Prace semestralne luty 2011 czerwiec Z każdej pracy wybieramy jeden poziom i robimy zadania TYLKO z tego poziomu

Transkrypt

1 Prace semestralne luty 2011 czerwiec 2011 Z każdej pracy wybieramy jeden poziom i robimy zadania TYLKO z tego poziomu Praca semestralna nr 1a Semestr II Funkcje, funkcja liniowa. Zadania na ocenę dopuszczającą: 1. Dana jest funkcja opisana tabelką: n f(n) Zapisz tę funkcję za pomocą grafu i narysuj jej wykres. 2. Narysuj wykres funkcji f(x) = 3x 5 i określ jej monotoniczność. : 1. Funkcja f liczbie dwucyfrowej mniejszej od 20 przyporządkowuje sumę jej cyfr. Narysuj graf, tabelkę i wykres tej funkcji. 2. Narysuj wykres, oblicz miejsce zerowe i określ monotoniczność funkcji f(x) = ¾x + 2. : 1. Narysuj wykres funkcji: 2x+4 dla x < 0 f(x) = 4 dla 0 x 4-4x + 20 dla x 4 2. Znajdź wzór funkcji, której wykres jest równoległy do wykresu funkcji f(x) = 3x 1 i przechodzi przez punkt o współrzędnych ( 2, -1 ) : 1. Narysuj wykres funkcji : f(x) = -x + 2 dla x 2x + 3 dla x < 0 Oblicz jej miejsca zerowe, określ monotoniczność, podaj argumenty dla których funkcja przyjmuje wartości dodatnie. 2. Dana jest funkcja f(x) = ( 3m 1 )x 7. Wyznacz m, aby miejscem zerowym funkcji była liczbą x = - 3. Narysuj wykres otrzymanej funkcji i określ jej monotoniczność.

2 Zadania na ocenę dopuszczającą Praca semestralna nr 1b semestr II Funkcja kwadratowa. 1. Narysuj wykres funkcji f(x) = -3x x Podaj postać kanoniczną i iloczynową funkcji f(x) = 2x 2-5x Wyznacz najmniejszą wartość funkcji f(x) = 3x 2-2x Rozwiąż nierówność 2x 2 + 5x 8 > x 2 + 4x Znajdź wzór funkcji kwadratowej, której wykresem jest parabola o wierzchołku ( 3, -7 ) przechodząca przez punkt ( 5, 9 ) 2. Zaznacz na osi liczbowej zbiór A B, gdzie A = { x R : 2x 2 - x 3 > 0 }, B = { x R : -2x 2 + x + 15 > 0 } 1. Narysuj wykres funkcji f(x) = -x 2 + 6x, gdzie dziedziną funkcji jest przedział < -1, 5 >. Podaj zbiór wartości funkcji, przedziały, e których funkcja przyjmuje wartości ujemne i zapisz jej wzór w postaci kanonicznej Funkcja f(x) = - 2x 2 + bx + c przyjmuje jednakowe wartości dla argumentów 1 i 5. Do wykresu funkcji należy początek układu współrzędnych. Wyznacz wartości współczynników b i c, Dla wyznaczonych współczynników narysuj wykres funkcji i podaj przedziały monotoniczności.

3 Praca semestralna nr 2 Semestr II Funkcje trygonometryczne. Zadania na ocenę dopuszczającą 1. Jedna z przyprostokątnych trójkąta prostokątnego ma długość 3 2, a przeciwprostokątna ma długość 3 3. Oblicz wartości funkcji trygonometrycznych kąta pomiędzy danymi bokami ( do zadania wykonaj rysunek ) Wiedząc, że sinα = 7 oblicz wartości pozostałych funkcji trygonometrycznych kąta α. 1. W trójkącie prostokątnym cosα = ⅔, a przeciwprostokątna tego trójkąta ma długość 15 oblicz długości pozostałych boków tego trójkąta. 2. Wiedząc, że tgα = oblicz wartości pozostałych funkcji trygonometrycznych kąta α. Do zadania wykonaj rysunek. 1. Czy istnieje kąt α, taki, że sinα =. 3 /3 i tgα. = ⅔. 2. Dany jest trapez równoramienny, w którym długości podstaw wynoszą 3 i 5, a ramię ma długość 4. Oblicz tangens kąta ostrego tego trapezu i podaj jego wartość z dokładnością do 0, Dla pewnego kąta ostrego prawdziwa jest równość: tgα +1/tgα = 5/cosα.Oblicz wartość sinα, cosα i tgα. 2. Na morzu widać z żaglówki światło latarni morskiej pod kątem o mierze 30 do poziomu. Po przepłynięciu 50 m w kierunklu latarni światło latarni widać pod kątem 60 do poziomu. Oblicz wysokość latarni. Wynik podaj z dokładnością 0,1 m.

