Ogólnopolska Konferencja Aktuarialna Zagadnienia aktuarialne teoria i praktyka Warszawa, IE SGH 2009

Transkrypt

1 Rafał M. Łochowski Szkoła Główna Handlowa w Warszawie O pewnym modelu pojawiania się szkód Ogólnopolska Konferencja Aktuarialna Zagadnienia aktuarialne teoria i praktyka Warszawa, IE SGH 2009

2 Modele pojawiania się szkód Model Poissona Zalety: brak pamięci, możliwość modelowania intensywności pojawiania się szkód w czasie za pomocą funkcji intensywności Wady: brak możliwości modelowania intensywności w zależności od liczby zaistniałych szkód Model Sparre-Andersena (proces odnowy) Zalety uogólnienie jednorodnego procesu Poissona, inne niż niejednorodny proces Poissona czy nawet proces Coxa Wady brak możliwości modelowania intensywności w zależności od liczby zaistniałych szkód (jak w przypadku procesu Poissona), co więcej - brak możliwości modelowania liczby szkód w czasie

3 Założenia prowadzące do pewnego innego modelu 1. W portfelu firmy ubezpieczeniowej znajduje się n niezależnych ryzyk 2. Każde ryzyko może wygenerować dokładnie jedną szkodę, po czym wygasa 3. Prawdopodobieństwo zajścia szkody w przedziale [t, t+ ] (po warunkiem, że nie zaszła wcześniej) zależy tylko od i jest takie samo dla każdego z ryzyk

4 Wnioski płynące z założeń Z założenia 3. wynika, że czas oczekiwania na szkodę wygenerowaną przez pojedyncze, i-te ryzyko, T i, jest wykładniczy z takim samym parametrem λ dla każdego z ryzyk Z niezależności ryzyk wynika, że czasy oczekiwania są niezależne

5 Wnioski, c.d. Niech T (1) T (2) T (n) będą statystykami pozycyjnymi ciągu T 1, T 2,..., T n T (i) moment napłynięcia i-tej szkody Łatwo można udowodnić (Feller, T. II), że czasy między kolejnymi szkodami T (1) ~ Exp(nλ), T (2) -T (1) ~ Exp((n-1)λ),., T (n) -T (n-1) ~ Exp(λ) są niezależnymi zmiennymi losowymi

6 Proces liczby szkód Niech L t = max{k: T (k) t} oznacza liczbę szkód, które napłynęły do momentu t Bardzo łatwo udowodnić, że L t ~ Bin(n, 1-exp(-λt)) Wniosek nie jest to ani proces Poissona ani proces Sparre-Andersena! (warunkowany, że liczba szkód nie przekracza n)

7 Parę rysunków

8 Własności procesu liczby szkód Proces nie ma przyrostów niezależnych Jest to proces Markowa (co wynika z braku pamięci rozkładu wykładniczego) o następujących prawdopodobieństwach przejścia (L t_k L t_k-1 L t_1,l t_2,,l t_k-1 )~ Bin(n- L t_k-1, 1-exp(-λ(t k -t k-1 )) Obserwacja: gdy n, λ n λ 0, wówczas nasz proces zbiega (w jakim sensie?) do procesu Poissona o intensywności λ 0

9 Uogólnienie modelu Niech 1 ~ Exp(λ 1 ), 2 ~ Exp(λ 2 ),, n ~ Exp(λ n ) będą niezależnymi zmiennymi losowymi Niech T (1) = 1, T (2) = 1 + 2,.., T (n) = n Uwaga: T (i) nie jest statystyką pozycyjną! Uwaga: dopuszczamy n= i są czasami między kolejnymi szkodami T (i) są momentami pojawiania się kolejnych szkód

10 Uogólnienie modelu, c.d. Ponownie, niech M t = max{k: T (k) t} oznacza liczbę szkód, które napłynęły do momentu t (M t czysty proces urodzin) Rozkład zmiennej M t? λ 1 = λ 2 = = λ, (M t ) - proces Poissona λ 1 = λn,λ 2 = λ(n-1),,λ n = λ, (M t ) nasz model λ 1 = λ,λ 2 = 2λ,, - (M t ) proces Yule a (M t ma rozkład geometryczny, Feller, T. I)

