Statystyka Matematyczna. Skrypt. Spis treści. SKN Matematyki Stosowanej. s k n. m s 11 czerwca Oznaczenia i definicje 4
|
|
- Dorota Staniszewska
- 7 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Spis treści Ozaczeia i defiicje 4 Wioskowaie statystycze 4. Statystyki dostatecze Rodzia rozkładów wykładiczych Rozkłady iektórych statystyk Estymatory Defiicje Metody wyzaczaia estymatorów Testowaie hipotez statystyczych 8 3. Testy ajmociejsze Testy ilorazowe Statystyka bayesowska 0 4. Bayesowskie przedziały ufości Rodziy sprzężoe Decyzje statystycze Reguły bayesowskie Skrypt SKN Matematyki Stosowaej s k m s czerwca Rachuek prawdopodobieństwa 5. Fukcje zmieych losowych Fukcje charakterystycze Zbieżości probabilistycze rawa wielkich liczb Słabe prawa wielkich liczb Moce prawa wielkich liczb Cetrale Twierdzeia Graicze Nierówości Tabela rozkładów dyskretych 8 7 Tabela rozkładów ciągłych 9 0
2 7 Tabela rozkładów ciągłych Nazwa Fukcja gęstości arametry EX D X Dystrybuata F. tworząca Jedostajy χ<a,b> b a a < b a + b x a b a b a Normaly σ π e x m Trójkąty a x Log-ormaly xσ lx m e π σ σ > 0 m σ a x < a 0 3 a σ σ > 0 e m+ σ e σ e m+σ areto χ <b, ab a x a+ a, b > 0 ba a : a > b a a a : a > b x k Wykładiczy χr++ e x > 0 Gamma Γ, s χr++ s Γs xs e x s s > 0 Beta Γp+q ΓpΓq xp x q x, p, q > 0 x < p p+q e itb e ita itb a e x it s pq p+q p+q+ Laplace a σ e x m σ σ > 0 m σ Cauchy ego π Uog. Cauchy ego π +x - - b b+x a b > Weibulla sx s e xs s, s > 0 Γ + s s Γ + s Γ + s θit k π arctax + Chi-kw df eπx it Chi-kw df x e x T-studeta df Γ Γ + Γ Γ + x + m m x m Sedecora B m, mx m > 0 N + m+/ e Logistyczy x > 0 +e x it > 0 > +m m 4 > 4 Maxwella χr π x e x > 0 π 3π 8 π Rayleigha χr++ x xe > 0 π 4 π x 4 exp σ 9
3 6 Tabela rozkładów dyskretych Nazwa X = k EX D X Dystrybuata F. tworząca Zerojedykowy = p 0 = p p p Dwupuktowy p k p k Γk+, k! expe it + Rówomiery k p k p k p p Dwumiaowy p oissoa k k! e Geometryczy p p k p p p M N M N N N M N M k N M k N Hipergeometryczy m p p p m p k m m p k m Uj. dwumiaowy ascala Logarytmiczy θk k log θ Autorzy Katarzya Łuckowska Marci Szymański aweł Wietraszuk Niiejszy skrypt apisay został jako pomoc dla studiujących statystykę matematyczą. Wszelkie teksty w im zawarte staowią własość itelektualą autorów. racę złożoo w języku L A TEX ε Γs = Γs + = sγs 0 t s e t dt Γ =! N Bp, q = Bp, q = ΓpΓq Γp + q 0 t p t q dt c Studeckie Koło Naukowe Matematyki Stosowaej??? Warszawa
4 Ozaczeia i defiicje 5.6 Nierówości Oz. rzestrzeń parametrów. Θ Tw. 87 Schwarz. Jeśli EX < i EY <, to Oz. rzestrzeń prób. X R Oz. 3 Obserwacja losowa. wektor losowy X X Oz. 4 Rodzia rozkładów prawdopodobieństwa. { θ : θ X} Def. 5 Model statystyczy; rzestrzeń statystycza. E XY EX EY, poadto rówość zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy X i Y są liiowo zależe. Tw. 88 Jese. Niech E X < oraz g : R R wypukła, taka że E gx <, wtedy X, S, { θ : θ X} S = BX gex EgX. Def. 6 Idetyfikowalość. Własość modelu: θ θ θ θ Def. 7 Statystyka. Fukcja t : X R k taka, że X X tx jest zmieą losową a X, S, { θ : θ X} S = BX Def. 8 Statystyka k-wymiarowa. T : R R k T X,..., X X,..., X iid F Def. 9 k-ta statystyka pozycyja. X k: k-ta liczba w rosąco uporządkowaym ciągu Def. 0 Mediaa. { X + M e = : mod X : + X +: Def. Dystrybuata empirycza. F ˆ t = card{xi:xi t} Tw. Gliweko-Catelli. sup F t F ˆ t 0 t Tw. Własości dystrybuaty empiryczej.. t R F t, X F t. t R E F F t, X = F t 3. Ft,X F t d Z N 0, F t[ F t] Wioskowaie statystycze. Statystyki dostatecze Def. Statystyka dostatecza. T, że rozk. warukowy θ { T = t} ie zależy od θ Def. 3 Statystyka dostatecza. Statystyka dostatecza dla θ to taka, która geeruje podział dostateczy przestrzei prób. Tw. 3 O faktoryzacji. T jest dostatecza g θ - zależy od θ, zależy od x tylko przez T h - ie zależy od θ, zależy od x f θ x = g θ T x hx Def. 4 odział dostateczy. odział A przestrzei prób X jest dostateczy dla θ, jeśli przy każdym ustaloym zbiorze A A rozkład warukowy próby pod warukiem A ie zależy od θ. Def. 5 Kostrukcja miimalego podziału dostateczego. do apisaia Def. 6 Miimala statystyka dostatecza. Statystyka S jest miimala statystyką dostateczą gdy dla każdej iej statystyki dostateczej T istieje fukcja h taka, że S = ht. Def. 7 Miimala statystyka dostatecza. Miimala statystyka dostatecza dla θ to taka, która geeruje miimaly podział dostateczy przestrzei prób. Def. 8 Statystyka zupeła. Statystyka T = T X jest zupeła, jeżeli dla wszystkich θ Θ z rówości E θ ht = 0 wyika że h 0 z prawdopodobieństwem a zbiorze wartości T. Def. 9 Statystyka swoboda wzgl. θ. Statystyka, której rozkład ie zależy od θ. Def. 0 Statystyka swoboda I rzędu. Statystyka, której wartość oczekiwaa ie zależy od θ. Tw. 4 Basu. Jeżeli T jest statystyką dostateczą zupełą dla θ, a V statystyką swobodą, to T i V są iezależymi zmieymi losowymi. Tw. 5. Miimala statystyka dostatecza ie musi być zupeła Tw. 6. Jeżeli T jest statystyką dostateczą zupełą to jest miiimalą statystyką dostateczą Tw. 89 Czebyszew. Niech X będzie ieujemą zmieą losową. Wtedy dla każdego ε > 0 X ε EX ε. Tw. 90 Czebyszew. Niech g : R + R borelowska, iemalejące i dodatia, wtedy [rzykład] Dla gx = x i X := X EX otrzymujemy ε > 0 X > a Eg X ga X EX ε V ar X ε. Tw. 9 Hölder. Niech p, q > oraz p + q = i E X p <, E Y q <, wtedy E XY < oraz Tw. 9 Mikowski. Niech p wtedy E XY E X p p E Y q q. E X + Y p p E X p p + E Y p p Tw. 93 Kołomogorow. Niech X,..., X będą iezależymi zmieymi losowymi, takimi że EX i = 0 i EX i < i =,...,. Jeśli c > 0, że X i c =, i =,..., to gdzie S = X X. ε > 0 max k S k ε c + ε ES, 4 7
