Inżynieria Środowiska Ćwiczenia /2018 Regresja liniowa. Regresja wielomianowa
|
|
- Marian Jakubowski
- 4 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Regresja liiowa W sytuacji, gdy obserwowaa jest zmiea dwuwymiarowa (X,Y) stawiamy pytaie, czy występuje związek prostoliiowy pomiędzy tymi zmieymi (związek liczbowy, czy też związek przyczyowoskutkowy), czy Y jest zmieą zależą, a X zmieą iezależą. Zatem a podstawie obserwacji (x1, y1), (x, y),, (x, y) wyzaczaa jest wartość współczyika korelacji Pearsoa rxy (wzory a końcu materiałów). Stawiamy hipotezę H0 : = 0, H1 : 0 i a przyjętym poziomie istotości sprawdzamy, czy badae zmiee są skorelowae. W przypadku związku przyczyowo-skutkowego odrzuceie hipotezy zerowej implikuje wyzaczeie prostej regresji, atomiast w przypadku związku liczbowego czasami iteresujące jest przedstawieie tego związku w postaci fukcyjej. Jeżeli dla każdej wartości x zmiea Y ma rozkład ormaly z jedakową (iezaą) wariacją to prostą regresji moża zapisać w postaci y ˆ ˆ 0 1x przedstawiającej związek między badaymi zmieymi. Możemy też zweryfikować hipotezę dla współczyika regresji, wyzaczyć krzywe ufości, obliczyć wartość miary dopasowaia prostej regresji do puktów eksperymetalych jaką jest współczyik determiacji R (wzory a końcu opracowaia). Przykład 1. Badając zaieczyszczeie tereów wokół pewego obiektu przemysłowego, odsłoięto siedem profili glebowych. W powierzchiowej warstwie badaych profili zawartości ołowiu i cyku (w mg/kg) przedstawiały się astępująco: ołów (X) cyk (Y) a) Oblicz i ziterpretuj współczyik korelacji między cechami X i Y. b) Sprawdź hipotezę o braku korelacji między zawartością ołowiu i cyku w powierzchiowej warstwie badaych profili. Przyjmij poziom istotości 0,05. c) Wyzacz rówaie regresji liiowej zawartości cyku względem zawartości ołowiu w powierzchiowej warstwie badaych profili. Ziterpretuj współczyik regresji. d) Oblicz i ziterpretuj współczyik determiacji. e) Na poziomie istotości liiowej zawartości cyku względem zawartości ołowiu. f) Wyzacz a podstawie rówaia regresji zawartość cyku w powierzchiowej warstwie, gdy zawartość ołowiu wyosi 70 (mg/kg). g) Zbuduj 95 % przedział ufości dla oczekiwaej zawartości cyku, jeśli zawartość ołowiu wyosi 70 mg/kg. 0,05 zweryfikuj, za pomocą aalizy wariacji, hipotezę o braku regresji Za pomocą programu STATISTICA Dae ależy wpisać w dwóch kolumach Rysuek x-ołów y-cyk
2 Zapozamy się ajpierw z wykresem zależości Y (zawartości cyku) od X (zawartości ołowiu). Z meu wybieramy Wykresy Wykresy rozrzutu w okie Zmiee wybieramy odpowiedie zmiee OK Więcej Dopasuj wybieramy Liiowa oraz statystyki as iteresujące tz. R kwadrat, wsp. korel. i p, rówaie regresji (rysuek 1.) OK. Otrzymamy wykres wraz z wyikami. Odpowiedzi: a) Współczyik korelacji r = 0,9189 jest dodati, czyli korelacja między cechami jest dodatia: im większa jest zawartość ołowiu w glebie, tym większa jest zawartość cyku. b) : 0 korelacja między cechami jest ieistota (ie ma korelacji) H 0 H 1 : 0 korelacja między cechami jest istota (jest korelacja) Odp. Poieważ p = 0,00344 < odrzucamy a poziomie istotości stwierdzamy, że korelacja między zawartościami ołowiu i cyku w glebie jest istota. 0,05, to hipotezę H 0 0,05 i c) Prosta regresji wyraża się wzorem y,468 0,478x. Jeżeli zawartość ołowiu wzrośie o jedostkę, czyli o 1 mg/kg, to przecięta zawartość cyku wzrośie o 0,5 mg/kg. d) Współczyik determiacji = r 100%, czyli u as R 0, % 84,44%. Ozacza to, że zmiea X w poad 84% ma wpływ a wartość zmieej Y. Efekt Regres. Reszta Razem R e) : 0 regresja liiowa jest ieistota H0 1 H 1 : 1 0 regresja liiowa jest istota Aby zweryfikować tę hipotezę ależy z meu Statystyka wybrać opcję Regresja wieloraka, wskazać zmieą zależą Y i zmieą iezależą X OK OK. W okie Wyiki regresji wielorakiej, ależy wybrać przycisk Więcej, a astępie opcję ANOVA (sum. dobroć dopasow.). Na ekraie pojawi się tabela aalizy wariacji i wyiki testu F (Rysuek.): Rysuek. Rysuek 3. Aaliza wariacji ; DV: y-cyk (Arkusz1) Suma df Średia F poziom p kwadrat. kwadrat. 1491, ,866 7,1567 0, , , ,857 Zmiea x-ołów W. woly Przewidyw. -95,0%GU +95,0%GU Obliczaie wartości (Arkusz1) zmieej: y-cyk Waga B Wartość Waga B *Wartość 0, , ,9109, , , ,
3 Odp. Poieważ p = 0, < i stwierdzamy, że regresja liiowa zawartości cyku względem zawartości ołowiu jest istota. H 0 0,05, to a poziomie istotości 0,05 odrzucamy hipotezę zerową f) Wracamy do oka Wyiki regresji wielorakiej, wybieramy przycisk Reszty, założeia, predykcja, a astępie Predykcja zmieej zależej (przy aktywym poleceiu Oblicz graice ufości). W okie Określ wartości zmieych iezależych wpisujemy liczbę 70 i aciskamy OK. Otrzymujemy oceę puktową progozy oraz poszukiwae graice ufości wartości progozowaej. Z tabeli (patrz rysuek 3.) wyika, że jeśli zawartość ołowiu wyosi 70 mg/kg, to przewidywaa zawartość cyku wyosi 69,38 mg/kg. g) Z tej samej tabeli (rysuek 3.) odczytujemy lewy i prawy kraiec przedziału ufości. Z prawdopodobieństwem 0,95 stwierdzamy, że przedział o końcach (6,07; 76,69) pokrywa oczekiwaą zawartość cyku (w mg/kg) przy zawartości ołowiu 70 mg/kg. Dodatkowo moża wyzaczyć obszar ufości dla oczekiwaej zawartości cyku przy różych zawartościach ołowiu i ew. zilustrować ( ręczie ) przedział ufości dla x = 70. Postępujemy podobie jak w pukcie a), dodatkowo zazaczając Pas regresji ufość. Zadaie 1. Dział marketigu pewej firmy aalizował związek między wielkością sprzedaży swych produktów (w tys. sztuk) a liczbą współpracujących z zakładem hurtowi. Otrzymao dae: liczba hurtowi (X) wielkość sprzedaży (Y) 5,8 6,1 8,4 9, 9,3 10,4 1,9 14,6 19,1,8 a) Oblicz i ziterpretuj współczyik korelacji między wielkością sprzedaży produktów a liczbą współpracujących z zakładem hurtowi. Odp. r = 0,95 b) Sprawdź hipotezę o braku korelacji między wielkością sprzedaży produktów a liczbą współpracujących z zakładem hurtowi. Przyjmij poziom istotości 0,05. Odp. p=0,00003 c) Wyzacz rówaie regresji liiowej wielkości sprzedaży produktów względem liczby współpracujących z zakładem hurtowi. Ziterpretuj współczyik regresji. Odp. y,91,74x d) Oblicz i ziterpretuj współczyik determiacji. Odp. R = 89,81% e) Zweryfikuj hipotezę o istotości regresji liiowej wielkości sprzedaży względem liczby współpracujących z zakładem hurtowi. Przyjmij poziom istotości Odp. p=0, f) Określ przewidywaą wielkość sprzedaży, gdy liczba hurtowi wyiesie 6. Odp. 1,73 Zadaie. Na tereie byłego województwa koińskiego badao zmiejszeie się emisji pyłu (w t/rok) po zamotowaiu istalacji mokrego odpylaia a komiach ajwiększych zakładów. Otrzymao dae: 3
