Dynamika Uk adów Nieliniowych 2009 Wykład 11 1 Synchronizacja uk adów chaotycznych O synchronizacji mówiliśmy przy okazji języków Arnolda.

Transkrypt

1 Dynamika Ukadów Nieliniowych 2009 Wykład 11 1 Synchronizacja ukadów chaotycznych O synchronizacji mówiliśmy przy okazji języków Arnolda. Wtedy była to synchronizacja stanów periodycznych. Wiecej na ten temat w artykule pod redakcją prof. Pikovskyego. {hyperlink: Chcielibymy doprowadzi do synchronizacji dwa ukady chaotyczne bez utraty ich chaotycznego stanu. Przykad: Zastpmy jedn zmienn ukadu Lorenza 2 odpowiadajc mu zmienn ukadu 1: Okazuje si, e rozpoczcie ruchu z arbitralnie dobranych warunków pocztkowych - przy takim cakowitym podstawieniu jednej zmiennej za drug - po pewnym czasie doprowadzi do zrównania si y 1 = y 2 oraz z 1 =z 2. Jest to stan synchronizacji tosamociowej. S moliwe te sabsze formy synchronizacji: np. taka w której zmienne ukadu odbiorczego s jak funkcj zmiennych ukadu nadawczego (synchronizacja uogólniona na przykad odpowiedajce sobie zmienne s do siebie proporcjonalne - w najprostszym przypadku). Wystpuje te tzw. synchronizacja fazowa o czym poniej.

2 Dynamika Ukadów Nieliniowych 2009 Wykład 11 2 Przykad: zastosowanie do telekomunikacji: W nadajniku sygna mowy jest maskowany przez dodanie go do skadowej u ukadu chaotycznego. Skadowa ta jest nastpnie wysyana do odbiornika. W odbiorniku, którego równania s takie same jak w nadajniku sygna jest podstawiany jako u r i ukady doprowadzane s do synchronizacji. Odtwarza to pierwotny przebieg zmiennej u i pozwala odzyskać sygna jak wida poniej: Fakt, e mona odzyska sygna modulacji syganu chaotycznego wiadczy o tym, e zdolno do synchronizacji ukadów chaotycznych jest w duym stopniu odporna na zaburzenia.

3 Dynamika Ukadów Nieliniowych 2009 Wykład 11 3 Oczywicie na kady sposób kodowania istnieje sposób na rozszyfrowanie. Na przykad: jest możliwa synchronizacja nieidentycznych (nawet np. ukad Lorenza i ukad Rösslera) ukadów dynamicznych. Oznacza to, e nie trzeba mie odbornika identycznego z nadajnikiem aby odtworzy sygna modulacji. Synchronizacja fazowa Dla prostych oscylacji chaotycznych mona wprowadzi faz podobnie jak to si robi dla figur Lissajou. Przykładem jest oscylacja w układzie van der Pola na rysunku powyżej.

4 Dynamika Ukadów Nieliniowych 2009 Wykład 11 4 Natomiast dla bardziej skomplikowanych przebiegów chaotycznych takich jak dla ukadu Rösslera kiedy trajektorie przeplataj si ze sob dogodnie jest uy formalizmu Gabora:

5 Dynamika Ukadów Nieliniowych 2009 Wykład 11 5 Dla sygnau s(t) wprowadza si pojcie sygnau analitycznego ( t) s( t) js ~ ( t) Ae j ( t) gdzie (t) jest fazą sygnału, funkcja s~ ( t ) jest transformat Hilberta sygnau s(t): ~ s ( t) 1 PV.. s( ) d t P.V. oznacza warto gówn caki w sensie Cauchy. W praktyce uzyskuje si s~ ( t ) z jej ~ transformaty Fouriera S (j )= - j s(j ). Ukady s zsynchronizowane fazowo gdy rónica faz n 1 - m 2 < const Jako przykad wemy dwa sprzone ukady Rösslera: parametry1,2 = 1 oraz C to odstrojenie czstoci i stopie sprzenia ukadów ze sob.

6 Dynamika Ukadów Nieliniowych 2009 Wykład 11 6 Zauważmy, że dwa oscylatory Rősslera są tu sprzężone nie poprzez podstawienie zmiennej jednego układu do układu drugiego ale charakterystycznym członem sprzężenia dyfuzyjnego. Dla odpowiednio dużego C następują synchronizacje uogólnione bądź tożsamościowa. Dla ustalonego odstrojenia, dla umiarkowanych wartości C ukad przechodzi ze stanu, w którym 1-2 t gdzie t to czas a jest redni szybkoci zmian rónicy faz. Dla nieco większych C w różnica faz pomiędzy układami ustala się okresami. Dla jeszcze większych C róznica ta jest stała. Jednoczenie jak wida na rysunku amplitudy obydwu ukadów pozostaj chaotyczne i nieskorelowane - synchronizacja fazowa. Synchronizacja fazowa wystpuje dla o wiele miejszych wartoci sprzenia pomidzy ukadami ni sychnronizacja tosamociowa czy te uogólniona.

7 Dynamika Ukadów Nieliniowych 2009 Wykład 11 7

8 Dynamika Ukadów Nieliniowych 2009 Wykład 11 8 Synchronizacja fazowa znalaza zastosowanie m.in. w medycynie, gdzie pozwala analizowa np. oddziaywania oddechu z rytmem serca. Rosenblum i in., w pracy w Nature z 1997 roku pokazali synchronizację fazową pomiędzy oddechem a rytmem serca. Na rysunku a) widoczna jest faza oddecu otrzymana za pomocą metody sygnału analitycznego Gabora uwidoczniona w momencie skurczu komór (załamek R w EKG). Widoczna jest synchronizacja 5:2 (czarny), stan przejściowy (czerwony) i synchronizacja 3:1. Rodzaj synchronizacji widoczny jest też w histogramach fazy. Jest wiele układów, w których synchronizacja fazowa jest jedynym możliwym trybem synchronizacji. Przykładem są różne układy impulsowe jak pewien gatunek świetlików {hyperlink: żyjący w Indonezji.