Optymalne rozmieszczanie tłumików lepkosprężystych na ramie płaskiej. Maciej Dolny Piotr Cybulski

Transkrypt

1 Optymaln rozmiszczani tłumików lpkosprężystych na rami płaskij Macij Dolny Piotr Cybulski Poznań 20

2 Spis trści. Wprowadzni 3.. Cl opracowania Znaczni tłumików drgań.3 2. Omówini sposobu rozwiązania problmu Równania ruchu ramy z i bz tłumików drgań Równania ruchu ramy bz tłumików Równania ruchu ramy z tłumikami Wpływ trzęsinia zimi na konstrukcję Charaktrystyki dynamiczn ram z tłumikami Opis tłumików uogólniony modl rologiczny Klvina Opis lmntów składowych uogólniongo modlu Klvina Opis prostgo lmntu Klvina Opis uogólniongo modlu Klvina Opis lmntów skończonych użytych do modlowania ramy Opis lmntu prętowgo Opis lmntu kratowgo Krzyw rzonansow Opis analizowanj ramy Omówini danych przyjętych do obliczń Schmat statyczny ramy 6 4. Omówini wyników obliczń Opis procsu optymalizacji Maksymaln amplitudy drgań poziomych dla różnych położń tłumików i odpowiadając im krzyw rzonansow Optymalizacja położnia pirwszgo tłumika drgań Optymalizacja położnia drugigo tłumika drgań Optymalizacja położnia trzcigo tłumika drgań Optymalizacja położnia czwartgo tłumika drgań Optymalizacja położnia pozostałych tłumików drgań Porównani krzywych rzonansowych Wynik optymalizacji Rozkład przstrznny amplitud drgań Zmiana charaktrystyk dynamicznych ramy spowodowana tłumikami drgań Uwagi końcow 29 2

3 . Wprowadzni... Cl opracowania W ninijszym opracowaniu opisano wyniki analizy dynamicznj konstrukcji ramowj z tłumikami poddanj obciążniu wywołanym przz trzęsini zimi. Analiza polgała na okrślniu charaktrystyk dynamicznych układu i optymalnym rozmiszczniu tłumików drgań. Rama składa się z ośmiu kondygnacji. Na rami rozmiszczono osim tłumików drgań..2. Znaczni tłumików drgań Tłumiki drgań są lmntami konstrukcji, któr pochłaniają część nrgii drgań ramy zmnijszając tym samym amplitudy drgań konstrukcji wywołan siłami dynamicznymi. Zastosowani tych urządzń jst uzasadnion różnymi potrzbami. Przykładowo tłumiki drgań stosuj się po to by: rdukować drgania wywołan trzęsiniami zimi, zwiększyć komfort użytkowników wysokich budynków podatnych na wzbudznia wywołan działanim wiatru, zwiększyć komfort użytkowania mostów lub kładk dla piszych, zwiększyć czas użytkowania konstrukcji z względu na zmęczni matriału konstrukcji, zrdukować lub wyliminować drgania gnrowan przz wzbudzni wirow (np. w przypadku kominów stalowych) 2. Omówini sposobu rozwiązywania problmu 2.. Równania ruchu ramy z i bz tłumików drgań 2... Równani ruchu ramy bz tłumików Opis macirzy mas, sztywności oraz tłuminia poszczgólnych lmntów jst wstępm do analizy konstrukcji jako całości. Aby można było traktować poszczgóln lmnty jako jdną konstrukcję nalży j z sobą w odpowidni sposób połączyć i napisać równania ruchu całj konstrukcji. W pirwszym tapi zapisuj się równani ruchu układu ramowgo bz tłumików. Do lmntów układu ramowgo ni zalicza się zastrzałów podtrzymujących tłumiki. Zastrzały traktuj się jako lmnty tłumików. Globaln równani ruchu konstrukcji bz tłumików drgań ma postać : ( ) ( ) ( ) M q&& ( t) + C q& t + K q t = P t, () k k k k k k k k k k w którym macirz M, C, K to odpowidnio macirz mas, tłuminia i sztywności ramy, a wktory q&&, q&, q to odpowidnio wktory przyspiszń, prędkości i przmiszczń konstrukcji. Wktor Pk ( ) k k k t jst wktorm sił wymuszających. Macirz tłuminia konstrukcji C k jst macirzą tłuminia proporcjonalngo. Ma ona postać: C = α M + β K. (2) Współczynniki proporcjonalności α oraz β wyznacza się z układu równań: k k k 3

4 α α + βω = 2 γ, + βω = 2γ. (3) ω 2 ω2 W równaniach (3) wilkości oznaczon symbolami γ i γ 2 oznaczają bzwymiarow współczynnikami tłuminia modalngo, a ω i ω 2 są dwoma pirwszymi częstościami drgań własnych, nitłumionych ramy. Aby wyznaczyć t częstości drgań nalży rozwiązać problm własny postaci: 2 ( k ω k ) K M a = 0. (4) Znając ω i ω 2 można rozwiązać układ równań i wyznaczyć wartości α i β. W rzultaci otrzymuj się: ( ) ( ) 2ω ω γ ω γ ω 2 γ ω γ ω α =, β = ω2 ω ω2 ω Równani ruchu ramy z tłumikami Równani ruchu układu z zainstalowanymi tłumikami ma następującą postać: ( ) ( ) ( ). (5) M q&& ( t) + Cq& t + K q t = P t. (6) W tym równaniu wktor q zawira wszystki stopni swobody tak konstrukcji jak i lmntów tłumiących. Macirz M, C, K nalży rozumić jako macirz opisując konstrukcję z tłumikami. Procdura gnrowania macirzy mas M, sztywności K i tłuminia C oraz wktora P ( t) jst taka sama jak w przypadku równania ruchu dla ramy bz tłumików z tym, ż wymiary macirzy i wktorów są większ Wpływ trzęsinia zimi na konstrukcję Trzęsini zimi i związany z nim ruch podpór ramy jst tzw. wymusznim kinmatycznym. Zakłada się, ż znan jst przyspiszni poziom podpór ramy (przyspiszni jst równolgł do osi x układu globalngo). Zostało to zilustrowan na rys.. Całkowit przmiszcznia węzłow, prędkości i przyspisznia ramy poddanj tmu wymuszniu można zapisać w postaci: gdzi wktor Wilkość q&& ( t) q&& ma postać: w gr q = q + q, q& = q& + q&, q&& = q&& + q, (7) c w c w c w w gr ( ) q = iq&& t. (8) jst znanym przyspisznim gruntu w poziomi podpór. Zakłada się równiż, ż wymuszni kinmatyczn spowodowan trzęsinim zimi powoduj powstani wyłączni poziomych sił wymuszających. Stąd tż wktor i okrśla się jako wktor okrślający kirunki przmiszczń, po których będą działały wyżj opisan siły. Dla ramy pokazanj na rys. wktor i ma postać: (,0,0,,0,0,,0,0,,0,0,,0,0,,0,0 ) i = col. (9) 4

