Zestaw zadań przygotowujących do egzaminu maturalnego z matematyki Poziom podstawowy

Transkrypt

1 Matematyka- Zestaw zadań przygotowujących do egzaminu maturalnego z matematyki. Poziom podstawowy, Maria Płażewska Zestaw zadań przygotowujących do egzaminu maturalnego z matematyki Poziom podstawowy Spis treści. Funkcje.... Funkcja kwadratowa.... Funkcje trygonometryczne.... Elementy geometrii analitycznej Ciągi Zadania różne Odpowiedzi... 9 Funkcje Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji liniowej. y - - Zad. - a) Sprawdź, czy punkt A = (8;-) należy do wykresu tej funkcji. b) Znajdź wzór funkcji, której wykres jest równoległy do wykresu danej funkcji i przechodzi przez punkt M = (-;-). +, dla ( ; ) Dana jest funkcja f ( ) =, dla < ; >, dla (;8) a) Wykonaj wykres funkcji. b) Podaj dziedzinę i zbiór wartości tej funkcji. c) Dla jakiego argumentu funkcja przyjmuje wartość -? Zad. Dana jest funkcja f() = a +6. a) Dla jakiego a miejsce zerowe tej funkcji jest równe,5?

2 b) Dla jakiego a prosta, będąca wykresem tej funkcji jest nachylona do osi OX pod kątem? c) Dla a = - wykonaj wykres tej funkcji, wiedząc, ze dziedziną funkcji są liczby naturalne. Zad. Na rysunku przedstawiono wykres pewnej funkcji y a) Odczytaj dziedzinę i zbiór wartości tej funkcji. b) Odczytaj miejsca zerowe tej funkcji oraz wartość tej funkcji dla argumentu. c) Dla jakich argumentów funkcja jest rosnąca?. Funkcja kwadratowa Wykresem pewnej funkcji kwadratowej f jest parabola o wierzchołku W=(-;-,5). Liczba jest jednym z miejsc zerowych tej funkcji. Rozwiąż nierówność f() -. Zad. Odcięta wierzchołka paraboli, będącej wykresem pewnej funkcji kwadratowej, jest równa. Funkcja ta przechodzi przez punkt o współrzędnych (-;), a jednym z jej miejsc zerowych jest. Wyznacz wzór tej funkcji kwadratowej. Podaj go w postaci ogólnej. Zad.

3 5y Na rysunku przedstawiony jest fragment wykresu pewnej funkcji kwadratowej. Oblicz najmniejszą i największą wartość tej funkcji w przedziale < ;6 >. Zad. Na rysunku przedstawiony jest fragment wykresu pewnej funkcji kwadratowej. Oblicz najmniejszą i największą tej funkcji w przedziale < -; >. y Na rysunku przedstawiony jest fragment wykresu pewnej funkcji kwadratowej f. y a) Zapisz wzór funkcji f w postaci iloczynowej. b) Rozwiąż równanie f()=-. Dana jest funkcja kwadratowa o następujących własnościach:

4 jej zbiorem wartości jest przedział < - ;7 >, funkcja jest malejąca dla argumentów należących do przedziału < ; >, odcięta punktu przecięcia wykresu funkcji z osią y jest równa 9. Naszkicuj wykres tej funkcji. Na rysunku przedstawiony jest fragment wykresu pewnej funkcji kwadratowej f. y a) Podaj miejsca zerowe tej funkcji. b) Oblicz wartość wyrażenia: f(5)-f(-). Funkcje trygonometryczne Doprowadź wyrażenie: jego wartość dla π α =. 6 sin α + sin α cosα sinα do najprostszej postaci, a następnie oblicz sinα cosα Zad. sin Dana jest funkcja g( ) =. sin cos π a) Przedstaw funkcję g w najprostszej postaci, a następnie oblicz jej wartość dla =. π π b) Wykonaj wykres funkcji f ( ) = g( ) dla ;, a następnie odczytaj z jej wykresu, dla jakich argumentów funkcja przyjmuje wartości dodatnie. Zad. Wykonaj wykres funkcji ( ) ( sin + )( sin ) ( + sin ) π f = dla π;, a tgctg następnie odczytaj z jej wykresu: a) dla jakich argumentów funkcja przyjmuje wartości większe od, b) jej miejsca zerowe. Zad. Wykonaj wykres funkcji f() = cos( wykresu: π + ) + dla π; π, a następnie odczytaj z jej

