DYNAMICAL STABILITY PROBLEM OF A SPHERICAL SHELL UNDER CIRCUMFERENTIAL UNIFORMLY DISTRIBUTED SURFACE LOAD

Transkrypt

1 Journal of KONES Powertrain and Transport, Vol.4, No. 007 DYNAMICAL STABILITY POBLEM OF A SPHEICAL SHELL UNDE CICUMFEENTIAL UNIFOMLY DISTIBUTED SUFACE LOAD Stefan Joniak Institute of Applied Mechanics of Technical University of Pozna ul. Piotrowo, Pozna, Poland tel , fax: stefan.joniak@put.poznan.pl Abstract A thin-walled spherical shell, simply supported at one edge and closed by rigid diaphragm at the second edge, is subjected to acting of uniformly distributed surface load along parallel direction. The loading value increases linearly with time. The problem of dynamic stability of the shell is investigated. The set of equations describing the problem consists of nonlinear dynamic equilibrium equation and of nonlinear strain inseparability equation. Both the equations are solved by Bubnov-Galerkin method, assuming previously forms of deflection function and force function which fulfils the boundary conditions. The result of inseparability equation solving is delimitation of unknown coefficient of the force function. The solution of the equilibrium equation leads to the differential equation of the shell motion. This equation defines the relation between dimensionless amplitude of the deflection function and the load parameter. Coefficients of the equation have very complicated and extended form. The equation is finaly solved by numerical unge-kutta method with previous calculation of the coefficient values and assuming the starting conditions of the problem. The results of the final solution are presented in the form of graphs: dimensionless amplitude vs. dimensionless time. They make the base to specify the critical load value taking into account required stability criterion. Keywords: dynamical stability, geometric nonlinearity, spherical shell, circumferential surface load.. DYNAMICZNE ZAGADNIENIE STATECZNOCI POWOKI KULISTEJ OBCIONEJ ÓWNOMIENIE OZOON SI POWIEZCHNIOW O KIEUNKU ÓWNOLENIKOWYM Streszczenie Cienkocienna powoka kulista jest podparta przegubowo na jednym brzegu, a na drugim zamknita przepon sztywn w swojej paszczynie. Powoka jest obciona równomiernie rozoon si powierzchniow o kierunku równolenikowym, przy czym obcienie to ronie liniowo w czasie. ozpatruje si zagadnienie statecznoci dynamicznej powoki. Ukad równa zagadnienia tworz nieliniowe równanie równowagi dynamicznej oraz nieliniowe równanie nierozdzielnoci. Oba równania rozwizuje si metod Bubnowa-Galerkina, przyjmujc uprzednio posta funkcji ugicia i funkcji si, speniajce warunki brzegowe. Efektem rozwizania równania nierozdzielnoci jest wyznaczenie nieznanego wspóczynnika tej funkcji. ozwizanie równania równowagi dynamicznej prowadzi do równania róniczkowego ruchu powoki, majcego posta zwizku midzy bezwymiarow amplitud funkcji ugicia a parametrem obcienia; wspóczynniki równania maj bardzo zoon i rozbudowan posta. ównanie to rozwizuje si metod unge-kutta, po uprzednim wyznaczeniu wartoci jego wspóczynników i przyjciu warunków pocztkowych zagadnienia. Wyniki rozwizania maj posta wykresów we wspórzdnych bezwymiarowa amplituda bezwymiarowy czas. Na ich podstawie okrela si - oparte o przyjte kryterium utraty statecznoci obcienie krytyczne. Sowa kluczowe: stateczno dynamiczna, nieliniowo geometryczna, powoka kulista, równolenikowa sia powierzchniowa

2 S. Joniak. Wstp Cienkocienna powoka kulista, która jest przedmiotem analizy, jest pokazana na rysunku. Górny jej brzeg jest podparty przegubowo, za dolny jest zamknity przepon sztywn w swojej paszczynie. ozpatrywane jest dynamiczne zagadnienie utraty statecznoci powoki obcionej równomiernie rozoon si powierzchniow o kierunku równolenikowym; sia ta jest liniow funkcj czasu. Do rozwizania problemu wykorzystano nieliniowe równania statecznoci, podane w monografii [], z których jedno (równanie równowagi) poszerzono o czon bezwadnociowy. Ukad tych równa rozwizywano metod Bubnowa- Galerkina, zakadajc najpierw postacie funkcji ugicia po utracie statecznoci i funkcji si, natomiast otrzymane ostatecznie równanie róniczkowe ruchu powoki metod unge-kutta. ozwizania równania ruchu uzyskiwano w postaci wykresów we wspórzdnych bezwymiarowa amplituda funkcji ugicia bezwymiarowy czas. h 0 ys.. Schemat powoki Fig.. Scheme of the shell. ównania zagadnienia statecznoci dynamicznej Ukad równa statecznoci ma nastpujc posta: E h k k, () h w k S T k 0 D w S T, () g t gdzie: - funkcja si, w funkcja ugicia po utracie statecznoci, ctg, sin - gówne krzywizny, k ii ii, - zmiany krzywizn i skrcenie powierzchni, E h D - sztywno zginania powoki, S - sia styczna stanu przedkrytycznego, 8

