Zadania z arytmetyki i teorii liczb

Transkrypt

1 Zadania z arytmetyki i teorii liczb Andrzej Nowicki 1. Znaleźć największą wartość iloczynu liczb naturalnych, których suma równa się Z cyfr 1, 2,..., 9 utworzono trzy trzycyfrowe liczby o największym iloczynie. Każdą cyfrę użyto jeden raz. Jakie to liczby? 3. Z każdego nieskończonego postępu arytmetycznego o wyrazach naturalnych można wybrać nieskończony postęp geometryczny. 4. Niech a, b, c, d N. Jeśli postępy arytmetyczne (a + nb) i (c + dn) mają co najmniej jeden wyraz wspólny, to wszystkie ich wyrazy wspólne tworzą nieskończony postęp arytmetyczny. 5. W nieskończonym ciągu arytmetycznym o wyrazach naturalnych istnieje wyraz podzielny przez 64 oraz istnieje wyraz niepodzielny przez 64. Wykazać, że: (1) w tym ciągu istnieje wyraz podzielny przez 512; (2) w tym ciągu istnieje wyraz podzielny przez 2 n dla n Spośród liczb 1, 2,..., 99 wybrano 50 takich liczb, że suma każdych dwóch jest różna od 99 i różna od 100. Wykazać, że wybrano liczby 50, 51,..., Znaleźć n-ty wyraz ciągu 1, 2, 2, 2, 3, 4, 4, 4, 5, 6, 6, 6, 7, 8, 8, 8, 9, Niech R będzie pierścieniem z jedynką i niech f : N R będzie funkcją addytywną przeprowadzającą jedynkę w jedynkę. Wykazać, że: (1) f(ab) = f(a)f(b), dla wszystkich a, b N; (2) funkcja f zawsze istnieje i to tylko jedna. 9. Niech A będzie podzbiorem zbioru Z takim, że: (1) 1 A, (2) a A a + 1, a 1 A. Wykazać, że A = Z. 10. Zbiór liczb całkowitych postaci x 2 5y 2, x, y Z, jest zamknięty ze względu na mnożenie. 11. Zbiór liczb całkowitych postaci x 2 xy + y 2, x, y Z, jest zamknięty ze względu na mnożenie. 12. Każda liczba naturalna n ma jednoznaczne przedstawienie w postaci n = a 1 1! + a 2 2! + + a k k!, gdzie 0 a i i dla i = 1,..., k i gdzie a k 0.

2 2 A.Nowicki Zadania z arytmetyki i teorii liczb 13. Jeśli f : Z Z jest rosnącą surjekcją, to istnieje a Z takie, że f(x) = x + a dla wszystkich x Z. 14. Znaleźć wszystkie funkcje f : Z Z Z takie, że: f(a, a) = 0, f(a, f(b, c)) = f(a, b) + c dla a, b, c Z. 15. Każda liczba całkowita różna od zera jest postaci (3x + 1)(2y + 1), gdzie x, y Z. Każda liczba całkowita różna od zera jest postaci (3x 1)(2y 1), gdzie x, y Z. 16. Niech a, b, c Q. Jeśli a + b + c Z, ab + bc + ca Z i abc Z, to a, b, c Z. 17. Wyznaczyć wszystkie trójki (x, y, z) liczb wymiernych dodatnich, dla których liczby x + 1 y + z, x + 1 y + 1 z, xyz są naturalne. 18. Niech x = a2 1 b+1, y = b2 1 a+1, gdzie a, b N. Jeśli x + y jest liczbą całkowitą, to liczby x i y też są całkowite. 19. Każda liczba 1 5 n n n jest całkowita. 20. Jedyną funkcją f : Q Q taką, że f(1) = 2 oraz jest funkcja f(x) = x + 1. f(xy) = f(x)f(y) f(x + y) + 1 dla x, y Q, 21. Czy istnieje liczba naturalna n taka, że n 1 + n + 1 jest liczbą wymierną? 22. Niech a, b N. Jeśli liczba 3 a + 3 b jest wymierna, to liczby a i b są sześcianami liczb naturalnych. 23. Niech a, b R, a + b = 1. Jeśli liczby a 3 i b 3 są wymierne, to a i b też są liczbami wymiernymi. 24. Nie istnieją wymierne liczby a, b, c, d takie, że gdzie n N. (a + b 2) 2n + (c + d 2) 2n = , 25. Znaleźć wszystkie liczby naturalne x, y, z spełniające równość 1 x + 1 y + 1 z = Nie istnieją liczby naturalne a i b takie, że 1 a ab + 1 b 2 = Niech s N. Równanie 1 x x x s = 1 ma skończoną > 0 liczbę rozwiązań naturalnych.

3 A.Nowicki Zadania z arytmetyki i teorii liczb Jeśli liczby naturalne x, y, z, których największy wspólny dzielnik jest równy 1, spełniają równanie 1 x + 1 y = 1 z, to x + y jest liczbą kwadratową. 29. Znaleźć wszystkie liczby naturalne x y z spełniające równość 1 x + 1 y + 1 z = Jeśli n > 1, to gdzie h(k) = k. h(1) + h(2) + + h(n 1) = (n 1)h(n), 31. Jeśli a b = , gdzie a, b N, to 1979 a Niech a = 220, b = 69, c = 119. Wtedy 102 a bc + b ca + c ab n n n n (n+1) 5 2n 3 3n+2 2 2n n 100 n. 40. Jeśli n jest nieparzyste, to n 12 n 8 n jest podzielne przez n 2 + 2n n 2 + n Niech x 1,..., x n będą nieparzystymi liczbami całkowitymi. Wtedy [ ] n n 2( 1) n n + n n n x + 5y 23 8x + y x + y 29 x + 3y. x 1 x 2 + x 2 x x n 1 x 1 + x n x 1 n ( mod 4). 48. Znaleźć wszystkie liczby całkowite x i y takie, że 7 3x 6y + 1 i 7 5x + 3y Wszystkie wyrazy ciągu 10017, , ,... są podzielne przez 53.