5 Rys. W wktorz tym jdynki oznaczają kirunki przmiszczń poziomych, natomiast zra pozostał przmiszcznia węzłow. W analogiczny sposób można okrślić wktor i dla ram składających się z większj ilości lmntów skończonych. Wktor obciążń zwnętrznych w układzi globalnym oblicza się z wzoru: 2.3. Charaktrystyki dynamiczn ram z tłumikami P( t) = M q& ( t) = M iq&& ( t). (0) Charaktrystyki dynamiczn układu bz zainstalowanych tłumików drgań (częstości oraz postaci drgań własnych nitłumionych) można wyznaczyć rozwiązując problm własny o postaci: 2 ( k ω k ) gr K M a = 0. () W przypadku układu z wbudowanymi tłumikami drgań problm jst znaczni bardzij złożony. Wówczas, w clu prostszgo opisu problmu można posłużyć się równanim ruchu zapisanym za pomocą zminnych stanu. Równani ruchu ( ) ( ) ( ) M q&& ( t) + C q& t + K q t = P t, (2) k k k k k k k zapisuj się w postaci blokowj: M ss 0 q&& s C ss C sd q& q s K ss K sd s q C d ds C + = dd q K d ds K, (3) && & dd q d lub w rozwiniętj postaci: M ss q&& + C ss q& + C sd q& + K ss q + K sd q = 0 s s d s d. (4) C q& + C q& + K q + K q = 0 ds s dd d ds s dd d 5

6 Do powyższych równań dołącza się jdno dodatkow równani o postaci: s M q & M q & = 0. (5) d ss s ss W równaniach (4) symbolami q, q oznaczono odpowidnio wktor przmiszczń węzłów i wktor tzw. przmiszczń wwnętrznych tłumików. Przmiszcznia wwnętrzn tłumików zostaną omówion w dalszj części pracy. Równania (4) i (5) zapisuj się w postaci: M q&& + 0q&& + 0q& + 0q M q&& + 0q = 0 ss s s d s ss s d C q& + M q&& + C q& + K q + K q = 0 ds s ss s dd d ds s dd d C q& + 0q&& + C q& + 0q& + K q + 0q& + K q = 0 ds s s dd d d ds s s dd d s, (6) = &. Pochod- Wprowadza się wktor stanu zdfiniowany w następujący sposób x col ( q, q, q s s d ) ną wktora stanu jst wktor x& = col ( q&, q&&, q& ). s s d Układ równań (6) można traz zapisać w następującj postaci macirzowj: Ax& + Bx = 0, (7) gdzi: C ss M ss C sd K ss 0 Ksd A = M ss 0 0, B 0 M ss 0 = C ds 0 C dd C ds 0 K dd. (8) Macirz Ai Bsą macirzami symtrycznymi, a ponadto macirz B jst niosobliwa, jżli tylko macirz mas konstrukcji M ssjst niosobliwa. Rozwiązani równania (7) przyjmuj się o postaci: ( ) = xp ( ), = xp ( ) x t a st x& sa st. (9) Po podstawiniu (9) do równania (7) otrzymuj się liniowy problm własny o postaci: ( s A B) a 0 + =. (20) W dalszym ciągu wilkości oznaczon symbolm s j oznaczać będą wartości własn problmu (20) natomiast symbol a j oznaczać będzi wktor własny stowarzyszony z wartością własną s j, ( j =,2,.., 2n). Znając wartość własną = a + i b, gdzi i = jst jdnostką urojoną, można obliczyć częstość drgań ω j korzystając z wzoru: s j j j ω = a + b. (2) 2 2 j j j 6

7 Bzwymiarow współczynniki tłuminia modalngo γ j wyznacza się z wzoru: γ j a j =. (22) ω j 2.4. Opis tłumików uogólniony modl rologiczny Klvina Uogólniony modl Klvina jst modlm złożonym, składającym się z kilku lmntów podstawowych. Najprostszy uogólniony modl składa się z lmntu sprężystgo i połączongo z nim szrgowo prostgo lmntu Klvina. Natomiast prosty lmnt Klvina składa się z równolgl połączonj sprężyny i tłumika. Bardzij rozbudowan formy uogólniongo modlu Klvina otrzymuj się przz szrgow połączni sprężyny i kilku prostych lmntów Klvina. Schmat uogólniongo modlu Klvina przdstawia rys. 2: Rys. 2 Schmat uogólniongo modlu Klvina Opis lmntów składowych uogólniongo modlu Klvina: Tłumik oraz sprężyna są lmntami bardzo przypominającymi lmnt kratowy. Mają tyl samo paramtrów węzłowych. W przciwiństwi do lmntu kratowgo ni posiadają on masy i ni jst gnrowana dla tych lmntów macirz mas. Natomiast bardzo ważnymi paramtrami charaktryzującymi j są: sztywność sprężyny k, dla lmntu typu sprężyna oraz współczynnik tłuminia c, dla lmntu typu tłumik. Macirz sztywności sprężyny i macirz tłuminia tłumika w układzi lokalnym mają postać: K% = k, (23) C% = c. (24) Równania ruchu tych lmntów zapisan w układzi lokalnym mają postaci: R % = K % q %, R % = C % q &%, (25) 7