5 5.5 Cetrale Twierdzeia Graicze Tw. 79 CTG. Niech X, X,... będą iezależymi zmieymi losowymi o tym samym rozkładzie oraz iech EX = 0 i V arx =. Wtedy X X d N 0,. Tw. 80. Niech X, X,... będą iezależymi zmieymi losowymi o tym samym rozkładzie, iech EX = µ i V arx = σ. Wtedy dla każdego ε X X µ σ ε Φε. Tw. 8 Lideberga-Levy ego. Jeżeli zmiee losowe X, X,... są iezależe o jedakowych rozkładach z parametrami EX k = µ, V arx k = σ dla k=,,..., to a < S µ σ b = Φb Φa, gdzie Φ jest dystrybuatą rozkładu ormalego N0,. Ozacza to, że suma S ma rozkład asymptotyczie ormaly Nµ, σ. Tw. 8 de Moivre a-laplace a. Jeżeli zmiee losowe X, X,... są iezależe o jedakowych rozkładach dwupuktowych Berp, to a < S p b = Φb Φa, pq gdzie Φ jest dystrybuatą rozkładu ormalego N0,. Ozacza to, że suma S ma rozkład asymptotyczie ormaly Np, pq. Tw. 83 Berry-Essée. Jeżeli X jest ciągiem iezależych zmieych losowych o tym samym rozkładzie i E X 3 < to, sup S ES t Φt V ars C E X EX 3 σ 3, t R gdzie σ = V arx oraz π C < 0, 8. Tw. 84 oissoa. Jeżeli zmiee losowe X, X,... są iezależe o rozkładach dwumiaowych Bi, p i jeśli p = dla =,,..., to X! = k = k!k! pk p k = k k! e. Def. 86 Waruek Lideberga. Ciąg zmieych losowych X spełia waruek Lideberga, jeśli dla każedo ε > 0 gdzie s = k= V arx k. s k= E[X k EX k { Xk EXk >εs}] 0, Def. 87 Waruek Lapuowa. Ciąg zmieych losowych X spełia waruek Lapuowa, jeśli dla wszystkich k aturalych i dla pewego δ > 0 jest E X k +δ < oraz s +δ E X k EX k +δ = 0. Lem. 85. Waruek Lapuowa pociąga za sobą waruek Lideberga. Tw. 86. Jeśli ciąg iezależych zmieych losowych X spełia waruek Lideberga, to S ES a Φa jedostajie względem a. s k=.. Rodzia rozkładów wykładiczych Def. Rodzia rozkładów wykładiczych. Rodzia rozkładów { θ : θ Θ} taka, że każdy rokład jest postaci k p θ x = e cjθtjx bθ j= hx i T,..., T k są liiowo iezależe, a c,..., c k tworzą k-wymiarowy zbiór Tw. 7. Dla rodziy wykładiczej T X,, T k X jest miimalą statystyką dostateczą oraz statystyką zupełą. Tw. 8. Dla próby z rodziy wykładiczej jest statystyką dostateczą zupełą.. Rozkłady iektórych statystyk Def. Średia. X = Xi i T X i,, i Jest ieobciążoym estymatorem wartości oczekiwaej Jest zgodym estymatorem wartości oczekiwaej Tw. 9. V arx = V arx Def. 3 Wariacja z próby. S = Xi X Jest obciążoym estymatorem wariacji S X = σ Tw. 0 Fisher. Jeżeli X,..., X iid Nm, σ to. X, S są iezależe. X m, σ 3. S σ χ Tw.. Jeżeli X,..., X k iid N0, to. X i χ k. E X i = k i= EX i = k Tw.. Jeżeli Y,..., Y m są iezależe Y i χ vi to Y i χ vi T k X i Tw. 3. Jeżeli X,..., X iid Nm, σ Y,..., Y iid Nm, σ to S σ + S σ χ + Tw. 4 Gosset. Jeżeli X, Y są iezależe X N0, Y χ v to. X Y t v v. v X m σ vs σ v = X m S v tv Tw. 5. Jeżeli X, Y są iezależe X χ Y v χ to v F = X v Y v F v,v 6 5
6 Lem. 6. Na mocy CTG Jeżeli X ma rozkład dwumiaowy to Tw. 7 SWL Markowa. Niech X będzie ciągiem zmieych losowych takich, że X p p p Np, p p Uwaga: Jeżeli ie zamy p to przy kostruowaiu przedziału ufości zakładamy ajgorszy przypadek p = Tw. 7. X,..., X iid Nm, σ S = Xi X Y,..., Y iid Nm, σ S = Yi Y Tw. 8 Rozkład k-tej statystyki pozycyjej..3 Estymatory.3. Defiicje F = F Xk: = X k: < x = S σ S σ i=k F,! m! m! F xi F x i = F x! = t k t k dt k! k! 0! f Xk: = X k: = x = k! k! F xk F x k fx Def. 4 Estymator. Statystyka T X, X,..., X, której rozkład zależy od pewego parametru θ rozkładu populacji, Dla X = x,..., X = x, liczbę T x, x,..., x azywamy wartością estymatora. Def. 5 Kwadratowa fukcja straty estymatora T. LT, θ = T x gθ Def. 6 Ryzyko estymatora T ; Błąd średiokwadratowy. R T θ = E θ LT, θ Tw. 9. Jeżeli T jest estymatorem θ to dla jego ryzyka zachodzi Def. 7 Najlepszy estymator. gdzie D - zbiór estymatorów R T θ = V art x + ET x θ T 0 : θ Θ T D R T0 θ R T θ Def. 8 Estymator zgody. Estymator U ω, θ = fx ω, X ω,..., X ; θ parametru θ jest zgody, gdy jest o zbieży według prawdopodobieństwa do parametru θ, tz. gdy ε > 0 {ω : U ω; θ θ > ε} = 0 Def. 9 Estymator ieobciążoy. Estymator U jest ieobciążoym estymatorem parametru θ N EU = θ Def. 30 Estymator asymptotyczie ieobciążoy. Estymator U jest asymptotyczie ieobciążoym estymatorem parametru θ EU = θ Tw. 0. Jeżeli E θ U = θ przyajmiej asymptotyczie ieobciążoy oraz D U = 0, to U jest zgodym estymatorem parametru θ. Def. 3 Obciążeie estymatora. EU θ Def. 3 Estymator NMW. Estymatorem ieobciążoym o miimalej wariacji parametru θ azywamy te spośród ieobciążoych estymatorów tego parametru, który ma ajmiejszą wariację. wtedy X spełia SWL. V ars = 0, Tw. 7 WL Czebyszewa lub Markowa. Niech X będzie ciągiem zmieych losowych iezależych o skończoych wariacjach σ = V arx, =,,.... Jeżeli σk = 0, to ciąg X spełia SWL. k= Tw. 73 SWL Czebyszewa. Jeśli X są iezależe lub parami ieskorelowae i mają wspólie ograiczoe wariację, tj. to ciąg X spełia SWL. K V ar X i < K i =,,... Tw. 74 WL Chiczya. Niech X będzie ciągiem iezależych zmieych losowych o tym samym rozkładzie i skończoej wartości oczekiwaej µ. Wtedy ciąg X spełia SWL, tz. S µ ε = Moce prawa wielkich liczb Def. 85 MWL. Mówimy, że ciąg X spełia moce prawo wilkich liczb, jeżeli ciąg zmieych losowych S ES jest zbieży do zera z prawdopodobieństwem, tz. dla kazdego ε > 0 S ES = 0 =. Tw. 75 MWL Beroulliego. Ozaczmy przez S liczbę sukcesów w schemacie Beroulliego prób z prawdopodobieństwem sukcesu w pojedyczej próbie rówym p. Wtedy dla każdego ε > 0 sup S k k p ε =. k Tw. 76 Twierdzeie Kołomogorowa. Jeśli X = jest ciągiem iezależych zmieych losowych takich, że V arx <, =,,..., przy czym V arx <, to z prawdopodobieństwem = S ES = 0. Tw. 77 MWL Kołomogorowa. Jeżeli X = jest ciągiem iezależych zmieych losowych o jedakowym rozkładzie, E X <, to X spełia MWL, czyli S = EX z prawdopodobieństwem. Lem. 78. Jeśli X, X,... takie, że EX = µ dla =,,... to jeśli X = 0 = 0 MWL ie zachodzi µ 6 5
7 d Jeżeli X EX EX to X L e Jeżeli X to istieje podciąg Xk taki, że X k Tw. 64. Jeżeli jest rozkładem dyskretym, to dla zmieych losowych określoych a przestrzei probabilistyczej Ω, F, zachodzi rówoważość: X X X Def. 8. Rodzię zmieych losowych {X t : t T } azywamy jedostajie całkowalą, jeżeli sup E X t I C { Xt >C} = 0. t T Lem. 65. Jeżeli X t Y dla t T, EY <, to rodzia zmieych losowych {X t : t T } jest jedostajie całkowala. Tw. 66. X L p X dla p wtedy i tylko wtedy, gdy i X ii Rodzia { X p } jest jedostajie całkowala. Def. 8. Niech µ = będzie ciągiem rozkładów prawdopodobieństwa a E, BE. Mówimy, że jest o słabo zbieży do rozkładu µ jeżeli dla każdej fukcji ciągłej i ograiczoej f : E R zachodzi fdµ = fdµ. E Def. 83. Niech X, X, X,... będą zmieymi losowymi o rozkładach µ, µ, µ,... odpowiedio. Mówimy, że ciąg X jest zbieży według rozkładu do X, jeżeli ciąg µ słabo zbiega do µ, co zapisujemy X d Tw. 67. Następujące waruki są rówoważe: a Ciąg µ słabo zbiega do µ, b sup µ F µf dla każdego domkiętego