4 4 A.Nowicki Zadania z arytmetyki i teorii liczb 50 (Cecha podzielności przez 29). Niech n N. Do liczby powstałej przez skreślenie ostatniej cyfry liczby n dodajemy liczbę trzykrotnie większą od skreślonej cyfry. Liczba n dzieli się przez 29 wtedy i tylko wtedy, gdy otrzymana liczba dzieli się przez Jeśli cyfry a, b, c spełniają równość 2c = 3a + b, to liczba abc dzieli się przez Znaleźć resztę z dzielenia liczby ( ) 28 przez Resztą z dzielenia liczby naturalnej n przez 1981 jest 35. Resztą z dzielenia tej liczby przez 1982 jest również 35. Jaką resztę otrzymamy dzieląc tę liczbę przez 14? 54. Znaleźć najmniejszą liczbę naturalną n, której reszty z dzielenia przez 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 są równe odpowiednio 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, Liczba całkowita jest postaci 4t + 3 i jednocześnie postaci 6u + 5, gdzie t, u Z, wtedy i tylko wtedy, gdy jest postaci 12k + 11, k Z. 56. Mamy 5 kartek papieru. Niektóre z nich dzielimy na 5 części. Następnie, niektóre z otrzymanych znowu dzielimy na 5 części, itd... Czy można w ten sposób otrzymać 1982 kartki? 57. [(a, b), c] = ([a, b], [b, c]), ([a, b], c) = [(a, b), (b, c)]. 58. Jeżeli a, b, c są liczbami nieparzystymi, to (a, b, c) = ( a+b 2, b+c 2, c+a 2 ). 59. [a, b] [b, c] [c, a] [a, b, c] Niech d, w N. Istnieją liczby naturalne a, b takie, że (a, b) = d i [a, b] = w wtedy i tylko wtedy, gdy d w. 61. Zanaleźć wszystkie liczby naturalne x, y spełniające równość nww(x 2, y) + nww(x, y 2 ) = Niech A, B będą ideałami w Z. Wykazać, że (A + B)(A B) = AB. 63. Każda liczba naturalna > 6 jest sumą dwóch liczb naturalnych większych od 1 i względnie pierwszych. 64. Niech a, b, c N i (a, b) = 1. Istnieje wtedy liczba naturalna x taka, że a xb + c. 65. Niech a, b, d Z. Jeśli (a, b) = 1 i d a + b, to (d, a) = 1 i (d, b) = Niech a, b, n N. Jeżeli żadna z liczb a, a + b, a + 2b,..., a + (n 1)b nie jest podzielna przez n, to liczby n i b nie są względnie pierwsze. 67. Nie istnieje liczba naturalna n taka, że wszystkie liczby 1 + n, 2 + n, 3 + n, 4 + n są parami względnie pierwsze.

5 A.Nowicki Zadania z arytmetyki i teorii liczb Niech (a n ) będzie ciągiem określonym wzorami: a 1 = 2, a n+1 = a 2 n a n + 1, dla n N. Każde dwa różne wyrazy tego ciągu są względnie pierwsze. 69. Niech s N. Każdą liczbę naturalną n > s można przedstawić w postaci n = a + b, gdzie a, b N, a s, (b, s) = Ułamek (12n + 1)/(30n + 2) jest nieskracalny. 71. Jeśli 1 i < j n, to liczby i n! + 1, j n! + 1 są względnie pierwsze. 72. Pierścień (przemienny z jedynką) jest ciałem wtedy i tylko wtedy, gdy każda jego kongruencja jest trywialna. 73. Jeżeli a b (mod m), to (a, m) = (b, m). 74. Niech f(x) Z[x], a, b Z, b > 1. Wtedy f(a + b) f(a) + bf (a) (mod b 2 ), gdzie f (x) oznacza pochodną wielomianu f(x) (mod 9). 76. Kongruencja 111x 75 (mod 321) ma doładnie trzy rozwiązania. 77. Rozwiązać układ dwóch kongruencji: { x a1 (mod 13), x a 2 (mod 17). 78. Znaleźć wszystkie liczby naturalne x spełniające jednocześnie następujące trzy kongruencje: x 2 (mod 5), x 9 (mod 11), x 4 (mod 14). 79. Każda liczba całkowita x spełnia co najmniej jedną z następujących pięciu kongruencji: x 0 (mod 2), x 0 (mod 3), x 1 (mod 4), x 1 (mod 6), x 11 (mod 12). 80. Niech a Z. Jeśli kongruencja x 2 a (mod 512) posiada rozwiązanie, to istnieją dokładnie cztery jej rozwiązania.

