MODELOWANIE RYNKÓW FINANSOWYCH (MAP1171)

Transkrypt

1 Przedmiot: MODELOWANIE RYNKÓW FINANSOWYCH (MAP1171) Prowadzący wykład: dr Krzysztof Samotij, Czas i miejsce wykładu: poniedziałki (wg definicji J.M. Rektora) g. 9:15-11:00, bud. C-11, s. P.01 Godzina konsultacji: poniedziałki 8:00-9:00, bud. C-11, s Ocena końcowa: dana wzorem [1 + 5 L + W ]/2, gdy L 0, 5 i W 0, 5; w pozostałych przypadkach równa 2. L oznacza stosunek liczby punktów uzyskanych na laboratorium do możliwych tam do zdobycia, W analogiczny stosunek dla dwóch kolokwiów na wykładzie. Może być podwyższona (ale nie więcej in o 0,5) za aktywność na laboratorium. Podręczniki: wymienione w karcie przedmiotu oraz Capiński, Marek, Zastawniak, Tomasz, Mathematics for Finance. An Introduction to Financial Engineering,

2 O czym będziemy mówić. 1. Zagadnienia związane z wartością pieniądza w czasie (lokaty, obligacje, kredyty, renty, struktura terminowa stopy procentowej) 2. Teoria portfela (inwestycji kapitałowych). 3. Wycena kontaktów terminowych (futures) i wymiany (swap). 4. Opcje i ich zastosowania. 5. Model dwumianowy wyceny opcij. 6. Metoda Monte Carlo w wycenie opcji. 7. Wycena instrumentów pochodnych na stopę procentową (?) Przy okazji dowiemy się co nieco o rynkach finansowych ich strukturze, działaniu, uczestnikach i regulacjach. 2

3 Dodatkowy podręcznik do tej części wykładu (Wartość pieniądza w czasie) : Maria Podgórska, Joanna Klimkowska Matematyka finansowa WN PWN 2013 Procent prosty (simple interest). F = P + I = P + Prn = P(1 + rn), gdzie P - początkowa wartość kapitału (present value), n - ilość okresów oprocentowania, r - stopa oprocentowania (rentowność) w okresie (interest rate), I odsetki (interest) za n okresów F końcowa (przyszła) wartość (future value) kapitału za po n okresach. Zwykle długość okresu to 1 rok. Procent prosty stosuję się również dla okresów nie wyrażonych liczbą cakowitą. Wtedy oznaczamy czas przez t. F = P + I = P + Prt = P(1 + rt). 3

4 Będziemy też stosować oznaczenie V(t) (wartość kapitału w momencie t. Wtedy V t = P(1 + rt), t > 0, lub (ogólniej) V t = P[1 + r t s ], t > s, gdzie P = V s. Przykład. Kapitał początkowy 1000 zł zainwestowany przy stopie 8% w skali roku na okres od do przyniesie na koniec okresu F = P 1 + rt = 1000 (1 + 0,08!"# ) zł, czyli (1029, )!"# 1029,59 zł (w większości przypadków). 4

5 Obliczanie długości okresu. Długość okresu najczęściej wyraża się całkowitą liczbą dni. Ale takie same liczby dni mogą być różną ilością lat w zależności od przyjętej konwencji: 1. Rok to kolejne 365 dni. W tej konwencji okres od do to!""!"# roku. 2. Rok to kolejne 360 dni. W tej konwencji okres od do to!"#!"# roku. 3. Dzień liczy się za 1/365 roku w roku nieprzestępnym i za 1/366 roku w roku przestępnym. Dzień zaczynający okres wlicza się, a kończący nie. W tej konwencji okres od do to!" +!"# = 1, roku.!"#!"" 4. Każdy miesiąc ma 30 dni (a rok 360 dni). Kilka konwencji różnie liczących długości okresów, które zaczynają się lub kończą 31. dnia miesiąca. Ponadto obliczenia komplikują się, gdy ostatni dzień inwestycji przypada na dzień wolny od pracy. 5