zbioru F, c if µ G µg dla każdego otwartego zbioru G, d µ B = µb dla każdego zbioru B takiego, że µ B = 0. Tw. 68 Scheffe. Niech µ będzie miarą σ-skończoą oraz fukcje f i f będą ieujeme i takie, że miary ν A = f dµ, νa = fdµ są miarami probabilistyczymi. Niech poadto f f p.. względem miary µ. Wówczas A E sup ν A νa 0. A Mówimy wtedy, że miary ν zbiegają do miary ν w ormie całkowitej wariacji. Tw. 69. Niech µ, µ będą rozkładami ciągłymi o gęstościach f, f odpowiedio. Jeżeli f f p.. względem miary Lebesgue a, to ciąg rozkładów µ słabo zbiega do rozkładu µ. 5.4 rawa wielkich liczb 5.4. Słabe prawa wielkich liczb Def. 84 SWL. Mówimy, że ciąg X spełia słabe prawo wielkich liczb, jeżeli ciąg zmieych losowych S ES jest zbieży według prawdopodobieństwa do zera, tz. dla kazdego ε > 0 S ES > ε = 0 S ES ε =. Tw. 70 WL Beroulliego. Jeżeli S = X + X X ma rozkład dwumiaowy Bi, p, to dla każdego ε > 0 S p ε =. A Tw. Rao-Blackwella. Jeżeli ĝ jest estymatorem ieobciążoym fukcji gθ i jeżeli T jest statystyką dostateczą dla rodziy rozkładów, to E θ ĝ T jest estymatorem ieobciążoym o wariacji jedostajie ie większej od wariacji ĝ. Tw. Lehmaa-Scheffego. Dla dowolego estymatora ieobciążoego SX parametru θ estymator postaci E θ SX T gdzie T jest statystyką dostateczą zupełą jest ENMW. Lem. 3. Dla dowolego estymatora ˆθ jego błąd średiokwadratowy jest sumą jego wariacji i kwadratu obciążeia, tj. Eˆθ θ = V arˆθ + Eˆθ θ. Lem. 4. Jeżeli estymator jest ieobciążoy to jego błąd średiokwadratowy ryzyko jest rówe wariacji. Def. 33 Fukcja iformacji Fishera. Iθ = E θ lfx, θ θ = E θ lfi X i, θ Lem. 5. rzy spełioych założeiach ierówości Rao-Cramera zachodzi: Iθ = E θ θ l f θx Tw. 6 Nierówość Rao-Cramera. V ar ˆθ Iθ Tw. 7. Niech będą spełioe założeia ierówości Rao-Cramera. Wtedy estymator ieobciążoy o wariacji Iθ istieje ] θ l f θx = aθ [ θx θ Wtedy θx jest ENMW dla θ oraz aθ = Iθ. Def. 34 Efektywość estymatora. Efektywością estymatora ˆθ azywamy fukcję V ar θ ˆθ ef θ ˆθ = = Iθ V ar θ ˆθ Iθ. Def. 35 Estymator ajefektywiejszy. ˆθ : θ ef θ ˆθ = Lem. 8. Jeśli estymator jest estymatorem ajefektywiejszym to jest o rówież ENMW. Implikacja odwrota jest ieprawdziwa Def. 36 Błąd stadardowy estymatora. Błędem stadardowym estymatora ˆθ parametru θ azywamy dowoly estymator jego odchyleia stadardowego σˆθ i ozaczamy go SEˆθ. Def. 37 Estymator studetyzoway. Niech ˆθ będzie ieobciążoym estymatorem parametru θ. Wówczas studetyzowaym estymatorem θ azywamy wielkość ˆθ θ SEˆθ. Def. 38 Fukcja cetrala. Fukcją cetralą azywamy fukcję tx, θ, której rozkład ie zależy od θ i która dla każdego X = x jest mootoiczą fukcją θ. Def. 39 Kostrukcja zbiorów ufości. Wyzaczamy stałe t, t takie, że θ t tx, θ t = α. θ t tx, θ t ˆθ X θ ˆθ X rzedział ˆθ X; ˆθ X jest przedziałem ufości dla θ a poziomie ufości α. Def. 40 rzedział ufości. ara statystyk LX, UX określa przedział ufości a poziomie ufości α, α 0, - ustaloe. Jeżeli θ [LX θ UX] α to [LX, UX] - przedział ufości dla θ a poziomie ufości α Jeżeli θ [LX θ] α to [LX, + ] - przedział ufości dla θ a poziomie ufości α 3 Jeżeli θ [θ UX] α to [, UX] - przedział ufości dla θ a poziomie ufości α Def. 4 Asymptotyczy przedział ufości. rzedział g ; g, gdzie g = gx,..., x i g = gx,..., x, jest asymptotyczym przedziałem ufości dla gθ a poziomie α, jeżeli g gθ g α θ Θ θ 4 7
8 .3. Metody wyzaczaia estymatorów Def. 4 Metoda mometów. Def. 43 Metoda ajwiększej wiarygodości. x = EX = fθ θ = f x fx,..., x, θ = Π i=fx i, θ ˆθ : l fx,..., x, θ = 0 θ 3 Testowaie hipotez statystyczych Def. 44 Test zradomizoway. Test H 0 : θ Θ 0 przeciw H : θ Θ utożsamiamy z fukcją ϕ: X 0; taką że jeżeli ϕx = 0 to ie odrzucamy H 0, jeżeli ϕx = to odrzucamy H 0, a jeżeli ϕx 0;, to uruchamiamy losowaie iezależe od próby losowej X, w którym odrzucamy H 0 z prawdopodobieństwem ϕx. Def. 45 Test iezradomizoway. Def. 46 Obszar krytyczy testu. Wtedy ϕx = χ W x ϕ: X {0; } W = {x X: ϕx = } Def. 47. Test hipotezy H 0 a poziomie istotości α jest to każdy test ϕ taki, że θ Θ E θ ϕx α Dla testu iezradomizowaego Def. 48 Błąd I rodzaju. Odrzuceie prawdziwego H 0 Def. 49 Błąd II rodzaju. rzyjęcie fałszywego H 0 E θ ϕx = θ X W Def. 50 oziom istotości; rozmiar testu. α = {x W H 0 } = I rodz. Def. 5. β = {x X \ W H } = II rodz. Def. 5 Moc testu. {x W H } = MW = β Def. 53. Fukcja mocy testu jest to fukcja π : Θ 0;, πθ = E θ ϕx, θ Θ Def. 54 Test ieobciążoy. Dla α 0, {x W H 0 } = α {x W H } > α Def. 55 Test zgody. {x W H } = Tw. 9 orówaie mocy testów. Założeia: W, W X {x W H 0 } {x W H 0 } Jeżeli MW = {x W H } {x W H } = MW to test oparty a W jest jedostajie mociejszy od testu opartego a W 3. Testy ajmociejsze Def. 56 Test ajmociejszy. Test, który miimalizuje β przy zadaym α Lem. 30 Neymaa - earsoa. Niech R będzie dowolym zbiorem w X takim, że θ0 R α. rzypuśćmy że istieje zbiór R X, gdzie R = {x: px p0x K}, dla którego θ0 R = α. Wtedy θ R θ R. Lem. 3 Wiosek z lematu Neymaa-earsoa. Jeśli β jest mocą testu ajmociejszego a poziomie α 0; dla H 0 : = 0 przeciw H : =, to β > α, chyba że 0 =. Tw. 56 O odwrotym przekształceiu Fouriera. Rozkład prawdopodobieństwa µ, który ma całkowalą fukcję charakterystyczą ϕ, ma także ograiczoą i ciągłą gęstość f, daą wzorem fx = π e isx ϕsds. Tw. 57. Jeżeli fukcja charakterystycza ϕ zmieej losowej X jest okresowa o okresie π, to X jest zmieą losową typu dyskretego, przyjmującą tylko wartości całkowite 5.3 Zbieżości probabilistycze X = k = π π π e itk ϕtdt. Def. 80. Ciąg zmieych losowych X = jest zbieży do zmieej losowej X: a prawie a pewo, jeżeli co ozaczamy X b według prawdopodobieństwa, jeżeli dla każdego ε > 0 co ozaczamy X {ω : X ω = Xω} =, X X > ε = 0, b według p-tego mometu w L p, 0 < p <, jeżeli E X p <, E X p < dla =,,... oraz co ozaczamy X L p Tw. 58 Waruek rówoważy zbieżości prawie a pewo. E X X p = 0, X X ε > 0 : N sup X k X ε k N Tw. 59. Jeżeli dla każdego ε > 0 = X X ε <, to X Tw. 60. Jeżeli EX <, EX < oraz = EX X <,to X Tw. 6 Twierdzeie o dwóch szeregach. Jeśli X - iezależe zmiee losowe oraz EX < V ar X < X zb. p.. Tw. 6 Waruki Cauchy ego. Zachodzą astępujące waruki Cauchy ego: a b Tw. 63. Zachodzą astępujące implikacje: a Jeżeli X to X b Jeżeli X L p to X X X ε > 0 : N,m N = 0 X X m < ε =, X X ε > 0 :,m X X m > ε = 0. c Jeżeli X L p p q to X L q 8 3