8 Opis prostgo lmntu Klvina Koljnym lmntm jst prosty lmnt Klvina. Zbudowany jst on z równolgl połączonj sprężyny i tłumika, tak jak to pokazano na rys. 3. Rys. 3 Schmat prostgo lmntu Klvina Prosty lmnt Klvina charaktryzuj się cztrma paramtrami węzłowymi. Siłę prznoszoną przz lmnt Klvina - Voigta można przdstawić za pomocą wzoru: Siła w sprężyni jst opisana równanim: ( ) ( ) ( ) u t = u t + u t. (26) s ( ) = ( ) s z3 z Natomiast siłę w tłumiku wyznacza się z zalżności: t u t k q% q%. (27) ( ) = (& 3 & ) u t c q% q%. (28) t z z Wktor przmiszczń węzłowych i wktor sił przywęzłowych są okrślon w następująco: q% = col{ q%, q%, q%, q% }, R z = col{ Rz, Rz 2, Rz3, Rz 4} z z z 2 z3 z 4 Równania równowagi węzłów i 2 mają postać: % % % % %. (29) ( ) = ( ) = ( w z ) (& z & z ) R% t u t k q% q% c q% q%, (30) 3 ( ) R% t =, (3) 2 0 ( ) = ( ) = ( w z ) + (& z & w ) R% t u t k q% q% c q% q%, (32) 3 3 ( ) R% t =. (33) 4 0 Zapisując j w postaci macirzowj otrzymuj się następując równani ruchu: podan w układzi lokalnym, gdzi: k 0 k K% zz =, k 0 k R% = K% q% + C% q% & R% = K% q% + C% q% &, (34) z zz z zz z 4 4 c 0 c C% zz =, (35) c 0 c Transformacja macirzy sztywności i tłuminia z układu lokalngo do globalngo odbywa się wdług zalżności: 4 4 8

9 K T T K T = %, C T Jawn postaci macirzy sztywności K i tłuminia C są następując: K 2 2 c k csk c k csk 2 2 csk s k csk s k =, C 2 2 c k csk c k csk 2 2 csk s k csk s k gdzi: c = cos α, s = sinα Opis uogólniongo modlu Klvina = C C% T. (36) 2 2 c c csc c c csc 2 2 csc s c csc s c =, (37) 2 2 c c csc c c csc 2 2 csc s c csc s c Rozpatruj się uogólniony modl Klvina składający się z równolgl połączonj sprężyny i n prostych lmntów Klvina (porównaj rys.2). Siła działająca w rozpatrywanym modlu jst stała tzn.: ( ) ( ) ( ) ( ) u t = u0 t =... = ui t =... = un t. (38) Zachodzą tutaj następując zalżności: - siła w sprężyni u t = k q% q%, (39) ( ) ( ) 0 0 w z Gdzi symbol q% w oznacza przmiszczni wwnętrzn pokazan na rys 2. - siła w pirwszym prostym lmnci Klvina ( ) = ( w w ) + (& w & w ) u t k q% q% c q% q%, (40) siła w i-tym prostym lmnci Klvina (i=,2,3 n) - siła w n-tym prostym lmnci Klvina ( ) = ( + ) + (& + & ) u t k q% q% c q% q%, (4) i wi wi wi wi ( ) = ( 3 ) + (& 3 & ) u t k q% q% c q% q%. (42) n n z wn n z wn Równania równowagi węzłów zwnętrznych mają następującą postać: ( ) = ( ) = ( w z ) ( ) R% t u0 t k0 q% q%, (43) R% t =, (44) 2 0 ( ) = n ( ) = n ( z wn ) + n (& z & wn ) R% t u t k q% q% c q% q%, (45) ( ) R% t =. (46) 4 0 Równania równowagi węzłów wwnętrznych są następując: Węzł ) ( ) ( ) u t u t =, (47) 0 0 ( ) ( ) (& & w z w w w w ) k q% q% k q% q% c q% q%, (48) = 0 Węzł 2) ( ) ( ) u t u t =, (49) 2 0 9

10 ( ) (& & ) (& & w w w w w w ) (& & w w ) k q% q% c q% q% k q% q% c q% q%, (50) = 0 Węzł i ) Węzł n ) ( ) ( ) ui t ui t = 0, (5) ( ) (& & ) (& & ) (& & ) k q% q% c q% q% k q% q% c q% q%, (52) i wi wi + i wi wi i wi+ wi i wi+ 3 wi = 0 ( ) ( ) u t u t =, (53) n n 0 ( ) (& & ) (& & ) (& & ) k q% q% c q% q% k q% q% c q% q%. (54) n wn wn + n wn wn n wn+ wn n wn+ 3 wn = 0 W zapisi macirzowym równania równowagi węzłów zwnętrznych można przdstawić w postaci: w którym: k K% zz =, 0 0 kn R% = K% q% + K% q% + C% q& % + C% q& %, (55) 4 4 z zz z zw w zz z zw w k K% zw =, kn n C% zz =, 0 0 cn C% zw =, (56) cn n gdzi: W zapisi macirzowym równania równowagi węzłów wwnętrznych mają postać: K% q% + K% q% + C% q& % + C% q& % = 0, (57) wz z ww w wz z ww w K% ww k0 + k k k k k2 k M M M M M M M M M M = ki ki + ki ki M M M M M M M M M M kn kn + kn, (58) C% ww c c c c c2 c M M M M M M M M M M =. (59) ci ci + ci ci M M M M M M M M M M cn cn + cn 0

