Q n. 1 1 x. el = i. L [m] q [kn/m] P [kn] E [kpa], A [m 2 ] n-1 n. Sławomir Milewski

Transkrypt

1 Ćwiczni a: Statyka rozciągango pręta - intrpolacja liniowa Dany jst pręt o długości L, zamocowany na lwym końcu, obciążony w sposób jdnorodny ciągły (obciążni q) i skupiony (siła P na prawym swobodnym końcu). Pręt wykonany jst z matriału sprężystgo (moduł E), o prostokątnym przkroju poprzcznym (wymiary b i d). L [m] q [kn/m] P [kn] E [kpa], A [m ] Zastosować MES do znalzinia przmiszczń Q i rozkładu sił podłużnych pręta S. Dyskrtyzacja MES: n węzłów, N lmntów, poziom węzłów). Nss = n stopni swobody (przmiszcznia Q Q Q Q 3 n N Q n 3 n- n Aproksymacja MES: dwi linow funkcj kształtu, N ( ) N ( ) N( x ) =, N( x) = oraz N( x ) =, N( x) = x x l = i i h i+ x Wzór na macirz sztywności lmntu x = E A ( ) [ ] x T K B B dx gdzi B - macirz pochodnych funkcji kształtu

2 dn( x) dn( x) B = dx dx () [ ] Wzór na wktor obciążnia lmntu (zastępników obciążnia lmntowgo) x ( ) [ ] x T F = N q dx (3) gdzi N - macirz funkcji kształtu lmntu [ ] [ ] N = (4) oraz q - obciążni ciągł (stał lub zminn) wzdłuż lmntu. Schmat agrgacji globalnj macirzy sztywności K i globalngo wktora obciążnia [ N N ] F (z uwzględninim obciążnia skupiongo P) [ N ] ss ss ss K K F K K +K () () K () K K () +K (3) F +F F ( ) () +F ( 3) + P Uwzględnini warunków brzgowych Q = Rozwiązani układu równań (wyznaczni przmiszczń węzłowych) Q K Q = F (5) [ N ] ss Wyznaczni węzłowych sił podłużnych S dla każdgo lmntu S K Q F (6) [ ] =

3 Wyznaczni przmiszcznia i siły podłużnj w dowolnym punkci lmntu u( x) = Q + Q (7) dn( x) dn( x) s( x) = E A Q + Q dx dx (8) Zadani Przyjąć dan: L = m, E = 7 GPa, b = d = 5 cm, q = x kn/m (obciążni rozciągając, liniowo zminn), P = - kn (siła ściskająca) Wykonać oblicznia komputrow w programi Matlab dla dowolnj liczby lmntów. Wyświtlić wyniki dla N =. Wskazówki W programi w Matlabi wykorzystać pętlę for oraz następując funkcj: - do obliczń symbolicznych: syms, diff, int, subs, val - do obliczń macirzowych: zros - do grafiki: figur, plot, titl, axis, xlabl, ylabl, lgnd, hold - do obliczń MES (z przybornika Calfm): assm, solvq. Składnia funkcji assm: [K,F]=assm(dof,K,K,F,F) Składnia funkcji solvq: [Q,R]=solvq(K,F,bc) Schmat programu: otworzyć nowy plik, wyczyścić pamięć (clar all), okno Command Window (clc) oraz zamknąć okna graficzn (clos all), zdfiniować zminną symboliczną x, zdfiniować dan do zadania (E, A, L, q, P), okrślić liczbę lmntów (N) obliczyć: liczbę węzłów (n), liczbę stopni swobody (Nss), długość lmntu (h) wygnrować współrzędn węzłów (X) wyzrować globalną macirz sztywności (K) wyzrować globalny wktor obciążń (F) wpisać wartość siły skupionj do odpowidnigo lmntu wktora F uruchomić pętlę po lmntach (i) o okrślić współrzędną pirwszgo węzła i-tgo lmntu (x) o okrślić współrzędną drugigo węzła i-tgo lmntu (x) o zapisać wzór na pirwszą funkcję kształtu (N) o zapisać wzór na drugą funkcję kształtu (N) o obliczyć wktor funkcji kształtu (N) [x] o obliczyć macirz pochodnych funkcji kształtu (B) [x] o obliczyć macirz sztywności lmntu (K) [x] o obliczyć wktor obciążnia lmntu (F) [x] o okrślić wktor [x3] zawirający: numr lmntu oraz numry jgo ss (dof) o dokonać agrgacji zamknąć pętlę po lmntach