4 liczba zamotowaych istalacji odpylaia (X) zmiejszeie emisji pyłu (Y) 5,8 6,1 8,4 9, 9,3 10,4 a) Wyzacz rówaie regresji liiowej zmiejszeia emisji pyłów względem liczby istalacji mokrego odpylaia. Ziterpretuj współczyik regresji. Odp. y 4,481,4x; b) Na poziomie istotości 0,05 zweryfikuj hipotezę o braku regresji liiowej zmiejszeia emisji pyłów względem liczby istalacji mokrego odpylaia. Odp. p=0, c) Określ przewidywae zmiejszeie emisji pyłów, gdy liczba istalacji wyiesie 3. Odp. 8, Zadaie 3. Badao zawartość tleu rozpuszczoego w wodzie destylowaej (cecha Y w mgo/dm 3 ) w zależości od temperatury (cecha X w o C). Uzyskao dae: temperatura (X) zawartość tleu (Y) 1,9 13,6 11, , 11, ,7 8,8 8,9 a) Wyzacz rówaie regresji liiowej zawartości tleu rozpuszczoego w wodzie destylowaej względem temperatury. Odp. y 14,5 0,5x b) Jakiej zmiay zawartości tleu w wodzie możemy się spodziewać, gdy temperatura wody wzrośie o 1 o C? c) Na poziomie istotości 0,05 zweryfikuj hipotezę o braku regresji liiowej zawartości tleu rozpuszczoego w wodzie destylowaej względem temperatury. Odp. p=0, d) Określ przewidywaą zawartość tleu, gdy temperatura wyosi 1 o C. Odp. 11,5 e) Oblicz i ziterpretuj współczyik determiacji. Odp. R = 75,6% f) Zbuduj 95 % przedział ufości dla progozowaej zawartości tleu przy temperaturze 10 0 C. Odp. (11,7955; 1,70714) Zadaie 4. Badao zależość między roczą wielkością wytworzoych odpadów w Polsce w ml to wg GUS a ilością odpadów wykorzystaych wtórie w ciągu roku w ml to. Uzyskao astępujące dae: Dla X (wytworzoe odpady): 10,8 1,7 14,6 14,4 133, Dla Y (wykorzystae odpady) : 65,6 66,9 69,5 80,1 91,7 a) Oblicz, zbadaj istotość (=0,05) i ziterpretuj współczyik korelacji między wielkością wykorzystaych odpadów a ilością wytworzoych odpadów. Odp. r = 0,9; b) Oszacuj prostą regresji wielkości wykorzystaych odpadów względem wytworzoych odpadów. y 193,7,15x c) Określ przewidywaą wielkość wykorzystaych odpadów, gdy ilość wytworzoych odpadów wyosi 130 ml to. Odp. 85,78 d) Zbuduj 95% przedział ufości dla oczekiwaej wielkości wykorzystaych odpadów, gdy wielkość wytworzoych odpadów wyosi 15 ml to. Zadaie 5. Producet apojów gazowaych dla sprawdzeia, czy istieje związek między wielkością zamówień hurtowi (Y) a temperaturą dobową (X) zgromadził dae dotyczące zamówień i temperatury dla wybraych 10 di czerwca: Temperatura dobowa w C Zamówieia apojów gazowaych (w tys. sztuk) 7, ,4 4, a) Wyzacz rówaie regresji liiowej zamówień hurtowi względem temperatury dobowej. Ziterpretować współczyik regresji. Odp. y 0,9 0, 47x b) Na poziomie istotości 0,05 zweryfikuj, za pomocą aalizy wariacji, hipotezę o braku regresji liiowej wielkości zamówień apojów względem temperatury. Odp. p= 0,
5 Regresja wielomiaowa (metoda krokowa wstecza) Na elemetach próbki losowej pobraej z populacji ormalej albo w przybliżeiu ormalej obserwowaa jest zmiea dwuwymiarowa (X, Y). Stawiamy pytaie, czy występuje związek wielomiaowy pomiędzy tymi zmieymi i którego stopia. Na podstawie obserwacji (x1, y1), (x, y),, (x, y) wyzaczay jest diagram korelacyjy, który ułatwi podjęcie decyzji dotyczącej stopia wielomiau k 0 1x x... kx y. Przy spełieiu założeń aalizy regresji wielomiaowej, wyzaczae jest rówaie regresji wielomiaowej obraego stopia. W przypadku istieia silego związku między zmieą zależą Y a zmieą iezależą X, waże jest by współczyik regresji przy ajwyższej potędze zmieej X w wyzaczoym rówaiu regresji wielomiaowej był istoty. Nie zawsze jedak tak jest. Dobór właściwego rówaia regresji wielomiaowej moża przeprowadzić stosując metodę krokową zstępującą (wsteczą). Metoda krokowa zstępująca (wstecza) 1. Wyzaczeie modelu wielomiaowego o potecjalie wysokim stopiu.. Wyzaczeie współczyika determiacji. 3. Weryfikacja hipotez dla cząstkowych współczyików regresji, przede wszystkim współczyika regresji przy ajwyższej potędze zmieej X ( H0 : k 0; H1 : k 0). 4. Po stwierdzeiu ieistotości współczyika regresji przy ajwyższej potędze zmieej X, wyzaczeie modelu wielomiaowego stopia miejszego o jede. 5. Powrót do puktu. Postępowaie tak długo jest kotyuowae do uzyskaia modelu wielomiaowego o istotym współczyiku regresji przy ajwyższej potędze zmieej X. Przykład. W literaturze przedstawioych jest wiele metod pozwalających a oszacowaie wartości przepływu wód w rzekach w przekrojach iekotrolowaych. Ze względu a silą zależość przepływów w rzekach polskich od sezou roku, przyjęto, że badae będą zależości regresyje dla każdego miesiąca oddzielie. W marcu uzyskao astępujące wyiki : Powierzchia zlewi w km Wartość przepływu w m 3 /s Wyzacz model regresji krzywoliiowej stopia. Zastosuj metodę krokową wsteczą do wyzaczeia ostateczej postaci fukcji przedstawiającej związek wartości przepływu i powierzchi zlewi. Wyzacz krzywe ufości. Przyjmij = 0,05. Rozwiązaie: STATISTICA: Wpisujemy dae w dwóch kolumach. Następie postępujemy według schematu: Statystyka Zaawasowae modele liiowe i ieliiowe Ogóle modele regresji Kreator aalizy OK Następuje ustaleie zmieych: zmiea zależa (tutaj wartość przepływu) i predykatora ilościowego (tutaj powierzchia zlewi) OK. Przechodzimy do zakładki Dostosoway układ międzygrupowy klikamy a pozycję w okieku Ciągłe. Poiżej opcji Wielom. do st. 34
6 ustalamy stopień wielomiau: i klikamy przycisk Wielom. do st.. W okieku Efekty w układzie międzygrupowym pojawia się azwa zmieej iezależej (predykatora ilościowego) w pierwszej i kolejych potęgach do wybraego stopia OK Wszystkie efekty. KROK 1 Iteresuje as przede wszystkim wyik weryfikacji hipotezy: H0 : 0; przeciwko H1 : 0. W skoroszycie mamy trzy tabele z wyikami: Tabela 1: Jedowymiarowe testy istotości. Z tabeli tej odczytujemy, że współczyik dla drugiej potęgi jest ieistoty. Tabela : Ocey parametrów: W tej tabeli zawarta jest rówież iformacja, że współczyik dla drugiej potęgi jest ieistoty, a także podae są wartości oszacowaych cząstkowych współczyików regresji dla zmieej X występującej w kolejych potęgach oraz oszacowaie wyrazu wolego. Tabela 3: Test SS dla pełego modelu względem reszt. Z tej tabeli odczytujemy stopień dopasowaia modelu do daych i istotość związku regresyjego wyrażoego rówaiem regresji wielomiaowej tutaj stopia drugiego. p Wiosek: Poieważ 0, > = 0,05, to ie mamy podstaw a poziomie istotości α = 0,05 do odrzuceia hipotezy H0, orzekającej, że współczyik dla drugiej potęgi jest ieistoty i obiżamy stopień rówaia KROK Poieważ współczyik przy drugiej potędze jest ieistoty (ie ma podstaw do odrzuceia : 0 ), H0 zmiejszamy stopień modelu. W tym celu otwieramy poowie okieko GRM-wyiki, klikamy Zmień Dostosoway układ międzygr. z Efekty w układzie międzygrupowym usuwamy zmieą w drugiej potędze Ok Wszystkie efekty. W skoroszycie tworzą się poowie trzy tabele z wyikami jak w kroku 1. Iteresuje as wyik weryfikacji hipotezy : 0; przeciwko H : 0 H