4 Praca semestralna nr 3 Semestr II Wielomiany. Zadania na ocenę dopuszczającą 1. Dane są wielomiany W(x) = 2x 1, V(x) = x 2 2x + 1, U(x) = x 3 + 2x 2 3x + 5 wykonaj działania : U(x) + 2V(x) W(x) 2. Rozwiąż równania wielomianowe : a) 2x 3 4x 2 = 0 b) x 3 3x 2 4x +12 = 0 1. Dane są wielomiany W(x) = 2x 1, V(x) = x 2 2x + 1, U(x) = x 3 + 2x 2 3x + 5 wykonaj działania : a) U(x) + 2V(x) W(x) b) V(x) W(x) U(x) 2. Rozwiąż równania wielomianowe : a) 2x 3 4x 2 = 0 b) x 3 3x 2 4x +12 = 0 c) x 5 9x 3 =0 d) 2x = x 2 + 6x 1. Rozłóż na czynniki możliwie jak najniższego stopnia wielomian: x 3 +2x 2 9x Przekształć wyrażenie do najprostszej postaci i oblicz dla x = 2 i y = 8 wartość wyrażenia ( 2x + 3y) (2x 3y) - ( 2x 3y) 2 1. Wykaż, że jeśli od iloczynu dwóch kolejnych liczb całkowitych odejmiemy trzykrotność mniejszej z nich, to otrzymamy kwadrat liczby o jeden mniejszej od mniejszej z tych liczb pomniejszony o jeden. 2. Liczby a i b przy dzieleniu przez 4 dają tę sama resztę równa 1. Uzasadnij, że różnica kwadratów liczb a i b jest podzielna przez 4.

5 Praca semestralna nr 1 Semestr IV Graniastosłupy i ostrosłupy. Zadania na ocenę dopuszczającą 1. Narysuj i omów własności sześcianu. 2. Oblicz objętość graniastosłupa prawidłowego czworokątnego o krawędzi podstawy długości 6, jeżeli pole powierzchni całkowitej bryły wynosi Narysuj i omów własności czworościanu foremnego. 2. Podstawą graniastosłupa jest trójkąt równoboczny o wysokości 4 cm. Krawędź boczna ma długość równą krawędzi podstawy. Oblicz pole powierzchni całkowitej i objętość graniastosłupa. 1. Narysuj i omów własności ośmiościanu foremnego. 2. W ostrosłupie prawidłowym sześciokątnym krawędź boczna ma długość 16 i tworzy z płaszczyzną podstawy kąt o mierze 60. Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej ostrosłupa. 1. Narysuj i omów własności dwunastościanu foremnego. 2. Ściany boczne ostrosłupa prawidłowego trójkątnego są trójkątami prostokątnymi o przyprostokątnych długości a. Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej ostrosłupa.

6 Praca semestralna numer 2 Semestr IV Statystyka i rachunek prawdopodobieństwa. Zadania na ocenę dopuszczającą: 1. Oblicz średnią masę pięciu czternastolatków, których wagi wynoszą: 46 kg, 47 kg, 44 kg, 43 kg, 45 kg, Wyznacz medianę i dominantę tego zestawu danych. 2. Rzucamy dwoma kostkami do gry. Jakie jest prawdopodobieństwo, że suma oczek będzie większa niż 6? 3. : 1. Oblicz średnią, medianę i dominantę zestawu danych przedstawionych w tabelce: Liczba godzin snu Liczba wskazań Rzucamy dwiema symetrycznymi monetami. Oblicz prawdopodobieństwo, że na obu monetach wypadł orzeł. : 1. Tabela przedstawia pewne dane statystyczne. Wartość

