Twierdzenia graniczne fluktuacji procesów przebywania dla układów gałazkowych

Transkrypt

1 Publiczna obrona rozprawy doktorskiej Twierdzenia graniczne fluktuacji procesów przebywania dla układów gałazkowych Piotr Miłoś Instytut Matematyczny Polskiej Akademii Nauk Warszawa

2 Plan 1 Układy czastek z rozgałęzianiem Opis intuicyjny Opis bardziej precyzyjny Pokrewne pojęcia 2 Wyniki rozprawy Opis problemu Lista układów Przykładowe twierdzenia

3 Intuicyjna definicja układu z rozgałęzianiem Układ z rozgałęzianiem Zbiór czastek różnych typów, w pewnej przestrzeni, poruszajacych się zgodnie z pewna dynamika i dzielacych losowo zgodnie z zadanym prawem podziału...

4 Opis bardziej precyzyjny Czastki - możliwych jest wiele typów (np. drobiny pyłów w powietrzu) Przestrzeń - najczęściej R d lub Z d Czas - dyskretny lub ciagły Ruch czastek - czastki poruszaja się zgodnie z pewnym procesem stochastycznym (najczęściej jednorodnym w czasie procesem Markowa, np. procesem Lévy ego) Rozgałęzianie - po pewnym czasie (najczęściej wykładniczym lub geometrycznym) czastka dzieli się zgodnie z losowym prawem podziału Imigracja - nowe czastki pojawiaja się w systemie zgodnie z pewnym rozkładem losowym

10 Pokrewne pojęcia i metody dowodowe System jako całość jest opisany jak proces stochastyczny o wartościach w miarach punktowych (Funkcyjne) twierdzenia graniczne, superprocesy Miara równowagowa, wymieranie Czas przebywania i jego fluktuacje Metoda czasoprzestrzenna (przestrzeń dystrybucji temperowanch) Zwiazki z czastkowymi równaniami różniczkowymi poprzez wzór Feynmana-Kaca N s = p P t δ pt

11 Pokrewne pojęcia i metody dowodowe System jako całość jest opisany jak proces stochastyczny o wartościach w miarach punktowych (Funkcyjne) twierdzenia graniczne, superprocesy Miara równowagowa, wymieranie Czas przebywania i jego fluktuacje Metoda czasoprzestrzenna (przestrzeń dystrybucji temperowanch) Zwiazki z czastkowymi równaniami różniczkowymi poprzez wzór Feynmana-Kaca C([0, 1], M) D([0, 1], M)

12 Pokrewne pojęcia i metody dowodowe System jako całość jest opisany jak proces stochastyczny o wartościach w miarach punktowych (Funkcyjne) twierdzenia graniczne, superprocesy Miara równowagowa, wymieranie Czas przebywania i jego fluktuacje Metoda czasoprzestrzenna (przestrzeń dystrybucji temperowanch) Zwiazki z czastkowymi równaniami różniczkowymi poprzez wzór Feynmana-Kaca N t Eq, t +

13 Pokrewne pojęcia i metody dowodowe System jako całość jest opisany jak proces stochastyczny o wartościach w miarach punktowych (Funkcyjne) twierdzenia graniczne, superprocesy Miara równowagowa, wymieranie Czas przebywania i jego fluktuacje Metoda czasoprzestrzenna (przestrzeń dystrybucji temperowanch) Zwiazki z czastkowymi równaniami różniczkowymi poprzez wzór Feynmana-Kaca t 0 [ t ] N s ds EN s ds 0

14 Pokrewne pojęcia i metody dowodowe System jako całość jest opisany jak proces stochastyczny o wartościach w miarach punktowych (Funkcyjne) twierdzenia graniczne, superprocesy Miara równowagowa, wymieranie Czas przebywania i jego fluktuacje Metoda czasoprzestrzenna (przestrzeń dystrybucji temperowanch) Zwiazki z czastkowymi równaniami różniczkowymi poprzez wzór Feynmana-Kaca XT, Ψ := 1 0 X T (t), Ψ(, t) dt, Ψ S(R d )

15 Pokrewne pojęcia i metody dowodowe System jako całość jest opisany jak proces stochastyczny o wartościach w miarach punktowych (Funkcyjne) twierdzenia graniczne, superprocesy Miara równowagowa, wymieranie Czas przebywania i jego fluktuacje Metoda czasoprzestrzenna (przestrzeń dystrybucji temperowanch) Zwiazki z czastkowymi równaniami różniczkowymi poprzez wzór Feynmana-Kaca h t = (A 1)h + F(h)

16 Wyniki rozprawy

17 Wyniki - opis problemu Definicja fluktuacji przeskalowanego czasu przebywania Cel X T (t) = 1 F T Tt Celem rozprawy było zbadanie zbieżności 0 (N s EN s )ds X T X, T +, t [0, 1], przy odpowiednio wybranym F T. Tym samym, ustanowienie funkcyjnego centralnego twierdzenia granicznego dla procesu przebywania. Zbieżność jest rozumiana, jako zbieżność wg. rozkładów w przestrzeni C([0, 1], S (R d )) lub zbieżność rozkładów skończenie wymiarowych/czasoprzestrzenna.