4 okrślić wktor warunków brzgowych (bc) [x] - numr zablokowango ss i wartość przmiszcznia rozwiązać układ równań MES (wyznaczyć przmiszcznia i rakcj) otworzyć pirwsz okno graficzn narysować przmiszcznia wstawić tytuł wykrsu, umiścić lgndę i opisy osi x i y prztstować działani programu dla różnj liczby lmntów N otworzyć drugi okno graficzn, włączyć funkcję hold zdfiniować liczbę punktów pośrdnich w lmnci M = uruchomić pętlę po lmntach o powtórzyć procs oblicznia macirzy sztywności lmntu (z poprzdnij pętli) o wybrani przmiszczń węzłowych i-tgo lmntu (Q) o obliczni sił przywęzłowych (S) o gnracja punktów pośrdnich w lmnci (x) o obliczni wartości siły podłużnj w punktach pośrdnich o rysunk siły podłużnj w lmnci zamknąć pętlę wstawić tytuł wykrsu oraz opisy osi x i y prztstować działani programu Ćwiczni b: Statyka rozciągango pręta - intrpolacja kwadratowa Program w obcnj formi (dla statyki) rozszrzyć o intrpolację kwadratową w lmnci skończonym za pomocą hirarchicznych funkcji kształtu ( ) 3 i N ( ) N ( ) 3 kwadratowa funkcja kształtu: ( )( ) = x x x x (9) 3 3 x x l = i i h i+ x Aproksymacja w lmnci wygląda następująco ( α 3 - dodatkowy stopiń swobody): u( x) = Q + Q + α () 3 3

5 dn( x) dn( x) dn3( x) s( x) = E A Q + Q + α3 dx dx dx () Zmiany w algorytmi sprowadzają się do większych rozmiarów macirzy ([ 3 3] ) i wktorów lmntowych ([ 3] lub [ 3 ] ). Natomiast na poziomi całgo układu koniczn jst wprowadzni dodatkowgo matmatyczngo (bz intrprtacji fizycznj) stopnia swobody α w środku każdgo z lmntów. Q Q Q Q 3 5 Nss Q Nss Nss- Nss- Nss Wskazówki Wykonać kopię pliku, w którym znajduj się poprzdnio napisany i poprawni działający program dla intrpolacji liniowj (za pomocą dwóch liniowych funkcji kształtu). Kopię pliku zapisać pod odpowidnią inną nazwą i dokonać nizbędnych zmian. Wykonać oblicznia dla okrślonj liczby lmntów N, porównać rzultaty obliczń dla zadania a i b. N Ćwiczni c: Dynamika rozciągango pręta - drgania swobodn Pręt z poprzdnigo zadania poddany jst podłużnym drganiom swobodnym (bz obciążnia zwnętrzngo). Znalźć cztry pirwsz częstotliwości drgań własnych oraz odpowiadając im postaci drgań. Oblicznia wykonać dla dwóch wariantów rozłożnia masy pręta - masy skupionj oraz rozłożonj w sposób ciągły. W analizi MES wykorzystywana jst najczęścij konsystntna (płna) macirz mas, obliczania wdług wzoru (dla lmntu) x = ρ A ( ) [ ] x T M N N dx gdzi ρ oznacza gęstość masy lmntu (pręta). Macirz mas poszczgólnych lmntów podlgają agrgacji podobni jak macirz sztywności. Oprócz macirzy konsystntnj (czyli posiadającj lmnty pozaprzkątniow), można stosować diagonaln macirz mas, wynikając z punktowgo rozłożnia masy (podobni jak w zagadniniach mchaniki budowli) pun h M = ρ A [ ] (3) Agrgacja macirzy sztywności i mas prowadzi do uogólniongo problmu własngo na poziomi całgo układu (pręta)

6 ( ω ) K M Q = (4) gdzi ω - częstość drgań własnych. Z częstości drgań własnych można wyliczyć częstotliwość f oraz okrs drgań własnych T π ω = π f = (5) T Zadania Dla pręta z zadania a (intrpolacja liniowa) przyjąć gęstość masy ρ = 75 kg. Do 3 m istnijącgo programu dopisać procdury znajdując pirwsz częstotliwości i postaci drgań własnych, w oparciu o macirz mas MES (płn) oraz skupion. Narysować postaci drgań dla wyników MES. Wskazówki Oblicznia dla macirzy mas można zorganizować w tj samj pętli, co dla macirzy sztywności - przd pętlą nalży przygotować (wyzrować) odpowidni globaln macirz Mkons = zros( Mdiag = zros( a następni wwnątrz pętli zbudować odpowidni macirz lmntow na podstawi wzorów, (3) i zagrgować j do macirzy globalnych (funkcja assm). W dalszj części programu, oprócz wyminionych poprzdnio funkcji, wykorzystać do obliczń MES (z przybornika Calfm) funkcję ign, rozwiązującą uogólniony problm własny. Składnia funkcji: [L, Q]=ign(K,M,bc) (L - wartości własn, Q - wktory własn (w kolumnach), K - globalna macirz sztywności, M - globalna macirz mas, bc - wktor zawirający numry zablokowanych stopni swobody (czyli pirwsza kolumna macirzy bc dla obliczń statycznych). Dla macirzy płnj: [L,Q] = ign( Czst = i dla macirzy diagonalnj [L,Q] = ign( Czst = Zminn Czst i Czs oznaczają częstotliwości drgań własnych, któr nalży wyznaczyć z wzoru (5). Schmat części programu rysującj postaci drgań figur( liczba_postaci = min([4 N]);

