EKONOMETRIA. Ekonometryczne modele specjalne. Zbigniew.Tarapata zbigniew.tarapata.akcja.pl/p_ekonometria/ tel.

Transkrypt

1 EKONOMETRIA Tmat wykładu: Ekonomtryczn modl spcjaln Prowadzący: dr inż. Zbigniw TARAPATA -mail: Zbigniw.Tarapata zbigniw.tarapata.akcja.pl/p_konomtria/ tl.: Plan wykładu Wprowadzni do modli spcjalnych; Modl autorgrsyjn jdnorównaniow z opóźnioną zminną objaśnianą; Przykład budowy modlu autorgrsyjngo; Modl z zminnymi binarnymi; Przykład budowy modlu z zminnymi binarnymi;

2 Wprowadzni do modli spcjalnych Do pwnj klasy modli konomtrycznych można zaliczyć modl, w których odchodzi się od niktórych założń dotyczących cych klasyczngo modlu rgrsji. Chodzi tu mianowici o odjści od założnia o : braku autokorlacji składnika losowgo; homoskdastyczności (braku zminności w czasi wariancji składnika losowgo); stabilności paramtrów strukturalnych modlu; nilosowości zminnych objaśniających. W zasadzi każdy modl, który odbiga od założń klasyczngo modlu rgrsji można nazwać modlm spcjalnym. 3 Wprowadzni do modli spcjalnych Wśród różngo rodzaju modli konomtrycznych stosowanych w praktyc ważną rolę odgrywają modl autorgrsyjn (autokorlacyjn). Cchą charaktrystyczną tych modli jst to, ż ni okrślają on ilościowo związków zachodzących między zminną ndogniczną (objaśnianą), a zminnymi objaśniającymi. Możmy spotkać się w zasadzi z dwoma rodzajami modli autorgrsyjnych: z uwzględninim opóźniń zminnj ndognicznj (objaśnianj); z uwzględninim opóźniń zminnych objaśniających. 4

3 Modl autorgrsyjn jdnorównaniow z opóźnioną zminną objaśnianą Modl uwzględniając zjawisko autokorlacji z uwzględninim opóźniń zminnj objaśnianj można ogólni zapisać w następującj postaci: Y ( ) () t = f Yt, Yt,..., Yt p, ξt W praktyc najczęścij przyjmuj się, ż funkcja f jst liniowa. W przypadku funkcji liniowj prowadzi to do modlu postaci: p Yt = α0 + αiyt i + ξt, () i= gdzi: Y t prognozowana zminna w okrsi (momnci) t; Y t-i prognozowana zminna opóźniona w chwili t-i; α 0, α,..., α p paramtry modlu; p rząd autorgrsji; ξ t składnik losowy. 5 Modl autorgrsyjn jdnorównaniow z opóźnioną zminną objaśnianą Paramtry modlu () można szacować wykorzystując np. mtodę najmnijszych kwadratów. Zakładając, z paramtry modlu () stymujmy w oparciu o n wartości szrgu czasowgo ( y t ), wprowadzamy t=,..., n następując oznacznia: y wktor zaobsrwowanych wartości zminnj Y o rozmiarach ( n p) ; X macirz o wymiarach ( n p) ( p +), którj pirwsza kolumna składa się z jdynk, a pozostał z zaobsrwowanych opóźnionych wartości zminnj Y; α - wktor niznanych paramtrów o rozmiarach ( p + ) ; ξ - wktor składników losowych o rozmiarach n p. ( ) 6

4 Modl autorgrsyjn jdnorównaniow z opóźnioną zminną objaśnianą y p+ y p y p L y α0 ξ p+ y p+ y p+ y p L y α ξ = ξ p+ y =, X = =, α, M M M M L M M M yn yn n n-p α y L y p ξn Przy tych oznaczniach modl tn można zapisać w równoważnj postaci: y = Xα + ξ (5) Stosując mtodę najmnijszych kwadratów (por. wzór (6) w wykładzi nr 5) otrzymujmy wktor wartości poszukiwanych paramtrów (przy czym X =X T macirz transponowana macirzy X): ' a = X X X (6) ( ) y 7 Modl autorgrsyjn jdnorównaniow z opóźnioną zminną objaśnianą W wyniku stymacji paramtrów przyjętgo modlu uzyskujmy następującą jgo postać: y ˆ = Xa + (7) gdzi to wktor rszt o rozmiarach ( n p). Macirz wariancji-kowariancji stymatorów paramtrów modlu () dana jst wzorm (por. () w wykładzi nr 5): D przy czym wariancja rsztowa a ( ) a = s ( p ( X ) = Var X ( ) ) s ( p) jst równa: (8) s ( p) = n ' p ( p + ) (9) 8