5 a) jej miejsca zerowe, b) dla jakich argumentów funkcja przyjmuje wartość najmniejszą c) zbiór wartości funkcji. W trapezie równoramiennym długość krótszej podstawy jest równa długości ramienia i wynosi cm. Oblicz pole tego trapezu, wiedząc, że kąt między ramieniem trapezu a jego wysokością wynosi º. Artur planuje zaadaptować strych na mieszkanie. Postanowił, że w mieszkaniu, które powstanie, wysokość ściany w najniższym miejscu będzie miała,5 m. Jednak ostatecznie przyjął, że ta wysokość wyniesie, m. Przekrój strychu przedstawiony jest na rysunku. Ustal, jak daleko od najwyższej ściany musi umieścić ścianę o najniższej wysokości, wiedząc, że wysokość najwyższej ściany wynosi,8 m, a strop jest nachylony do podłogi pod kątem º. strop Zad.7 Oblicz pole i obwód figury przedstawionej na rysunku º Zad.8 F D C α A B E Obwód trójkąta równoramiennego DEF, położonego jak na jak na powyższym rysunku wynosi 5,6 dm. Wiemy ponadto, że w trójkącie DEF zachodzi DE = DF, a podstawa jest o cm dłuższa od długości ramienia. Oblicz długość przekątnej kwadratu ABCD, gdy cosα =. Elementy geometrii analitycznej 5

6 Dany jest trójkąt ABC, gdzie A = (-;) i C = (6;). Ponadto wiadomo, że punkt B jest symetryczny do punktu A względem początku układu współrzędnych. Wyznacz równanie prostej zawierającej wysokość trójkąta ABC opuszczoną z wierzchołka C. Zad. Punkt A = (;5) jest symetryczny do pewnego punktu B względem osi y. Punkty: C = (-;-7) i B są symetryczne względem pewnej prostej k. a) Wyznacz równanie prostej k. b) Wyznacz współrzędne wektora CA. Zad. Punkt A = (;6) jest symetryczny do punktu B względem prostej k danej równaniem = -5. Oblicz długość środkowej AD trójkąta ABC, gdzie C = (-;-). Zad. Dane są punkty A = (-;), B = (;- ) i C = (-6; ). a) Sprawdź, czy punkty ABC są współliniowe. b) Wyznacz długość odcinka BC. Dane są punkty A = (-;-), B = (;) i C = (-;). a) Wyznacz współrzędne punktu D wiedząc, że wektor CD jest przeciwny do wektora AB. b)wyznacz równanie prostej prostopadłej do prostej AB i przechodzącej przez punkt C. Dany jest trójkąt ABC, gdzie A = (-;5) i B = (;8). Prosta y = -+ zawiera bok AC tego trójkąta, a prosta y = -5,5+ bok BC. a) Wyznacz równanie prostej równoległej do prostej zawierającej bok AB i przechodzącej przez wierzchołek C. b) Oblicz pole trójkąta ABC. Ciągi Dany jest ciąg o wyrazie ogólnym a n = n + n + 9n 9. Które wyrazy tego ciągu są dodatnie? Zad. Dany jest ciąg o wyrazie ogólnym a n = n n 5n +. a) Oblicz drugi wyraz tego ciągu. b) Który z wyrazów tego ciągu jest równy? Zad. n + 6 Dany jest ciąg o wyrazie ogólnym a n =. Które wyrazy tego ciągu są większe od? n + Zad. Zbadaj, czy wyrazy:,, są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego. Wiedząc, że w pewnym ciągu arytmetycznym a = -,6 oraz a a = - oblicz sumę wyrazów tego ciągu od wyrazu dwudziestego trzeciego do wyrazu trzydziestego drugiego. 6

