Własności i zastosowania wybranych macierzy punktu siodłowego

Transkrypt

1 UNIWERSYE im.. MICKIEWICZ WYDZIŁ MEMYKI I INFORMYKI adusz Ostrowski Własności i zastosowania wybranych macirzy punktu siodłowgo Praca z zakrsu matmatyki przygotowana pod kirunkim prof. UM dra hab. omasza Szulca i przdłożona Radzi Wydziału Matmatyki i Informatyki Uniwrsyttu im. dama Mickiwicza jako rozprawa doktorska Poznań 9 i

2 Maji, nni, aduszowi jr. i Rodzicom ii

3 Panu Profsorowi omaszowi Szulcowi gorąco dziękuję za wszchstronną pomoc w trakci powstawania ninijszj rozprawy, za poświęcony czas i wyrozumiałość, za cnn uwagi i rady, za życzliwość i wsparci. iii

4 Spis trści. Wstęp.... Wprowadzni rys historyczny..... Cl rozprawy.... Macirz punktu siodłowgo (, ) Prliminaria Własności wyznacznika macirzy (, ) Dopłnini Schura macirzy w (, ) Odwrotność i faktoryzacja macirzy (, ) Własności rzędu macirzy (, ) Funkcja afiniczna f (x) = dt( xe) Dwuosobow gry dwumacirzow Wprowadzni Równowagi miszan Nasha. Krytrium istninia lgbra Ligo so 3 (R) i gry skośni symtryczn Przykłady zastosowania macirzy punktu siodłowgo (, ) w dwuosobowych grach dwumacirzowych iv

5 4. Wybran lmnty torii gir wolucyjnych Wprowadzni Standardowy program kwadratowy a wolucyjna toria gir Krytrium stabilności wirdzni Bishopa-Cannigsa Przykłady zastosowania macirzy (, ) w grach wolucyjnych Modl z paramtrm altruizmu/goizmu Wprowadzni Równość Chona Przykłady zastosowania macirzy punktu siodłowgo (, ) w grach z paramtrm altruizmu/goizmu Lista oznaczń Cytowana litratura... 4 v

6 . Wstęp.. Wprowadzni - rys historyczny Charls S. Bightlr (Bightlr [7]) zauważa, ż dążni człowika do prfkcji znajduj swój wyraz w optymalizacji, zajmującj się tym, jak opisać i osiągnąć Najlpsz, gdy wimy już jak mirzyć oraz zminiać Dobr i Zł. Optymalizacyjna problmatyka towarzyszy ludzkości od cywilizacyjngo zarania i np. Wrgiliusz (7 9 p.n..) w Enidzi przdstawia problm: znalźć na płaszczyźni krzywą zamkniętą o danj długości, która zawira maksymalną powirzchnię. Warto w tym mijscu nadminić, ż w 997 roku obchodzono 3-lci nowożytnj torii optymalizacji, bowim w 697 roku Johann Brnoulli ( ) ogłosił konkurs na rozwiązani problmu brachistromy: wyznaczyć krzywą na płaszczyźni, łączącą dwa punkty, B, wzdłuż którj punkt matrialny, poruszający się pod działanim siły ciężkości, przbywa drogę w najkrótszym czasi. Jak wiadomo, wpłynęło tylko szść poprawnych rozwiązań, w tym od von Libniza, sir Nwtona i markiza d l Hospitala. Kamiń węgilny optymalizacji, twirdzni Karusha-Kuhna-uckra, został położony latm 95 roku podczas Brkly Symposium on Mathmatical Statistics and Probability, kidy lbrt William uckr (95 995) z Princton Univrsity, powszchni wówczas znany jako topolog, wygłosił rfrat Nonlinar Programming. l, jak wszyscy nazywali uckra (Gass [7]), jst jdnym z pionirów zarówno torii gir, jak i programowania liniowgo oraz niliniowgo. Rfrat ów, fkt wspólnych badań uckra i Harolda Kuhna (95 ) z Princton Univrsity, został opublikowany w sprawozdaniu pokonfrncyjnym, a nazwa programowani niliniow po raz pirwszy pojawiła się w litraturz matmatycznj. Główny wynik tgo rfratu, podający warunki koniczn istninia optimum dla problmu niliniowgo, stał się natychmiast sławny. Jdnak w rzczywistości Kuhn i uckr ni byli pirwszymi. W 939 r. twirdzni to udowodnił w swj pracy doktorskij William Karush z Univrsity of Chicago, al jgo wyników ni chciano, nistty, nigdzi opublikować! Dlatgo dziś często mówi się o twirdzniu Karusha-Kuhna-uckra.

7 Nalży tu wspomnić, ż podobn twirdzni uzyskał Fritz John (9 994) z Nw York Univrsity, a ukazało się ono dwa lata przd pracą Kuhna i uckra w zbiorz sjów z okazji szśćdzisiątych urodzin Richarda Couranta. Historia powiliła tu casus Karusha, bo John próbował bz powodznia opublikować swą pracę wczśnij, al czasopismo Duk Mathmatics Journal ją odrzuciło (Kjldsn [44]). Optymalizacja jst istotnym lmntm torii gir, w którj rozwiązanim gry są stratgi zapwniając graczom maksymalni korzystną wypłatę. Matmatyka modli sytuacji konfliktowych, czyli toria gir, wywodzi się z gir towarzyskich, czgo rflksm jst stosowana trminologia. Po towarzyskim początku toria gir znalazła zastosowania w tak fundamntalnych dzidzinach jak wojskowość, biologia, konomia, czy socjologia. Bo grą jst pokr i rultka, a takż handl i walka organizmu z grypą. Knnth rrow (rrow [5]) okrślił to dobitni: In fact, lik Molièr s charactr M. Jourdain, w had rally bn spaking gam thory all our livs. W związku z tą kspansją torii gir spotyka się podział nauk społcznych na spkulatywn (sprzd torii gir) i nowoczsn (stosując nowy paradygmat). oria gir, przyjmując za krytrium stopiń sprzczności intrsów, dzili gry na ściśl konkurncyjn (gry o sumi zrowj) i częściowo konkurncyjn (gry o sumi nizrowj). Rultka, dla przykładu, jako modl graczy przy stoliku jst nikonkurncyjna, a jako modl kasyna jst konkurncyjna z ujmną sumą gry dla graczy, poniważ to oni utrzymują kasyno. Jdnak mimo statystycznj koniczności przgrywania istniją stratgi zapwniając graczowi wygraną. Jdną z nich jst stał podwajani stawki w grz na kolor, gdy grający stawia nań żton i przy wygranj zarabia żton, a przgrywając podwaja stawkę, obstawiając to samo. Jśli gracz przgrywał n-krotni pod rząd, tracąc n = n żtonów, to wygrywając w następnj grz, otrzyma n żtonów i zarobi jdn żton. Problm stosowania stratgii tkwi w zasobności portfla. Na ogół za datę narodzin torii gir przyjmuj się rok 944, kidy ukazała się monografia hory of Gams and Economic Bhavior Johnna von Numanna (93 957) i Oskara Morgnstrna (9 976). Jdnak historia tj dzidziny sięga kilka wików wstcz. Otóż Jams Waldgrav (685 74), angilski ambasador w Paryżu, w liści do Pirr-Rmond d Montmort z 3 listopada 73 roku, podał pirwsz znan rozwiązani w stratgiach miszanych karcianj gry dwuosobowj, zaś na rok 93 przypada historyczni pirwsz twirdzni torii gir (dotycząc szachów) autorstwa Ernsta Zrmlo (87 953). Naszkicujmy traz kilka ważnych modli torii gir.