5 Modl autorgrsyjn jdnorównaniow z opóźnioną zminną objaśnianą Z koli współczynnik zbiżno ności wynosi: ' ϕ = n y t y ( ) t= p+ (0) y gdzi to śrdnia arytmtyczna wartości szrgu od okrsu (momntu) do n, czyli: t = p + y = n p n y t t= p+ (0a) Współczynnik dtrminacji R możmy wyliczyć z wzoru: R = ϕ (0b) 9 Modl autorgrsyjn jdnorównaniow z opóźnioną zminną objaśnianą Przy budowaniu omawianych modli występuj problm ustalnia wartości paramtru p, czyli rzędu autorgrsji. Optymalną wartość p można ustalić wykorzystując np. mtodę, w którj podstawą wyboru jst funkcja: gdzi: SR k n ( k) = ln s ( k) + ln n ( k = 0,,..., K ) s ( k) () - ocna wariancji składnika losowgo modlu autorgrsji rzędu k; K maksymalny rząd autorgrsji. Korzystając z tj funkcji paramtr p wybiramy tak, aby spłnia niał warunk: SR( p) = min SR( k) k {0,..., K} () 0

6 Modl autorgrsyjn jdnorównaniow z opóźnioną zminną objaśnianą Zauważmy ważną rzcz: Aby wyliczyć wartości funkcji SR(k) z () musimy znać wartość wariancji składnika rsztowgo s ( k) dla modlu autorgrsji rzędu k; Z koli, aby znać wartość wariancji składnika rsztowgo nalży najpirw dysponować modlm! Zatm, aby okrślić optymalną wartość rzędu autorgrsji z () nalży wczśnij oszacować wszystki modl auorgrsji rzędu k=0,,..., =0,,...,K!!! Następni z tych modli (już oszacowanych!!!) wybiramy tn, dla którgo wartość SR(k) jst minimalna (zgodni z ()). I już!!! Modl autorgrsyjn jdnorównaniow z opóźnioną zminną objaśnianą -Przykład W tabli przdstawiono kwartalną wartość produkcji sprzdanj (w mln dol.) wyrobów z gumy i tworzyw sztucznych w Polsc w latach Na podstawi tych danych oszacować modl autorgrsyjny okrślony wzorm () oraz okrślić jgo jakość. Kwartał Tabla 3 4 Rok ,3 356,9 373,5 55,3 635,7 679,6 80,3 779,4 877, 96, 48, 48,5 634,7 754,4 783,9 9, 909,9 989,0 345, 378, 474,7 70,8 809,9 87, 960,0 075, 04,0 36,8 376,8 56, 708,4 75,8 80,9 895,8 040,5 949,