6 6 A.Nowicki Zadania z arytmetyki i teorii liczb Zbiór wszystkich liczb pierwszych oznaczamy przez P. 81. Niech p N, p 2. Następujące warunki są równoważne. (1) p P. (2) p ab = p a p b dla a, b Z. (3) p ab = p a p b dla a, b N. (4) n N, n < p = (n, p) = 1. (5) a Z, p a = (a, p) = Jeżeli n > 2, to pomiędzy n i n! istnieje zawsze liczba pierwsza. 83. Jeżeli p > 5 jest liczbą pierwszą, to 240 p Jeśli p, q są liczbami pierwszymi takimi, że p q 3 1 i q p 1, to p = 1 + q + q Dla każdej liczby pierwszej p istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych q takich, że p q Jeżeli liczby n + 1, n + 3, n + 7, n + 9 są pierwsze, to n = 4 lub 30 n Każda liczba parzysta > 8 jest sumą dwóch różnych liczb zlożonych. 88. Istnieje nieskończenie wiele liczb złożonych nie będących sumą dwóch liczb pierwszych. 89. Liczby p i q są pierwsze. Wiadomo, że równanie x 4 px 3 + q = 0 posiada całkowity pierwiastek. Znaleźć p i q. 90. Wszystkie liczby naturalne począwszy od 32 do 75 wypisano w dowolnej kolejności otrzymując liczbę 88-cyfrową. Czy tak otrzymana liczba może być pierwsza? 91. Niech p > 3 będzie liczbą pierwszą. Wiadomo, że liczba p n jest 20-cyfrowa. Wykazać, że co najmniej trzy cyfry są jednakowe. 92. Istnieje liczba pierwsza, której ostatnimi cyframi są cyfry 1, 9, 9, 8, 1, 9, 9, Jeśli liczby p > 2 i p + 2 są pierwsze, to 240 (p 1)(p + 1)(p + 3). 94. Dla każdej liczby naturalnej n istnieje liczba pierwsza p > n taka, że liczba p + 2 jest złożona. 95. Niech p 1 < p 2 < < p n będą liczbami pierwszymi. Rozpatrzmy wyrażenie p 1 : p 2 : p 3 : : p n. Ile różnych liczb można otrzymać z tego wyrażenia wstawiając na wszelkie sposoby nawiasy?

7 A.Nowicki Zadania z arytmetyki i teorii liczb Następujące trzy zdania są równoważne: (a) Dla każdej liczby naturalnej m > 1 istnieje liczba pierwsza p taka, że m < p < 2m. (b) Dla każdej liczby naturalnej n zachodzi nierówność p n+1 < 2p n. (3) Rozwinięcie na czynniki pierwsze liczby n!, gdzie n > 1, zawiera co najmniej jeden czynnik pierwszy z wykładnikiem Dla każdej liczby naturalnej n istnieją co najmniej trzy liczby pierwsze n-cyfrowe. 98. Jeśli trzy liczby pierwsze tworzą postęp arytmetyczny o różnicy niepodzielnej przez 6, to najmniejszą z tych liczb jest (S. Chowla 1944). Istnieje nieskończenie wiele trójwyrazowych postępów arytmetycznych, utworzonych z różnych liczb pierwszych Jeśli ciąg arytmetyczny a 1,..., a 15 składa się z samych liczb pierwszych, to różnica tego ciągu jest większa od W każdym rosnącym ciągu arytmetycznym (nieskończonym) o wyrazach naturalnych istnieją dowolnie długie ciągi kolejnych liczb złożonych Jeśli 2n jest liczbą pierwszą, to n jest liczbą złożoną Liczba jest złożona Liczba jest złożona Liczby i są złożone Wśród jedenastu liczb (n + 10k) 2 + 1, gdzie k = 0, 1,..., 10, co najmniej jedna jest złożona, podzielna przez Każda liczba ciągu 121, 11211, ,... jest liczbą złożoną Korzystając z małego twierdzenia Fermata wykazać, że p n a pn 1 (p 1) Udowodnić twierdzenie Eulera przy pomocy małego twierdzenia Fermata a 37 a dla a Z Jeśli 17 n, to 17 n lub 17 n Jeżeli p jest liczbą pierwszą, to p 11 }{{... 1} 22 }{{... 2}... } 99 {{... 9} p p p 113. (a, 35) = (a 4 1)(a a 2 + 1) Czy liczba dzieli się przez 1980?

8 8 A.Nowicki Zadania z arytmetyki i teorii liczb 115. Wykazać, że istnieje liczba naturalna podzielna przez 1998, której zapis dziesiętny ma tylko zera i siódemki Jeśli liczba naturalna dzieli się przez , to ma co najmniej 8 cyfr różnych od zera Jeśli liczba naturalna dzieli się przez , to ma co najmniej 6 cyfr różnych od zera Dla każdej liczby naturalnej n istnieje liczba pierwsza mająca w zapisie dziesiętnym co najmniej n zer Jeśli w zapisie w miejsce gwiazdek wstawimy w dowolnej kolejności cyfry 0, 1, 2,..., 9 (każdą jeden raz), to otrzymana liczba będzie podzielna przez Istnieje liczba postaci podzielna przez Spośród 39 kolejnych liczb naturalnych zawsze można wybrać taką liczbę, której suma cyfr jest podzielna przez Spośród 79 kolejnych liczb naturalnych zawsze można wybrać taką liczbę, której suma cyfr jest podzielna przez W każdym nieskończonym ciągu arytmetycznym o wyrazach naturalnych istnieją dwa wyrazy posiadające jednakowe sumy cyfr Jeśli 20 n, to 2 n 76 ( mod 100) Jeśli 100 n, to 2 n 376 ( mod 1000) Znaleźć trzy ostatnie cyfry liczby Wyznacz dwie ostatnie cyfry liczby Jeżeli n > 2, to przedostatnia cyfra liczby 3 n jest parzysta Istnieje nieskończenie wiele liczb naturalnych n, dla których liczby 3 n, 3 n+1, 3 n+2 mają w zapisie dziesiętnym jednakowe liczby cyfr Ile cyfr ma liczba 5 100? 131. Jeśli a + b + c = 0, a, b, c Z, to 2(a 4 + b 4 + c 4 ) jest liczbą kwadratową.