7 p 1 Wiosek: Poieważ 0, < zerową i stwierdzamy, że współczyik dla pierwszej potęgi jest istoty. = 0,05, to a poziomie istotości 0,05 odrzucamy hipotezę Odp. Otrzymujemy ostateczie rówaie regresji liiowej pozwalające a oszacowaie wartości zmieej y dla daego x, postaci: y 0,189 0,047x Krzywe ufości wyzaczamy wybierając z meu Wykresy Wykresy rozrzutu w okie Zmiee wybieramy odpowiedie zmiee OK Więcej Dopasuj wybieramy Liiowa oraz Pas regresji zazaczając ufość OK Zadaie 6. W pewym doświadczeiu chemiczym obserwowao szybkość rozpuszczaia się powłoki srebrej w różych temperaturach roztworu. Otrzymao wyiki (X temperatura w stopiach, Y szybkość rozpuszczaia się powłoki w μ/sek ): X Y 0,31 0,35 0,36 0,39 0,41 0,4 0,43 0,44 a) Wyzacz model regresji wielomiaowej. Zastosuj metodę krokową do wyzaczeia ostateczej postaci fukcji przedstawiającej wpływ temperatury a szybkość rozpuszczaia się powłoki. Rozpoczij od stopia trzeciego. Przyjmij = 0,05. Ziterpretuj współczyik determiacji. b) Wykoaj wykres rozrzutu z dopasowaą krzywą. Wyzacz krzywe ufości. Odp. a) Krok 1: : 0; H : 0, p = 0, > = 0,05, H H0 : 0; H1 : Krok : 0 p = 0, < = 0,05, y 0, ,048507x 0,000963x, R = 98,488% b) STATISTICA: aby uzyskać wielomia stopia postępujemy w astępujący sposób: Wykresy Wykresy rozrzutu w okie Zmiee wybieramy odpowiedie zmiee OK Więcej w Pasie regresji zazaczamy ufość w okie Dopasuj wybieramy Wielomia klikamy Opcje w okie Wielomia wybieramy Kwadratowy OK. 36
8 0,46 Wykres rozrzutu Y_szybkość względem X_temperatura Cw_10_dae 30v*5c Y_szybkość = -0,1713+0,0485*x-0,001*x^; 0,95 Prz.Uf. 0,44 0,4 Y_szybkość 0,40 0,38 0,36 0,34 0,3 0, X_temperatura Zadaie 7. W doświadczeiu badao dyamikę wzrostu traw ozdobych pewego wieloletiego gatuku. W szczególości mierzoo średicę kępy trzech wybraych rośli począwszy od połowy maja. Obserwacje prowadzoo co 14 di. Średie średice kęp S (w cm) w kolejych okresach dwutygodiowych przedstawiały się astępująco: t S ,5 37,5 Wyzacz rówaie regresji wielomiaowej. Zastosuj metodę krokową do wyzaczeia ostateczej dobrze dopasowaej do daych postaci modelu wielomiaowego. Rozpoczij od stopia 4. Wykoaj wykres rozrzutu z dopasowaą krzywą. Przyjmij = 0,05. Rozwiązaie: Krok 1: : 0; H : 0 H Poieważ p 4 0,84816 > odrzuceia hipotezy H0 orzekającej, że współczyik dla czwartej potęgi jest ieistoty i obiżamy stopień rówaia Krok : : 0; H : 0 H = 0,05, to ie mamy podstaw a poziomie istotości α = 0,05 do = 0,05, to ie mamy podstaw a poziomie istotości α = 0,05 do Poieważ p 3 0, > odrzuceia hipotezy H0, orzekającej, że współczyik dla trzeciej potęgi jest ieistoty i obiżamy stopień rówaia Krok 3: : 0; H : 0 H0 1 p Poieważ 0, < = 0,05, to a poziomie istotości 0,05 odrzucamy hipotezę zerową i stwierdzamy, że współczyik dla drugiej potęgi jest istoty. Odp. Zależość średicy (w cm) kępy traw ozdobych od czasu (w tygodiach) jest postaci S,4913,43t 1,113t. Współczyik determiacji R = 99,4% zatem otrzymay model jest w 99,4% dopasoway do daych. Zadaie 8. Testowao możliwość przewidywaia stężeń tleu rozpuszczoego a odciku Raby 445 a podstawie zaych wartości stężeń tleu w dopływach: Niżowskim Potoku i Krzyworzece. Zastosowao metodę sieci euroowych do wyzaczeia tego związku. Wyiki otrzymaych tą metodą przewidywaych wartości stężeń obok zaobserwowaych wartości stężeń tleu a odciku Raby 445 przedstawioo w tabeli : Stężeie tleu w Rabie 445 Wartość oszacowaia stężeia 1,1,3 3,5 4,1 5,3 6,8 7, 8,3 9,3 10,6 11,7 1,4 13, 14,4 1,, 3, 4,3 5,3 6,5 7,3 8,4 9, 10, 11,4 1,3 13,3 14,4 Sprawdź zgodość oszacowań z rzeczywistymi zaobserwowaymi wartościami stężeń tleu w Rabie poprzez wyzaczeie związku między oszacowaiem a daymi rzeczywistymi. Zaczij od stopia 3. 37
9 Jeżeli ostateczie po zastosowaiu metody krokowej wsteczej uzyskasz prostą regresji będącą dwusieczą I ćwiartki układu współrzędych to potwierdzisz zgodość oszacowań z wyikami rzeczywistymi. Wyzacz krzywe ufości. Przyjmij = 0,001. Odp. y=-0,0187+0,9933x y = x Zadaie 9. Dokoao pomiarów wielkości drgań pioowych grutu powstałych w wyiku trzęsieia ziemi w różej odległości od ogiska trzęsieia. Otrzymao wyiki (X odległość od ogiska trzęsieia ziemi w km, Y wielkość drgań pioowych grutu w cm): x y 4,8 3,8,5,5 1,5 1,0 1, 0,8 Wyzacz model regresji krzywoliiowej. Zastosuj metodę krokową wsteczą do wyzaczeia ostateczej postaci fukcji przedstawiającej zależość wielkość drgań pioowych grutu od odległości od ogiska trzęsieia ziemi. Rozpoczij od stopia 3. Przyjmij = 0,05. Rysuek 3. Uwaga : Zauważ, że dla stopia 3 pojawia się komuikat. Ozacza to, że ustaloo zbyt wysoki stopień wielomiau. Zigoruj te komuikat przy stopiu 3 i wykoaj wykres rozrzutu y względem x. Uzyskasz wykres w astępujący sposób: Wykresy Wykresy rozrzutu w okie Zmiee wybieramy odpowiedie zmiee OK Więcej Dopasuj wybieramy Wielomia Opcje w okie Wielomia wybieramy Sześciey OK. Z wykresu (rysuek 3.) widać, że jede pukt jest przyczyą zmiay wypukłości fukcji a wklęsłość. W badaym zagadieiu szukaia związku wielkości drgań pioowych grutu powstałych w wyiku trzęsieia ziemi od odległości od ogiska trzęsieia, zgodie z pojawiającym się komuikatem stopień jest właściwy do rozpoczęcia aszej aalizy. Odp. y 4,934 0,0487x 0,0001x Zadaie 10. W badaiach ad stopiem skażeia gleby wokół pewej huty pobrao próbki gleby z warstwy wierzchiej i czterech poziomów geetyczych w dwóch odkrywkach Uzyskao astępujące ozaczeia cyku: Głębokość (w cm) Z ( w mg/kg) Wyzacz rówaie regresji wielomiaowej. Zastosuj metodę krokową do wyzaczeia ostateczej dobrze dopasowaej do daych postaci modelu wielomiaowego. Rozpoczij od stopia drugiego. Wykoaj wykres rozrzutu z dopasowaą krzywą. Przyjmij = 0,05. Odp.: y 133,6964 0,83735x 38