8 Dylmat Więźnia. Rok 95 jst w torii gir ważną datą za sprawą Mlvina Drshra i Mrilla Flooda z RND Corporation oraz gry, znanj dziś jako dylmat więźnia. Stanowi ona ogólny modl koopracji, w którym intrsy stron są częściowo zbiżn, zaś po części rozbiżn. Późnij uckr dorobił fabułę, dzięki którj gra zyskała swą nazwę: dwóch podjrzanych o wspóln przstępstwo umiszczono w osobnych clach. Policja ni ma wystarczających dowodów przciwko nim, al dość, by skazać ich za mnijsz przwininia. Jśli więc żadn się ni przyzna, obaj i tak spędzą rok w więziniu. Gdy przyznają się, dostaną po 5 lat. Jśli przyzna się tylko jdn, to on wyjdzi na wolność, a drugi otrzyma -ltni wyrok (zgodni z amrykańską procdurą karną, zasądzona zostani suma wyroków). B ni przyznać się (~p) przyznać się (p) ni przyznać się (~p) (, ) (, ) przyznać się (p) (, ) ( 5, 5) W intrsi obu jst ni przyznać się (~p, ~p), lcz intrs indywidualny nakazuj iść w kirunku minimum kary. Pirwszy wybirz zatm przyznani się (p), drugi równiż, co implikuj 5-ltni wyrok dla każdgo. Optymalny wariant solidarny (~p, ~p) stwarza największ zagrożni, bo -ltni wyrok w przypadku zdrady wspólnika. Więziń rozumuj bowim następująco: jśli B się przyzna, to wyjdę lpij na przyznaniu się, otrzymując 5 lat zamiast. Jśli zaś mój kompan się ni przyzna, tż lpij dla mni przyznać się i wyjść na wolność niż spędzić rok w więziniu. B wnioskuj analogiczn i obaj się przyznają, chociaż byłoby dla nich lpij ni przyznać się. Dylmat unaocznia, ż są sytuacj, w których logiczny wybór, dyktowany własnym intrsm, prowadzi do nikorzystngo rzultatu. Gdyby więźniowi mogli komunikować się, nawiązaliby współpracę clm osiągnięcia rozwiązania optymalngo roczngo wyroku. Brak koopracji przsuwa wynik gry na 5-ltni wyrok dla każdgo. Drshr i Flood użyli tgo modlu w szczgólności do pokazania wyborów stojących przd US i ówczsnym ZSSR podczas wyścigu zbrojń, a w ogólności do ukazania, ż jdyny punkt równowagi gry o sumi nizrowj moż ni być optymalny. Wil modli sprowadza się w tn czy inny sposób do tgo właśni dylmatu, na przykład wojna cnowa dwóch rywalizujących firm. W rozdzial piątym dylmat tn jst analizowany przy pomocy macirzy punktu siodłowgo. 3

9 Itrowany Dylmat Więźnia. Jdną z prób rozwiązania dylmatu więźnia jst jgo itrowany odpowidnik, czyli wilokrotn rozgrywani gry między tymi samymi graczami. u opłaca się współpracować, bo zysk z jdnj tury jst niwilki wobc strat w koljnych. Prostą i fktywną stratgią w tj grz jst wt za wt (it For at) natola Rapoporta z Univrsity of oronto: koopruj w pirwszj turz, w następnych turach powilaj poprzdni działani przciwnika (zdradź jśli zdradził, koopruj jśli kooprował). it For at okazała się zwycięska w słynnych, rozgrywanych przz programy komputrow, turnijach Robrta xlroda z Univrsity of Michigan. Swą fktywność zawdzięcza ona tmu, ż jst przyjazna pirwsza ni zrywa współpracy; odwtowa zdradę odpłaca zdradą; przwidywalna można przwidzić jj zachowani i dostosować się do nigo; skłonna do wybaczania wybacza, jśli przciwnik się poprawi; gwarantuj wynik ni gorszy od wyniku przciwnika o więcj niż różnica jdnj rundy, co uodpornia ją i na graczy racjonalnych (prfrujących jak najwyższy wynik własny), i na zazdrosnych (prfrujących jak największą różnicę wyników). Itracja działa przy niwidzy, il jst tur. Gdyby było wiadomo, ż jst ich n, to n-ta tura zrdukowałaby się do zwykłgo dylmatu więźnia i nikt by ni współpracował. Bo skoro w n-tj turz ni ma współpracy, to (n )-sza tura rdukuj się do dylmatu więźnia itd. Stratgia it For at bywa tż traktowana jako przsłani moraln: bądź przyjazny i koopratywny, karz zdrajcę, al ni bądź pamiętliwy, jśli się poprawi. Wczsn lata 6-t wyróżniają się intnsywnymi badaniami gir z naturą, czyli torią podjmowania dcyzji w warunkach nipwności, tzw. Hors Lottry (ni wiadomo, ani którgo konia wystawić do wyścigu, ani który koń wygra). Natura jst tu traktowana jako gracz pasywny, ni zaintrsowany wygraną. Powstają wtdy znan krytria idntyfikując optymalną stratgię dcydnta: krytrium Walda (9 5), Savag a (97 7) i Hurwicza (97 ), którmu Szkoła Główna Handlowa w Warszawi przyznała w 994 roku doktorat honoris causa i który w 7 został noblistą w dzidzini konomii. Dylmat wspólnych zasobów. W 968 roku Garrtt Jams Hardin (95 3) z Univrsity of California przdstawił (Hardin [35]) dylmat więźnia w wiloosobowym odpowidniku. Rozważmy wiś składającą się z pięciu zagród, użytkujących wspólni 4

10 pastwisko, mogąc wyżywić 5 krów, z których każda przynosi 5$ zysku. Wprowadzni koljnych krów zmnijsza zysk z każdą krową o dolara, bo są on coraz bardzij nidożywion. Początkowo każdy rolnik, wypasając jdną krowę, zarabia 5$, a cała wiś 5$. Jśli jdnak jdn z rolników, kirując się własnym zyskim, wprowadzi na pastwisko dodatkową krowę, wtdy każda krowa przynisi już tylko po 4$ i zysk wsi spadni o dolara, al zysk goisty wzrośni do 8$. Gdy ów goista pokusi się o dalsz przciążani pastwiska, tż jst to dlań opłacaln aż do trzcij krowy, co przynisi 3 3$ = 9$ zysku. Dalj zwiększając stado, zmnijsza swój dochód (tabla poniżj). ilość wszystkich krów ilość krów goisty zysk z jdnj krowy ` zysk goisty zysk wsi Ogólni, użytczność następnj krowy ma dla goisty składnik dodatni, który jst funkcją powiększnia stada, bo ilość krów przkłada się na jgo zysk, i składnik ujmny dla wsi, który jst funkcją spasania pastwiska, bo fkt tn rozkłada się na całą wiś. Zsumowani tych składników prowadzi do konkluzji, ż najlpszą stratgią dla goisty jst powiększani swgo stada o koljną krowę. Procdura dcyzyjna jst nizminna: wyłamani się z koopracji i dodatkow obciążni pastwiska jst dochodową stratgią jdnostki. Gdy krów jst już 8, to rolnik wprowadzający 9-tą, posiadający wczśnij jdną, przynoszącą $ dochodu, traz będzi miał dwi, dając w sumi tyl samo. Zyskuj jdnak bzpiczństwo, bo gdyby ją wprowadził ktoś inny, to on straciłby $. ym samym gra kończy się na zysku wsi 9$, miast wyjściowych 5$. Hardin napisał Każdy wplątany jst w systm, zmuszający go, w tym ograniczonym świci, do powiększania stada poza rozsądny limit. Ruina jst przznacznim, do którgo dążą wszyscy, mający na clu własn dobro i nalżący do społczństwa wiary w wolność na wspólnych zimiach. Dylmat tn jst modlm konkurncji i koopracji w obszarz dóbr nipodzilnych, np. środowiska naturalngo. Na pastwisku Hardina kologia łagodzi konflikt intrsu jdnostki (zaniczyszczani) z ogólnym (dbałość o środowisko) opłatami karnymi za misj zaniczyszczń. 5

11 Paradoks Nwcomba. Paradoks tn, odkryty przz Williama Nwcomba z Univrsity of California, pojawia się w grz, w którj jdn z graczy moż przwidywać ruch drugigo (Ldwig [47]). Przwidujący gracz (P) i wybirający (W), birz udział w grz, w którj graczowi W przdstawia się dwa pudłka, jdno otwart z zawartością $ i drugi zamknięt bonusow, w którym moż być czk na milion dolarów. Gracz W stoi przd problmm, czy wybrać oba pudłka, czy tylko zamknięt. Jdnakż P wczśnij przwidział, co wybirz W: jżli wźmi oba pudłka, to zamknięt jst pust; jśli W wybirz tylko zamknięt pudłko, to jst w nim milion dolarów. W W wźmi oba pudłka Przwidywani P W wźmi zamknięt pudłko wziąć oba pudłka $ $ wybrać zamknięt $ Stratgia wzięcia dwóch pudłk dominuj nad stratgią wyboru pudłka zamkniętgo, bo w każdym przypadku wypłata jst wtdy wyższa. Zatm wdług standardów torii podjmowania dcyzji, gracz W powinin wziąć obydwa pudłka. Z drugij strony prawdopodobiństwa warunkow, ż P przwidzi wzięci dwóch pudłk pod warunkim, ż W to zrobi, a takż, ż przwidzi wybór zamkniętgo pudłka pod warunkim, ż W j wybirz, są w zasadzi równ jdności. ym samym wartość oczkiwana wzięcia dwóch pudłk jst $, zaś dla pudłka zamkniętgo wynosi milion dolarów. Oznacza to, ż W powinin, wbrw zasadzi dominacji, wybrać pudłko zamknięt. Ray Dacy i współpracownicy z Univrsity of Idaho zaproponowali w 977 r. rozwiązani (Dacy t al. []), którgo kluczm jst framing, tzn. altrnatywna forma przdstawinia problmu. W takim ujęciu gracz W ni ma już stratgii dominującj W Przwidywani P poprawn błędn wziąć oba pudłka $ $ wybrać zamknięt $ Poniważ P jst w stani przwidzić ruch W, tn ostatni powinin zdcydować się na zamknięt pudłko, co usuwa paradoks. Empiryczn badania framingu pokazały istotność sposobu przntacji problmu dcyzyjngo dla jgo rozwiązania. 6

