Wariacje na temat Twierdzenia Banacha o Indykatrysie i ich zastosowanie
|
|
- Julia Piekarska
- 4 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Wariacje na temat Twierdzenia Banacha o Indykatrysie i ich zastosowanie Rafał M. Łochowski Wrocław 2015 Rafał M. Łochowski Twierdzenie o indykatrysie Wrocław / 42
2 Plan odczytu 1 Twierdzenie Banacha o Indykatrysie i jego uogólnienie 2 Zastosowanie do estymacji wartości oczekiwanej uciętego wahania 3 Problem Skorohoda na [ c/2, c/2] i liczby przecięć (przeskoków) przedziałów 4 Asymptotyka uciętego wahania a czasy lokalne Rafał M. Łochowski Twierdzenie o indykatrysie Wrocław / 42
3 Twierdzenie Banacha o Indykatrysie Niech f : [a, b] R będzie funkcją ciągłą. Twierdzenie Banacha o Indykatrysie (Banach 1925, Vitali 1926) podaje ciekawy związek pomiędzy wahaniem całkowitym funkcji f, zdefiniowanym jako n TV(f, [a, b]) := sup sup f (t i ) f (t i 1 ) n a t 0 <t 1 <...<t n b i=1 oraz liczbą przecięć poziomów przez funkcję f, zdefiniowaną jako N y (f ) := # {x [a, b] : f (x) = y}. (#A R {+ } oznacza liczbę elementów zbioru A.) Rafał M. Łochowski Twierdzenie o indykatrysie Wrocław / 42
4 Twierdzenie Banacha o Indykatrysie, c.d. Okazuje się, że R y N y {0, 1, 2,...} {+ } jest funkcją klasy Baire a 2. (Funkcje klasy Baire a 0 to funkcje ciągłe. Funkcje klasy Baire a 1 to funkcje, które są granicami punktowymi funkcji ciągłych. Funkcje klasy Baire a 2 to funkcje, które są granicami punktowymi funkcji klasy Baire a 1 itd.) Co ważniejsze, pomiędzy N a wahaniem całkowitym f zachodzi następujący związek TV(f, [a, b]) = N y (f ) dy. R Rafał M. Łochowski Twierdzenie o indykatrysie Wrocław / 42
5 Twierdzenie Banacha o Indykatrysie - uogólnienie na przypadek funkcji regulowanych Twierdzenie Banacha o Indykatrysie można uogólnić (Lozinskii 1948,1958) na przypadek tzw. funkcji regulowanych, czyli funkcji, które posiadają granice prawostronne oraz granice lewostronne (alternatywna definicja: funkcje regulowane to te, które są granicami jednostajnymi funkcji schodkowych). Wtedy jednak należy odpowiednio zdefiniować liczbę przecięć poziomów. Pomysł jest taki, że dziedzinę funkcji f się rozdmuchuje w punktach jej nieciągłości (takich punktów jest przeliczalnie wiele) a następnie łączy się wartości w tych punktach z wartościami granic prawostronnych i lewostronnych linią prostą tak aby powstała funkcja była ciągła i miała takie samo wahanie jak funkcja wyjściowa. Rafał M. Łochowski Twierdzenie o indykatrysie Wrocław / 42
6 Twierdzenie Banacha o Indykatrysie - uogólnienie na funkcje regulowane o nieskończonym wahaniu Twierdzenie Banacha o Indykatrysie i jego uogólnienie niewiele mówią w przypadku gdy f ma wahanie nieskończone. Okazuje sie jednak, ze można je sensownie uogólnić, gdy zamiast przecięć poziomów będziemy rozpatrywać przecięcia przedziałów. Definicja Niech c 0. Zdefiniujmy σ c 0 = a oraz dla n = 0, 1,... τ c n = inf {t > σ c n : t b, f (t) > y + c}, σ c n+1 = inf {t > τ c n : t b, f (t) < y}. Wówczas liczbę przeskoków w dół f z nad poziomu y + c do poziomu y definiujemy jako d y c (f, [a, b]) := max {n : σ c n b}. Rafał M. Łochowski Twierdzenie o indykatrysie Wrocław / 42
7 Twierdzenie Banacha o Indykatrysie - uogólnienie na funkcje regulowane o nieskończonym wahaniu, c.d. Definicja Niech c 0. Zdefiniujmy σ c 0 = a oraz dla n = 0, 1,... τ c n = inf {t > σ c n : t b, f (t) < y}, σ c n+1 = inf {t > τ c n : t b, f (t) > y + c}. Wówczas liczbę przeskoków w górę f z poziomu y nad poziom y + c definiujemy jako Na koniec zdefiniujmy Definicja u y c (f, [a, b]) := max {n : σ c n b}. n y c (f, [a, b]) := d y c (f, [a, b]) + u y c (f, [a, b]). Rafał M. Łochowski Twierdzenie o indykatrysie Wrocław / 42
8 Twierdzenie Banacha o Indykatrysie - uogólnienie na funkcje regulowane o nieskończonym wahaniu, c.d. W przypadku gdy f : [a, b] R jest funkcją regulowaną, wówczas n y c jest liczbą skończoną dla dowolnego c > 0. Co więcej, dla c > 0 zachodzi równość nc y (f, [a, b]) dy = TV c (f, [a, b]), (1) R gdzie TV c (f, [a, b]) jest uciętym wahaniem zdefiniowanym jako n TV c (f, [a, b]) := sup sup max { f (t i ) f (t i 1 ) c, 0}. n a t 0 <t 1 <...<t n b i=1 (2) Uwaga Dla dowolnej funkcji regulowanej f : [a, b] R i dowolnego c > 0, TV c (f, [a, b]) < +. Rafał M. Łochowski Twierdzenie o indykatrysie Wrocław / 42
9 Twierdzenie Banacha o Indykatrysie a równość (1) Ponieważ równość n y 0 (f, [a, b]) = Ny (f ) zachodzi dla prawie wszystkich (poza przeliczalnym zbiorem) liczb rzeczywistych y, to równość R n y c (f, [a, b]) dy = TV c (f, [a, b]) można potraktować jako uogólnienie Twierdzenia Banacha o Indykatrysie. Zachodzą również następujące równości oraz R R u y c (f, [a, b]) dy = UTV c (f, [a, b]) d y c (f, [a, b]) dy = DTV c (f, [a, b]). Rafał M. Łochowski Twierdzenie o indykatrysie Wrocław / 42
10 Ucięte wahanie w górę, ucięte wahanie w dół Po prawej stronie dwóch poprzednich równości występują ucięte wahanie w górę i ucięte wahanie w dół, zdefiniowane za pomocą wzorów n UTV c (f, [a, b]) := sup sup max {f (t i ) f (t i 1 ) c, 0} n a t 0 <t 1 <...<t n b i=1 oraz n DTV c (f, [a, b]) := sup sup max {f (t i 1 ) f (t i ) c, 0}. n a t 0 <t 1 <...<t n b i=1 Zauważmy, że w przypadku c = 0, UTV c (f, [a, b]) i DTV c (f, [a, b]) są niczym innym jak dodatnim i ujemnym wahaniem (całkowitym) funkcji f występującymi w klasycznym rozkładzie Jordana. Ponadto zachodzi wzór TV c (f, [a, b]) = UTV c (f, [a, b]) + DTV c (f, [a, b]). Rafał M. Łochowski Twierdzenie o indykatrysie Wrocław / 42
11 Szkic dowodu, że R u y c (f, [a, b]) dy = UTV c (f, [a, b]) 1. (techniczny) krok polega na zauważeniu, że twierdzenie wystarczy udowodnić dla funkcji schodkowych postaci f (t) = n n 1 f 2k 1 {t(2k)} (t) + f 2k+1 1 (t(2k+1);t(2k+2)) (t), k=0 k=0 gdzie a = t (0) = t(1) < t (2) = t(3) <... < t(2n 2) = t(2n 1) < t (2n) = b. 2. krok polega, że ucięte wahanie w górę można obliczyć jako sumę przyrostów funkcji f (pomniejszonych o c) na przedziałach kolejnych spadków o c : K K UTV c (f, [a, b]) = {M k m k c} = 1 (mk,m k c) (y) dy. k=0 R k=0 3., ostatni krok polega na zauważeniu równości u y c (p, [0, 2n]) = # {k {0, 1,..., K} : y (m k, M k c)}. Rafał M. Łochowski Twierdzenie o indykatrysie Wrocław / 42
12 Ilustracja M 0 c c m 0 a=t(0)=t(1) I D,-1 =0 t(4)=t(5) t(8)=t(9) I U,0 =4 I D,0 =9 t Rafał M. Łochowski Twierdzenie o indykatrysie Wrocław / 42
