Kryptografia. z elementami kryptografii kwantowej. Ryszard Tanaś Wykład 5

Transkrypt

1 Kryptografia z elementami kryptografii kwantowej Ryszard Tanaś Wykład 5

2 Spis treści 9 Algorytmy asymetryczne RSA Algorytm RSA Szyfrowanie Deszyfrowanie Uzasadnienie Przykład (trywialny)

3 9 Algorytmy asymetryczne RSA Witfield Diffie i Martin Hellman idea kryptografii z kluczem publicznym, rok 1976 RSA Ron Rivest, Adi Shamir i Leonard Adleman, rok 1978 bezpieczeństwo algorytmu RSA opiera się na trudności obliczeniowej związanej z rozkładem dużych liczb na czynniki (faktoryzacja)

4 9 Algorytmy asymetryczne RSA Witfield Diffie i Martin Hellman idea kryptografii z kluczem publicznym, rok 1976 RSA Ron Rivest, Adi Shamir i Leonard Adleman, rok 1978 bezpieczeństwo algorytmu RSA opiera się na trudności obliczeniowej związanej z rozkładem dużych liczb na czynniki (faktoryzacja)

5 9 Algorytmy asymetryczne RSA Witfield Diffie i Martin Hellman idea kryptografii z kluczem publicznym, rok 1976 RSA Ron Rivest, Adi Shamir i Leonard Adleman, rok 1978 bezpieczeństwo algorytmu RSA opiera się na trudności obliczeniowej związanej z rozkładem dużych liczb na czynniki (faktoryzacja)

6 9 Algorytmy asymetryczne RSA Witfield Diffie i Martin Hellman idea kryptografii z kluczem publicznym, rok 1976 RSA Ron Rivest, Adi Shamir i Leonard Adleman, rok 1978 bezpieczeństwo algorytmu RSA opiera się na trudności obliczeniowej związanej z rozkładem dużych liczb na czynniki (faktoryzacja)

7 9.1 Algorytm RSA Wybieramy dwie duże liczby pierwsze: {p, q} Obliczamy ich iloczyn (łatwo): n = pq Wybieramy losowo liczbę e < n względnie pierwszą z liczbą (p 1)(q 1) Liczba e będzie kluczem szyfrującym Znajdujemy liczbę d taką, że ed 1 (mod (p 1)(q 1)) lub inaczej d e 1 (mod (p 1)(q 1)) Liczby d i n są także względnie pierwsze

8 9.1 Algorytm RSA Wybieramy dwie duże liczby pierwsze: {p, q} Obliczamy ich iloczyn (łatwo): n = pq Wybieramy losowo liczbę e < n względnie pierwszą z liczbą (p 1)(q 1) Liczba e będzie kluczem szyfrującym Znajdujemy liczbę d taką, że ed 1 (mod (p 1)(q 1)) lub inaczej d e 1 (mod (p 1)(q 1)) Liczby d i n są także względnie pierwsze

9 9.1 Algorytm RSA Wybieramy dwie duże liczby pierwsze: {p, q} Obliczamy ich iloczyn (łatwo): n = pq Wybieramy losowo liczbę e < n względnie pierwszą z liczbą (p 1)(q 1) Liczba e będzie kluczem szyfrującym Znajdujemy liczbę d taką, że ed 1 (mod (p 1)(q 1)) lub inaczej d e 1 (mod (p 1)(q 1)) Liczby d i n są także względnie pierwsze

10 9.1 Algorytm RSA Wybieramy dwie duże liczby pierwsze: {p, q} Obliczamy ich iloczyn (łatwo): n = pq Wybieramy losowo liczbę e < n względnie pierwszą z liczbą (p 1)(q 1) Liczba e będzie kluczem szyfrującym Znajdujemy liczbę d taką, że ed 1 (mod (p 1)(q 1)) lub inaczej d e 1 (mod (p 1)(q 1)) Liczby d i n są także względnie pierwsze

11 9.1 Algorytm RSA Wybieramy dwie duże liczby pierwsze: {p, q} Obliczamy ich iloczyn (łatwo): n = pq Wybieramy losowo liczbę e < n względnie pierwszą z liczbą (p 1)(q 1) Liczba e będzie kluczem szyfrującym Znajdujemy liczbę d taką, że ed 1 (mod (p 1)(q 1)) lub inaczej d e 1 (mod (p 1)(q 1)) Liczby d i n są także względnie pierwsze

12 9.1 Algorytm RSA Wybieramy dwie duże liczby pierwsze: {p, q} Obliczamy ich iloczyn (łatwo): n = pq Wybieramy losowo liczbę e < n względnie pierwszą z liczbą (p 1)(q 1) Liczba e będzie kluczem szyfrującym Znajdujemy liczbę d taką, że ed 1 (mod (p 1)(q 1)) lub inaczej d e 1 (mod (p 1)(q 1)) Liczby d i n są także względnie pierwsze