12 Licytacja o Dolara a Efkt Utopionych Kosztów. W 97 roku Martin Shubik z Yal Univrsity wprowadził do torii gir koljną pułapkę, mianowici licytację o dolara (Shubik [63]). Licytacja jst tu następująca: dwaj gracz konkurują o dolara w trakci licytacji z stawką rosnącą o 5 cntów. Po jj zakończniu obaj płacą ostatnio licytowan kwoty, a zwycięzca birz dolara. Na ogół licytacja przbiga następująco: pirwszy licytuj 5 cntów, licząc na zysk 75c. Drugi gracz z koli licytuj 5c, by tylż zyskać. Wtdy pirwszy, licytuj 75c, by zyskać 5c, a drugi licytuj c, nic ni zyskując i ni tracąc (pasując, traci ostatnio zalicytowan 5c). Następni pirwszy, chcąc zminimalizować stratę, licytuj 5c i przpłaca, działając w dobrz pojętym własnym intrsi. Licytując wyżj, zmnijsza swą stratę. Pułapkę stwarza więc fakt następujący: licytacja posiada punkt przgięcia zysk-strata. ortyczni gra moż trwać w niskończoność. W rzczywistych ksprymntach gracz na ogół licytują do kilku dolarów i przgrywają wszyscy, mimo dodatnij sumy gry do możliwgo podziału. Sam zaś Shubik napisał, ż ksprymnt wykazał możliwość sprzdaży dolara za na ogół od 3 do 5 dolarów. Licytację o dolara można traktować jako modl wyścigu zbrojń, w którym państwa, działając w każdym ruchu racjonalni, stal zwiększają wydatki zbrojniow. Nazywa się to fktm utopionych kosztów. W polityc formą tj licytacji jst podbijani obitnic kontrkandydata w kampanii wyborczj, mogąc prowadzić do zobowiązań dowolni przkraczających raln możliwości. Licytacja o dolara z fktm utopionych kosztów zachodzi tż, kidy dwi strony, tocząc spór o przysłowiową pitruszkę, inwstują w nigo coraz więcj i nigdy już ni odzyskają tgo, co w spór zainwstowali. Cathrin Blumr i Hal rks z Ohio Stat Univrsity przprowadzili ksprymnt (rks and Blumr [4]), w którym sprzdawali studntom szonow karnty do kina. Okazało się, ż im droższ karnty, tym więcj czasu badani spędzali w kinowj sali, bo wydatk ni moż się zmarnować. W innym ksprymnci ofrowano dwa równi atrakcyjn wyjazdy za 5$ i 5$. Późnij okazywało się, ż są on w tym samym trmini. Prawi wszyscy rzygnowali z wyjazdu tańszgo, uzasadniając pozorni logicznym argumntm, ż mnij się zmarnuj piniędzy. Logiczność powyższj argumntacji burzy bowim fakt, ż została wydana kwota 4$ bz względu na wybór. Licytacja o dolara ukazuj trudności w wykorzystaniu aparatu torii gir w pwnych sytuacjach. 7

13 Paradoks Hiprgry. W 987 roku William Zwickr z Union Collg pokazał (Zwickr [75]), ż oprócz problmów graczy są równiż problmy z samymi grami. Otóż jśli grą normalną nazwać grę dwuosobową, kończącą się w skończonj liczbi ruchów (np. warcaby), to hiprgra jst grą, w którj pirwszy z graczy wybira dowolną grę normalną, a drugi gracz wykonuj pirwsz posunięci w wybranj grz. Problm polga na tym, ż ni można odpowidzić na pytani, czy hiprgra jst, czy ni jst grą normalną. Założni, ż hiprgra jst grą normalną, prowadzi do konkluzji, ż nią ni jst, i odwrotni. Załóżmy, ż hiprgra jst grą normalną. Zatm w pirwszym ruchu, wybirając dowolną grę normalną, gracz moż wybrać hiprgrę. Drugi gracz, do którgo nalży pirwszy ruch w wybranj grz, tż moż wybrać hiprgrę. Jśli kontynuować ów procs w niskończoność, to hiprgra ni jst grą normalną wbrw założniu. Jśli zaś przyjąć, ż hiprgra ni jst normalna, to w pirwszym ruchu można wybrać tylko grę normalną. o oznacza, ż do rozgrania hiprgry potrzba o jdn ruch więcj niż do wybranj gry normalnj i hiprgra tż jst normalna (sprzczność). pozorni dfinicyjn igraszki mają jdnak ważn zastosowania, mianowici w torii algbr diagonalizowalnych (Brnardi and D gostino [9]) oraz przy konstrukcji formuł nizaprzczalnych (Kauffman [43]). Dylmat baru El Farol. W 994 r. Brian rthur z Santa F Institut opisał tzw. dylmat baru El Farol (rthur [6]), którgo pojmność jst mnijsza niż liczba potncjalnych gości. Każdy klint stoi więc przd dylmatm, czy iść do baru, czy pozostać w domu, bo prawdopodobni w barz brak już wolnych mijsc i wiczór w domu jst lpszym posunięcim. Jdnym z najprostszych modli tgo dylmatu jst giłda; jżli większość będzi chciała sprzdać akcj, to ich cna spadni i odwrotni, jśli mnij będzi sprzdających, cna wzrośni. W przypadku baru czy giłdy korzystni jst być w mnijszości. Dylmat baru El Farol, stanowiący uproszczony modl tzw. gry na mnijszość, dał początk klasi modli opisujących rywalizację o ograniczon dobra. W najprostszj wrsji giłdowj gra zakłada, ż część graczy chc sprzdać pojdynczą akcję (+ a), część chc ją kupić ( a) i jst oczywist, ż im suma akcji wszystkich graczy jst bliższa zru, tym bardzij rynk jst zrównoważony. * 8

14 Mówiąc o znaczących postaciach torii gir, cofnijmy się traz do roku 973, kidy biolog John Maynard Smith (9 4) i matmatyk Gorg R. Pric (9 75) użyli w swj pracy pojęci stratgii wolucyjni stabilnj, co zapoczątkowało rwolucję pojęciową w torii gir i znalazło szczgóln zastosowani w badaniach bhawioralnych, z współczsną socjobiologią na czl. Jdnak ożywion zaintrsowani torią gir, któr trwa po dziń dzisijszy, nastąpiło po 994 roku, kidy noblistami (w stulci tstamntu Nobla) w dzidzini konomii zostali John Forbs Nash (US), John Charls Harsanyi (US) oraz urodzony w Wrocławiu Rinhard Sltn (Nimcy) "for thir pionring analysis of quilibria in th thory of non-cooprativ gams", jak uzasadnił h Bank of Swdn Priz in Economic Scincs. Nalży tż odnotować wkład Hugo Stinhausa (887 97), doktora honoris causa UM w Poznaniu, w szczgólności jgo pracę Dfinicj potrzbn do torii gir i pościgu, (Lwów, 95) i propozycj rozwiązań gir dotyczących sprawidliwgo podziału dóbr. Stawia to Stinhausa w rzędzi współtwórców torii gir. W r. w torii gir znów pojawił się noblowski akcnt; nagrodę w dzidzini konomii otrzymał Danil Kahnman (US, Izral) for having intgratd insights from psychological rsarch into conomic scinc, spcially concrning human judgmnt and dcision-making undr uncrtainty, jak uzasadniono wrdykt. Współtwórca badań, mos vrsky (US), nistty, ni dożył tj chwili. rzy lata późnij lauratami nagrody Nobla w dzidzini nauk konomicznych zostali Robrt J. umann (US, Izral) i homas Crombi Schlling (US) for having nhancd our undrstanding of conflict and coopration through gam-thory analysis". Ich prac pozwoliły zastosować torię gir, jako torię dcyzji intraktywnj, do poszukiwania odpowidzi na pytani, dlaczgo niktór grupy lub organizacj odnoszą sukcsy w współpracy, natomiast inn popadają w konflikty. Schlling (Univrsity of Maryland) opisał torię gir jako pol zastosowań dla nauk społcznych, dowodząc przy tym, ż zdolność do odwtu moż być użytcznijsza niż zdolność opirania się atakowi, a nipwność odwtu bardzij wiarygodna niż jgo pwność. Prac t okazały się użytczn przy rozwiązywaniu konfliktów, opracowywaniu stratgii firm i podjmowaniu dcyzji. umann (Hbrw Univrsity of Jruzalm) badał długotrminow rlacj i torię powtarzanych gir. Jgo prac wyjaśniają przyczyny istninia wilu organizacji gospodarczych (równiż zorganizowanj przstępczości!) i mają znaczni dla ngocjacji płacowych czy porozumiń handlowych. 9