13 Przykład zastosowania Niech W t = µt + B t, t 0, będzie ruchem Browna z dryfem (B t, t 0, jest standardowym ruchem Browna) zastopowanym w losowym, niezależnym od B czasie τ, o rozkładzie wykładniczym z parametrem v. Mamy równość EUTV c (W, [a, b]) = E R uc y (W, [a, b]) dy = R Eu y c (W, [a, b]) dy. Prawdopodobieństwa przekroczenia poziomu danego poziomu przez ruch Browna z dryfem do czasu τ są znane, więc korzystając z mocnej markowskości i braku pamięci rozkładu wykładniczego otrzymujemy a stąd EUTV c (W, [0, τ]) = Eu y c (W, [0, τ]) = eµ(y+c) ( y +c) µ 2 +2v R e µ(y+c) ( y +c) µ 2 +2v 1 e 2c µ 2 +2v 1 e 2c µ 2 +2v e µc µ dy = 2 + 2v ( 2v sinh c ). µ 2 + 2v Rafał M. Łochowski Twierdzenie o indykatrysie Wrocław / 42
14 Twierdzenie Banacha o Indykatrysie - kolejne uogólnienie Kolejnym możliwym uogólnieniem Twierdzenie Banacha o Indykatrysie byłoby podanie formuły na nc y (f, [a, b]) m(y)dy R czyli gdy pewne poziomy y są wyróżnione w stosunku do innych. Niestety tego typu uogólnienie nie jest znane, jednak gdy f jest funkcją càdlàg, można wówczas podać zadowalające (z punktu możliwych zastosowań) formuły na oraz R R u y c (f, [a, b]) m(y)dy d y c (f, [a, b]) m(y)dy. Rafał M. Łochowski Twierdzenie o indykatrysie Wrocław / 42
15 Problem Skorohoda na [ c/2, c/2] a liczby przecięć (przeskoków) przedziałów Okazuje się, że liczba przecięć (przeskoków) przedziału [y, y + c] przez dowolną funkcję càdlàg f : [a, b] R jest zawsze prawie równa liczbie przecięć poziomu y + c/2 przez rozwiązanie tzw. problemu Skorohoda na odcinku [ c/2, c/2] dla funkcji f. D[a, b] - zbiór funkcji càdlàg na odcinku [a, b] BV + [a, b] - zbiór funkcji càdlàg, niemalejących na odcinku [a, b] BV [a, b] - zbiór funkcji càdlàg o wahaniu skończonym na odcinku [a, b], przedziałami monotonicznych Rafał M. Łochowski Twierdzenie o indykatrysie Wrocław / 42
16 Problem Skorohoda na [ c/2, c/2] - definicja, istnienie Definicja Niech c > 0 oraz x R. Para funkcji (φ x,c, ξ x,c ) D[a, b] BV [a, b] jest rozwiązaniem problemu Skorohoda na [ c/2, c/2] z warunkiem początkowym ξ x,c (a) = u(a) x dla u jeżeli zachodzą następujące warunki: (a) dla dowolnego t [a, b], φ x,c (t) = u (t) ξ x,c (t) [ c/2, c/2] ; (b) ξ x,c = ξu x,c ξ x,c d, gdzie ξx,c u, ξ x,c d BV + [a, b] i odpowiadające miary dξu x,c, dξ x,c d mają nośniki {t [a, b] : φ x,c (t) = c/2} i {t [a, b] : φ x,c (t) = c/2} odpowiednio; (c) ξ x,c (a) = u(a) x. Twierdzenie Jeżeli u : [a, b] R, c > 0 oraz x [ c/2, c/2] wówczas istnieje dokładnie jedno rozwiązanie problemu Skorohoda dla u na [ c/2, c/2]. Rafał M. Łochowski Twierdzenie o indykatrysie Wrocław / 42
17 Problem Skorohoda na [ c/2, c/2] ilustracja Rafał M. Łochowski Twierdzenie o indykatrysie Wrocław / 42
18 Własności rozwiązania problemu Skorohoda na [ c/2, c/2]. Jeżeli (φ x,c, f x,c ) jest rozwiązaniem problemu Skorohoda na [ c/2, c/2] dla f, z warunkiem początkowym f x,c (a) = f (a) x, x [ c/2, c/2], to dla dowolnego t [a, b], f x,c (t) f (t) c/2 oraz f x,c (t) f (t). Okazuje się także, że (dodatnie, ujemne) wahanie całkowite rozwiązania problemu Skorohoda, f x,c, jest prawie równe uciętemu wahaniu (w górę, w dół) funkcji f. Dokładniej, dla dowolnego x [ c/2, c/2] zachodzą oszacownia a stąd również UTV c (f, [a, b]) UTV 0 (f x,c, [a, b]) UTV c (f, [a, b]) + c, DTV c (f, [a, b]) DTV 0 (f x,c, [a, b]) DTV c (f, [a, b]) + c TV c (f, [a, b]) TV 0 (f x,c, [a, b]) TV c (f, [a, b]) + 2c. Rafał M. Łochowski Twierdzenie o indykatrysie Wrocław / 42
19 Problem Skorohoda na [ c/2, c/2] a liczby przecięć (przeskoków) przedziałów, c.d. Twierdzenie (1) Niech f : [a, b] R będzie funkcją càdlàg, c > 0, x [ c/2, c/2] oraz (φ x,c, f x,c ) będzie rozwiązaniem problemu Skorohoda na [ c/2, c/2] dla f, z warunkiem początkowym f x,c (a) = f (a) x. Wówczas dla wszystkich y R \ A, gdzie A jest co najwyżej przeliczalny, zachodzą oszacowania Co więcej, u y c (f, [a, b]) u y+c/2 0 (f x,c, [a, b]) u y c (f, [a, b]) + 1, d y c (f, [a, b]) d y+c/2 0 (f x,c, [a, b]) d y c (f, [a, b]) + 1. uc y (f, [a, b]) = u y+c/2 ( 0 d y c (f, [a, b]) = d y+c/2 0 ) f c/2,c, [a, b], ( ) f c/2,c, [a, b]. Rafał M. Łochowski Twierdzenie o indykatrysie Wrocław / 42
20 Formuły na y R u y 0 (f x,c, [a, b]) m(y)dy, y R d y 0 (f x,c, [a, b]) m(y)dy Korzystając z faktu, że f x,c jest przedziałami monotoniczna, dla mierzalnej i ograniczonej funkcji m łatwo udowodnić następujące formuły: oraz u y 0 (f x,c, [a, b]) m(y)dy = R + a<t b, f x,c (t)>0 b a [f x,c (t ),f x,c (t)] d y 0 (f x,c, [a, b]) m(y)dy = R + a<t b, f x,c (t)<0 b a [f x,c (t ),f x,c (t)] m (f x,c (t)) dutv(f x,c, [a, t]) m (y) m (f x,c (t )) dy (3) m (f x,c (t)) ddtv(f x,c, [a, t]) m (y) m (f x,c (t )) dy. (4) Rafał M. Łochowski Twierdzenie o indykatrysie Wrocław / 42
21 Formuły na R u y c (f, [a, b]) m(y)dy, R d y c (f, [a, b]) m(y)dy Łącząc formuły (3) i (4) z Twierdzeniem (1) otrzymujemy R + oraz u y c (f, [a, b]) m(y)dy = a<t b, f c/2,c (t)>0 R + d y c (f, [a, b]) m(y)dy = a<t b, f c/2,c (t)<0 b a ( ) ( ) m f c/2,c (t) dutv f c/2,c, [a, t] ( ) [f c/2,c(t ),f c/2,c(t)] m (y) m f c/2,c (t ) dy b a ( ) ( ) m f c/2,c (t) ddtv f c/2,c, [a, t] (5) ( ) [f c/2,c(t ),f c/2,c(t)] m (y) m f c/2,c (t ) dy. (6) Rafał M. Łochowski Twierdzenie o indykatrysie Wrocław / 42
22 Przecięcia poziomów a gęstość przebywania Korzystając z (5) i (6) dostaje się następujące twierdzenie. Twierdzenie (M1) Załóżmy, że f : [a, b] R jest funkcją càdlàg oraz istnieje taka niemalejąca funkcja ϕ : (0; + ) (0; + ), że lim c 0+ ϕ (c) = 0 i taka funkcja ζ : [a, b] R, że dla t [a, b] zachodzi zbieżność lim ϕ (c) c 0+ TVc (f, [a, t]) = ζ(t) (lub równoważnie lim c 0+ ϕ (c) UTV c (f, [a, t]) = 1 2ζ(t) lub lim c 0+ ϕ (c) DTV c (f, [a, t]) = 1 2 ζ(t)). Wówczas ζ jest niemalejącą funkcją ciągłą i dla dowolnej ciągłej m : R R zachodzi lim ϕ (c) nc c 0+ R y (f, [a, t])m (y) dy = t a m (f (s)) dζ s. Rafał M. Łochowski Twierdzenie o indykatrysie Wrocław / 42
23 Przecięcia poziomów a gęstość przebywania, c.d. Niech T > 0 i f : [0, T ] R. Równość t lim ϕ (c) nc y (f, [0, t])m (y) dy = m (f (s)) dζ s. c 0+ R 0 prawdziwa dla dowolnej funkcji ciągłej m sugeruje, że istnieje granica L y t (f ) := lim c 0+ ϕ (c) ny c (f, [0, t]), którą możemy interpretować jako gęstość przebywania funkcji f na poziomie y do momentu t względem miary ζ : R L y t (f )m (y) dy = t 0 m (f (s)) dζ s. Rafał M. Łochowski Twierdzenie o indykatrysie Wrocław / 42