9 A.Nowicki Zadania z arytmetyki i teorii liczb Liczba postaci 4ab a b, gdzie a, b N, nie jest kwadratowa Jeśli a, b, c N, nwd(a, b, c) = 1 oraz ab = (a b)c, to liczba a b jest kwadratowa Jeśli n jest liczbą całkowitą, to jest liczbą kwadratową Liczby n + 1 i 4n + 1 nie mogą być jednocześnie kwadratowe Suma szóstych potęg dwóch liczb naturalnych nie jest liczbą kwadratową Nie ma liczb naturalnych x, y takich, że liczby x 2 + y, y 2 + x są kwadratowe Równanie x 2 + y 2 + z 2 + x + y + z = 1 nie ma rozwiązań wymiernych Żadna liczba postaci nie jest kwadratowa Czy istnieje liczba kwadratowa, ktȯrej suma cyfr jest równa 1998? Czy istnieje liczba kwadratowa, ktȯrej suma cyfr jest równa 1999? 141. Czy istnieje taka liczba naturalna, że jeśli dopiszemy do niej z prawej strony jeszcze raz tę liczbę, to otrzymamy liczbę kwadratową? 142. Istnieje liczba kwadratowa posiadająca 199 cyfr, której pierwsze 99 cyfry są dziewiątkami Nie istnieje liczba kwadratowa 20-cyfrowa posiadająca na początku 11 jedynek Jeżeli n jest sumą kwadratów dwóch liczb całkowitych, to liczby 17n i 101n też są sumami kwadratów dwóch liczb całkowitych Liczba n 3 jest sumą kwadratów dwóch liczb całkowitych wtedy i tylko wtedy, gdy n jest sumą kwadratów dwóch liczb całkowitych Niech a, b Z. Jeżeli 7 a 2 + b 2, to 7 a i 7 b Niech a, b N. Jeżeli 21 a 2 + b 2, to 441 a 2 + b Niech a i b będą takimi liczbami naturalnymi, że ab + 1 a 2 + b 2. Wykazać, że liczba (a 2 + b 2 )/(ab + 1) jest kwadratowa Jeśli liczby naturalne x, y, z, t spełniają równanie x 2 + y 2 + z 2 = t 2, to co najmniej jedna z nich jest podzielna przez Jeśli (a, b, c) jest trójką Pitagorasa, to (2a + b + 2c, a + 2b + 2c, 2a + 2b + 3c) też jest trójką Pitagorasa Znaleźć wszystkie trójki Pitagorasa (a, b, c) takie, że ciąg a, b, c jest arytmetyczny.

10 10 A.Nowicki Zadania z arytmetyki i teorii liczb 152. Jeżeli (a, b, c) jest trójką Pitagorasa, to 60 abc Jeżeli (a, b, c) jest trójką Pitagorasa, to 7 ab(a 2 b 2 ) Promień okręgu wpisanego w trójkąt pitagorejski jest liczbą naturalną Nie ma dwóch liczb naturalnych x i y takich, że x 2 2y 2 = Opisać wszystkie całkowite rozwiązania równania x 2 + 2y 2 = z Opisać wszystkie całkowite rozwiązania równania x 2 + y 2 = 2z Równanie x 2 + y 2 = 3(z 2 + u 2 ) nie posiada rozwiązań w zbiorze liczb naturalnych Równanie x 2 2y 2 + 8z = 3. nie posiada rozwiąń w zbiorze liczb naturalnych Każdy wyraz ciągu 1331, , , ,... jest sześcianem liczby naturalnej Czy istnieje taka liczba naturalna n, że suma cyfr liczby n 3 jest równa 1998? Czy istnieje taka liczba naturalna n, że suma cyfr liczby n 3 jest równa 1999? 162. Każda liczba postaci n 3 jest sumą n kolejnych liczb nieparzystych Jeśli liczby x, y i x2 +y 2 +6 xy są całkowite, to x2 +y 2 +6 xy jest sześcianem liczby całkowitej Liczby postaci 7k + 3 lub 7k + 4 nie są sumami dwóch sześcianów liczb całkowitych Równanie x 3 + y 3 = 10 3n+1 nie ma rozwiązań w liczbach naturalnych a + b + c 6 a 3 + b 3 + c a 3 + b 3 + c 3 3 abc Liczby postaci 9k + 4 lub 9k + 5 nie są sumami trzech sześcianów liczb całkowitych Równanie x 3 + y 3 + z 3 = 2 ma nieskończenie wiele rozwiązań całkowitych Wszystkimi rozwiązaniami całkowitymi układu równań x 3 +y 3 +z 3 = 3 i x+y +z = 3 są trójki: (1, 1, 1), ( 5, 4, 4), (4, 5, 4), (4, 4, 5) Liczba 3 nie jest sumą sześcianów dwóch liczb wymiernych Nie ma liczb całkowitych a 0, a 1, a 2 różnych od zera takich, że a 0 = a 1 +a 2, a 2 0 = a2 1 +a2 2.