15 .. Cl rozprawy Ninijsza rozprawa poświęcona jst własnościom i zastosowaniom w torii gir pwnych macirzy blokowych, w których lwy górny blok jst rzczywistą macirzą kwadratową stopnia n, prawy górny blok jst wktorm kolumnowym o wszystkich n składowych równych jdności, lwy dolny blok jst wktorm wirszowym o wszystkich n składowych równych jdności, zaś prawy dolny blok tworzy liczba zro. Macirz t okrślan są zwykl jako macirz punktu siodłowgo. W przypadku szczgólnym, jśli macirz jst macirzą symtryczną, macirz punktu siodłowgo nazywan są macirzami Karusha-Kuhna-uckra (macirzami KK). Macirz KK występują w problmach optymalizacji niliniowj, a w szczgólności przy minimalizacji (lub maksymalizacji) formy kwadratowj na symplksi standardowym. W rozprawi badan są macirz punktu siodłowgo, w których jst dowolną macirzą kwadratową. Macirz t w sposób naturalny pojawiają się m. in. jako stowarzyszon z pwnymi układami równań liniowych. W rozprawi, poza badanim własności macirzy punktu siodłowgo z punktu widznia torii macirzy, wskazuj się zastosowania tych macirzy w analizi gir dwumacirzowych o sumi dowolnj oraz tak zwanych gir wolucyjnych, czyli symtrycznych gir dwumacirzowych rozgrywanych przz osobników pwnj populacji. * W pirwszym rozdzial podano zarys historii twirdznia Karusha-Kuhna- uckra, opis kilku podstawowych modli torii gir oraz istotn osiągnięcia wybitnych postaci w torii gir od Johna von Numanna, Oskara Morgnstrna i Hugona Stinhausa po lauratów nagrody Nobla z 5 roku, tj. Robrci umanni i homasi Schllingu. *

16 W rozdzial drugim bada się własności macirzy punktu siodłowgo dotycząc wyznacznika, osobliwości (niosobliwości), rzędu, dopłninia Schura, okrśloności oraz inrcji. Pytania o własności tych macirzy są, jak się wydaj, intrsując ni tylko jako nizalżn zagadninia tortyczn, lcz takż z punktu widznia ich zastosowań. Do najważnijszych z uzyskanych tu wyników nalżą twirdznia.4,.7,.8 (zamiszczon w pracy Ostrowski [57]) oraz twirdznia.5,.6,. (zamiszczon w pracy Ostrowski [59]). * Rozdział trzci rozprawy dotyczy zastosowań macirzy punktu siodłowgo w grach dwumacirzowych, w których równowagi są całkowici miszan, czyli w tzw. grach całkowici miszanych. Za pomocą macirzy punktu siodłowgo okrślono tu wartość gry i podano wzory na składow wktora całkowici miszanj równowagi Nasha (twirdzni 3.) oraz sformułowano warunki koniczn i dostatczn istninia jdynj całkowici miszanj równowagi Nasha (twirdzni 3.). wirdznia t pochodzą z prac: Ostrowski [56], Ostrowski [58], Milchtaich i Ostrowski [5]. Badani gir całkowici miszanych uzasadnia fakt, ż w torii gir poświęca się im szczgólni dużo uwagi. Wil uzyskanych w tym zakrsi wyników znalazło zastosowani w różnych dzidzinach matmatyki. Dla przykładu David Blackwll podał altrnatywny dowód twirdznia Prrona-Frobniusa, konstruując szczgólnj postaci gry całkowici miszan (Blackwll [3]). Z koli.e.s. Raghavan pokazał, ż wil ważnych własności tak zwanych M-macirzy można wywnioskować bzpośrdnio z własności gir całkowici miszanych (Raghavan [6]). Przdstawion w tym rozdzial wyniki zilustrowan są trzma przykładami, nalżącymi do kanonu torii gir Walką płci (Battl of sxs), Zaufanim w sici (rust in Ntworks) oraz grą Kamiń-papir-nożyczki (Rock-papr-scissors).

17 * W rozdzial czwartym pracy pokazano zastosowani macirzy punktu siodłowgo w wolucyjnj torii gir, wykorzystując t macirz w analizi symtrycznych modli wolucyjnych (gir, w których jst macirzą wypłat jdngo gracza, natomiast jst macirzą wypłat drugigo gracza). W szczgólności podano warunki koniczn i dostatczn istninia wolucyjni stabilnj miszanj równowagi Nasha (twirdzni 4.) oraz wykazano istnini czystych stratgii wolucyjni stabilnych w grach symtrycznych, w których wypłaty na przkątnj macirzy wypłat dominują wszystki pozostał wypłaty względm odpowiadających im wirszy i kolumn (twirdzniu 4.3). Zaproponowano równiż pwną klasyfikację symtrycznych gir dwumacirzowych x oraz uzupłniono o wartość wypłaty twirdzni Bishopa-Canningsa (wynik tn opublikowano w pracy Ostrowski [56]). Uzyskan wyniki zilustrowano standardowymi przykładami: grą Jastrząb-Gołąb (Hawk-Dov Gam), Skromny-Uczciwy-Zachłanny (Modst-Fair-Grdy Gam) oraz grą partnrską lόsa-frrra, pochodzącymi odpowidnio z prac: Gintis [9], Skyrms [65], lόs-frrr []. * W piątym, ostatnim rozdzial rozprawy, macirz punktu siodłowgo wykorzystan są w analizi bhawioralnych modli z paramtrm altruistycznj prfrncji, czyli w analizi modli symtrycznych, w których rozpatrywana jst macirz wypłat będąca kombinacją wypukłą macirzy wypłat pirwotnj gry symtrycznj. W szczgólności, przy pomocy macirzy punktu siodłowgo został przprowadzony nowy dowód równości Chona (Chon []). Dowód tn został opublikowany w pracy (Ostrowski [56]).