7 Modl autorgrsyjn jdnorównaniow z opóźnioną zminną objaśnianą Przykład, c.d. Rozwiązani. Ustalni rzędu autorgrsji. Wykorzystując modl () nalży ustalić rząd autorgrsji p. W tym clu korzystamy z wzoru (); ocnę wariancji składnika losowgo oszacowanych modli autorgrsji rzędu k=,...,8 oraz wartości funkcji () przdstawiamy w tabli. k s ( k) 5466, , , ,068 33, ,068 65, ,09 SR ( k) 8,7 8,85 8,36 8,50 8,54 8,63 8,57 8,73 Tabla Jak obliczyliśmy lmnty tabli? Np. SR(k=), n t ' t= p s ( k = ) = = = = 574,48 n k ( k + ) SR k n 36 s ( k = ) patrz tabla 3 na następnj stroni ( k = ) = ln s ( k) + ln n = ln s ( k = ) + ln36 = ln 574,48 + ln 36 = 8,65 + 0, = 8, t yt y(t-) y(t-) y(t)^ (t)^ 3 345, 96, 98,3 345,0409 0, ,8 345, 96, 389,306 70, ,9 36,8 345, 406,5 435, , 356,9 36,8 40,383 76, , 48, 356,9 465, , ,8 378, 48, 4,7588 0, ,5 376,8 378, 49,5546, ,5 373,5 376,8 46,5388 3, ,7 48,5 373,5 457, ,744 56, 474,7 48,5 508, , ,3 56, 474,7 547,557, ,7 55,3 56, 58,68 870, ,8 634,7 55,3 656,453 48, ,4 70,8 634,7 79,6895 7, ,7 708,4 70,8 76, , ,4 635,7 708,4 660,8 8858, ,9 754,4 635,7 766, , ,8 809,9 754,4 88, , ,6 75,8 809,9 768, , ,9 679,6 75,8 700, , , 783,9 679,6 794,00 533, ,9 87, 783,9 86, ,0 5 80,3 80,9 87, 83, , , 80,3 80,9 8, , , 80,3 9,604 34, , , 957, , ,4 895, , , ,9 779,4 895,8 793, , ,0 909,9 779,4 90, , ,50 075,0 909,9 06, 47, , 040,50 075,0 033, , , 040,50 885, , , , 983, , , 04, , ,8 suma 7807 Modl autorgrsyjn jdnorównaniow z opóźnioną zminną objaśnianą Przykład, c.d. Wyniki oszacowania modlu dla p=, tzn. dla modlu: Y Po skorzystaniu z sposobu szacowania paramtrów modlu z wiloma zminnymi objaśniającymi (patrz wykład poprzdni) otrzymujmy modl: yˆ Uwaga! (t)^= Tabla 3 t = 0 + αy t + αyt α + ξ t = 7, + 0,9059 yt + 0, 087 yt t = yˆ ) ( yt t t 4

8 Modl autorgrsyjn jdnorównaniow z opóźnioną zminną objaśnianą Przykład, c.d. Z wartości funkcji SR(k) zawartych w tabli wynika, ż w rozważanym przypadku powinniśmy oszacować modl autorgrsji z maksymalnym opóźninim p=3 (dla tgo opóźninia funkcja SR(k) przyjmuj najmnijszą wartość), czyli modl postaci: Y t = α0 + αy t + αyt + α3yt 3 + ξ t Oszacowani paramtrów w modlu. Paramtry wybrango modlu oszacujmy za pomocą klasycznj mtody najmnijszych kwadratów korzystając z wzoru (6). Dla danych z tabli odpowidni macirz mają postać jak na następnym slajdzi. 5 y = 36,8 345, 96, 98,3 356,9 36,8 345, 96, 48, 356,9 36,8 345, 378, 48, 356,9 36,8 376,8 378, 48, 356,9 373,5 376,8 378, 48, 48,5 373,5 376,8 378, 474,7 48,5 373,5 376,8 56, 474,7 48,5 373,5 55,3 56, 474,7 48,5 634,7 55,3 56, 474,7 70,8 634,7 55,3 56, 708,4 70,8 634,7 55,3 635,7 708,4 70,8 634,7 754,4 635,7 708,4 70,8 809,9 754,4 635,7 708,4 75,8, X = 809,9 754,4 635,7 679,6 75,8 809,9 754,4 783,9 679,6 75,8 809,9 87, 783,9 679,6 75,8 80,9 87, 783,9 679,6 80,3 80,9 87, 783,9 9, 80,3 80,9 87, 960,0 9, 80,3 80,9 895,8 960,0 9, 80,3 779,4 895,8 960,0 9, 909,9 779,4 895,8 960,0 075, 909,9 779,4 895,8 040,5 075, 909,9 779,4 877, 040,5 075, 909,9 989,0 877, 040,5 075, 04,0 989,0 877, 040,5 949, 04,0 989,0 877, Modl autorgrsyjn jdnorównaniow z opóźnioną zminną objaśnianą Przykład, c.d. y X`X = (X`X) - = 33,00 945,70 00,90 50,0 945, , , ,9 00, , , ,3 50, , , ,8 0, , , , , , , , , , , , , , , , X`y = i ostatczni 3549, , , ,74 a =(X`X) - X`y = 65,584 0,8977-0,6479 0,705 Oszacowany modl ma zatm postać: t = 65, ,8977yt 0,6479yt + 0, 705yt 3 y +. t,, 6