9 5. Fukcje zmieych losowych Tw. 48. Jeżeli zmiea losowa X : Ω a, b, a < b ma rozkład o gęstości f X oraz ϕ : a, b R jest klacy C oraz ϕ 0. to zmiea losowa Y = ϕx ma rozkład o gęstości gdzie h = ϕ. f Y y = f X hy h y I ϕa,b y, Tw. 49. Załóżmy, że zamy gęstość f X,Y wektora dwuwymiarowego X, Y oraz, że day jest wektor U, W = ϕ X, Y, ϕ X, Y. Zatem mamy u = ϕ x, y x = φ u, w w = ϕ x, y y = φ u, w wtedy Jakobia J wyraża się wzorem J = φ u φ u φ w φ w atomiast fukcja gęstości wektora losowego U, W wygląda astępująco f U,W u, w = J f X,Y φ u, w, φ u, w. Tw. 50 Addytywość rozkładu Gamma. Jeżeli X i Γ, s i = χ R++ s Γs xs e x to oraz dla sumy 5. Fukcje charakterystycze θx i Γ, θs i X i Γ, s i i Def. 78 Fukcja charakterystycza. Fukcją charakterystyczą zmieej losowej X : Ω R azywamy fukcję ϕ X : R C, daą wzorem ϕ X t = Ee itx t R. Tw. 5 Własości fukcji charakterystytczych. Niech ϕ X będzie fukcją charakterystyczą zmieej losowej X. Wtedy. ϕ X 0 =. ϕ X t 3. ϕ X t = ϕ X t 4. ϕ X t jest jedostajie ciągła Def. 79. Fukcję ϕ : R C azywamy dodatio określoą wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego aturalego, dla każdego ciągu t,..., t liczb rzeczywistych i zespoloych z,..., z mamy ϕt k t l z k z l 0. k,l Tw. 5 Bochera. Fukcja ϕ jest fukcją charakterystyczą pewego rozkładu prawdopodobieństwa wtedy i tylko wtedy, gdy jest ciągła, dodatio określoa i ϕ0 =. Tw. 53. Jeśli E X <, N, to -ta pochoda fukcji charakterystyczej ϕ X istieje i jest jedostajie ciągła, a poadto ϕ X 0 = i EX. Tw. 54. Jeśli X, Y są iezależymi zmieymi losowymi, to ϕ X+Y t = ϕ X tϕ Y t. Tw. 55. Jeśli rozkłady prawdopodobieństwa µ i ν a R, BR mają rówe fukcje charakterystycze, czyli ϕ µ t = ϕ ν t dla wszystkich t R, to µ = ν. Def. 57 Mootoiczy iloraz wiarygodości. Mówimy, że rodzia rozkładów { θ : θ Θ} jest rodzią rozkładów z mootoiczym ilorazem wiarygodości, jeżeli istieje taka fukcja T x, że dla θ > θ iloraz jest iemalejącą fukcją argumetu T x. p θ x p θ x Tw. 3. Rodzia rozkładów o fukcji prawdopodobieństwa p θ x = x θ x θ x, θ 0; jest rodzią o mootoiczym ilorazie wiarygodości. Tw. 33. Jedoparametrowa rodzia wykładicza p θ x = e cθtx bθ hx jest rodzią o mootoiczym ilorazie wiarygodości. Tw. 34. Rodzia rozkładów jedostajych U0; θ, θ > 0 jest rodzią o mootoiczym ilorazie wiarygodości. Tw. 35 Test JNM dla mootoiczego ilorazu wiarygodości. Niech H 0 : θ θ 0, H : θ > θ 0, a {p θ : θ Θ} jest rodzią rozkładów z mootoiczym ilorazem wiarygodości. Wówczas: a Dla weryfikacji H 0 przeciw H istieje test jedostajie ajmociejszy określoy jako: dla T x > k ϕx = c dla T x = k 0 dla T x < k gdzie stałe c, k są wyzaczoe z waruku E θ0 ϕx = α. b Fukcja βθ = E θ ϕx = θ T x > k jest ściśle rosąca w zbiorze w którym βθ <. c Dla każdego θ test zdefiioway w a jest jedostajie ajmociejszy dla H 0 : θ θ przeciw H : θ > θ a poziomie istotości α = βθ. d Dla dowolego θ < θ 0 test z a miimalizuje prawdopodobieństwo błędu I rodzaju βθ wśród wszystkich testów spełiających E θ0 X = α. Lem. 36 Wiosek. Jeżeli { θ : θ Θ} jest rodzią wykładiczą o gęstościach p θ x = e cθt x bθ hx i jeżeli cθ jest fukcją ściśle rosącą, to test JNM ϕx ma postać jak w pukcie a powyższego twierdzeia. Jeśli cθ jest fukcją ściśle malejącą to w defiicji testu ϕ zaki ierówości zmieiają się a przeciwe. 3. Testy ilorazowe Def. 58. Wiarogodością hipotezy H i i = 0; gdy zaobserwowao x azywamy liczbę Def. 59 Iloraz wiarogodości. x = LH x LH 0 x L Hi x = sup Lx; θ θ Θi Def. 60 Obszar krytyczy. W = {x: x > k} gdzie k jest takie, aby sup θ Θ0 θ x > k = α. Jeśli z powodu dyskretości rozkładu ie zachodzi powyższa rówość, wtedy ustala się k tak, aby θ x > k α < θ x > k Tw. 37 Rozkład ilorazu wiarogodości w dużych próbach. rzy astępujących założeiach: - X = X,..., X - próba losowa - Θ R s - Hipoteza H 0 oraz zbiór Θ 0 określoe przez układ liiowo iezależych waruków postaci h j θ = 0, j =,..., r - θ θ θ θ - LX, θ = p θ X dwukrotie różiczkowala w sposób ciągły względem θ - sup θ Θ0 LX, θ = LX, θ oraz spełioych warukach regularości z ierówości Rao-Cramera, dla zmieej losowej l X zachodzi: l X d χ r gdzie X = LX,ˆθNW LX, θ, a r jest liczbą rówań określających hipotezę H 0. Obszar krytyczy testu ma wówczas postać {x: l X > k}, gdzie k jest kwatylem rzędu α rozkładu χ r. 9
10
Statystyka Matematyczna. Skrypt. Spis treści. SKN Matematyki Stosowanej. s k n. m s 23 kwietnia Oznaczenia i definicje 3
Spis treści Ozaczeia i defiicje 3 Wioskowaie statystycze 3. Statystyki dostatecze................................................. 3.. Rodzia rozkładów wykładiczych......................................
Bardziej szczegółowoEstymatory nieobciążone o minimalnej wariancji
Estymatory ieobciążoe o miimalej wariacji Model statystyczy (X, {P θ, θ Θ}); g : Θ R 1 Zadaie: oszacować iezaą wartość g(θ) Wybrać takie δ(x 1, X 2,, X ) by ( θ Θ) ieobciążoość E θ δ(x 1, X 2,, X ) = g(θ)
Bardziej szczegółowoTwierdzenia graniczne:
Twierdzeia graicze: Tw. ierówośd Markowa Jeżeli P(X > 0) = 1 oraz EX 0: P X k 1 k EX. Tw. ierówośd Czebyszewa Jeżeli EX = m i 0 < σ = D X 0: P( X m tσ) 1 t. 1. Z partii towaru o wadliwości
Bardziej szczegółowo1 Twierdzenia o granicznym przejściu pod znakiem całki
1 Twierdzeia o graiczym przejściu pod zakiem całki Ozaczeia: R + = [0, ) R + = [0, ] (X, M, µ), gdzie M jest σ-ciałem podzbiorów X oraz µ: M R + - zbiór mierzaly, to zaczy M Twierdzeie 1.1. Jeżeli dae
Bardziej szczegółowoStatystyka matematyczna. Wykład II. Estymacja punktowa
Statystyka matematycza. Wykład II. e-mail:e.kozlovski@pollub.pl Spis treści 1 dyskretych Rozkłady zmieeych losowych ciągłych 2 3 4 Rozkład zmieej losowej dyskretej dyskretych Rozkłady zmieeych losowych
Bardziej szczegółowoPodstawowe rozkłady zmiennych losowych typu dyskretnego
Podstawowe rozkłady zmieych losowych typu dyskretego. Zmiea losowa X ma rozkład jedopuktowy, skocetroway w pukcie x 0 (ozaczay przez δ(x 0 )), jeżeli P (X = x 0 ) =. EX = x 0, V arx = 0. e itx0.. Zmiea
Bardziej szczegółowoX i. X = 1 n. i=1. wartość tej statystyki nazywana jest wartością średnią empiryczną i oznaczamy ją symbolem x, przy czym x = 1. (X i X) 2.
