Matematyka finansowa w pakiecie Matlab

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Matematyka finansowa w pakiecie Matlab"

Transkrypt

1 Matematyka finansowa w pakiecie Matlab Wykład 3. Podstawowe obliczenia finansowe w Matlabie. Obligacje Bartosz Ziemkiewicz Wydział Matematyki i Informatyki UMK Kurs letni dla studentów studiów zamawianych na kierunku Matematyka w ekonomii i finansach Bartosz Ziemkiewicz Matematyka finansowa w pakiecie Matlab 1/55

2 Wartość pieniądza w czasie Jedną z podstawowych kwestii, którą zajmuje się matematyka finansowa jest porównywanie wartości pieniądza w różnych momentach czasu. Złotówkę, która posiadamy teraz, możemy wpłacić na bezpieczną lokatę bankową i za rok, dzięki odsetkom, wypłacić kwotę odpowiednio większą. Przyszła wartość naszej złotówki jest więc większa od obecnej. Z drugiej strony jeżeli wiemy, że za rok będziemy potrzebowali złotówki, możemy dziś wpłacić na konto mniejszą kwotę, która za rok po dopisaniu do niej odsetek, da nam potrzebną złotówkę. Wynika stąd, że obecna wartość tej złotówki jest mniejsza od przyszłorocznej. Bartosz Ziemkiewicz Matematyka finansowa w pakiecie Matlab 2/55

3 Podstawowe pojęcia K t kapitał posiadany w chwili czasu t. K 0 kapitał początkowy, czyli pierwotnie zainwestowaną kwotą pieniędzy. podstawowa jednostka czasu (okres bazowy) to 1 rok. K 1 K 0 zysk (roczny), albo odsetki (roczne). Stosunek zysku do zainwestowanego kapitału r = K 1 K 0 K 0 (1) nazywać będziemy stopą procentową lub stopą zwrotu (ang. interest rate, rate of return). Wzór (1) zapisujemy często w innej formie K 1 = K 0 + rk 0 = K 0 (1 + r). (1 + r) czynnik oprocentowujący Stopa procentowa jest ściśle związana z wybraną jednostką czasu. Zmiana tej jednostki prowadzi do innej wartości stopy procentowej. Bartosz Ziemkiewicz Matematyka finansowa w pakiecie Matlab 3/55

4 Stopy procentowe Na rynku funkcjonuje wiele różnych stóp procentowych. Najważniejsze polskie stopy procentowe to ustalane przez NBP stopy: referencyjna, lombardowa, depozytowa, redyskontowa, oraz ustalane przez 13 banków stopy WIBOR i WiWID. W naszych rozważaniach najczęściej będziemy posługiwali się tzw. stopą procentową wolną od ryzyka (ang. risk-free interest rate). Pojęcie to odnosi się do stopy, przy której udzielenie pożyczki lub lokata terminowa nie są zagrożone możliwością niewywiązania się drugiej strony takiej transakcji z warunków umowy. Jest to wielkość teoretyczna, w praktyce przyjmujemy najczęściej, że jest ona równa oprocentowaniu gwarantowanemu przez krótkoterminowe obligacje rządowe. Z reguły będziemy zakładać, że stopa ta jest stała w czasie i nie zależy od długości inwestowania. Będziemy zakładać, że oprocentowanie lokat i kredytów jest jednakowe. Jest to pewne uproszczenie, ale w stosunku do dużych i wiarygodnych inwestorów nie odbiega zbytnio od rzeczywistości. Bartosz Ziemkiewicz Matematyka finansowa w pakiecie Matlab 4/55

5 Kapitalizacja prosta Proces dopisywania odsetek do kapitału nazywamy kapitalizacją. Kapitalizacja prosta polega na obliczaniu odsetek od tego samego stałego kapitału początkowego. Same odsetki nie są kapitalizowane w następnych okresach. Możemy zakładać, że nie są one dopisywane do kapitału, ale są od razu wypłacane posiadaczowi tego kapitału. Schemat kapitalizacji prostej wygląda następująco: K 0, K 1 = K 0 + rk 0 = K 0 (1 + r), K 2 = K 1 + rk 0 = K 0 (1 + 2r),. K n = K n 1 + rk 0 = K 0 (1 + nr). Bartosz Ziemkiewicz Matematyka finansowa w pakiecie Matlab 5/55

6 Kapitalizacja złożona Kapitalizacja złożona polega na każdorazowym dopisywaniu odsetek do kapitału. Przynoszą one dodatkowy zysk w następnym okresie, ponieważ są również kapitalizowane. Schemat kapitalizacji złożonej wygląda tak: K 0, K 1 = K 0 + rk 0 = K 0 (1 + r), K 2 = K 1 (1 + r) = K 0 (1 + r) 2,. K n = K n 1 (1 + r) = K 0 (1 + r) n. W dalszej części stosować będziemy głównie kapitalizację złożoną. W obu opisanych modelach odsetki dopisywane były na końcu każdego okresu. Jest to tzw. kapitalizacja z dołu. Czasami rozważamy modele, w których odsetki dopisujemy na początku okresu, mówimy wówczas o kapitalizacji z góry. Bartosz Ziemkiewicz Matematyka finansowa w pakiecie Matlab 6/55

7 Kapitalizacja w podokresach Do tej pory zakładaliśmy, że odsetki dopisywane są jednorazowo na końcu każdego okresu (roku). Często okres kapitalizacji jest mniejszy od okresu stopy procentowej, tzn. odsetki dopisywane są częściej, np. raz w miesiącu. Mówimy wówczas o kapitalizacji w podokresach. W dalszym ciągu zakładać będziemy, że okres stopy procentowej = m okres kapitalizacji, gdzie m N. Najczęściej używane wartości m to: m = 1 m = 2 m = 4 m = 12 m = 360 (lub 365) m = 8640 kapitalizacja roczna, kapitalizacja półroczna, kapitalizacja kwartalna, kapitalizacja miesięczna, kapitalizacja dzienna, kapitalizacja godzinna. Bartosz Ziemkiewicz Matematyka finansowa w pakiecie Matlab 7/55

8 Stopa nominalna, a stopa względna Niech r będzie roczną stopą procentową, a kapitalizacja dokonywana będzie w m podokresach. Wówczas kapitał po n podokresach wynosić będzie: K n/m = K 0 ( 1 + r m) n. Wówczas r (m) = r/m nazywamy względną stopą procentową, a r nominalną stopą procentową (ang. nominal interest rate). Wartość kapitału po roku wynosi K 1 = K m/m = K 0 (1 + r m )m. Bartosz Ziemkiewicz Matematyka finansowa w pakiecie Matlab 8/55

9 Stopa nominalna, a stopa efektywna Niech r będzie roczną stopą procentową, a kapitalizacja dokonywana będzie w m podokresach. Efektywną stopą procentową (roczną) (ang. effective interest rate) nazywamy liczbę r (m) eff spełniającą równanie K 0 (1 + r (m) eff ) = K 0 ( 1 + r m) m. (2) Jest to taka wartość stopy procentowej, dla której zysk przy kapitalizacji rocznej jest taki sam jak zysk przy kapitalizacji w m podokresach z względną stopą r m. Z wzoru (2) łatwo wynika, że r (m) eff = ( 1 + m) r m 1. Możemy rozważać też problem odwrotny, przy ustalonej stopie efektywnej r (m) eff i ustalonej liczbie podokresów m znaleźć wartość stopy nominalnej r spełniającej równanie (2). Nietrudno zauważyć, że: [ ( ) ] r = m 1 + r (m) 1/m eff 1. Bartosz Ziemkiewicz Matematyka finansowa w pakiecie Matlab 9/55

10 Funkcje effrr i nomrr Matlab udostępnia dwie funkcje effrr i nomrr służące do zamiany stopy nominalnej na efektywną i odwrotnie. Przyjmują one dwa parametry: stopę procentową, którą chcemy zamienić i liczbę podokresów. Załóżmy, że nominalna stopa procentowa wynosi r = 0,08. W przypadku kapitalizacji miesięcznej stopa efektywna wynosi > > effrr(0.08,12) ans = a w przypadku kapitalizacji dziennej > > effrr(0.08,360) ans = Wyznaczymy ponownie nominalną stopę procentową: > > nomrr(0.0830,12) ans = Bartosz Ziemkiewicz Matematyka finansowa w pakiecie Matlab 10/55

11 Kapitalizacja ciągła Wraz ze wzrostem liczby podokresów stopa efektywna rośnie. Możemy wyobrazić sobie, że kapitalizację wykonujemy w każdej chwili, tzn. przechodzimy z m do nieskończoności. Efektywna stopa procentowa rośnie wówczas do [( r eff = lim 1 + r m ] m m) 1 = e r 1, a czynnik oprocentowujący wynosi 1 + r eff = e r. Liczbę r nazywamy wówczas intensywnością oprocentowania. Dopisywanie odsetek w sposób ciągły może wydawać się nieco sztuczne, lecz upraszcza wiele obliczeń. Możemy np. wyznaczyć wartość kapitału w dowolnej chwili t, a nie tylko w momentach będących wielokrotnościami okresu kapitalizacji. Nietrudno zauważyć, że wynosi ona K t = e rt K 0. Bartosz Ziemkiewicz Matematyka finansowa w pakiecie Matlab 11/55

12 Dyskontowanie Do tej pory zajmowaliśmy się odpowiedzią na pytanie jaka będzie wartość naszego kapitału w przyszłości. Możemy odwrócić problem jaką kwotę musimy mieć teraz, aby w przyszłości wartość naszego kapitału wynosiła K t. Inaczej mówiąc, jaka jest obecna wartość tego kapitału. Jeżeli stosujemy kapitalizację złożoną z roczną stopą procentową r, to z podanych wcześniej wzorów wynika, że K 0 = K n (1 + r) n. Operację obliczania wartości obecnej nazywamy dyskontowaniem, a liczbę (1 + r) 1 czynnikiem dyskontującym (ang. discount factor). Jeżeli stosujemy ciągły model kapitalizacji z intensywnością oprocentowania r, to K 0 = e rt K t. Bartosz Ziemkiewicz Matematyka finansowa w pakiecie Matlab 12/55