11 Macirz transformacji z układu lokalngo do globalngo ma postać: T T 0 = 0 I z4 4 4 n ( ) ( ) n 4 n n n+ 4 n+ 4. (60) 2.5. Opis lmntów skończonych użytych do modlowania ramy Opis lmntu prętowgo Elmnt prętowy został on pokazany na rys. 4. Wilkościami charaktryzującymi lmnt są: długość pręta l, sztywność na rozciągani/ściskani EA, sztywność na zginani EI i masa jdnostkowa m. Każdy lmnt tgo typu jst opisany za pomocą szściu sił przywęzłowych oraz szściu przmiszczń węzłowych. Są to siły i przmiszcznia lmntu w kirunku normalnym do jgo osi podłużnj, w kirunku prostopadłym do osi oraz kąty obrotu i momnty zginając w węzłach. Kirunki oraz zwroty tych wilkości są zgodn z osiami lokalngo układu współrzędnych ( x, y) % %. Układ ma swój początk w lwym węźl lmntu, a jgo osi pokrywają się z głównymi osiami lmntu w taki sposób, ż oś x%pokrywa się z osią obojętną pręta, a oś y% jst do nij prostopadła. Siły przywęzłow oraz przmiszcznia węzłow można przdstawić w postaci wktorów: Rys. 4 ~ ~ ~ ~ R = col( R, R,..., ), q ~ = col( q ~, q ~,..., ~ ), (6) 2 R6 gdzi R % jst wktorm sił przywęzłowych, a prętowgo można zapisać równani ruchu w postaci: 2 q6 q% wktorm przmiszczń węzłowych. Dla lmntu R% = K% q% + M% q&& %. (62) W wzorz (62) K % oznacza macirz sztywności lmntu w układzi lokalnym, a M % macirz mas. Jżli wartości paramtrów charaktryzujących pręt są stał na długości to macirz t mają postać: l l 2 2 ml 0 22l 4l 0 3l 3l M% =, (63) l l L 3l 0 22l 4l

12 EA EA l l EJ EJ EJ EJ l l l l EJ EJ EJ EJ l l l l K% = EA EA. (64) l l EJ EJ EJ EJ l l l l EJ EJ EJ EJ l l l l Równani ruchu lmntu nalży takż napisać w układzi globalnym. Położni układu lokalngo względm układu globalngo opisuj kąt α mirzony zgodni z skrętnością układu od osi x układu globalngo do osi x% układu lokalngo. Zapisując wktor sił przywęzłowych i przmiszczń węzłowych w układzi globalnym w postaci: (,,.., ), (,,.., ) R = col R R R q = col q q q, (65) oraz korzystając z warunku równoważności sił przywęzłowych w układzi lokalnym i globalnym: R % = T R, (66) można napisać, ż macirz transformacji rozpatrywango pręta ma postać: T cosα sinα sinα cosα = cosα sinα sinα cosα Rlacja odwrotna do zalżności (66) ma postać:. (67) T R = T R%. (68) Wdług tj samj zalżności jst transponowany wktor przmiszczń węzłowych: q% = T q T q = T q%. (69) Podstawiając zalżność (66) oraz (69) do równania ruchu lmntu otrzymamy: Mnożąc lwostronni równani (70) przz T % : T R = K % T q + M % T q. (70) T 2

13 T T T % = % % + % %, (7) T T R T K T q T M T q otrzyma się równani ruchu lmntu w układzi globalnym: R = K q + M q &&, (72) T T gdzi K = T K% T, M = T M% T są odpowidnio macirzami sztywności i mas lmntu prętowgo Opis lmntu kratowgo Do opisu lmntu kratowgo można się posłużyć takimi samymi zalżnościami co dla lmntu prętowgo. Nalży tylko na nowo zdfiniować macirz i wktory dla tgo lmntu. Schmat lmntu kratowgo przdstawia rys. 5. Rys. 5 Z względu na mnijszą liczbę paramtrów węzłowych (występują tu wyłączni przmiszcznia w kirunku równolgłym i prostopadłym do osi lmntu) oraz charaktr pracy lmntu kratowgo macirz sztywności i mas mają postaci: EA ml K% =, M% =, (73) l Dfinicj wktorów sił przywęzłowych i przmiszczń węzłowych w układzi lokalnym i globalnym są następując (porównaj rys. 6): (,,.., ), (,,.., ) (,,.., ), (,,.., ) R% = col R% R% R% q% = col q% q% q%, (74) R = col R R R q = col q q q. (75) Macirz transformacji lmntu kratowgo ma postać: T cosα sinα 0 0 sinα cosα 0 0 =. (76) 0 0 cosα sinα 0 0 sinα cosα 3

14 2.6. Krzyw rzonansow Rys. 6 Wykrs przdstawiający amplitudy drgań wymuszonych ustalonych dowolngo węzła konstrukcji w zalżności od częstości wymusznia nazywa się krzywą rzonansową. Krzywą rzonansową można wyznaczyć używając m.in. zminnych zspolonych. Wówczas wktor sił wymuszających opisuj się za pomocą funkcji: ( ) ( λ ) P t = P0 xp i t, (77) gdzi: i = jst jdnostką urojoną, a P 0 jst wktorm amplitud wymusznia. Dla wymusznia kinmatyczngo wktor P 0 przyjmuj następującą postać: P = M iq &&&, (78) 0 0 gdzi q&& 0jst amplitudą przyspisznia. Po podstawiniu zalżności (78) do równania ruchu (6) otrzyma się: ( ) ( ) ( λ ) M q&& ( t) + Cq& t + K q t = P xp i t, (79) Rozwiązanim równania (78) opisującym drgania ustalon konstrukcji jst: ( ) = xp ( λ ), ( ) = xp ( λ ), ( ) = xp ( λ ) q t q i t q& t q& i t q&& t q&& i t, (80) Po podstawiniu powyższych zalżności do równania ruchu (79) otrzymuj się równani: 2 ( λ λ ) K + i C M q = P. (8) 0 0 Macirz + λ λ jst nazywana macirzą sztywności dynamicznj. 2 K i C M Wykonując analogiczn wyprowadzni dla liczb rzczywistych przyjmuj się, ż wktor sił wymuszających ma postać: ( ) 0 cos P t = P λt, (82) a drgania ustalon opisują funkcj: ( ) = cos λ + sin c s ( ) = cos + c s 2 2 ( ) = cos + q t q t q λt q& t λq& λt λq& sin λt q&& t λ q&& λt λ q&& sin λt c s, (83) po podstawiniu do równania ruchu (6) otrzymuj się układ równań algbraicznych o postaci: 4