7 Liczebno ść a) Wyznacz wariancję tych danych. b) Wyznacz odchylenie standardowe tych danych z dokładnością do 0, Ze zbioru cyfr { 1,2,3,4,5,6,7 } losujemy kolejno bez zwracania dwie cyfry I zapisujemy w kolejności losowań otrzymując lioczbę dwucyfrową. Oblicz prawdopodobieństwo, że otrzymana w ten sposób liczba jest parzysta. : 1. Pewna wyższa uczelnia przyjmuje kandydatów na podstawie wyników otrzymanych na maturze, obliczając średnią ważoną liczby zdobytych przez nich procentów z trzech przedmiotów: fizyki ( z wagą 0,5 ), chemii ( z wagą 0,4 ), I biologii ( z wagą 0,1 ). Sprawdż który z kandydatów ma większe szanse na dostanie się na tę uczelnię. Kandydat Fizyka Chemia Biologia I II Swpośród wierzchołków sześciokąta foremnego wybieramy trzy wierzchołki. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wybrane wierzchołki utworzą trójkąt równoboczny?

8 Zadania na ocenę dopuszczającą Praca semestralna numer 3 Semestr IV Bryły obrotowe 1. Przekrój osiowy walca jest kwadratem o przekątnej długości 3. Oblicz objętość walca. 2. Przekrój osiowy stożka jest trójkątem równobocznym o boku długości 3 cm. Oblicz pole powierzchni stożka. 1. Oblicz pole powierzchni i objętość bryły powstałej przy obrocie trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych długości 6 i 8 dookoła dłuższej przyprostokątnej. 2. Oblicz ile kropel deszczu napełni szklankę w kształcie walca o średnicy podstawy 6 cm i wysokości 8 cm, jeśli kropla wody jest kuleczką o średnicy 2 mm. 1. Oblicz pole powierzchni i objętość bryły powstałej przy obrocie trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych długości 6 i 8 dookoła przeciwprostokątnej. 2. Stożek, w którym tworząca o długości tworzy z podstawą kąt 45, przecięto płaszczyzną równoległą do podstawy, przechodzącą przez środek wysokości stożka. Znajdź objętość obu brył powstałych z podziału. 1. W stożek została wpisana kula. Wiadomo, że pole powierzchni całkowitej stożka jest dwa razy większe od pola powierzchni kuli. Znajdź kąt, jaki tworzy z płaszczyzną podstawy tworząca stożka. 2. Wysokość stożka podzielono w stosunku 1 : 4 licząc od wierzchołka, przez punkt podziału poprowadzono płaszczyznę równoległą do podstawy stożka. Oblicz objętość mniejszej z brył, na jakie został podzielony stożek, jeśli wiadomo, że pole podstawy stożka jest równe P i wysokość H.

9 Praca semestralna nr 3 semestr IV Geometria analityczna Zadania na ocenę dopuszczającą 1. Dane są punkty A = ( -2, 3 ), B = ( 1, 2 ), oblicz współrzędne oraz długość wektora AB. 2. Oblicz odległość punktu A = ( 2, -1 ) od prostej 3x 4y 2 = 0 1. Napisz równanie prostej przechodzącej przez punkty A = ( -4, -2 ), B = ( 5, 4 ) i zapisz to równanie w postaci kierunkowej i ogólnej. 2. Napisz równanie okręgu o środku w punkcie S = ( 3, -1 ), przechodzącego przez punkt A = ( 0, 3 ). 3. Napisz równanie prostej równoległej do prostej 2x + y + 3 = 0 i przechodzącej przez punkt P = ( -1, 1 ). 4. Oblicz obwód trójkąta ABC, wiedząc, że A = ( 0, 2 ), B = ( -4, -1 ), C = ( 3, 2 ). 1. Sprawdź, czy czworokąt o wierzchołkach A = ( 0, 0 ), B = ( 3, 1 ), C = ( 2, 4 ), D = ( - 1, 3 ) jest kwadratem. 2. Uzasadnij, że przekątna AC rozcina czworokąt ABCD o wierzchołkach A = ( -2,-1 ), B = ( 3, 2 ), C = ( 1, 2 ), D = ( 1, 4 ) na dwie figury przystające.