24 Przecięcia poziomów a czasy lokalne Okazuje się, że są procesy X t, t 0, dla których czas lokalny można rzeczywiście zdefiniować jako granicę (w normie L p dla p 1) lim ϕ (c) c 0+ ny c (X, [0, t]) dla odpowiednio dobranej funkcji ϕ. Nie jest to jednak regułą. Podam przykład procesu α-stabilnego, dla którego co prawda istnieje (słaba) granica w topologii zbieżności jednostajnej na zbiorach zwartych lim ϕ (c) c 0+ TVc (X, [0, t]) = t ale ich czasu lokalnego nie można zdefiniować jako lim c 0+ ϕ (c) n y c (X, [0, t]). Rafał M. Łochowski Twierdzenie o indykatrysie Wrocław / 42
25 Gęstość przebywania jako czas lokalny procesu Markowa Załóżmy teraz, że X t, t [0, T ], jest (jednorodnym) procesem Markowa z przestrzenią stanów (R, B (R)), gdzie B (R) jest σ ciałem zbiorów borelowskich. Dla dowolnego t > 0 i ω Ω definiujemy miarę przebywania X (ω) w zbiorze Γ B (R) do momentu t : µ t (Γ) := λ (s [0, t] : X s (ω) Γ), gdzie λ jest miarą Lebesgue a na półprostej [0, + ). Definicja Powiemy, że proces X ma czas lokalny względem σ skończonej miary π na B (R) jeżeli miara µ T jest absolutnie ciągła względem π, P x prawie na pewno dla każdego x R. W szczególności oznacza to, że dla t [0, T ] i dla dowolnej funkcji ciągłej m : E R zachodzi t 0 m (X s ) ds = R m(y)dµ t (y) = R m(y) dµ t(y) dπ(y) dπ(y). Rafał M. Łochowski Twierdzenie o indykatrysie Wrocław / 42
26 Czas lokalny procesu Markowa Jeżeli założenia definicji istnienia czasu lokalnego są spełnione, to ten czas lokalny w momencie t jest wówczas równy gęstości Radona-Nikodyma miary µ t względem miary π : L y t (X ) := dµ t(y) dπ(y). Inna definicja czasu lokalnego procesu Markova pochodzi od Blumenthala i Getoora. Niech T x będzie czasem dotarcia do zbioru {x} oraz E r będzie zbiorem punków regularnych procesu X czyli takich, dla których zachodzi P x (T x = 0) = 1. Zakładając, że odwzorowanie (x, y) E x e Ty jest B (R) B (R) mierzalne, dla y E r czas lokalny L y t jest jednoznacznie wyznaczonym funkcjonałem addytywnym t L y t, dla którego zachodzi + E x e Ty = E x e t dl y t. 0 Rafał M. Łochowski Twierdzenie o indykatrysie Wrocław / 42
27 Czas lokalny semimartyngału Idea czasów lokalnych dla semimartyngałów pojawia się w nieco inny sposób - na gruncie teorii całki stochastycznej. Dla dowolnego (rzeczywistego) semimartyngału X dowodzi się, że dla każdego y R istnieje taki addytywny, nieujemny, niemalejący i ciągły proces L y t (X ), t 0, że dla dowolnej funkcji wypukłej g : R R zachodzi formuła Meyera-Itô: t g (X t ) g (X 0 ) = g (X s ) dx s + 1 L y t (X ) dµ(y) 0+ 2 R + { g (Xs ) g (X s ) g } (X s ) X s, 0<s t gdzie g is pochodną prawostronną zaś µ jest uogólnioną pochodną g drugiego rzędu (g(x) = a + bx R x y dµ(y)). Rafał M. Łochowski Twierdzenie o indykatrysie Wrocław / 42
28 Czas lokalny semimartyngału, c. d. Ważną konsekwencją formuły Meyera-Itô jest formuła t 0 m (X s ) d [X, X ] cont s = m(y)l y t (X ) dy, R gdzie [X, X ] cont s oznacza ciągłą część wahania kwadratowego X a mr R jest dowolną funkcją mierzalną i ograniczoną. Porównując powyższą równość z formułą t 0 m (f (s)) dζ s = R m (y) L y t (f )dy i definicją ζ s = lim c 0+ ϕ(c)tv c (f, [0, s]) nasuwa się pytanie, czy dla pewnej funkcji ϕ spełniającej lim c 0+ ϕ(c) = 0 i dla prawie każdej ścieżki X (ω) semimartyngału X zachodzi lim c 0+ ϕ(c)tvc (f, [0, s]) = [X, X ] cont s? Rafał M. Łochowski Twierdzenie o indykatrysie Wrocław / 42
29 Czas lokalny semimartyngału, c. d. Okazuje się, że rzeczywiście, dla dowolnego rzeczywistego semimartyngału X s, s 0, z prawdopodobieństwem 1 zachodzi lim c c 0+ TVc (X, [0, s]) = [X, X ] cont s. Co więcej, wynik Nicole El Karoui z 1978 r. mówi, że jeżeli X = M + V (M - martyngał lokalny, V - proces [ o wahaniu skończonym) jest ciągłym semimartyngałem, dla którego E [X, X ] cont p T + TV(V, [0, T ])] < +, p 1, T > 0, to lim E sup c nc y (X, [0, t]) L y t (X ) p = 0. c 0+ 0 t T Uwaga Jeżeli zbieżność w L p zastąpi się poprzez zbieżność wg prawdopodobieństwa, to analogiczny wynik zachodzi dla dowolnych ciągłych semimartyngałów. Hipoteza: analogiczna równość zachodzi dla dowolnych (niekoniecznie ciągłych) semimartyngałów. Rafał M. Łochowski Twierdzenie o indykatrysie Wrocław / 42
30 Czas lokalny semimartyngału a czas lokalny procesu Lévy ego Wnioskiem ze zbieżności lim c c 0+ TVc (X, [0, s]) = [X, X ] cont s. (7) jest fakt, że część ciągła semimartyngału X dominuje przecięcia/przeskoki małych przedziałów przez X. Z formuły Meyera-Itô wynika również, że czysto nieciągłe semimartyngały mają czas lokalny (występujący w formule Meyera-Itô) 0. Co zatem z czasami lokalnymi procesów Lévy ego bez składnika brownowskiego, które są czysto nieciągłymi semimartyngałami? Każdy proces Lévy ego jest również procesem Markowa, można więc dla niego zdefiniować czas lokalny tak jak dla procesów Markowa. Z (7) wynika, że wówczas odpowiednia funkcja normalizująca ϕ, dla której lim c 0+ ϕ(c)n y c (X, [0, t]) = L y t (X ) (o ile w jakimś sensie ta granica istnieje) będzie zbiegała do 0 dla c 0+ wolniej niż c. Rafał M. Łochowski Twierdzenie o indykatrysie Wrocław / 42
31 Rodzaje zbieżności Niech Y t, t 0 będzie procesem càdlàg zdefiniowanym na przestrzeni z filtracją (Ω, F, F = (F t, t 0), P), dla której zachodzą zwykłe warunki (usual conditions) oraz niech Y c, c > 0, będzie rodziną procesów càdlàg Y c t, t 0, zdefiniowaną na tej samej przestrzeni. Y c Y będzie oznaczać zbieżność prawie pewną Y c do Y gdy c 0+ w topologii zbieżności jednostajnej na zbiorach zwartych Y c Y będzie oznaczać słabą zbieżność (funkcyjną) Y c do Y gdy c 0+ w topologii zbieżności jednostajnej na zbiorach zwartych Y c = Y będzie oznaczać słabą zbieżność (funkcyjną) Y c do Y gdy c 0+ w topologii J Skorohoda na zbiorach zwartych Id będzie oznaczać proces deterministyczny Id(t) = t dla t 0. Rafał M. Łochowski Twierdzenie o indykatrysie Wrocław / 42
32 Funkcja ϕ dla procesu Lévy ego Twierdzenie (LPU) Niech X t, t 0, będzie procesem Lévy ego, o nieskończonym wahaniu na dowolnym niezdegenerowanym przedziale. Zdefiniujmy } TD {t c X := inf 0 : sup 0 s t X s X t > c, θu c := ET D c X ξ c U := sup 0 s<t<t c D X (X t X s c) +, η c U := Eξc U. Rafał M. Łochowski Twierdzenie o indykatrysie Wrocław / 42