10 Zadaie 11. Suma opadów w okresie wegetatywym od marca do paździerika w iektórych miejscowościach (średie z dwudziestu lat) oraz szerokość geograficza, długość geograficza i wziesieie ad poziomem morza tych miejscowości są astępujące (plik cw4.sta). Wyzacz rówaia regresji wielomiaowej wyrażające sumę opadów oddzielie kolejo jako fukcję szerokości, jako fukcję długości oraz jako fukcję wysokości ad poziomem morza. Zastosuj metodę krokową wsteczą do wyzaczeia ostateczej dobrze dopasowaej do daych postaci rówaia regresji wielomiaowej. Rozpoczij od stopia drugiego. Wykoaj dla każdej pary zmieych wykres rozrzutu z dopasowaą krzywą. Przyjmij = 0,05. Uwaga : Należałoby dla rozpatrywaych daych wyzaczyć rówież rówaie regresji wyrażające jak suma opadów jest determiowaa jedocześie poprzez szerokość i długość geograficzą oraz wysokość ad poziomem morza (będzie to tematem kolejych zajęć). Odp. Szerokość geograficza: Krok 1: : 0; H : 0, p = 0, < = 0,05, H0 1 y 79455,883001,6x 8,5x, R = 5,7% Długość geograficza: Zależość regresyja ieistota. Wysokość.p.m.: Krok 1: : 0; H : 0, p = 0, > = 0,05, H0 1 H0 : 1 0; H1 : 1 Krok : 0, p = 0, < = 0,05, y 415,48 0,51x, R = 58,% 1000 Wykres rozrzutu Opady (w mm) w zględem Wysokość.p.m. Cw _10_dae 30v*5c Opady (w mm) = 415,4845+0,5103*x; 0,95 Prz.Uf Opady (w mm) Wysokość.p.m.:Opady (w mm): y = 415, ,5103*x; r = 0,769; p = 0,00006; r = 0, Wysokość.p.m. 39
11 ANALIZA KORELACJI I REGRESJI LINIOWEJ Obserwacje (xi,yi) zmieej losowej dwuwymiarowej (X,Y) WSPÓŁCZYNNIK KORELACJI ŝ xy rxy ŝx ŝ y przy czym -1 rxy 1 xi y 1 i ŝ ( x y i 1 i 1 xy i i ) 1 i1 ( x ) 1 i ŝ ( x i 1 x ) 1 i, i1 ( y ) 1 i ŝ ( y i 1 y ) 1 i i1 Weryfikacja hipotezy, że zmiee X i Y ie są skorelowae Stawiamy hipotezę: Statystyka testowa rxy t H0 : = 0, H1 : 0 1 r xy ŝ x ŝ x ŝ y ŝ y Obszar krytyczy : t >t,- REGRESJA LINIOWA ( xi )( y ) i y ˆ ˆ 0 1x x y i 1 i 1 ŝ i i ˆ xy i 1 1, ˆ ˆ 0 y 1 x ŝ dla <xmi, xmax> x ( xi ) x i 1 i i1 Weryfikacja hipotezy, że dla zmieych X i Y związek wyrażoy za pomocą prostej regresji ie jest istoty Stawiamy hipotezę: Statystyka testowa Obszar krytyczy : H0: 1 0, ˆ t 1 ŝx H1: 1 0 t >t,- ŝ 1 r y xy Miara dopasowaia współczyik determiacji R rxy 100% Krzywe ufości ŝ y (1 rxy ) g1(xi ) y(xi ) t, [s x (xi x) ] ŝ x ( ) ŝ y (1 rxy ) g (xi ) y(xi ) t, [s x (xi x) ] ŝ x ( ) 40
Korelacja i regresja. Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Inteligencji i Metod Matematycznych. Wykład 12
Wykład Korelacja i regresja Dr Joaa Baaś Zakład Badań Systemowych Istytut Sztuczej Iteligecji i Metod Matematyczych Wydział Iformatyki Politechiki Szczecińskiej Wykład 8. Badaie statystycze ze względu
Bardziej szczegółowoĆwiczenia nr 5. TEMATYKA: Regresja liniowa dla prostej i płaszczyzny
TEMATYKA: Regresja liiowa dla prostej i płaszczyzy Ćwiczeia r 5 DEFINICJE: Regresja: metoda statystycza pozwalająca a badaie związku pomiędzy wielkościami daych i przewidywaie a tej podstawie iezaych wartości
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA I ANALIZA DANYCH
TATYTYKA I ANALIZA DANYCH Zad. Z pewej partii włókie weły wylosowao dwie próbki włókie, a w każdej z ich zmierzoo średicę włókie różymi metodami. Otrzymao astępujące wyiki: I próbka: 50; średia średica
Bardziej szczegółowo1. Wnioskowanie statystyczne. Ponadto mianem statystyki określa się także funkcje zmiennych losowych o
1. Wioskowaie statystycze. W statystyce idetyfikujemy: Cecha-Zmiea losowa Rozkład cechy-rozkład populacji Poadto miaem statystyki określa się także fukcje zmieych losowych o tym samym rozkładzie. Rozkłady
Bardziej szczegółowoTrzeba pokazać, że dla każdego c 0 c Mc 0. ) = oraz det( ) det( ) det( ) jest macierzą idempotentną? Proszę odpowiedzieć w
Zad Dae są astępujące macierze: A =, B, C, D, E 0. 0 = = = = 0 Wykoaj astępujące działaia: a) AB, BA, C+E, DE b) tr(a), tr(ed), tr(b) c) det(a), det(c), det(e) d) A -, C Jeśli działaia są iewykoale, to
Bardziej szczegółowoStatystyka opisowa. () Statystyka opisowa 24 maja / 8
Część I Statystyka opisowa () Statystyka opisowa 24 maja 2010 1 / 8 Niech x 1, x 2,..., x będą wyikami pomiarów, p. temperatury, ciśieia, poziomu rzeki, wielkości ploów itp. Przykład 1: wyiki pomiarów
Bardziej szczegółowoLista 6. Estymacja punktowa
Estymacja puktowa Lista 6 Model metoda mometów, rozkład ciągły. Zadaie. Metodą mometów zaleźć estymator iezaego parametru a w populacji jedostajej a odciku [a, a +. Czy jest to estymator ieobciążoy i zgody?
Bardziej szczegółowoZadanie 2 Niech,,, będą niezależnymi zmiennymi losowymi o identycznym rozkładzie,.
Z adaie Niech,,, będą iezależymi zmieymi losowymi o idetyczym rozkładzie ormalym z wartością oczekiwaą 0 i wariacją. Wyzaczyć wariację zmieej losowej. Wskazówka: pokazać, że ma rozkład Γ, ODP: Zadaie Niech,,,
Bardziej szczegółowoEstymacja przedziałowa
Metody probabilistycze i statystyka Estymacja przedziałowa Dr Joaa Baaś Zakład Badań Systemowych Istytut Sztuczej Iteligecji i Metod Matematyczych Wydział Iformatyki Politechiki Szczecińskiej Metody probabilistycze
Bardziej szczegółowobędą niezależnymi zmiennymi losowymi z rozkładu jednostajnego na przedziale ( 0,
Zadaie iech X, X,, X 6 będą iezależymi zmieymi losowymi z rozkładu jedostajego a przedziale ( 0, ), a Y, Y,, Y6 iezależymi zmieymi losowymi z rozkładu jedostajego a przedziale ( 0, ), gdzie, są iezaymi
Bardziej szczegółowoZAGADNIENIE ESTYMACJI. ESTYMACJA PUNKTOWA I PRZEDZIAŁOWA
ZAGADNIENIE ESTYMACJI. ESTYMACJA PUNKTOWA I PRZEDZIAŁOWA Mamy populację geeralą i iteresujemy się pewą cechą X jedostek statystyczych, a dokładiej pewą charakterystyką liczbową θ tej cechy (p. średią wartością
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa i statystyka W12: Statystyczna analiza danych jakościowych. Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok 407 adan@agh.edu.
Rachuek prawdopodobieństwa i statystyka W12: Statystycza aaliza daych jakościowych Dr Aa ADRIAN Paw B5, pok 407 ada@agh.edu.pl Wprowadzeie Rozróżia się dwa typy daych jakościowych: Nomiale jeśli opisują
Bardziej szczegółowoθx θ 1, dla 0 < x < 1, 0, poza tym,
Zadaie 1. Niech X 1,..., X 8 będzie próbą z rozkładu ormalego z wartością oczekiwaą θ i wariacją 1. Niezay parametr θ jest z kolei zmieą losową o rozkładzie ormalym z wartością oczekiwaą 0 i wariacją 1.
Bardziej szczegółowoTestowanie hipotez. H 1 : µ 15 lub H 1 : µ < 15 lub H 1 : µ > 15
Testowaie hipotez ZałoŜeia będące przedmiotem weryfikacji azywamy hipotezami statystyczymi. KaŜde przypuszczeie ma swoją alteratywę. Jeśli postawimy hipotezę, Ŝe średica pia jedoroczych drzew owej odmiay
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka r.