15 2 ( λ ) λ c 2 λ ( λ ) K M q + Cq = P s c Cq K M q 0 c + c =, (84) z którgo można wyznaczyć wktory q i c q. s Dla zadanj częstości wymusznia λ i wyznacza się amplitudy drgań z wzoru a = q + q. 2 2 i ci si Na podstawi obliczń wykonanych dla różnych częstości wymusznia λ i można sporządzić wykrs krzywj rzonansowj. 3. Opis analizowanj ramy 3.. Omówini danych przyjętych do obliczń Oblicznia dotyczą ośmiokondygnacyjnj ramy żlbtowj pokazanj na rys. 8, obciążonj siłami wywołanymi trzęsinim zimi. W tabli podano wymiary przkroi poprzcznych lmntów ramy. Rama wykonana jst z żlbtu, moduł Younga btonu E = 3 GPa. Rys. 8 Schmat analizowanj ramy Informacj o zastrzałach łączących tłumiki z ramą: a) zastrzały są wykonan z kształtownika HEB200, b) paramtry zastrzałów są następując: - moduł Younga dla stali E = 205 GPa - sztywność przkroju na rozciągani/ściskani EA = 0,6005E+0 N - sztywność przkroju na zginani EI = 0,6850E+08 Nm2 5

16 - masa jdnostkowa m = 6,3 kg/m - długość lmntu l = m Tabla - Wymiary lmntów Nr kondygnacji Słupy zwnętrzn [cm] Słupy wwnętrzn [cm] Blki [cm] 7, 8 35 x x x 40 5, 6 40 x x x 45 3, 4 45 x x x 50, 2 50 x x x 50 Wartości bzwymiarowych współczynników tłuminia ramy wynoszą γ = γ 2 = γ = 0, 02. Do obliczń przyjęto 7 paramtrowy modl tłumika pokazany na rys. 9. Wartości paramtrów tgo modlu podano w tabli 2. Tabla 2 Paramtry modlu tłumika Współczynniki sztywności 6 0 N / m ( )[ ] Współczynniki tłuminia 6 0 Ns / m ( )[ ] k 0 5, k 36,70 c 5,458 k 2 2,320 c 2 2,380 k 3,09 c 3 7, Schmat statyczny ramy Rys. 9 Schmat 7 paramtrowgo tłumika Klvina W trakci obliczń korzystano z następujących założń: - konstrukcję budynku można traktować jako szrg równolgłych do sibi ram płaskich obciążonych w płaszczyźni ramy - siły osiow w słupach ni mają wpływu na odkształcnia ramy - obciążnim ramy są siły poziom (statyczn lub dynamiczn) przyłożon na wysokości stropów lub poziom osiadania podpór ramy (w przypadku trzęsinia zimi lub dynamicznych obciążń parasjsmicznych Zgodni z powyższymi założniami analiza konstrukcji sprowadziła się do obliczń pojdynczj ramy, pionow przmiszcznia pominięto i analizowano jdyni przmiszcznia poziom stropów koljnych kondygnacji. Obliczniom poddano konstrukcję ośmiokondygnacyjną, żlbtową. Numry zminnych wwnętrznych poszczgólnych tłumików zapisano w nawiasach. Schmat ramy wraz z przykładowym rozmiszcznim tłumików (tłumiki są rozłożon równomirni) z zaznaczonymi przmiszczniami pokazano na rys. 0. 6

17 Rys. 0 Schmat ramy z zaznaczonymi przmiszczniami 4. Omówini wyników obliczń 4.. Opis procsu optymalizacji Procs optymalizacji polgał na wyznaczniu najkorzystnijszgo usytuowania tłumików na konstrukcji. Jako krytrium optymalizacji przyjęto wartość maksymalngo przmiszcznia poziomgo ostatnigo stropu wywołango harmoniczni zminnym przmiszcznim podpór ramy. W procsi optymalizacji starano się tak rozmiścić tłumiki drgań, aby omawian przmiszczni było minimaln. Do obliczń zastosowano tzw. mtodę skwncyjnj optymalizacji. Procs optymalizacji rozpoczęto umiszczając pirwszy tłumik na koljnych kondygnacjach i obliczając maksymaln przmiszczni poziom stropów (wyznaczając dla nich krzyw rzonansow). Z otrzymanych ośmiu zstawów wyników wybrano najkorzystnijszy, tzn. taki, dla którgo maksymaln przmiszczni poziom ostatnigo stropu miały wartość minimalna. Ustawini tłumika odpowiadając tj wartości uznawano za optymaln. Następni, mając ustaloną pozycj pirwszgo tłumika, powtarzano opisan powyżj postępowani ustawiając na koljnych kondygnacjach drugi tłumik. Procs optymalizacji zakończono po wyznaczniu położnia ośmiu tłumików. Otrzyman wyniki porównywano z ramą, na którj ni zamontowano tłumików oraz z taką, na którj tłumiki rozmiszczono równomirni (tzn. po jdnym na każdj kondygnacji). 7

