Zadania otwarte. 1. Sprawdź, czy dla każdego kąta ostrego zachodzi równośd:

Transkrypt

1 Klasa II Zadania otwarte 1. Sprawdź, czy dla każdego kąta ostrego zachodzi równośd: 1 cos = tg. cos 1+sin. Napisz równanie prostej przechodzącej przez punkt (-3,5) i nachylonej do osix pod katem Rozwiąż równanie: x + 3 = 4 5x 4. Rozwiąż równanie: x 3 = 1 5x x+3 5. Dana jest funkcja określona wzorem f x = x 8x + 7. Wyznacz najmniejszą i największą wartośd tej funkcji w przedziale < 0; 5 >. 6. Wyznacz dziedzinę funkcji określonej wzorem: f x = 5x 3 +x 15x 6 7. Na jakie odcinki należy podzielid drut o długości 44 m, aby można było ułożyd z nich prostokąt o największym polu. Oblicz to pole. 8. Długośd boku równoległoboku jest o 3 większa od wysokości opuszczonej na ten bok. Wyznacz długości boków równoległoboku wiedząc, że jego pole jest równe 10 i sin = 3, gdzie jest kątem ostrym równoległoboku Dane są wierzchołki trójkąta A=(,-1), B=(4,), C=(5,1). Wyznacz: a) Równanie prostej zawierającej wysokośd poprowadzoną z wierzchołka A oraz długośd tej wysokości b) Pole trójkąta ABC 10. Rozwiąż nierównośd: x + 3 < x 11. Rozwiąż równanie: x 3 3x 4x + 1 = 0 1. W trójkącie prostokątnym stosunek długości przyprostokątnych jest równy 5:. Wyznacz cosinus najmniejszego kąta w tym trójkącie. 13. Uzasadnij, że dwusieczne dwóch sąsiednich kątów równoległoboku przecinają się pod kątem prostym. 14. Wykaż, że iloczyn liczb i 9 0 jest liczba całkowitą. 15. Długości dwóch kolejnych boków prostokąta o polu 10 cm różniąsię o 7 cm. Oblicz długośd krótszego boku tego prostokąta. 16. Znajdź wszystkie liczby rzeczywistea spełniające równośd: log 1 a a + 7 =. 17. W trapezie krótsza podstawa ma długośd 4, wysokośd 6, a kąty przy dłuższej podstawie mają miary 30 0 i Oblicz pole tego trapezu. 18. Po zmodernizowaniu linii kolejowej przeciętna prędkośd pociągów ekspresowych kursujących na 400-kilometrowej trasie wzrosła o 0 km/h, a czas podróży skrócił się o godzinę. Oblicz, z jaką przeciętną prędkością jeżdżą obecnie pociągi ekspresowe na tej trasie. 19. Rozwiąż nierównośd: x 3x Rozwiąż równanie: x x 1 + x 1 x = 0 5x

2 1. Wykaż, że liczba jest wymierna.. Sinus kąta ostrego jest równy 5. Uzasadnij, że liczba 3 7cos jest całkowita. 3. Krótsza podstawa i krótsze ramię trapeze prostokątnego mają długości równe odpowiednio 4 i 3, a kąt ostry ma miarę 60. Oblicz pole tego trapezu. 4. Kierowca pomyślał, że odległośd 08 km może przejechad z pewną stałą prędkością v w czasie t. Gdyby jechał z prędkością o 13 km/h większą, to tę samą trasę pokonałby w czasie o 0,8 godziny krótszym. O jakiej stałej prędkości pomyślał kierowca? 5. Dana jest funkcja kwadratowa f x = (4x 1) x 5 x + 5 1x 5. a) Zapisz tę funkcję w postaci ogólnej, kanonicznej i iloczynowej b) podaj zbiór wartości tej funkcji 6. ) Rada Polityki Pieniężnej podniosła stopę procentową z 8% na 9,5%. a) O ile procent wzrosła stopa procentowa? b) O ile punktów procentowych wzrosła stopa procentowa? 7. Uzasadnij, że ciąg a n = 5 n+1 jest geometryczny. 8. Wyznacz równanie prostej prostopadłej do prostej x 4y + 5 = 0 i przechodzącej przez punkt A=(-3,5). 9. Wierzchołki trójkąta prostokątnego równoramiennego leżą na okręgu o promieniu 5 cm. Wyznacz pole i obwód tego trójkąta. 30. ) Rozłóż na czynniki, możliwie najniższego stopnia, wielomian: W x = x 3 + x 9x W pewnym ciągu liczbowym a n suma n początkowych wyrazów dana jest wzorem S n = 3n + 4n. a) Wyznacz piąty wyraz tego ciągu b) wyznacz wzór ogólny tego ciągu. 3. Wyznacz zbiory A B, A\B, A B jeżeli A = {x R: x + 1 5} oraz B = {x R: x + x 3 0}. 33. Dwaj pracownicy wykonali pewną pracę w ciągu 8 dni. Jeśli pracowałby tylko jeden z nich, to wykonanie tej samej pracy zajęłoby mu 1 dni mniej niż drugiemu pracownikowi. Oblicz, ile czasu potrzebuje każdy pracownik na wykonanie tej pracy.