13 Strumień pieniądza Strumieniem pieniądza (ang. cash flow)nazywamy ciąg płatności C k w określonych momentach czasu t = t 0, t 1,..., t k. Najczęściej momenty te są równomiernie rozłożone, płatności następują np. na końcu każdego roku, wówczas t = 0, 1, 2,..., k. Przyjmujemy następującą konwencję: jeżeli my płacimy komuś, to płatność zapisujemy ze znakiem minus (C k < 0), jeżeli ktoś nam płaci, to ze znakiem plus (C k > 0). Bartosz Ziemkiewicz Matematyka finansowa w pakiecie Matlab 13/55

14 Wartość przyszła (FV) Niech C 0, C 1,..., C n będzie strumieniem pieniądza. Załóżmy, że C 0 oznacza płatność dokonaną w chwili początkowej t = 0, C 1 płatność dokonaną na końcu pierwszego roku, C 2 drugiego itd. Niech r będzie roczną stopą procentową. Załóżmy, że stosujemy kapitalizację złożoną roczną z dołu. Ile będzie wynosić wartość tego strumienia na końcu n-tego roku? Wielkość tę nazywamy wartością przyszłą strumienia i oznaczamy symbolem FV (z ang. future value). Jak łatwo sprawdzić, w naszym przypadku FV n = n C k (1 + r) n k. (3) k=0 Widzimy, że płatność początkowa jest kapitalizowana n razy, następna n 1 razy, a ostatnia płatność C n w ogóle nie jest kapitalizowana. Bartosz Ziemkiewicz Matematyka finansowa w pakiecie Matlab 14/55

15 Wartość przyszła (FV) W przypadku, gdy stosujemy inny model kapitalizacji, wzór (3) zmienia się. Jeżeli np. płatności dokonywane są m razy do roku w równych odstępach czasu, to wartość przyszła po n latach wynosić będzie mn FV n = C k (1 + r/m) nm k. k=0 Jeżeli płatności nie są dokonywane regularnie, ale w dowolnych momentach t 0, t 1,..., t n, to wzór może przyjąć skomplikowaną postać. W takim przypadku wygodniej jest użyć ciągłego modelu kapitalizacji. Otrzymujemy wówczas FV tn = n C k e tn t k. k=0 Bartosz Ziemkiewicz Matematyka finansowa w pakiecie Matlab 15/55

16 Funkcja fvvar Do obliczania wartości przyszłej służy funkcja fvvar(str,r) str wektor zawierający kolejne płatności wykonywane w regularnych odstępach, na końcu każdego okresu, r okresowa stopa procentowa. Funkcja zwraca wartość przyszłą strumienia w momencie dokonywania ostatniej płatności. Załóżmy, że roczna stopa procentowa wynosi 7%. Wpłacamy na konto najpierw 100 zł, po roku 300 zł, a po kolejnym roku 200 zł. Jaka będzie wartość naszej lokaty po dokonaniu ostatniej wpłaty, a jaka po 4 latach od dokonania pierwszej wpłaty? > > fvvar([ ],0.07) ans = > > fvvar([ ],0.07) ans = Bartosz Ziemkiewicz Matematyka finansowa w pakiecie Matlab 16/55

17 Funkcja fvvar Funkcja fvvar pozwala obliczać wartość przyszłą również w przypadku, gdy wpłaty nie są dokonywane regularnie. Wywołujemy ją wówczas z dodatkowym parametrem wektorem zawierającym daty, w których dokonywane są płatności. Obliczmy wartość przyszłą następującego strumienia: 10 grudnia zł 13 lutego zł, 14 maja zł, 5 listopada zł, 2 grudnia zł. Jaka będzie wartość tego strumienia 2 grudnia 2010 roku, jeżeli roczna stopa procentowa wynosi 8%? > > str = [ ]; > > r = 0.08; > > daty = [ 10-Dec-2007 ; 13-Feb-2008 ; 14-May-2008 ; 05-Nov-2009 ; 02-Dec-2010 ]; > > fvvar(str,r,daty) ans = Bartosz Ziemkiewicz Matematyka finansowa w pakiecie Matlab 17/55

18 Funkcja fvfix Jeżeli płatności mają zawsze tę samą wartość i dokonywane są regularnie, to do obliczania wartości przyszłej wygodniej jest użyć funkcji fvfix(r,n,c,c0,d). Jej trzy pierwsze parametry są obowiązkowe, dwa kolejne opcjonalne: r okresowa stopa procentowa, n liczba okresów, C wysokość pojedynczej płatności. Opcjonalnie możemy podać C0 początkowa wartość strumienia (domyślnie C0=0) d czy płatności na końcu każdego okresu (d=0, wartość domyślna), czy na początku (d=1). Załóżmy, że początkowy stan konta to 1500 zł. Przez 20 lat na końcu każdego miesiąca wpłacamy 200 zł. Roczna stopa procentowa jest stała i wynosi 8%, a odsetki dopisywane są co miesiąc, obliczyć stan lokaty po 20 latach. > > fvfix(0.08/12, 12 * 20, 200, 1500 ) ans = Bartosz Ziemkiewicz Matematyka finansowa w pakiecie Matlab 18/55

19 Wartość obecna (PV) Obecna wartość (ang. present value (PV)) przyszłej kwoty pieniądza to ilość pieniędzy, jaką należy wpłacić dziś na rachunek bankowy, aby w przyszłości otrzymać daną kwotę. Inaczej mówiąc jest to zdyskontowana wartość tej kwoty. Wartość obecna strumienia pieniądza jest równa sumie wartości obecnych poszczególnych płatności należących do tego strumienia. Niech C 0, C 1,..., C n będzie strumieniem pieniądza, a r będzie roczną stopą procentową. Zakładamy, że stosujemy kapitalizację złożoną roczną z dołu. Wówczas PV = n k=0 C k (1 + r) k. Jeżeli stosujemy ciągły model kapitalizacji, a strumień składa się z płatności wykonywanych w momentach t 0, t 1,..., t n, to n PV = C k e rt k. k=0 Bartosz Ziemkiewicz Matematyka finansowa w pakiecie Matlab 19/55

20 Wartość obecna (PV) Warto zauważyć, że między wartością przyszłą FV n, a wartością obecną PV zachodzą związki w przypadku dyskretnym i w przypadku ciągłym. FV n = PV (1 + r) n FV t = PV e rt. W Matlabie do obliczania wartości obecnej służą funkcje pvvar(str,r,daty) i pvfix(r,n,c,cn,d). Używamy ich w sposób podobny do funkcji fvvar i fvfix. Jedyna różnica to czwarty parametr funkcji pvfix. Cn oznacza dodatkową płatność dokonywaną w ostatnim momencie. Bartosz Ziemkiewicz Matematyka finansowa w pakiecie Matlab 20/55

21 Wartość obecna netto (NPV) Wartość obecna jest często stosowanym kryterium opłacalności inwestycji. Załóżmy, że w czasie trwania inwestycji ma miejsce n+1 przepływów gotówki C 0, C 1,..., C n w momentach 0, 1, 2,... n. Najczęściej (choć nie zawsze) C 0 < 0 na początku inwestujemy pieniądze, i C k 0 dla k 1 inwestycja przynosi nam zysk. Wartością obecną netto (ang. net present value (NPV)) tej inwestycji nazywamy liczbę NPV = n k=0 C k (1 + r) k. Jeżeli NPV < 0, to inwestycja jest nieopłacalna, lepiej wpłacić pieniądze na lokatę bankową. Jeżeli NPV > 0, to warto zainwestować. Bartosz Ziemkiewicz Matematyka finansowa w pakiecie Matlab 21/55

22 Wartość obecna netto (NPV) przykład Znajomy proponuje nam żebyśmy zainwestowali w jego firmę zł. Obiecuje, że w pięciu kolejnych latach inwestycja przyniesie nam zyski równe odpowiednio 3000, 2500, 3000, 2000 i 2000 zł. Czy warto przyjąć propozycję, jeżeli roczna stopa procentowa wynosi a) 7%, b) 10%? > > str = [ ]; > > r = 0.07; > > pvvar(str,r) ans = Wynika stąd, że warto zainwestować. Czy na pewno? Bartosz Ziemkiewicz Matematyka finansowa w pakiecie Matlab 22/55

23 Wartość obecna netto (NPV) przykład Sprawdźmy. Jeżeli wpłacimy zł na lokatę bankową, to po 5 latach otrzymamy: > > 10000*(1+0.07)ˆ 5 ans = Jeżeli zainwestujemy w firmę znajomego, a wypłacane zyski będziemy wpłacać na lokatę, to po 5 latach jej stan wynosić będzie: > > fvvar([ ],r) ans = Zysk jest o około 544,18 zł większy. Warto zauważyć, że taka jest właśnie przyszła wartość naszej inwestycji > > fvvar(str,r) ans = Bartosz Ziemkiewicz Matematyka finansowa w pakiecie Matlab 23/55

24 Wartość obecna netto (NPV) przykład Sprawdźmy teraz, czy sytuacja zmieni się, jeżeli stopa procentowa wzrośnie do 10%. > > r = 0.1; > > pvvar(str,r) ans = Widzimy, że inwestycja przestała być opłacalna. Rzeczywiście, zł wpłacone na lokatę po 5 latach da nam > > 10000*(1+0.1)ˆ 5 ans = Wpłacanie na lokatę zysków z inwestycji przyniesie tylko > > 3000*(1.1)ˆ *(1.1)ˆ *(1.1)ˆ *(1.1)+2000 ans = Bartosz Ziemkiewicz Matematyka finansowa w pakiecie Matlab 24/55

25 Wartość obecna netto (NPV) przykład Ostatni przykład pokazuje, że dla niższej stopy procentowej bardziej opłacalna była inwestycja w firmę, a dla wyższej wpłata pieniędzy na lokatę bankową. Możemy sobie zadać pytanie, czy istnieje taka wartość stopy procentowej, że obie te inwestycje będą jednakowo opłacalne? Inaczej mówiąc, czy istnieje taka wartość stopy procentowej, dla której wartość obecna inwestycji jest równa zero? Bartosz Ziemkiewicz Matematyka finansowa w pakiecie Matlab 25/55