18 Wyniki - opis problemu Definicja fluktuacji przeskalowanego czasu przebywania Cel X T (t) = 1 F T Tt Celem rozprawy było zbadanie zbieżności 0 (N s EN s )ds X T X, T +, t [0, 1], przy odpowiednio wybranym F T. Tym samym, ustanowienie funkcyjnego centralnego twierdzenia granicznego dla procesu przebywania. Zbieżność jest rozumiana, jako zbieżność wg. rozkładów w przestrzeni C([0, 1], S (R d )) lub zbieżność rozkładów skończenie wymiarowych/czasoprzestrzenna.

19 Wyniki - lista Układy czastek z rozgałęzianiem krytycznym o wariancji skończonej, startujace z pola Poissona lub miary równowagowej Układy czastek z rozgałęzianiem krytycznym o wariancji nieskończonej (o szczególnej postaci), startujace z miary równowagowej Układy czastek z rozgałęzianiem krytycznym binarnym, z jednorodna Układy czastek z rozgałęzianiem podkrytycznym binarnym, z jednorodna

23 Układ z rozgałęzianiem krytycznym o skończonej wariancji Opis układu czastki poruszaja niezależnie zgodnie z symetrycznym procesem α-stabilnym Lévy ego podział czastek następuje po czasie o rozkładzie wykładniczym prawo podziału krytyczne, o wariancji skończonej rozkład poczatkowy czastek - pole Poissona lub miara równowagowa F(s) = 1 3 s

24 Układ z rozgałęzianiem krytycznym o skończonej wariancji Opis układu czastki poruszaja niezależnie zgodnie z symetrycznym procesem α-stabilnym Lévy ego podział czastek następuje po czasie o rozkładzie wykładniczym prawo podziału krytyczne, o wariancji skończonej rozkład poczatkowy czastek - pole Poissona lub miara równowagowa N Poiss t Eq, gdy t +

25 Układ z rozgałęzianiem krytycznym o skończonej wariancji Opis układu czastki poruszaja niezależnie zgodnie z symetrycznym procesem α-stabilnym Lévy ego podział czastek następuje po czasie o rozkładzie wykładniczym prawo podziału krytyczne, o wariancji skończonej rozkład poczatkowy czastek - pole Poissona lub miara równowagowa Cel: granica (przy przyspieszeniu czasu) procesów fluktuacji przeskalowanego czasu przebywania.

26 Układ z rozgałęzianiem krytycznym o skończonej wariancji Twierdzenie dla wymiarów pośrednich Założenia wtedy Przestrzeń R d z α < d < 2α, F T = T (3+d/α)/2, X Poiss T cξλ, gdy T +, X Eq T cζλ, gdy T +, gdzie ξ to podułamkowy ruch Browna, a ζ to ułamkowy ruch Browna.

27 Układ z rozgałęzianiem krytycznym o skończonej wariancji Komentarze zbieżność w przestrzeni funkcyjnej zależność od rozkładu poczatkowego zależności dalekiego zasięgu prawo podziału o nieskończonej wariancji zbieżność w przestrzeni C([0, 1], S (R d ))

28 Układ z rozgałęzianiem krytycznym o skończonej wariancji Komentarze zbieżność w przestrzeni funkcyjnej zależność od rozkładu poczatkowego zależności dalekiego zasięgu prawo podziału o nieskończonej wariancji Cov ξ (s, t) = s h + t h 1 2 [ (s + t) h t s h], Cov ζ (s, t) = s h + t h 1 2 s t h, h = 3 d α

29 Układ z rozgałęzianiem krytycznym o skończonej wariancji Komentarze zbieżność w przestrzeni funkcyjnej zależność od rozkładu poczatkowego zależności dalekiego zasięgu prawo podziału o nieskończonej wariancji C ξ (τ) cτ h 3, C ζ (τ) cτ h 2

30 Układ z rozgałęzianiem krytycznym o skończonej wariancji Komentarze zbieżność w przestrzeni funkcyjnej zależność od rozkładu poczatkowego zależności dalekiego zasięgu prawo podziału o nieskończonej wariancji F(s) = s + 1 (1 s)1+β 1 + β