3 34. Wiadomo, że jednym z rozwiązao równania x + x + a = 0 jest -3. Znajdź drugie rozwiązanie tego równania. 35. Rozwiąż nierównośd x + 6x 7 0. Rozwiązanie zapisz w postaci przedziału. 36. Boku trójkąta prostokątnego mają długości 5, 1, 13. Jaką wartośd przyjmuje wyrażenie sin cos, jeżeli jest najmniejszym kątem w tym trójkącie? 37. Podstawa. trójkąta równoramiennego jest odcinek o koocach w punktach A=(-,-4) oraz B=(-5,). Jedno z ramion trójkąta zawiera się w prostej o równaniu y = x. Oblicz współrzędne trzeciego wierzchołka tego trójkąta. 38. Przedstaw liczbę a = (sin60 ) w postaci a + b 3, gdzie a, b są liczbami wymiernymi. 39. Przedstaw liczbę a = (sin60 ) w postaci a + b 3, gdzie a, b są liczbami wymiernymi. 40. Ile kosztował komputer, którego cenę zmniejszano dwukrotnie każdorazowo o 30% i który teraz kosztuje 980 zł 41. Wyznacz takie m, aby prosta (m+)x-(m-3)y+=0 była równoległa do osi OX. 4. Wyznacz wzór funkcji kwadratowej f, której wykres ma dokładnie jeden punkt wspólny z prostą o równaniu y=18, a zbiorem rozwiązao nierówności f(x)<0 jest zbiór, 4, Jaką liczbę należy wstawid w miejsce m, aby dziedziną funkcji f x = x+1 był x +mx +1 zbiór D = R Udowodnij, że w trójkącie równobocznym suma odległości dowolnego punktu należącego do trójkąta, od boków tego trójkąta jest równa wysokości tego trójkąta. 45. W trapezie ABCD podstawy AB i CD mają odpowiednio długości 6cm i cm, a kąty przy dłuższej podstawie mają miary 30 o i 45 o. Oblicz: a) Wysokośd trapezu, b) Obwód trapezu c) Pole trapezu. 46. Oblicz: a) log log log 4 b) log 64 log 16 log Udowodnij, żeliczby: 1 x x x, 1 x 1, 1 x x Tworzą w podanej kolejności ciąg arytmetyczny. gdy x 0 x Pan Kotecki umówiłsię z Panem Myszkiewiczem, że będzie mu wypłacał przez 10 dni pieniądze tak, że pierwszego dnia wypłaci mu 5 zł, drugiego 10 zł, trzeciego 15 złitd. W zamian Pan Myszkiewicz wypłaci Panu Koteckiemu pierwszego dnia 40 gr, drugiego 80 gr, trzeciego 1,60 złitd. Który z Panów zyska na tej umowie i ile? 49. Sprawdź czy rozwiązanie równania 15 x = jest miejscem zerowym funkcji f(x) = x - x - 1.