6 Przykład. Na przetargu w dniu Ministerstwo Finansów sprzedało bony skarbowe 32-tygodniowe o wartości nominalnej PLN ,00 po cenie PLN 9920,40 z każdy bon. Jaka była rentowność (stopa procentowa) sprzedanych bonów? Uwaga: Rentowność bonów skarbowych wyraża się w skali roku 360 dni. Przekształcając wzór na procent prosty otrzymamy: r = F P 1 t = ,10 1 : = 0, Porównamy, to z komunikatem MF p_p_lifecycle=2&p_p_state=normal&p_p_mode=view&p_p_cacheability=cachelev elpage&p_p_col_id=column- 2&p_p_col_pos=1&p_p_col_count=2&auctionId= &loadFile=1 6

7 Procent składany (compound interest) W tym modelu kapitał początkowy jest oprocentowany przez n okresów. Jednak na koniec każdego z tych okresów odsetki powiększają kapitał, który będzie pracował w następnym okresie (tzw. kapitalizacja odsetek ). Tak więc w każdym okresie kapitał jest mnożony przez 1 + r. Dzięki temu na koniec n-tego okresu mamy: F = P(1 + r)! oraz I = F P = P[(1 + r)! 1]. Zwyczajowo stopę odsetek wyraża się w skali roku proporcjonalnie do długości okresu kapitalizacji. Jeśli t wyraża czas w latach, a każdy rok jest podzielony na k okresów kapitalizacji o jednakowej długości, wzór na wartość końcową możemy zapisać następująco F = P(1 + r k )!" Przechodząc do granicy przy k otrzymamy F = Pe!" czyli tzw. wzór na kapitalizację ciągłą. 7

8 Przykład. Która z lokat dwuletnich jest korzystniejsza (dla oszczędzającego): a) lokata na 10% w skali roku z kapitalizacją kwartalną czy b) lokata na 11% w skali roku kapitalizowana na koniec dwuletniego okresu? Z pierwszej lokaty po dwóch latach otrzymamy F = P(1 + 10% 4 )!! = P(1 + 2,5%)! = P 1, W przypadku drugiej lokaty będziemy mieć (procent prosty!) F = P % = P 1,22. Jaka jest stopa efektywna dla każdej z tych lokat (stopa równoważnej lokaty z kapitalizacją roczną)? Dla a) jest to r!",! = (1 +!,!! )! 1 = 10, %, podczas gdy dla b) jest to r!",! = 1,22!,! 1 = 10,45361%. 8

9 Przykład. Jaka jest stopa efektywna odpowiadająca stopie r! w kapitalizacji ciągłej? r! = e!! 1. Inaczej 1 + r! = e!!. Rozumowanie z poprzedniego przykładu rozszerzamy na okresy dowolnej długości. Przykład. Załóżmy, że mamy lokatę na k dni (czyli!!"# roku), która w tym okresie ma oprocentowanie r. Dla niej F = 1 + r P = [ 1 + r!!]! P. Ten sam dochód da lokata z kapitalizacją dzienną, której oprocentowanie za każdy dzień wynosi r! = 1 + r!! 1. Dla niej efektywna stopa kapitalizacji wyniesie r! = 1 + r!"#! 1. Rozumowanie to można przeprowadzić dla dowolnego okresu o długości współmiernej z rokiem otrzymując r! = 1 + r!! 1. Gdzie t jest długością okresu wyrażoną w latach a r stopą procentową za ten okres. Podsumowując 1 + r 1 t = 1 + r e = e r c 9

10 Przykład. Dla bonu skarbowego 32 tygodniowego o nominale PLN i cenie przetargowej PLN 9905,10 obliczymy roczną stopę efektywną r! i odpowiadającą jej stopę r! dla kapitalizacji ciągłej.!"#!"""" Wykorzystując powyższy wzór mamy:!"! = 1 + r! = e!! = 1, !!"#,! 10