18 4.2. Maksymaln amplitudy drgań poziomych dla różnych położń tłumików i odpowiadając im krzyw rzonansow W tj części pracy, w koljnych tablach, zstawiono maksymaln przmiszcznia poziom poszczgólnych stropów. Pogrubioną czcionką oznaczono kolumnę (ustawini tłumika), w którj podano najmnijsz wartości maksymalnych amplitud drgań. Ponadto na koljnych rysunkach pokazano krzyw rzonansow przmiszcznia poziomgo stropu ostatnij kondygnacji. Na rys. pokazano omawianą krzywą rzonansową ramy bz tłumików drgań. Na rysunku widać dwa obszary rzonansow. Maksymalna amplituda w drugim obszarz rzonansowym jst wilokrotni mnijsza od maksymalnj amplitudy drgań w pirwszym obszarz rzonansowym. Rys. Krzywa rzonansowa ramy bz tłumików Optymalizacja położnia pirwszgo tłumika drgań W tabli 3 pokazano maksymaln amplitudy drgań rzonansowych odpowiadających różnym ustawiniom pirwszgo tłumika. Z obliczń wynika, ż tłumik nalży umiścić na 5 kondygnacji. Tabla 3 Rozmiszczani tłumika Brak tłumików rozmiszczonych na stał Nr przmi- szcznia Tłumik nr umiszczony na kondygnacji Amplitudy maksymalnych przmiszczń poziomych [m] 0, , , , ,0059 0, ,0073 0, ,0239 0,0779 0,067 0,0747 0,0663 0,0835 0, ,0253 0,0424 0,0383 0,0277 0, ,0293 0, ,0365 0, , , , ,0480 0, , , , , ,063 0, , , , , , , ,0756 0, , , , ,0874 0, ,495 0,0880 0, , , , , , ,250 0, , , ,088 0, ,0005 0,2624 8

19 Na rys. 2 porównano krzywą rzonansową ramy bz tłumików drgań (linia czarna) z krzywą rzonansową ramy z jdnym optymalni ustawionym tłumikim drgań (linia czrwona). Widać, ż wprowadzni tgo tłumika w istotny sposób zmnijszyło amplitudy drgań rzonansowych w obszarz pirwszgo rzonansu. Widoczn jst równiż pwn zwiększni częstości wymusznia, dla którgo amplitudy drgań rzonansowych są maksymaln. Rys. 2 Porównani krzywych rzonansowych ramy bz tłumików (linia czarna) i krzywj rzonansowj ramy z jdnym tłumikim umiszczonym na piątj kondygnacji (linia czrwona) Optymalizacja położnia drugigo tłumika drgań W tabli 4 pokazano wyniki obliczń zmirzających do okrślnia optymalngo położnia drugigo tłumika. Optymalnym położnim tgo tłumika jst 3 kondygnacja. Krzywą rzonansową ramy z dwoma optymalni ustawionymi tłumikami drgań (linia czrwona) porównano na rys. 3 z krzywą rzonansową ramy z jdnym optymalni ustawionym tłumikim (linia czarna). Wprowadzni drugigo tłumika spowodowało dalsz zmnijszni maksymalnych amplitud drgań rzonansowych. Tabla 4 Rozmiszczani 2 tłumika Nr przmiszcznia tłumik umiszczony na stał na 5 kondygnacji Tłumik nr 2 umiszczony na kondygnacji Amplitudy maksymalnych przmiszczń poziomych [m] 0, , , , , , , , ,0457 0,06 0,05 0,0224 0,032 0,029 0,0334 0,0525 0, , ,0904 0,024 0,0229 0, , , , , , , ,036 0,0337 0, , , , ,0349 0,0372 0, , ,0475 0, ,0570 0, , , ,0483 0, , , , , , ,0538 0, , , , ,0735 0, , , , , ,0624 0,

20 Rys. 3 Porównani krzywych rzonansowych ramy z jdnym tłumikim (linia czarna) i krzywj rzonansowj ramy z dwoma tłumikami (linia czrwona) Optymalizacja położnia trzcigo tłumika drgań W tabli 5 pokazano wyniki obliczń zmirzających do okrślnia optymalngo położnia trzcigo tłumika. Optymalnym położnim tgo tłumika jst 6 kondygnacja. Krzywą rzonansową ramy z trzma optymalni ustawionymi tłumikami drgań (linia czrwona) porównano na rys. 4 z krzywą rzonansową ramy z dwoma optymalni ustawionymi tłumikami (linia czarna). Tabla 5 Rozmiszczani 3 tłumika Nr przmiszcznia 2 tłumiki umiszczon na stał na 5 i 3 kondygnacji Tłumik nr 3 umiszczony na kondygnacji Amplitudy maksymalnych przmiszczń poziomych [m] 0, ,0035 0, , , , ,0034 0, ,0006 0, , , , , ,0094 0,004 0,0733 0,0487 0,0459 0,0529 0,0587 0,0569 0,0605 0, , ,028 0, , , ,0299 0,0225 0, , , , , , , , , , , , , , , ,0356 0, , , , , ,0405 0, , , ,0503 0, , , , , , , Optymalizacja położnia czwartgo tłumika drgań Wyniki obliczń zaprzntowano w sposób analogiczny do poprzdnio omówionych. W tabli 6 pokazano wyniki obliczń zmirzających do okrślnia optymalngo położnia czwartgo tłumika. 20

21 Optymalnym położnim tgo tłumika jst 3 kondygnacja. Krzywą rzonansową ramy z cztroma optymalni ustawionymi tłumikami drgań (linia czrwona) porównano na rys. 4 z krzywą rzonansową ramy z trzma optymalni ustawionymi tłumikami (linia czarna). Rys. 4 Porównani krzywych rzonansowych ramy z dwoma tłumikami (linia czarna) i krzywj rzonansowj ramy z trzma tłumikami (linia czrwona) Tabla 6 Rozmiszczani 4 tłumika Nr przmiszcznia 3 tłumiki umiszczon na stał na 5, 3 i 6 kondygnacji Tłumik nr 4 umiszczony na kondygnacji Amplitudy maksymalnych przmiszczń poziomych [m] 0, , , ,0028 0, , , , , ,0072 0, ,0077 0,0082 0, ,0082 0, ,0438 0,025 0,0232 0,0296 0,0378 0,0446 0,0398 0, , ,0777 0,0738 0,0772 0,0908 0,0202 0,0956 0, ,0265 0,0230 0, , , , ,025 0, ,0339 0, , , , , , , , , , , , ,0352 0, , , , , , , , , , Optymalizacja położnia pozostałych tłumików drgań Wyniki obliczń zaprzntowano w sposób analogiczny do poprzdnio omówionych. W tablach 7 0 pokazano maksymaln amplitudy drgań rzonansowych. Wyniki dotycząc rozwiązania optymalngo pogrubiono. Na rys. 5 9 pokazano fkty wprowadznia koljngo tłumika drgań poprzz porównani odpowidnich krzywych rzonansowych. 2