26 Wewnętrzna stopa zwrotu (IRR) Niech C 0, C 1,..., C n będzie strumieniem pieniądza. Wewnętrzną stopą zwrotu (ang. internal rate of return (IRR)) nazywamy taką wartość stopy procentowej, dla której obecna wartość strumienia jest równa zero. Inaczej mówiąc, jest to wartość r spełniająca równanie n C k NPV = (1 + r) k = 0 k=0 lub, w przypadku kapitalizacji ciągłej, NPV = n C k e rt k = 0. k=0 W Matlabie do wyznaczania wewnętrznej stopy zwrotu służy funkcja irr. Bartosz Ziemkiewicz Matematyka finansowa w pakiecie Matlab 26/55

27 Wewnętrzna stopa zwrotu (IRR) przykład Wyznaczymy wewnętrzną stopę zwrotu dla strumienia z poprzedniego przykładu: > > irr([ ]) ans = Rzeczywiście, > > pvvar([ ],ans) ans = 0 Przy takiej stopie procentowej nie ma znaczenia, czy zainwestujemy w firmę znajomego, czy wpłacimy pieniądze na lokatę bankową. Bartosz Ziemkiewicz Matematyka finansowa w pakiecie Matlab 27/55

28 Wewnętrzna stopa zwrotu (IRR) wady Niestety przy obliczaniu wewnętrznej stopy zwrotu mogą pojawić się problemy. Równanie NPV = n k=0 C k (1 + r) k = 0 (4) może nie mieć rozwiązania, może mieć więcej niż jedno rozwiązanie, może mieć też tylko rozwiązania zespolone. Wiadomo jednak, że jeżeli wszystkie wpłaty nastąpiły przed wypłatami, oraz przynajmniej jedna wpłata i jedna wypłata były różne od zera, to równanie (4) ma jednoznaczne rozwiązanie rzeczywiste. Wewnętrzna stopa zwrotu może posłużyć jako kryterium opłacalności inwestycji. Jeżeli jest ona wyższa od obowiązującej na rynku stopy procentowej, to inwestycja warta jest rozważenia, w przeciwnym wypadku lepiej włożyć pieniądze do banku. Bartosz Ziemkiewicz Matematyka finansowa w pakiecie Matlab 28/55

29 Wewnętrzna stopa zwrotu (IRR) wady Wewnętrznej stopy zwrotu nie należy natomiast używać do porównywania różnych projektów. Może się zdarzyć, że projekt A ma wyższą IRR niż projekt B, a mimo to bardziej opłacalna jest inwestycja w ten drugi projekt. Przy obliczaniu IRR zakłada się, że wszystkie zyski, jakie przynosi projekt, są inwestowane w ten sam projekt lub w inny o takiej samej rentowności. Często jednak zyski inwestuje się w inne projekty o niższej stopie zwrotu. Również koszty pozyskania kapitału są zazwyczaj różne od IRR. Bardziej wiarygodnym kryterium oceny może być tzw. zmodyfikowana wewnętrzna stopa zwrotu (ang. modified internal rate of return (MIRR)). Uwzględnia ona wymienione wyżej problemy, ma również tę zaletę, że zawsze jest jednoznacznie wyznaczona. Aby obliczyć MIRR w Matlabie, używamy funkcji mirr(str,r1,r2), gdzie r1 jest stopą według której pozyskujemy kapitał, a r2 stopą według której reinwestujemy zyski z projektu. Bartosz Ziemkiewicz Matematyka finansowa w pakiecie Matlab 29/55

30 Spłata kredytu Najważniejszymi wartościami charakteryzującymi kredyt są: jego wysokość P, oprocentowanie r, czas spłaty n, wysokość raty C. Ograniczymy się do przypadku, gdy oprocentowanie jest stałe przez cały okres spłaty pożyczki, raty są płacone w równych odstępach czasu i są równej wysokości. Wówczas parametry charakteryzujące kredyt są powiązane następującym wzorem: P = n k=1 C (1 + r) k. (5) Jeżeli znamy trzy parametry kredytu możemy obliczyć czwarty. Bartosz Ziemkiewicz Matematyka finansowa w pakiecie Matlab 30/55

31 Funkcja payper Funkcja payper(r,n,pv,fv,d) dla danej okresowej stopy procentowej r, liczby okresów spłaty n oraz obecnej wysokości kredytu pv wyznacza wysokość raty. Opcjonalnie możemy podać wartość kredytu fv, którą chcemy osiągnąć po n okresach, domyślnie jest to 0 (tzn. chcemy spłacić cały kredyt) oraz informację, czy raty będziemy płacić na końcu każdego okresu (d=0, wartość domyślna), czy na początku d=1. Załóżmy, że bierzemy kredyt w wysokości zł i musimy go spłacić w ciągu 5 lat. Ile powinna wynosić miesięczna rata, jeżeli roczna stopa procentowa wynosi 10%? > > payper(0.1/12, 5*12, 10000) ans = Miesięczna rata wynosi nieco ponad 212 zł. Bartosz Ziemkiewicz Matematyka finansowa w pakiecie Matlab 31/55

32 Funkcja annuterm Jeżeli znamy obecną wysokość kredytu pv, wysokość pojedynczej raty c oraz okresową stopę procentową r, to za pomocą funkcji annuterm(r,c,pv,fv,d) możemy obliczyć jak długo będziemy musieli spłacać kredyt. Pozostałe dwa parametry tej funkcji są opcjonalne i ich znaczenie jest takie samo jak w przypadku funkcji payper. Tak samo jak w poprzednim przykładzie bierzemy kredyt w wysokości zł, roczna stopa procentowa wynosi 10%, a wysokość miesięcznej raty to 212,47 zł. Jak długo będziemy musieli spłacać taki kredyt? > > annuterm(0.1/12,212.47,-10000) ans = Kredyt będziemy spłacać przez 60 miesięcy, czyli 5 lat. Wynik ten zgadza się z poprzednim przykładem. Zauważmy, że wysokość kredytu podaliśmy ze znakiem minus. Bartosz Ziemkiewicz Matematyka finansowa w pakiecie Matlab 32/55

33 Funkcja annurate Załóżmy teraz, że znane są wysokość kredytu pv, wysokość raty c oraz liczba okresów spłaty n. Na podstawie tych danych za pomocą funkcji annurate(n,c,pv,fv,d) możemy wyznaczyć wysokość okresowej stopy procentowej. Ponownie bierzemy kredyt w wysokości zł i spłacamy go w całości w ciągu 5 lat w miesięcznych ratach w wysokości 212,47 zł. Ile wynosi oprocentowanie tego kredytu? > > annurate(5*12, , 10000) ans = Jest to miesięczna stopa procentowa, aby otrzymać roczną trzeba ją przemnożyć przez 12. > > ans * 12 ans = Czyli około 10%. Bartosz Ziemkiewicz Matematyka finansowa w pakiecie Matlab 33/55

34 Funkcja pvfix (raz jeszcze) Pozostała jeszcze jedna możliwość: znamy wysokość raty, oprocentowanie i okres spłaty kredytu. Za pomocą omawianej wcześniej funkcji pvfix możemy obliczyć początkową wysokość kredytu: > > pvfix(0.1/12, 5*12, ) ans = Bartosz Ziemkiewicz Matematyka finansowa w pakiecie Matlab 34/55

35 Funkcja amortize Funkcja amortize(r,n,pv,fv,d) przyjmuje takie same argumenty jak funkcja payper, ale pozwala uzyskać bardziej szczegółowe informacje na temat miesięcznej raty. Wiadomo, że każda rata składa się z części kapitałowej przeznaczonej na spłatę podstawowej pożyczki oraz z części odsetkowej przeznaczonej na spłatę odsetek. Funkcja amortize zwraca cztery wartości. Dwie pierwsze to n-elementowe wektory zawierające części kapitałowe i odsetkowe każdej z rat. Trzecia ze zwracanych wartości to również n-elementowy wektor zawierający wartości długu bieżącego po każdym okresie (czyli ile zostało jeszcze do spłaty), a czwarta to skalar zawierający wysokość miesięcznej raty. Bartosz Ziemkiewicz Matematyka finansowa w pakiecie Matlab 35/55

36 Funkcja amortize Sprawdźmy, jak zmieniają się części odsetkowe i kapitałowe raty dla danych z naszego przykładu. Aby zaoszczędzić miejsce, podajemy tylko dwie pierwsze i dwie ostatnie wartości każdego z 60-elementowych wektorów. > > [rkap rods biez rata] = amortize(0.1/12, 5*12, 10000) rkap = rods = biez = rata = Wraz ze spłatą długu, część kapitałowa raty rośnie, a odsetkowa maleje. Na początku odsetki stanowią około 40% raty, na końcu jest to już niecały 1%. Wartość bieżąca długu maleje do zera. Bartosz Ziemkiewicz Matematyka finansowa w pakiecie Matlab 36/55

37 Obligacje Obligacja (ang. bond) jest papierem wartościowym, w którym emitent (wystawca) stwierdza istnienie określonego zobowiązania finansowego w stosunku do nabywcy obligacji, zobowiązując się jednocześnie do jego spełnienia w określony sposób i w określonym czasie. Innymi słowy emitent potwierdza zaciągnięcie pożyczki w określonej kwocie i zobowiązuje się do jej zwrotu w określonym terminie. W odróżnieniu od akcji obligacje nie dają ich posiadaczowi żadnych uprawnień typu współwłasność, dywidenda, czy uczestnictwo w walnych zgromadzeniach. Obligacje mogą być emitowane przez skarb państwa, samorządy oraz przedsiębiorstwa. Bartosz Ziemkiewicz Matematyka finansowa w pakiecie Matlab 37/55