Zagadieia estymacji Puktem wyjścia badaia statystyczego jest wylosowaie z całej populacji pewej skończoej liczby elemetów i zbadaie ich ze względu a zmieą losową cechę X Uzyskae w te sposób wartości x,
Bardziej szczegółowoZBIEŻNOŚĆ CIĄGU ZMIENNYCH LOSOWYCH. TWIERDZENIA GRANICZNE
RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 8. ZBIEŻNOŚĆ CIĄGU ZMIENNYCH LOSOWYCH. TWIERDZENIA GRANICZNE 1 Zbieżość ciągu zmieych losowych z prawdopodobieństwem 1 (prawie apewo) Ciąg zmieych losowych (X ) jest
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA. Rafał Kucharski. Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach 2015/16 ROND, Finanse i Rachunkowość, rok 2
STATYSTYKA Rafał Kucharski Uiwersytet Ekoomiczy w Katowicach 2015/16 ROND, Fiase i Rachukowość, rok 2 Rachuek prawdopodobieństwa Rzucamy 10 razy moetą, dla której prawdopodobieństwo wyrzuceia orła w pojedyczym
Bardziej szczegółowoZadanie 2 Niech,,, będą niezależnymi zmiennymi losowymi o identycznym rozkładzie,.
Z adaie Niech,,, będą iezależymi zmieymi losowymi o idetyczym rozkładzie ormalym z wartością oczekiwaą 0 i wariacją. Wyzaczyć wariację zmieej losowej. Wskazówka: pokazać, że ma rozkład Γ, ODP: Zadaie Niech,,,
Bardziej szczegółowoNiezależność zmiennych, funkcje i charakterystyki wektora losowego, centralne twierdzenia graniczne
Wykład 4 Niezależość zmieych, fukcje i charakterystyki wektora losowego, cetrale twierdzeia graicze Dr Joaa Baaś Zakład Badań Systemowych Istytut Sztuczej Iteligecji i Metod Matematyczych Wydział Iformatyki
Bardziej szczegółowoP ( i I A i) = i I P (A i) dla parami rozłącznych zbiorów A i. F ( ) = lim t F (t) = 0, F (+ ) = lim t + F (t) = 1.
Podstawy teorii miary probabilistyczej. Zbiory mierzale σ ciało zbiorów Załóżmy, że mamy jakiś zbiór Ω. Niech F będzie taką rodzią podzbiorów Ω, że: Ω F A F A F i I A i F i I A i F Wtedy rodzię F azywamy
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka r.
Zadaie. Wykoujemy rzuty symetryczą kością do gry do chwili uzyskaia drugiej szóstki. Niech Y ozacza zmieą losową rówą liczbie rzutów w których uzyskaliśmy ie wyiki iż szóstka a zmieą losową rówą liczbie
Bardziej szczegółowoWykład 13: Zbieżność według rozkładu. Centralne twierdzenie graniczne.
Rachuek prawopoobieństwa MA064 Wyział Elektroiki, rok aka 2008/09, sem leti Wykłaowca: r hab A Jurlewicz Wykła 3: Zbieżość weług rozkłau Cetrale twierzeie graicze Zbieżości ciągu zmieych losowych weług
Bardziej szczegółowoStatystyka i Opracowanie Danych. W7. Estymacja i estymatory. Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok407
Statystyka i Opracowaie Daych W7. Estymacja i estymatory Dr Aa ADRIAN Paw B5, pok407 ada@agh.edu.pl Estymacja parametrycza Podstawowym arzędziem szacowaia iezaego parametru jest estymator obliczoy a podstawie
Bardziej szczegółowoEstymacja. Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Inteligencji i Metod Matematycznych. Wykład 7
Metody probabilistycze i statystyka Estymacja Dr Joaa Baaś Zakład Badań Systemowych Istytut Sztuczej Iteligecji i Metod Matematyczych Wydział Iformatyki Politechiki Szczecińskiej Metody probabilistycze
Bardziej szczegółowoθx θ 1, dla 0 < x < 1, 0, poza tym,
Zadaie 1. Niech X 1,..., X 8 będzie próbą z rozkładu ormalego z wartością oczekiwaą θ i wariacją 1. Niezay parametr θ jest z kolei zmieą losową o rozkładzie ormalym z wartością oczekiwaą 0 i wariacją 1.
Bardziej szczegółowoCharakterystyki liczbowe zmiennych losowych: wartość oczekiwana i wariancja
Charakterystyki liczbowe zmieych losowych: wartość oczekiwaa i wariacja dr Mariusz Grządziel Wykłady 3 i 4;,8 marca 24 Wartość oczekiwaa zmieej losowej dyskretej Defiicja. Dla zmieej losowej dyskretej
Bardziej szczegółowoWokół testu Studenta 1. Wprowadzenie Rozkłady prawdopodobieństwa występujące w testowaniu hipotez dotyczących rozkładów normalnych
Wokół testu Studeta Wprowadzeie Rozkłady prawdopodobieństwa występujące w testowaiu hipotez dotyczących rozkładów ormalych Rozkład ormaly N(µ, σ, µ R, σ > 0 gęstość: f(x σ (x µ π e σ Niech a R \ {0}, b
Bardziej szczegółowosą niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowym rozkładzie Poissona z wartością oczekiwaną λ równą 10. Obliczyć v = var( X
Prawdoodobieństwo i statystyka 5..008 r. Zadaie. Załóżmy że 3 są iezależymi zmieymi losowymi o jedakowym rozkładzie Poissoa z wartością oczekiwaą λ rówą 0. Obliczyć v = var( 3 + + + 3 = 9). (A) v = 0 (B)
Bardziej szczegółowoTrzeba pokazać, że dla każdego c 0 c Mc 0. ) = oraz det( ) det( ) det( ) jest macierzą idempotentną? Proszę odpowiedzieć w
Zad Dae są astępujące macierze: A =, B, C, D, E 0. 0 = = = = 0 Wykoaj astępujące działaia: a) AB, BA, C+E, DE b) tr(a), tr(ed), tr(b) c) det(a), det(c), det(e) d) A -, C Jeśli działaia są iewykoale, to
Bardziej szczegółowo1 Przedziały ufności. ). Obliczamy. gdzie S pochodzi z rozkładu B(n, 1 2. P(2 S n 2) = 1 P(S 2) P(S n 2) = 1 2( 2 n +n2 n +2 n ) = 1 (n 2 +n+2)2 n.
Przedziały ufości W tym rozdziale będziemy zajmować się przede wszystkim zadaiami związaymi z przedziałami ufości Będą as rówież iteresować statystki pozycyje oraz estymatory ajwiększej wiarygodości (Eg
Bardziej szczegółowoWYKŁAD 1. Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo Zmienna losowa i jej rozkłady
WYKŁAD Zdarzeia losowe i prawdopodobieństwo Zmiea losowa i jej rozkłady Metody statystycze metody opisu metody wioskowaia statystyczego sytetyczy liczbowy opis właściwości zbioru daych ocea charakterystyk
Bardziej szczegółowoLista 6. Estymacja punktowa
Estymacja puktowa Lista 6 Model metoda mometów, rozkład ciągły. Zadaie. Metodą mometów zaleźć estymator iezaego parametru a w populacji jedostajej a odciku [a, a +. Czy jest to estymator ieobciążoy i zgody?
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA MATEMATYCZNA
TATYTYKA MATEMATYCZNA ROZKŁADY PODTAWOWYCH TATYTYK zmiea losowa odpowiedik badaej cechy, (,,..., ) próba losowa (zmiea losowa wymiarowa, i iezależe zmiee losowe o takim samym rozkładzie jak (taką próbę
Bardziej szczegółowoWykład 8: Zbieżność według rozkładu. Centralne twierdzenie graniczne.
Rachuek prawopoobieństwa MA5 Wyział Elektroiki, rok aka 20/2, sem leti Wykłaowca: r hab A Jurlewicz Wykła 8: Zbieżość weług rozkłau Cetrale twierzeie graicze Zbieżości ciągu zmieych losowych weług rozkłau
Bardziej szczegółowobędą niezależnymi zmiennymi losowymi z rozkładu jednostajnego na przedziale ( 0,
Zadaie iech X, X,, X 6 będą iezależymi zmieymi losowymi z rozkładu jedostajego a przedziale ( 0, ), a Y, Y,, Y6 iezależymi zmieymi losowymi z rozkładu jedostajego a przedziale ( 0, ), gdzie, są iezaymi
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka
Wykład VI: Metoda Mote Carlo 17 listopada 2014 Zastosowaie: przybliżoe całkowaie Prosta metoda Mote Carlo Przybliżoe obliczaie całki ozaczoej Rozważmy całkowalą fukcję f : [0, 1] R. Chcemy zaleźć przybliżoą
Bardziej szczegółowoZdarzenia losowe, definicja prawdopodobieństwa, zmienne losowe
Metody probabilistycze i statystyka Wykład 1 Zdarzeia losowe, defiicja prawdopodobieństwa, zmiee losowe Dr Joaa Baaś Zakład Badań Systemowych Istytut Sztuczej Iteligecji i Metod Matematyczych Wydział Iformatyki
Bardziej szczegółowoStatystyka Matematyczna Anna Janicka
Statystyka Matematycza Aa Jaicka wykład XIV, 06.06.06 STATYSTYKA BAYESOWSKA CD. Pla a dzisiaj. Statystyka Bayesowska rozkłady a priori i a posteriori estymacja Bayesowska: Bayesowski Estymator Największej
Bardziej szczegółowoModele probabilistyczne zjawisk losowych
Statystyka-matematycza-II Wykład Modele probabilistycze zjawisk losowych Pojęcia podstawowe: Zdarzeia elemetare: ajprostsze zdarzeie mogące być wyróżioe dla daego doświadczeia losowego. Ω - zbiór zdarzeń
Bardziej szczegółowoStatystyka Matematyczna Anna Janicka
Statystyka Matematycza Aa Jaicka wykład XIII, 30.05.06 STATYSTYKA BAYESOWSKA Pla a dzisiaj. Statystyka Bayesowska rozkłady a priori i a posteriori estymacja Bayesowska: Bayesowski Estymator Największej
Bardziej szczegółowoMatematyka ubezpieczeń majątkowych r.