9 t yt y(t-) y(t-) y(t-3) y(t)^ (t)^ 4 36,8 345, 96, 98,3 393,83 96, ,9 36,8 345, 96, 376,56 386, , 356,9 36,8 345, 394,8 50, , 48, 356,9 36,8 474,59 990, ,8 378, 48, 356,9 379,35 6, ,5 376,8 378, 48, 460,76 765, ,5 373,5 376,8 378, 43,45 4,49 474,7 48,5 373,5 376,8 465,00 94,6 56, 474,7 48,5 373,5 483,96 03,7 3 55,3 56, 474,7 48,5 56,45 85, ,7 55,3 56, 474,7 56,76 530, ,8 634,7 55,3 56, 64,47 376, ,4 70,8 634,7 55,3 674,74 3, ,7 708,4 70,8 634,7 693, , ,4 635,7 708,4 70,8 67, , ,9 754,4 635,7 708,4 830,50 44, ,8 809,9 754,4 635,7 75,5 0,43 679,6 75,8 809,9 754,4 748, ,4 783,9 679,6 75,8 809,9 759,06 67, , 783,9 679,6 75,8 859,85 87, ,9 87, 783,9 679,6 770,46 05, ,3 80,9 87, 783,9 809,75 7,4 6 9, 80,3 80,9 87, 840, , , 80,3 80,9 930,6 863, , , 80,3 90,08 39, ,4 895, , 890,33 306, ,9 779,4 895, ,85 308, ,0 909,9 779,4 895,8 009,4 4363, ,50 075,0 909,9 779,4 990,90 460, , 040,50 075,0 909,9 944, , , 040,50 075,0 937,04 699, , , 040,50 8, , , 04, , 977,84 86,9 suma 977,74 Modl autorgrsyjn jdnorównaniow z opóźnioną zminną objaśnianą Przykład, c.d. Jakość modlu. Po obliczniu wartości tortycznych (kolumna y(t)^ w tabli 4) i rszt szacujmy (korzystając z wzoru (9)) wariancję rsztową oszacowango modlu i otrzymujmy: s ' ( p) = n p Tabla 4 977,737 = = 38,9908 ( p + ) 36 3 ( 3 + ) 7 Modl autorgrsyjn jdnorównaniow z opóźnioną zminną objaśnianą Przykład, c.d. Następni (wykorzystując wzór (8)) szacujmy macirz wariancji i kowariancji stymatorów paramtrów modlu: 00,4808 -,55-0,084-0,447 -,55 0,087-0,074-0,000 Var( a) = s ( ( p) X X) = -0,084-0,074 0,0349-0,074-0,447-0,000-0,074 0,085 Na tj podstawi oszacowany modl możmy zapisać w postaci (w nawiasach podano śrdni błąd szacunku dango paramtru): yˆ t = 65,584+ 0,8977 yt 0,6479 yt + 0,705 yt 3 ( 3,788) ( 0,367) ( 0,869) ( 0,359) oraz obliczyć wartości następujących miar dopasowania: s = 56,409, V = 0,0790, ϕ = 5,7%, R = 94,3% 8

10 Modl autorgrsyjn jdnorównaniow z opóźnioną zminną objaśnianą Przykład, c.d yt t wartości rzczywist wartości tortyczn Wykrs Wykrs dopasowania danych rzczywistych do oszacowango modlu 9 Modl z zminnymi binarnymi (zro-jdynkowymi) W modlach konomtrycznych na badaną zminną często wywirają wpływ taki czynniki, jak mijsc zamiszkania badanj osoby, płć pracownika, posiadani własngo miszkania przz rodzinę o danych dochodach, znajomość języka angilskigo przz pracownika itp. Rprzntując j zminn objaśniając wprowadza się do modlu jako tzw. zminn zro-jdynkow (dychotomiczn,, binarn), przypisując im wartość zro (np. badany ni zna języka obcgo), bądź jdn (zna język obcy), zalżni od występującj sytuacji. W przypadku występowania w modlu wśród w d zminnych objaśniaj niających zminnych zro-jdynkowych postępowani prognostyczn przbiga tak, jak przy wczśnij opisywanych modlach. 0