3 Dynamical Stability Problem of a Spherical Shell Under Circumferential Uniformly Distributed T i, S - siy stanu krytycznego, g - masa waciwa materiau powoki, t czas. Zmiany krzywizn i skrcenie powierzchni powoki kulistej s nastpujcymi funkcjami ugicia: w w w w w, ctg, ctg. () sin sin Siy stanu krytycznego zale w nastpujcy sposób od funkcji si: T ctg, T, S sin ctg. (4) sin Sia styczna stanu przedkrytycznego ma posta: 0,5 sin sin S so. (5) sin Zmiany krzywizn () i siy przekrojowe (4), (5) naley wprowadzi do równa () i (). Otrzymujemy wtedy ukad nieliniowych równa róniczkowych czstkowych ze wzgldu na w i.. ozwizanie równa statecznoci dynamicznej ównania statecznoci dynamicznej rozwizywano metod Bubnowa-Galerkina. Pocigao to za sob konieczno przyjcia postaci funkcji ugicia i funkcji si speniajcych w miar moliwoci wszystkie warunki brzegowe zagadnienia. Na brzegach powoki mamy nastpujce warunki brzegowe: w 0, M 0, S 0, T 0, (6) ; sin ; w 0, M 0, S so, T 0. (7) sin Przyjto funkcje si i ugicia o postaci: b ( sin m) sin, (8) w a t sin sin msin, (9) gdzie: b - staa, a t - amplituda funkcji ugicia zalena od czasu, m - liczba cakowita. Funkcja ugicia (9) spenia cile pierwsze z warunków (6) i (7), drugie natomiast w sensie cakowym. Funkcja si spenia trzecie warunki na obu brzegach z dokadnoci do staej. Oba warunki na si normaln T spenione s w sensie cakowym. ównanie nierozdzielnoci () rozwizywano metod Bubnowa-Galerkina. Funkcja podlegajca ortogonalizacji ma wtedy posta: F, E h k k, 9

4 natomiast warunek ortogonalizacji gdzie:, A S. Joniak, f, d A 0 F, (0) f - czynnik ortogonalizujcy, którym jest prawa strona równania (8) bez wspóczynnika b, A powierzchnia rodkowa powoki. Warunek ortogonalizacji przedstawia si ostatecznie nastpujco: 0, sin my F sin d d 0, () Wynikiem rozwinicia warunku () jest równanie algebraiczne, z którego wyznacza si wspóczynnik funkcji si. Przedstawia go wyraenie: gdzie: H - staa zawierajca i liczb m. ozwizanie równania () ma ostatecznie posta: t b E h H a, () t H sin m sin E h a. () Zastosowanie metody Bubnowa-Galerkina do równania równowagi dynamicznej () wymaga oznaczenia jego lewej strony jako funkcji podlegajcej ortogonalizacji i zapisania warunku ortogonalizacji. Funkcja podlegajca ortogonalizacji to: G, D w S T k S T k warunek ortogonalizacji ma posta: A, g, da 0 G, h w, g t przy czym g, jest czynnikiem ortogonalizujcym odpowiadajcym prawej stronie funkcji ugicia (9). Ostatecznie warunek ortogonalizacji przedstawia si nastpujco: 0 G, sin sin msin d d 0. (4) ozwizanie warunku ortogonalizacyjnego (4) prowadzi do nastpujcego równania róniczkowego ruchu powoki: d L L s L d a gdzie: - bezwymiarowa amplituda funkcji ugicia, h g E h t - bezwymiarowy czas, 4 so s E h - bezwymiarowy parametr obcienia powierzchniowego, 0, (5) 0

5 Dynamical Stability Problem of a Spherical Shell Under Circumferential Uniformly Distributed Li - stae zalene od kta, liczby m i liczby Poissona. Obcienie powoki, czyli równolenikowa sia powierzchniowa, zmienia si w czasie. Przyjto, e bezwymiarowy parametr obcienia powierzchniowego jest nastpujc funkcj czasu: s c, (6) gdzie: c - prdko obcienia. ównanie ruchu powoki mona rozwiza tylko w sposób przybliony. Wykorzystano do tego celu metod unge-kutta. Stosowano warunki pocztkowe: d 0 ; f o, 0. (7) d 4. Przykad liczbowy i wnioski Do rozwizania metod unge-kutta równania ruchu powoki (5) potrzebne s wartoci staych Li. Wartoci tych staych dla wybranych wartoci przy = 0, podano w tablicy. Naley zaznaczy, e równanie (7) nie ma rozwiza dla o wartociach 6, 0, 5 4, co wynika z przyjtej postaci funkcji ugicia i funkcji si. Celem rozwizania zagadnienia statecznoci jest wyznaczenie obcienia krytycznego. Przyjto nastpujce kryterium utraty statecznoci [] : powoka traci stateczno, gdy bezwymiarowa amplituda ugicia osiga warto odpowiadajc gruboci, czyli przy. Obcienie krytyczne jest wtedy okrelane nastpujco: skr c kr, (8) gdzie: - czas krytyczny. kr 6.00 c = 0,05; m = ; fo = -0,05 Bezwymiarowa amplituda Bezwymiarowy czas ys.. Sposób wyznaczania kr Fig.. Geometric illustration of the critical time