11 A.Nowicki Zadania z arytmetyki i teorii liczb Jeśli x 1 x 2 x 3, y 1 y 2 y 3 są liczbami rzeczywistymi takimi, że: x 1 + x 2 + x 3 = y 1 + y 2 + y 3, x x2 2 + x2 3 = y1 2 + y2 2 + y2 3, x x3 2 + x3 3 = y1 3 + y3 2 + y3 3, to x 1 = y 1, x 2 = y 2, x 3 = y Dla każdej liczby naturalnej n równanie x x n = x 1 x n ma rozwiązanie w liczbach naturalnych Dla każdej liczby naturalnej n > 1 równanie x x n = x 1 x n ma skończoną liczbę rozwiązań naturalnych Znaleźć wszystkie rozwiązania naturalne równania x 1 +x 2 +x 3 +x 4 +x 5 = x 1 x 2 x 3 x 4 x Liczba naturalna n jest trójkątna wtedy i tylko wtedy, gdy liczba 8n + 1 jest kwadratowa Każdy wyraz ciągu 21, 2211, , ,... jest liczbą trójkątną Jeśli a 2 b 2, gdzie a, b N, jest liczbą trójkątną, to (a + b) 2 (2a + b) 2 również jest liczbą trójkątną Istnieje nieskończenie wiele kwadratowych liczb trójkątnych Między dwiema kolejnymi liczbami kwadratowymi leży co najmniej jedna liczba trójkątna Istnieje nieskończenie wiele trójkątów pitagorejskich, których obie przyprostokątne są liczbami trójkątnymi Liczba trójkątna > 1 nie jest sześcianem liczby naturalnej Każda liczba naturalna, która nie jest postaci 2 n, jest sumą dwóch lub więcej kolejnych liczb naturalnych Czy rozkład danej liczby naturalnej na sumę dwóch lub więcej kolejnych liczb naturalnych jest jednoznaczny? 186. Iloczyn n kolejnych liczb całkowitych jest podzielny przez n! Niech a 1,..., a n będzie całkowitym ciągiem arytmetycznym o różnicy względnie pierwszej z n!. Wtedy iloczyn a 1 a n jest podzielny przez n! Iloczyn trzech kolejnych liczb całkowitych, z których środkowa jest sześcianem liczby całkowitej, jest podzielny przez 504. Niech e n oznacza n-cyfrową liczbę naturalną, której cyframi są same jedynki. Wykazać, że:

12 12 A.Nowicki Zadania z arytmetyki i teorii liczb 189. Jeśli n e n, to liczba n jest złożona Jeżeli (n, 10) = 1, to istnieje m N takie, że n e m (e n, e m ) = 1 (n, m) = 1 Każdą liczbę postaci M n = 2 n 1, gdzie n 0, nazywamy liczbą Mersenne a Ciąg (M n ) można zdefiniować rekurencyjnie: M 1 = 1, M n+1 = 2M n + 1 dla n N Żadna liczba Mersenne a > 1 nie jest potęgą liczby naturalnej o wykładniku > Jeśli s N, to ciąg utworzony z s ostatnich cyfr kolejnych liczb Mersenne a jest okresowy, o okresie czystym długości 4 5 s Jeśli M n jest liczbą pierwszą, to n jest liczbą pierwszą (M n, M m ) = M (n,m), m, n N Każda liczba naturalna nieparzysta jest dzielnikiem pewnej liczby Mersenne a n a b n 2 a n b n 199. Jeżeli 2 n + 1 jest liczbą pierwszą, to n = 2 k n m + 1 n m Niech n = 2 m + 1. Jeśli ϕ(n) n 1, to n jest liczbą pierwszą Nie istnieją różne liczby pierwsze p i q takie, że q mod 2 p + 1, p 2 q Jeżeli n N jest liczbą nieparzystą i n a + b, to n 2 a n + b n. Czy to również zachodzi dla parzystego n? 204. Niech n będzie naturalną liczbą nieparzystą i niech a, b będą względnie pierwszymi liczbami całkowitymi. Wówczas (a + b) 2 a n + b n (a + b) n Istnieje nieskończenie wiele parzystych liczb naturalnych n takich, że n 3 n + 1. Liczbami Fermata nazywamy liczby postaci F n = 2 2n + 1, n Jeżeli n 3, to ostatnią cyfrą liczby Fermata F n jest F m+1 2 = F 0 F 1 F m Każde dwie różne liczby Fermata są względnie pierwsze.

13 A.Nowicki Zadania z arytmetyki i teorii liczb F n 2 Fn 2 dla n = 0, 1, Każdy dzielnik naturalny > 1 liczby Fermata F n, większej od F 1, jest postaci 2 n+2 k + 1, gdzie k N. 211 (Euler 1732). 641 F Żadna liczba Fermata > 3 nie jest liczbą trójkątną i nie jest sumą dwóch liczb trójkątnych Żadna liczba Fermata > 5 nie jest sumą dwóch liczb pierwszych Istnieje nieskończenie wiele liczb złożonych postaci F 2 n Istnieje nieskończenie wiele liczb złożonych postaci 3 2n Znaleźć wszystkie liczby naturalne n takie, że 3 n2 n Jeśli k {2, 5, 6, 8}, to każda liczba postaci k2 2n + 1 jest złożona n 6 4 n W ciągu (2 n 3) istnieje nieskończenie wiele liczb, z których każde dwie są względnie pierwsze W ciągu (2 n 3) istnieje nieskończenie wiele wyrazów podzielnych przez 5 i istnieje nieskończenie wiele podzielnych przez 13, ale żaden wyraz tego ciągu nie jest podzielny przez Jeśli a i b są kolejnymi liczbami nieparzystymi, to a + b a a + b b oraz a + b a b + b a Jeśli p > 2 jest liczbą pierwszą, to 2(p 3)! 1 ( mod p) Jeśli p > 3 jest liczbą pierwszą, to 6(p 4)! 1 ( mod p) Liczba nieparzysta p > 1 jest pierwsza wtedy i tylko wtedy, gdy, p (p 1)! + 2 p Jeśli p > 2 jest liczbą pierwszą, to p (p 3)! + 2 p ! Jeśli p = 4n + 1 jest liczbą pierwszą, to p ((2n)!) Liczba 712! + 1 jest złożona Jeśli n > 4 jest liczbą złożoną, to n (n 1)!.