11 Modl z zminnymi binarnymi (zro-jdynkowymi) Sytuacja się komplikuj, gdy modl konomtryczny budowany jst w clu wyjaśninia zjawisk opisywanych przz zminną jakościową, czyli wtdy, gdy zminną objaśnian nianą jst zminna zro-jdynkowa jdynkowa, gdyż żadn z poznanych przz nas do tj pory modli ni daj nam na wyjściu tylko dwóch wartości: 0 i. Modl opisywan przz nas do tj pory są modlami ciągłymi, tzn. opisują on w sposób ciągły zalżność zminnj objaśnianj od zminnych objaśniających. Modl z zminnymi binarnymi (zro-jdynkowymi) Przykład Załóżmy, ż zro-jdynkowa zminna objaśniana Y zalży od jdnj zminnj objaśniającj X. Wykrs hipottycznj sytuacji dla 0-ciu obsrwacji zaprzntowano na wykrsi. Zauważmy, ż dla oszacowango modlu liniowgo współczynnik dtrminacji wynosi tylko 0,7, czyli modl słabo opisuj zalżność między zminnymi. Ponadto jst modlm ciągłym, a nas intrsuj modl, który pozwalałby otrzymywać tylko dwi wartości zminnj objaśnianj, tzn. 0 i. Cóż bowim znaczy wartość np. y 0.5 z modlu dla x=5? y, 0,8 0,6 0,4 0, y = -0,0909x + R = 0, , x Wykrs

12 Modl z zminnymi binarnymi (zro-jdynkowymi) Przkształcni logitow W clu prognozowania wartości zminnj zro-jdynkowj jdynkowj,, stosuj się spcjaln przkształcnia modli (otrzymując c tzw. modl probitow, logitow i inn). Przyjmijmy, ż intrsuj nas modl, który objaśnia, czy badana osoba kupiła w ciągu ostatnigo roku komputr, czy tż ni. Zminna objaśniana (Y) jst więc zminną zrojdynkową przyjmującą wartość jdn, jżli dana osoba kupiła komputr, a zro - w przciwnym przypadku. Ponadto załóżmy, ż jdyną zminną objaśniającą w tym modlu jst dochód (X) badanj osoby. Modl, który opisuj tę sytuację moż mić postać: y j = α 0 + αx j + ξ j (.) gdzi j jst numrm badanj osoby. 3 Modl z zminnymi binarnymi (zro-jdynkowymi) Przkształcni logitow Na podstawi obsrwacji n osób otrzymamy modl: gdzi: ŷ j yˆ j = a0 + ax j + ξ - ralizacja zminnj losowj Y, przy czym, jżli j - ta osoba kupila komputr Y = 0, w przciwnym przypadku (.) x j - wysokość dochodów (w zł/osobę) przypadająca na j-tą osobę; a 0, a - stymatory paramtrów α 0, α. j 4

13 Modl z zminnymi binarnymi (zro-jdynkowymi) Przkształcni logitow Wartość oczkiwana zminnj objaśnianj moż być intrprtowana jako warunkow prawdopodobiństwo ralizacji dango zdarznia pod warunkim, ż zminna objaśniaj niająca przyjęł ęła a pwną wartość ść. Wartość ŷ możmy traktować jako warunkow prawdopodobiństwo ralizacji tgo zdarznia. Jdnak i w tym przypadku możmy mić problmy. Jak wiadomo prawdopodobiństwo moż przyjmować wartości tylko z przdziału [0, ] natomiast szacując nasz modl możmy wykroczyć poza zakrs tgo przdziału z wartością ŷ. Na przykład w modlu z wykrsu jżli przyjęlibyśmy wartość zminnj x=0, to otrzymujmy = Modl z zminnymi binarnymi (zro-jdynkowymi) Przkształcni logitow W clu uniknięcia większych od jdności lub mnijszych od zra wartości prawdopodobiństwa dokonuj się monotoniczngo przkształcnia prawdopodobiństwa p z przdziału [0, ] na przdział (-, + ). Jdnym z takich przkształcń jst tzw. transformacja logitowa. Wykorzystuj ona, do zamiany prawdopodobiństwa p na liczbę z przdziału (-, + ), tzw. logity L: L = ln p p (.3) których wartość dla p=0 wynosi -, zro dla p=0.5 oraz + dla p=. 6