33 Funkcja ϕ dla procesu Lévy ego Twierdzenie (LPU) Niech X t, t 0, będzie procesem Lévy ego, o nieskończonym wahaniu na dowolnym niezdegenerowanym przedziale. Zdefiniujmy } TD {t c X := inf 0 : sup 0 s t X s X t > c, θu c := ET D c X ξ c U := sup 0 s<t<t c D X (X t X s c) +, η c U := Eξc U. Załóżmy, że E sup 0 t<t c 0 D X X t < + dla pewnego c 0 > 0. Jeżeli χ U (c) := θ c U/η c U i dla dowolnego u > 0, P (ξu c u/χ U (c)) /θu c zachodzi następująca zbieżność 1 gdy c 0+, wówczas χ U (c) TV c (X, ) 2 Id. Rafał M. Łochowski Twierdzenie o indykatrysie Wrocław / 42
34 Funkcja ϕ dla procesu Lévy ego, c.d. Twierdzenie (LPD) Niech X t, t 0, będzie procesem Lévy ego, o nieskończonym wahaniu na dowolnym niezdegenerowanym przedziale. Zdefiniujmy T c U X := inf {t 0 : X t inf 0 s t X s > c}, ξ c D := sup 0 s<t<t c U X (X s X t c) +, η c D := Eξc D. θ c D := ET c U X Rafał M. Łochowski Twierdzenie o indykatrysie Wrocław / 42
35 Funkcja ϕ dla procesu Lévy ego, c.d. Twierdzenie (LPD) Niech X t, t 0, będzie procesem Lévy ego, o nieskończonym wahaniu na dowolnym niezdegenerowanym przedziale. Zdefiniujmy T c U X := inf {t 0 : X t inf 0 s t X s > c}, ξ c D := sup 0 s<t<t c U X (X s X t c) +, η c D := Eξc D. θ c D := ET c U X Załóżmy, że E sup 0 t<t c 0 U X X t < + dla pewnego c 0 > 0. Jeżeli χ D (c) := θ c D/η c D i dla dowolnego u > 0, P (ξd c u/χ D (c)) /θd c wówczas zachodzi następująca zbieżność 1 gdy c 0+, χ D (c) TV c (X, ) 2 Id. Rafał M. Łochowski Twierdzenie o indykatrysie Wrocław / 42
36 Przykład - spektralnie ujemny proces z prawie α-stabilnymi skokami, α (1, 2) Twierdzenie Niech X t, t 0, będzie procesem Lévy ego bez składnika brownowskiego, z miarą Léviego Π Π(dx) = L( x) ( x) 1+α 1 x<0dx dla α (1; 2) i pewnej funkcji borelowskiej L : (0, + ) (0, + ), wolno zmieniającej się w 0. Wówczas χ D (c) α(α 1) c α 1 Γ(2 α) L(c), tzn. oraz lim c 0+ χ D (c) α(α 1) c α 1 Γ(2 α) L(c) = 1 α (α 1) c α 1 Γ (2 α) L (c) TVc (X, ) 2 Id. Rafał M. Łochowski Twierdzenie o indykatrysie Wrocław / 42
37 Zbieżność II rzędu dla procesów ściśle α-stabilnych, α (1, 2) Niech X t, t 0, będzie procesem ściśle α-stabilnym z wykładnikiem charakterystycznym Ψ X (θ) = C 0 θ α ( 1 iγ tg πα 2 sgnθ ), (8) gdzie α (1; 2) jest indeksem, C 0 > 0 jest parametrem skali oraz γ [ 1; 1] jest parametrem skośności. Zdefiniujmy A := ( ) lim E TV 1 (X, [0; N + 1]) TV 1 (X, [0; N]). N + (mozna udowodnić, że ta granica istnieje) oraz T c,α t := TV c (X, [0, t]) c 1 α A t. Rafał M. Łochowski Twierdzenie o indykatrysie Wrocław / 42
38 Zbieżność II rzędu dla procesów ściśle α-stabilnych, α (1, 2), c.d. Twierdzenie (SecondOrder) Niech α (1; 2) oraz X t, t 0, będzie ściśle α-stabilnym procesem z wykładnikiem charakterystycznym danym za pomocą (8). Wówczas T c,α = L 1 + L 2, gdzie L 1 i L 2 są dwoma niezależnymi, spektralnie dodatnimi procesami takimi, że X = L 1 L 2 oraz L 1 + L 2 jest ściśle α-stabilnym, spektralnie dodatnim procesem z wykładnikiem charakterystycznym danym za pomocą ( Ψ L 1 +L 2(θ) = C 0 θ α 1 i tg πα ) 2 sgnθ. Rafał M. Łochowski Twierdzenie o indykatrysie Wrocław / 42
39 Zbieżność II rzędu dla procesów ściśle 1-stabilnych Niech X t, t 0, będzie ściśle 1-stabilnym procesem z wykładnikiem charakterystycznym Ψ X (θ) = C 0 θ + iηθ, (9) z parametrem skali C 0 > 0 i dryfem η R. (Wykładnik charakterystyczny procesu ściśle 1-stabilnego musi być takiej postaci.) Połóżmy B = ( ) lim E TV 1 (X, [0; N + 1]) TV 1 (X, [0; N]) TV(Y, [0; N]), N + gdzie Y = N<s N+1 X s X s 1 Xs X s 1 oraz T c,1 t := TV c (X, [0, t]) 2 π C 0 ln c 1 t B t. Rafał M. Łochowski Twierdzenie o indykatrysie Wrocław / 42
40 Zbieżność II rzędu dla procesów ściśle 1-stabilnych, c.d. Twierdzenie (SecondOrder1) Niech X t, t 0, będzie ściśle 1-stabilnym procesem z wykładnikiem charakterystycznym danym za pomocą (9), wówczas T c,1 = M 1 + M 2, gdzie M 1, M 2 są dwoma niezależnymi, spektralnie dodatnimi procesami takimi, że X = M 1 M 2 oraz M 1 + M 2 jest procesem 1-stabilnym z wykładnikiem charakterystycznym danym za pomocą Ψ M 1 +M 2(θ) = C 0 θ (1 + i 2 ) π sgn (θ) log θ i gdzie C = Γ (1) jest stałą Eulera-Mascheroniego. 2 (1 C) C 0 θ, π Rafał M. Łochowski Twierdzenie o indykatrysie Wrocław / 42
41 Funkcja ϕ dla procesów ściśle α-stabilnych, α (1, 2) Z Twierdzenia (SecondOrder) wynika, że dla ściśle α-stabilnego procesu X z α (1, 2) A 1 c α 1 TV c (X, [0, ]) Id. (10) Zatem można wziąć ϕ = c α 1 /A. Wiadomo, że dla α (1, 2) czas lokalny względem procesu α-stabilnego istnieje. Ogólniej, zachodzi następujące Twierdzenie (LTE) Niech X t, t 0, będzie procesem Lévy ego z wykładnikiem charakterystycznym Ψ. Następujące warunki są równoważne (i) R ( Re Ψ(s) ) ds < + ; (ii) Dla każdego t > 0, X posiada czas lokalny L y t (X ) L 2 (dx dp) względem miary Lebesgue a. Co więcej, jeżeli warunek (ii) jest niespełniony, to X nie posiada czasu lokalnego względem miary Lebesgue a. Rafał M. Łochowski Twierdzenie o indykatrysie Wrocław / 42
42 Hipoteza dla procesów ściśle α-stabilnych, α (1, 2) Z istnienia czasu lokalnego L y t (X ) i ze zbieżności (10) wynika, że dla dowolnej funkcji ciągłej (a stąd i borelowskiej, ograniczonej) m [ ] lim A 1 c α 1 nc y (X, [0, ]) L y (X ) m(y)dy 0. c 0+ R Hipoteza: jeżeli X t, t 0, jest procesem ściśle α-stabilnym z α (1, 2), to A 1 c α 1 n y c (X, [0, ]) L y (X ). Uwaga Z faktu, że dla dowolnej borelowskiej i ograniczonej funkcji m : R R zachodzi lim c 0+ R r c(y)m(y)dy = 0 nie wynika, że istnieje prawie wszędzie granica lim c 0+ r c (y). Przykład: r c (y) = φ 1/c (y)1 [0,1] (y), gdzie {φ n }- np. baza ortonormalna na [0, 1]. Rafał M. Łochowski Twierdzenie o indykatrysie Wrocław / 42
43 Odrzucenie hipotezy dla procesów 1-stabilnych Z Twierdzenia (SecondOrder1), że dla procesu ściśle 1-stabilnego ( 2 π C 0 ln c 1 ) 1 TV c (X, [0, ]) Id. zatem odpowiednia funkcja normalizująca ma postać ( φ(c) = 2 π C 0 ln c 1) 1. Z Twierdzenia (LTE) wynika jednak, że w tym przypadku nie istnieje czas lokalny względem miary Lebesgue a, zatem proces ( 2 π C 0 ln c 1 ) 1 n y c (X, [0, ]) nie może być zbieżny do czasu lokalnego względem miary Lebesgue a. Rafał M. Łochowski Twierdzenie o indykatrysie Wrocław / 42
44 Dziękuję za uwagę! Rafał M. Łochowski Twierdzenie o indykatrysie Wrocław / 42
8 Całka stochastyczna względem semimartyngałów
M. Beśka, Całka Stochastyczna, wykład 8 148 8 Całka stochastyczna względem semimartyngałów 8.1 Całka stochastyczna w M 2 Oznaczmy przez Ξ zbiór procesów postaci X t (ω) = ξ (ω)i {} (t) + n ξ i (ω)i (ti,
Bardziej szczegółowoF t+ := s>t. F s = F t.