Matematyka ubezpieczeń majątkowych 6..003 r. Zadaie. W kolejych okresach czasu t =,, 3, 4, 5 ubezpieczoy, charakteryzujący się parametrem ryzyka Λ, geeruje szkód. Dla daego Λ = λ zmiee N, N,..., N 5 są
Bardziej szczegółowo16 Przedziały ufności
16 Przedziały ufości zapis wyiku pomiaru: sugeruje, że rozkład błędów jest symetryczy; θ ± u(θ) iterpretacja statystycza przedziału [θ u(θ), θ + u(θ)] zależy od rozkładu błędów: P (Θ [θ u(θ), θ + u(θ)])
Bardziej szczegółowoZAGADNIENIE ESTYMACJI. ESTYMACJA PUNKTOWA I PRZEDZIAŁOWA
ZAGADNIENIE ESTYMACJI. ESTYMACJA PUNKTOWA I PRZEDZIAŁOWA Mamy populację geeralą i iteresujemy się pewą cechą X jedostek statystyczych, a dokładiej pewą charakterystyką liczbową θ tej cechy (p. średią wartością
Bardziej szczegółowoZestaw zadań do skryptu z Teorii miary i całki. Katarzyna Lubnauer Hanna Podsędkowska
Zestaw zadań do skryptu z Teorii miary i całki Katarzya Lubauer Haa Podsędkowska Ciała σ - ciała. Zbadaj czy rodzia A jest ciałem w przestrzei X=[0] a) A = X 0 b) A = X 0 3 3 c) A = { X { }{}{ 0}{ 0 }
Bardziej szczegółowoI. Ciągi liczbowe. , gdzie a n oznacza n-ty wyraz ciągu (a n ) n N. spełniający warunek. a n+1 a n = r, spełniający warunek a n+1 a n
I. Ciągi liczbowe Defiicja 1. Fukcję określoą a zbiorze liczb aturalych o wartościach rzeczywistych azywamy ciągiem liczbowym. Ciągi będziemy ozaczać symbolem a ), gdzie a ozacza -ty wyraz ciągu a ). Defiicja.
Bardziej szczegółowoLiczebnośd (w tys.) n
STATYSTYKA Statystyka bada prawidłowości w zjawiskach masowych (tz. takich, które mogą występowad ieograiczoą ilośd razy). Przedmiotem badao statyki są zbiory (populacje), których elemetami są wszelkiego
Bardziej szczegółowoSTATYSTKA I ANALIZA DANYCH LAB II
STATYSTKA I ANALIZA DANYCH LAB II 1. Pla laboratorium II rozkłady prawdopodobieństwa Rozkłady prawdopodobieństwa dwupuktowy, dwumiaowy, jedostajy, ormaly. Związki pomiędzy rozkładami prawdopodobieństw.
Bardziej szczegółowo0.1 ROZKŁADY WYBRANYCH STATYSTYK
0.1. ROZKŁADY WYBRANYCH STATYSTYK 1 0.1 ROZKŁADY WYBRANYCH STATYSTYK Zadaia 0.1.1. Niech X 1,..., X będą iezależymi zmieymi losowymi o tym samym rozkładzie. Obliczyć ES 2 oraz D 2 ( 1 i=1 X 2 i ). 0.1.2.
Bardziej szczegółowo1 Dwuwymiarowa zmienna losowa
1 Dwuwymiarowa zmiea loowa 1.1 Dwuwymiarowa zmiea loowa kokowa X = x i, Y = y k = p ik przy czym i, k N oraz p ik = 1; i k p i = X = x i = p ik dla i N; p k = Y = y k = p ik dla k N; k i F 1 x = p i dla
Bardziej szczegółowoWykład z Rachunku Prawdopodobieństwa II
Matematyka stosowaa Wykład z Rachuku Prawdopodobieństwa II Adam Osękowski ados@mimuw.edu.pl http://www.mimuw.edu.pl/~ados Uiwersytet Warszawski, 2011 Streszczeie. Celem iiejszego skryptu jest wprowadzeie
Bardziej szczegółowoZmienna losowa N ma rozkład ujemny dwumianowy z parametrami (, q) = 7,
Matematyka ubezpieczeń majątkowych.0.008 r. Zadaie. r, Zmiea losowa N ma rozkład ujemy dwumiaowy z parametrami (, q), tz.: Pr( N k) (.5 + k) (.5) k! Γ Γ * Niech k ozacza taką liczbę aturalą, że: * k if{
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka r.
Zadaie 1 Rzucamy 4 kości do gry (uczciwe). Prawdopodobieństwo zdarzeia iż ajmiejsza uzyskaa a pojedyczej kości liczba oczek wyiesie trzy (trzy oczka mogą wystąpić a więcej iż jedej kości) rówe jest: (A)
Bardziej szczegółowoStatystyka opisowa. (n m n m 1 ) h (n m n m 1 ) + (n m n m+1 ) 2 +1), gdy n jest parzyste
Statystyka opisowa Miary statystycze: 1. miary położeia a) średia z próby x = 1 x = 1 x = 1 x i - szereg wyliczający x i i - szereg rozdzielczy puktowy x i i - szereg rozdzielczy przedziałowy, gdzie x
Bardziej szczegółowoRozkłady statystyk z próby Twierdzenia graniczne
Rozkłady statystyk z róby Twierdzeia graicze PRÓBA LOSOWA Próbą losową rostą azyway ciąg -zieych losowych iezależych i osiadających jedakowe rozkłady takie jak rozkład zieej losowej w oulacji geeralej
Bardziej szczegółowo0.1 Statystyczne Podstawy Modelu Regresji
0.1 Statystycze Podstawy Modelu Regresji iech daa będzie przestrzeń probabilistycza (Ω, F, P ). Fukcję X : Ω R, określoą a przestrzei zdarzeń elemetarych Ω, o wartościach rzeczywistych, takich że x R {ω
Bardziej szczegółowoOperatory zwarte Lemat. Jeśli T jest odwzorowaniem całkowym na przestrzeni Hilberta X = L 2 (Ω) z jądrem k L 2 (M M)
Operatory zwarte Niech X będzie przestrzeią Baacha. Odwzorowaie liiowe T azywa się zwarte, jeśli obraz kuli jedostkowej T (B) jest zbiorem warukowo zwartym. Przestrzeń wszystkich operatorów zwartych a
Bardziej szczegółowo8 Weryfikacja hipotez statystycznych
Marek Beśka, Statystyka matematycza, wykład 8 04 8 Weryfikacja hipotez statystyczych 8. Hipotezy statystycze Drugą obok estymacji formą wioskowaia statystyczego jest weryfikacja hipotez statystyczych.
Bardziej szczegółowoMarek Be±ka, Statystyka matematyczna, wykªad Wykªadnicze rodziny rozkªadów prawdopodobie«stwa
Mare Be±a, Statystya matematycza, wyªad 3 38 3 Statystyi zupeªe 3. Wyªadicze rodziy rozªadów prawdopodobie«stwa Zacziemy od deicji Deicja 3. Rodzi rozªadów {µ θ } θ Θ azywamy wyªadicz rodzi rozªadów -
Bardziej szczegółowoz przedziału 0,1. Rozważmy trzy zmienne losowe:..., gdzie X
Matematyka ubezpieczeń majątkowych.0.0 r. Zadaie. Mamy day ciąg liczb q, q,..., q z przedziału 0,. Rozważmy trzy zmiee losowe: o X X X... X, gdzie X i ma rozkład dwumiaowy o parametrach,q i, i wszystkie
Bardziej szczegółowo1. Wnioskowanie statystyczne. Ponadto mianem statystyki określa się także funkcje zmiennych losowych o
1. Wioskowaie statystycze. W statystyce idetyfikujemy: Cecha-Zmiea losowa Rozkład cechy-rozkład populacji Poadto miaem statystyki określa się także fukcje zmieych losowych o tym samym rozkładzie. Rozkłady
Bardziej szczegółowoLista 5. Odp. 1. xf(x)dx = xdx = 1 2 E [X] = 1. Pr(X > 3/4) E [X] 3/4 = 2 3. Zadanie 3. Zmienne losowe X i (i = 1, 2, 3, 4) są niezależne o tym samym
Lista 5 Zadaia a zastosowaie ierówosci Markowa i Czebyszewa. Zadaie 1. Niech zmiea losowa X ma rozkład jedostajy a odciku [0, 1]. Korzystając z ierówości Markowa oszacować od góry prawdopodobieństwo, że
Bardziej szczegółowo1) Jakie są różnice pomiędzy analiza danych a wnioskowaniem statystycznym?