14 Modl z zminnymi binarnymi (zro-jdynkowymi) Przkształcni logitow Wykrs 3 Wykrs funkcji logitowj 7 Modl z zminnymi binarnymi (zro-jdynkowymi) Przkształcni logitow W clu ocny paramtrów modlu (.) odpowidni wartości L nalży podstawić w mijsc zminnj objaśnianj. Tym samym modl przybirz postać: L β + β + ξ (.4) j = 0 x j Aby z modlu (.4) uzyskać wartość prawdopodobiństwa, trzba posłużyć się funkcją logitową (.3) i wyznaczyć p j. Dokonując ciągu przkształcń wzoru (.3) otrzymamy: j p p L = = = = + = + p = p L L p p p + (.5) (.6) (.7) (.8) L L 8

15 Modl z zminnymi binarnymi (zro-jdynkowymi) Przkształcni logitow Podstawiając p=p j oraz L=L j i korzystając z (.4) otrzymujmy: p (.9) j = ( β 0+ βx ) + j przy czym pominęliśmy składnik losowy ξ j, gdyż w klasycznym modlu rgrsji przyjmowaliśmy założni, ż E{ξ j }=0. Paramtry modlu (.4) szacuj się uogólnion lnioną mtodą najmnijszych kwadratów (mtoda najmnijszych kwadratów daj gorsz oszacowania). Natomiast prawdopodobiństwa p j zastępuj się często stościami oszacowanymi na podstawi próby by. 9 Modl z zminnymi binarnymi (zro-jdynkowymi) Przkształcni logitow - Przykład W badaniu budżtów rodzinnych zbrano od 400 rodzin informacj o wysokości dochodu i fakci zakupu (lub ni) komputra w ciągu roku. W badaniu wyróżniono 8 grup dochodowych. Zbran informacj zaprzntowano w Tabli 5. Na podstawi modlu: Pj = β 0 + βx j odpowidzić na pytania:. Jaka jst szansa zakupu komputra przz rodzinę o dochodzi 6 tys. zł?. Przy jakim poziomi dochodu rodziny szansa zakupu komputra wynosi 0,9? Tabla 5 Dochód (w tys. zł) Wartość zminnj objaśniającj (X) Liczba badanych gospodarstw domowych (N) Liczba rodzin kupujących komputr (n) Częstość (p) n p = N Logit (L) p L = ln p 0,5-,5 0 0,0 -,0,5-,5 40 0,30-0,85,5-3, ,57 0,7 3,5-4, ,63 0,53 4,5-5, ,68 0,73 5,5-6, ,73,0 6,5-7, ,88,99 7,5-8, ,90,0 30

16 Modl z zminnymi binarnymi (zro-jdynkowymi) Przkształcni logitow Przykład, c.d. Rozwiązani (stosujmy mtodę najmnijszych kwadratów do szacowania paramtrów modlu) Liniowa funkcja rgrsji opisująca zalżność logitu od wysokości dochodów została przdstawiona na Wykrsi 4 i ma postać: L = j X j L 3,00,00,00 0,00 -,00 -,00-3,00 dan rzczywist Liniowy (dan rzczywist) L = -, ,564 X R = 0, X 3 Tabla 6 Modl z zminnymi binarnymi (zro-jdynkowymi) Przkształcni logitow Przykład, c.d. Korzystając z dfinicji logitu (.3) wartość prawdopodobiństwa dla liniowj funkcji rgrsji opisującj logit obliczamy z wzoru (.9) (wyniki w tabli 6): p j = = = L j ( β 0 + βx j ) (,0787 0,564 X j ) X j L j p j Częstość -,5 0,8079 0,0-0,95 0, ,30 3-0,39 0, ,57 4 0,8 0, ,63 5 0,74 0, ,68 6,3 0, ,73 7,87 0, ,88 8,43 0, ,90 3

17 Modl z zminnymi binarnymi (zro-jdynkowymi) Przkształcni logitow Przykład, c.d. Możmy obcni odpowidzić na pytania zawart w trści zadania. Ad. Szansa zakupu komputra przz rodzinę o dochodzi 6 tys. zł wynosi: p j = 0,79 (, ,564*6) + Ad. Poziom dochodu rodziny, przy którym szansa zakupu komputra wynosi 0,9 jst równy:, ,564X =,0 X=7,58 33