prawostronnym pierścienia A nazywamy niepusty podzbiór I A taki, że: 1. a 1, a 2 I : a 1 a 2 I, 2. a A b I : ba I. Ideałem obustronnym pierścienia A nazywamy niepusty podzbiór I A, który jest ideałem prawostronnym i lewostronnym. UWAGA 2. Każdy ideał obustronny I w pierścieniu A jest w szczególności podpierścieniem pierścienia A. UWAGA 3. Jeśli pierścień jest przemienny, to każdy ideał lewostronny jest także ideałem prawostronnym i każdy ideał prawostronny jest także ideałem lewostronnym. Niech A będzie pierścieniem i niech I A będzie ideałem obustronnym w A. Rozpatrzmy zbiór warstw A/I := {a + I : a A}. Ponieważ A z dodawaniem jest grupą abelową i ideał I jest jej podgrupą, to zbiór warstw A/I jest grupą ilorazową z dodawaniem warstw: Wprowadzamy na A/I mnożenie warstw: Mnożenie jest dobrze określone, bo jeśli: to a 1 a 1 I oraz a 2 a 2 I. Zatem: (a 1 + I) + (a 2 + I) := (a 1 + a 2 ) + I. (a 1 + I)(a 2 + I) := (a 1 a 2 ) + I. a 1 + I = a 1 + I, a 2 + I = a 2 + I, a 1 a 2 a 1a 2 = a 1 (a 2 a 2) + (a 1 a 1)a 2 I a 1 a 2 + I = a 1a 2 + I. Fakt 8.2. Niech I A będzie ideałem obustronnym pierścienia A. Zbiór A/I z działaniami dodawania i mnożenia warstw jest pierścieniem. Jeśli A ma jedynkę to A/I też ma jedynkę którą jest element 1 + I. Jeżeli A jest przemienny, to A/I jest też przemienny. Fakt 8.3. Niech f : A 1 A 2 będzie homomorfizmem pierścieni.

20 DB Algebra dla informatyków 1 semestr letni Jeśli I 2 jest ideałem w A 2, to f 1 (I 2 ) jest ideałem w A Jeśli f jest epimorfizmem i I 1 jest ideałem w A 1, to f(i 1 ) jest ideałem w A Ker(f) jest ideałem w A Im(f) jest podpierścieniem pierścienia A f jest monomorfizmem wtedy i tylko wtedy, gdy Ker(f) = {0 A1 }. 6. f jest epimorfizmem wtedy i tylko wtedy, gdy Im(f) = A 2. Definicja 8.3. Niech A będzie pierścieniem przemiennym. 1. Ideał p pierścienia A nazywamy pierwszym, gdy dla dowolnych a, b A, jeśli ab p, to a p lub b p. 2. Ideał m pierścienia A nazywamy maksymalnym, gdy m A oraz jeśli m I dla pewnego ideału I A, to I = m lub I = A. Twierdzenie 8.4. Niech A będzie pierścieniem przemiennym. Następujące warunki są równoważne: 1. ideał p A jest pierwszy, 2. A/p jest dziedziną całkowitości. Twierdzenie 8.5. Niech A będzie pierścieniem przemiennym. Następujące warunki są równoważne: 1. ideał m A jest maksymalny, 2. A/m jest ciałem. Definicja 8.4. Niech A będzie pierścieniem przemiennym. Niech x A. Zbiór postaci: {xa : a A} nazywamy ideałem głównym (generowanym przez element x) i oznaczamy (x). Lemat 8.6. Powyżej zdefiniowany ideał główny jest ideałem.

21 DB Algebra dla informatyków 1 semestr letni Podpierścienie, ideały, homomorfizmy Zadanie 8.1 ( ). Sprawdź, czy zbiór A jest podpierścieniem/ideałem pierścienia R, jeśli (a) A = 6Z, R = 2Z; (b) A = ir, B = C; (c) A = {(x, x) : x Z}, R = R R; {[ ] } u 0 (d) A = : u, v R, R = M 2 2 (R); 0 v (e) A = {0, 3, 6}, R = Z/9; {[ ] u v (f) A = : u, v F 2 }, R = M 2 2 (F 2 ); v v (g) A = (x, x) : x Z, R = Z Z. Zadanie 8.2 ( ). Dla ideałów z poprzedniego zadania narysuj tabelki działań pierścienia ilorazowego. Czy są to ideały główne / pierwsze / maksymalne? Zadanie 8.3 ( ). Sprawdź, czy następujące przekształcenia są homomorfizmami pierścieni. Jeśli tak, to wyznacz jądro i obraz. Czy są to monomorfizmy / epimorfizmy / izomorfizmy? (a) f : C C, f(z) = z; (b) f : Z 2Z, f(z) = 4z; (c) f : Z Z/n, f(x) = [x] n ; (d) f : M 2 2 (R) R, f(m) = det(m); (e) f : R[x] R, f(p ) = P (1); (f) f : R R R R, f(x, y) = (y, x); (g) f : Z/20 Z/5, f(x) = [x] 5.