10 Zadania na ocenę dopuszczającą: 1. Oblicz: log₂ 16 = log₅ 125 = log₃ 81 = Praca semestralna nr 1 Semestr V Logarytmy. 2. Oblicz stosując prawa działań na logarytmach: log2 +log10+log5 = log₃ 36 log₃ 4 = : 1. Znajdź x : x = log₃ 27 ; x = log₂ 8 ; x = log₄ 4 2. Oblicz stosując prawa działań na logarytmach: 2log₉ 3 + log₆ 2 + log₆ 3 = 3. Znajdź liczbę a jeżeli loga = - log5 + 2log0,4 : 1. Oblicz x; log₅ x = -1 ; log₃ x = 3 ; logₓ5 = 1/3 log₂ ( x-1 ) = 3 log₅ ( x-2 ) = 0 2. Zapisz w postaci logarytmu: 1 + log₂ 5 log₂ 10 = 2log3 + log2 + 1 = 3 log₅ 6 = : 1. Wykaż, że ( log₄ 2 log₂ 4 ) : ( log₄ 2 + log₂ 4 ) = - 0,6 2. ( 2log 10 + log100) : log0,1 < 0 3. Wskaż równanie prawdziwe: a) logx + log 1/y log x² = logx/y b) 2log x logx + logy/x + logx/y = 1

11 Zadania na ocenę dopuszczającą 1. Wyznacz dziedzinę i rozwiąż równanie 4x 11 6x 2 = 0 2. Wyznacz dziedzinę wyrażenia i oblicz: Praca semestralna nr 2 Semestr V Wyrażenia wymierne wymierne. 5x x x 4 2 ( x 2) 2 4x 12 = 1. Wyznacz dziedzinę i rozwiąż róenanie: 3x 4 6x 1 = 2x 7 4x Wyznacz dziedzinę i rozwiąż równanie : 4x 11 = 6x 2 1. Przekształć wyrażenie do najprostszej postaci i oblicz dla x = 2 i y = 8 wartość wyrażenia ( 2x + 3y) (2x 3y) - ( 2x 3y) 2 2. Rozwiąż równania, wyznacz dziedzinę równań : 3x 4 2x 7 a) 6x 1 = 4x 1 3 b) 3 - x 2 = 2x 1. Wykaż, że jeśli od iloczynu dwóch kolejnych liczb całkowitych odejmiemy trzykrotność mniejszej z nich, to otrzymamy kwadrat liczby o jeden mniejszej od mniejszej z tych liczb pomniejszony o jeden. 2. Liczby a i b przy dzieleniu przez 4 dają tę sama resztę równa 1. Uzasadnij, że różnica kwadratów liczb a i b jest podzielna przez Wykaż, Ze dla dowolnych liczb rzeczywistych dodatnich a i b zachodzi nierówność: 2:( + ) ab

12 Praca semestralna nr 3 semestr V Geometria analityczna Zadania na ocenę dopuszczającą 3. Dane są punkty A = ( -2, 3 ), B = ( 1, 2 ), oblicz współrzędne oraz długość wektora AB. 4. Oblicz odległość punktu A = ( 2, -1 ) od prostej 3x 4y 2 = 0 3. Napisz równanie prostej przechodzącej przez punkty A = ( -4, -2 ), B = ( 5, 4 ) i zapisz to równanie w postaci kierunkowej i ogólnej. 4. Napisz równanie okręgu o środku w punkcie S = ( 3, -1 ), przechodzącego przez punkt A = ( 0, 3 ). 5. Napisz równanie prostej równoległej do prostej 2x + y + 3 = 0 i przechodzącej przez punkt P = ( -1, 1 ). 6. Oblicz obwód trójkąta ABC, wiedząc, że A = ( 0, 2 ), B = ( -4, -1 ), C = ( 3, 2 ). 3. Sprawdź, czy czworokąt o wierzchołkach A = ( 0, 0 ), B = ( 3, 1 ), C = ( 2, 4 ), D = ( - 1, 3 ) jest kwadratem. 4. Uzasadnij, że przekątna AC rozcina czworokąt ABCD o wierzchołkach A = ( -2,-1 ), B = ( 3, 2 ), C = ( 1, 2 ), D = ( 1, 4 ) na dwie figury przystające.

13 Praca semestralna nr 1 Semestr VI Równania. Zadania na ocenę dopuszczającą: Rozwiąż równania: 3(2x 1) + 5x = 2 4x +(1 2x) x² + 4x 121 = 0 x³ 5x² x + 5 = 0 = 0 : Rozwiąż równania: x (x 2) (x + 1)(x 3) = 1 + 2x ⅓x² 4x + 12 = 0 x 4x³ 8x + 32 = 0 = : Rozwiąż równania: x(x + 1) (x² + 1)< 2(-x + ) x³ + 4x² + 3x + 12 = 0 ⅓( x² + 5x) (x + 2) = x 1 - = 4 : 1. Wykaż, że równanie x² = 800x ma dwa rozwiązania których suma wynosi Rozwiąż równanie: = 4 / oznacza kreskę ułamkową.