Zadaie. Wykoujemy rzuty symetryczą kością do gry do chwili uzyskaia drugiej szóstki. Niech Y ozacza zmieą losową rówą liczbie rzutów w których uzyskaliśmy ie wyiki iż szóstka a zmieą losową rówą liczbie
Bardziej szczegółowo3. Regresja liniowa Założenia dotyczące modelu regresji liniowej
3. Regresja liiowa 3.. Założeia dotyczące modelu regresji liiowej Aby moża było wykorzystać model regresji liiowej, muszą być spełioe astępujące założeia:. Relacja pomiędzy zmieą objaśiaą a zmieymi objaśiającymi
Bardziej szczegółowoKURS STATYSTYKA. Lekcja 3 Parametryczne testy istotności ZADANIE DOMOWE. Strona 1
KURS STATYSTYKA Lekcja 3 Parametrycze testy istotości ZADANIE DOMOWE www.etrapez.pl Stroa Część : TEST Zazacz poprawą odpowiedź (tylko jeda jest prawdziwa). Pytaie Statystykę moża rozumieć jako: a) próbkę
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka r.
Zadaie 1 Rzucamy 4 kości do gry (uczciwe). Prawdopodobieństwo zdarzeia iż ajmiejsza uzyskaa a pojedyczej kości liczba oczek wyiesie trzy (trzy oczka mogą wystąpić a więcej iż jedej kości) rówe jest: (A)
Bardziej szczegółowoPODSTAWY BIOSTATYSTYKI ĆWICZENIA
PODSTAWY BIOSTATYSTYKI ĆWICZENIA FILIP RACIBORSKI FILIP.RACIBORSKI@WUM.EDU.PL ZAKŁAD PROFILAKTYKI ZAGROŻEŃ ŚRODOWISKOWYCH I ALERGOLOGII WUM ZADANIE 1 Z populacji wyborców pobrao próbkę 1000 osób i okazało
Bardziej szczegółowoTESTY LOSOWOŚCI. Badanie losowości próby - test serii.
TESTY LOSOWOŚCI Badaie losowości próby - test serii. W wielu zagadieiach wioskowaia statystyczego istotym założeiem jest losowość próby. Prostym testem do weryfikacji tej własości jest test serii. 1 Dla
Bardziej szczegółowoStatystyka i Opracowanie Danych. W7. Estymacja i estymatory. Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok407
Statystyka i Opracowaie Daych W7. Estymacja i estymatory Dr Aa ADRIAN Paw B5, pok407 ada@agh.edu.pl Estymacja parametrycza Podstawowym arzędziem szacowaia iezaego parametru jest estymator obliczoy a podstawie
Bardziej szczegółowoL.Kowalski zadania ze statystyki matematycznej-zestaw 3 ZADANIA - ZESTAW 3
L.Kowalski zadaia ze statystyki matematyczej-zestaw 3 ZADANIA - ZESTAW 3 Zadaie 3. Cecha X populacji ma rozkład N m,. Z populacji tej pobrao próbę 7 elemetową i otrzymao wyiki x7 = 9, 3, s7 =, 5 a Na poziomie
Bardziej szczegółowoĆwiczenie 2 ESTYMACJA STATYSTYCZNA
Ćwiczeie ETYMACJA TATYTYCZNA Jest to metoda wioskowaia statystyczego. Umożliwia oszacowaie wartości iteresującego as parametru a podstawie badaia próbki. Estymacja puktowa polega a określeiu fukcji zwaej
Bardziej szczegółowoX i. X = 1 n. i=1. wartość tej statystyki nazywana jest wartością średnią empiryczną i oznaczamy ją symbolem x, przy czym x = 1. (X i X) 2.
Zagadieia estymacji Puktem wyjścia badaia statystyczego jest wylosowaie z całej populacji pewej skończoej liczby elemetów i zbadaie ich ze względu a zmieą losową cechę X Uzyskae w te sposób wartości x,
Bardziej szczegółowoO pewnych zastosowaniach rachunku różniczkowego funkcji dwóch zmiennych w ekonomii
O pewych zastosowaiach rachuku różiczkowego fukcji dwóch zmieych w ekoomii 1 Wielkość wytwarzaego dochodu arodowego D zależa jest od wielkości produkcyjego majątku trwałego M i akładów pracy żywej Z Fukcję
Bardziej szczegółowosą niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowym rozkładzie Poissona z wartością oczekiwaną λ równą 10. Obliczyć v = var( X
Prawdoodobieństwo i statystyka 5..008 r. Zadaie. Załóżmy że 3 są iezależymi zmieymi losowymi o jedakowym rozkładzie Poissoa z wartością oczekiwaą λ rówą 0. Obliczyć v = var( 3 + + + 3 = 9). (A) v = 0 (B)
Bardziej szczegółowoĆwiczenie: Test chi 2 i miary na nim oparte.
Ćwiczeie: Test chi 2 i miary a im oparte. Zadaie (MS EXCEL) Czy istieje zależość między płcią a paleiem papierosów? 1. W arkuszu Excel utworzyć dwie tabele 2. Uzupełić wartości w tabeli z daymi obserwowaymi
Bardziej szczegółowoEstymacja: Punktowa (ocena, błędy szacunku) Przedziałowa (przedział ufności)
IV. Estymacja parametrów Estymacja: Puktowa (ocea, błędy szacuku Przedziałowa (przedział ufości Załóżmy, że rozkład zmieej losowej X w populacji geeralej jest opisay dystrybuatą F(x;α, gdzie α jest iezaym
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA MATEMATYCZNA
TATYTYKA MATEMATYCZNA ROZKŁADY PODTAWOWYCH TATYTYK zmiea losowa odpowiedik badaej cechy, (,,..., ) próba losowa (zmiea losowa wymiarowa, i iezależe zmiee losowe o takim samym rozkładzie jak (taką próbę
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA (poziom podstawowy) przykładowy arkusz maturalny wraz ze schematem oceniania dla klasy II Liceum
MATEMATYKA (poziom podstawowy) przykładowy arkusz maturaly wraz ze schematem oceiaia dla klasy II Liceum Propozycja zadań maturalych sprawdzających opaowaie wiadomości i umiejętości matematyczych z zakresu
Bardziej szczegółowo3. Tworzenie próby, błąd przypadkowy (próbkowania) 5. Błąd standardowy średniej arytmetycznej
PODSTAWY STATYSTYKI 1. Teoria prawdopodobieństwa i elemety kombiatoryki 2. Zmiee losowe i ich rozkłady 3. Populacje i próby daych, estymacja parametrów 4. Testowaie hipotez 5. Testy parametrycze 6. Testy
Bardziej szczegółowoMetrologia: miary dokładności. dr inż. Paweł Zalewski Akademia Morska w Szczecinie
Metrologia: miary dokładości dr iż. Paweł Zalewski Akademia Morska w Szczeciie Miary dokładości: Najczęściej rozkład pomiarów w serii wokół wartości średiej X jest rozkładem Gaussa: Prawdopodobieństwem,
Bardziej szczegółowoKADD Metoda najmniejszych kwadratów
Metoda ajmiejszych kwadratów Pomiary bezpośredie o rówej dokładości o różej dokładości średia ważoa Pomiary pośredie Zapis macierzowy Dopasowaie prostej Dopasowaie wielomiau dowolego stopia Dopasowaie
Bardziej szczegółowoPODSTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH
PODSTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH POMIAR FIZYCZNY Pomiar bezpośredi to doświadczeie, w którym przy pomocy odpowiedich przyrządów mierzymy (tj. porówujemy
Bardziej szczegółowoWokół testu Studenta 1. Wprowadzenie Rozkłady prawdopodobieństwa występujące w testowaniu hipotez dotyczących rozkładów normalnych
Wokół testu Studeta Wprowadzeie Rozkłady prawdopodobieństwa występujące w testowaiu hipotez dotyczących rozkładów ormalych Rozkład ormaly N(µ, σ, µ R, σ > 0 gęstość: f(x σ (x µ π e σ Niech a R \ {0}, b
Bardziej szczegółowoStatystyka. Katarzyna Chudy Laskowska
Statystyka Katarzya Chudy Laskowska http://kc.sd.prz.edu.pl/ WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE Celem aalizy statystyczej ie jest zwykle tylko opisaie (prezetacja) posiadaych daych, czyli tzw. próby statystyczej.