22 Rys. 5 Porównani krzywych rzonansowych ramy z trzma tłumikami (linia czarna) i krzywj rzonansowj ramy z cztroma tłumikami (linia czrwona) Tabla 7 Rozmiszczani 5 tłumika Nr przmiszcznia 4 tłumiki umiszczon na stał na 5, 3, 6 i 3 kondygnacji Tłumik nr 5 umiszczony na kondygnacji Amplitudy maksymalnych przmiszczń poziomych [m] 0, , ,0024 0, , , , , , , ,0064 0, , , , , ,048 0,007 0,0037 0,0055 0,0098 0,042 0,008 0, ,0626 0,0456 0,0474 0,0453 0,053 0,0608 0,0562 0, ,0222 0,095 0,0940 0,0897 0,0934 0, , , , , , , ,0233 0, ,0242 0, , , ,0280 0, , , , , , , , ,0302 0, ,0356 0, ,03270 Rys. 6 Porównani krzywych rzonansowych ramy z cztroma tłumikami (linia czarna) i krzywj rzonansowj ramy z pięcioma tłumikami (linia czrwona) 22

23 Tabla 8 Rozmiszczani 6 tłumika Nr przmiszcznia 5 tłumików umiszczonych na stał na 5, 3, 6, 3 i 4 kondygnacji Tłumik nr 6 umiszczony na kondygnacji Amplitudy maksymalnych przmiszczń poziomych [m] 0,0028 0,0099 0,0024 0, ,0029 0, ,0027 0, , , , , ,0059 0, , ,0068 0, , , , , , , ,00 6 0,0367 0,0229 0,0257 0,0283 0,03 0,0352 0,036 0, ,0789 0,0620 0,0660 0,0679 0,0659 0,0745 0,072 0, ,0274 0,0979 0, , ,0202 0, , , , , , , ,0240 0, , , , , , , , , , ,02788 Rys. 7 Porównani krzywych rzonansowych ramy z pięcioma tłumikami (linia czarna) i krzywj rzonansowj ramy z szścioma tłumikami (linia czrwona) Tabla 9 Rozmiszczani 7 tłumika Nr przmiszcznia 6 tłumików umiszczonych na stał na 5, 3, 6, 3, 4 i 7 kondygnacji Tłumik nr 7 umiszczony na kondygnacji Amplitudy maksymalnych przmiszczń poziomych [m] 0,0099 0,0083 0,0095 0, ,0020 0, ,002 0, , , ,0057 0, , , , , , , , , , , , , ,0240 0,02 0,040 0,064 0,095 0,0246 0,0275 0, ,068 0,0472 0,0500 0,058 0,0507 0,0604 0,0654 0, ,0945 0,0776 0,083 0,0833 0,0806 0,0878 0,0968 0, , , , ,027 0, ,0254 0, , , , , , , , , ,

24 Rys. 8 Porównani krzywych rzonansowych ramy z szścioma tłumikami (linia czarna) i krzywj rzonansowj ramy z sidmioma tłumikami (linia czrwona) Tabla 0 Rozmiszczani 8 tłumika Nr przmiszcznia 7 tłumików umiszczonych na stał na 5, 3, 6, 3, 4, 7 i 2 kondygnacji Tłumik nr 8 umiszczony na kondygnacji Amplitudy maksymalnych przmiszczń poziomych [m] 0,0069 0,0059 0,0067 0,0070 0,0070 0,0075 0,0078 0, , ,0044 0, , , , , , , , , , , , , , ,0067 0, , , ,002 0,0065 0,0086 0, ,0404 0,03 0,032 0,033 0,0299 0,0382 0,0423 0, ,0696 0,059 0,0594 0,0594 0,0565 0,0626 0,0702 0, ,0959 0,0843 0,0848 0,0847 0,083 0,087 0,092 0, ,0247 0, , , ,0992 0, , ,0228 Rys. 9 Porównani krzywych rzonansowych ramy z sidmioma tłumikami (linia czarna) i krzywj rzonansowj ramy z ośmioma tłumikami (linia czrwona) 24

25 Porównani krzywych rzonansowych Porównano równiż krzyw rzonansow ramy bz tłumików drgań (linia czarna na rys. 20), ramy z tłumikami ustawionymi optymalni (linia czrwona) i ramy z tłumikami rozmiszczonymi równomirni (linia zilona). Rys. 20 Porównani krzywych rzonansowych ramy bz tłumików drgań (linia czarna), krzywj rzonansowj ramy z tłumikami rozmiszczonymi optymalni (linia czrwona) i krzywj rzonansowj ramy z tłumikami rozmiszczonymi równomirni (linia zilona) 4.3. Wynik optymalizacji W rzultaci przprowadzonych obliczń otrzymano następując, optymaln w myśl przyjętgo krytrium, ustawini lpkosprężystych tłumików drgań: - 0 tłumików na kondygnacji, - tłumik na 2 kondygnacji, - 2 tłumiki na 3 kondygnacji, - tłumik na 4 kondygnacji, - 2 tłumiki na 5 kondygnacji, - tłumik na 6 kondygnacji, - tłumik na 7 kondygnacji, - 0 tłumików na 8 kondygnacji. W porównaniu z innymi zadaniami dotyczącymi optymalizacji położnia tłumików drgań zwraca uwagę prawi równomirny, optymalny rozkład tłumików. Rdukcja amplitud drgań rzonansowych uzyskana przz wprowadzni ośmiu tłumików drgań wynosi około 86% Rozkład przstrznny amplitud drgań W uzupłniniu poprzdnio podanych informacji poniżj na rys. 2 i 22 pokazano w jaki sposób zminiaja się maksymaln amplitudy poziomych drgań rzonansowych na poszczgólnych kondygnacjach rozpatrywanj ramy. Na koljnych wykrsach przdstawiono rozkład przstrznny omawianych amplitud drgań ramy z aktualni wprowadzonym tłumikim (linia ciągła z krzyżykami), rozkład przstrznny amplitud drgań ramy z poprzdnio ustawionymi tłumikami (linia krskowana) 25