6 S. Joniak Czas krytyczny wyznacza si z wykresów we wspórzdnych, uzyskiwanych z rozwiza równania (5) przy ustalonych wymiarach powoki, dla rónych wartoci liczby m. Jest to najkrótszy czas potrzebny do osignicia przez bezwymiarow amplitud ugicia wartoci równej. Warto liczby m wyznaczajca czas krytyczny to warto krytyczna tej liczby - m kr ; liczba ta okrela form utraty statecznoci. Sposób wyznaczania czasu krytycznego pokazano na rysunku. Tab.. Wspóczynniki równania ruchu Tab.. The coefficients of the equation of motion L L L m 5 5 5,774 7,756,0, , , ,8475,7654 4,6460 5,49 0, ,04 4,74,9 6,969 8,870 0,0976 0, ,7 47,86 9,49 0,88 0,0958 0,9 5 86,75 95,807,565,5478 0, ,4 6 7,595 78,8,878 6,574 0, , Bezwymiarowa amplituda c = 0,0; m = ; fo = 0, Bezwymiarowy czas ys.. Przebieg zjawiska przy c = 0,0 Fig.. Dynamical path of motion (c = 0,0) Na rysunkach i 4 pokazano rozwizania równania (7) dla rónych prdkoci obcienia (rozwizania pokazane na rysunkach, i 4 sporzdzono dla i f o 0,05 ; wartoci liczby m podane na tych rysunkach to wartoci m kr ). Jak z rysunku wida proces utraty statecznoci przy prdkoci c 0,0 rozpoczyna si drganiami o wzrastajcej stopniowo amplitudzie. Gdy amplituda osignie potrzebn warto nastpuje jej gwatowny wzrost

7 Dynamical Stability Problem of a Spherical Shell Under Circumferential Uniformly Distributed i powoka traci stateczno zgodnie z przyjtym kryterium. Po okresie gwatownego wzrostu amplitudy powoka ponownie wpada w drgania; s to drgania nieliniowe. Podobnie zjawisko przebiega przy c 0,. Nieco odmiennie przedstawia si to przy prdkoci c, 0. uch jest tu na pocztku ruchem nieokresowym (rys. 4), potem nastpuje gwatowny wzrost ugicia powoki i utrata statecznoci, a nastpnie pojawiaj si nieliniowe drgania c =,0; m = ; fo = 0,05 Bezwymiarowa amplituda Bezwymiarowy czas ys. 4. Przebieg zjawiska przy c =,0 Fig. 4. Dynamical path of the motion (c =,0) Aby oceni wpyw wymiarów powoki oraz prdkoci obcienia na warto obcienia krytycznego rozwizywano równanie (5) dla rónych wartoci tych wielkoci. Wyniki oblicze zamieszczono w tablic (liczby stojce w nawiasach przy wartociach momentów krytycznych to liczby m kr ) Tab.. Wartoci obcie krytycznych ( f o 0, 05 ) Tab.. Values of the critical load ( f 0, 05 ) o s kr c= 0,0 c = 0, C =,0,0 (),4 (),9 () 5, (),4 (),86 ()

8 S. Joniak Z porównania wartoci bezwymiarowego parametru obcienia krytycznego zamieszczonych w tablic wynikaj nastpujce wnioski: - warto obcienia krytycznego wzrasta wraz ze wzrostem prdkoci obcienia, - wzrost kta zwiksza odporno powoki na utrat statecznoci. Literatura [] Musztari, G., M., Galimow, K., Z., Nieliniejnaja tieoria uprugich oboloczek, Tatknigizdat, Kaza 957. [] Wolmir, A., S., Nieliniejnaja dinamika plastinok i oboloczek, Izd. Nauka, Moskwa 97. [] Joniak, S., Nonlinear stability problem of spherical shell loaded with torque, Journal of Theoretical and Applied Mechanics, 4,, pp , Warsaw 00. [4] Joniak, S., Energetic method of solving the stability problem of a semi-spherical shell loaded with torque, Journal of theoretical and Applied Mechanics, 4,, pp 49-56, Warsaw