Bardziej szczegółowoCharakterystyki liczbowe zmiennych losowych: wartość oczekiwana i wariancja
Charakterystyki liczbowe zmieych losowych: wartość oczekiwaa i wariacja dr Mariusz Grządziel Wykłady 3 i 4;,8 marca 24 Wartość oczekiwaa zmieej losowej dyskretej Defiicja. Dla zmieej losowej dyskretej
Bardziej szczegółowoMiary położenia (tendencji centralnej) to tzw. miary przeciętne charakteryzujące średni lub typowy poziom wartości cechy.
MIARY POŁOŻENIA I ROZPROSZENIA WYNIKÓW SERII POMIAROWYCH Miary położeia (tedecji cetralej) to tzw. miary przecięte charakteryzujące średi lub typowy poziom wartości cechy. Średia arytmetycza: X i 1 X i,
Bardziej szczegółowoZeszyty naukowe nr 9
Zeszyty aukowe r 9 Wyższej Szkoły Ekoomiczej w Bochi 2011 Piotr Fijałkowski Model zależości otowań giełdowych a przykładzie otowań ołowiu i spółki Orzeł Biały S.A. Streszczeie Niiejsza praca opisuje próbę
Bardziej szczegółowoANALIZA DANYCH DYSKRETNYCH
ZJAZD ESTYMACJA Jest to metoda wioskowaia statystyczego. Umożliwia oa oszacowaie wartości iteresującego as parametru a podstawie badaia próbki. Estymacja puktowa polega a określeiu fukcji zwaej estymatorem,
Bardziej szczegółowoModele tendencji rozwojowej STATYSTYKA OPISOWA. Dr Alina Gleska. Instytut Matematyki WE PP. 18 listopada 2017
STATYSTYKA OPISOWA Dr Alia Gleska Istytut Matematyki WE PP 18 listopada 2017 1 Metoda aalitycza Metoda aalitycza przyjmujemy założeie, że zmiay zjawiska w czasie moża przedstawić jako fukcję zmieej czasowej
Bardziej szczegółowoPRZEDZIAŁY UFNOŚCI. Niech θ - nieznany parametr rozkładu cechy X. Niech α będzie liczbą z przedziału (0, 1).
TATYTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD 3 RZEDZIAŁY UFNOŚCI Niech θ - iezay parametr rozkład cechy. Niech będzie liczbą z przedział 0,. Jeśli istieją statystyki, U i U ; U U ; których rozkład zależy od θ oraz U θ
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA OPISOWA I PROJEKTOWANIE EKSPERYMENTU dr inż Krzysztof Bryś
1 STATYSTYKA OPISOWA I PROJEKTOWANIE EKSPERYMENTU dr iż Krzysztof Bryś Pojȩcia wstȩpe populacja - ca ly zbiór badaych przedmiotów lub wartości. próba - skończoy podzbiór populacji podlegaj acy badaiu.
Bardziej szczegółowoZADANIA PRZYGOTOWUJĄCE DO SPRAWDZIANÓW W KLASIE DRUGIEJ.
ZADANIA PRZYGOTOWUJĄCE DO SPRAWDZIANÓW W KLASIE DRUGIEJ I Fukcja kwadratowa ) PODAJ POSTAĆ KANONICZNĄ I ILOCZYNOWĄ (O ILE ISTNIEJE) FUNKCJI: a) f ( ) + b) f ( ) 6+ 9 c) f ( ) ) Narysuj wykresy fukcji f
Bardziej szczegółowoZnajdowanie pozostałych pierwiastków liczby zespolonej, gdy znany jest jeden pierwiastek
Zajdowaie pozostałych pierwiastków liczby zespoloej, gdy zay jest jede pierwiastek 1 Wprowadzeie Okazuje się, że gdy zamy jede z pierwiastków stopia z liczby zespoloej z, to pozostałe pierwiastki możemy
Bardziej szczegółowoZADANIA NA ĆWICZENIA 3 I 4
Agata Boratyńska Statystyka aktuariala... 1 ZADANIA NA ĆWICZENIA 3 I 4 1. Wygeeruj szkody dla polis z kolejych lat wg rozkładu P (N = 1) = 0, 1 P (N = 0) = 0, 9, gdzie N jest liczbą szkód z jedej polisy.
Bardziej szczegółowoEstymacja przedziałowa:
Estymacja przedziałowa: Zamiast szukad ajlepszego estymatora, tak jak w estymacji puktowej będziemy poszukiwad przedziału, do którego będzie ależał szukay parametr z odpowiedio dużym prawdopodobieostwem.
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA MATEMATYCZNA
STATYSTYKA MATEMATYCZNA. Wykład wstępy. Teoria prawdopodobieństwa i elemety kombiatoryki 3. Zmiee losowe 4. Populacje i próby daych 5. Testowaie hipotez i estymacja parametrów 6. Test t 7. Test 8. Test
Bardziej szczegółowoIdentyfikacja i modelowanie struktur i procesów biologicznych
Idetyfikacja i modelowaie struktur i procesów biologiczych Laboratorium 4: Modele regresyje mgr iż. Urszula Smyczyńska AGH Akademia Góriczo-Huticza Aaliza regresji Aaliza regresji jest bardzo szeroka dziedzią,
Bardziej szczegółowoCOLLEGIUM MAZOVIA INNOWACYJNA SZKOŁA WYŻSZA WYDZIAŁ NAUK STOSOWANYCH. Kierunek: Finanse i rachunkowość. Robert Bąkowski Nr albumu: 9871
COLLEGIUM MAZOVIA INNOWACYJNA SZKOŁA WYŻSZA WYDZIAŁ NAUK STOSOWANYCH Kieruek: Fiase i rachukowość Robert Bąkowski Nr albumu: 9871 Projekt: Badaie statystycze cey baryłki ropy aftowej i wartości dolara
Bardziej szczegółowoĆwiczenia rachunkowe TEST ZGODNOŚCI χ 2 PEARSONA ROZKŁAD GAUSSA
Aaliza iepewości pomiarowych w esperymetach fizyczych Ćwiczeia rachuowe TEST ZGODNOŚCI χ PEARSONA ROZKŁAD GAUSSA UWAGA: Na stroie, z tórej pobrałaś/pobrałeś istrucję zajduje się gotowy do załadowaia arusz
Bardziej szczegółowoPodstawowe oznaczenia i wzory stosowane na wykładzie i laboratorium Część I: estymacja
Podstawowe ozaczeia i wzory stosowae a wykładzie i laboratorium Część I: estymacja 1 Ozaczeia Zmiee losowe (cechy) ozaczamy a wykładzie dużymi literami z końca alfabetu. Próby proste odpowiadającymi im
Bardziej szczegółowoKlucz odpowiedzi do zadań zamkniętych oraz schematy oceniania zadań otwartych. Matematyka. Poziom podstawowy
Klucz odpowiedzi do zadań zamkiętych oraz schematy oceiaia zadań otwartych Matematyka CZERWIEC 0 Schemat oceiaia Klucz puktowaia zadań zamkiętych Nr zad Odp 5 6 8 9 0 5 6 8 9 0 5 6 B C C B C C A A B B
Bardziej szczegółowoMatematyka ubezpieczeń majątkowych r.