14 Praca semestralna nr 2 Semestr VI Funkcje, funkcja liniowa i kwadratowa. Zadania na ocenę dopuszczającą: 1. Dana jest funkcja opisana tabelką: n f(n) Zapisz tę funkcję za pomocą grafu i narysuj jej wykres. 2. Narysuj wykres funkcji f(x) = 3x 5 i określ jej monotoniczność. 3. Narysuj wykres funkcji f(x) = -3x x Podaj postać kanoniczną i iloczynową funkcji f(x) = 2x 2-5x 3 : 1. Funkcja f liczbie dwucyfrowej mniejszej od 20 przyporządkowuje sumę jej cyfr. Narysuj graf, tabelkę i wykres tej funkcji. 2. Narysuj wykres, oblicz miejsce zerowe i określ monotoniczność funkcji f(x) = ¾x Wyznacz najmniejszą wartość funkcji f(x) = 3x 2-2x Rozwiąż nierówność 2x 2 + 5x 8 > x 2 + 4x + 12 : 1. Narysuj wykres funkcji: 2x+4 dla x < 0 f(x) = 4 dla 0 x 4-4x + 20 dla x 4 2. Znajdź wzór funkcji, której wykres jest równoległy do wykresu funkcji f(x) = 3x 1 i przechodzi przez punkt o współrzędnych ( 2, -1 ) 3. Znajdź wzór funkcji kwadratowej, której wykresem jest parabola o wierzchołku ( 3, -7 ) przechodząca przez punkt ( 5, 9 )

15 4. Zaznacz na osi liczbowej zbiór A B, gdzie A = { x R : 2x 2 - x 3 > 0 }, B = { x R : -2x 2 + x + 15 > 0 } : 1. Narysuj wykres funkcji : f(x) = -x + 2 dla x 2x + 3 dla x < 0 Oblicz jej miejsca zerowe, określ monotoniczność, podaj argumenty dla których funkcja przyjmuje wartości dodatnie. 2. Dana jest funkcja f(x) = ( 3m 1 )x 7. Wyznacz m, aby miejscem zerowym funkcji była liczbą x = - 3. Narysuj wykres otrzymanej funkcji i określ jej monotoniczność. 3. Narysuj wykres funkcji f(x) = -x 2 + 6x, gdzie dziedziną funkcji jest przedział < -1, 5 >. Podaj zbiór wartości funkcji, przedziały, e których funkcja przyjmuje wartości ujemne i zapisz jej wzór w postaci kanonicznej Funkcja f(x) = - 2x 2 + bx + c przyjmuje jednakowe wartości dla argumentów 1 i 5. Do wykresu funkcji należy początek układu współrzędnych. Wyznacz wartości współczynników b i c, Dla wyznaczonych współczynników narysuj wykres funkcji i podaj przedziały monotoniczności.

16 Praca semestralna nr 3 Semestr VI Ciągi. Zadania na ocenę dopuszczającą 1. Dany jest ciąg a n = 2n 2 3n. Podaj pierwsze cztery wyrazy tego ciągu i dla nich narysuj jego wykres. 2. W ciągu arytmetycznym a 2 = 7, a 3 = 5. Oblicz a 26 i sumę dwudziestu początkowych wyrazów tego ciągu. 1. W ciągu geometrycznym a 2 =3, a 3 = 4,5. Oblicz a 5 i S Zbadaj, czy ciąg o wyrazie ogólnym a n = 3n - 5 jest ciągiem rosnącym. 1. Zbadaj monotoniczność ciągu o wyrazie ogólnym a n = 4n Sprawdź, że nie istnieje liczba rzeczywista x taka, że ciąg ( 2x, x 2 + x + 5, x 7 ) był ciągiem arytmetycznym. Sprawdź, czy ten ciąg dla x = 2 jest ciągiem geometrycznym. 1. Wyznacz sumę dziesięciu początkowych wyrazów ciągu geometrycznego, mając dane a 5 = 19 i a 9 = W pewnym ciągu sumę n początkowych wyrazów można obliczyć z wzoru S n= 5(1-2 n ). Wykaż, że jest to ciąg geometryczny.