M. Beśka, Całka Stochastyczna, wykład 1 1 1 Wiadomości wstępne 1.1 Przestrzeń probabilistyczna z filtracją Niech (Ω, F, P ) będzie ustaloną przestrzenią probabilistyczną i niech F = {F t } t 0 będzie rodziną
Bardziej szczegółowoZadania z Rachunku Prawdopodobieństwa III - 1
Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa III - 1 Funkcją tworzącą momenty (transformatą Laplace a) zmiennej losowej X nazywamy funkcję M X (t) := Ee tx, t R. 1. Oblicz funkcję tworzącą momenty zmiennych o
Bardziej szczegółowoNieregularne ścieżki - między determinizmem a losowością
Nieregularne ścieżki - między determinizmem a losowością Rafał Łochowski SGH 6. Forum Matematyków Rafał Łochowski (SGH) Nieregularne ścieżki 6. Forum Matematyków 1 / 21 Problem z nieskończonym wahaniem
Bardziej szczegółowo2. Wykaż, że moment pierwszego skoku w procesie Poissona. S 1 := inf{t : N t > 0} jest zmienną losową o rozkładzie wykładniczym z parametrem λ.
Zadania z Procesów Stochastycznych 1 1. Udowodnij, że z prawdopodobieństwem 1 trajektorie procesu Poissona są niemalejące, przyjmują wartości z Z +, mają wszystkie skoki równe 1 oraz dążą do nieskończoności.
Bardziej szczegółowoDystrybucje, wiadomości wstępne (I)
Temat 8 Dystrybucje, wiadomości wstępne (I) Wielkości fizyczne opisujemy najczęściej przyporządkowując im funkcje (np. zależne od czasu). Inną drogą opisu tych wielkości jest przyporządkowanie im funkcjonałów
Bardziej szczegółowo21 maja, Mocna własność Markowa procesu Wienera. Procesy Stochastyczne, wykład 13, T. Byczkowski, Procesy Stochastyczne, PPT, Matematyka MAP1126
Mocna własność Markowa procesu Wienera Procesy Stochastyczne, wykład 13, T. Byczkowski, Procesy Stochastyczne, PPT, Matematyka MAP1126 21 maja, 2012 Mocna własność Markowa W = (W 1,..., W d ) oznaczać
Bardziej szczegółowo1 Relacje i odwzorowania
Relacje i odwzorowania Relacje Jacek Kłopotowski Zadania z analizy matematycznej I Wykazać, że jeśli relacja ρ X X jest przeciwzwrotna i przechodnia, to jest przeciwsymetryczna Zbadać czy relacja ρ X X
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka
Wykład VII: Rozkład i jego charakterystyki 22 listopada 2016 Uprzednio wprowadzone pojęcia i ich własności Definicja zmiennej losowej Zmienna losowa na przestrzeni probabilistycznej (Ω, F, P) to funkcja
Bardziej szczegółowoWykłady ostatnie. Rodzinę P podzbiorów przestrzeni X nazywamy σ - algebrą, jeżeli dla A, B P (2) A B P, (3) A \ B P,
Wykłady ostatnie CAŁKA LBSGU A Zasadnicza różnica koncepcyjna między całką Riemanna i całką Lebesgue a polega na zamianie ról przestrzeni wartości i przestrzeni argumentów przy konstrukcji sum górnych
Bardziej szczegółowo2. Wykaż, że moment pierwszego skoku w procesie Poissona. S 1 := inf{t : N t > 0} jest zmienną losową o rozkładzie wykładniczym z parametrem λ.
Zadania z Procesów Stochastycznych 1 1. Udowodnij, że z prawdopodobieństwem 1 trajektorie procesu Poissona są niemalejące, przyjmują wartości z Z +, mają wszystkie skoki równe 1 oraz dążą do nieskończoności.
Bardziej szczegółowoPROCESY STOCHASTYCZNE. PEWNE KLASY PROCESÓW STOCHASTYCZNYCH Definicja. Procesem stochastycznym nazywamy rodzinę zmiennych losowych X(t) = X(t, ω)
PROCESY STOCHASTYCZNE. PEWNE KLASY PROCESÓW STOCHASTYCZNYCH Definicja. Procesem stochastycznym nazywamy rodzinę zmiennych losowych X(t) = X(t, ω) określonych na tej samej przestrzeni probabilistycznej
Bardziej szczegółowo2 Rodziny zbiorów. 2.1 Algebry i σ - algebry zbiorów. M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 2 11
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 2 11 2 Rodziny zbiorów 2.1 Algebry i σ - algebry zbiorów Niech X będzie niepustym zbiorem. Rodzinę indeksowaną zbiorów {A i } i I 2 X nazywamy rozbiciem zbioru X
Bardziej szczegółowoRobert Kowalczyk. Zbiór zadań z teorii miary i całki
Robert Kowalczyk Zbiór zadań z teorii miary i całki 2 Zadanie 1 Pokazać, że poniższe dwie definicje σ-ciała M są równoważne: (i) Rodzinę M podzbiorów przestrzeni X nazywamy σ-ciałem jeżeli zachodzą następujące
Bardziej szczegółowoPrognozowalne kryterium całkowalności według A. N. Shiryaeva i A. S. Cherny ego Joanna Karłowska-Pik. Historia
1 Prognozowalne kryterium całkowalności według A. N. Shiryaeva i A. S. Cherny ego Joanna Karłowska-Pik Całka stochastyczna ( t ) H s dx s = H X. t Historia K. Itô (1944) konstrukcja całki stochastycznej
Bardziej szczegółowo4 Kilka klas procesów
Marek Beśka, Całka Stochastyczna, wykład 4 48 4 Kilka klas procesów 4.1 Procesy rosnące i przestrzenie V,, loc Jak poprzednio niech (Ω, F, F, P ) będzie zupełną bazą stochastyczną. Definicja 4.1 Proces
Bardziej szczegółowoRACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 3.
RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 3. ZMIENNA LOSOWA JEDNOWYMIAROWA. Zmienną losową X nazywamy funkcję (praktycznie każdą) przyporządkowującą zdarzeniom elementarnym liczby rzeczywiste. X : Ω R (dokładniej:
Bardziej szczegółowojest ciągiem elementów z przestrzeni B(R, R)
Wykład 2 1 Ciągi Definicja 1.1 (ciąg) Ciągiem w zbiorze X nazywamy odwzorowanie x: N X. Dla uproszczenia piszemy x n zamiast x(n). Przykład 1. x n = n jest ciągiem elementów z przestrzeni R 2. f n (x)
Bardziej szczegółowo7 Twierdzenie Fubiniego
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, wykład 7 19 7 Twierdzenie Fubiniego 7.1 Miary produktowe Niech i będą niepustymi zbiorami. Przez oznaczmy produkt kartezjański i tj. zbiór = { (x, y : x y }. Niech E oraz
Bardziej szczegółowoTeoria ze Wstępu do analizy stochastycznej
eoria ze Wstępu do analizy stochastycznej Marcin Szumski 22 czerwca 21 1 Definicje 1. proces stochastyczny - rodzina zmiennych losowych X = (X t ) t 2. trajektoria - funkcja (losowa) t X t (ω) f : E 3.
Bardziej szczegółowoOśrodkowość procesów, proces Wienera. Ośrodkowość procesów, proces Wienera Procesy Stochastyczne, wykład, T. Byczkowski,
Procesy Stochastyczne, wykład, T. Byczkowski, Procesy Stochastyczne, PPT, Matematyka MAP1136 27 luty, 2012 Ośrodkowość procesów Dalej zakładamy, że (Ω, Σ, P) jest zupełną przestrzenią miarową. Definicja.
Bardziej szczegółowoZmienne losowe i ich rozkłady. Momenty zmiennych losowych. Wrocław, 10 października 2014
Zmienne losowe i ich rozkłady. Momenty zmiennych losowych. Wrocław, 10 października 2014 Zmienne losowe i ich rozkłady Doświadczenie losowe: Rzut monetą Rzut kostką Wybór losowy n kart z talii 52 Gry losowe
Bardziej szczegółowoInformacja o przestrzeniach Hilberta
Temat 10 Informacja o przestrzeniach Hilberta 10.1 Przestrzenie unitarne, iloczyn skalarny Niech dana będzie przestrzeń liniowa X. Załóżmy, że każdej parze elementów x, y X została przyporządkowana liczba
Bardziej szczegółowoPrzykład 1 W przypadku jednokrotnego rzutu kostką przestrzeń zdarzeń elementarnych
Rozdział 1 Zmienne losowe, ich rozkłady i charakterystyki 1.1 Definicja zmiennej losowej Niech Ω będzie przestrzenią zdarzeń elementarnych. Definicja 1 Rodzinę S zdarzeń losowych (zbiór S podzbiorów zbioru
Bardziej szczegółowoInformacja o przestrzeniach Sobolewa
Wykład 11 Informacja o przestrzeniach Sobolewa 11.1 Definicja przestrzeni Sobolewa Niech R n będzie zbiorem mierzalnym. Rozważmy przestrzeń Hilberta X = L 2 () z iloczynem skalarnym zdefiniowanym równością
Bardziej szczegółowoWykłady... b i a i. i=1. m(d k ) inf
Wykłady... CŁKOWNIE FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH Zaczniemy od konstrukcji całki na przedziale domkniętym. Konstrukcja ta jest, w gruncie rzeczy, powtórzeniem definicji całki na odcinku domkniętym w R 1. Przedziałem
Bardziej szczegółowoRodzinę spełniającą trzeci warunek tylko dla sumy skończonej nazywamy ciałem (algebrą) w zbiorze X.