Matematyka ubezpieczeń majątkowych 6..003 r. Zadaie. W kolejych okresach czasu t =,, 3, 4, 5 ubezpieczoy, charakteryzujący się parametrem ryzyka Λ, geeruje szkód. Dla daego Λ = λ zmiee N, N,..., N 5 są
Bardziej szczegółowo2. Schemat ideowy układu pomiarowego
1. Wiadomości ogóle o prostowikach sterowaych Układy prostowikowe sterowae są przekształtikami sterowaymi fazowo. UmoŜliwiają płya regulację średiej wartości apięcia wyprostowaego, a tym samym średiej
Bardziej szczegółowoElementy statystyki opisowej Izolda Gorgol wyciąg z prezentacji (wykład I)
Elemety statystyki opisowej Izolda Gorgol wyciąg z prezetacji (wykład I) Populacja statystycza, badaie statystycze Statystyka matematycza zajmuje się opisywaiem i aalizą zjawisk masowych za pomocą metod
Bardziej szczegółowoMINIMALIZACJA PUSTYCH PRZEBIEGÓW PRZEZ ŚRODKI TRANSPORTU
Przedmiot: Iformatyka w logistyce Forma: Laboratorium Temat: Zadaie 2. Automatyzacja obsługi usług logistyczych z wykorzystaiem zaawasowaych fukcji oprogramowaia Excel. Miimalizacja pustych przebiegów
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA OPISOWA PODSTAWOWE WZORY
MIARY POŁOŻENIA Średia Dla daych idywidualych: STATYSTYKA OPISOWA PODSTAWOWE WZORY Q i = x lmi + i mi 1 4 j h m i mi x = 1 x i x = 1 i ẋ i gdzie ẋ i środek i-tego przedziału i liczość i- tego przedziału
Bardziej szczegółowo16 Przedziały ufności
16 Przedziały ufości zapis wyiku pomiaru: sugeruje, że rozkład błędów jest symetryczy; θ ± u(θ) iterpretacja statystycza przedziału [θ u(θ), θ + u(θ)] zależy od rozkładu błędów: P (Θ [θ u(θ), θ + u(θ)])
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA OPISOWA WYKŁAD 1 i 2
STATYSTYKA OPISOWA WYKŁAD i 2 Literatura: Marek Cieciura, Jausz Zacharski, Metody probabilistycze w ujęciu praktyczym, L. Kowalski, Statystyka, 2005 2 Statystyka to dyscyplia aukowa, której zadaiem jest
Bardziej szczegółowon n X n = σ σ = n n n Ponieważ zmienna losowa standaryzowana ma rozkład normalny N(0, 1), więc
5.3. Zagadieia estymacji 87 Rozważmy teraz dokładiej zagadieie szacowaia wartości oczekiwaej m zmieej losowej X o rozkładzie ormalym N(m, F), w którym odchyleie stadardowe F jest zae. Niech X, X,..., X
Bardziej szczegółowoElementy modelowania matematycznego
Elemety modelowaia matematyczego Wstęp Jakub Wróblewski jakubw@pjwstk.edu.pl http://zajecia.jakubw.pl/ TEMATYKA PRZEDMIOTU Modelowaie daych (ilościowe): Metody statystycze: estymacja parametrów modelu,
Bardziej szczegółowoPodstawy opracowania wyników pomiarów z elementami analizy niepewności pomiarowych (w zakresie materiału przedstawionego na wykładzie organizacyjnym)
Podstawy opracowaia wyików pomiarów z elemetami aalizepewości pomiarowych (w zakresie materiału przedstawioego a wykładzie orgaizacyjym) Pomiary Wyróżiamy dwa rodzaje pomiarów: pomiar bezpośredi, czyli
Bardziej szczegółowoLista 5. Odp. 1. xf(x)dx = xdx = 1 2 E [X] = 1. Pr(X > 3/4) E [X] 3/4 = 2 3. Zadanie 3. Zmienne losowe X i (i = 1, 2, 3, 4) są niezależne o tym samym
Lista 5 Zadaia a zastosowaie ierówosci Markowa i Czebyszewa. Zadaie 1. Niech zmiea losowa X ma rozkład jedostajy a odciku [0, 1]. Korzystając z ierówości Markowa oszacować od góry prawdopodobieństwo, że
Bardziej szczegółowoAnaliza wyników symulacji i rzeczywistego pomiaru zmian napięcia ładowanego kondensatora
Aaliza wyików symulacji i rzeczywistego pomiaru zmia apięcia ładowaego kodesatora Adrzej Skowroński Symulacja umożliwia am przeprowadzeie wirtualego eksperymetu. Nie kostruując jeszcze fizyczego urządzeia
Bardziej szczegółowoModa (Mo, D) wartość cechy występującej najczęściej (najliczniej).
Cetrale miary położeia Średia; Moda (domiata) Mediaa Kwatyle (kwartyle, decyle, cetyle) Moda (Mo, D) wartość cechy występującej ajczęściej (ajlicziej). Mediaa (Me, M) dzieli uporządkoway szereg liczbowy
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1, zima 2016/17
Egzami, 18.02.2017, godz. 9:00-11:30 Zadaie 1. (22 pukty) W każdym z zadań 1.1-1.10 podaj w postaci uproszczoej kresy zbioru oraz apisz, czy kresy ależą do zbioru (apisz TAK albo NIE, ewetualie T albo
Bardziej szczegółowoParametryczne Testy Istotności
Parametrycze Testy Istotości Wzory Parametrycze testy istotości schemat postępowaia pukt po pukcie Formułujemy hipotezę główą H odośie jakiegoś parametru w populacji geeralej Hipoteza H ma ajczęściej postać
Bardziej szczegółowo(X i X) 2. n 1. X m S
Wykład 8. Przedziały ufości i testowaie hipotez A gdy ie zamy wariacji σ 2? Załóżmy, że X ma rozkład ormaly, ale ie zamy wartości ai m ai σ 2. Jak wtedy szacować wartość średią m? Przypomijmy, że Wtedy
Bardziej szczegółowo1 Przedziały ufności. ). Obliczamy. gdzie S pochodzi z rozkładu B(n, 1 2. P(2 S n 2) = 1 P(S 2) P(S n 2) = 1 2( 2 n +n2 n +2 n ) = 1 (n 2 +n+2)2 n.
Przedziały ufości W tym rozdziale będziemy zajmować się przede wszystkim zadaiami związaymi z przedziałami ufości Będą as rówież iteresować statystki pozycyje oraz estymatory ajwiększej wiarygodości (Eg
Bardziej szczegółowoPOLITECHNIKA OPOLSKA
POLITCHIKA OPOLSKA ISTYTUT AUTOMATYKI I IFOMATYKI LABOATOIUM MTOLOII LKTOICZJ 7. KOMPSATOY U P U. KOMPSATOY APIĘCIA STAŁO.. Wstęp... Zasada pomiaru metodą kompesacyją. Metoda kompesacyja pomiaru apięcia
Bardziej szczegółowoz przedziału 0,1. Rozważmy trzy zmienne losowe:..., gdzie X
Matematyka ubezpieczeń majątkowych.0.0 r. Zadaie. Mamy day ciąg liczb q, q,..., q z przedziału 0,. Rozważmy trzy zmiee losowe: o X X X... X, gdzie X i ma rozkład dwumiaowy o parametrach,q i, i wszystkie
Bardziej szczegółowoSTATYSTKA I ANALIZA DANYCH LAB II
STATYSTKA I ANALIZA DANYCH LAB II 1. Pla laboratorium II rozkłady prawdopodobieństwa Rozkłady prawdopodobieństwa dwupuktowy, dwumiaowy, jedostajy, ormaly. Związki pomiędzy rozkładami prawdopodobieństw.
Bardziej szczegółowoMETODY NUMERYCZNE dr inż. Mirosław Dziewoński
Metody Numerycze METODY NUMERYCZNE dr iż. Mirosław Dziewoński e-mail: miroslaw.dziewoski@polsl.pl Pok. 151 Wykład /1 Metody Numerycze Aproksymacja fukcji jedej zmieej Wykład / Aproksymacja fukcji jedej
Bardziej szczegółowoZadanie 3. Na jednym z poniższych rysunków przedstawiono fragment wykresu funkcji. Wskaż ten rysunek.
FUNKCJA KWADRATOWA. Zadaia zamkięte. Zadaie. Wierzchołek paraboli, która jest wykresem fukcji f ( x) ( x ) ma współrzęde: A. ( ; ) B. ( ; ) C. ( ; ) D. ( ; ) Zadaie. Zbiorem rozwiązań ierówości: (x )(x
Bardziej szczegółowoVII MIĘDZYNARODOWA OLIMPIADA FIZYCZNA (1974). Zad. teoretyczne T3.