7 Liczby: -, 7- i 8 są kolejnymi wyrazami pewnego rosnącego ciągu arytmetycznego. a) Wyznacz. b) Oblicz różnicę tego ciągu. Zad.7 Drugi i trzeci wyraz ciągu arytmetycznego są rozwiązaniem równania + + =. Ile wyrazów tego ciągu jest liczba naturalną dwucyfrową? Zad.8 Sprawdź, czy liczba może być wyrazem ciągu arytmetycznego, w którym różnica podwojonego wyrazu piątego oraz wyrazu dziesiątego jest 9, a iloraz wyrazu trzynastego i dziesiątego wynosi. Zad.9 Dany jest ciąg o wyrazie ogólnym a n = n+.wyrazy tego ciągu: a k, a k+ i a k+5 pomniejszony o tworzą trzy pierwsze wyrazy ciągu arytmetycznego. Wyznacz k, a następnie oblicz wyraz siódmy ciągu arytmetycznego. Wiedząc, że szósty wyraz pewnego ciągu geometrycznego jest równy -, a dziesiąty 8, oblicz sumę dziesięciu początkowych wyrazów tego ciągu. Suma dziewięciu początkowych wyrazów ciągu geometrycznego wynosi 855. Iloraz tego 5 ciągu jest równy wartości wyrażenia: 6 6. Oblicz drugi wyraz tego ciągu. cosα cos α Dane jest wyrażenie:. 5sinα 5sin α a) Doprowadź dane wyrażenie do najprostszej postaci.,5 b) Dany jest ciąg geometryczny, w którym pierwszy wyraz jest równy 6, a π iloraz jest równy wartości danego wyrażenia dla α=. Oblicz wartość wyrażenia a 5 + a wiedząc, że a i a 5 to wyrazy danego ciągu geometrycznego. Oblicz wartość wyrażenia ( 9b ), gdzie b jest pierwszym wyrazem ciągu π geometrycznego, w którym iloraz jest równy tg -. Wyraz piąty tego ciągu jest równy 7. Dany jest ciąg o wyrazie ogólnym a n = n-7. Wyrazy tego ciągu: a k, a k+ pomniejszony o dwa i a k+6 powiększony o dwanaście tworzą trzy pierwsze wyrazy ciągu geometrycznego. Wyznacz k, a następnie oblicz sumę pięciu początkowych wyrazów tego ciągu. 7

8 5 Dwa pierwsze wyrazy pewnego ciągu geometrycznego są miejscami zerowymi funkcji kwadratowej f ( ) =,5 +, przy czym pierwszy wyraz jest dodatni. Piąty wyraz tego ciągu geometrycznego jest pierwszym wyrazem ciągu arytmetycznego. Różnica ciągu π π arytmetycznego jest równa wartości wyrażenia: sin tg + ( 6). Oblicz dziesiąty wyraz ciągu arytmetycznego. 6 Wyraz szósty pewnego ciągu geometrycznego jest równy, a dziewiąty. 6 Wyraz czwarty pomniejszony o 8 jest pierwszym wyrazem pewnego ciągu arytmetycznego. Drugi wyraz ciągu arytmetycznego jest równy podwojonemu szóstemu wyrazowi ciągu geometrycznego. Czy liczba 68 może być wyrazem ciągu arytmetycznego? 7 Pan Kowalski wpłacił do pewnego banku na lokatę półroczną 5 zł. Oprocentowanie lokat w tym banku przedstawione jest w tabeli; oprocentowanie podane jest w stosunku rocznym. Ile pieniędzy będzie miał na koncie pan Kowalski po upływie dwu i pół roku? Pamiętaj o uwzględnieniu % podatku. okres poniżej tys.zł od do tys.zł miesiące,,6 miesiące,,9 miesiące,,9 6 miesięcy,5, miesięcy,6,5 8 Pani Ola wpłaciła na trzymiesięczną lokatę, oprocentowaną w skali roku % pewną kwotę. Po upływie dwóch lat okazało się, że na koncie, przed uwzględnieniem podatku, ma 777,9 zł. a) Ile pieniędzy wpłaciła pani Ola na lokatę. b) Ile zostanie jej pieniędzy, gdy zostanie uwzględniony podatek od odsetek? 9 Pan Nowak wpłacił do pewnego banku na lokatę czteromiesięczną zł. Oprocentowanie lokat w tym banku przedstawione jest w tabeli, oprocentowanie podane jest w stosunku rocznym. Ile pieniędzy będzie miał pan Nowak na koncie po upływie dwu i pół roku? Pamiętaj o uwzględnieniu % podatku od odsetek. okres poniżej tys.zł od do tys.zł miesiąc,,6 miesiące,,6 miesiące,,9 miesiące,,9 6 miesięcy,5, 9 miesięcy,5, 8