14 14 A.Nowicki Zadania z arytmetyki i teorii liczb 230. Liczba 10! ma 270 dzielników naturalnych Znaleźć maksymalną potęgę liczby 105, dzielącą liczbę 200! Liczba 288! dzieli się przez (16!) 18 i (18!) Liczba 21! + 42!/21! jest podzielna przez Liczba (2001)! + (4002)!/(2001)! jest podzielna przez n n! n 1 n! n = 2 k dla pewnego k N ! = a Znaleźć a (3n)! > n 3n n! 2 n, dla n > ! > 10! ( n) ( n) ( n) 2 n = ( 2n) n n k=1 k ( n k) = n2 n ( k k ) + ( k+1 k ) + + ( k+n 1 k 244. ( 2n n ) < 4 n dla n N. ) = ( k+n k+1) Znaleźć resztę z dzielenia liczby ( ) przez Liczba n k=0 ( 2n+1 2k+1) 2 3k jest podzielna przez Jeżeli (n, k) = 1, to n ( n k) Jeżeli (n, k) = 1, to k ( n 1 k 1) nwd( ( n 1) ( k 1, n k+1 ), ( n+1 k ) ) = nwd( ( n 1 k 250. Znaleźć NWD dla liczb ( n ( 1), n ) ( 2,..., n 251. Liczba ( 2n n ), gdzie n N, jest parzysta. ), ( n+1 k+1 n 1) Czy liczba ( ) jest podzielna przez 7? 253. Jeżeli p 5 jest liczbą pierwszą, to p 3 ( 2p p ) 2. ) (, n k 1) ), dla n > k N.

15 A.Nowicki Zadania z arytmetyki i teorii liczb Niech a = (2n)!/n!. Wykazać, że 2 n a i 2 n+1 a Niech a = (kn)!/n!, gdzie k, n N. Wykazać, że k n a i k n+1 a (3n)!/(6 n n!) Z Dla każdej liczby naturalnej n liczba (2n)!/n!(n + 1)! jest naturalna Jeżeli (n, m) = 1, to (n + m 1)!/n!m! jest liczbą całkowitą Liczba (2n)!(2m)! m!n!(m+n)! jest całkowita Zbiór wszystkich funkcji multyplikatywnych jest grupą abelową ze względu na splot Dirichleta Jeśli f, g są funkcjami multyplikatywnymi, to funkcja h zdefiniowana wzorem jest też jest multyplikatywna. h(n) = k n f(k)g(k) 262. Niech f : N N będzie funkcją multyplikatywną ściśle rosnącą. Wiadomo, że f(2) = 2. Wykazać, że f(n) = n dla n N Niech f(n) będzie liczbą wszystkich liczb naturalnych a n takich, że n a 3 a. Wykazać, że f jest funkcją multyplikatywną Funkcja Möbiusa jest multyplikatywna Nie istnieje ściśle rosnąca funkcja f : N Z + taka, że f(ab) = f(a)+f(b) dla a, b N Niech f : N N będzie funkcją taką, że f(n + 1) > f(f(n)) dla n N. Wykazać, że f jest funkcją tożsamościową ϕ(ϕ(10!)) = Jeżeli m > 2, to ϕ(m) jest liczbą parzystą ϕ(ab) = (a, b)ϕ([a, b]) ϕ(a)ϕ(b)(a, b) = ϕ(ab)ϕ((a, b)) ϕ(2m) = ϕ(m) lub ϕ(2m) = 2ϕ(m) ϕ(4n + 2) = ϕ(2n + 1) Jeśli liczby p > 2 i 2p 1 są pierwsze, to ϕ(4p 2) = ϕ(4p) Jeśli m n, to ϕ(m) ϕ(n).

16 16 A.Nowicki Zadania z arytmetyki i teorii liczb 275. a, n N, a > 1, n > 1. Wtedy n ϕ(a n 1) k n ϕ(k) = n dla n N Jeśli n jest parzyste, to k n ( 1)k ϕ(n/k) = Jeśli (a, b) > 1, to ϕ(ab) > ϕ(a)ϕ(b). Przez d(n) oznaczamy liczbę wszystkich naturalnych dzielników liczby naturalnej n Funkcja d jest multyplikatywna Liczba d(n) jest nieparzysta wtedy i tylko wtedy, gdy n jest liczbą kwadratową Jedynymi liczbami naturalnymi n takimi, że n = d(n) 2 są liczby 1 i Liczba d(n 2 ) pokrywa się z liczbą wszystkich par (a, b) takich, że a, b N, nww(a, b) = n Wiadomo, że d(n 2 ) = 3d(n). Znaleźć d(n) d(n k ) kd(n) dla n, k N k > Jeśli n N, to ( ) 2. k n d(k)3 = k n d(k) 286. d(1) + d(2) + + d(n) = [ n 1 ] + [ n 2 ] + + [ n n] Jeśli d(n) = 2 i d(n + 1) = 3, to n = Istnieje nieskończenie wiele liczb naturalnych n takich, że najmniejsza liczba naturalna mająca n naturalnych podzielników jest mniejsza od najmniejszej liczby naturalnej mającej n + 1 naturalnych podzielników d(n) 2 n d(ab) d(a) + d(b) 1, dla a, b N ϕ(n) > d(n) dla n > Dla każdej liczby naturalnej n istnieje liczba pierwsza p taka, że d(p 1) > n Dla każdej liczby naturalnej n istnieje liczba pierwsza p taka, że d(p 1) > n i d(p+1) > n. Przez σ(n) oznaczamy sumę wszystkich dzielników naturalnych liczby n Jeśli n = p a 1 1 pas s jest kanonicznym rozkładem liczby naturalnej n, to σ(n) = pa p p. s 1 pas+1 s