38 Obligacje Obligacje emitowane są z określoną wartością nominalną (ang. face value, par value, principal). Jest to suma, jaką emitent zobowiązuje się wypłacić posiadaczowi obligacji po upływie terminu wykupu (ważności) (ang. maturity date). Dodatkowo co pewien ustalony okres (np. co rok lub co miesiąc) posiadaczowi obligacji wypłaca się odsetki ze względów historycznych nazywane kuponami (ang. coupons). Kupony przynoszą posiadaczowi pewien stały dochód, dlatego obligacje zaliczamy do tzw. fixed income securities. (Czasami dochód ten zmienia się, wysokość kuponu może zależeć np. od aktualnej stopy procentowej.) Istnieją również tzw. obligacje zerokuponowe (ang. zero-coupon bonds), od których nie otrzymuje się odsetek. Po upływie terminu wykupu posiadacz obligacji otrzymuje od emitenta kwotę równą wartości nominalnej. Takie obligacje sprzedawane są z dyskontem, tzn. po cenie niższej od nominalnej. Bartosz Ziemkiewicz Matematyka finansowa w pakiecie Matlab 38/55

39 Obligacje Obligacji nie musimy kupować bezpośrednio od ich wystawcy w momencie ich emisji, nie musimy ich też trzymać aż do momentu wykupu. Dlatego musimy odróżniać datę emisji (ang. issue date) od daty dokonania transakcji kupna-sprzedaży (ang. settlement date). Funkcjonuje dobrze rozwinięty wtórny rynek obligacji, na którym możemy je kupować i sprzedawać w dowolnym momencie. Pojawia się zatem problem właściwej wyceny obligacji. Bartosz Ziemkiewicz Matematyka finansowa w pakiecie Matlab 39/55

40 Cena sprawiedliwa i arbitraż Zanim zajmiemy się wyceną obligacji musimy się zastanowić, jaka jest właściwa definicja ceny instrumentu finansowego i jakie warunki powinna ona spełniać. W matematyce finansowej najczęściej korzystamy z pojęcia tzw. ceny sprawiedliwej (ang. fair price). Nazywamy tak cenę, która nie faworyzuje żadnej ze stron transakcji. Sprzedaż czy kupno po tej cenie nie powinny przynieść zysku ani straty. Inaczej mówiąc, jest to cena niedopuszczająca możliwości arbitrażu (ang. arbitrage), czyli osiągania zysku bez ponoszenia ryzyka. Bartosz Ziemkiewicz Matematyka finansowa w pakiecie Matlab 40/55

41 Cena sprawiedliwa i arbitraż przykład Jeżeli w banku A roczna stopa oprocentowania kredytów wynosi 10%, a w banku B roczna stopa oprocentowania depozytów wynosi 12%, to możemy zaciągnąć kredyt w banku A i wpłacić całą otrzymaną kwotę do banku B. Po upływie roku likwidujemy lokatę i zwracamy kredyt. Z każdej pożyczonej złotówki zostaną nam dwa grosze. Osiągnęliśmy więc zysk i to bez angażowania środków własnych. Przykład ten uzasadnia inną często spotykaną definicją arbitrażu. Jest to taka strategia gry rynkowej, w której startując z zerowego kapitału początkowego, nasz kapitał końcowy na pewno nie będzie ujemny, a z niezerowym prawdopodobieństwem będzie dodatni. Czyli na pewno nie stracimy, a być może nawet zyskamy. W praktyce na rynku występują możliwości arbitrażu, ale prawa rynku szybko je eliminują. Bank A po stwierdzeniu wzmożonego popytu na kredyty podniesie ich oprocentowanie, a duży napływ gotówki do banku B spowoduje spadek oprocentowania lokat i po niedługim czasie obie stopy procentowe powinny się wyrównać. Bartosz Ziemkiewicz Matematyka finansowa w pakiecie Matlab 41/55

42 Wycena obligacji zerokuponowych Rozważmy obligację zerokuponową, o wartości nominalnej F. Załóżmy, że kupujemy ją dokładnie rok przed terminem ważności po cenie P. Roczna stopa zwrotu naszej inwestycji wynosi oczywiście r = F P P. Jeżeli to F i r są ustalone, to po przekształceniu otrzymamy wzór na bieżącą cenę obligacji P = F 1 + r. (6) Pozostaje pytanie: jaką wartość r powinniśmy wstawić do powyższego wzoru, aby otrzymana cena P była ceną sprawiedliwą? Pokażemy, że r powinno być równe obowiązującej na rynku stopie procentowej wolnej od ryzyka. W praktyce często mamy do czynienia z sytuacją odwrotną. To ustalona przez skarb państwa cena obligacji wyznacza stopę procentową wolną od ryzyka. Bartosz Ziemkiewicz Matematyka finansowa w pakiecie Matlab 42/55

43 Wycena obligacji zerokuponowych Załóżmy najpierw, że obligacje są sprzedawane po cenie P 1 niższej niż ta określona wzorem (6), tzn. P 1 < P = F 1 + r. Wówczas możemy pożyczyć kwotę P 1 i kupić za nią jedną obligację. Po roku za obligacje otrzymamy F i zwracamy dług, który wraz z odsetkami wynosi P 1 (1 + r). Ponieważ P 1 < P, to F P 1 (1 + r) > F P(1 + r) = 0. Widzimy, że udało nam się osiągnąć zysk bez żadnego wkładu własnego. Istnieje zatem możliwość arbitrażu. Bartosz Ziemkiewicz Matematyka finansowa w pakiecie Matlab 43/55

44 Wycena obligacji zerokuponowych Załóżmy, że obligacje sprzedawane są po cenie P 1 wyższej niż P P 1 > P = F 1 + r. Tym razem zamiast gotówki pożyczamy jedną obligację i sprzedajemy ją po cenie P 1. Jest to tzw. krótka sprzedaż (ang. short selling). W praktyce jest ona obłożona wieloma ograniczeniami, ale w modelach teoretycznych zwykle zakłada się, że jest ona dopuszczalna. Pieniądze otrzymane ze sprzedaży obligacji wpłacamy na lokatę. Po roku jej wartość wzrośnie do P 1 (1 + r). Po oddaniu poprzedniemu właścicielowi obligacji jej wartości nominalnej F zostaje nam kwota P 1 (1 + r) F > P(1 + r) F = 0. Osiągnęliśmy zysk bez żadnego wkładu własnego. Wynika stąd, że P określone wzorem (6) jest jedyną ceną niedającą możliwości arbitrażu, czyli ceną sprawiedliwą. Bartosz Ziemkiewicz Matematyka finansowa w pakiecie Matlab 44/55

45 Wycena obligacji kuponowych Obligacje kuponowe przynoszą posiadaczowi pewien dodatkowy dochód wypłacany przed terminem wykupu. Wysokość tego dochodu najczęściej wyraża się jako pewien procent nominalnej wartości obligacji, nazywany stopą oprocentowania obligacji (ang. coupon rate). Jeżeli np. nominalna wartość obligacji wynosi 100 zł, a jej stopa oprocentowania 8%, to posiadacz obligacji co roku otrzyma 8 zł, a w terminie wykupu 108 zł (wartość nominalna plus ostatni kupon). Zdarza się, że kupony wypłacane są częściej, np. co pół roku. Wówczas posiadacz otrzymuje 4 zł co 6 miesięcy. Załóżmy, że wartość nominalna obligacji wynosi F, wysokość pojedynczego kuponu C, a do terminu wykupu zostało n lat. Postępując podobnie jak w przypadku obligacji zerokuponowych, można pokazać, że sprawiedliwa cena takiej obligacji wynosi: P = n k=1 C (1 + r) k + F (1 + r) n, gdzie r jest roczną Bartosz stopą Ziemkiewicz procentową. Matematyka finansowa w pakiecie Matlab 45/55

Elementy matematyki finansowej w programie Maxima

Elementy matematyki finansowej w programie Maxima Maxima-03_windows.wxm 1 / 8 Elementy matematyki finansowej w programie Maxima 1 Wartość pieniądza w czasie Umiejętność przenoszenia kwot pieniędzy w czasie, a więc obliczanie ich wartości na dany moment,

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa w pakiecie Matlab

Matematyka finansowa w pakiecie Matlab Matematyka finansowa w pakiecie Matlab Wykład 5. Wycena opcji modele dyskretne Bartosz Ziemkiewicz Wydział Matematyki i Informatyki UMK Kurs letni dla studentów studiów zamawianych na kierunku Matematyka

Bardziej szczegółowo

Paulina Drozda WARTOŚĆ PIENIĄDZA W CZASIE

Paulina Drozda WARTOŚĆ PIENIĄDZA W CZASIE Paulina Drozda WARTOŚĆ PIENIĄDZA W CZASIE Zmianą wartości pieniądza w czasie zajmują się FINANSE. Finanse to nie to samo co rachunkowość. Rachunkowość to opowiadanie JAK BYŁO i JAK JEST Finanse zajmują

Bardziej szczegółowo

System finansowy gospodarki. Zajęcia nr 6 Matematyka finansowa

System finansowy gospodarki. Zajęcia nr 6 Matematyka finansowa System finansowy gospodarki Zajęcia nr 6 Matematyka finansowa Rachunek rentowy (annuitetowy) Mianem rachunku rentowego określa się regularne płatności w stałych odstępach czasu przy założeniu stałej stopy

Bardziej szczegółowo

Papiery wartościowe o stałym dochodzie

Papiery wartościowe o stałym dochodzie Papiery wartościowe o stałym dochodzie Inwestycje i teoria portfela Strona 1 z 42 1. Wartość pieniądza w czasie Złotówka dzisiaj (którą mamy w ręku) jest więcej warta niż (przyrzeczona) złotówka w przyszłości,

Bardziej szczegółowo

Wartość przyszła pieniądza

Wartość przyszła pieniądza O koszcie kredytu nie można mówić jedynie na podstawie wysokości płaconych odsetek. Dla pożyczającego pieniądze najważniejszą kwestią jest kwota, jaką będzie musiał zapłacić za korzystanie z cudzych środków

Bardziej szczegółowo

1. Jaką kwotę zgromadzimy po 3 latach na lokacie bankowej jeśli roczna NSP wynosi 4%, pierwsza wpłata wynosi 300 zl i jest dokonana na poczatku

1. Jaką kwotę zgromadzimy po 3 latach na lokacie bankowej jeśli roczna NSP wynosi 4%, pierwsza wpłata wynosi 300 zl i jest dokonana na poczatku 1. Jaką kwotę zgromadzimy po 3 latach na lokacie bankowej jeśli roczna NSP wynosi 4%, pierwsza wpłata wynosi 300 zl i jest dokonana na poczatku miesiąca a każda następna miesięczna wpłata jest (a) Większa

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 13.12.2010 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LV Egzamin dla Aktuariuszy z 13 grudnia 2010 r. Część I

Matematyka finansowa 13.12.2010 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LV Egzamin dla Aktuariuszy z 13 grudnia 2010 r. Część I Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LV Egzamin dla Aktuariuszy z 13 grudnia 2010 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1. Pan

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 10.12.2012 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXII Egzamin dla Aktuariuszy z 10 grudnia 2012 r.