1 σ-ciała Definicja 1.1 (σ - ciało) σ - ciałem (σ - algebrą) w danym zbiorze X (zwanym przestrzenią) nazywamy rodzinę M pewnych podzbiorów zbioru X, spełniającą trzy warunki: 1 o M; 2 o jeśli A M, to X
Bardziej szczegółowo1. Struktury zbiorów 2. Miara 3. Miara zewnętrzna 4. Miara Lebesgue a 5. Funkcje mierzalne 6. Całka Lebesgue a. Analiza Rzeczywista.
Literatura P. Billingsley, Miara i prawdopodobieństwo, PWN, Warszawa 1997, P. R. Halmos, Measure theory, Springer-Verlag, 1994, W, Kołodziej, naliza matematyczna, PWN, Warszawa 1978, S. Łojasiewicz, Wstęp
Bardziej szczegółowoZadania do Rozdziału X
Zadania do Rozdziału X 1. 2. Znajdź wszystkie σ-ciała podzbiorów X, gdy X = (i) {1, 2}, (ii){1, 2, 3}. (b) Znajdź wszystkie elementy σ-ciała generowanego przez {{1, 2}, {2, 3}} dla X = {1, 2, 3, 4}. Wykaż,
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka
Wykład II: Zmienne losowe i charakterystyki ich rozkładów 13 października 2014 Zmienne losowe Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa, cz. II Definicja zmiennej losowej i jej
Bardziej szczegółowoTeoria miary. WPPT/Matematyka, rok II. Wykład 5
Teoria miary WPPT/Matematyka, rok II Wykład 5 Funkcje mierzalne Niech (X, F) będzie przestrzenią mierzalną i niech f : X R. Twierdzenie 1. NWSR 1. {x X : f(x) > a} F dla każdego a R 2. {x X : f(x) a} F
Bardziej szczegółowon=0 Dla zbioru Cantora prawdziwe są wersje lematu 3.6 oraz lematu 3.8 przy założeniu α = :
4. Zbiory borelowskie. Zbiór wszystkich podzbiorów liczb naturalnych będziemy oznaczali przez ω. Najmniejszą topologię na zbiorze ω, w której zbiory {A ω : x A ω \ y}, gdzie x oraz y są zbiorami skończonymi,
Bardziej szczegółowoWykład 2 Zmienne losowe i ich rozkłady
Wykład 2 Zmienne losowe i ich rozkłady Magdalena Frąszczak Wrocław, 11.10.2017r Zmienne losowe i ich rozkłady Doświadczenie losowe: Rzut monetą Rzut kostką Wybór losowy n kart z talii 52 Gry losowe Doświadczenie
Bardziej szczegółowoPrawa wielkich liczb, centralne twierdzenia graniczne
, centralne twierdzenia graniczne Katedra matematyki i ekonomii matematycznej 17 maja 2012, centralne twierdzenia graniczne Rodzaje zbieżności ciągów zmiennych losowych, centralne twierdzenia graniczne
Bardziej szczegółowo28 maja, Problem Dirichleta, proces Wienera. Procesy Stochastyczne, wykład 14, T. Byczkowski, Procesy Stochastyczne, PPT, Matematyka MAP1126
Problem Dirichleta, proces Wienera Procesy Stochastyczne, wykład 14, T. Byczkowski, Procesy Stochastyczne, PPT, Matematyka MAP1126 28 maja, 2012 Funkcje harmoniczne Niech będzie operatorem Laplace a w
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka
Wykład V: Zmienne losowe i ich wartości oczekiwane 25 października 2017 Definicja zmiennej losowej Definicja Zmienne losowa to charakterystyka liczbowa wyniku eksperymentu losowego. Zmienne losowa na przestrzeni
Bardziej szczegółowoWykład 11: Martyngały: Twierdzenie o zbieżności i Hoeffdinga
RAP 412 21.01.2009 Wykład 11: Martyngały: Twierdzenie o zbieżności i Hoeffdinga Wykładowca: Andrzej Ruciński Pisarz: Łukasz Waszak 1 Wstęp Na ostatnim wykładzie przedstawiliśmy twierdzenie o zbieżności
Bardziej szczegółowoGranica i ciągłość funkcji. 1 Granica funkcji rzeczywistej jednej zmiennej rzeczywsitej
Wydział Matematyki Stosowanej Zestaw zadań nr 3 Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie WEiP, energetyka, I rok Elżbieta Adamus listopada 07r. Granica i ciągłość funkcji Granica funkcji rzeczywistej jednej
Bardziej szczegółowoO pewnych klasach funkcji prawie okresowych (niekoniecznie ograniczonych)
(niekoniecznie ograniczonych) Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet im. Adama Mickiewicza, Poznań Będlewo, 25-30 maja 2015 Funkcje prawie okresowe w sensie Bohra Definicja Zbiór E R nazywamy względnie
Bardziej szczegółowoRozdział 1. Zmienne losowe, ich rozkłady i charakterystyki. 1.1 Definicja zmiennej losowej
Rozdział 1 Zmienne losowe, ich rozkłady i charakterystyki 1.1 Definicja zmiennej losowej Zbiór możliwych wyników eksperymentu będziemy nazywać przestrzenią zdarzeń elementarnych i oznaczać Ω, natomiast
Bardziej szczegółowoRodzinę F złożoną z podzbiorów zbioru X będziemy nazywali ciałem zbiorów, gdy spełnione są dwa następujące warunki.
3. Funkcje borelowskie. Rodzinę F złożoną z podzbiorów zbioru X będziemy nazywali ciałem zbiorów, gdy spełnione są dwa następujące warunki. (1): Jeśli zbiór Y należy do rodziny F, to jego dopełnienie X
Bardziej szczegółowoG. Plebanek, MIARA I CAŁKA Zadania do rozdziału 1 28
G. Plebanek, MIARA I CAŁKA Zadania do rozdziału 1 28 1.9 Zadania 1.9.1 Niech R będzie pierścieniem zbiorów. Zauważyć, że jeśli A, B R to A B R i A B R. Sprawdzić, że (R,, ) jest także pierścieniem w sensie
Bardziej szczegółowoFunkcje rzeczywiste jednej. Matematyka Studium doktoranckie KAE SGH Semestr letni 2008/2009 R. Łochowski
Funkcje rzeczywiste jednej zmiennej rzeczywistej Matematyka Studium doktoranckie KAE SGH Semestr letni 2008/2009 R. Łochowski Definicje Funkcją (odwzorowaniem) f, odwzorowującą zbiór D w zbiór P nazywamy
Bardziej szczegółowoWykład 11: Martyngały: definicja, twierdzenia o zbieżności
RAP 412 14.01.2009 Wykład 11: Martyngały: definicja, twierdzenia o zbieżności Wykładowca: Andrzej Ruciński Pisarz:Mirosława Jańczak 1 Wstęp Do tej pory zajmowaliśmy się ciągami zmiennych losowych (X n
Bardziej szczegółowoRozdział 6. Ciągłość. 6.1 Granica funkcji
Rozdział 6 Ciągłość 6.1 Granica funkcji Podamy najpierw dwie definicje granicy funkcji w punkcie i pokażemy ich równoważność. Definicja Cauchy ego granicy funkcji w punkcie. Niech f : X R, gdzie X R oraz
Bardziej szczegółowoZadania z Analizy Funkcjonalnej I Które z poniższych przestrzeni metrycznych są przestrzeniami unormowanymi?
Zadania z Analizy Funkcjonalnej I - 1 1. Które z poniższych przestrzeni metrycznych są przestrzeniami unormowanymi? a) X = R, d(x, y) = arctg x y ; b) X = R n, d(x, y) = x 1 y 1 + x 2 y 2 + max i 3 x i
Bardziej szczegółowoWYKŁAD Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ I. dr. Elżbieta Kotlicka. Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki
WYKŁAD Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ I dr. Elżbieta Kotlicka Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki http://im0.p.lodz.pl/~ekot Łódź 2006 Spis treści 1. CIĄGI LICZBOWE 2 1.1. Własności ciągów liczbowych o wyrazach
Bardziej szczegółowoA i. i=1. i=1. i=1. i=1. W dalszej części skryptu będziemy mieli najczęściej do czynienia z miarami określonymi na rodzinach, które są σ - algebrami.
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 3 25 3 Miara 3.1 Definicja miary i jej podstawowe własności Niech X będzie niepustym zbiorem, a A 2 X niepustą rodziną podzbiorów. Wtedy dowolne odwzorowanie : A
Bardziej szczegółowoTeoria miary i całki
Teoria miary i całki Spis treści 1 Wstęp 3 2 lgebra zbiorów 5 3 Pierścienie, ciała, σ ciała zbiorów. 7 3.1 Definicja pierścienia ciała i σ ciała............... 7 3.2 Pierścień, ciało i σ ciało generowane
Bardziej szczegółowo2. P (E) = 1. β B. TSIM W3: Sygnały stochastyczne 1/27
SYGNAŁY STOCHASTYCZNE Przestrzeń probabilistyczna i zmienna losowa Definicja Przestrzenią probabilistyczną (doświadczeniem) nazywamy trójkę uporządkowaną (E, B, P ), gdzie: E przestrzeń zdarzeń elementarnych;
Bardziej szczegółowoMatematyka z el. statystyki, # 3 /Geodezja i kartografia II/
Matematyka z el. statystyki, # 3 /Geodezja i kartografia II/ Uniwersytet Przyrodniczy w Lublinie Katedra Zastosowań Matematyki i Informatyki ul. Akademicka 15, p.211a bud. Agro II, e-mail: zdzislaw.otachel@up.lublin.pl
Bardziej szczegółowoDystrybucje. Marcin Orchel. 1 Wstęp Dystrybucje Pochodna dystrybucyjna Przestrzenie... 5
Dystrybucje Marcin Orchel Spis treści 1 Wstęp 1 1.1 Dystrybucje................................... 1 1.2 Pochodna dystrybucyjna............................ 3 1.3 Przestrzenie...................................
