Twierdzenia ekstremalne teorii plastycznoci

Transkrypt

1 Twierdzenia ekstremalne teorii plastycznoci Oprócz nonoci przekroju (sprystej i plastycznej) uywane jest take pojcie nonoci granicznej konstrukcji, czyli najwikszego obcienia przenoszonego przez konstrukcj (inaczej: obcienia niszczcego). Tzw. twierdzenia ekstremalne teorii nonoci granicznej wynikaj z zasady prac wirtualnych i dostarczaj dolnego i górnego oszacowania nonoci granicznej układu. Statycznie dopuszczalnym nazywamy takie pole napre, które jest niesprzeczne z nono- ci plastyczn układu. la schematyzacji randtla (model ciała idealnie sprysto-plastycznego) oznacza to spełnienie warunku σ R w kadym punkcie albo w kadym przekroju belki zginanej. x e Kinematycznie dopuszczalnym nazywamy takie pole przemieszcze, które jest niesprzeczne z istniejcymi wizami. Oznacza to np. brak ugicia na podporze belki czy brak obrotu osi belki w utwierdzeniu. Twierdzenie o oszacowaniu dolnym Konstrukcja nie ulegnie zniszczeniu jeeli dla zadanego obcienia moe by znalezione statycznie dopuszczalne pole napre. Innymi słowy, jeli dla zadanego obcienia mona znale równowace je naprenia, bdce statycznie dopuszczalnymi, to konstrukcja znajduje si w zakresie bezpiecznej pracy, bd co najwyej na jego brzegu. rzeniesienie obcienia nie implikuje przekroczenia dopuszczalnych wartoci naprenia nono konstrukcji jest nie mniejsza od takiego obci- enia. Jest to wic oszacowanie od dołu. Twierdzenie o oszacowaniu górnym Konstrukcja zamienia si w mechanizm (ulega zniszczeniu), jeli dla kinematycznie dopuszczalnego pola przemieszcze przyrost pracy sił zewntrznych równy jest przyrostowi pracy sił wewntrznych. Inaczej mówic, jeeli dla zrównowaenia istniejcego obcienia potrzebna jest zamiana konstrukcji w mechanizm, to obcienie to jest nie mniejsze od granicznego (niszczcego). Obcienie powodujce powstanie mechanizmu jest wic oszacowaniem od góry. Atrakcyjno powyej sformułowanych twierdze wynika z łatwoci uzyskania oszacowa. Jest to szczególnie widoczne w przypadku konstrukcji statycznie niewyznaczalnych, dla których obliczenia s prostsze ni w sprystym zakresie pracy. Umiejtne zastosowanie twierdze ekstremalnych, umoliwia okrelenie przedziału rozwizania cisłego, którego dokładna warto czsto nie jest niezbdna. Odkształcenia plastyczne koncentruj si w pewnych obszarach, jak np. przeguby plastyczne dla belek zginanych. oza obszarami takiej lokalizacji odkształcenia s znacznie mniejsze. ona przyj z dobrym przyblieniem, e konstrukcja posiada szereg obszarów nie odkształconych, doznajcych jedynie ruchu jako ciała sztywne. W ten sposób konstruuje si schematy zniszczenia konstrukcji, kiedy konstrukcja zamienia si w mechanizm. oliwe s dwa sposoby otrzymania kocowego schematu zniszczenia konstrukcji. ierwszy sposób polega na wprowadzaniu kolejnych obszarów lokalizacji odkształce (przegubów) a do zamiany konstrukcji w mechanizm. rugi polega na przyjciu obszarów lokalizacji odkształce od razu w takiej iloci, która powoduje zamian konstrukcji na mechanizm.

2 Jeeli otrzymane rozwizanie bdzie zarówno statycznie jak i kinematycznie dopuszczalne, to bdzie ono rozwizaniem cisłym. Wówczas oszacowanie od góry jest równe oszacowaniu od dołu. Stwierdzenie odwrotne równie jest prawdziwe: jeeli oszacowania od góry i od dołu pokrywaj si, to rozwizanie jest cisłe a schematy zniszczenia (statycznie dopuszczalny i kinematycznie dopuszczalny) s identyczne. rzykład: kratownica Okreli nono kratownicy dla danych: F = cm, F = cm, F = cm, kt α = π/6, R e = 00 a. α α N N N a) Oszacowanie od dołu metod statycznie dopuszczalnych pól napre Rozwizania poszukiwa bdziemy metod schematów zniszczenia. Zakładamy uplastycznienie tylu prtów ile potrzeba do zamiany układu w mechanizm. W tym przypadku istniej takie moliwoci i przeanalizujemy je kolejno. Schemat Zakładamy uplastycznienie prta i : N = N = F = 0 kn, N = N = F = 60 kn. Z równa równowagi dla wzła kratownicy mamy: N = N, = N + ( N + N ) = 00 kn. Sprawdzamy, czy naprenie w prcie nie przekracza granicy plastycznoci: N 0 0 σ = = = 00 a < R e, F 0 a wic przyjte pole napre jest statycznie dopuszczalne. la tego schematu otrzymujemy wic oszacowanie: Schemat Zakładamy uplastycznienie prta i : = 00 kn. N = N = F = 0 kn, N = N = F = 80 kn. Z równa równowagi od razu wynika brak równowagi: ΣX 0. Taki schemat jest wic statycznie niedopuszczalny. Schemat Zakładamy uplastycznienie prta i : N = N = F = 60 kn, N = N = F = 80 kn. Z równania ΣX = 0 mamy: N = N = 80 kn, skd: σ = 00 a > R e. Z faktu przekroczenia granicy plastycznoci wynika e równie i ten schemat jest statycznie niedopuszczalny. Ostateczn odpowied stanowi wynik schematu : = 00 kn.