22 DB Algebra dla informatyków 1 semestr letni Pierścienie wielomianów i liczby zespolone 9.1 Pierścień wielomianów Twierdzenie 9.1. Niech R będzie dziedziną całkowitości. Niech f, g R[x] oraz współczynnik przy najwyższej potędze x w wielomianie g będzie odwracalny. Istnieje wtedy dokładnie jedna para wielomianów q, r A[x], taka że: f = gq + r oraz deg r < deg g. Definicja 9.1. Niech f, g K[x], gdzie K jest dowolnym ciałem. Niech f 0 lub g 0. Największym wspólnym dzielnikiem wielomianów f i g nazywamy wielomian unormowany h K[x], spełniający następujące warunki: 1. h g oraz h f, 2. dla każdego h K[x] takiego, że h f i h g zachodzi: h h. Piszemy wtedy h = (f, g). Definicja 9.2. Jeśli (f, g) K, to wielomiany f, g nazywamy względnie pierwszymi. Definicja 9.3. Element a R nazywamy pierwiastkiem wielomianu f R[x], gdy f(a) = 0. Twierdzenie 9.2 (Bézouta). Element a R jest pierwiastkiem wielomianu f R[x] wtedy i tylko wtedy, gdy (x a) f. Twierdzenie 9.3. Niech n N. Wielomian n-tego stopnia o współczynnikach z dziedziny całkowitości ma co najwyżej n pierwiastków w tym pierścieniu. Twierdzenie 9.4. Niech f = a n x n a 1 x + a 0 Z[x]. Jeśli ułamek nieskracalny p q jest pierwiastkiem wielomianu f, to p a 0 oraz q a n. Twierdzenie 9.5 (Zasadnicze twierdzenie algebry). Każdy wielomian f C[x] stopnia dodatniego ma w ciele C pierwiastek. Wniosek Każdy wielomian f C[x] stopnia n N ma w ciele C dokładnie n pierwiastków, licząc z krotnościami. Twierdzenie 9.6. Każdy wielomian rzeczywisty nieparzystego stopnia ma pierwiastek w R. 9.2 Ciało liczb zespolonych Liczbą zespoloną nazywamy parę uporządkowaną liczb rzeczywistych Często taką parę zapisujemy w postaci kanonicznej: gdzie i 2 = 1. z = (a, b). z = a + bi, a nazywamy częścią rzeczywistą liczby zespolonej z, oznaczamy Re z, b nazywamy częścią urojoną liczby zespolonej z, oznaczamy Im z. Liczbą przeciwną do liczby z jest liczba natomiast sprzężeniem liczby z jest liczba Moduł liczby zespolonej: z = a bi, z = a bi. z = a 2 + b 2. Dwie liczby zespolone są równe, gdy ich części rzeczywiste są sobie równe oraz ich części urojone są sobie równe.

23 DB Algebra dla informatyków 1 semestr letni Działania na liczbach zespolonych Niech z = a + bi, z = c + di będą liczbami zespolonymi. Dodawanie, odejmowanie: Mnożenie: z ± z = (a + bi) ± (c + di) = (a ± c) + (b ± d) i. z z = (a + bi) (c + di) = (ac bd) + (ad + bc) i. Dzielenie: z z = a + bi c + di = a + bi c + di c di c di = ac + bd c 2 + d bc ad ac + bd + 2 c 2 i = + d2 z 2 + bc ad z 2 i Postać trygonometryczna liczby zespolonej Liczbę zespoloną: z = a + bi możemy przedstawić w postaci trygonometrycznej: z = z (cos φ + i sin φ), gdzie φ nazywamy argumentem liczby z, oznaczamy arg z. Im -a b ϕ z a z z -b z z- Re -z Rysunek 1. Interpretacja geometryczna Zauważmy, że: cos φ = a z, sin φ = b z. Zauważmy również, że taka postać daje nam zapis jednoznaczny z dokładnością do 2π. Żeby uzyskać jednoznaczność zapisu, wprowadzimy pojęcie argumentu głównego liczby zespolonej z. Argument główny oznaczać będziemy Arg z, Arg z [ 0, 2π). arg z = Arg z + 2kπ, dla k Z. Własności 9.1. Niech z, z 1, z 2 będą liczbami zespolonymi: 1. Re (z 1 ± z 2 ) = Re z 1 ± Re z 2,