9 miesięcy,6,5 Uwaga: W przypadku wcześniejszej wypłaty pieniędzy niż deklarowany okres lub jego wielokrotności oprocentowanie lokaty wynosi,5%. Zad. Pani Ewa wpłaciła na lokatę półroczną zł. Po upływie półtora roku zlikwidowała lokatę, otrzymując 66, zł. Jakie było oprocentowanie tej lokaty w skali roku? W obliczeniach nie uwzględniaj podatku od odsetek. Zadania różne Dane są dwie liczby: 6 8 m = i n = a) Przedstaw liczbę m jako potęgę liczby. b) Oblicz jakim procentem liczby m jest liczba n. Wynik podaj z dokładnością do,. c) Oblicz liczbę, której, % jest równe liczbie m. Zad. W pewnym sklepie cena lodówki po 5% obniżce wynosi zł. Po pewnym czasie cenę tej lodówki obniżono jeszcze o 5%. a) Czy zł wystarczy na zakup lodówki po drugiej obniżce? b) Ile możemy zaoszczędzić pieniędzy w stosunku do ceny pierwotnej, gdy kupimy lodówkę po drugiej obniżce? Zad. Liczba jest pierwiastkiem wielomianu W()= k + 6. a) Wyznacz współczynnik k. b) Dla wyznaczonego k oblicz pozostałe pierwiastki tego wielomianu. Zad. Reszta z dzielenia wielomianu W()= + a 7 + b przez dwumian - wynosi -7. Liczba 5 jest pierwiastkiem tego wielomianu. a) Wyznacz współczynniki a i b. b) Dla wyznaczonych a i b oblicz pozostałe pierwiastki tego wielomianu. c) Oblicz sumę kwadratów dwóch najmniejszych pierwiastków tego wielomianu. Dane są zbiory liczb rzeczywistych: A = { : -6 } i B, gdzie zbiór B jest dziedziną + 7 funkcji f() =. Zapisz w postaci przedziałów liczbowych zbiory A, B, A B oraz A \ B. W trapez równoramienny wpisano okrąg o promieniu cm. Oblicz długości boków tego trapezu, wiedzą, że jego pole wynosi 5 cm. Zad.7 Na diagramie przedstawiono oceny uzyskane przez Jarka na pierwsze półrocze. 9

10 Ilość ocen Ocena 5 6 Jarek postanowił, że na koniec roku uzyska średnią równą co najmniej,75 a uzyskane oceny nie będą niższe niż cztery. Jarkowi udało się zrealizować swój plan, choć nie udało mu się uzyskać żadnej szóstki. Ile Jarek miał na świadectwie czwórek? Odpowiedzi Funkcje a) tak, b) y =. Zad. a) D = <-5;7), ZW = (-;>, b), 6; f() =, c) <-5;). Zad. b) D = <- ;8), ZW = (- ;) <;7), c). Zad. a), b), c) y = -+6. Funkcja kwadratowa <-;->. Zad. Wartość najmniejsza, wartość największa 5. Zad. a) f() = -(-)(-), b) ; 5. Zad. f() = Wartość najmniejsza 5, wartość największa Miejsca zerowe: -,, b) -. Funkcje trygonometryczne sinα- cosα,. Zad. a) g() = ctg, b) ; π. Zad. a) 5π π 7π π ; ; 6 6 6, b) π π Zad. a) π ; ; π, b), c) 5 cm.,5 m. π π ;. ;..

11 Zad.7 P = 6 ( + ) Zad.8 6 cm. j, ob.= ( 6 + 6) + j. Elementy geometrii analitycznej y =,5 5. Zad. a) y = -, b) 6 5. Zad. 9. Zad. a) Tak, b). a) D = (-6;), b) y = -,5 +,5. y =,5 6, b) 6 j. Ciągi Od drugiego do dziewiątego. Zad. a) 8, b) piętnasty. Zad. Wszystkie wyrazy począwszy od dziewiątego. Zad. Tak. 6,5. a) -5 lub, b) 5. Zad.7 wyrazy. Zad.8 Nie może. Zad.9 k =,5, a 7 = ,5 lub 55,75.. a) tgα, b) k = 5, S 5 = 6. 5,5. 6 Tak , ,. Zad. %. Zadania różne 7 a), b) 5,6 c). Zad. a) Tak, b) 87,55zł. Zad. a), b) i. Zad. a) a =, b = 5, b) i, c) 6. A = (- ; -> <8; ), B = ( 6 ; 5) ( 5; ), A B = ( 6; 5 ) 8 ; ), A\B = (- ;-6 5 ;., 5,, 5. Zad.7 Co najwyżej trzy.