Matematyka finansowa 10.12.2012 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXII Egzamin dla Aktuariuszy z 10 grudnia 2012 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXII Egzamin dla Aktuariuszy z 10 grudnia 2012 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1.

Bardziej szczegółowo

Wartość przyszła pieniądza: Future Value FV

Wartość przyszła pieniądza: Future Value FV Wartość przyszła pieniądza: Future Value FV Jeśli posiadamy pewną kwotę pieniędzy i mamy możliwość ulokowania ich w banku na ustalony czas i określony procent, to kwota w przyszłości (np. po 1 roku), zostanie

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 03.10.2011 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LVIII Egzamin dla Aktuariuszy z 3 października 2011 r.

Matematyka finansowa 03.10.2011 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LVIII Egzamin dla Aktuariuszy z 3 października 2011 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LVIII Egzamin dla Aktuariuszy z 3 października 2011 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut

Bardziej szczegółowo

Dariusz Wardowski Katedra Analizy Nieliniowej. Bankowość i metody statystyczne w biznesie - zadania i przykłady

Dariusz Wardowski Katedra Analizy Nieliniowej. Bankowość i metody statystyczne w biznesie - zadania i przykłady Wydział Matematyki Uniwersytetu Łódzkiego w Łodzi Dariusz Wardowski Katedra Analizy Nieliniowej Bankowość i metody statystyczne w biznesie - zadania i przykłady Łódź 2006 Rozdział 1 Oprocentowanie lokaty

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 15.12.2008 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XLVIII Egzamin dla Aktuariuszy z 15 grudnia 2008 r.

Matematyka finansowa 15.12.2008 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XLVIII Egzamin dla Aktuariuszy z 15 grudnia 2008 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy XLVIII Egzamin dla Aktuariuszy z 15 grudnia 2008 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1

Bardziej szczegółowo

Zajęcia 1. Pojęcia: - Kapitalizacja powiększenie kapitału o odsetki, które zostały przez ten kapitał wygenerowane

Zajęcia 1. Pojęcia: - Kapitalizacja powiększenie kapitału o odsetki, które zostały przez ten kapitał wygenerowane Zajęcia 1 Pojęcia: - Procent setna część całości; w matematyce finansowej korzyści płynące z użytkowania kapitału (pojęcie używane zamiennie z terminem: odsetki) - Kapitalizacja powiększenie kapitału o

Bardziej szczegółowo

Nauka o finansach. Prowadzący: Dr Jarosław Hermaszewski

Nauka o finansach. Prowadzący: Dr Jarosław Hermaszewski Nauka o finansach Prowadzący: Dr Jarosław Hermaszewski WARTOŚĆ PIENIĄDZA W CZASIE Wykład 4 Prawda ekonomiczna Pieniądz, który mamy realnie w ręku, dziś jest wart więcej niż oczekiwana wartość tej samej

Bardziej szczegółowo

3.1 Analiza zysków i strat

3.1 Analiza zysków i strat 3.1 Analiza zysków i strat Zakładamy że firma decyduje czy ma wdrożyć nowy produkt lub projekt. Firma musi rozważyć czy przyszłe zyski (dyskontowane w czasie) z tego projektu są większe niż koszty podniesione.

Bardziej szczegółowo

Inwestowanie w obligacje

Inwestowanie w obligacje Inwestowanie w obligacje Ile zapłacić za obligację aby uzyskać oczekiwaną stopę zwrotu? Jaką stopę zwrotu uzyskamy kupując obligację po danej cenie? Jak zmienią się ceny obligacji, kiedy Rada olityki ieniężnej

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 04.04.2011 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LVI Egzamin dla Aktuariuszy z 4 kwietnia 2011 r. Część I

Matematyka finansowa 04.04.2011 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LVI Egzamin dla Aktuariuszy z 4 kwietnia 2011 r. Część I Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LVI Egzamin dla Aktuariuszy z 4 kwietnia 2011 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1.

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 26.05.2014 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXVII Egzamin dla Aktuariuszy z 26 maja 2014 r. Część I

Matematyka finansowa 26.05.2014 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXVII Egzamin dla Aktuariuszy z 26 maja 2014 r. Część I Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXVII Egzamin dla Aktuariuszy z 26 maja 2014 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1. Przyjmijmy

Bardziej szczegółowo

Licz i zarabiaj matematyka na usługach rynku finansowego

Licz i zarabiaj matematyka na usługach rynku finansowego Licz i zarabiaj matematyka na usługach rynku finansowego Przedstawiony zestaw zadań jest przeznaczony dla uczniów szkół ponadgimnazjalnych i ma na celu ukazanie praktycznej strony matematyki, jej zastosowania

Bardziej szczegółowo

zaliczenie na ocenę z elementarnej matematyki finansowej I rok MF, 21 czerwca 2012 godz. 8:15 czas trwania 120 min.

zaliczenie na ocenę z elementarnej matematyki finansowej I rok MF, 21 czerwca 2012 godz. 8:15 czas trwania 120 min. zaliczenie na ocenę z elementarnej matematyki finansowej I rok MF, 21 czerwca 2012 godz. 8:15 czas trwania 120 min. Imię nazwisko:... numer indeksu:... nr zadania zad.1 zad.2 zad.3 zad.4 zad.5 zad.6 zad.7

Bardziej szczegółowo

Forward Rate Agreement

Forward Rate Agreement Forward Rate Agreement Nowoczesne rynki finansowe oferują wiele instrumentów pochodnych. Należą do nich: opcje i warranty, kontrakty futures i forward, kontrakty FRA (Forward Rate Agreement) oraz swapy.

Bardziej szczegółowo

Arkusz kalkulacyjny MS EXCEL ĆWICZENIA 3

Arkusz kalkulacyjny MS EXCEL ĆWICZENIA 3 Arkusz kalkulacyjny MS EXCEL ĆWICZENIA 3 Uwaga! Każde ćwiczenie rozpoczynamy od stworzenia w katalogu Moje dokumenty swojego własnego katalogu roboczego, w którym będziecie Państwo zapisywać swoje pliki.

Bardziej szczegółowo

PLANOWANIE I OCENA PRZEDSIĘWZIĘĆ INWESTYCYJNYCH

PLANOWANIE I OCENA PRZEDSIĘWZIĘĆ INWESTYCYJNYCH Mariusz Próchniak Katedra Ekonomii II, SGH PLANOWANIE I OCENA PRZEDSIĘWZIĘĆ INWESTYCYJNYCH Ekonomia menedżerska 1 2 Wartość przyszła (FV future value) r roczna stopa procentowa B kwota pieniędzy, którą

Bardziej szczegółowo

Finanse przedsiębiorstw mgr Kazimierz Linowski WyŜsza Szkoła Marketingu i Zarządzania

Finanse przedsiębiorstw mgr Kazimierz Linowski WyŜsza Szkoła Marketingu i Zarządzania Finanse przedsiębiorstw mgr Kazimierz Linowski WyŜsza Szkoła Marketingu i Zarządzania Wstęp Celem wykładu jest przedstawienie podstawowych pojęć oraz zaleŝności z zakresu zarządzania finansami w szczególności

Bardziej szczegółowo

www.pokonac-rynek.pl Wzory - matematyka finansowa Opracował: Łukasz Zymiera

www.pokonac-rynek.pl Wzory - matematyka finansowa Opracował: Łukasz Zymiera www.pokonac-rynek.pl Wzory - matematyka finansowa Opracował: Łukasz Zymiera Wartość pieniądza w czasie MWP mnożnik wartości przyszłej MWO mnożnik wartości obecnej MWPR mnożnik wartości przyszłej renty

Bardziej szczegółowo

Analiza opłacalności inwestycji v.

Analiza opłacalności inwestycji v. Analiza opłacalności inwestycji v. 2.0 Michał Strzeszewski, 1997 1998 Spis treści 1. Cel artykułu...1 2. Wstęp...1 3. Prosty okres zwrotu...2 4. Inflacja...2 5. Wartość pieniądza w czasie...2 6. Dyskontowanie...3

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 11.10.2004 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XXXIII Egzamin dla Aktuariuszy - 11 października 2004 r.

Matematyka finansowa 11.10.2004 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XXXIII Egzamin dla Aktuariuszy - 11 października 2004 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy XXXIII Egzamin dla Aktuariuszy - 11 października 2004 r. Część I Matematyka finansowa Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... WERSJA TESTU Czas egzaminu: 100 minut

Bardziej szczegółowo

Dariusz Wardowski Katedra Analizy Nieliniowej. Bankowość i metody statystyczne w biznesie - zadania i przykłady część II

Dariusz Wardowski Katedra Analizy Nieliniowej. Bankowość i metody statystyczne w biznesie - zadania i przykłady część II Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytetu Łódzkiego w Łodzi Dariusz Wardowski Katedra Analizy Nieliniowej Bankowość i metody statystyczne w biznesie - zadania i przykłady część II Łódź 2008 Rozdział

Bardziej szczegółowo

System finansowy gospodarki. Zajęcia nr 7 Krzywa rentowności, zadania (mat. fin.), marża w handlu, NPV i IRR, obligacje

System finansowy gospodarki. Zajęcia nr 7 Krzywa rentowności, zadania (mat. fin.), marża w handlu, NPV i IRR, obligacje System finansowy gospodarki Zajęcia nr 7 Krzywa rentowności, zadania (mat. fin.), marża w handlu, NPV i IRR, obligacje Krzywa rentowności (dochodowości) Yield Curve Krzywa ta jest graficznym przedstawieniem

Bardziej szczegółowo

I = F P. P = F t a(t) 1

I = F P. P = F t a(t) 1 6. Modele wartości pieniądza w czasie. Współczynnik akumulacji kapitału. Kapitalizacja okresowa, kapitalizacja ciągła. Wartość bieżąca, wartość przyszła. Pojęcia kredytu, renty, renty wieczystej, zadłużenia

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 30.09.2013 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXV Egzamin dla Aktuariuszy z 30 września 2013 r.