KOOF Szczeci: www.of.szc.pl VII MIĘDZYNAODOWA OLIMPIADA FIZYCZNA (1974). Zad. teoretycze T3. Źródło: Komitet Główy Olimpiady Fizyczej; Olimpiada Fizycza XXIII XXIV, WSiP Warszawa 1977 Autor: Waldemar Gorzkowski
Bardziej szczegółowoPierwiastki z liczby zespolonej. Autorzy: Agnieszka Kowalik
Pierwiastki z liczby zespoloej Autorzy: Agieszka Kowalik 09 Pierwiastki z liczby zespoloej Autor: Agieszka Kowalik DEFINICJA Defiicja : Pierwiastek z liczby zespoloej Niech będzie liczbą aturalą. Pierwiastkiem
Bardziej szczegółowoANALIZA KORELACJI IREGRESJILINIOWEJ
ANALIZA KORELACJI IREGRESJILINIOWEJ 1. ZALEŻNOŚCI STOCHASTYCZNE Badajac zjawiska o charakterze masowym, w tym szczególie zjawiska spo leczo-ekoomicze, stwierdzamy, że każde z ich jest uwarukowae dzia laiem
Bardziej szczegółowoEgzamin maturalny z matematyki CZERWIEC 2011
Egzami maturaly z matematyki CZERWIEC 0 Klucz puktowaia do zadań zamkiętych oraz schemat oceiaia do zadań otwartych POZIOM PODSTAWOWY Poziom podstawowy czerwiec 0 Klucz puktowaia do zadań zamkiętych Nr
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA OPISOWA PODSTAWOWE WZORY
MIARY POŁOŻENIA Średia Dla daych idywidualych: x = 1 STATYSTYKA OPISOWA PODSTAWOWE WZORY x i x = 1 i ẋ i gdzie ẋ i środek i-tego przedziału i liczość i- tego przedziału Domiata (moda Liczba ajczęściej
Bardziej szczegółowoEKONOMETRIA. Liniowy model ekonometryczny (regresji) z jedną zmienną objaśniającą
EKONOMETRIA Tema wykładu: Liiowy model ekoomeryczy (regresji z jedą zmieą objaśiającą Prowadzący: dr iż. Zbigiew TARAPATA e-mail: Zbigiew.Tarapaa Tarapaa@isi.wa..wa.edu.pl hp:// zbigiew.arapaa.akcja.pl/p_ekoomeria/
Bardziej szczegółowoMetoda łączona. Wykład 7 Dwie niezależne próby. Standardowy błąd dla różnicy dwóch średnich. Metoda zwykła (niełączona) n2 2
Wykład 7 Dwie iezależe próby Często porówujemy wartości pewej zmieej w dwóch populacjach. Przykłady: Grupa zabiegowa i kotrola Lekarstwo a placebo Pacjeci biorący dwa podobe lekarstwa Mężczyźi a kobiety
Bardziej szczegółowoPoziom rozszerzony. 5. Ciągi. Uczeń:
PIOTR LUDWIKOWSKI Materiał z wykładu z aalizy dla uczestików koerecji Podstawa programowa z kometarzami Tom 6 Edukacja matematycza i techicza w szkole podstawowej, gimazjum i liceum matematyka, zajęcia
Bardziej szczegółowoArkusz ćwiczeniowy z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE. W zadaniach od 1. do 21. wybierz i zaznacz poprawną odpowiedź. 1 C. 3 D.
Arkusz ćwiczeiowy z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE W zadaiach od. do. wybierz i zazacz poprawą odpowiedź. Zadaie. ( pkt) Liczbę moża przedstawić w postaci A. 8. C. 4 8 D. 4 Zadaie. ( pkt)
Bardziej szczegółowo0.1 ROZKŁADY WYBRANYCH STATYSTYK
0.1. ROZKŁADY WYBRANYCH STATYSTYK 1 0.1 ROZKŁADY WYBRANYCH STATYSTYK Zadaia 0.1.1. Niech X 1,..., X będą iezależymi zmieymi losowymi o tym samym rozkładzie. Obliczyć ES 2 oraz D 2 ( 1 i=1 X 2 i ). 0.1.2.
Bardziej szczegółowoInformatyka Stosowana-egzamin z Analizy Matematycznej Każde zadanie należy rozwiązać na oddzielnej, podpisanej kartce!
Iformatyka Stosowaa-egzami z Aalizy Matematyczej Każde zadaie ależy rozwiązać a oddzielej, podpisaej kartce! y, Daa jest fukcja f (, + y, a) zbadać ciągłość tej fukcji f b) obliczyć (,) (, (, (,) c) zbadać,
Bardziej szczegółowoNumeryczny opis zjawiska zaniku
FOTON 8, iosa 05 7 Numeryczy opis zjawiska zaiku Jerzy Giter ydział Fizyki U Postawieie problemu wielu zagadieiach z różych działów fizyki spotykamy się z astępującym problemem: zmiay w czasie t pewej
Bardziej szczegółowoZasada indukcji matematycznej. Dowody indukcyjne.
Zasada idukcji matematyczej Dowody idukcyje Z zasadą idukcji matematyczej i dowodami idukcyjymi sytuacja jest ajczęściej taka, że podaje się w szkole treść zasady idukcji matematyczej, a astępie omawia,
Bardziej szczegółowoMiary rozproszenia. Miary położenia. Wariancja. Średnia. Dla danych indywidualnych: Dla danych indywidualnych: s 2 = 1 n. (x i x) 2. x i.
Miary położeia Średia Dla daych idywidualych: x = 1 x = 1 x i i ẋ i gdzie ẋ i środek i tego przedziału i - liczość i-tego przedziału Domiata moda Liczba ajczęściej występująca jeśli taka istieje - dla
Bardziej szczegółowoPorównanie dwu populacji
Porówaie dwu populacji Porówaie dwóch rozkładów ormalych Założeia:. X ~ N( m, σ ), X ~ N( m, σ ), σ σ. parametry rozkładów ie ą zae. X, X ą iezależe. Ocea różicy między średimi m m m m x x (,...) H 0 :
Bardziej szczegółowoStatystyka opisowa. (n m n m 1 ) h (n m n m 1 ) + (n m n m+1 ) 2 +1), gdy n jest parzyste
Statystyka opisowa Miary statystycze: 1. miary położeia a) średia z próby x = 1 x = 1 x = 1 x i - szereg wyliczający x i i - szereg rozdzielczy puktowy x i i - szereg rozdzielczy przedziałowy, gdzie x
Bardziej szczegółowoĆwiczenie: Wybrane zagadnienia z korelacji i regresji
Ćwiczenie: Wybrane zagadnienia z korelacji i regresji W statystyce stopień zależności między cechami można wyrazić wg następującej skali: Skala Stanisza r xy = 0 zmienne nie są skorelowane 0 < r xy 0,1
Bardziej szczegółowoZestaw II Odpowiedź: Przeciętna masa ciała w grupie przebadanych szczurów wynosi 186,2 g.
Zadaia przykładowe z rozwiązaiami Zadaie Dokoao pomiaru masy ciała 8 szczurów laboratoryjych. Uzyskao astępujące wyiki w gramach: 70, 80, 60, 90, 0, 00, 85, 95. Wyzaczyć przeciętą masę ciała wśród zbadaych
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne Laboratorium 5 Info
Metody umerycze Laboratorium 5 Ifo Aproksymacja - proces określaia rozwiązań przybliżoych a podstawie rozwiązań zaych, które są bliskie rozwiązaiom dokładym w ściśle sprecyzowaym sesie. Metoda ajmiejszych
Bardziej szczegółowoMiary położenia. Miary rozproszenia. Średnia. Wariancja. Dla danych indywidualnych: Dla danych indywidualnych: s 2 = 1 n. (x i x) 2. x i.
Miary położeia Średia Dla daych idywidualych: x = 1 x = 1 x i i ẋ i gdzie ẋ i środek i tego przedziału i - liczość i-tego przedziału Domiata moda Liczba ajczęściej występująca jeśli taka istieje - dla
Bardziej szczegółowoma rozkład złożony Poissona z oczekiwaną liczbą szkód równą λ i rozkładem wartości pojedynczej szkody takim, że Pr( Y
Zadaie. Łącza wartość szkód z pewego ubezpieczeia W = Y + Y +... + YN ma rozkład złożoy Poissoa z oczekiwaą liczbą szkód rówą λ i rozkładem wartości pojedyczej szkody takim, że ( Y { 0,,,3,... }) =. Niech:
Bardziej szczegółowoKlucz odpowiedzi do zadań zamkniętych oraz schematy oceniania zadań otwartych. Matematyka. Poziom podstawowy
Klucz odpowiedzi do zadań zamkiętych oraz schematy oceiaia zadań otwartych Matematyka CZERWIEC 0 Klucz puktowaia zadań zamkiętych Nr zad Odp 5 6 8 9 0 5 6 8 9 0 5 6 B C C B C C A A B B C A B A A A B D
Bardziej szczegółowoMACIERZE STOCHASTYCZNE
MACIERZE STOCHASTYCZNE p ij - prawdopodobieństwo przejścia od stau i do stau j w jedym (dowolym) kroku, [p ij ]- macierz prawdopodobieństw przejść (w jedym kroku), Własości macierzy prawdopodobieństw przejść:
Bardziej szczegółowoBADANIA DOCHODU I RYZYKA INWESTYCJI
StatSoft Polska, tel. () 484300, (60) 445, ifo@statsoft.pl, www.statsoft.pl BADANIA DOCHODU I RYZYKA INWESTYCJI ZA POMOCĄ ANALIZY ROZKŁADÓW Agieszka Pasztyła Akademia Ekoomicza w Krakowie, Katedra Statystyki;
Bardziej szczegółowo