Plaowaie Eksperymetów 1) Jakie są różice pomiędzy aaliza daych a wioskowaiem statystyczym? Celem aalizy daych jest prezetacja kokretego zbioru daych, w sposób ukazujący jego właściwości, w szczególości
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA MATEMATYCZNA. WYKŁAD 0 (powt. wiadomości z r. p-stwa)
STATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD 0 (powt. wiadomości z r. p-stwa) Literatura M. Cieciura, J. Zacharski, Metody probabilistycze w ujęciu praktyczym, L. Kowalski, Statystyka, 005 R.Leiter, J.Zacharski, "Zarys
Bardziej szczegółowoZadanie 3. ( ) Udowodnij, że jeśli (X n, F n ) jest martyngałem, to. X i > t) E X n. . t. P(sup
Szkice rozwiązań zadań z serii dwuastej oraz części zadań z kartkówki. Zadaie 1. Niech (X, F ) będzie martygałem. Czy X jest domykaly, jeśli ciąg EX l X jest zbieży? X jest zbieży prawie a pewo? X jest
Bardziej szczegółowoRÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 11
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD Szeregi potęgowe Defiicja Fukcja y = f () jest klasy C jeżeli jest -krotie różiczkowala i jej -ta pochoda jest fukcją ciągłą. Defiicja Fukcja y = f () jest klasy C, jeżeli jest
Bardziej szczegółowoPRZEDZIAŁY UFNOŚCI. Niech θ - nieznany parametr rozkładu cechy X. Niech α będzie liczbą z przedziału (0, 1).
TATYTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD 3 RZEDZIAŁY UFNOŚCI Niech θ - iezay parametr rozkład cechy. Niech będzie liczbą z przedział 0,. Jeśli istieją statystyki, U i U ; U U ; których rozkład zależy od θ oraz U θ
Bardziej szczegółowoP = 27, 8 27, 9 27 ). Przechodząc do granicy otrzymamy lim P(Y n > Y n+1 ) = P(Z 1 0 > Z 2 X 2 X 1 = 0)π 0 + P(Z 1 1 > Z 2 X 2 X 1 = 1)π 1 +
Zadaia róże W tym rozdziale zajdują się zadaia ietypowe, często dotyczące łańcuchów Markowa oraz własości zmieych losowych. Pojawią się także zadaia z estymacji Bayesowskiej.. (Eg 8/) Rozważamy łańcuch
Bardziej szczegółowoWykład 5 Przedziały ufności. Przedział ufności, gdy znane jest σ. Opis słowny / 2
Wykład 5 Przedziały ufości Zwykle ie zamy parametrów populacji, p. Chcemy określić a ile dokładie y estymuje Kostruujemy przedział o środku y, i taki, że mamy 95% pewości, że zawiera o Nazywamy go 95%
Bardziej szczegółowoWYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 7 i 8 - Efektywność estymatorów, przedziały ufności
WYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 7 i 8 - Efektywność estymatorów, przedziały ufności Agata Boratyńska Agata Boratyńska Statystyka matematyczna, wykład 7 i 8 1 / 9 EFEKTYWNOŚĆ ESTYMATORÓW, próba
Bardziej szczegółowo3. Funkcje elementarne
3. Fukcje elemetare Fukcjami elemetarymi będziemy azywać fukcję tożsamościową x x, fukcję wykładiczą, fukcje trygoometrycze oraz wszystkie fukcje, jakie moża otrzymać z wyżej wymieioych drogą astępujących
Bardziej szczegółowoPodstawowe oznaczenia i wzory stosowane na wykładzie i laboratorium Część I: estymacja
Podstawowe ozaczeia i wzory stosowae a wykładzie i laboratorium Część I: estymacja 1 Ozaczeia Zmiee losowe (cechy) ozaczamy a wykładzie dużymi literami z końca alfabetu. Próby proste odpowiadającymi im
Bardziej szczegółowooznaczają łączne wartości szkód odpowiednio dla k-tego kontraktu w t-tym roku. O składnikach naszych zmiennych zakładamy, że:
Zadaie. Niech zmiee losowe: X t,k = μ + α k + β t + ε t,k, k =,2,, K oraz t =,2,, T, ozaczają łącze wartości szkód odpowiedio dla k-tego kotraktu w t-tym roku. O składikach aszych zmieych zakładamy, że:
Bardziej szczegółowo1 Układy równań liniowych
Katarzya Borkowska, Wykłady dla EIT, UTP Układy rówań liiowych Defiicja.. Układem U m rówań liiowych o iewiadomych azywamy układ postaci: U: a x + a 2 x 2 +... + a x =b, a 2 x + a 22 x 2 +... + a 2 x =b
Bardziej szczegółowoRozkład normalny (Gaussa)
Rozład ormaly (Gaussa) Wyprowadzeie rozładu Gaussa w modelu Laplace a błędów pomiarowych. Rozważmy pomiar wielości m, tóry jest zaburzay przez losowych efetów o wielości e ażdy, zarówo zaiżających ja i
Bardziej szczegółowoZadania z algebry liniowej - sem. I Liczby zespolone
Zadaia z algebry liiowej - sem. I Liczby zespoloe Defiicja 1. Parę uporządkowaą liczb rzeczywistych x, y azywamy liczbą zespoloą i ozaczamy z = x, y. Zbiór wszystkich liczb zespoloych ozaczamy przez C
Bardziej szczegółowoma rozkład złożony Poissona z oczekiwaną liczbą szkód równą λ i rozkładem wartości pojedynczej szkody takim, że Pr( Y
Zadaie. Łącza wartość szkód z pewego ubezpieczeia W = Y + Y +... + YN ma rozkład złożoy Poissoa z oczekiwaą liczbą szkód rówą λ i rozkładem wartości pojedyczej szkody takim, że ( Y { 0,,,3,... }) =. Niech:
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA OPISOWA I PROJEKTOWANIE EKSPERYMENTU dr inż Krzysztof Bryś
1 STATYSTYKA OPISOWA I PROJEKTOWANIE EKSPERYMENTU dr iż Krzysztof Bryś Pojȩcia wstȩpe populacja - ca ly zbiór badaych przedmiotów lub wartości. próba - skończoy podzbiór populacji podlegaj acy badaiu.
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa i statystyka Wnioskowanie statystyczne. Estymacja i estymatory. Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok407
Rachek rawdoodobieństwa i statystyka Wioskowaie statystycze. Estymacja i estymatory Dr Aa ADRIAN Paw B5, ok407 ada@agh.ed.l Estymacja arametrycza Podstawowym arzędziem szacowaia iezaego arametr jest estymator
Bardziej szczegółowon n X n = σ σ = n n n Ponieważ zmienna losowa standaryzowana ma rozkład normalny N(0, 1), więc
5.3. Zagadieia estymacji 87 Rozważmy teraz dokładiej zagadieie szacowaia wartości oczekiwaej m zmieej losowej X o rozkładzie ormalym N(m, F), w którym odchyleie stadardowe F jest zae. Niech X, X,..., X
Bardziej szczegółowo1 Zmienne losowe. Własności dystrybuanty F (x) = P (X < x): F1. 0 F (x) 1 dla każdego x R, F2. lim F (x) = 0 oraz lim F (x) = 1,
1 Zmiee loowe Właości dytrybuaty F x = X < x: F1. 0 F x 1 dla każdego x R, F2. lim F x = 0 oraz lim F x = 1, x x + F3. F jet fukcją iemalejącą, F4. lim x x 0 F x = F x 0 dla każdego x R, F5. a X < b =
Bardziej szczegółowoStwierdzenie 1. Jeżeli ciąg ma granicę, to jest ona określona jednoznacznie (żaden ciąg nie może mieć dwóch różnych granic).
Materiały dydaktycze Aaliza Matematycza Wykład Ciągi liczbowe i ich graice. Graice ieskończoe. Waruek Cauchyego. Działaia arytmetycze a ciągach. Podstawowe techiki obliczaia graic ciągów. Istieie graic
Bardziej szczegółowo3. Regresja liniowa Założenia dotyczące modelu regresji liniowej
3. Regresja liiowa 3.. Założeia dotyczące modelu regresji liiowej Aby moża było wykorzystać model regresji liiowej, muszą być spełioe astępujące założeia:. Relacja pomiędzy zmieą objaśiaą a zmieymi objaśiającymi
Bardziej szczegółowoZSTA LMO Zadania na ćwiczenia
ZSTA LMO Zadaia a ćwiczeia Efektywość estymatorów ieobciążoych Zadaie 1. Zakładamy, że badaa cecha X populacji ma rozkład Poissoa πλ, gdzie λ > 0 jest parametrem. Poadto, iech X = X 1, X,..., X będzie
Bardziej szczegółowoSzeregi liczbowe. Szeregi potęgowe i trygonometryczne.
