Elżbieta Świda, Marcin Kurczab. Nowy typ zadań maturalnych z matematyki na poziomie rozszerzonym

Transkrypt

1 Elżbieta Świda, Marcin Kurczab Nowy typ zadań maturalnych z matematyki na poziomie rozszerzonym

2 Zadanie (matura maj 009) Ciąg ( 3, + 3, 6 +, ) jest nieskończonym ciągiem geometrycznym o wyrazach dodatnich. Oblicz iloraz tego ciągu S 1 19 i uzasadnij, że <, gdzie S n oznacza sumę n początkowych S0 4 wyrazów tego ciągu.

3 Zadanie (matura maj 010) 1 Rysunek przedstawia fragment wykresu funkcji f () =. Przeprowadzono prostą równoległą do osi O, która przecięła wykres tej funkcji w punktach A, B. Niech C = (3, 1). Wykaż, że pole trójkąta ABC jest większe lub równe.

4 Zadanie (próbna matura styczeń 009) Jeden z końców odcinka leży na paraboli o równaniu y =, a drugi na prostej o równaniu y = 6. Wykaż, że długość tego odcinka jest nie mniejsza od 5. Sporządź odpowiedni rysunek.

5 Zadanie 1. W trójkącie prostokątnym ABC wysokość opuszczona na przeciwprostokątną BC ma długość 1. Niech CD = i BC = y. a) Wyznacz y jako funkcję zmiennej. b) Wykaż, że funkcja ta przyjmuje najmniejszą wartość równą. C A 1 D y B

6 Rozwiązanie: Ad a) (y ) = 1 y = y =, (0, + ) C A 1 D y B

7 Ad b) + 1 Założenie: y =, (0, + ), y > + 1 Teza: Najmniejsza wartość funkcji y =, (0,+ ), jest równa. Dowód: ( 1) 0 dla (0, + ) /: ( > 0) + 1, zatem + 1 Funkcja y =, (0, + ), przyjmuje najmniejszą wartość równą (dla argumentu 1).

8 Zadanie. W trapezie ABCD o podstawach długości AB = a i CD = b (a > b) poprowadzono odcinek MN równoległy do podstaw, dzielący pole trapezu na połowy (zobacz rysunek). a) Wyznacz długość odcinka MN. b) Wykaż, że MN ab. A M D b a C N B

9 Rozwiązanie: Ad a) a > b > 0, MN =, DE BC, więc M b b N F K EB = KN = b MK = b a b b AE = a b A S E 1 DMK ~ DAE (cecha kkk) i P = P MNCD ABCD DK MK b ( + b) DF 1 (a + b) DS = = = DE AE a DF a+ b = DS ( + b) DK DF b a+ b Ponieważ =, więc =, skąd a b = b DE DS a b ( + b) a + b a + b = =, bo > 0 D b C B

10 Ad b) a b Założenie: MN =, a > b > 0 Teza: MN ab Dowód: (a b) 0 dla dowolnych liczb a, b R + a ab + b 0 a + b ab, stąd a + b ab, czyli MN ab, co kończy dowód. +

11 Zdanie 3. 1 Funkcja f jest opisana wzorem f() = log 4 5 log 5, log gdzie R +. a) Zapisz wzór funkcji f za pomocą logarytmu przy podstawie 4. 1 b) Wykaż, że funkcja f przyjmuje największą wartość równą.

12 Rozwiązanie: Ad a) f() = log, R Ad b) Założenie: f() = log, R Teza: Funkcja f przyjmuje największą wartość równą Dowód: log log log ( 1) ( ) Funkcja f przyjmuje największą wartość równą 1. 1 ( dla argumentu 1).

13 Zadanie 4. Dane jest równanie kwadratowe (m 1) m = 0 z niewiadomą i parametrem m. a) Znajdź wzór i dziedzinę funkcji f, która zmiennej rzeczywistej m przyporządkowuje iloczyn dwóch różnych pierwiastków danego równania. Naszkicuj wykres funkcji f w prostokątnym układzie współrzędnych. b) Wykaż, że do wykresu funkcji f należą tylko trzy punkty o obu współrzędnych całkowitych.

14 Ad a) m 1 f (m) = i = 4( (m ) > 0 m R 3 m, m R {1, } m 1 {1, } y y = f(m) m Oficyna Edukacyjna * Krzysztof Pazdro

15 Ad b) 3 m Założenie: f(m) =, m R {1, } m 1 Teza: Do wykresu funkcji f należą tylko trzy punkty o obu współrzędnych całkowitych. Dowód: 3 m (m 1) + f(m) = = = 1 m 1 m 1 m 1 Wartość f(m) jest liczbą całkowitą dla całkowitej liczby m tylko wtedy, gdy jest podzielne przez m 1, zatem m 1 = 1, skąd m = liczba nie należy do dziedziny funkcji f m 1 = 1, skąd m = 0 m 1 =, skąd m = 3 m 1 =, skąd m = 1 Do wykresu funkcji f należą tylko trzy punkty o obu współrzędnych całkowitych: ( 1, ), (3, 0), (0, 3).

16

17