17 A.Nowicki Zadania z arytmetyki i teorii liczb Funkcja σ jest multyplikatywna Jeśli (a, b) > 1, to σ(ab) σ(a)σ(b) Liczba naturalna n jest liczbą pierwszą wtedy i tylko wtedy, gdy σ(n) = n σ(n) n = k n 1 k Istnieje nieskończenie wiele liczb naturalnych, które nie są wartościami funkcji σ σ(1) + σ(2) + + σ(n) = 1 [ n 1 ] + 2 [ n 2 ] + + n [ n n] Liczba σ(n)σ(n + 1)σ(n + 2) jest parzysta Jeśli 24 n + 1, to 24 σ(n) σ(3n 1) dla n N σ(n) < n n dla n > σ(n) + ϕ(n) 2n dla n > Zbiór wszystkich liczb postaci σ(n)/n jest gęsty w zbiorze liczb rzeczywistych > 1. Liczbą Fibonacciego nazywamy każdy wyraz ciągu (u n ) określonego wzorami: u 1 = 1 u 2 = 1 u n+2 = u n + u n+1, dla n N. Przyjmujemy ponadto, że u 0 = 0. [( 307 (Wzór Bineta). u n = 1 ) n ( ) n ] n k=0 u k u n k = 2nu n+1 (n + 1)u n u n+1 = [n/2] k=0 ( n k ) k n 1 ( n ) k=0 k un k = u 2n u 4n, 5 u 5n Każde dwie kolejne liczby Fibonacciego są względnie pierwsze Istnieje n N takie, że 1998 u n. Istnieje n N takie, że 1999 u n Jeśli 7 u n, to 21 u n u n+m = u n+1 u m + u n u m 1.

18 18 A.Nowicki Zadania z arytmetyki i teorii liczb 316. Jeśli n m, to u n u m (u n, u m ) = u (n,m) Ile jest liczb dziesięciocyfrowych zbudowanych z cyfr 1 i 2, w których dwie jedynki nie stoją obok siebie? 319. Ile jest podzbiorów zbioru {1, 2,..., n}, w których nie występują żadne dwie kolejne liczby? 320. Prostokąt 1 n zapełniamy prostokątami o wymiarach 1 1 i 1 2. Ile jest różnych sposobów takiego zapełnienia? 321. Prostokąt 1 n zapełniamy prostokątami o wymiarach 1 1, 1 2 i 1 3. Jeśli t n oznacza ilość różnych sposobów takiego zapełnienia, to t 1 = 1, t 2 = 2, t 3 = 4 oraz t n+3 = t n+2 + t n+1 + t n dla n Niech (a n ) będzie uogólnionym ciągiem Fibonacciego zdefiniowanym wzorami: a 0 = 0, a 1 = 1, a n+2 = ka n+1 + ca n, gdzie k, c Z {0}. Załóżmy, że liczby x 1, x 2 są pierwiastkami wielomianu x 2 kx c. Wówczas: x n 1 xn 2 x a n = 1 x 2, gdy x 1 x 2, nx n 1, gdy x 1 = x 2 = x Jeśli ciąg (a n ) spełnia równanie rekurencyjne a n+2 = 2pa n+1 p 2 a n, gdzie p jest ustaloną niezerową liczbą, to a n = a(1 n)p n + bnp n 1, gdzie a = a 0, b = a Niech a 1 = 1, a 2 = 1, a n+2 = a n+1 2a n. Jeśli n 3, to 2 n+1 7a 2 n 1 kwadratową. jest liczbą 325. Niech a 1 = 1, a 2 = 2, a n+2 = a n+1 a n, dla n N. Wtedy a n+6 = a n, dla wszystkich n Jeżeli c jest liczbą całkowitą, to równanie x(x 2 1)(x 2 10) = c nie może posiadać 5 całkowitych pierwiastków Niech f Z[x]. Jeśli wielomian f(x) + 12 ma co najmniej sześć różnych pierwiastków całkowitych, to wielomian f(x) nie ma pierwiastków całkowitych Niech f Z[x]. Wiadomo, że równania f(x) = 1, f(x) = 3 posiadają całkowite pierwiastki. Wykazać, że równanie f(x) = 2 nie może posiadać dwóch całkowitych pierwiastków.

19 A.Nowicki Zadania z arytmetyki i teorii liczb Niech f Z[x]. Wiadomo, że równania f(x) = 1, f(x) = 2, f(x) = 3 posiadają całkowite pierwiastki. Wykazać, że równanie f(x) = 5 nie może posiadać dwóch całkowitych pierwiastków Niech f Z[x]. Wykazać, że jeżeli liczby f(0) i f(1) są nieparzyste, to wielomian f nie ma całkowitych pierwiastków Niech f Z[x]. Wykazać, że jeżeli wielomian f posiada całkowity pierwiastek, to co najmniej jedna z liczb f(0), f(1), f(2) jest podzielna przez f Z[x]. Jeśli f(a) = f(b) = f(c) = 1, gdzie a, b, c są różnymi liczbami całkowitymi, to wielomian f nie ma całkowitych pierwiastków Niech f Z[x] Z. Wykazać, że istnieje liczba naturalna n taka, że f(n) jest liczbą złożoną Niech f(x) = x 2 + ax + b, gdzie a, b Z. Wykazać, że istnieje taka liczba całkowita s, że wszystkie liczby f(s + 1), f(s + 2),..., f(s ) są złożone Czy istnieje wielomian f Z[x] taki, że f(1) = 19 i f(19) = 98? 336. Niech a, b, c będą parami różnymi liczbami całkowitymi. Nie istnieje wielomian f Z[x] taki, że f(a) = b, f(b) = c i f(c) = a Niech f Z[x]. Załóżmy, że istnieją cztery parami różne liczby całkowite a, b, c, d takie, że f(a) = f(b) = f(c) = f(d) = 1. Nie istnieje wówczas liczba całkowita u taka, że f(u) = f Z[x], 5 f(2), 2 f(5). Wtedy 10 f(7) Jeśli wielomian f Z[x] przyjmuje wartość 7 dla czterech argumentów całkowitych, to wartość wielomianu f nie równa się 14 dla żadnego argumentu całkowitego Jeśli wielomian f Z[x] przyjmuje wartość 2 dla czterech argumentów całkowitych, to liczby 1, 3, 5, 7, 9 nie należą do zbioru f(z) Dla dowolnych liczb całkowitych a, b istnieją liczby całkowite p, q takie, że zbiory są rozłączne. {x 2 + ax + b; x Z}, {2x 2 + px + q; x Z} 342. Niech f(x, y) = x 5 + 3x 4 y 5x 3 y 2 15x 2 y 3 + 4xy y 5. Nie istnieją liczby całkowite a, b takie, że f(a, b) = 33.