3 b) Oszacowanie od góry metod kinematycznie dopuszczalnych pól przemieszcze onownie zastosujemy metod schematów zniszczenia. Aby układ zamienił si w mechanizm, potrzeba uplastycznienia prtów. Zakładamy, e bd to prty i. Wówczas ruch układu bdzie odbywał si wokół prta, traktowanego jako sztywny (odkształcenia spryste s pomijalnie małe). (do p.) / / Z rysunku wynika, e = = sin π. orównanie pracy sił zewntrznych i wewntrznych: = N + N = ( N + N ), daje: 6 = N + N = ( F + F ) R e = = 00kN. oniewa uzyskalimy identyczny wynik jak dla oszacowania z dołu, jest to rozwizanie dokładne i nie ma potrzeby analizowa kolejnych schematów: minimum zostało osignite. Aby si jednak przekona, e tak jest w istocie, rozpatrzmy inny schemat: uplastycznienia prtów i. (do p.) / / Z rysunku ruchu układu wokół prta (sztywnego) i porównania prac sił zewntrznych i wewntrznych wynika: = N + N = ( N + N ), skd mamy kolejne oszacowanie od góry: 6 = N + N = ( F + F ) R e = = 0kN. Zgodnie z przewidywaniem, uzyskane oszacowanie jest gorsze (z nadmiarem). Jak wida metoda statycznie dopuszczalnych pól napre jest prostsza w zastosowaniu do kratownic, gdy w metodzie kinematycznej nie moemy unikn zapisu równa geometrycznych. la belek jest akurat odwrotnie, co pokazuje nastpny przykład. rzykład: belka zginana Okrelenia nonoci belki z rysunku bdziemy poszukiwali okrelajc oszacowanie górne i dolne rozwizania. a) statycznie dopuszczalne pola napre Zastosujemy metod kolejnych przegubów plastycznych. rzeguby plastyczne tym róni si od normalnych przegubów, e wystpuje w nich moment zginajcy równy nonoci pla-

4 stycznej przekroju,, o zwrocie zgodnym z rozciganymi włóknami. Aby okreli przekrój w którym powstanie ekstremalny moment zginajcy, naley najpierw znale wykres momentów dla belki statycznie niewyznaczalnej. Jednak z uwagi na liniowy odcinkami wykres momentu, w gr wchodz jedynie przekroje: utwierdzenie i pod siłami skupionymi, co daje moliwoci wyboru pierwszego przegubu plastycznego. Schemat Wprowadzenie przegubu plastycznego w przekroju A czyni belk statycznie wyznaczaln: = +, R =, oraz: B =, C = oniewa B < C, przyjmijmy kolejny przegub plastyczny w przekroju C. Otrzymamy wówczas oszacowanie nonoci belki oraz wynikowy moment w przekroju B: =, B = <. 8 oniewa B jest mniejszy od momentu granicznego plastycznego, schemat jest statycznie dopuszczalny. Łatwo sprawdzi, e przyjcie. przegubu plastycznego w przekroju B dawałoby moment C =. >, co jest statycznie niedopuszczalne. Rozwizaniem dla tego schematu jest Schemat 8 =. u Jeli przyjmiemy powstanie pierwszego przegubu plastycznego w przekroju B, to mamy: R = +, R B =, A =, C = +. rzyjmujc powstanie kolejnego przegubu w p.a, mamy: =, C = < (dopuszczalny) Jeli natomiast przyjmiemy kolejny przegub w p.c, dostajemy: =, oraz A = > (niedopuszczalny). la tego schematu odpowiedzi jest: Schemat u =. Na koniec, przyjmujc powstanie pierwszego przegubu w przekroju C, mamy: R =, R C =, B =, A = + 8. la kolejnego przegubu, powstałego w p.a, mamy: = 8, B = <, (dopuszczalny) R R R

5 a dla drugiego przegubu w p.b, jest: =, A = 0 <, (dopuszczalny). oniewa s to oszacowania od dołu, wybieramy warto górn: 8 =. Ostatecznie wic nono graniczna plastyczna belki bdzie rozwizaniem najwikszym spo- ród wszystkich statycznie dopuszczalnych: = max(,,, ) = b) kinematycznie dopuszczalne pola przemieszcze Zastosujemy metod schematów zniszczenia. la kolejnych schematów, z zasady prac wirtualnych, porównujemy prac sił zewntrznych (obliczan z odpowiednim znakiem) z prac uogólnionych sił wewntrznych na uogólnionych przemieszczeniach (ta praca jest zawsze dodatnia): Wykres momentów od obcie skupionych jest lini łaman. Najbardziej prawdopodobne jest przyjcie przegubów uplastycznienia w przekrojach na granicach przedziałów. o zamiany belki w mechanizm kinematyczny (o jednym stopniu swobody) potrzeba przegubów plastycznych. otencjalnymi przekrojami, w których mog utworzy si przeguby plastyczne s przekroje. Istniej zatem najbardziej prawdopodobne schematy zniszczenia (rys.) la kolejnych schematów mamy: + = = = = 0. 6 = =. odejcie kinematyczne daje oszacowanie od góry (belka zniszczy si zarówno przy sile, jak i ), wybieramy wic warto najmniejsz, = 0.6 =. Identyczny wynik, 8 otrzymany poprzednio dla metody statycznej upewnia nas, e uzyskane rozwizanie jest rozwizaniem dokładnym.