24 DB Algebra dla informatyków 1 semestr letni Im (z 1 ± z 2 ) = Im z 1 ± Im z 2, 3. z 1 z 2 = z 1 z 2, 4. z1 z 2 = z1 z 2, 5. z z = z 2 6. z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2, 7. z 1 z 2 = z 1 z 2, 8. ( ) z 1 z 2 = z1 z 2, 9. z R z = z, 10. arg (z 1 z 2 ) = arg z 1 + arg z 2, 11. ( ) z arg 1 z 2 = arg z 1 arg z 2. Postać trygonometryczna ułatwia nam mnożenie i dzielenie liczb zespolonych: z 1 z 2 = z 1 z 2 (cos (φ 1 + φ 2 ) + i sin (φ 1 + φ 2 )), (4) z 1 = z 1 z 2 z 2 (cos (φ 1 φ 2 ) + i sin (φ 1 φ 2 )), dla z 2 0. (5) Twierdzenie 9.7 (wzór Moivre a). Niech z = z (cos φ + i sin φ). Wówczas dla dowolnego n N, mamy: z n = z n (cos nφ + i sin nφ) Twierdzenie 9.8. Niech z = z (cos φ + i sin φ). Wówczas dla dowolnego n N, istnieje dokładnie n różnych pierwiastków stopnia n z liczby zespolonej z, tzn. rozwiązań równania ω n = z, które dane są wzorami: ω k = n ( z cos φ + 2kπ + i sin φ + 2kπ ), gdzie k = 0, 1,... n 1. n n Liczby zespolone Zadanie 9.1 ( ). Wykonaj działania i zapisz wynik w postaci kanonicznej. (a) 1 1+i + i 2+i + 2 i 1+3i, (b) (2 i) i 3i 3 2i, 2+3i 1+i (c) 1 i i, Zadanie 9.2 ( ). Oblicz korzystając ze wzoru de Moivre a. (a) (1 + i) 5, (b) (1 i) 7, (c) ( 3 + i) 8, (d) ( 1 + i 3) 9. Zadanie 9.3 ( ). Oblicz następujące pierwiastki. (a) kwadratowe z 2 i, (b) kwadratowe z 4 + 3i, (c) sześcienne i czwartego stopnia z 1, (d) sześcienne z 8.

25 DB Algebra dla informatyków 1 semestr letni Pierścienie wielomianów Zadanie 9.4 ( ). Oblicz: (a) (x 3 2x + 1)(x 4 + x 3 2) w Q[x], (b) (2x 3 + x 2 + 1)(x 4 + x 2 + 2x + 2) w Z 3 [x], (c) (x 2 + x + 1)(2x 2 + x 2) w Q[x]/(x 3 + 2), (d) (x 3 + x + 1)(x 3 + x 2 + 1) w Z 2 [x]/(x 4 x 2 ), Zadanie 9.5 ( ). Wykonaj dzielenie wielomianów z resztą: (a) (b) 2x 5 3x 4 + 4x 2 x 1 przez x 2 + 2x 3 w Q[x], 2x 6 + 3x 5 + x przez 3x + 2 w Z 5 [x]. Zadanie 9.6 ( ). Posługując się algorytmem Euklidesa, znajdź NWD następujących wielomianów: (a) (b) x 5 x 4 + x 2 x oraz x 4 + x w Q[x], x 3 + 2x 2 + 2x + 1 oraz x w Z 3 [x]. Wielomiany, pierścienie ilorazowe Zadanie 9.7. Zbadaj rozkładalność danych wielomianów. (a) x 4 + x 3 x 2 4x 2 oraz x 4 2x 2 nad Q, (b) x 3 + x oraz x 5 + x nad F 2, (c) x 4 + 4x 2 + 2x + 4 nad F 5. Zadanie 9.8. Ile elementów mają poniższe pierścienie ilorazowe? Który z nich jest ciałem? (a) F 2 [x]/(x 2 + x + 1), (b) Q[x]/(x 3 + 2), (c) Z 12 [x]/(x 2 + 5). Zadanie 9.9. Przez [f] oznaczmy klasę abstrakcji reprezentowaną przez wieloman f w danym pierścieniu ilorazowym. Oblicz, o ile istnieją, odwrotności elementów w danym pierścieniu: (a) [x + 1] w F 2 [x]/(x 2 + x + 1), (b) [x 2 + 2] w F 3 [x]/(x 3 + 2x + 2), (c) [x + 1] w F 2 [x]/(x 4 + x 3 + x + 1).