20 20 A.Nowicki Zadania z arytmetyki i teorii liczb 343 (Twierdzenie Picka). Jeśli A jest wielokątem na płaszczyźnie o wierzchołkach w punktach kratowych, to S = W B 1, gdzie S jest polem wielokąta A, W jest liczbą punktów kratowych leżących wewnątrz tego wielokąta, a B jest liczbą punków kratowych leżących na jego brzegu Podwojone pole każdego wielokąta o wierzchołkach w punktach kratowych jest liczbą naturalną Na płaszczyźnie dany jest wielokąt o wierzchołkach w punktach kratowych. Wiadomo, że wewnątrz tego wielokąta leży 7 punktów kratowych a na jego brzegu takich punktów jest 6. Znaleźć pole wielokąta Jedynym wielokątem foremnym o wierzchołkach w punktach kratowych jest kwadrat Jeśli trzy wierzchołki równoległoboku są punktami kratowymi, to czwarty wierzchołek również jest punktem kratowym. 348 (H. Steinhaus). Dla dowolnej liczby naturalnej n istnieje na płaszczyźnie koło zawierające wewnątrz dokładnie n punktów kratowych Na płaszczyźnie danych jest 5 punktów kratowych. Udowodnić, że środek co najmniej jednego z odcinków łączących te punkty jest również punktem kratowym Na odcinku w R n łączącym punkty kratowe (a 1,..., a n ) i (b 1,..., b n ) leży dokładnie punktów kratowych. NWD(b 1 a 1,..., b n a n ) Jeśli wierzchołki sześcianu są punktami kratowymi, to długość krawędzi tego sześcianu jest liczbą naturalną W klasie jest 37 osób. Wykazać, że istnieją co najmniej cztery osoby, które urodziły się w tym samym miesiącu Danych jest 8 różnych liczb naturalnych mniejszych od 16. Rozpatrzmy wszystkie dodatnie różnice pomiędzy tymi liczbami. Wykazać, że co najmniej trzy różnice są jednakowe Spośród n dowolnych liczb całkowitych można zawsze wybrać dwie, których różnica jest podzielna przez n Wykazać, że w dowolnym n-wyrazowym ciągu liczb całkowitych istnieje pewna liczba kolejnych wyrazów, których suma jest podzielna przez n 356. Z dowolnych 52 liczb naturalnych można wybrać dwie liczby, których albo suma, albo różnica jest podzielna przez 100.

21 A.Nowicki Zadania z arytmetyki i teorii liczb Udowodnić, że spośród siedmiu dowolnych liczb całkowitych zawsze można wybrać cztery takie liczby, których suma jest podzielna przez Danych jest 200 liczb całkowitych. Wykazać, że wśród nich istnieje 100 liczb, których suma jest podzielna przez Wykazać, że z pięciu dowolnych liczb całkowitych można wybrać 3 takie liczby, których suma jest podzielna przez Wykazać, że z dowolnych 4n liczb całkowitych można wybrać 2n + 1 takich liczb, których suma jest podzielna przez 2n Niech {a 1,..., a 10 } = {1, 2,..., 10}. Wykazać, że w ciągu a 1 + 1, a 2 + 2,..., a istnieją dwie takie liczby, których ostatnie cyfry są jednakowe Danych jest 12 parami różnych liczb dwucyfrowych. Wykazać, że wśród nich istnieją dwie liczby a i b takie, że a b jest liczbą dwucyfrową o jednakowych cyfrach Istnieje potęga liczby 29 kończąca się cyframi Jeśli a i n są względnie pierwszymi liczbami naturalnymi, to istnieją liczby całkowite x, y takie, że x n, y n, oraz n ax y Na płaszczyźnie danych jest 7 prostych. Wykazać, że co najmniej dwie z nich tworzą kąt < 26 o W prostokącie 3 4 zaznaczono 6 punktów. Wykazać, że istnieją dwa punkty o odległości W kwadracie 1 1 danych jest 101 punktów. Wykazać, że istnieją trzy punkty tworzące trójkąt o polu 0, W kwadracie 1 1 znajduje się 51 punktów. Wykazać, że istnieją trzy punkty, które znajdują się wewnątrz okręgu o promieniu Wewnątrz sześcianu o boku 1 znajduje się 2001 punktów. Wykazać, że istnieje sfera o promieniu 1/11 zawierająca wenątrz co najmniej trzy punkty Z danego n elementowego zbioru wybrano 2 n 1 takich podzbiorów, z których każde trzy mają element wspólny. Wykazać, że wszystkie wybrane podzbiory mają co najmniej jeden element wspólny.