18 Uzyskan wyniki zilustrowano koljnymi przykładami z kanonu torii gir w modlach z paramtrm altruistycznj prfrncji. * Każdy z rozdziałów -4 rozpoczyna się wprowadznim, w którym podan są podstawow pojęcia związan z rozważanymi problmami. Rozprawę zamyka lista stosowanych oznaczń oraz wykaz cytowanj litratury, objmującj 75 pozycji. 3

19 . Macirz punktu siodłowgo (, ).. Prliminaria Rozpocznimy od kilku dfinicji pojęć wykorzystywanych w ninijszj rozprawi. Dfinicja.. Nich R n, n i nich = [ ] R n. Macirzą punktu siodłowgo (saddl point matrix), oznaczaną symbolm (, ), nazywamy macirz blokową postaci (, ) = R n+, n+ (.) Dfinicja.. Przstrznią zrową macirzy R m, n nazywamy przstrzń liniową, oznaczaną symbolm Kr, okrśloną następująco: Kr = {v R m : v = } Dfinicja.3. Mówimy, ż macirz jst okrślona dodatnio (ujmni) na przstrzni zrowj macirzy B, jśli v v > (odpowidnio v v < ) dla każdgo nizrowgo wktora v KrB. Dfinicja.4. Macirzą Karusha-Kuhna-uckra (macirzą KK) nazywamy macirz postaci B, gdzi =. B O 4

20 Dfinicja.5. Macirz, B nazywamy kongruntnymi, co oznaczamy B, jśli istnij macirz niosobliwa P taka, ż zachodzi równość = P BP. Dfinicja.6. Inrcją rzczywistj symtrycznj macirzy nazywamy uporządkowaną trójkę In() = (i +, i, i o ), gdzi i +, i, i o oznaczają odpowidnio ilość dodatnich, ujmnych i zrowych wartości własnych macirzy. Dfinicja.7. Iloczynm Jordana macirzy, B nazywamy macirz B postaci B = (B + B). Dfinicja.8. Mówimy, ż para (x*, λ*) R n R jst punktm siodłowym funkcji L: R n R R, jśli L(x*, λ) L(x*, λ*) L(x, λ*) dla dowolnych x R n, λ R. Zauważmy, ż w litraturz rozważa się ogólnijszą postać pojęcia punktu siodłowgo. Dla clów rozprawy wystarczy postać zawarta w dfinicji.8. W clu zachowania przjrzystości rozprawy dalsz dfinicj będą wprowadzan sukcsywni podczas przdstawiania koljnych zagadniń. W pracy ni nakładamy na macirz własności typu niosobliwość, symtria czy okrśloność. Jdnakż obowiązywać będą dwa stał założnia: R n, n oraz n. Jśli jdnak jst macirzą symtryczną, wtdy macirz (.) moż być intrprtowana jako macirz Karusha-Kuhna-uckra (macirz KK) standardowgo programowania kwadratowgo na symplksi standardowym w n-wymiarowj przstrzni uklidsowj R n. Wówczas macirz jst hsjanm pwnj funkcji clu, zaś wktor jakobianm ogranicznia. 5

21 W naukach konomicznych taka symtryczna macirz (, ) jst nazywana zwykl hsjanm obrzżonym zagadninia optymalizacji. Macirz (, ) B =, C = O Macirz punktu siodłowgo B Macirz KK B C =, C = O W najogólnijszym przypadku, w problmach optymalizacyjnych z ograniczniami lub w układach liniowych, przz macirz punktu siodłowgo rozumiana jst (np. Golub and Grif [3], Dollar []) macirz blokowa B B lub O B B, gdzi R n, n, B R m, n, C R m, m. C Dla macirzy blokowj C B D przyjmuj się często oznaczni (, B, C, D), natomiast w rozprawi stosowan jst skrócon oznaczni (, ) = (,,, ). Jako przykład naturalngo pojawinia się macirzy (, ) rozważmy układ równań liniowych x λ =. (.) Układ (.) okrśla warunki koniczn (zwan tż warunkami pirwszgo rzędu) istninia kstrmum dla standardowgo programu kwadratowgo postaci zminimalizować {F(x) = x x x Δ + } Δ + = {x R n : x =, x i > ; i =,, n} (.3) Jak wiadomo, program kwadratowy podaj się zwykl przy ograniczniach w postaci nirówności słabych. Jdnakż z względu na rozważania w rozdziałach 3 5, dotycząc torii gir i skupiając się na stratgiach całkowici miszanych ogranicznia będą miały postać nirówności ostrych. 6

22 Każd rozwiązani (x*, λ*) problmu (.3) wyznacza punkt siodłowy funkcji Lagrang a danj wzorm L(x, λ) = x x + λ( x); λ R. (.4) Dfinicja.9. Punkt (x*, λ*), gdzi x* spłnia ogranicznia programu (.3), λ* R oraz L x (x*, λ*) =, x* = nazywamy punktm Karusha-Kuhna-uckra (punktm KK) programu (.3). Punkt KK posiada więc tę własność, ż dla dowolnych x R n, λ R mamy lub w postaci równoważnj L(x*, λ) L(x*, λ*) L(x, λ*) min x max L(x, λ) = L(x*, λ*) = λ max λ min L(x, λ). x Warunki koniczn istninia minimum lub maksimum funkcji Lagrang a (.4) przyjmują wtdy postać x λ L( x,λ) L( x,λ) x λ = x = (.5) i jst oczywist, ż (.), (.5) są układami równoważnymi. W litraturz układy t są na ogół nazywan układami punktu siodłowgo (Golub, Grif and Varah [3]) lub układami równowagi (Ganstrr, Schnid and Ubrhubr [5]). Załóżmy, ż punkt x* spłnia warunki koniczn (.5). Wynika stąd, ż w punkci x* mnożnik Lagrang a λ jst równy wartości formy kwadratowj F(x) w tym punkci, to znaczy λ = (x*) x*. Istotni, na mocy (.5), mamy (x*) x* = λ(x*) = λ ( x*) = λ = λ. 7

23 .. Własności wyznacznika macirzy (, ) nalizę własności macirzy punktu siodłowgo zacznimy od badania wyznacznika tj macirzy. Wprowadźmy następując oznacznia: i jst macirzą otrzymaną z przz zastąpini jj i-tgo wirsza wktorm, j macirzą powstałą z przz zastąpini jj j-tj kolumny wktorm, E oznacza macirz samych jdności, tj. E = R n, n, jśli M = C B D, gdzi jst niosobliwa, to M / jst standardowym oznacznim dopłninia Schura macirzy w M, tj. M / = D C B. Dopłnini Schura macirzy w M wykorzystywać będzimy między innymi do obliczania wyznacznika macirzy M; zachodzi następująca równość, okrślana jako wzór wyznacznikowy Schura (Zhang [74], str. 5): dtm = dt dt(m /). wirdzni.. Jśli jst macirzą jdnostkową, macirzą postaci βe lub niosobliwą macirzą diagonalną D = diag(d,, d nn ), to n, jśli = I, (i) dt(, ) =, jśli = βe, β R, (ii) n d ii i= n ( d ii ), jśli = D. (iii) i = 8

24 Dowód. (i). Zauważając, ż (I, )/I = = n, z wzoru wyznacznikowgo Schura otrzymujmy I dt(i, ) = dt = dti dt( ) = n. Dla dowodu (ii) wystarczy zauważyć, ż w macirzy (βe, ) pirwszych n wirszy jst idntycznych, podobni jak pirwszych n kolumn. Natomiast (iii) wynika ponowni z wzoru wyznacznikowgo Schura, bowim (D, ) / D = D = dt D n n d ii k = k i= n ( d ii ). i = = wirdzni.. Dla wyznacznika macirzy punktu siodłowgo (, ), w którj = k lub = k (k =,..., n) zachodzą równości dt( k, ) = dt k, (.6) dt( k, ) = dt k. (.7) Ponadto n j dt(, ) = dt i = dt. (.8) i = j = n Dowód. Wykażmy najpirw (.6). Istotni, dla ustalongo indksu k ( k n), odjmując k-ty wirsz macirzy k od jj ostatnigo wirsza, otrzymujmy k dt( k, ) = dt k = dt = dt k. Równość (.7) otrzymamy, odjmując k-tą kolumnę macirzy ( k, ) od jj ostatnij kolumny: 9

25 dt( k, ) = dt k k = dt = dt k. Natomiast (.8) otrzymamy, stosując rozwinięci Laplac a względm ostatnij kolumny lub wirsza macirzy (, ); dla k-tgo składnika tgo rozwinięcia ( k n) względm np. ostatnigo wirsza mamy a ( ) n + k dt... an a a, k... n, k a a, k +... n, k a n... a nn... = = ( ) n + k ( ) n + k dt k = dt k. wirdzni.3. Dla rzczywistych α, β mamy dt(α + βe, ) = α n dt(, ) (.9) Dowód. Dla α = równość (.9) jst oczywista (sprowadza się do (ii) twirdznia.). Załóżmy zatm, ż α. Jśli od n pirwszych wirszy macirzy (α+βe, ) odjąć ostatni wirsz pomnożony przz β, otrzymujmy α dt(α + βe, ) = dt. Stąd zaś, korzystając z własności wyznacznika, mamy α + βe dt(α + βe, ) = dt = α n dt α = = α n dt = α n dt(, )