Matematyka finansowa 30.09.2013 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXV Egzamin dla Aktuariuszy z 30 września 2013 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXV Egzamin dla Aktuariuszy z 30 września 2013 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1.

Bardziej szczegółowo

STOPA PROCENTOWA I STOPA ZWROTU

STOPA PROCENTOWA I STOPA ZWROTU Piotr Cegielski, MAI, MRICS, CCIM STOPA PROCENTOWA I STOPA ZWROTU (Wybrane fragmenty artykułu opublikowanego w C.H. Beck Nieruchomości, numer 9 z 2011 r. Całość dostępna pod adresem internetowym: www.nieruchomosci.beck.pl)

Bardziej szczegółowo

Zadania do wykładu Matematyka bankowa 2

Zadania do wykładu Matematyka bankowa 2 Zadania do wykładu Matematyka bankowa 2 Dorota Klim Instytut Matematyki i Informatyki, PWSZ w Płocku E-mail address: klimdr@math.uni.ldz.pl http://math.uni.lodz.pl/ klimdr/ Bibliografia [1] M. Podgórska,

Bardziej szczegółowo

Matematyka bankowa 1 1 wykład

Matematyka bankowa 1 1 wykład Matematyka bankowa 1 1 wykład Dorota Klim Department of Nonlinear Analysis, Faculty of Mathematics and Computer Science, University of Łódź, Banacha 22, 90-238 Łódź, Poland E-mail address: klimdr@math.uni.ldz.pl

Bardziej szczegółowo

2.1 Wartość Aktualna Renty Stałej

2.1 Wartość Aktualna Renty Stałej 2.1 Wartość Aktualna Renty Stałej Zakładamy że dana osoba ma dostać kwotę o stałej wartości nominalnej x przez N okresów (zwykle miesięcznie lub rocznie), np. stała renta/emerytura. Zakładamy że pierwsza

Bardziej szczegółowo

Akademia Młodego Ekonomisty Matematyka finansowa dla liderów Albert Tomaszewski Grupy 1-2 Zadanie 1.

Akademia Młodego Ekonomisty Matematyka finansowa dla liderów Albert Tomaszewski Grupy 1-2 Zadanie 1. Grupy 1-2 Zadanie 1. Sprawdźcie ofertę dowolnych 5 banków i wybierzcie najlepszą ofertę oszczędnościową (lokatę lub konto oszczędnościowe). Obliczcie, jaki zwrot przyniesie założenie jednej takiej lokaty

Bardziej szczegółowo

Zadania do wykładu Matematyka bankowa 2

Zadania do wykładu Matematyka bankowa 2 Zadania do wykładu Matematyka bankowa 2 Dorota Klim Department of Nonlinear Analysis, Faculty of Mathematics and Computer Science, University of Łódź, Banacha 22, 90-238 Łódź, Poland E-mail address: klimdr@math.uni.ldz.pl

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 17.05.2003

Matematyka finansowa 17.05.2003 1. Na początku roku (w chwili t = 0 ) portfel pewnego funduszu inwestycyjnego składa się z 40% obligacji typu I oraz 60% obligacji typu II. O obligacjach typu I oraz typu II wiadomo, że: (i) obligacja

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 8.12.2014 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXIX Egzamin dla Aktuariuszy z 8 grudnia 2014 r. Część I

Matematyka finansowa 8.12.2014 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXIX Egzamin dla Aktuariuszy z 8 grudnia 2014 r. Część I Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXIX Egzamin dla Aktuariuszy z 8 grudnia 2014 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1.

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 15.06.2015 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXXI Egzamin dla Aktuariuszy z 15 czerwca 2015 r.

Matematyka finansowa 15.06.2015 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXXI Egzamin dla Aktuariuszy z 15 czerwca 2015 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXXI Egzamin dla Aktuariuszy z 1 czerwca 201 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1. Pracownik

Bardziej szczegółowo

4.5. Obligacja o zmiennym oprocentowaniu

4.5. Obligacja o zmiennym oprocentowaniu .5. Obligacja o zmiennym oprocentowaniu 71.5. Obligacja o zmiennym oprocentowaniu Aby wycenić kontrakt IRS musi bliżej przyjrzeć się obligacji o zmiennym oprocentowaniu (Floating Rate Note lub floater

Bardziej szczegółowo

Rachunek rent. Pojęcie renty. Wartość początkowa i końcowa renty. Renty o stałych ratach. Renta o zmiennych ratach. Renta uogólniona.

Rachunek rent. Pojęcie renty. Wartość początkowa i końcowa renty. Renty o stałych ratach. Renta o zmiennych ratach. Renta uogólniona. Temat: Rachunek rent. Pojęcie renty. Wartość początkowa i końcowa renty. Renty o stałych ratach. Renta o zmiennych ratach. Renta uogólniona. Zadanie Przez 2 lata na koniec każdego miesiąca wpłacamy 200

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 20.06.2011 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LVII Egzamin dla Aktuariuszy z 20 czerwca 2011 r.

Matematyka finansowa 20.06.2011 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LVII Egzamin dla Aktuariuszy z 20 czerwca 2011 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LVII Egzamin dla Aktuariuszy z 20 czerwca 2011 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1.

Bardziej szczegółowo

Inżynieria finansowa Wykład IV Kontrakty OIS/IRS/CRIS

Inżynieria finansowa Wykład IV Kontrakty OIS/IRS/CRIS Inżynieria finansowa Wykład IV Kontrakty OIS/IRS/CRIS Wydział Matematyki Informatyki i Mechaniki UW 25 października 2011 1 Kontrakty OIS 2 Struktura kontraktu IRS Wycena kontraktu IRS 3 Struktura kontraktu

Bardziej szczegółowo

OPISY PRODUKTÓW. Rabobank Polska S.A.

OPISY PRODUKTÓW. Rabobank Polska S.A. OPISY PRODUKTÓW Rabobank Polska S.A. Warszawa, marzec 2010 Wymiana walut (Foreign Exchange) Wymiana walut jest umową pomiędzy bankiem a klientem, w której strony zobowiązują się wymienić w ustalonym dniu

Bardziej szczegółowo

OPŁACALNOŚĆ INWESTYCJI

OPŁACALNOŚĆ INWESTYCJI 3/27/2011 Ewa Kusideł ekusidel@uni.lodz.pl 1 OPŁACALNOŚĆ INWESTYCJI www.kep.uni.lodz.pl\ewakusidel 3/27/2011 Inwestycje i ryzyko na rynku nieruchomości 2 Inwestycja Inwestycja Nakład na zwiększenie lub

Bardziej szczegółowo

Nazwa funkcji (parametry) Opis Parametry

Nazwa funkcji (parametry) Opis Parametry DB(koszt;odzysk;czas_życia;okres;miesiąc) DDB(koszt;odzysk;czas_życia;okres;współczynnik) Zwraca amortyzację środka trwałego w podanym okresie, obliczoną z wykorzystaniem metody równomiernie malejącego

Bardziej szczegółowo

MS Excel 2007 Kurs zaawansowany Funkcje finansowe. prowadzi: Dr inż. Tomasz Bartuś. Kraków: 2008 04 18

MS Excel 2007 Kurs zaawansowany Funkcje finansowe. prowadzi: Dr inż. Tomasz Bartuś. Kraków: 2008 04 18 MS Excel 2007 Kurs zaawansowany Funkcje finansowe prowadzi: Dr inż. Tomasz Bartuś Kraków: 2008 04 18 Funkcje finansowe Excel udostępnia cały szereg funkcji finansowych, które pozwalają na obliczanie min.

Bardziej szczegółowo

EFEKTYWNE OSZCZĘDZANIE Jędrzej Stachura 18.10.2014

EFEKTYWNE OSZCZĘDZANIE Jędrzej Stachura 18.10.2014 EFEKTYWNE OSZCZĘDZANIE Jędrzej Stachura 18.10.2014 Jak oszczędzać pieniądze? Przykładowe sposoby na zaoszczędzenie pieniędzy Zmień przekonania, zostań freeganem Za każdym razem gaś światło w pokoju Co

Bardziej szczegółowo

Inwestor musi wybrać następujące parametry: instrument bazowy, rodzaj opcji (kupna lub sprzedaży, kurs wykonania i termin wygaśnięcia.