4 50. Wykaż, że liczba jest całkowita. 51. Wyznacz wszystkie liczby naturalne spełniające jednocześnie nierówności x 5 > x 5 x + 5 x + 5 x + x i x x < Wyznacz ile powinna wynosid wartośd a, jeżeli największa liczba należąca do zbioru rozwiązao nierówności x-a 8 to Wyznacz dziedzinęfunkcjif x = log 1 (1 x), a następnie sprawdź, czy x punkt A = 1, 3 należy do wykresu funkcji f. 54. Wiedząc, żefunkcja y=x +bx+c przyjmuje wartości ujemne w tylko w przedziale (-5; 6) wyznacz b i c. Określ zbiór wartości i monotonicznośd tej funkcji. 55. Pan Jacek pojechał do innego miasta. Pierwszą połowę trasy jechał rowerem, a drugą samochodem. Do celu przybył po 5 godzinach. Gdyby całą trasę jechał rowerem, to podróż zajęłaby mu 6 godzin i 0 minut. Ile czasu Pan Jacek jechał samochodem? 56. Dane są wierzchołki trójkąta A=(1; 3), B= (4; 5) i C=(; 8). Wyznacz równanie wysokości tego trójkąta poprowadzonej z wierzchołka C. 57. Dana jest funkcja f(x)=-x+4 określona w przedziale <-5; 1). a) Sporządź jej wykres. b) Określ zbiór wartości funkcji f. c) Narysuj wykres funkcji g(x)=f(x+)-5. d) Określ, o ile jest to możliwe, wartośd największą i największą funkcji f. 58. Krótsza podstawa i krótsze ramię trapezu prostokątnego mają długości równe odpowiednio 4 i 3, a kąt ostry ma miarę 60. Oblicz pole tego trapezu. 59. Kierowca pomyślał, że odległośd 08 km może przejechad z pewną stałą prędkością v w czasie t. Gdyby jechał z prędkością o 13 km/h większą, to tę samą trasę pokonałby w czasie o 0,8 godziny krótszym. O jakiej stałej prędkości pomyślał kierowca? 60. Uzasadnij, żeliczba jest wymierna. 61. Podajprzykładdwóchliczb naturalnych dodatnich m i n spełniających nierównośd: < m < 3. 7 n 7 6. Oblicz: = Wyznacz dziedzinę funkcji: f x = x 3 3 6x + x Zarobki miesięczne pracowników pewnej firmy przedstawia diagram słupkowy:

5 Liczba osób 14 wynagrodzenie za 1 miesiąc w zł Wysokośd wynagrodzenia Oblicz: a) Średnią pensję w firmie; b) Procent pracowników zarabiających więcej niż średnia płaca ; c) Jaki procent największej płacy stanowi najmniejsza płaca? 65. Jeżeli od pięciokrotności pewnej liczby x odejmiemy jej odwrotnośd, to otrzymamy 66. Uprośd wyrażenie: m 3 + m 3 m + m 67. Poniżej znajdujesię fragment wykresu funkcji y = f(x) Dorysuj brakującą częśd wykresu, jeśli dziedziną jest 5,5, a wykres jest symetryczny względem osi OY. Następnie odpowiedz na pytania: a) Dla jakiego argumentu funkcja ma najmniejszą wartośd; b) Oblicz wartośd wyrażeniaf(0) 4 f( 5) = c) Podaj liczbę rozwiązao równaniaf(x) = 68. Rozwiąż równanie 8 x 5x x x + 9 = 0

6 69. Na trójkącie o bokach długości 11, 14, 5 opisano okrąg. Oblicz promieo tego okręgu. 70. Dany jest prostokąt o bokach a i b. Zmniejszamy długośd boku a o 10% oraz zwiększamy długośd boku b o 0%. Wyznacz stosunek a, jeśli wiadomo że otrzymany b prostokąt ma taki sam obwód jak prostokąt wyjściowy. 71. Oblicz współczynniki b i c funkcji kwadratowej f x = x + bx + c wiedząc, że funkcja f przyjmujewartościujemnetylkodlax ( 1; 4) Wykaż, że liczba postaci jest podzielna przez Oblicz miejsce zerowe funkcji f( x) x 49 1 x 74. Wiedząc, żeα jest kątem ostrym i sinα cosα = 1, oblicz sinα cosα Kąt CAB trójkąta prostokątnego ACB ma miarę 30. Pole kwadratu DEFG, wpisanego w ten trójkąt (zobacz rysunek), jest równe 4. Oblicz pole trójkątaacb. 76. Wyznacz równanie prostej 77. przechodzącej przez punkt P = (1, 3) i prostopadłej do prostejprzechodzącej przez punkty A = ( 4, 1), B = (8,1). Dany jest wykres funkcji y = f(x) określonej dla x < 6; 6 >. Korzystając z wykresu funkcji f zapisz: a) maksymalne przedziały, w których funkcja f jest rosnąca b) zbiór argumentów, dla których funkcja f przyjmuje wartości dodatnie; c) miejsca zerowe funkcji

7 g x = f(x 1); d) zbiór wartości funkcji x = f x Wyznacz wszystkie liczby całkowite, które spełniają jednocześnie obie nierówności: 3 x 7 3 x 3 x 1 x 1 x oraz x(x + 5) 150