31 Układ z rozgałęzianiem krytycznym, binarnym i Definicja układu czastki poruszaja niezależnie zgodnie z symetrycznym procesem α-stabilnym Lévy ego podział czastek następuje po czasie o rozkładzie wykładniczym prawo podziału krytyczne, binarne rozkład poczatkowy czastek - pole Poissona imigracja zgodnie z jednorodnym w czasie i przestrzeni polem Poissona F(s) = 1 2 s

32 Układ z rozgałęzianiem krytycznym, binarnym i Definicja układu czastki poruszaja niezależnie zgodnie z symetrycznym procesem α-stabilnym Lévy ego podział czastek następuje po czasie o rozkładzie wykładniczym prawo podziału krytyczne, binarne rozkład poczatkowy czastek - pole Poissona imigracja zgodnie z jednorodnym w czasie i przestrzeni polem Poissona Cel: granica (przy przyspieszeniu czasu) procesów fluktuacji przeskalowanego czasu przebywania.

33 Układ z rozgałęzianiem krytycznym, binarnym i Twierdzenie dla wymiarów małych i pośrednich Założenia przestrzeń R d z 0 < d < 2α, F T = T (4+d/α)/2, wtedy X T cηλ, gdy T +, gdzie η to scentrowany proces gaussowski o kowariancji Cov(s, t) = s h+1 + t h (s + t)h (t s)h [3t + (2h 1)s], h = (3 d α )/2.

34 Układ z rozgałęzianiem krytycznym, binarnym i Twierdzenie dla wymiarów dużych Założenia wtedy przestrzeń R d z 2α < d i F T = T, X T c X, gdy T +, gdzie X jest scentrowanym procesem gaussowskim o wartościach w S (R d ) i funkcjonale kowariancji Cov ( X s, ϕ 1, X t, ϕ 2 ) = (s t) 2 2(2π) d R d ( 2 z α + V ) z 2α ϕ 1 (z) ϕ 2 (z)dz.

35 Układ z rozgałęzianiem krytycznym, binarnym i Komentarze istnienie granicy dla wymiarów małych (d < α); lokalne wymieranie zależność dalekiego zasięgu w wymiarach małych i pośrednich intuicyjne wyjaśnienie struktury czasowej i przestrzennej przypadek wymiarów krytycznych d = 2α niezależność od rozkładu poczatkowego

36 Układ z rozgałęzianiem krytycznym, binarnym i Komentarze istnienie granicy dla wymiarów małych (d < α); lokalne wymieranie zależność dalekiego zasięgu w wymiarach małych i pośrednich intuicyjne wyjaśnienie struktury czasowej i przestrzennej przypadek wymiarów krytycznych d = 2α niezależność od rozkładu poczatkowego C η (τ) τ h 2

40 Układ z rozgałęzianiem krytycznym, binarnym i Opis układu czastki poruszaja się zgodnie z procesem Markowa (przy pewnych słabych założeniach). Np. procesy Lévy ego podział czastek następuje po czasie o rozkładzie wykładniczym prawo podziału podkrytyczne, binarne rozkład poczatkowy czastek - pole Poissona imigracja zgodnie z jednorodnym w czasie i przestrzeni polem Poissona F(s) = qs 2 + (1 q), 0 q < 1/2.

41 Układ z rozgałęzianiem krytycznym, binarnym i Opis układu czastki poruszaja się zgodnie z procesem Markowa (przy pewnych słabych założeniach). Np. procesy Lévy ego podział czastek następuje po czasie o rozkładzie wykładniczym prawo podziału podkrytyczne, binarne rozkład poczatkowy czastek - pole Poissona imigracja zgodnie z jednorodnym w czasie i przestrzeni polem Poissona Cel: granica (przy przyspieszeniu czasu) procesów fluktuacji przeskalowanego czasu przebywania.

42 Układ z rozgałęzianiem krytycznym, binarnym i Twierdzenie Założenia wtedy przestrzeń R d, normowanie F T = T 1/2, założenia techniczne na proces Markowa, X T X, gdy T +, gdzie X jest scentrowanym procesem gaussowskim o wartościach w S (R d ) i funkcjonale kowariancji Cov ( X s, ϕ, X t, ϕ ) = (s t) T (ϕ)dx, R d gdzie T (ϕ) := U Q ϕ(x)u Q ϕ(x) + Z + 0 U Q (T Q t ϕ(x)t Q t U Q ϕ(x))dt.

43 Układ z rozgałęzianiem krytycznym, binarnym i Komentarze własności ruchu czastek graja mniejsze znaczenie szersza klasa układów wyniki jakościowo te same we wszystkich wymiarach porównanie wyników z układami o rozgałęzianiu krytycznym niezależność od warunków poczatkowych

48 Koniec Dziękuję za uwagę!