Inwestor musi wybrać następujące parametry: instrument bazowy, rodzaj opcji (kupna lub sprzedaży, kurs wykonania i termin wygaśnięcia. Opcje na GPW (II) Wbrew ogólnej opinii, inwestowanie w opcje nie musi być trudne. Na rynku tym można tworzyć strategie dla doświadczonych inwestorów, ale również dla początkujących. Najprostszym sposobem

Bardziej szczegółowo

Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy XXXV Egzamin dla Aktuariuszy z 16 maja 2005 r. Część I Matematyka finansowa

Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy XXXV Egzamin dla Aktuariuszy z 16 maja 2005 r. Część I Matematyka finansowa Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy XXXV Egzamin dla Aktuariuszy z 6 maja 005 r. Część I Matematyka finansowa Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... WERSJA TESTU A Czas egzaminu: 00 minut . Inwestorzy

Bardziej szczegółowo

Zastosowanie matematyki w finansach i bankowości

Zastosowanie matematyki w finansach i bankowości Zastosowanie matematyki w finansach i bankowości Maciej Wolny I. Kalkulacja wartości pieniądza w czasie... 1 II. Nominalna, efektywna i realna stopa procentowa... 4 III. Spłata kredytów w równych i różnych

Bardziej szczegółowo

Ekonomika i Logistyka w Przedsiębiorstwach Transportu Morskiego wykład 06 MSTiL niestacjonarne (II stopień)

Ekonomika i Logistyka w Przedsiębiorstwach Transportu Morskiego wykład 06 MSTiL niestacjonarne (II stopień) dr Adam Salomon Ekonomika i Logistyka w Przedsiębiorstwach Transportu Morskiego wykład 06 MSTiL niestacjonarne (II stopień) program wykładu 06. Rola współczynnika procentowego i współczynnika dyskontowego

Bardziej szczegółowo

Darmowa publikacja dostarczona przez PatBank.pl - bank banków

Darmowa publikacja dostarczona przez PatBank.pl - bank banków Powered by TCPDF (www.tcpdf.org) Ten ebook zawiera darmowy fragment publikacji "Finanse dla każdego" Darmowa publikacja dostarczona przez PatBank.pl - bank banków Copyright by Złote Myśli &, rok 2008 Autor:

Bardziej szczegółowo

Procent prosty Def.: Procent prosty Zad. 1. Zad. 2. Zad. 3

Procent prosty Def.: Procent prosty Zad. 1. Zad. 2. Zad. 3 Procent prosty Zakładając konto w banku, decydujesz się na określone oprocentowanie tego rachunku. Zależy ono między innymi od czasu, w jakim zobowiązujesz się nie naruszać stanu konta, czyli tzw. lokaty

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 05.12.2005 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XXXVII Egzamin dla Aktuariuszy z 5 grudnia 2005 r.

Matematyka finansowa 05.12.2005 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XXXVII Egzamin dla Aktuariuszy z 5 grudnia 2005 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy XXXVII Egzamin dla Aktuariuszy z 5 grudnia 2005 r. Część I Matematyka finansowa Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... WERSJA TESTU A Czas egzaminu: 100 minut 1 1.

Bardziej szczegółowo

Dynamiczne metody oceny opłacalności inwestycji tonażowych

Dynamiczne metody oceny opłacalności inwestycji tonażowych Dynamiczne metody oceny opłacalności inwestycji tonażowych Dynamiczne formuły oceny opłacalności inwestycji tonażowych są oparte na założeniu zmiennej (malejącej z upływem czasu) wartości pieniądza. Im

Bardziej szczegółowo

II Etap egzaminu na Doradcę Inwestycyjnego Maj 2014. Zadanie 2

II Etap egzaminu na Doradcę Inwestycyjnego Maj 2014. Zadanie 2 II Etap egzaminu na Doradcę Inwestycyjnego Maj 2014 Zadanie 2 1/ Analizowane są dwie spółki Alfa i Gamma. Spółka Alfa finansuje swoją działalność nie korzystając z długu, natomiast spółka Gamma finansuje

Bardziej szczegółowo

Jak wybrać kredyt? Waldemar Wyka Instytut Matematyki Politechniki Łódzkiej. 22 listopada 2014

Jak wybrać kredyt? Waldemar Wyka Instytut Matematyki Politechniki Łódzkiej. 22 listopada 2014 Waldemar Wyka Instytut Matematyki Politechniki Łódzkiej 22 listopada 2014 Plan prezentacji 1 Powtórzenie 2 3 Plany spłaty długu - stałe raty Plany spłaty długu - stałe raty kapitałowe Plany spłaty długu

Bardziej szczegółowo

Akademia Młodego Ekonomisty

Akademia Młodego Ekonomisty Akademia Młodego Ekonomisty Matematyka finansowa wokół nas Michał Trzęsiok Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach 20 października 2014 r. Czym jest pieniądz? Pieniądz - dobro, które jest powszechnie akceptowane

Bardziej szczegółowo

Efektywność projektów inwestycyjnych

Efektywność projektów inwestycyjnych Podstawy praktycznych decyzji ekonomiczno- finansowych w przedsiębiorstwie Efektywność projektów inwestycyjnych mgr Kazimierz Linowski 1 Wstęp Celem wykładu jest przedstawienie podstawowych pojęć oraz

Bardziej szczegółowo

Funkcje w MS Excel. Arkadiusz Banasik arkadiusz.banasik@polsl.pl

Funkcje w MS Excel. Arkadiusz Banasik arkadiusz.banasik@polsl.pl Funkcje w MS Excel Arkadiusz Banasik arkadiusz.banasik@polsl.pl Plan prezentacji Wprowadzenie Funkcje matematyczne Funkcje logiczne Funkcje finansowe Podsumowanie 2/27 Wprowadzenie Funkcje: Są elementami

Bardziej szczegółowo

Praktyczne Seminarium Inwestowania w Nieruchomości

Praktyczne Seminarium Inwestowania w Nieruchomości Praktyczne Seminarium Inwestowania w Nieruchomości Kalkulator finansowy 10BII pierwsze kroki www.edukacjainwestowania.pl Kalkulator finansowy 10BII, oprócz typowych funkcji matematycznych i statystycznych,

Bardziej szczegółowo

1. Co to jest lokata? 2. Rodzaje lokat bankowych 3. Lokata denominowana 4. Lokata inwestycyjna 5. Lokata negocjowana 6. Lokata nocna (overnight) 7.

1. Co to jest lokata? 2. Rodzaje lokat bankowych 3. Lokata denominowana 4. Lokata inwestycyjna 5. Lokata negocjowana 6. Lokata nocna (overnight) 7. Lokaty 1. Co to jest lokata? Spis treści 2. Rodzaje lokat bankowych 3. Lokata denominowana 4. Lokata inwestycyjna 5. Lokata negocjowana 6. Lokata nocna (overnight) 7. Lokata progresywna 8. Lokata rentierska

Bardziej szczegółowo

Matematyka bankowa 2

Matematyka bankowa 2 1. Katedra Analizy Nieliniowej Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet Łódzki 2. Instytut Nauk Ekonomicznych i Informatyki Państwowa Wyższa Szkoła Zawodowa w Płocku Matematyka bankowa 2 średnio- i

Bardziej szczegółowo

Inwestycje finansowe. Wycena obligacji. Stopa zwrotu z akcji. Ryzyko.

Inwestycje finansowe. Wycena obligacji. Stopa zwrotu z akcji. Ryzyko. Inwestycje finansowe Wycena obligacji. Stopa zwrotu z akcji. yzyko. Inwestycje finansowe Instrumenty rynku pieniężnego (np. bony skarbowe). Instrumenty rynku walutowego. Obligacje. Akcje. Instrumenty pochodne.

Bardziej szczegółowo

ANALIZA WSKAŹNIKOWA. Prosta, szybka metoda oceny firmy.

ANALIZA WSKAŹNIKOWA. Prosta, szybka metoda oceny firmy. ANALIZA WSKAŹNIKOWA Prosta, szybka metoda oceny firmy. WSKAŹNIKI: Wskaźniki płynności Wskaźniki zadłużenia Wskaźniki operacyjności Wskaźniki rentowności Wskaźniki rynkowe Wskaźniki rynkowe: Szybkie wskaźniki

Bardziej szczegółowo

Podstawy finansów i inwestowania w biznesie. Wykład 6

Podstawy finansów i inwestowania w biznesie. Wykład 6 Podstawy finansów i inwestowania w biznesie Wykład 6 Plan wykładu Cechy inwestycji finansowych: dochód ryzyko płynność Depozyty bankowe Fundusze inwestycyjne 2015-11-05 2 Najważniejszymi cechami inwestycji

Bardziej szczegółowo

Obligacje, Swapy, FRAsy i Bob Citron

Obligacje, Swapy, FRAsy i Bob Citron Obligacje, Swapy, FRAsy i Bob Citron Andrzej Kulik andrzej.kulik@pioneer.com.pl +22 321 4106/ 609 691 729 1 Plan Przypomnienie informacji o rynku długu Rodzaje obligacji Ryzyko obligacji yield curve Duration

Bardziej szczegółowo

Forward kontrakt terminowy o charakterze rzeczywistym (z dostawą instrumentu bazowego).

Forward kontrakt terminowy o charakterze rzeczywistym (z dostawą instrumentu bazowego). Kontrakt terminowy (z ang. futures contract) to umowa pomiędzy dwiema stronami, z których jedna zobowiązuje się do kupna, a druga do sprzedaży, w określonym terminie w przyszłości (w tzw. dniu wygaśnięcia)

Bardziej szczegółowo

WSTĘP ZAŁOŻENIA DO PROJEKTU

WSTĘP ZAŁOŻENIA DO PROJEKTU UNIWERSYTET ZIELONOGÓRSKI WYDZIAŁ ZARZĄDZANIA Przykład analizy opłacalności przedsięwzięcia inwestycyjnego WSTĘP Teoria i praktyka wypracowały wiele metod oceny efektywności przedsięwzięć inwestycyjnych.