Bardziej szczegółowoJeśli wszystkie wartości, jakie może przyjmować zmienna można wypisać w postaci ciągu {x 1, x 2,...}, to mówimy, że jest to zmienna dyskretna.
Wykład 4 Rozkłady i ich dystrybuanty Dwa typy zmiennych losowych Jeśli wszystkie wartości, jakie może przyjmować zmienna można wypisać w postaci ciągu {x, x 2,...}, to mówimy, że jest to zmienna dyskretna.
Bardziej szczegółowoPrzykładami ciągów, które Czytelnik dobrze zna (a jeśli nie, to niniejszym poznaje), jest ciąg arytmetyczny:
Podstawowe definicje Definicja ciągu Ciągiem nazywamy funkcję na zbiorze liczb naturalnych, tzn. przyporządkowanie każdej liczbie naturalnej jakiejś liczby rzeczywistej. (Mówimy wtedy o ciągu o wyrazach
Bardziej szczegółowoZagadnienia stacjonarne
Zagadnienia stacjonarne Karol Hajduk 19 grudnia 2012 Nierówność wariacyjna (u (t), v u(t)) + a(u, v u) + Ψ(v) Ψ(u) (f, v u), v V. Zagadnienie stacjonarne ma postać (u (t) = 0): a(u, v u) + Ψ(v) Ψ(u) (f,
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna. 1. Ciągi
Analiza matematyczna 1. Ciągi Definicja 1.1 Funkcję a: N R odwzorowującą zbiór liczb naturalnych w zbiór liczb rzeczywistych nazywamy ciągiem liczbowym. Wartość tego odwzorowania w punkcie n nazywamy n
Bardziej szczegółowoZadania ze Wstępu do Analizy Stochastycznej 1. = 0 p.n.
Zadania ze Wstępu do Analizy Stochastycznej 1 1. Znajdź rozkład zmiennej 5W 1 W 3 + W 7. 2. Dla jakich parametrów a i b, zmienne aw 1 W 2 oraz W 3 + bw 5 są niezależne? 3. Znajdź rozkład wektora losowego
Bardziej szczegółowoStatystyka matematyczna. Wykład III. Estymacja przedziałowa
Statystyka matematyczna. Wykład III. e-mail:e.kozlovski@pollub.pl Spis treści Rozkłady zmiennych losowych 1 Rozkłady zmiennych losowych Rozkład χ 2 Rozkład t-studenta Rozkład Fischera 2 Przedziały ufności
Bardziej szczegółowoZadania z Procesów Stochastycznych 1
Zadania z Procesów Stochastycznych 1 Definicja Procesem Poissona z parametrem (intensywnością) λ > 0 nazywamy proces stochastyczny N = (N t ) t 0 taki, że N 0 = 0; (P0) N ma przyrosty niezależne; (P1)
Bardziej szczegółowoZdzisław Dzedzej. Politechnika Gdańska. Gdańsk, 2013
Zdzisław Dzedzej Politechnika Gdańska Gdańsk, 2013 1 PODSTAWY 2 3 Definicja. Przestrzeń metryczna (X, d) jest zwarta, jeśli z każdego ciągu {x n } w X można wybrać podciąg zbieżny {x nk } w X. Ogólniej
Bardziej szczegółowo1 Elementy analizy funkcjonalnej
M. Beśka, Dodatek 1 1 Elementy analizy funkcjonalnej 1.1 Twierdzenia o reprezentacji Zaczniemy od znanego twierdzenia Riesza Twierdzenie 1.1 (Riesz) Niech będzie zwartą przestrzenią metryczną i załóżmy,
Bardziej szczegółowoNotatki z Analizy Matematycznej 2. Jacek M. Jędrzejewski
Notatki z Analizy Matematycznej 2 Jacek M. Jędrzejewski Definicja 3.1. Niech (a n ) n=1 będzie ciągiem liczbowym. Dla każdej liczby naturalnej dodatniej n utwórzmy S n nazywamy n-tą sumą częściową. ROZDZIAŁ
Bardziej szczegółowoWykład 21 Funkcje mierzalne. Kostrukcja i własności całki wzglȩdem miary przeliczalnie addytywnej
Wykład 2 Funkcje mierzalne. Kostrukcja i własności całki wzglȩdem miary przeliczalnie addytywnej czȩść II (opracował: Piotr Nayar) Definicja 2.. Niech (E, E) bȩdzie przestrzenia mierzalna i niech λ : E
Bardziej szczegółowoWykład 12: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Mieszanina rozkładów.
Rachunek prawdopodobieństwa MAT1332 Wydział Matematyki, Matematyka Stosowana Wykładowca: dr hab. Agnieszka Jurlewicz Wykład 12: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Mieszanina rozkładów. Warunkowa
Bardziej szczegółowoLiteratura. Leitner R., Zacharski J., Zarys matematyki wyŝszej dla studentów, cz. III.
Literatura Krysicki W., Bartos J., Dyczka W., Królikowska K, Wasilewski M., Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka Matematyczna w Zadaniach, cz. I. Leitner R., Zacharski J., Zarys matematyki wyŝszej
Bardziej szczegółowoCałki niewłaściwe. Całki w granicach nieskończonych
Całki niewłaściwe Całki w granicach nieskończonych Wiemy, co to jest w przypadku skończonego przedziału i funkcji ograniczonej. Okazuje się potrzebne uogólnienie tego pojęcia w różnych kierunkach (przedział
Bardziej szczegółowoVI. Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów
VI. 1. Równanie różniczkowe liniowe n-tego rzędu o zmiennych współczynnikach Niech podobnie jak w poprzednim paragrafie K = C lub K = R. Podobnie jak w dziedzinie rzeczywistej wprowadzamy pochodne wyższych
Bardziej szczegółowoCałka podwójna po prostokącie
Całka podwójna po prostokącie Rozważmy prostokąt = {(x, y) R : a x b, c y d}, gdzie a, b, c, d R, oraz funkcję dwóch zmiennych f : R ograniczoną w tym prostokącie. rostokąt dzielimy na n prostokątów i
Bardziej szczegółowoRozkłady i ich dystrybuanty 16 marca F X (t) = P (X < t) 0, gdy t 0, F X (t) = 1, gdy t > c, 0, gdy t x 1, 1, gdy t > x 2,
Wykład 4. Rozkłady i ich dystrybuanty 6 marca 2007 Jak opisać cały rozkład jedną funkcją? Aby znać rozkład zmiennej X, musimy umieć obliczyć P (a < X < b) dla dowolnych a < b. W tym celu wystarczy znać
Bardziej szczegółowoZasada indukcji matematycznej
Zasada indukcji matematycznej Twierdzenie 1 (Zasada indukcji matematycznej). Niech ϕ(n) będzie formą zdaniową zmiennej n N 0. Załóżmy, że istnieje n 0 N 0 takie, że 1. ϕ(n 0 ) jest zdaniem prawdziwym,.
Bardziej szczegółowoZmienne losowe. dr Mariusz Grządziel Wykład 12; 20 maja 2014
Zmienne losowe dr Mariusz Grządziel Wykład 2; 20 maja 204 Definicja. Zmienna losowa nazywamy dyskretna (skokowa), jeśli zbiór jej wartości x, x 2,..., można ustawić w ciag. Zmienna losowa X, która przyjmuje
Bardziej szczegółowoZadanie 1. Liczba szkód N w ciągu roku z pewnego ryzyka ma rozkład geometryczny: k =
Matematyka ubezpieczeń majątkowych 0.0.006 r. Zadanie. Liczba szkód N w ciągu roku z pewnego ryzyka ma rozkład geometryczny: k 5 Pr( N = k) =, k = 0,,,... 6 6 Wartości kolejnych szkód Y, Y,, są i.i.d.,
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka
Wykład XIV: Metody Monte Carlo 19 stycznia 2016 Przybliżone obliczanie całki oznaczonej Rozważmy całkowalną funkcję f : [0, 1] R. Chcemy znaleźć przybliżoną wartość liczbową całki 1 f (x) dx. 0 Jeden ze
Bardziej szczegółowoZmienne losowe. dr Mariusz Grzadziel. rok akademicki 2016/2017 semestr letni. Katedra Matematyki, Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocławiu
Zmienne losowe dr Mariusz Grzadziel Katedra Matematyki, Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocławiu rok akademicki 2016/2017 semestr letni Definicja 1 Zmienna losowa nazywamy dyskretna (skokowa), jeśli zbiór
Bardziej szczegółowo7. Miara, zbiory mierzalne oraz funkcje mierzalne.