13 9.1 Algorytm RSA Wybieramy dwie duże liczby pierwsze: {p, q} Obliczamy ich iloczyn (łatwo): n = pq Wybieramy losowo liczbę e < n względnie pierwszą z liczbą (p 1)(q 1) Liczba e będzie kluczem szyfrującym Znajdujemy liczbę d taką, że ed 1 (mod (p 1)(q 1)) lub inaczej d e 1 (mod (p 1)(q 1)) Liczby d i n są także względnie pierwsze

14 9.1 Algorytm RSA Wybieramy dwie duże liczby pierwsze: {p, q} Obliczamy ich iloczyn (łatwo): n = pq Wybieramy losowo liczbę e < n względnie pierwszą z liczbą (p 1)(q 1) Liczba e będzie kluczem szyfrującym Znajdujemy liczbę d taką, że ed 1 (mod (p 1)(q 1)) lub inaczej d e 1 (mod (p 1)(q 1)) Liczby d i n są także względnie pierwsze

15 Do obliczenia d można użyć rozszerzonego algorytmu Euklidesa Liczba d jest kluczem deszyfrującym Liczby {e, n} stanowią klucz publiczny, który ujawniamy Liczby {d, n} stanowią klucz prywatny, który powinien być ściśle chroniony (liczba d)

16 Do obliczenia d można użyć rozszerzonego algorytmu Euklidesa Liczba d jest kluczem deszyfrującym Liczby {e, n} stanowią klucz publiczny, który ujawniamy Liczby {d, n} stanowią klucz prywatny, który powinien być ściśle chroniony (liczba d)

17 Do obliczenia d można użyć rozszerzonego algorytmu Euklidesa Liczba d jest kluczem deszyfrującym Liczby {e, n} stanowią klucz publiczny, który ujawniamy Liczby {d, n} stanowią klucz prywatny, który powinien być ściśle chroniony (liczba d)

18 Do obliczenia d można użyć rozszerzonego algorytmu Euklidesa Liczba d jest kluczem deszyfrującym Liczby {e, n} stanowią klucz publiczny, który ujawniamy Liczby {d, n} stanowią klucz prywatny, który powinien być ściśle chroniony (liczba d)

19 9.2 Szyfrowanie Wiadomość dzielimy na bloki m i mniejsze niż n, które szyfrujemy używając formuły c i m e i (mod n)

20 9.2 Szyfrowanie Wiadomość dzielimy na bloki m i mniejsze niż n, które szyfrujemy używając formuły c i m e i (mod n) 9.3 Deszyfrowanie Tekst jawny z kryptogramu otrzymujemy obliczając m i c d i (mod n)

21 9.4 Uzasadnienie Ponieważ ed 1 (mod (p 1)(q 1)), to istnieje liczba całkowita k taka, że ed = 1 + k(p 1)(q 1). Z małego twierdzenia Fermata, dla NW D(m, p) = 1, mamy m p 1 1 (mod p) Podnosząc obie strony tej kongruencji do potęgi k(q 1) oraz mnożąc przez m otrzymujemy m 1+k(p 1)(q 1) m (mod p) Kongruencja ta jest także prawdziwa dla NW D(m, p) = p, ponieważ wtedy obie strony przystają do 0 (mod p). Zatem, zawsze mamy Podobnie, m ed m (mod p). m ed m (mod q),

22 a ponieważ p i q są różnymi liczbami pierwszymi, to z chińskiego twierdzenia o resztach otrzymujemy m ed m (mod n)

23 9.5 Przykład (trywialny) Znajdowanie klucza

24 9.5 Przykład (trywialny) Znajdowanie klucza p = 1123 q = 1237

25 9.5 Przykład (trywialny) Znajdowanie klucza p = 1123 q = 1237 n = pq =

26 9.5 Przykład (trywialny) Znajdowanie klucza p = 1123 q = 1237 n = pq = φ = (p 1)(q 1) =

27 9.5 Przykład (trywialny) Znajdowanie klucza p = 1123 q = 1237 n = pq = φ = (p 1)(q 1) = e =

28 9.5 Przykład (trywialny) Znajdowanie klucza p = 1123 q = 1237 n = pq = φ = (p 1)(q 1) = e = d e 1 (mod φ) =

29 Szyfrowanie

30 m = Szyfrowanie

31 Szyfrowanie m = c m e (mod n)

32 Szyfrowanie m = c m e (mod n) e =

33 Szyfrowanie m = c m e (mod n) e = n =

34 Szyfrowanie m = c m e (mod n) e = n = (mod ) =

35 Deszyfrowanie

36 m c d (mod n) Deszyfrowanie

37 Deszyfrowanie m c d (mod n) c =

38 Deszyfrowanie m c d (mod n) c = n =

39 Deszyfrowanie m c d (mod n) c = n = d e 1 (mod φ) =

40 Deszyfrowanie m c d (mod n) c = n = d e 1 (mod φ) = (mod ) =