Szeregi iczbowe. Szeregi potęgowe i trygoometrycze. wykład z MATEMATYKI Automatyka i Robotyka sem. I, rok ak. 2008/2009 Katedra Matematyki Wydział Iformatyki Poitechika Białostocka Szeregi iczbowe Defiicja..
Bardziej szczegółowo1. Miara i całka Lebesgue a na R d
1. Miara i całka Lebesgue a a R d 1. Miara. Mówimy, że rodzia podzbiorów S zbioru Ω jest σ-ciałem, jeśli wraz z każdym zbiorem zawiera oa jego dopełieie i jest zamkięta a sumowaie przeliczalych podrodzi.
Bardziej szczegółowoKomputerowa analiza danych doświadczalnych
Komputerowa aaliza daych doświadczalych Wykład 6.04.06 dr iż. Łukasz Graczykowski lgraczyk@if.pw.edu.pl Semestr leti 05/06 Własości rozkładu ormalego Cetrale twierdzeie graicze Fukcja charakterystycza
Bardziej szczegółowoKorelacja i regresja. Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Inteligencji i Metod Matematycznych. Wykład 12
Wykład Korelacja i regresja Dr Joaa Baaś Zakład Badań Systemowych Istytut Sztuczej Iteligecji i Metod Matematyczych Wydział Iformatyki Politechiki Szczecińskiej Wykład 8. Badaie statystycze ze względu
Bardziej szczegółowoKurs Prawdopodobieństwo Wzory
Kurs Prawdoodobieństwo Wzory Elemety kombiatoryki Klasycza deiicja rawdoodobieństwa gdzie: A - liczba zdarzeń srzyjających A - liczba wszystkich zdarzeń P A Tel. 603 088 74 Prawdoodobieństwo deiicja Kołmogorowa
Bardziej szczegółowoCiągi liczbowe wykład 3
Ciągi liczbowe wykład 3 dr Mariusz Grządziel semestr zimowy, r akad 204/205 Defiicja ciągu liczbowego) Ciagiem liczbowym azywamy fukcję odwzorowuja- ca zbiór liczb aturalych w zbiór liczb rzeczywistych
Bardziej szczegółowoa 1, a 2, a 3,..., a n,...
III. Ciągi liczbowe. 1. Defiicja ciągu liczbowego. Defiicja 1.1. Ciągiem liczbowym azywamy fukcję a : N R odwzorowującą zbiór liczb aturalych N w zbiór liczb rzeczywistych R i ozaczamy przez { }. Używamy
Bardziej szczegółowoPrzykłady 8.1 : zbieżności ciągów zmiennych losowych
Rachuek rawopoobieństwa MA8 Wyział Matematyki, Matematyka Stosowaa rzykłay 8. Róże rozaje zbieżości ciągów zmieych losowych. rawa wielkich liczb. Twierzeia graicze. rzykłay 8. : zbieżości ciągów zmieych
Bardziej szczegółowoµ = Test jest następujący: jeŝeli X > 0.01 to odrzucamy H. 0
7. Testowaie hipotez statystyczych 7. Populacja ma rozkład ciągły opisay fukcją gęstości f ( x) ( + ) x dla x [,]. Testowaa jest hipoteza, Ŝe wobec hipotezy alteratywej, Ŝe. Wioskujemy a podstawie jedoelemetowej
Bardziej szczegółowo3. Tworzenie próby, błąd przypadkowy (próbkowania) 5. Błąd standardowy średniej arytmetycznej
PODSTAWY STATYSTYKI 1. Teoria prawdopodobieństwa i elemety kombiatoryki 2. Zmiee losowe i ich rozkłady 3. Populacje i próby daych, estymacja parametrów 4. Testowaie hipotez 5. Testy parametrycze 6. Testy
Bardziej szczegółowoKomputerowa analiza danych doświadczalnych
Komputerowa aaliza daych doświadczalych Wykład 7 8.04.06 dr iż. Łukasz Graczykowski lgraczyk@if.pw.edu.pl Semestr leti 05/06 Cetrale twierdzeie graicze - przypomieie Sploty Pobieraie próby, estymatory
Bardziej szczegółowoTrochę zadań kombinatorycznych. 1. na ile sposobów można siedmiu stojących na peronie pasażerów umieścić w trzech wagonach?
Trochę zadań kombiatoryczych 1. a ile sposobów moża siedmiu stojących a peroie pasażerów umieścić w trzech wagoach? 2. Na szachowicy o wymiarach umieszczamy 8 ierozróżialych wież szachowych tak aby żade
Bardziej szczegółowoEstymacja przedziałowa:
Estymacja przedziałowa: Zamiast szukad ajlepszego estymatora, tak jak w estymacji puktowej będziemy poszukiwad przedziału, do którego będzie ależał szukay parametr z odpowiedio dużym prawdopodobieostwem.
Bardziej szczegółowoEkonomia matematyczna - 1.1
Ekoomia matematycza - 1.1 Elemety teorii kosumeta 1. Pole preferecji Ozaczmy R x x 1,...,x : x j 0 x x, x j1 j. R rozpatrujemy z ormą x j 2. Dla x x 1,...,x,p p 1,...,p Ip x, p x j p j x 1 p 1 x 2 p 2...x
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka r.
Prawdopodobieństwo i statystyka.0.00 r. Zadaie Rozważy astępującą, uproszczoą wersję gry w,,woję. Talia składa się z 5 kart. Dobrze potasowae karty rozdajey dwó graczo, każdeu po 6 i układay w dwie kupki.
Bardziej szczegółowoWYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 13 i 14 - Statystyka bayesowska
WYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 13 i 14 - Statystyka bayesowska Agata Boratyńska Agata Boratyńska Statystyka matematyczna, wykład 13 i 14 1 / 15 MODEL BAYESOWSKI, przykład wstępny Statystyka
Bardziej szczegółowoZadania z analizy matematycznej - sem. I Szeregi liczbowe
Zadaia z aalizy matematyczej - sem. I Szeregi liczbowe Defiicja szereg ciąg sum częściowyc. Szeregiem azywamy parę uporządkowaą a ) S ) ) ciągów gdzie: ciąg a ) ciąg S ) jest day jest ciągiem sum częściowych
Bardziej szczegółowo8. Udowodnić, że: a) macierz X X jest macierzą symetryczną; b) jeśli M jest macierzą idempotentną, o wyznaczniku różnym od 0, to M = I;
Powtórzeie z algebry, rachuku prawdopodobieństwa i statystyki Zadaia. Pokazać, że dla dowolego odwracalego A,.. Pokazać z defiicji, że macierz jest ieujemie określoa. 3. Pokazać (z defiicji liiowej iezależości),
Bardziej szczegółowoZadania z Rachunku Prawdopodobieństwa III - 1
Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa III - 1 Funkcją tworzącą momenty (transformatą Laplace a) zmiennej losowej X nazywamy funkcję M X (t) := Ee tx, t R. 1. Oblicz funkcję tworzącą momenty zmiennych o
Bardziej szczegółowoI kolokwium z Analizy Matematycznej
I kolokwium z Aalizy Matematyczej 4 XI 0 Grupa A. Korzystając z zasady idukcji matematyczej udowodić ierówość dla wszystkich N. Rozwiązaie:... 4 < + Nierówość zachodzi dla, bo 4
Bardziej szczegółowoMODELE MATEMATYCZNE W UBEZPIECZENIACH. 1. Renty
MODELE MATEMATYCZNE W UBEZPIECZENIACH WYKŁAD 2: RENTY. PRZEPŁYWY PIENIĘŻNE. TRWANIE ŻYCIA 1. Rety Retą azywamy pewie ciąg płatości. Na razie będziemy je rozpatrywać bez żadego związku z czasem życiem człowieka.
Bardziej szczegółowo+ ln = + ln n + 1 ln(n)
"Łatwo z domu rzeczywistości zajśd do lasu matematyki, ale ieliczi tylko umieją wrócid." Hugo Dyoizy Steihaus Niech (a ) będzie ieskooczoym ciągiem rzeczywistym. Def. Szeregiem = a azywamy parę ciągów
Bardziej szczegółowoFunkcja wykładnicza i logarytm
Rozdział 3 Fukcja wykładicza i logarytm Potrafimy już defiiować potęgi liczb dodatich o wykładiku wymierym: jeśli a > 0 i x = p/q Q dla p, q N, to aturalie jest przyjąć a x = a 1/q) p = a 1/q } {{... a
Bardziej szczegółowo