7. Miara, zbiory mierzalne oraz funkcje mierzalne. Funkcję rzeczywistą µ nieujemną określoną na ciele zbiorów S będziemy nazywali miarą, gdy dla dowolnego ciągu A 0, A 1,... zbiorów rozłącznych należących
Bardziej szczegółowoWykład 10. Stwierdzenie 1. X spełnia warunek Borela wtedy i tylko wtedy, gdy każda scentrowana rodzina zbiorów domkniętych ma niepusty przekrój.
Wykład 10 Twierdzenie 1 (Borel-Lebesgue) Niech X będzie przestrzenią zwartą Z każdego pokrycia X zbiorami otwartymi można wybrać podpokrycie skończone Dowód Lemat 1 Dla każdego pokrycia U przestrzeni ośrodkowej
Bardziej szczegółowof(t) f(x), D f(x) = lim sup t x oraz D f(x) = lim inf
9. Różniczkowanie. Jeśli f jest funkcją rzeczywistą, to granice D + f(x) = lim sup t x + f(t) f(x), D f(x) = lim sup t x t x f(t) f(x), t x f(t) f(x) f(t) f(x) D + f(x) = lim inf oraz D f(x) = lim inf
Bardziej szczegółowoAnaliza Funkcjonalna - Zadania
Analiza Funkcjonalna - Zadania 1 Wprowadzamy następujące oznaczenia. K oznacza ciało liczb rzeczywistych lub zespolonych. Jeżeli T jest dowolnym zbiorem niepustym, to l (T ) = {x : E K : x funkcja ograniczona}.
Bardziej szczegółowoPEWNE FAKTY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA
PEWNE FAKTY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA 1. Trójkę (Ω, F, P ), gdzie Ω, F jest σ-ciałem podzbiorów Ω, a P jest prawdopodobieństwem określonym na F, nazywamy przestrzenią probabilistyczną. 2. Rodzinę F
Bardziej szczegółowoBiostatystyka, # 3 /Weterynaria I/
Biostatystyka, # 3 /Weterynaria I/ dr n. mat. Zdzisław Otachel Uniwersytet Przyrodniczy w Lublinie Katedra Zastosowań Matematyki i Informatyki ul. Głęboka 28, p. 221 bud. CIW, e-mail: zdzislaw.otachel@up.lublin.pl
Bardziej szczegółowoGranica i ciągłość funkcji. 1 Granica funkcji rzeczywistej jednej zmiennej rzeczywistej
Wydział Matematyki Stosowanej Zestaw zadań nr 3 Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie WEiP, energetyka, I rok Elżbieta Adamus 3 listopada 06r. Granica i ciągłość funkcji Granica funkcji rzeczywistej jednej
Bardziej szczegółowoStatystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory
Statystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok 407 adrian@tempus.metal.agh.edu.pl
Bardziej szczegółowoTwierdzenia graniczne fluktuacji procesów przebywania dla układów gałazkowych
Publiczna obrona rozprawy doktorskiej Twierdzenia graniczne fluktuacji procesów przebywania dla układów gałazkowych Piotr Miłoś Instytut Matematyczny Polskiej Akademii Nauk 23.10.2008 Warszawa Plan 1 Układy
Bardziej szczegółowoParametr Λ w populacji ubezpieczonych ma rozkład dany na półosi dodatniej gęstością: 3 f
Zadanie. W kolejnych latach t =,,,... ubezpieczony charakteryzujący się parametrem ryzyka Λ generuje N t szkód. Dla danego Λ = λ zmienne N, N, N,... są warunkowo niezależne i mają (brzegowe) rozkłady Poissona:
Bardziej szczegółowoI. Pochodna i różniczka funkcji jednej zmiennej. 1. Definicja pochodnej funkcji i jej interpretacja fizyczna. Istnienie pochodnej funkcji.
I. Pochodna i różniczka funkcji jednej zmiennej. 1. Definicja pochodnej funkcji i jej interpretacja fizyczna. Istnienie pochodnej funkcji. Niech x 0 R i niech f będzie funkcją określoną przynajmniej na
Bardziej szczegółowoOgólnopolska Konferencja Aktuarialna Zagadnienia aktuarialne teoria i praktyka Warszawa, IE SGH 2009
Rafał M. Łochowski Szkoła Główna Handlowa w Warszawie O pewnym modelu pojawiania się szkód Ogólnopolska Konferencja Aktuarialna Zagadnienia aktuarialne teoria i praktyka Warszawa, IE SGH 2009 Modele pojawiania
Bardziej szczegółowoStatystyka i eksploracja danych
Wykład II: i charakterystyki ich rozkładów 24 lutego 2014 Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa, cz. II Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa,
Bardziej szczegółowoRozdział 4. Ciągi nieskończone. 4.1 Ciągi nieskończone
Rozdział 4 Ciągi nieskończone W rozdziale tym wprowadzimy pojęcie granicy ciągu. Dalej rozszerzymy to pojęcie na przypadek dowolnych funkcji. Jak zauważyliśmy we wstępie jest to najważniejsze pojęcie analizy
Bardziej szczegółowoFunkcje charakterystyczne zmiennych losowych, linie regresji 1-go i 2-go rodzaju
Funkcje charakterystyczne zmiennych losowych, linie regresji -go i 2-go rodzaju Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Inteligencji i Metod Matematycznych Wydział Informatyki Politechniki
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa i statystyka
Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka Przestrzeń probabilistyczna Niech Ω będzie dowolnym zbiorem, zwanym przestrzenią zdarzeń elementarnych. Elementy ω tej przestrzeni nazywamy zdarzeniami elementarnymi.
Bardziej szczegółowoZadania z Analizy Funkcjonalnej I Które z poniższych przestrzeni metrycznych są przestrzeniami unormowanymi?
Zadania z Analizy Funkcjonalnej I - 1 1. Które z poniższych przestrzeni metrycznych są przestrzeniami unormowanymi?. a) X = R, x = arctg x ; b) X = R n, d(x, y) = x 1 y 1 + x 2 y 2 + max i 3 x i y i ;
Bardziej szczegółowoCiągłość funkcji f : R R
Ciągłość funkcji f : R R Definicja 1. Otoczeniem o promieniu δ > 0 punktu x 0 R nazywamy zbiór O(x 0, δ) := (x 0 δ, x 0 + δ). Otoczeniem prawostronnym o promieniu δ > 0 punktu x 0 R nazywamy zbiór O +
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka
Wykład IV: 27 października 2014 Współczynnik korelacji Brak korelacji a niezależność Definicja współczynnika korelacji Współczynnikiem korelacji całkowalnych z kwadratem zmiennych losowych X i Y nazywamy
Bardziej szczegółowo1 Zbiory. 1.1 Kiedy {a} = {b, c}? (tzn. podać warunki na a, b i c) 1.2 Udowodnić, że A {A} A =.
1 Zbiory 1.1 Kiedy {a} = {b, c}? (tzn. podać warunki na a, b i c) 1.2 Udowodnić, że A {A} A =. 1.3 Pokazać, że jeśli A, B oraz (A B) (B A) = C C, to A = B = C. 1.4 Niech {X t } będzie rodziną niepustych
Bardziej szczegółowoWYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I wykład 2 i 3 Zmienna losowa
WYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I wykład 2 i 3 Zmienna losowa Agata Boratyńska Agata Boratyńska Rachunek prawdopodobieństwa, wykład 2 i 3 1 / 19 Zmienna losowa Definicja Dana jest przestrzeń probabilistyczna
Bardziej szczegółowoPochodne wyższych rzędów definicja i przykłady
Pochodne wyższych rzędów definicja i przykłady Pochodne wyższych rzędów Drugą pochodną funkcji nazywamy pochodną pochodnej tej funkcji. Trzecia pochodna jest pochodną drugiej pochodnej; itd. Ogólnie, -ta
Bardziej szczegółowoRozdział 5. Szeregi liczbowe. 5.1 Szeregi liczbowe. Definicja sumy częściowej ciągu. Niech dany będzie ciąg liczbowy (a n ) n=1.
Rozdział 5 Szeregi liczbowe 5. Szeregi liczbowe Definicja sumy częściowej ciągu. Niech dany będzie ciąg liczbowy ( ). Ciąg (s n ) określony wzorem s n = n a j, n N, nazywamy ciągiem sum częściowych ciągu
Bardziej szczegółowo}, gdzie a = t (n) )(f(t(n) k. ) f(t(n) k 1 ) 1+δ = 0,
Zadania z Procesów Stochastycznych II - 1 1. Niech π n = {t (n), t(n) 1,..., t(n) k n }, gdzie a = t (n) < t (n) 1
Bardziej szczegółowoFunkcja wykładnicza kilka dopowiedzeń
Funkcje i ich granice Było: Zbiór argumentów; zbiór wartości; monotoniczność; funkcja odwrotna; funkcja liniowa; kwadratowa; wielomiany; funkcje wymierne; funkcje trygonometryczne i ich odwrotności; funkcja
Bardziej szczegółowo