26 Wniosk.. Z równości (.9) wynikają koljn własności wyznacznika macirzy punktu siodłowgo, a mianowici: (i) nizminniczość względm translacji o macirz postaci βe (α =, β R), tj. dt( + βe, ) = dt(, ) (ii) jdnorodność stopnia n (α R, β = ), tzn. dt(α, ) = α n dt(, ) Uwaga.. wirdzni.3 można uogólnić następująco: nich v = [β,, β n ], gdzi β i R (i =,, n). Wtdy dla dowolngo α R mamy dt(α + v, ) = α n dt (, ) dt(α + v, ) = α n dt (, ). (.9a) (.9b) wirdzni.4. Dla dowolnych liczb rzczywistych α, β prawdziwa jst równość: dt(αα + βe ) = α n [α dt β dt(, )] (.) Dowód. Wykażmy najpirw, ż dla dowolnj macirzy B R n, n zachodzi przypadk szczgólny równości (.), mianowici dt(b + βe) = dtb β dt(b, ), (.a) która trywialni jst spłniona dla β =. Różniczkując dt(b + βe) względm β i korzystając z (.8) oraz (.9) mamy d[dt( B + βe)] dβ n = dt (B + βe) i = dt B i = dt(b, ). i = n i = Zachodzi zatm równość dt(b + βe) = dt (B, )dβ = βdt(b, ) + C

27 i kładąc β =, otrzymujmy C = dtb, a stąd wynika natychmiast (.a). Przypadk ogólny (.) otrzymamy, zastępując w równości (.a) macirz B macirzą α. Wówczas dt(α + βe) = dt(α) β dt(α, ). Stąd, korzystając z wniosku. (ii), otrzymujmy dt(α + βe) = α n [α dt β dt(, )]. Uwaga.. Dowód (.) dla α =, β R, przprowadzony z wykorzystanim tylko własności wyznacznika można znalźć w pracy (Ostrowski [56]). Jśli w (.) położyć α = β = lub α =, β =, otrzymujmy odpowidnio dt(, ) = dt dt( + E) dt(, ) = dt( E) dt (.a) (.b) Z równości (.a), (.b) wynika natychmiast dt(, ) = [dt( E) dt( + E)]. Równości (.a), (.b) można równiż wyprowadzić bzpośrdnio z dfinicji macirzy punktu siodłowgo oraz liniowości wyznacznika względm kolumn. W przypadku równości (.a) mamy wówczas: dt(, ) = dt + = dt = dt + dt = = dt dt + E = dt dt = dt dt( + E). Podobni w przypadku równości (.b) otrzymujmy

28 dt(, ) = dt + = dt = dt + dt = E = dt dt = dt( E) dt. Wniosk.. Każda macirz postaci dt(, ) + dt E jst macirzą osobliwą, co wynika z równości (.), jśli położyć α = dt(, ), β = dt. Ponadto, jśli macirz kwadratowa spłnia warunk r =, to każda macirz postaci r E jst idmpotntna. Mamy bowim (r E) = r Er E = (r ) ( )( ) = = (r ) ( ) = (r ) s( ) = r E. wirdzni.5. Nich c będzi wartością własną i nich będzi odpowiadającym jj wktorm własnym macirzy (macirzy, odpowidnio), zaś β dowolną nizrową liczbą rzczywistą. Wtdy prawdziw są następując równości: dt( k, ) = n dt(, ); k =,, n (.a) (odpowidnio dt( k, ) = n dt(, ); k =,, n) (.b) oraz dt(, ) = n dt, jśli c, c dt( βe), jśli c =. β (.c) 3

29 Dowód. Wykażmy najpirw (.a) dla c =. Łatwo zauważyć, ż w rozpatrywanym przypadku dla każdgo a kj ( k, j n) spłniona jst równość n a kj = l j a. kl Zatm, oznaczając przz M ij (i, j =,, n) minory macirzy, wynika stąd, ż dla minorów związanych z ustalonym k-tym wirszm mamy M kj + M k,j+ =. Jśli bowim w macirzy o minorz M k,j+ do j-tj kolumny dodać pozostał kolumny, to w macirzach o minorach M kj, M k,j+ wszystki kolumny oprócz j-tj są idntyczn, natomiast lmnty j-tj kolumny różnią się jdyni znakim. Zauważmy, ż równość M kj + M k,j+ = oznacza, ż wszystki dopłninia algbraiczn lmntów k-tgo wirsza macirzy są równ. Na mocy (,7) otrzymujmy więc dt( k, ) = dt( k+, ), k =,, n, skąd, wobc (.7) oraz (.8), wynika (.a) dla c =. nalogiczni przbiga dowód w przypadku, gdy lmnty kolumn sumują się do zra. Natomiast równość (.c) dla c = wynika z faktu, ż wówczas dt = oraz z (.), jśli położyć α =, β. Załóżmy z koli, ż suma lmntów każdgo wirsza danj macirzy jst równa c i nich à = (ã ij ) będzi macirzą, którj lmnty są postaci ã ij = a ij n c dla wszystkich i, j =,, n. 4

30 Macirz à ma zatm postać à = n c E i lmnty wirszy macirzy à sumują się do zra. ym samym dt à =. Z drugij strony, wobc (.), otrzymujmy dt à = dt( n c E) = dt + n c dt(, ), skąd wynika prawdziwość (.c) dla każdgo c R. Wykażmy traz prawdziwość (.a) dla dowolngo c. Korzystając z wykazanj równości dla c =, mamy n a kj j = ~ = => dt(ã k, ) = n dt(ã, ). Jst oczywist, ż na mocy własności wyznacznika zachodzi równość dt(ã k, ) = dt( k, ). ym samym implikacja powyższa moż zostać zapisana jako n j = c ( akj ) = => dt( k c, ) = dt( E, ). n n n Stąd, na mocy równości (.9) dla α =, β = n c, otrzymujmy (,a). nalogiczni dowodzimy (.b). 5

31 .3. Dopłnini Schura macirzy w (, ) Zauważmy najpirw, ż jśli macirz jst niosobliwa, to dopłnini Schura macirzy w macirzy punktu siodłowgo jst liczbą postaci (, ) / =. (.3) wirdzni.6. Jśli jst niosobliwa, to rząd macirzy (, ) zalży od rzędu macirzy następująco: rank, jśli =, rank(, ) = (.4) rank +, jśli. Dowód. Z wzoru wyznacznikowgo Schura oraz z (.3), wobc niosobliwości macirzy, otrzymujmy równość dt(, ) = dt, (.5) z którj wynika (.4). Wzór (.4) zilustrujmy następującymi dwoma przykładami: Przykład.. Rozważmy macirz = a a a a +, a R. Wtdy a = [ ] a oraz rank(, ) = rank, a a + = a bowim dt =, dt(, ) = dt a a a + =. 6

32 Przykład.. Nich = a a a a + 3, a R { 3 }. Wówczas wobc czgo = a 3 a + 3 a a a, = a + 3 a [ ] a 3 a a = a 3. Poniważ dt = a 3, a dt(, ) = dt a a a + 3 =, zachodzi równość rank(, ) = rank +. Uwaga.3. Z równości (.4) wynika, ż niosobliwość macirzy ni pociąga za sobą niosobliwości macirzy punktu siodłowgo. Istotną rolę w zalżności między osobliwością (niosobliwością) oraz (, ) płni dopłnini Schura macirzy w macirzy (, ). Dla niosobliwj macirzy twirdzni.6 możmy zatm zapisać (por. Bnzi, Golub and Lisn [8], str. 5) następująco: dt(, ) <=>. (.6) 7

33 Wniosk.3. Nich będzi macirzą symtryczną o dodatnich lmntach lżących na przkątnj i nich przkątna będzi ściśl dominująca, tzn. n a kj j = j k a kk > (k =,, n). Wtdy dt(, ) <. Dowód. Z założnia wynika dodatnia okrśloność, a zatm równiż niosobliwość macirzy. Jj odwrotność jst takż macirzą okrśloną dodatnio i tym samym tza wynika natychmiast z równości (.5). wirdzni.7. Nich macirz oraz α + βe (α R {}, β R) będą niosobliw i nich α + β. Wówczas (α + βe, ) / (α + βe) = α + β. Dowód. Korzystając najpirw z równości (.9), a następni z równości (.5), otrzymujmy dt(α + βe, ) = α n dt(, ) = α n dt. Z drugij zaś strony, stosując najpirw wzór wyznacznikowy Schura, a następni uwzględniając równość (.), mamy dt(α + βe, ) = [(α + βe, ) / (α + βe)] dt(α + βe) = = [(α + βe, ) / (α + βe)] α n [αdt βdt(, )]. 8