Bardziej szczegółowo

Wartość pieniądza w czasie (time value of money)

Wartość pieniądza w czasie (time value of money) Opracował Marcin Reszka Doradca Inwestycyjny nr 335 marcin@reszka.edu.pl Zeszyt I Wartość pieniądza w czasie (time value of money) Wszystkie prawa zastrzeżone. Nie zezwala się na kopiowania bez pisemnej

Bardziej szczegółowo

ZARZĄDZANIE FINANSAMI W PROJEKTACH C.D. OCENA FINANSOWA PROJEKTU METODY OCENY EFEKTYWNOŚCI FINANSOWEJ PROJEKTU. Sabina Rokita

ZARZĄDZANIE FINANSAMI W PROJEKTACH C.D. OCENA FINANSOWA PROJEKTU METODY OCENY EFEKTYWNOŚCI FINANSOWEJ PROJEKTU. Sabina Rokita ZARZĄDZANIE FINANSAMI W PROJEKTACH C.D. OCENA FINANSOWA PROJEKTU METODY OCENY EFEKTYWNOŚCI FINANSOWEJ PROJEKTU Sabina Rokita Podział metod oceny efektywności finansowej projektów 1.Metody statyczne: Okres

Bardziej szczegółowo

Inżynieria finansowa Ćwiczenia II Stopy Procentowe

Inżynieria finansowa Ćwiczenia II Stopy Procentowe Inżynieria finansowa Ćwiczenia II Stopy Procentowe Wydział Matematyki Informatyki i Mechaniki UW 11 października 2011 Zadanie 2.1 Oprocentowanie 3M pożyczki wynosi 5.00% (ACT/365). Natomiast, 3M bon skarbowy

Bardziej szczegółowo

Tabela oprocentowania dla konsumentów

Tabela oprocentowania dla konsumentów KONTA Konto Osobiste Oprocentowanie konta 0,10% Brak kwoty minimalnej. zmienne obowiązuje od 18.05.2015 r. Miesięczna kapitalizacja odsetek. Odsetki za niedozwolone saldo debetowe oraz odsetki za przekroczenie

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 08.01.2007 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XLI Egzamin dla Aktuariuszy z 8 stycznia 2007 r. Część I

Matematyka finansowa 08.01.2007 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XLI Egzamin dla Aktuariuszy z 8 stycznia 2007 r. Część I Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy XLI Egzamin dla Aktuariuszy z 8 stycznia 2007 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 00 minut . Ile

Bardziej szczegółowo

Zadania do wykładu Rachunek efektywności projektów inwestycyjnych

Zadania do wykładu Rachunek efektywności projektów inwestycyjnych Zadania do wykładu Rachunek efektywności projektów inwestycyjnych Dorota Klim Instytut Nauk Ekonomicznych i Informatyki, Państwowa Wyższa Szkoła Zawodowa w Płocku E-mail address: klimdr@math.uni.ldz.pl

Bardziej szczegółowo

Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXX Egzamin dla Aktuariuszy z 23 marca 2015 r. Część I Matematyka finansowa

Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXX Egzamin dla Aktuariuszy z 23 marca 2015 r. Część I Matematyka finansowa Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXX Egzamin dla Aktuariuszy z 23 marca 2015 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1. Rozważmy

Bardziej szczegółowo

ZARZĄDZANIE RYZYKIEM STOPY PROCENTOWEJ. dr Grzegorz Kotliński; Katedra Bankowości AE w Poznaniu

ZARZĄDZANIE RYZYKIEM STOPY PROCENTOWEJ. dr Grzegorz Kotliński; Katedra Bankowości AE w Poznaniu ZARZĄDZANIE RYZYKIEM STOPY PROCENTOWEJ 1 DEFINICJA RYZYKA STOPY PROCENTOWEJ Ryzyko stopy procentowej to niebezpieczeństwo negatywnego wpływu zmian rynkowej stopy procentowej na sytuację finansową banku

Bardziej szczegółowo

PAŃSTWOWA WYŻSZA SZKOŁA ZAWODOWA W NOWYM SĄCZU SYLABUS PRZEDMIOTU. Obowiązuje od roku akademickiego: 2010/2011

PAŃSTWOWA WYŻSZA SZKOŁA ZAWODOWA W NOWYM SĄCZU SYLABUS PRZEDMIOTU. Obowiązuje od roku akademickiego: 2010/2011 PAŃSTWOWA WYŻSZA SZKOŁA ZAWODOWA W NOWYM SĄCZU SYLABUS Obowiązuje od roku akademickiego: 2010/2011 Instytut Ekonomiczny Kierunek studiów: Ekonomia Kod kierunku: 04.9 Specjalność: Finanse i rachunkowość

Bardziej szczegółowo

Obowiązuje od 01.02.2016 r.

Obowiązuje od 01.02.2016 r. KONTA Konto osobiste konta 0,10% Brak kwoty minimalnej. zmienne obowiązuje od 18.05.2015 r. Miesięczna kapitalizacja odsetek. Odsetki za niedozwolone saldo debetowe oraz odsetki za przekroczenie limitu

Bardziej szczegółowo

Darmowa publikacja dostarczona przez ebooki24.org

Darmowa publikacja dostarczona przez ebooki24.org Powered by TCPDF (www.tcpdf.org) Ten ebook zawiera darmowy fragment publikacji "Finanse dla każdego" Darmowa publikacja dostarczona przez ebooki24.org Copyright by Złote Myśli &, rok 2008 Autor: Tytuł:

Bardziej szczegółowo

Akademia Młodego Ekonomisty

Akademia Młodego Ekonomisty Temat spotkania: Matematyka finansowa dla liderów Temat wykładu: Matematyka finansowa wokół nas Prowadzący: Szkoła Główna Handlowa w Warszawie 14 października 2014 r. Matematyka finansowa dla liderów Po

Bardziej szczegółowo

1. Za pieniądze wpłacone do funduszu inwestycyjnego jego uczestnik nabywa:

1. Za pieniądze wpłacone do funduszu inwestycyjnego jego uczestnik nabywa: 1. Za pieniądze wpłacone do funduszu inwestycyjnego jego uczestnik nabywa: akcje, obligacje i bony skarbowe 3,92% 6 prawa poboru 0,00% 0 jednostki uczestnictwa 94,12% 144 dywidendy 1,96% 3 2. W grupie

Bardziej szczegółowo

Co powinna zawierać obligacja?

Co powinna zawierać obligacja? OBLIGACJE Obligacja Jest papierem wartościowym typu wierzytelnościowego, czyli jedna strona, zwana emitentem, stwierdza, że jest dłużnikiem drugiej strony (zwanej obligatariuszem) i zobowiązuje się wobec

Bardziej szczegółowo

STOPA DYSKONTOWA 1+ =

STOPA DYSKONTOWA 1+ = Piotr Cegielski, MAI, MRICS, CCIM STOPA DYSKONTOWA (Wybrane fragmenty artykułu opublikowanego w C.H. Beck Nieruchomości, numer 10 z 2011 r. Całość dostępna pod adresem internetowym: www.nieruchomosci.beck.pl)

Bardziej szczegółowo

Arkusz kalkulacyjny - Zadanie 6

Arkusz kalkulacyjny - Zadanie 6 Arkusz kalkulacyjny - Zadanie 6 Tabela przestawna to narzędzie, które oferuje szybkie tworzenie tzw. raportu tabeli przestawnej, czyli podsumowywania skomplikowanego zbioru danych. Wstawianie tabeli przestawnej

Bardziej szczegółowo

Zysk z depozytów - co go kształtuje? BlogneoBANK.wordpress.com

Zysk z depozytów - co go kształtuje? BlogneoBANK.wordpress.com Zysk z depozytów - co go kształtuje? BlogneoBANK.wordpress.com OPROCENTOWANIE Wysokość oprocentowania lokat jest głównym wyznacznikiem zysku. To tym czynnikiem kieruje się większość ludzi zainteresowanych

Bardziej szczegółowo

Matematyka Ekonomiczna

Matematyka Ekonomiczna Matematyka Ekonomiczna Dr. hab. David Ramsey e-mail: david.ramsey@pwr.edu.pl strona domowa: www.ioz.pwr.edu.pl/pracownicy/ramsey Pokój 5.16, B-4 Godziny konsultacji: Wtorek 11-13, Czwartek 11-13 28 września

Bardziej szczegółowo

Tabela oprocentowania dla konsumentów

Tabela oprocentowania dla konsumentów KONTA Konto osobiste konta 0,10% Brak kwoty minimalnej. zmienne obowiązuje od 18.05.2015 r. Miesięczna kapitalizacja odsetek. Odsetki za niedozwolone saldo debetowe - 4-krotność stopy kredytu lombardowego

Bardziej szczegółowo

Projekt. U S T A W A z dnia

Projekt. U S T A W A z dnia Projekt U S T A W A z dnia o zmianie ustawy o kredycie konsumenckim oraz ustawy o odpowiedzialności podmiotów zbiorowych za czyny zabronione pod groźbą kary 1) Art. 1. W ustawie z dnia 12 maja 2011 r.

Bardziej szczegółowo

Tabela oprocentowania dla konsumentów

Tabela oprocentowania dla konsumentów konta Konto osobiste konta 0,50% Brak kwoty minimalnej. zmienne obowiązuje od 12.08.2013 r. Miesięczna kapitalizacja odsetek. Odsetki za niedozwolone saldo debetowe - 4-krotność stopy kredytu lombardowego

Bardziej szczegółowo

Ekonomiczny Uniwersytet Dziecięcy

Ekonomiczny Uniwersytet Dziecięcy Ekonomiczny Uniwersytet Dziecięcy Bank zaufanie na całe życie Czy warto powierzać pieniądze bankom? nna Chmielewska Miasto Bełchatów 24 listopada 2010 r. EKONOMICZNY UNIWERSYTET DZIECIĘCY Uniwersytet Dziecięcy,

Bardziej szczegółowo

Tabela oprocentowania dla konsumentów

Tabela oprocentowania dla konsumentów KONTA Konto osobiste konta 0,25% Brak kwoty minimalnej. zmienne obowiązuje od 16.12.2014 r. Miesięczna kapitalizacja odsetek. Odsetki za niedozwolone saldo debetowe - 4-krotność stopy kredytu lombardowego

Bardziej szczegółowo

System bankowy i tworzenie wkładów

System bankowy i tworzenie wkładów System bankowy i tworzenie wkładów Wykład nr 4 Wyższa Szkoła Technik Komputerowych i Telekomunikacji w Kielcach 2011-03-29 mgr Wojciech Bugajski 1 Prawo bankowe z dn.27.08.1997 Definicja banku osoba prawna

Bardziej szczegółowo

Wycena equity derivatives notowanych na GPW w obliczu wysokiego ryzyka dywidendy

Wycena equity derivatives notowanych na GPW w obliczu wysokiego ryzyka dywidendy Instrumenty pochodne 2014 Wycena equity derivatives notowanych na GPW w obliczu wysokiego ryzyka dywidendy Jerzy Dzieża, WMS, AGH Kraków 28 maja 2014 (Instrumenty pochodne 2014 ) Wycena equity derivatives

Bardziej szczegółowo