11 Renty (annuities) Renta to ciąg płatności dokonywanych w równych odstępach czasu. Płatności nazywane są ratami, a okres pomiędzy kolejnymi płatnościami to okres bazowy. Renta prosta to renta, dla której okres bazowy pokrywa się z okresem kapitalizacji odsetek. Renta czasowa, to renta o skończonej liczbie rat. Renta wieczysta, to renta o nieskończonej liczbie rat. Renta, w której paty są płatne na koniec okresu, to renta zwykła lub renta płatna z dołu, w odróżnieniu od renty płatnej z góry. Terminu renta używa się dla renty zwykłej, prostej i czasowej. 11

12 Oznaczmy przez R ratę renty, przez P wartość początkową renty, przez F wartość przyszłą, przez n ilość rat i przez i - stopę procentową dla okresu bazowego. Wartość początkowa renty to P = R!!!! 1 + i!! = R 1!(1!i)!n i = Ra n i. Wartość końcowa renty to F = (1 + i)! P = R!!!!!!! = Rs n i. Sumę a!! nazywamy czynnikiem dyskontowania renty, a sumę s!! - czynnikiem oprocentowania renty. Można je interpretować jako wartość początkową i wartość końcową renty jednostkowej (R = 1). 12

13 Przyjmując oznaczenia P (!!) i F (!!) dla wartości początkowej i wartości przyszłej renty płatnej z góry mamy: P (!!) 1 (1 + i)!! = 1 + i P = R(1 + i) = Ra i!! oraz F (!!) = 1 + i F = R(1 + i) 1 + i! 1 = Rs i!! Podobnie a!! i s!! można uważać za wartość początkową i wartość końcową renty jednostkowej płatnej z góry. Łatwe w interpretacji są następujące wzory: a!! = 1 + a!!!!, s!! = s!!!! 1. 13

14 Przykład. Adam chce zgromadzić PLN na rachunku bankowym oprocentowanym wg stopy kwartalnej 1,55% przy kapitalizacji kwartalnej. Adam chce systematycznie wpłacać po PLN 1000 na koniec każdego kwartału. Ilu wpłat powinien dokonać? Renta zwykła z R = 1 (przyjmujemy, że jednostką jest PLN 1000), F = 18, i = 1,55%. Szukamy n, dla którego s!!,!!% =18. Rozwiązujemy względem n równanie (!!!)!!!! =18, (1 + i)! = 18i + 1, n =!" (!"!!!)!" (!!!) =15, Odp. 16 rat tzn. 15 wpłat (szesnasta rata bez wpłaty). Renta wieczysta. Wartość bieżąca renty wieczystej o racie R wynosi P =!!. Dlaczego? 14

15 Przepływy pieniężne (Cash flows) Niech C!, C!,, C! jest skończonym ciągiem płatności pieniężych, przy czym C! < 0, C! 0 i co najmniej jedna z płatności C! jest dodatnia. Płatności ujemne reprezentują nakłady, a dodatnie przychody. Często posługujemy się diagramami. Wartość bieżąca netto (Net Present Value) NPV =!!!!!!, gdzie r jest stopą zwrotu (kosztem kapitału) (!!!)! Wewnętrzna stopa zwrotu (Internal Rate of Return) Stopa IRR = r > 1, przy której NPV = 0. 15

16 Powyższe uogólnia się na przypadek okresów różnej długości: Przyjmijmy 0 = t! < t! < < t!. Wartość bieżąca netto (Net Present Value) NPV =!!!!!!, gdzie r jest stopą zwrotu (koszt kapitału) (!!!)!! W praktyce do obliczeń związanych z wartością pieniądza w czasie (TVM) wykorzystuje się funkcje finansowe wiodącego arkusza kalkulacyjnego. Wykorzystane zostaną na laboratorium. Należy się z nimi zapoznać wcześniej np. w 16