34 Zatm (α + βe, ) / (α + βe) = α dt(α + βe, ) [αdt βdt(, )]. n Korzystając ponowni z równości (.5), mamy (α + βe, ) / (α + βe) = α n n α dt, [αdt + β dt ] skąd otrzymujmy (α + βe, ) / (α + βe) = α + β. Kończąc rozważani tgo paragrafu zauważmy, ż jśli w twirdzniu.7 położyć β =, to otrzymujmy wniosk. (ii). Istotni, korzystając za wzoru wyznacznikowgo Schura oraz z własności wyznacznika macirzy, mamy dt(α, ) = dt(α) dt(α, )/(α) = α n dt ( = α n ( dt). Stąd, na mocy (.5), otrzymujmy dt(α, ) = α n dt(, ). α ) = 9

35 .4. Odwrotność i faktoryzacja macirzy (, ) W paragrafi tym, poświęconym odwrotności i faktoryzacji macirzy punktu siodłowgo, korzystać będzimy z wzoru Banachiwicza (Zhang [74], str.) na macirz odwrotną do niosobliwj macirzy M = założniu niosobliwości macirzy, mamy: C B D. Zgodni z tym wzorm, przy M O B = + O O I (M/) [ C I ]. wirdzni.8. Jśli macirz jst symtryczna i niosobliwa, to (, ) s (.7) oraz (, ) s = s E, (.8) gdzi s = (, ) / =. Ponadto dt(, ) = dt s. Dowód. Wykażmy najpirw kongruncję (.7). Istotni, kładąc P = I, jak łatwo sprawdzić, mamy P s P = (, ). (.9) 3

36 3 Następni, dla dowodu (.8), wobc (.9) i podstawiając P, otrzymujmy (, ) = (P s P) = ( I s I ) = = I s I = = I s I = s s E. Wrszci, poniważ dtp =, więc na mocy (.9), dt(, ) = dt s. Uwaga.4. Równość (.8) otrzymujmy takż z wzoru Banachiwicza na macirz odwrotną; mianowici (, ) = + ( s )[ ] = = s s s E = = s s E. Uwaga.5. Przy założniu niosobliwości oraz (, ) zachodzi równość (, ) = ( s I + s E ) s. (.) Istotni, mamy bowim ( s I + s E ) s = s s E I s =

37 3 = s s s s s s E = s s E. Łatwo równiż sprawdzić, ż przy założniu niosobliwości macirzy prawdziw są poniższ faktoryzacj macirzy (, ): (, ) = s I, (.a) (, ) = I s, (.b) (, ) = s s I. (.c) W przypadku faktoryzacji (.c) zakładamy dodatkowo nizrowani się dopłninia Schura macirzy w (, ). Oznaczając K = s I = s (, ), można wykazać, ż macirz ta, występująca w (.), (.c), jst niosobliwa i jak zauważyli Kuzntsov [46] oraz Murphy, Golub and Wathn [5] spłnia równani (K I)(K K I) = O. Istotni, poniważ K = + s s s I = + s s E I, otrzymujmy (K I)(K K I) = s O s I E = O = O,

38 33 bowim s - (s - - E I) = (s - ) - s - = s - s s - =. Macirz K, pojawiająca się w itracyjnych mtodach rozwiązywania układów równań liniowych, ma tylko trzy różn wartości własn:, 5 +, 5 (por. d Sturlr and Lisn [67], str.63). Odwrotność macirzy K ma postać K = (, ) s = s s E s = = s s E I. Ponadto, oznaczając L = s E, łatwo sprawdzić, ż zachodzi równość K = K L, natomiast (.) przyjmuj wówczas postać (, ) = (K L) s.

39 .5. Własności rzędu macirzy (, ) W ninijszym paragrafi badan będą własności dotycząc rzędu macirzy punktu siodłowgo (mówi o tym równiż twirdzni.6). Związki zachodząc między rzędami macirzy i (, ) są istotn między innymi z względu na możliwość zastąpinia w układzi (.) osobliwj macirzy macirzą niosobliwą, zachowując składow wktora x. Zauważmy równiż, ż ni jst koniczna niosobliwość macirzy, aby macirz (, ) była niosobliwa, natomiast jśli rank < n, to (, ) jst osobliwa. Łatwo widać, ż jśli rank Wynika stąd = n +, to rank = n i w konskwncji rank n. Stwirdzni.. Jśli macirz (, ) R n+, n+ jst płngo rzędu, to rank(, ) rank (.) Implikację (.) ilustruj następujący przykład: Przykład.3. Rozważmy macirz = a a a a a 4a, B =, gdzi a. a a Mamy wówczas: rank(, ) = rank a a 4a = 3, rank =, a rank(b, ) = rank a a = 3, rankb =. 34

40 Implikacja przciwna do (.) ni jst prawdziwa, al jśli jst okrślona dodatnio, to co natychmiast wynika z (.4) macirz (, ) jst niosobliwa (por. Bnzi, Golub and Lisn [8], str. 5; Boyd and Vandnbrgh [6]; Higham and Chng [36], str. 68) i posiada jdną wartość własną ujmną oraz n wartości własnych dodatnich. Powyższa własność wynika z (.5) i (.7), bo jśli jst okrślona dodatnio, to jst takż okrślona dodatnio i tym samym s = >. Własność tę można zapisać, używając pojęcia inrcji macirzy, następująco: In = (n,, ) => In(, ) = (n,, ). (.3) Jśli więc macirz jst symtryczna i okrślona dodatnio, to macirz punktu siodłowgo jst takż symtryczna, al jdnoczśni gubi ona okrśloność wnisioną przz macirz (patrz równiż Horn and Johnson [4]; Gould [3], str. 7; Griwank and Walthr [33], str. 87 lub Forsgrn [3]). Założni niosobliwości macirzy wydaj się być założnim bardzo rstrykcyjnym. Jdnakż gdy macirz R n, n jst osobliwa i rank = n, to można ją zastąpić niosobliwą macirzą postaci α + βe, gdzi α, β są odpowidnio dobranymi liczbami. Na mocy (.) zachodzi wtdy dt(α + βe) = α n βdt(, ). Wynika stąd jdnak, ż procdura zastępowania w układzi (.) osobliwj macirzy niosobliwą macirzą α + βe bz zmiany rozwiązania tgo układu co jst konskwncją równości x = oraz twirdznia.3 moż być stosowana tylko w przypadku gdy rank = n. 35

41 Wiadomo, ż w standardowym programowaniu kwadratowym (.3) zastąpini macirzy macirzą α + βe ni zminia składowych wktora x w rozwiązaniu (x, λ), a zminia jdyni wartość λ (patrz takż Bomz and d Klrk [5], str. 63). W przypadku układu liniowych równań algbraicznych postaci (.) z osobliwą macirzą, odpowiada to sprowadzniu go do równoważngo układu, tzn. takigo, w którym składow wktora x układu (.) są zachowan (Golub and Grif [3], str. 78 i nast.; Golub, Grif and Varah [3], str. 78 i nast.). Przd sformułowanim koljngo wyniku zauważmy, ż zachodzi następująca równoważność: x = < = > x Ex =. (.4) Mamy bowim x Ex = x x = ( x) x = ( x). Następując twirdzni dotyczy wyznacznika macirzy + βe w przypadku, gdy macirz jst niosobliwa: wirdzni.9. Nich będzi macirzą niosobliwą. Wtdy dla dowolngo β R prawdziwa jst równość dt( + βe) = dt ( + β ) (.5) Dowód. Na mocy (.), kładąc α =, otrzymujmy dt( + βe) = dt β dt(, ), skąd, korzystając z (.5), mamy dt( + βe) = dt β ( dt ) = dt ( + β ). 36

42 Równość (.5) ilustrują następując dwa przykłady: Przykład.4. Nich = Wtdy mamy 3. = oraz dt =, i dla każdgo β R spłniona jst równość dt( + βe) = dt. Zachodzi bowim + β dt( + βe) = dt + β + β 3 + β =. rank(, ) =. Ponadto, o czym dokładnij będzi zaraz mowa w twirdzniu., mamy Przykład.5. Nich = Wówczas 4 6. = oraz dt = 4, a stąd + β dt( + βe) = dt + β 4 + β 6 + β = 4( + β). 37