7 for i = % pętla po liczbi postaci drgań subplot(,,i); titl(['f_m_e_s = ' numstr(czst(i),3)... ', f_d_i_a_g = ' numstr(czst(i),3)]); hold on plot( % wykrs postaci drgań własnych Q dla macirzy Mkons plot( % wykrs postaci drgań własnych Q dla macirzy Mdiag lgnd('kons','diag'); nd Przykładow rozwiązani - porównani cztrch pirwszych postaci drgań własnych f MES =.5+3, f diag =.5+3 f MES = 6.5+3, f diag = kons diag.5 kons diag f MES =.+4, f diag =.5+4 kons diag f MES =.58+4, f diag = kons.5 diag Ćwiczni d: Dynamika rozciągango pręta - drgania wymuszon Proszę przyjąć obciążni zalżn od czasu i wykorzystać mtodę Nwmarka do wyznacznia osiowych przmiszczń w ustalonj chwili czasu. Narysować historię przmiszcznia w punkci x = L. Oblicznia proszę wykonać dla wariantu aproksymacji z liniowymi funkcjami kształtu. Równani drgań wymuszonych swobodnych (bz tłuminia) Muɺɺ + Ku = f ( t) (6) gdzi - u = u ( x, t) - odpowidź układu, - f = f ( t) - funkcja obciążnia, - M - macirz mas, - K - macirz sztywności.

8 Mtoda Nwmarka: - dan wilkości początkow: u, =ɺ - wartość przyspisznia: k + = t k + k + k v u, a = uɺɺ = M ( f Ku ) ( ( t )) a M + K f K u v (7) - wartość prędkości: v = v + t a (8) k + k k + - wartość przmiszcznia: uk + = uk + t vk + t a k + (9) Proszę przyjąć następując wilkości: - częstotliwość obciążnia f :.8 najmnijszj częstotliwości dla drgań własnych obliczonj za pomocą MES dla płnj macirzy mas, - częstość obciążnia ω wg wzoru (5), f ( t) = A sin ω t, gdzi amplituda obciążnia - obciążni dynamiczn wg wzoru ( ) Af = F - wktor obciążnia statyczngo, - czas początku procsu t =, - czas końca procsu t =., - liczba kroków czasowych N t = 5, t t - długość kroku czasowgo wg wzoru t = Nt Uwaga! W przypadku nistabilnych rzultatów, odpowidnio zmnijszyć czas końcowy lub zwiększyć liczbę kroków czasowych. Schmat ostatnij części programu: %% DRGANIA WYMUSZONE - METODA NEWMARKA % uwzględnini w macirzach mas i sztywności kin.war.brzg. Mkons(,:) = []; % usunięci z macirzy mas pirwszgo wirsza Mkons( % usunięci z macirzy mas pirwszj kolumny K( % usunięci z macirzy sztywności pirwszgo wirsza K( % usunięci z macirzy sztywności pirwszj kolumny % dfinicja obciążnia Czst_obc = % częstotliwość obciążnia W_obc = % częstość obciążnia Amp_obc = F( % lmnty wktora obciążnia od do Nss t_ = % czas początku procsu t_ = % czas końca procsu f

9 % dyskrtyzacja osi czasu Nt = % liczba kroków czasowych dt = % długość kroku czasowgo % mtoda Nwmarka Q = zros(nss-,); % początkow przmiszcznia węzłów od do Nss Qv = zros( % początkow prędkości węzłów od do Nss Qa = zros( % początkow przyspisznia węzłów od do Nss Q_hist = zros( % historia Nt przmiszczń węzłów od do Nss q_hist = zros( % historia Nt przmiszczń węzła x = L t_hist = zros( % historia Nt zmian czasu t_hist = t_; q_hist = Q(Nss-); Q_hist(,:) = [; Q]'; czas = t_; for i = % pętla po krokach czasowych od do Nt czas = % czas w następnym kroku Qa_pop = Qa; Qv_pop = Qv; Q_pop = Q; Qa = % nowa wartość przyspisznia Qv = % nowa wartość prędkości Q = % nowa wartość przmiszcznia nd t_hist(i) = % zapamiętani aktualngo czasu q_hist(i) = % zapamiętani przmiszcznia ostatnigo węzła Q_hist(i,:) = [;Q]'; % zapamiętani przmiszczń wszystkich węzłów %animacja drgającgo pręta figur(4); titl(' xlabl(' ylabl(' for i = % pętla po krokach czasowych od do Nt plot(% wykrs przmiszcznia węzłowgo w koljnj chwili czasu (na osi x: X, na osi y: i-ta kolumna macirzy Q axis([ L min(min(q_hist)) max(max(q_hist))]); % stała skala wykrsu paus(.) nd % wykrs historii przmiszcznia ostatnigo węzła figur(5); plot(% wykrs historii przmiszczń ostatnigo węzła hold on grid on titl(' lgnd(' xlabl(' ylabl('