11 Rozkład M t dla dowolnych λ 1, λ 2 W ogólnym przypadku rozkład M t można najprościej otrzymać za pomocą metody Monte Carlo Przykład: t=1, (λ 1,λ 2,,λ 10 ) = (3,1,4,1.5,9,2,6,5.3,8,9.7) Histogram of sample of M_1 vs. its distribution n

12 Dynamika procesu (M t ) Oznaczmy P(M t =k)=:p(k;t;λ 1,λ 2, ) Proces (M t ) jest procesem Markowa t Proces (M t ) nie ma niezależnych przyrostów, lecz P(M t_k -M t_k-1 =k M t_k-1 =m,,m t_1 ) =P(k; t k -t k-1 ; λ m,λ m+1, )

13 Proces (M t ) - uwagi Dla n= nie jest jasne czy zdefiniowany proces nie eksploduje (z niezerowym prawdopodobieństwem napłynie nieskończona liczba szkód) Można podać analityczne formuły na P(k;t;λ 1,λ 2, ), formuły te są jednak skomplikowane i numerycznie niestabilne Zachodzi pytanie o przydatność uogólnionego modelu do modelowania pojawiania się szkód

14 Problem eksplozji i istnienia momentów procesu (M t ) Warunek konieczny i wystarczający na brak eksplozji (Feller, T. I) 1 λ =+ Warunek wystarczający na istnienie momentu rzędu p 1 dla pewnego k= 1 k k p 1 ( )( ) ( ) k= α/ λ 1 + α/ λ α/ λ α>0 =+

15 Formuły analityczne Jeżeli λ,..., λ są parami różne, wówczas 1 n P k k 1 exp = = x ( M k) ( ) ( tx) i i t j k j= 1 i= 1 x x x i j i j = 1, j i ( ) k+ 1 k+ 1 1 exp tx i i i j i j= 1, j i ( ) x, dlak 1,2,..., n 1 j = k+ 1 j= 1 i= 1 x x x Formuły te można uzyskać za pomocą metod odwrotnej transformaty Fouriera i rachunku residuów

16 Zastosowanie formuł obliczanie rozkładów (λ 1,λ 2,,λ 10 ) = (3,1,4,1.5,9,2,6,5.3,8,9.7), t=0.2, t=0.6 Distribution of M_t, t=0.2 Distribution of M_t, t= n n

17 Zastosowanie formuł obliczenie rozkładów, c. d. (λ 1,λ 2,,λ 10 ) = (3,1,4,1.5,9,2,6,5.3,8,9.7), t =1, t=1.8 Distribution of M_t, t= Distribution of M_t, t= n n

18 Zastosowanie formuł obliczenie rozkładów, c. d. (λ 1,λ 2,,λ 10 ) = (3,1,4,1.5,9,2,6,5.3,8,9.7), t =2.6, t= Distribution of M_t, t= Distribution of M_t, t= n n

19 Ewolucja wartości oczekiwanej 10 Evolution of EHM_t L t

20 Ewolucja wariancji 10 Evolution of VarHM_tL t

21 Uwagi nt. przydatności Rodzina możliwych rozkładów zmiennych M t jest bardzo bogata i obejmuje rozkłady o skończonej jak i o nieskończonej liczbie wartości Czyste procesy urodzin pozwalają na modelowanie intensywności napływania szkód w zależności od dotychczasowej ich liczby Wydaje się jednak, że sama rodzina czystych procesów urodzin może być niewystarczająca. Propozycja bardziej adekwatnym modelem może być uogólnienie czystego procesu urodzin, w którym λ 1, λ 2 jest łańcuchem Markowa.

22 Bibliografia Cox, D. R., Renewal Theory, Methuen & Co Łochowski, R. On certain model of claim arrival, cho/lochowskiwiem09.pdf

23 Pytania, komentarze? DZIĘKUJĘ ZA UWAGĘ!