26 oraz rozkład przstrznny amplitud drgań ramy bz tłumików (linia kropkowana). Z porównania koljnych wykrsów wynika, ż rdukcja amplitud drgań uzyskana przz wprowadzni koljnych tłumików jst coraz mnijsza. Widać, ż wprowadzni więcj niż 4 tłumików tylko w małym stopniu zmnijsza amplitudy drgań rzonansowych. Po umiszczniu na konstrukcji 4 tłumików drgań rdukcja maksymalnych amplitud drgań wynosi około 75%. Jżli poprzstać na ustawiniu 4 tłumików drgań to optymaln rozmiszczni tłumików jst następując: - 2 tłumiki umiszczon na 3 kondygnacji, - tłumik umiszczony na 5 kondygnacji, - tłumik umiszczony na 6 kondygnacji. Rys. 2 Rozkład przstrznny maksymalnych amplitud drgań rzonansowych ramy w zalżności od liczby tłumików drgań 26

27 Rys. 22 Rozkład przstrznny maksymalnych amplitud drgań rzonansowych ramy w zalżności od liczby tłumików drgań Na rys. 23 dokonano podobngo porównania z tym tylko, ż porównano wyniki otrzyman dla ramy z optymalni rozmiszczonymi tłumikami drgań (linia ciągła z krzyżykami) z wynikami uzyskanymi dla ramy z tłumikami równomirni rozłożonymi (linia krskowana) i z wynikami dla ramy bz tłumików (linia kropkowana). Na rys. 24 pokazano maksymaln amplitudy drgań rzonansowych stropu ostatnij kondygnacji w zalżności od liczby zainstalowanych tłumików. 27

28 Rys. 23 Rozkład przstrznny maksymalnych amplitud drgań rzonansowych ramy bz tłumików (linia kropkowana), ramy z tłumikami rozmiszczonymi optymalni (linia ciągła) i ramy z tłumikami rozmiszczonymi równomirni (linia przrywana) Rys. 24 Zmiana maksymalnj amplitudy drgań rzonansowych stropu ostatnij kondygnacji w zalżności od liczby tłumików 4.5. Zmiana charaktrystyk dynamicznych ramy spowodowana tłumikami drgań Wprowadzni do układu lpkosprężystych tłumików drgań jst zwiększa ni tylko zdolności tłuminia ramy, al zwiększa takż sztywność całgo układu. Zminiają się wobc tgo charaktrystyki dynamiczn układu, tzn. częstości drgań własnych i bzwymiarow współczynniki tłuminia modalngo. Zmianę tych wilkości wywołaną wprowadznim tłumików drgań pokazano na rys. 25 i 26. Na rys. 25 pokazano jak zminiają się bzwymiarow współczynniki tłuminia modalngo trzch pirwszych postaci drgań w zalżności od liczby wprowadzonych tłumików. Na rys. 26 pokazano podobną 28

29 zalżność dotyczącą trzch pirwszych częstości drgań własnych. Widać, ż bzwymiarowy współczynnik tłuminia modalngo postaci drgań jst liniową funkcją liczby tłumików drgań. Obsrwuj się istotny wzrost wartości wszystkich omawianych bzwymiarowych współczynników tłuminia modalngo. Wzrastają równiż pirwsz trzy częstości drgań własnych, al wzrost ich wartości jst niwilki. Rys. 25 Zalżność bzwymiarowych współczynników tluminia modalngo od liczby tłumików; linia nibiska bzwymiarowy współczynnik tłuminia współczynnik tłuminia postaci drgań, linia czrwona bzwymiarowy współczynnik tłuminia 2 postaci drgań, linia zilona bzwymiarowy współczynnik tłuminia 3 postaci drgań Rys. 26 Zalżność częstości drgań własnych od liczby tłumików; linia nibiska częstość drgań własnych, linia czrwona 2 częstość drgań własnych, linia zilona 3 częstość drgań własnych 5. Uwagi końcow W pracy przdstawiono wyniki obliczń zmirzających do optymalngo rozmiszcznia na rami płaskij lpkosprężystych tłumików drgań. Jako krytrium optymalizacji przyjęto wartość maksymalngo przmiszcznia poziomgo ostatnigo stropu wywołango harmoniczni zminnym przmiszcznim podpór ramy. W procsi optymalizacji starano się tak rozmiścić tłumiki drgań, aby omawian przmiszczni było minimaln. Do obliczń zastosowano tzw. mtodę skwncyjnj 29

30 optymalizacji. Zachowani dynamiczn lpkosprężystgo tłumika drgań opisano za pomocą 7 paramtrowgo uogólniongo modlu Klvina. Wyniki obliczń upoważniają do sformułowania następujących spostrzżń: - możliwa jst bardzo znaczna rdukcja drgań za pomocą tłumików lpkosprężystych, - w omawianym przypadku optymaln rozmiszczni tłumików jst bardzo zbliżon do rozmiszcznia równomirngo, - rdukcja drgań uzyskana przy optymalnym rozmiszczniu tłumików jst niznaczni większa od rdukcji drgań uzyskanj przy równomirnym rozmiszczniu tłumików, - przyrost rdukcji drgań związanych z wprowadznim koljnych tłumików drgań zmnijsza się wraz z wzrostm liczby tłumików ustawionych na rami, - w omawianym przypadku najbardzij konomicznym rozwiązanim wydaj się być zastosowani tylko 4 tłumików drgań. 30