43 wirdzni.. Dla następujących stwirdzń (i) rank(, ) = n +, (ii) istnij β R {} taki, ż dt( + βe) dt, (iii) x = = > x x (x ) prawdziw są równoważności (i) <=> (ii) dla dowolnj macirzy, (i) <=> (iii) dla macirzy dodatnio półokrślonj. Dowód. (i) => (ii): Na mocy równości (.), kładąc α =, mamy dt( + βe) = dt βdt(, ). Poniważ dt(, ), zatm dt( + βe) dla β R {}, jśli dt =, dla β dt, jśli dt. dt(, ) (ii) => (i): Nich β będzi nizrową liczbą rzczywistą taką, ż dt( + βe) dt. Korzystając z (.) dla α =, mamy βdt(, ) = dt dt( + βe), co kończy dowód danj implikacji. 38

44 (i) => (iii) Dowód przprowadzimy ni wprost. Załóżmy, ż dla pwngo nizrowgo wktora x R n jst x = oraz x x =. Na mocy dodatnij półokrśloności macirzy wynika stąd, ż x =. Jśli bowim macirz jst okrślona niujmni, to = B B dla pwnj macirzy B. Zatm z faktu, ż x x = wynika, ż Bx =, a stąd x = B Bx =. Wobc tgo, kładąc v = x, mamy (, )v = x =. Otrzymaliśmy więc, ż rank(, ) < n + (sprzczność). (iii) => (i). Musimy wykazać prawdziwość implikacji (, )v = => v =. x Istotni, przyjmijmy v = ; x R n, α R. Równość (, )v = oznacza zatm, α ż x = i x + α =. Mnożąc równość x + α = przz wktor x, otrzymujmy więc x x + αx = x x + α( x) = x x + α = x x =. Z niosobliwości (, ) wynika stąd, ż x =. ym samym zachodzi α =, wobc czgo α =, a w konskwncji v =. 39

45 Uwaga.6. W litraturz dotyczącj macirzy punktu siodłowgo, znany jst warunk koniczny jj niosobliwości. Podają go na przykład Bnzi, Golub and Lisn [8], str.7. Jśli mianowici założyć (iv) rank = n, to istnini liniowj nizalżności kolumn macirzy niosobliwości (, ) tzn. prawdziwa jst implikacja jst warunkim konicznym (i) => (iv) dla dowolnj macirzy. Dowód (i) => (iv). Dowód przprowadzimy ni wprost. Nich (, ) R n+, n+ i nich rank(, ) = n +. Przyjmijmy, ż wbrw (iv) zachodzi nirówność rank < n. Z powyższj nirówności wynika zatm istnini nizrowgo wktora x R n takigo, ż x =. Kładąc zatm v = x R n+ (przy czym x implikuj v ), otrzymujmy (, )v = x x = x =, co przczy założonj niosobliwości macirzy punktu siodłowgo. Wiadomo tż, ż jśli macirz jst symtryczna i dodatnio półokrślona, wtdy (iv) jst zarazm warunkim dostatcznym niosobliwości (, ). 4

46 Uwaga.7. W litraturz sformułowano równiż inn warunki niosobliwości macirzy punktu siodłowgo. Wykorzystuj się w nich pojęci przstrzni zrowj macirzy oraz macirz Z R n, n postaci Z = O n( n) n( n) n( n) n( n) n( n) n( n)... n( n) n, gdzi, jak łatwo zauważyć, wktory kolumnow v,, v n macirzy Z tworzą układ ortonormalny, bo vi v j =, jśli i j,, jśli i = j. wirdzni. (Ganstrr, Schnid and Ubrhubr [6], str. 9 ). Załóżmy, ż (v) dt[z ], (vi) dt(z Z). Wtdy włączając (i) z twirdznia. spłnion są równoważności (i) <=> (v) <=> (vi). Dowód (i) <=> (v) <=> (vi). Istotni, ortonormalność wktorów kolumnowych macirzy Z (tworzących bazę przstrzni zrowj macirzy E) oznacza, ż zachodzą równości Z =, Z Z = I. Z Ponadto macirz U = jst niosobliwa. Mamy bowim 4

47 4 dtuu = dt( Z [Z ]) = dt Z Z = dt n I. Korzystając zatm z lmntarnych własności wyznacznika, otrzymujmy dt(, ) <=> dt(, ) <=> dt( I Z ) <=> <=> dt n Z <=> dt Z <=> <=> dt[z ] <=> dt( Z [Z ]) <=> <=> dt n Z Z Z <=> dt(z Z). Następna uwaga i twirdznia dotyczą macirzy J-symtrycznych, nazywanych równiż psudosymtrycznymi. Dfinicja.. Macirz punktu siodłowgo S R n, n nazywamy macirzą J-symtryczną (psudosymtryczną), jśli JS = S J, gdzi J = m k I O O I, (k + m = n). Uwaga.8. Oznaczmy: (, ) = (, )J, gdzi J = I. Wobc powyższgo (, ) = I =,

48 zaś układ (.) przyjmuj równoważną postać x (, ) = λ. Ponadto, jśli jst macirzą symtryczną, to J(, ) = (, ) J i tym samym macirz (, ) jst macirzą J-symtryczną. W litraturz można znalźć szrg ważnych wyników, odnoszących się do klasy macirzy J-symtrycznych. Przytoczymy dwa z nich: wirdzni. (mmar, Mhl i Mhrmann []). Zbiór J-symtrycznych macirzy wraz z dodawanim macirzy oraz iloczynm Jordana tworzy podalgbrę algbry Jordana macirzy J-symtrycznych, algbry stowarzyszonj z rzczywistą grupą Ligo tzw. macirzy J-ortogonalnych, to znaczy grupą O(n,, R) = {Q R n+, n+ : Q JQ = J}. wirdzni.3 (Simoncini i Bnzi [64]) o wartościach własnych J-symtrycznych macirzy (, ). Nich będzi macirzą okrśloną dodatnio i nich σ oznacza najmnijszą wartość własną macirzy. Jśli σ > 4, to wszystki wartości własn macirzy (, ) są rzczywist dodatni. 43

49 .6. Funkcja afiniczna f (x) = dt( xe) to mamy Dla danj macirzy rozważmy funkcję f : R R postaci f (x) = dt( xe), x R. (.9) Funkcja powyższa jst afiniczna. Jśli w równości (.) położyć α =, β = x, f (x) = dt(, ) x + dt. (.3) Przy założniu niosobliwości (, ) mijscm zrowym tj funkcji jst dt x o =, (.3) dt(, ) Jśli ponadto w macirzy punktu siodłowgo macirz jst niosobliwa, to na mocy (.5) funkcja f (x) przyjmuj postać f (x) = dt( x) (.3) Gdy obi macirz, (, ) są niosobliw, to z twirdznia.6 wynika, ż wtdy równiż (, )/ ni jst zrm i mijscm zrowym funkcji f (x) jst punkt x o =. (.33) Mijsc zrow (.33) jst równ mnożnikowi Lagrang a standardowgo programu kwadratowgo na symplksi standardowym. Natomiast w torii gir, jśli jst macirzą wypłat, to wartość wyznacza wypłatę gry w równowadz Nasha, co jst znanym faktm w tj torii (Own [54]). 44

50 3. Dwuosobow gry dwumacirzow 3.. Wprowadzni Dwuosobow gry dwumacirzow, zalżni od stopnia sprzczności intrsów graczy, dzilon są na gry o sumi zrowj oraz gry o sumi nizrowj. Dfinicja 3.. Dwuosobową grą o sumi zrowj nazywamy grę postaci [, ]. Gra tgo typu charaktryzuj się tym, ż wypłaty graczy sumują się do zra dla wszystkich możliwych kombinacji ich stratgii i zysk jdngo gracza jst zarazm stratą drugigo. a przciwstawność intrsów unimożliwia wjści graczy w koalicję, upraszczając tym samym analizę gry (toria gir dwuosobowych o sumi zrowj jst uważana za zamkniętą). Dfinicja 3.. Grą dwuosobową o sumi nizrowj nazywamy uporządkowaną parę macirzy [, B] = [(a ij ), (b ij )]; B, gdzi lmnty a ij, b ij oznaczają wypłaty pirwszgo oraz drugigo gracza, jśli stosują oni odpowidnio i-tą oraz j-tą czystą stratgię, czyli i-tą oraz j-tą stratgię wybiraną z prawdopodobiństwm równym jdności. Dokładnij, lmnty a ij macirzy oznaczają wypłaty gracza wirszowgo (zwango Wirszm), kidy podczas rywalizacji stosuj swoją i-tą czystą stratgią przciwko j-tj czystj stratgii gracza kolumnowmu (zwango Kolumną); i-ta czysta stra- 45